ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ
The results of the solution of the differential equation which presenting transients in a serial RLC-circuits resistance of its active element is presented by the sum exponential dependences on a time are given. Conditions at which the input equation can be transformed to the equation of Rikkarti ar...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/984 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870203308291915776 |
|---|---|
| author | Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. |
| author_facet | Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н.А. Шидловская",
"institution": "Институт электродинамики НАН Украины, пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина"
},
{
"author": "С.Н. Захарченко",
"institution": "Институт электродинамики НАН Украины, пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина"
}
] |
| author_sort | Шидловская, Н.А. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-04T18:48:47Z |
| description | The results of the solution of the differential equation which presenting transients in a serial RLC-circuits resistance of its active element is presented by the sum exponential dependences on a time are given. Conditions at which the input equation can be transformed to the equation of Rikkarti are discovered. It is shown a basic possibility of deriving of an exact solution of such equation at certain relations between values of its factors. References 6, figures 3. |
| first_indexed | 2026-06-16T01:16:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 2 3
ТЕОРЕТИЧНА ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОФІЗИКА
УДК 621.3.011.72: 621.3.011.732.3
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ
Н.А. Шидловская, член-корреспондент НАН Украины, С.Н. Захарченко, канд.техн.наук
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина.
E-mail: shydlovska@mail.ua, snzakhar@bk.ru
Приведены результаты решения дифференциального уравнения, описывающего переходные процессы в после-
довательной RLC-цепи, сопротивление активного элемента которой представлено суммой экспоненциальных
зависимостей от времени. Найдены условия, при которых исходное уравнение может быть преобразовано к
уравнению Риккарти. Впервые получено частное решение одного из видов уравнения Риккарти. Показана прин-
ципиальная возможность получения точного решения такого уравнения при определенных соотношениях между
значениями его коэффициентов. Библ. 6, рис. 3.
Ключевые слова: параметрическая нагрузка, переходный процесс, уравнение Риккарти.
Введение. Параметрическая зависимость эквивалентного электрического сопротивления гете-
рогенной токопроводящей среды при протекании в ней импульсного тока на примере гранул алюми-
ния в водопроводной воде была рассмотрена в [1]. В [2] методом малого параметра было решено
дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в RLC-цепи с такой нагрузкой, ко-
торое моделирует процессы в выходной цепи генератора импульсов. Целью настоящей работы явля-
ется точное решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в последо-
вательной RLC-цепи для случая представления параметрической зависимости сопротивления суммой
экспонент. Это необходимо для дальнейшего развития теории параметрических цепей в направлении
повышения эффективности анализа и оптимизации переходных электромагнитных процессов в них.
Параметрическая модель нагрузки. В ряде случаев объемную электроэрозионную нагрузку
целесообразно описывать в виде [1]
31 2
3
0 1 2 3
0
a ta t a t
н i
i
R R A e A e A e R−
=
= + + + = ∑ или ( ) ( ) ( )332211
3210
ttattatta eAeAeARR −
∗
−
∗
−−
∗ +++= , (1)
где А1, А2, А3, а1, а2, а3, A1*, A2*, A3* – коэффициенты; R0 – постоянная составляющая сопротивления
нагрузки; 321 ,, RRR – параметрические составляющие нагрузки; t1, t2, t3 – моменты времени, являющие-
ся началом того или иного процесса. Они выбираются из условия троекратного превышения значений
характеристик текущего процесса над остальными. Заметим, что
в действительности все процессы протекают одновременно. Вы-
деление точек 1 2 30, ,t t t= может быть полезным, если при рас-
чете переходных процессов используется метод припасовыва-
ния. Однако во многих случаях не удается выделить эти точки,
поскольку значения характеристик нескольких процессов могут
иметь близкие значения.
На рис. 1 показаны экспериментальная Rэ (обозначена
точками) и аппроксимированная в соответствии с формулой
(1) Rн (сплошная линия) зависимости от времени мгновенного
значения сопротивления слоя гранул алюминия в водопро-
водной воде при их электроэрозионной обработке. На рис. 2
показаны аппроксимирующая зависимость (1) и ее составля-
ющие R0, R1, R2, R3 по отдельности.
При получении экспериментальной зависимости мгно-
венных значений эквивалентного электрического сопротив-
ления гранулированной токопроводящей среды от времени в
© Шидловская Н.А., Захарченко С.Н., 2014
t, мкс
0 20 40 60 80 100 120 140
R, Ом
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
RЭ
RН
Рис. 1
4 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 2
разрядном контуре генератора импульсов, эквивалентная схема
которого на интервале замкнутого ключа показана на рис. 3,
были приняты следующие параметры элементов: емкость раз-
рядного конденсатора C=200 мкФ; индуктивность разрядного
контура Lп=1,8 мкГн; сопротивление шунтирующего резистора
RШ=3 Ом. При этом амплитуда напряжения импульсов на на-
грузке составляла около Um=420 В, а частота их следования
f=0,5 Гц. Используемое оборудование, методика проведения экс-
перимента и параметры слоя гранул описаны в [1]. Для данных
режимов работы значения коэффициентов аппроксимирующей
функции (1) следующие: R0=0,631 Ом, A1=1 Ом, A2=1,523·10–3
Ом, A3=1,885·10–13 Ом, a1=1,1·105 1/с, a2=3,8·104 1/с,
a3=2,3·105 1/с.
Переходные процессы в по-
следовательной RLC-цепи с пара-
метрической нагрузкой. Рассмот-
рим цепь (рис. 3), нагрузка в которой носит параметрический характер и
описывается соотношением (1). Здесь шн ,, iii – токи в цепях разряда, на-
грузки и шунтирующого сопротивления. Дифференциальное уравнение, ха-
рактеризующее процессы в этой цепи, имеет вид [3]
2 2
2
02 2
2 1 1 0н ш н н н н н н н ш
н
н ш п ш п н
R R d i dR R di d R dR R R i
R dt R dt L dt R dt L dt R
⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ +
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ω =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
. (2)
Представим уравнение (2) следующим образом:
( ) ( ) ( )2 2/ / 0н н нf t d i dt g t di dt h t i+ + = ,
(3)
где ( ) ( )31 21
0 1 2 3
a ta t a t
ш шf t R R R A e A e A e−−= + + + + ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }31 2
1
0 1 1 2 2 3 32 2 2 a ta t a t
ш п ш ш п ш п ш пg t R L R R R a L A e R a L A e R a L A e− −= + − + + + + ,
( ) ( ){ ( ) ( ) }31 22 2 2
0 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 1 .a ta t a t
ш п ш п ш п ш
ш п
h t R R a CL a CR A e a CL a CR A e a CL a CR A e
CR L
−= + − + + + + + + +
Т.к. уравнение (3) не удается продифференцировать непосредственно, введем замену переменной
( ) { }exp 0,5 [ ( ) / ( )]нy t i g t f t dt= ∫ (4)
и получим из (2) приведенную или нормальную форму уравнения [4]
( )2 2/ 0d y dt yF t+ = , (5)
где ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
/ 0,25 / 0,5 /F t h t f t g t f t g t f t
′
= − − . (6)
Функция ( )tF называется инвариантом дифференциального уравнения.
Представим коэффициенты а1, а2, а3 в виде: 211 aka = ; 233 aka = и преобразуем (3) к виду
( ) ( )3 21 2 21
0 1 2 3
k a tk a t a t
ш шf t R R R A A e A e−−= + + + + ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3 21 2 2
1
0 1 1 2 2 3 32 2 2 k a tk a t a t
ш п ш ш п ш п ш пg t R L R R R a L A e R a L A e R a L A e− −= + − + + + + , (7)
( ) ( ){ ( ) ( ) }3 21 2 22 2 2
0 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 1 .k a tk a t a t
ш п ш п ш п ш
ш п
h t R R a CL a CR A e a CL a CR A e a CL a CR A e
CR L
−= + − + + + + + + +
В [1, 2] рассмотрены случаи, когда Rн может быть представлено суммой двух экспонент и
постоянной составляющей. Тогда, умножая числитель и знаменатель частных ( ) ( )/g t f t и ( ) ( )/h t f t
на takta ee 211 = , имеем
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ))((
22
2121
2121
1
2ш01п
1
2п2шш01п21ш
taktak
taktak
eAeRRAL
eALaReRRALakR
tf
tg
+
+
+++
+++−
= ; (8)
t, мкс
0 20 40 60 80 100 120 140
R, Ом
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
R0
RН
R1 R2 R3
Рис. 2
Рис. 3
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 2 5
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ))((
1)(1
2121
2121
1
2ш01п
1
2ш2п
2
2ш01ш21п
2
2
2
1
taktak
taktak
eAeRRACL
eACRaCLaeRRACRakCLak
tf
th
+
+
+++
++++++−
= .
Введем замену переменных
2 2
2 2/a t a tx e dx a e dt dt dx a x= ⇒ = ⇒ = , (9)
тогда ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) dx
xAxRRAxaL
xALaRxRRALakRdt
tf
tg
kk
kk
∫∫ +
+
+++
+++−
=
))((
22
1
2ш012п
1
2п2шш01п21ш
1
11
. (10)
Анализ экспериментальных данных показал, что в диапазоне изменения опорных напряжений
от 140 В до 200 В k1 лежит в пределах 0,963÷1,089, и мы можем принять его равным единице. Тогда
отношение ( ) ( )/g t f t становится интегрируемым.
Дискриминант квадратного уравнения в знаменателе
2
21
2
ш0 4)( Δ=−+ AARR (11)
в данном случае больше нуля и лежит в пределах 12,351÷5,13. Таким образом, согласно [5]
( )
( ) ( ) x
La
RAxRRxA
RRxA
RRxA
La
Rdt
tf
tg
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+++++
Δ+++
Δ−++
Δ
−=∫ 2ln2
2
2ln
2 п2
ш
1ш0
2
2
ш02
ш02
п2
2
ш . (12)
Следовательно,
( ) ( )( ) ta
L
R
tataLa
R
ta
ta
eAeRReA
RReA
RReAity
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−Δ
−
⋅+++⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ+++
Δ−++
=
2
п
ш
22
п2
2
ш
2
2 22
1ш0
2
2
4
ш02
ш02
н 2
2 . (13)
Найдем выражение для функции F(t). Учитывая, что
( )
( )
( )( ) ( )( ){ }
22
2ш01п
ш0п2
2
ш12п21
2
2
2
ш0п2
2
ш22
))((
242
22
222
tata
tatata
eAeRRAL
RRLaRAaeLAAaeRRLaRAae
tf
tg
+++
++−+++
=
′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
,
имеем
( ) ( ) ( ) ( ){ }[
( ){ }
( ){ } { } ]
{ } .))((2
48)(42
)(4442
212)(44
22
2ш01п
42
шпшп2
2
2
3
0п2
2
шш0п2
22
ш
2
0
2
ш0п
2
шп
2
п
2
221
0п2
2
шп
2
2ш0п1
2
шп
2
1
22
22
2
2
−
+++⋅×
×−++−+++
+−+++++
++−+++−=
tata
tata
ta
ta
eAeRRALC
eCRLRCLaAeRLaCRRRLA
eRCRRRLCRLCLaAA
eRLaCRCLaRRLACRLAtF
(14)
Уравнение (5) заменой переменных ( )tzyy ⋅=′ преобразуется в уравнение Риккарти [4]
( )2/dz dt z F t+ = − . (15)
Если найдено решение z(t) этого уравнения, то решение уравнения (5) находится из
( ) 1*/
zdt
dy dt y z t C Ae
−∫− ⋅ = , (16)
где С1* − постоянная интегрирования.
Частное решение уравнения (15) удобно представить в виде
2 2
2 2
2
0 1 2
1 2
0 1 2
a t a t
a t a t
D D e D ez
B B e B e
+ +
=
+ +
. (17)
Тогда, учитывая, что
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2
2 3
2 0 1 0 1 2 2 0 0 2 1 2 1 2
1 2 2
0 1 2
2
( )
a t a t a t
a t a t
a B D D B e a D B A e a B D D B e
z
B B e B e
− + − + −
′ =
+ +
,
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 42 2 2
2 0 0 1 1 0 2 1 2 2
1 2 3 42 2 2
0 0 1 1 0 2 1 2 2
2 ( 2 ) 2
2 ( 2 ) 2
a t a t a t a t
a t a t a t a t
D D D e D D D e D D e D ez
B B B e B B B e B B e B e
+ + + + +
=
+ + + + +
,
можем записать
( )( ) ( )
( )( ) { } ( )
2 2
2 2 2 2
22 2 2
1 1 0 2 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 2 1 0 2
23 4 22
2 1 2 1 2 1 2 2 0 1 2
/ 2 (2 2 )
2 .
a t a t
a t a t a t a t
dz dt z D a B D D B D D e a B D D B D D D e
a B D D B D D e D e B B e B e F t
−
⎡+ = + − + + − + + +⎣
⎤+ − + + × + + = −⎦
(18)
6 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 2
Таким образом, решая систему уравнений
( )п2
ш
2
1
2
0 4LCRAD −= ;
( ) ( ) ( ){ }0п2
2
шп
2
2ш0п11010102 212)(42 RLaCRCLaRRLADDBDDBa ++++−=+− ;
( ) ( ) 2
ш
2
0
2
ш0п
2
шп
2
п
2
22120
2
120202 )(444222 RCRRRLCRLCLaAADDDBDDBa ++−++−=++− ;
( ) ( ){ }0п2
2
шш0п22121212 )(422 RLaCRRRLADDBDDBa −++−=+− ;
{ }пшп2
2
ш
2
2
2
2 48 LRCLaCRAD −−= ; (19)
п10 2 LCAB = ; )(2 ш0п1 RRLCB += ; п22 2 LCAB = ,
можем найти соответствующие коэффициенты для частного решения (17). Заметим, что частное ре-
шение такого вида для уравнения (15) ранее в литературе не встречалось.
Пользуясь свойством уравнения Риккарти [4], его общее решение будем искать в виде
( ) ( ) ( )( ) 1
1z t z t t
−
= + χ . (20)
Подставив (20) в уравнение (15), получим
1/ 2 1d dt zχ − χ = . (21)
Представим χ(t) в виде произведения двух функций n(t)×m(t) и перепишем последнее уравнение так:
( )12 1m n m n z n′ ′+ − = . (22)
Согласно методу решения дифференциального уравнения при помощи подстановки Бернулли
[4] положим 12 0n z n′ − = и преобразуем уравнение (22) в систему
{ 12 ;
1.
n z n
m n
′ =
′ = (23)
Решением первого уравнения системы (23) будет
( )
1
1
2
2ln 2
z x
n z dt dx
a x
= =∫ ∫ . (24)
Здесь замена независимой переменной происходит в соответствии с (9).
Таким образом,
( )
( )( )
( )( ) .
22
22
2
02
п212
0221
22
2
п212
0221ш0121
2
2
1ш0
2
2
4
2
пш02
пш02
t
A
Da
LCAAa
DADA
tata
CLAAa
DADARRDAA
xa
xa
eAeRReA
CLRReA
CLRReAtn
⋅+++×
×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ+++
Δ−++
=
−
Δ
−+−
(25)
В соответствии с (23),
dm dt n= , (26)
и, следовательно, ( ) 1
m n t dt C
−
∗= ⎡ ⎤ +⎣ ⎦∫ , (27)
где С* – постоянная интегрирования.
Выражения (25) и (27) можно записать следующим образом:
1 12 2;z dt z dtn e m e dt C−
∗
∫ ∫= = +∫ . (28)
Тогда { }1 12 2z dt z dtm n e e dt C−
∗
∫ ∫χ = ⋅ = +∫ . (29)
Заметим, что в выражениях для n, m и χ многое зависит от интегрируемости функций z1(t) и
n(t), что, в свою очередь, определяется параметрами элементов цепи и напряжением на нагрузке.
Следует отметить также, что вид решения z1(t) определяется видом F1(t), который зависит от выбора
функции, аппроксимирующей зависимость сопротивления нагрузки от времени. Для нахождения ре-
шения исходного дифференциального уравнения (3) необходимо вышеприведенные замены перемен-
ных произвести в обратном порядке.
Возможен также другой подход к нахождению решения уравнения (15). Коэффициент 1D на-
ходим, решая квадратное уравнение
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 2 7
( ){ }
{ ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) }
2
1 1 2 1 2 1 2 2
2 1 0 2 2 0 1 2
2
0 2 1 1 2 0 1 2 0 2 2 0 1 2
2 2
1 2 2 0
2 4 8 4
2 4 2 8 4
4 2 2 2
8 1 0
2 2
п ш п ш п ш п
2 2
п ш ш п ш ш п ш п
2
п ш п ш ш п п
2
п п ш
D D a CL A A A CR L A CR a CL R L
a CL A R R A CR L A R R A CR a CL R L
L R R a A CL A A R R CR A a L R A a L R A A
A A L a CL CR R
+ − + − + − − +
⎡ ⎤+ + + − + + + − − +⎣ ⎦
+ + + − − − − ⎡ + − − − ⎤ +⎣ ⎦
+ + − = .
(30)
Если уравнение (30) имеет два корня, получаем два частных решения уравнения (15) z1 и z2. При
этом, если удается найти еще одно независимое частное решение уравнения (15) – z3, для нахождения его
общего решения можно применить метод нахождения общего решения по трем частным решениям [6].
Воспользуемся предложенным алгоритмом решения дифференциального уравнения с пере-
менными коэффициентами для анализа процессов в цепи рис. 3 со следующими параметрами:
42 10 ФC −= ⋅ , 6
п 2 10 ГнL −= ⋅ , ш 3 ОмR = и значением опорного напряжения 140 В. При этом будем
аппроксимировать нагрузку суммой двух экспонент и постоянной составляющей с коэффициентами
аппроксимации: 0 3,11ОмR = ; 1 25,52 ОмА = ;
4
1 1,07 10а −= ⋅ 1/с; 3
2 1,75 10 ОмА −= ⋅ ; 4
2 1,11 10а −= ⋅ 1/с.
Погрешность от приравнивания коэффициентов 21 аа ≈ составляет 3,(603)%, поэтому отношение
( ) / ( )g t f t (8) становится интегрируемым. Из выражений (19) находим коэффициенты частного ре-
шения уравнения Риккарти (17) 0 1,08D = ; 2
1 12,96 10D −= ⋅ ; 5
2 6,71 10D −= ⋅ ; 10
0 1,44 10B −= ⋅ ;
9
1 3,45 10B −= ⋅ ; 11
2 9,87 10B −= ⋅ .
Для удобства вычислений перепишем формулу (25) в виде
( )
0 2 1 1 0 2 2 0
00 2 2 02 2 0 2 02 2 2 0 2
2
2 ( ) 2
2 22 1
0 1 2
2 1
2( ) .
2
B B D B B D B D DB D B Da t a B B Ba t a t a B B
a t
B e Bn t B B e B e e
B e B
− +
−Δ⎧ ⎫+ − Δ⎪ ⎪= ⋅ + + ⋅⎨ ⎬
+ + Δ⎪ ⎪⎩ ⎭
(31)
Подставляя в (31) значения соответствующих коэффициентов и выполняя алгебраические
преобразования, получим
( )2
2 2 2
2
30,62
6,372 122,4910 9 114,05( ) 1,44 10 3,45 10 9,87 10 .
3487,34
a t
a t a t a t
a t
en t e e e
e
−
−− − −⎧ ⎫+⎪ ⎪= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎨ ⎬
+⎪ ⎪⎩ ⎭
(32)
Поскольку второй член произведения представляет квадратный трехчлен относительно 2 ,a te
найдем его корни и перепишем в виде
( )( )2 2 2 22
0 1 2 4,18 3487,21a t a t a t a tB B e B e e e+ + = + + . (33)
Оценим погрешность от замены корней уравнения (33) коэффициентами первого сомно-
жителя выражения (32) 1 4,05k = ; 2 3487,21k = . Первый корень составляет 103,2% от 1k , а второй –
99,99% от 2k . Таким образом мы можем переписать выражение (32) следующим образом :
( ) ( )2 2 2
36,99 24,25 122,49
1 2( ) a t a t a tn t e k e k e
−
= + + . (34)
Погрешности округления значений коэффициентов степеней в
формуле (34) до ближайшего целого числа составляют 0,03%, 0,09% и
0,4% соответственно. Несмотря на то, что соотношение (34) значи-
тельно проще выражения (32), нахождение неопределенного интеграла
(27) весьма затруднительно. Поэтому оценим значение tae 2 в различ-
ные моменты времени, помня, что длительность процесса при задан-
ных характеристиках цепи не превышает 200 мкс. Соответствующие
значения приведены в таблице.
Из таблицы видно, что даже при 42 10t −= ⋅ значения tae 2 не превышает 0,26% от 2k , что
позволяет переписать (34) в виде (с учетом округления степеней показателей)
( ) .k)( 22 12237
1
24
2
tata eektn −−
+=
Для нахождения интеграла (27) воспользуемся выражением [5]
t, c
2a t tae 2 k
42 10−⋅ 2,22 9,2 14
41 10−⋅ 1,11 3,03 21
51 10−⋅ 0,111 1,12 35
61 10−⋅ 0,0111 1,01 37
8 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 2
( ) knk
n
k
n
n axkxa −
=
⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=+ ∑
0
, (35)
где ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ n
k или ( )k
nC – биномиальный коэффициент. Значения биномиальных коэффициентов могут
быть последовательно определенны из так называемого треугольника Паскаля [6].
Для ( )m t можем записать
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
22 2
2
37 3737 12212224 24 37-
2 1 2 1
037-37 37 12224 1
2
0 2
.
122
k a ta t a t k
kk
k a t
k
dtm t k e k e dt k k k e dt
n t
kk k e
k a
− −−−
=
−−
=
⎛ ⎞
= = + = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ −⎝ ⎠
∑∫ ∫ ∫
∑
(36)
Заметим, что, поскольку уравнение (2) имеет второй порядок, его решение содержит две по-
стоянные интегрирования, которые появляются далее. Поэтому выражение (36) не содержит посто-
янной интегрирования. Тогда
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2
373737 122 12224 24 1
2 1 2
0 2373737 1
1
0 2
122
.
122
ka tkn
a t a t a t
kka tkn
a t
k
k et n t m t k e k e k k e
k a
k ee k k
k a
−− −−
=
−−
=
⎛ ⎞
χ = ⋅ = + ⋅ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + ⋅ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠
∑
∑
(37)
Сомножитель в выражении (36), находящийся под знаком суммы, отличается от соответству-
ющего в выражении (35) наличием весового коэффициента в знаменателе.
Проанализируем возможность замены
( )
( )22
37
3737 11
0 2 2122
a tka tkn
k
e kk ek
k a a M
−
=
+⎛ ⎞
≈ −⎜ ⎟ −⎝ ⎠
∑ , (38)
где M – некоторое особым образом выбранное положительное число. Заметим также, что, поскольку
знаменатель под знаком суммы имеет отрицательное значение, при замене появляется знак “–”.
Погрешность замены (38) определяется величиной
( )
23737
1
0 122
ka tkn
k
k ek
k M
−
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟ − +⎝ ⎠
∑ . При этом слагаемые
под знаком суммы принимают как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от
того, больше или меньше M относительно 122k − . Кроме того, каждая из разностей в знаменателе
имеет разный весовой коэффициент в числителе. Поскольку значение 1k в рассматриваемом случае
превышает “e”, оценим, при каких значениях k величины kk −37
1 и tkae 2 становятся равными друг
другу. Для этого решим алгебраическое уравнение ( ) ( ) 237 ln 4,05k xa t− = . Значения k , округленные
до ближайшего целого числа, для различных моментов времени приведены в таблице, упомянутой
выше, из которой видно, что для минимизации абсолютной погрешности, возникающей при замене
(38) в диапазоне длительности входного импульса, необходимо выбрать M из значений ( )122k − при
21k ≤ . В рассматриваемом случае 112M = и равно среднему арифметическому 122k − при измене-
нии k то 0 до 21. Таким образом, выполняя соответствующую замену, можем записать
( ) 1
2( )t a M −χ = − . (39)
Тогда решением уравнения Риккарти (15) будет
( )
2 2
2 2
2
0 1 2
22
0 1 2
a t a t
a t a t
D D e D e
z t a M
B B e B e
+ +
= −
+ +
. (40)
Зная соотношение (40), можем найти решение уравнения (16) [4]
( ) ( ) ( )*2*1 CtCety
dttz
+∫= , (41)
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 2 9
где *2C – постоянная интегрирования. Интегрируя выражение (40), окончательно получим
( ) ( )
0 2 1 1 0 2 2 0
00 2 2 02 22 0 2
02 2 2 0 2
2
2 ( )
2
2
21
0 1 2 1* 2*
2
B B D B B D B D
DB D B Da t M a ta B B Ba t a t a B B
a t
e ky B B e B e e C t C
e k
− +
⎛ ⎞− −⎜ ⎟Δ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎧ ⎫+
= ⋅ + + ⋅ +⎨ ⎬
+⎩ ⎭
. (42)
Для нахождения нi из выражения (4), представляя соотношение (8) в виде
( )
( ) tata
tata
eBeBB
eMeMM
tf
tg
22
22
2
210
2
210
++
++
= , (43)
где ( )0 1 ш 2 п2 2M A C R a L= − ; 1 0 ш2M CR R= ; ( )2 1 ш 2 п2 2M A C R a L= + , (44)
и, проводя необходимые математические преобразования, получим
( ) ( )
1
2
2
3 22 2
2
21
н 0 1 2 1* 2*
2
a t
a ta t a t
a t
e ki B B e B e e C t C
e k
φ
φ φ⎧ ⎫+
= ⋅ + + ⋅ +⎨ ⎬
+⎩ ⎭
, (45)
где
( ) ( ) ( )0 2 1 1 0 1 2 2 1 2 0 0
1
2 0 2
2 2 2 2
4
B B D M B B D M B B D M
a B B
− − − − −
φ =
Δ
;
( ) ( )0 2 2 2 0 0
2
2 0 2
2 2
4
B D M B D M
a B B
− − −
φ = ; 0 0
3
2 0
2
2
D M
M
a B
−
φ = − .
Перепишем соотношение (45) с учетом принятых ранее допущений
( ) ( )*2*112н
2321221 CtCekeki tata ++=
++− φφφφφ (46)
и найдем производную нi
( ) ( ) ( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
+=
++−
*1*2*13
1
21
212 2
2
2321221 CCtC
ke
eaekek
dt
di
ta
ta
tata φ
φφφφφφφ
. (47)
Для нахождения постоянных интегрирования сформулируем начальные условия
0
0
=
=t
i ; 0
0н =
=t
i ; 0 00/ /tdi dt U L= = − . (48)
где 0U – напряжение на конденсаторе в начальный момент времени.
Найдем начальные условия для
dt
diн , исходя из выражений (48)
0 ш 1 2 0н н н н н н
ш ш ш п0 0 0 0 0
.
t t t t t
R R A А Udi R di i dR didi
dt dt R dt R dt R dt L= = = = =
+ + +
= + + = = − (49)
Для постоянных интегрирования имеем
( )
( )21ш0п
8
2
6
1ш0
*1
1
АARRL
kkRUC
+++
+
−= ; 2* 0.C = (50)
Округлим до ближайших целых чисел сумму и разность 1φ и 2φ (погрешность составит 3% и
6% соответственно) и запишем окончательное выражение для нi
( )
( ) ( )2 2
6
60 ш 1 111
н 1
п 0 ш 1 2
1
.a t a tU R k t
i e k e
L R R A А
− −+ ⋅
= − +
+ + +
(51)
Вид соотношения (51) похож на выражение для тока в цепи разряда конденсатора в предель-
ном случае критического затухания [3], что соответствует реальному положению вещей, поскольку
из-за сложности процессов апериодический разряд не стремится асимптотически к нулю, а стано-
вится равным ему.
Выводы. Показана принципиальная возможность нахождения точного решения дифференци-
ального уравнения, описывающего процессы в цепи рис. 3 с параметрической нагрузкой вида (1). На
этапе аналитического решения методическая погрешность отсутствует, поэтому общая погрешность
такого подхода определяется погрешностями измерения, аппроксимации и округления в результате
10 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. №
2
вычислений. К недостаткам подхода следует отнести значительную громоздкость и эвринистичность
при нахождении z1(t).
1. Захарченко С.Н., Шидловская Н.А. Моделирование сопротивления гранулированных токопроводя-
щих сред параметрическими зависимостями // Электронное моделирование. – 2012. – Т. 34. – №5. – С. 91–102.
2. Шидловская Н.А., Захарченко С.Н. Моделирование процессов в цепи разряда конденсатора на искро-
эрозионную нагрузку // Электронное моделирование. – 2012. – Т. 34. – №6. – С. 73–81.
3. Поливанов К.М. Физические основы электротехники. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1950. – 558 с.
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1965. – 704 с.
5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматгиз,
1962. – 1100 с.
6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: Наука, 1981. – 720 с.
УДК 621.3.011.72: 621.3.011.732.3
ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В RLC-КОЛАХ З ПАРАМЕТРИЧНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ
Н.А. Шидловська, чл.-кор. НАН України, С.М. Захарченко, канд.техн.наук
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна,
E-mail: shydlovska@mail.ua, snzakhar@bk.ru
Наведено результати розв’язку диференціального рівняння, що описує перехідні процеси в послідовному RLC-
колі, опір активного елементу якого представлено у вигляді суми експоненціальних залежностей від часу.
Знайдено умови, за яких вихідне рівняння може бути перетворено до рівняння Ріккарті. Вперше отримано
частинний розв’язок одного з видів рівняння Ріккарті. Показано принципову можливість отримання точного
розв’язку такого рівняння при певних співвідношеннях між значеннями його коефіцієнтів. Бібл. 6, рис. 3.
Ключові слова: параметричне навантаження, перехідний процес, рівняння Ріккарті.
TRANSIENTS IN RLC-CIRCUITS WITH A PARAMETRIC LOADING
N.A. Shydlovska, S.М. Zakharchenko
Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine,
Peremohy pr., 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine,
E-mail: shydlovska@mail.ua, snzakhar@bk.ru
The results of the solution of the differential equation which presenting transients in a serial RLC-circuits resistance of
its active element is presented by the sum exponential dependences on a time are given. Conditions at which the input
equation can be transformed to the equation of Rikkarti are discovered. It is shown a basic possibility of deriving of an
exact solution of such equation at certain relations between values of its factors. References 6, figures 3.
Key words: parametrical loading, transients, the equation of Rikkarti.
1. Zakharchenko S.N., Shidlovskaia N.A. Modeling of resistance of the granulated current-carrying medium by
parametrical dependences // Elektronnoe modelirovanie. – 2012. – Vol. 34. – №5. – Pр. 91–102. (Rus)
2. Shidlovskaia N.A., Zakharchenko S.N. Modeling of the processes in a circuit of the discharge of the
capacitor on a spark-erosion loading // Elektronnoe modelirovanie. – 2012. – Vol. 34. – №6. – Pр. 73–81. (Rus)
3. Polivanov K.M. Physical bases of the electrical engineering. – Moskva-Leningrad: Gosenergoizdat, 1950. –
558 p.
4. Kamke E. Reference Book on Ordinary Differential Equations. – Мoskva: Nauka, 1965. – 704 p.
5. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Sums, Series and Products. – Мoskva: Fismatgiz, 1962. –
1100 p.
6. Bronshtein I.N., Semendiaev K.A. Reference book on mathematics. – Moskva: Nauka, 1981. – 720 p.
Надійшла 07.08.2013
Остаточний варіант 05.12.2013
|
| id | techned_org_ua-article-984 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:16:27Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/64/816d42e0a924479ca0cac62c5292dd64.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-9842023-01-04T18:48:47Z TRANSIENTS IN RLC-CIRCUITS WITH A PARAMETRIC LOADING ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. parametrical loading transients the equation of Rikkarti параметрическая нагрузка переходный процесс уравнение Риккарти The results of the solution of the differential equation which presenting transients in a serial RLC-circuits resistance of its active element is presented by the sum exponential dependences on a time are given. Conditions at which the input equation can be transformed to the equation of Rikkarti are discovered. It is shown a basic possibility of deriving of an exact solution of such equation at certain relations between values of its factors. References 6, figures 3. Приведены результаты решения дифференциального уравнения, описывающего переходные процессы в последовательной RLC-цепи, сопротивление активного элемента которой представлено суммой экспоненциальных зависимостей от времени. Найдены условия, при которых исходное уравнение может быть преобразовано к уравнению Риккарти. Впервые получено частное решение одного из видов уравнения Риккарти. Показана принципиальная возможность получения точного решения такого уравнения при определенных соотношениях между значениями его коэффициентов. Библ. 6, рис. 3. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2014-02-25 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/984 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 2 (2014): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 003 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 2 (2014): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 003 2218-1903 1607-7970 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/984/860 Авторське право (c) 2023 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | параметрическая нагрузка переходный процесс уравнение Риккарти Шидловская, Н.А. Захарченко, С.Н. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ |
| title | ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ |
| title_alt | TRANSIENTS IN RLC-CIRCUITS WITH A PARAMETRIC LOADING |
| title_full | ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ |
| title_fullStr | ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ |
| title_full_unstemmed | ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ |
| title_short | ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RLC-ЦЕПЯХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ |
| title_sort | переходные процессы в rlc-цепях с параметрической нагрузкой |
| topic | параметрическая нагрузка переходный процесс уравнение Риккарти |
| topic_facet | parametrical loading transients the equation of Rikkarti параметрическая нагрузка переходный процесс уравнение Риккарти |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/984 |
| work_keys_str_mv | AT šidlovskaâna transientsinrlccircuitswithaparametricloading AT zaharčenkosn transientsinrlccircuitswithaparametricloading AT šidlovskaâna perehodnyeprocessyvrlccepâhsparametričeskojnagruzkoj AT zaharčenkosn perehodnyeprocessyvrlccepâhsparametričeskojnagruzkoj |