ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
The problem of accuracy modeling of the alternating magnetic field in the ferromagnetic medium by the finite element method by considering higher time harmonics of the field and the associated problem of ensuring the convergence of iterative process were considered. The numerically-harmonic model an...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/845 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870202554624770048 |
|---|---|
| author | Петухов, И.С. |
| author_facet | Петухов, И.С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "И.С. Петухов",
"institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна"
}
] |
| author_sort | Петухов, И.С. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-12-24T16:12:29Z |
| description | The problem of accuracy modeling of the alternating magnetic field in the ferromagnetic medium by the finite element method by considering higher time harmonics of the field and the associated problem of ensuring the convergence of iterative process were considered. The numerically-harmonic model and the proposed solution algorithm based on the modified Newton's method were described. To accelerate the convergence the proposed algorithm includes the optimization procedure of damping coefficient by using Golden section method, as well as a set of heuristic rules that ensure reliability and speed of convergence. When solving the problem on excitation of magnetic field in rectangular domain with sinusoidal current waveform excitation the proposed algorithm showed convergence in several times better than the package COMSOL versions 3.1 and 3.5. References 4, figures 3. |
| doi_str_mv | 10.15407/techned2016.04.026 |
| first_indexed | 2026-06-16T01:13:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
26 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 4
УДК 621.3.014.4
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ
МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
И.С. Петухов, докт.техн.наук
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина. e-mail: igor_petu@mail.ru
Рассмотрена проблема повышения точности моделирования переменного магнитного поля в ферромагнитной
среде методом конечных элементов путем учета высших временных гармоник поля и связаннаяс ней проблема
обеспечения сходимости итерационного процесса. Описана численно-гармоническая модель, а также предло-
женный алгоритм решения, основанный на модифицированном методе Ньютона. Для ускорения сходимости
алгоритм включает процедуру оптимизации коэффициента демпфирования методом золотого сечения, а
также свод эвристических правил, обеспечивающих надежность и скорость сходимости. При решении задачи
о возбуждении магнитного поля в прямоугольной области синусоидальным током предложенный алгоритм
показал сходимость в несколько раз лучшую, чем пакет COMSOL версий 3.1 и 3.5. Библ. 4, рис. 3.
Ключевые слова: ферромагнитная среда, периодический процесс, временные гармоники, поверхностный эф-
фект, метод конечных элементов, метод Ньютона, оптимизация сходимости.
Введение. Практически все современные программные продукты, ориентированные на моделирование
физических полей, большинство которых основано на методе конечных элементов (МКЭ), содержат средства
моделирования переменного магнитного поля в нелинейной электропроводящей среде. Как правило, для упро-
щения решения во временной области периодический процесс представляется эквивалентной синусоидой. При
построении системы уравнений МКЭ для учета влияния нелинейных свойств ферромагнетика по его характе-
ристике намагничивания устанавливается соответствие между комплексными амплитудами напряженности
поля и магнитной индукции. Это приводит к погрешностям, связанным с искажением (уплощением) временной
зависимости магнитной индукции.
Более точное решение, предложенное в [2], включает в себя несколько гармоник поля и позволяет
учесть искажение магнитной индукции, вызванное насыщением ферромагнетика.
В численных моделях увеличение числа искомых амплитуд гармоник в решении влечет за собой крат-
ное увеличение порядка системы уравнений. Такое увеличение не является критическим, если искажение поля
вызвано только насыщением ферромагнетика, и для определения потерь от вихревых токов с точностью менее
1 %, как показывают результаты моделирования, достаточно первых трех, максимум пяти гармоник.
Увеличение порядка системы уравнений не является единственным усложнением, вызванным стремле-
нием учесть наличие высших временных гармоник. Вторым осложнением является ухудшение сходимости ите-
рационного процесса решения системы нелинейных уравнений, получаемой с применением МКЭ. Для обеспе-
чения хорошей сходимости в [2] было предложено использовать модифицированный (демпфированный) метод
Ньютона [3] с оптимизацией коэффициента демпфирования и дополнительным эвристическим алгоритмом.
Целью настоящей статьи является исследование скорости сходимости предложенного алгоритма.
Математическая модель. Двухмерное магнитное поле в проводящей среде описывается уравнением
относительно векторного магнитного потенциала А(x,y,t), имеющего одну пространственную составляющую
( ) wA A t Jγ∇ × ∇ × + ∂ ∂ =f , (1)
где f – нелинейная векторная функция, отражающая зависимость пространственных составляющих напряжен-
ности поля (Нх, Нy) от составляющих магнитной индукции (Вх, Вy), γ – электропроводность среды, t – время, Jw –
сторонняя плотность тока. Периодическое во времени решение этого уравнения Ã(x,y,t) представим тригоно-
метрическим полиномом, приняв период равным единице. Тогда, выбрав базисные функции в виде произведе-
ния тригонометрических функций и геометрических базисных функций N(x,y) [1], получаем общий вид реше-
ния на сетке конечных элементов, содержащей n узлов
1 1
( , , ) cos ( ) ( , ) sin ( ) ( , )
gnn
cg sg
i g
A x y t A gt A x y gt N x y
= =
⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ ∑% , (2)
где ng – число гармоник, Аcg, Asg – соответственно амплитуды составляющих каждой из гармоник.
Для исследования влияния на процесс сходимости исключительно нелинейности рассмотрим простей-
шую прямоугольную область (рис. 1), состоящую из ферромагнитной подобласти (внизу) и подобласти, моде-
лирующей обмотку (вверху), равномерно заполненную синусоидально изменяющейся плотностью тока Jw. Вы-
бранный тип граничных условий на рис. 1 обеспечивает одномерный характер магнитного поля с целью исклю-
© Петухов И.С., 2016
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 4 27
чения влияния геометрических неоднородностей на процесс сходимости решения. Физически рассматриваемая
подобласть соответствует половине сечения протяженного стального листа, на поверхности которого располо-
жена равномерно распределенная однофазная обмотка с током.
Применение метода Галеркина к краевой задаче для уравнения (1) в
рассмотренной области позволяет получить систему нелинейных уравне-
ний, решение которой в виде (2) дает возможность определить искомую
несинусоидальную зависимость магнитного поля. Принципиальным момен-
том при решении системы нелинейных уравнений итерационными метода-
ми является явное определение матрицы Якоби с использованием диффе-
ренциальных параметров ферромагнитной среды [4].
По общепризнанному мнению метод Ньютона обладает самой бы-
строй сходимостью среди итерационных методов. Однако эта скорость и
собственно сходимость наблюдается при «достаточно» близком расположе-
нии очередного приближения X j к вектору решения. Для улучшения сходи-
мости существуют различные методы, в частности, модифицированный ме-
тод Ньютона [3], в котором найденное приращение умножается на коэффи-
циент демпфирования β, и новое приближении вычисляется в соответствии
с формулой
[ ] 11j j jJβ −+ = −X X R , (3)
где [J ] – матрица Якоби, R j – вектор невязки на очередной итерации. Ключе-
вым фактором в данном алгоритме является тактика выбора коэффициента
демпфирования. В [2] предложено на каждой итерации делать 4 шага поиска
минимума нормы невязки методом золотого сечения и выбирать значение β
на левой границе полученного интервала. Кроме того, в алгоритм вводятся три эвристические правила [2]: 1) если
после четырех шагов оптимизации левая граница найденного интервала имеет значением нуль, то следует брать
минимальное (наперед заданное) значение β; 2) если на прошлой и текущей итерациях выполнялось условие 1, то
значение β следует удвоить; 3) если условие 1 выполнялось на предыдущей итерации, а на текущей найдено оп-
тимальное значение β=1, то на протяжении следующих трех итераций
значение β не должно превышать 1 2 .
Для аппроксимации характеристики намагничивания ис-
пользовалась нижеприведенная зависимость магнитной проницае-
мости от модуля магнитной индукции ║B║, обеспечивающая моно-
тонность и гладкость и, тем самым, не являющаяся дополнительным
фактором, ухудшающем сходимость
( )max1 1 m
sB Bμ μ= + + , (4)
где μmax – ненасыщенное значение магнитной проницаемости, Bs –
индукция, соответствующая «точке перегиба» кривой намагничива-
ния, m – показатель кривизны кривой намагничивания.
Результаты моделирования. Сходимость результатов срав-
нивалась со сходимостью решения вышеприведенной задачи при по-
мощи программы GE2D, разработанной в Институте электродинами-
ки НАН Украины и пакета COMSOL версий 3.1 и 3.5. Критерием
окончания итерационного процесса было выбрано значение относительной погрешности равное 0,01. Посколь-
ку в используемых программных средствах относительная
ошибка определяется по различным алгоритмам, дополни-
тельно оценивалась степень приближения магнитной ин-
дукции на поверхности ферромагнетика. Так при требуе-
мом значении относительной погрешности индукция на
поверхности уже не изменялась в третьем знаке при даль-
нейшем уменьшении относительной погрешности вдвое.
Более высокую точность потребовать было затруднитель-
но из-за различного порядка конечных элементов в испы-
туемых программах.
На рис. 2 показаны графики числа итераций Nj при
изменении тангенциальной составляющей магнитного по-
ля на поверхности в диапазоне от 160 до 50000 А/м. Ха-
рактеристика намагничивания принималась близкой к та-
ковой для стали 3. Попутно в программе GE2D применен
0=τH 0=τH
0=А
Рис. 1
0=τH
Jw sin(t)
Железо
1
10
100
100 1000 10000 100000
GE2D GoldSect
GE2D BiSect
COMSOL 3.1
COMSOL 3.5
Рис. 2
Nj
Hτ
0,000001
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
1 10 100
β GE2D-BiSect
β, GE2D-GoldSec
β, COMSOL 3.1
δ, GE2D-BiSect
δ, GE2D-GoldSec
δ, COMSOL 3.1
β, δ
Nj
Рис. 3
28 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2016. № 4
для оптимизации как метод золотого сечения [3] (GoldSect, см. рис. 2), так и метод деления интервала пополам
(BiSect, там же), который показал несколько меньшую эффективность. Результаты свидетельствуют о высокой
эффективности предложенного алгоритма, достигающего решения за меньшее в несколько раз число итераций.
На рис. 3 показаны зависимости коэффициента демпфирования β и относительной ошибки δ от номера итера-
ции Nj для величины поля на поверхности Hτ = 25000 А/м. Характер изменения β и δ различен для различных
программных средств. Однако достижение коэффициентом демпфирования единичного значения (максималь-
ный разгон) осуществляется гораздо раньше в предложенном алгоритме.
Результаты показывают, что предложенный алгоритм обеспечивает более быструю (в 4…5 раз при
данной степени нелинейности) сходимость итерационного алгоритма моделирования поверхностного эффекта в
ферромагнитной среде.
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир. – 1975. – 543 с.
2. Петухов И.С. Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусои-
дальном магнитном потоке // Техн. електродинаміка. – 2013. – № 6. – С. 24–29.
3. Реклейтис Г., Рейвиндран К., Рэгсдел А. Оптимизация в технике: Кн. 1. – M.: Мир. – 1986. – 349 с.
4. Фильц Р.В. Общий алгоритм определения магнитных параметров нелинейных сред // Математиче-
ские методы и физико-механические поля. − 1975. − Вып. 16. − С. 101–106.
УДК 621.3.014.4
ОПТИМІЗАЦІЯ ПРОЦЕСУ ЗБІЖНОСТІ ПЕРІОДИЧНОГО РІШЕННЯ ПРИ МОДЕЛЮВАННІ
НЕЛІНІЙНОГО ПОВЕРХНЕВОГО ЕФЕКТУ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
І.С.Пєтухов, докт.техн.наук
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна. e-mail: igor_petu@mail.ru
Розглянуто проблему підвищення точності моделювання змінного магнітного поля у феромагнітному середо-
вищі методом скінченних елементів шляхом врахування вищих часових гармонік поля та пов’язана з нею про-
блема забезпечення збіжності ітераційного процесу. Описано чисельно-гармонічну модель, а також запропо-
новано алгоритм рішення, заснований на модифікованому методі Ньютона. Для прискорення збіжності алго-
ритм містить процедуру оптимізації коефіцієнта демпфування за методом золотого перетину, а також на-
бір правил, які забезпечують надійність та швидкість збіжності. За умов розв’язання задачі при збудженні
магнітного поля в прямокутній області синусоїдальним струмом запропонований алгоритм показав у кілька
разів кращу збіжність, ніж пакет COMSOL версій 3.1 та 3.5. Бібл. 4, рис. 3.
Ключові слова: феромагнітне середовище, періодичний процес, часові гармоніки, поверхневий ефект, метод
скінченних елементів, метод Ньютона, оптимізація збіжності.
OPTIMIZATION OF CONVERGENCE OF PERIODIC SOLUTION WHEN MODELING OF
NONLINEAR SKIN-EFFECT BY FINITE ELEMENT METHOD
I.S.Petukhov
Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine,
pr. Peremohy, 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine. e-mail: igor_petu@mail.ru
The problem of accuracy modeling of the alternating magnetic field in the ferromagnetic medium by the finite element
method by considering higher time harmonics of the field and the associated problem of ensuring the convergence of
iterative process were considered. The numerically-harmonic model and the proposed solution algorithm based on the
modified Newton's method were described. To accelerate the convergence the proposed algorithm includes the optimi-
zation procedure of damping coefficient by using Golden section method, as well as a set of heuristic rules that ensure
reliability and speed of convergence. When solving the problem on excitation of magnetic field in rectangular domain
with sinusoidal current waveform excitation the proposed algorithm showed convergence in several times better than
the package COMSOL versions 3.1 and 3.5. References 4, figures 3.
Key words: ferromagnetic medium, periodic process, time harmonics, skin-effect, finite element method, Newton's
method, optimization of convergence.
1. Zenkevich O. The finite element method in engineering science. – Moskva: Mir, 1975. – 543 p. (Rus)
2. Petukhov I.S. Numerical simulation of skin effect in ferromagnetic for sinusoidal magnetic flux //
Tekhnichna Elektrodynamika. – 2013. – No 6. – Pp. 24–29. (Rus)
3. Rekleytis G., Reyvindran K., Regsdel A. Engineering optimization. – Moskva: Mir, 1986. – 349 p. (Rus)
4. Filtz R.V. General algorithm of determination of magnetic parameters of nonlinear media // Mathematical
methods and physicomechanical fields. – 1975. – Vypusk 16. – Pp. 101–106. (Rus)
Надійшла 19.02.2016
Остаточний варіант 07.04.2016
|
| id | techned_org_ua-article-845 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:13:00Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/48/fd39a6018c6c26572349cbc5568ad148.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-8452022-12-24T16:12:29Z OPTIMIZATION OF CONVERGENCE OF PERIODIC SOLUTION WHEN MODELING OF NONLINEAR SKIN-EFFECT BY FINITE ELEMENT METHOD ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Петухов, И.С. ferromagnetic medium periodic process time harmonics skin-effect finite element method Newton's method optimization of convergence ферромагнитная среда периодический процесс временные гармоники поверхностный эффект метод конечных элементов метод Ньютона оптимизация сходимости The problem of accuracy modeling of the alternating magnetic field in the ferromagnetic medium by the finite element method by considering higher time harmonics of the field and the associated problem of ensuring the convergence of iterative process were considered. The numerically-harmonic model and the proposed solution algorithm based on the modified Newton's method were described. To accelerate the convergence the proposed algorithm includes the optimization procedure of damping coefficient by using Golden section method, as well as a set of heuristic rules that ensure reliability and speed of convergence. When solving the problem on excitation of magnetic field in rectangular domain with sinusoidal current waveform excitation the proposed algorithm showed convergence in several times better than the package COMSOL versions 3.1 and 3.5. References 4, figures 3. Рассмотрена проблема повышения точности моделирования переменного магнитного поля в ферромагнитной среде методом конечных элементов путем учета высших временных гармоник поля и связаннаяс ней проблема обеспечения сходимости итерационного процесса. Описана численно-гармоническая модель, а также предложенный алгоритм решения, основанный на модифицированном методе Ньютона. Для ускорения сходимости алгоритм включает процедуру оптимизации коэффициента демпфирования методом золотого сечения, а также свод эвристических правил, обеспечивающих надежность и скорость сходимости. При решении задачи о возбуждении магнитного поля в прямоугольной области синусоидальным током предложенный алгоритм показал сходимость в несколько раз лучшую, чем пакет COMSOL версий 3.1 и 3.5. Библ. 4, рис. 3. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2016-06-21 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/845 10.15407/techned2016.04.026 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 4 (2016): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 026 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 4 (2016): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 026 2218-1903 1607-7970 10.15407/techned2016.04 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/845/723 Авторське право (c) 2022 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | ферромагнитная среда периодический процесс временные гармоники поверхностный эффект метод конечных элементов метод Ньютона оптимизация сходимости Петухов, И.С. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
| title | ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
| title_alt | OPTIMIZATION OF CONVERGENCE OF PERIODIC SOLUTION WHEN MODELING OF NONLINEAR SKIN-EFFECT BY FINITE ELEMENT METHOD |
| title_full | ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
| title_fullStr | ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
| title_full_unstemmed | ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
| title_short | ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА СХОДИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
| title_sort | оптимизация процесса сходимости периодического решения при моделировании нелинейного поверхностного эффекта методом конечных элементов |
| topic | ферромагнитная среда периодический процесс временные гармоники поверхностный эффект метод конечных элементов метод Ньютона оптимизация сходимости |
| topic_facet | ferromagnetic medium periodic process time harmonics skin-effect finite element method Newton's method optimization of convergence ферромагнитная среда периодический процесс временные гармоники поверхностный эффект метод конечных элементов метод Ньютона оптимизация сходимости |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/845 |
| work_keys_str_mv | AT petuhovis optimizationofconvergenceofperiodicsolutionwhenmodelingofnonlinearskineffectbyfiniteelementmethod AT petuhovis optimizaciâprocessashodimostiperiodičeskogorešeniâprimodelirovaniinelinejnogopoverhnostnogoéffektametodomkonečnyhélementov |