МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
A vector hysteresis model for the symmetric magnetization cycle, based on a combination of fractional rational functions was proposed. The model explicitly expresses dependences of field strength from induction. The model is intended to be used with finite element method and represents the influence...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України, Київ
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/988 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Technical Electrodynamics |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Technical Electrodynamics| _version_ | 1870203314300256256 |
|---|---|
| author | Петухов, И.С. |
| author_facet | Петухов, И.С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "И.С. Петухов",
"institution": "Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ, 03057, Україна"
}
] |
| author_sort | Петухов, И.С. |
| baseUrl_str | https://techned.org.ua/index.php/techned/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-04T14:44:23Z |
| description | A vector hysteresis model for the symmetric magnetization cycle, based on a combination of fractional rational functions was proposed. The model explicitly expresses dependences of field strength from induction. The model is intended to be used with finite element method and represents the influence of the saturation of ferromagnetic on the magnitude of the magnetic field and its wave form in two orthogonal directions. The dependence of losses on the magnetic induction under condition of rotational magnetization is in good agreement with known experimental data. References 17, figures 5. |
| first_indexed | 2026-06-16T01:16:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
28 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 1
УДК 530.152.15
МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
И.С.Петухов, канд.техн.наук
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина.
e-mail: igor_petu@mail.ru
Предложена модель векторного гистерезиса для симметричного цикла перемагничивания ферромагнетика, ос-
нованная на комбинации дробно-рациональных функций и явно выражающая зависимость напряженности маг-
нитного поля от индукции на периоде изменения поля. Модель ориентирована на применение в методе конечных
элементов и отражает влияние насыщения ферромагнетика на величину и характер изменения поля по двум ор-
тогональным направлениям. Характер зависимости потерь от величины магнитной индукции при вращатель-
ном перемагничивании хорошо согласуется с известными экспериментальными данными. Библ. 17, рис. 5.
Ключевые слова: векторный гистерезис, периодическое электромагнитное поле.
Введение. Моделирование явления гистерезиса представляет собой одну из самых сложных
задач при создании расчетных алгоритмов, направленных на исследование и проектирование элек-
тромагнитных устройств, в конструкции которых присутствуют ферромагнитные элементы. Особен-
но важным становится учет гистерезиса в магнитотвердых ферромагнетиках, находящихся в пере-
менном магнитном поле. Трудности моделирования возрастают в случае, когда в ферромагнитной
среде наблюдается наложение явлений гистерезиса и вихревых токов. Эти трудности обусловлены, в
первую очередь, нелинейностью и неоднозначностью характеристики намагничивания ферромагнит-
ной среды в переменном магнитном поле. Отмеченные особенности обуславливают появление боль-
шого числа публикаций, посвященных рассматриваемой тематике [3,9,12,16,17]. Причем, поток пуб-
ликаций, начавшийся в прошлом веке, не ослабевает и в настоящее время. Особо следует отметить
работы, направленные не просто на моделирование процесса гистерезиса в знакопеременном магнит-
ном поле, но и на внедрение разработанных моделей в программные средства для расчета электро-
магнитных полей методом конечных элементов (МКЭ) [8].
Можно выделить несколько направлений в моделировании явления гистерезиса. Это создание
моделей: 1) учитывающих эквивалентное совместное влияние вихревых токов и гистерезиса; 2) раз-
деляющих эти два явления и учитывающих их по отдельности; 3) учитывающих магнитную вязкость
различной природы, которая влияет на характеристики процесса проявления гистерезиса. Первое на-
правление, которое следует отнести к методам приближенного учета рассматриваемого явления в
сосредоточенных элементах электрической цепи, не может быть признано пригодным для решения
полевых задач.
Раздельное моделирование одновременно существующих вихревых токов, гистерезиса и маг-
нитной вязкости провести весьма сложно. Так, влияние вихревых токов на характеристики процесса, в
частности потери, зависит от квадрата частоты, и приводит к перераспределению магнитной индукции
по сечению ферромагнетика. Статический гистерезис и магнитная вязкость не приводят к перераспре-
делению поля внутри ферромагнетика и потери, вызванные ними, зависят от первой степени частоты
поля [2]. То есть, три указанных фактора имеют различное проявление, что затрудняет учет их в одной
математической модели. Ситуация упрощается при моделировании периодического электромагнитного
поля низкой частоты, поскольку в этом случае можно пренебречь магнитной вязкостью [2].
В работе [6] для учета несинусоидального характера изменения электромагнитного поля во
времени предложен метод временных гармоник (далее МВГ), который используется для получения с
помощью МКЭ периодического решения во временной области в виде тригонометрического полино-
ма, и показано увеличение точности расчетов при его использовании для моделирования поверхност-
ного эффекта в ферромагнитной среде. Однако, для реализации метода требуется включить в вычис-
лительный алгоритм некоторую модель векторного гистерезиса для определения зависимости напря-
женности поля Н от индукции В.
Среди математических моделей гистерезиса можно выделить следующие основные модели:
Прейсаха (Preisaсh) [14] и ее многочисленные модификации [13], Стонера-Вольфарта (Stoner-
© Петухов И.С., 2014
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 1 29
Wohlfarth) [15] и модель Джайлса-Атертона (Jiles-Atherton) [11]. Модель Прейсаха является стохасти-
ческой моделью и при численной реализации требует вычисления многомерных интегралов от нели-
нейных функций [13]. Вторая из упомянутых моделей, хотя и построена на основе физических анало-
гий, с точки зрения вычислительных затрат обладает тем же недостатком ввиду необходимости ин-
тегрирования нелинейных функций. В основе модели Джайлса-Атертона лежит нелинейное диффе-
ренциальное уравнение относительно вектора намагниченности М и вектора напряженности поля Н,
которое решается итерационным методом. Этот факт также является неблагоприятным для построе-
ния производительного алгоритма, поскольку сам алгоритм решения уравнений МКЭ предусматри-
вает итерационный процесс. Кроме того, имеется еще трудность перехода от вектора намагниченнос-
ти к вектору магнитной индукции. В этих случаях задача формулируется в терминах векторного маг-
нитного потенциала. Вышесказанное свидетельствует о необходимости построения математической
модели гистерезиса, лишенной отмеченных недостатков и пригодной для внедрения в алгоритм МВГ,
что и является целью настоящей работы.
Математическая модель. В методе временных гармоник при формировании системы нели-
нейных уравнений на сетке конечных элементов производится интегрирование по временному пе-
риоду вектора невязки [6]. Требуется, чтобы математическая модель локального процесса перемагни-
чивания обладала следующими свойствами:
1. Давала явную зависимость напряженности поля от индукции.
2. Обеспечивала достаточное приближение закономерностей изменения векторов в случае
знакопеременного и вращающегося полей.
3. Правильно отражала интегральные характеристики реальных ферромагнетиков – зависимо-
сти потерь от интенсивности поля в предельных и промежуточных случаях.
Одна из простейших моделей, удовлетворяющих первым двум требованиям, была предложе-
на еще в 1913 году Аркадьевым [1]. Она основывалась на введенном понятии комплексной магнит-
ной проницаемости. Это нововведение позволяло просто задать отставание вектора магнитной ин-
дукции от вектора напряженности магнитного поля. Пусть в ферромагнетике возбуждается синусои-
дальное магнитное поле Bmsin(ωt). Тогда, обозначив активную (вызывающую потери) и реактивную
составляющие удельного магнитного сопротивления (величина обратная магнитной проницаемости
µ) соответственно νR , νX, получим следующее выражение для напряженности поля H
co s s inR m X mH B t B t= ν ω + ν ω (1)
или в комплексном виде [1]
μ&&& BH = . (2)
Хотя выражение (2) и более компактно, чем (1), в дальнейшем, тем не менее, будем пользо-
ваться действительным представлением вида (1) и для представления зависимостей векторов поля от
времени. Рассмотрим годограф вектора Н в координатах (Н, В), показанный на рис. 1. Как видно, ак-
тивная составляющая νR равна половине отрезка ba, охватываемого эллипсом на оси абсцисс,
mRa Bb ν2= . (2)
Реактивная составляющая удельного магнитного сопротивления νX определяет угол наклона
кривой намагничивания αm к вертикальной оси
tgX mv = α . (3)
Рассмотренное представление процесса перемаг-
ничивания в соответствии с выражениями (1) или (2) дав-
но используется для замены петли гистерезиса эквива-
лентным эллипсом при расчете потерь, вызываемых этим
явлением [5]. Эта модель может быть также использована
при задании временной зависимости магнитной индукции
в виде тригонометрического полинома, что требуется в
МВГ. В соответствии с этим методом [6] изображение
(приближенное значение) всех переменных величин пред-
ставляется тригонометрическим полиномом. В частности
величина вектора магнитной индукции B~ определяется
выражением
-2 -1 0 1 2
x 10-4
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
ab
mα
B, o.e.
H × 10 -3, o.e.
Рис. 1
30 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 1
co s s inck sk
k
B B k t B k t= ω + ω∑% . (4)
Тогда зависимость составляющей напряженности магнитного поля по оси х, выраженная через
составляющие удельного магнитного сопротивления, аналогично (1) может быть представлена в виде
/x R x x X x xH B d B d t= ν − ν% % . (5)
Здесь производная по времени может быть записана явно и употреблена для аналогии с элек-
трической цепью.
Эквивалентный эллипс (рис. 1) хотя и может приближенно отразить наличие потерь на пере-
магничивание ферромагнетика, но в нем отсутствует учет влияния насыщения ферромагнетика. Кро-
ме того, модель, основанная на понятии комплексной магнитной проницаемости, не учитывает влия-
ние векторного характера процесса перемагничивания из-за влияния явления насыщения ферромаг-
нетика на процессы во взаимно перпендикулярных направлениях.
Ниже предложена феноменологическая модель перемагничивания с использованием идеи,
лежащей в основе понятия комплексной магнитной проницаемости, учитывающая влияние насыще-
ния как при знакопеременном, так и при вращающемся характере поля. Модель представлена в отно-
сительных единицах. Это сделано с той целью, чтобы коэффициенты, входящие в выражения, имели
значения близкие к единице и облегчали понимание сущности рассматриваемого явления. Вопросы
идентификации параметров в работе не рассматриваются, и основное внимание будет уделено каче-
ственному отражению параметров и характеристик, получаемых в результате моделирования.
Первым, что следует учесть в модели гистерезиса (1), является зависимость удельного маг-
нитного сопротивления ферромагнетика от величины магнитной индукции. При больших индукциях,
когда железо насыщено, удельное магнитное сопротивление велико и почти постоянно. При сниже-
нии индукции от 2 до 1 Тл магнитное сопротивление многократно уменьшается, но при дальнейшем
снижении индукции его значение стабилизируется и остается практически постоянным. При очень
малых значениях индукции магнитное сопротивление вновь возрастает, что соответствует, так назы-
ваемой, «начальной магнитной проницаемости» [5]. Однако этот участок незначительно влияет на
процессы при сильных магнитных полях, в связи с чем на данном этапе откажемся от его рассмотре-
ния. Тогда, обозначив удельное магнитное сопротивление в конце рассматриваемого насыщенного
участка νs, а на начальном участке – νm, для зависимости реактивной составляющей удельного маг-
нитного сопротивления в выражении (1) от мгновенного значения магнитной индукции В можно за-
писать следующее дробно-рациональное выражение:
m
s
ms
sX BB
Bv
)/(1
)(
+
−
−=
ννν , (6)
где величина Вs соответствует «точке перегиба» кривой намагничивания и, как несложно видеть, со-
ответствует среднему значению удельных магнитных сопротивлений на обоих участках; показатель
степени m определяет «крутизну» кривой при переходе от начального участка к насыщенному. Зави-
симость (6) представлена графически на рис. 2. Следует
отметить, что значение удельного магнитного сопротив-
ления на начальном участке νm практически соответствует
наклону кривой намагничивания H(B), в то время как «на-
сыщенное» значение νs есть отношение Н/В и поэтому со-
ответствующий участок кривой (рис. 2), строго говоря, не
является прямым. Этой не вполне физичной особенностью
функции (6) будем пренебрегать, поскольку, как показы-
вают расчеты, влияние рассматриваемого участка невели-
ко в интересующем нас диапазоне величины магнитной
индукции. Отметим также, что численные значения мак-
симального и минимального значений функции νX отли-
чаются в 10 раз и взяты лишь для иллюстрации. В дейст-
вительности эти значения могут отличаться в 100 и более
раз, особенно для магнитомягких материалов.
Введение функции (6) в выражение (1) или (5) позволяет исказить эллипс перемагничивания
(рис. 1) и придать ему вид петли с начальным участком и участком насыщения. Однако этого недос-
таточно и требуется также задать зависимость активной составляющей удельного магнитного сопро-
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B, o.e.
Xν
Рис. 2
sνmν
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 1 31
тивления νR от магнитной индукции. При низких мгновенных значениях индукции на пересечении с
осью абсцисс ширина петли растет, что видно из формул (1), (2) и рис. 1. Однако при возрастании ин-
дукции ширина петли стабилизируется [2,5]. То есть, аппроксимирующая функция должна компенси-
ровать влияние роста индукции, пропорционально уменьшая при этом активную составляющую
удельного магнитного сопротивления. Оставаясь в множестве дробно-рациональных функций, можно
выразить эту зависимость формулой, аналогичной (6)
1
0 1 ( / )m
R R mx sB B
−
⎡ ⎤ν = ν +⎣ ⎦ , (7)
где νR0 – значение активной составляющей удельного магнитного сопротивления при малых индукциях.
На рис. 3 показано семейство петель перемаг-
ничивания в знакопеременном поле, построенных с
использованием соотношений (5)–(7) при синусои-
дальном изменении индукции. В рассматриваемом
случае амплитуда индукции изменялась с равным
шагом от 0 до 2,2 о.е. На этом же рисунке приведен
угол αs, определяющий насыщенное значение νs в со-
ответствии с формулой
tgs sv ≈ α . (8)
Важно также отметить, что относительные чис-
ленные значения индукции на графике (рис. 3) близки к
таковым в физических величинах (Тл), но не тождест-
венны им. Поэтому, как указывалось ранее, для каждого
конкретного ферромагнитного материала необходимо
проводить идентификацию параметров математической
модели, сопровождающуюся масштабированием.
Дальнейшее усложнение предлагаемой модели гистерезиса связано со взаимодействием двух
ортогональных полей, имеющих различные фазы и образующих, вследствие этого, вращающееся маг-
нитное поле. Гистерезис при таком характере поля принято называть векторным [13]. В этом направ-
лении, как указано во введении, проводится большое число исследований и в настоящее время. В
первую очередь, представляют интерес работы, в которых приведены результаты исследования про-
странственного поведения векторов поля и сравнительная характеристика потерь от гистерезиса при
вращающемся и знакопеременном полях. Анализ теоретических и экспериментальных результатов в
работах [7,8,13] позволяет получить представление об интересующих особенностях процесса вектор-
ного гистерезиса. В частности, одной из важнейших особенностей гистерезиса при вращающемся
магнитном поле является зависимость потерь от амплитуды магнитной индукции. На основании ре-
зультатов вышеупомянутых работ можно сформулировать особенности математической модели, от-
вечающей за учет влияния двух ортогональных полей при наличии насыщения ферромагнетика. А
именно: при низких значениях индукции потери от вращательного перемагничивания больше потерь
от знакопеременного перемагничивания, однако с ростом амплитуды магнитной индукции потери от
вращательного перемагничивания достигают максимума и при индукциях близких к 2 Тл и более
снижаются весьма значительно. В то же время потери от знакопеременного перемагничивания моно-
тонно возрастают с ростом амплитуды индукции. Таким образом, требуется, чтобы функция, аппрок-
симирующая активную часть удельного магнитного сопротивления, начиная с некоторого значения
модуля вектора индукции, обеспечивала сужение петли. Что касается реактивной составляющей, то
влияние насыщения должно приводить к увеличению удельного магнитного сопротивления, то есть к
уменьшению наклона всех участков петли. Поэтому, для учета влияния насыщения по каждой из осей
в отдельности и взаимного влияния полей в аппроксимирующей функции должны присутствовать
две компоненты. Обычно такие функции представляют суммой либо произведением их компонент.
Проведенные численные эксперименты показали, что более благоприятной явилась аддитивная фор-
ма записи по сравнению с мультипликативной.
Итак, для обеспечения вращающегося магнитного поля вдоль оси y должна существовать пе-
риодическая магнитная индукция вида (4), но с фазой, смещенной на четверть периода, то есть
Bmcos(ωt). Тогда напряженность поля по этой оси будет иметь вид
( ) /y R y y X y yH B t d B d t= − ν + ν% % . (9)
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Рис. 3
Sα
H , o.e.
B, o.e.
32 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 1
В соответствии с принятой аддитивной формой записи функции, учитывающие влияние на-
сыщения на активную и реактивную составляющие νR и νX по каждой из осей и взаимное влияние
полей по обеим осям (х, у), представим в виде суммы двух дробно-рациональных выражений, а имен-
но для оси x
( )
1
1
0 00,5 1 ( / ) 0,5 1 /( / 2)
m
m
Rx R mx s R xy sB B k B B
−
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ν = ν + + ν +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
% , (10)
( )
1
1
1 ( / ) 1 /( / 2)
2
m
ms m
Xx s mx s xy sB B k B B
−
−⎧ ⎫ν − ν ⎪ ⎪⎡ ⎤⎡ ⎤ν = ν − + + +⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
% (11)
и аналогично для оси у. В формулах (9), (10) используются следующие определения:
min( , ) / max( , )xy mx my mx myk B B B B= , 2 2
11 mymxB B B= +% (12,13)
Первое слагаемое в (10) и (11) вызывает уменьшение активной составляющей удельного маг-
нитного сопротивления с ростом индукции по соответствующей оси, а второе слагаемое вызывает
аналогичное уменьшение вследствие влияния поля по ортогональной оси. Коэффициент kxy служит
для оценки взаимного влияния полей по осям х и у. Очевидно, что при отсутствии поля по одной из
осей этот коэффициент равен нулю. Также следует указать на неодинаковое положение коэффициен-
та "2" в знаменателе второго слагаемого этих двух формул. Вообще говоря, этот коэффициент замет-
но влияет на форму петли и может быть включен в параметры предлагаемой в данной работе модели,
чтобы идентифицировать его при описании свойств конкретного материала.
Отметим, что в выражение (13) для нормы индук-
ции входят амплитуды лишь первых гармоник. Это свя-
зано с тем, что при небольшом числе гармоник в зависи-
мости индукции от времени (10) она становится сущест-
венно немонотонной на каждой четверти периода. При
этом ухудшается сходимость итерационного алгоритма
метода Ньютона [6]. Применение в выражении (13) лишь
амплитуд первых гармоник сглаживает временную зави-
симость индукции, устраняя немонотонность, и улучшает
сходимость итерационного процесса.
Результаты моделирования. Расчет перемагни-
чивания по формулам (5), (6), (9), (10) при синусоидаль-
ном изменении магнитной индукции по обеим осям пока-
зал хорошие в качественном отношении результаты. Так
годографы вектора Н (рис. 4), при малых индукциях
представляющие собой окружности, с ростом интенсив-
ности поля постепенно искажаются, превращаясь в "звез-
дообразную" фигуру, а при глубоких насыщениях деформируются до формы ромбовидного четырех-
угольника. Аналогичные формы этого годографа можно наблюдать в работах [10,13]. Удельные по-
тери в среде от гистерезиса пропорциональны пло-
щади петли и вычисляются по формуле [4]
∫= dBHp . (14)
При вычислении потерь в ортогональных
полях интеграл (14) следует определять по каждой
из осей в отдельности. Очевидно, что при слабых
полях потери при вращательном перемагничивании
в два раза больше, чем потери при знакопеременном
изменении индукции. Это следует из того факта, что
при отсутствии насыщения источники поля (напри-
мер, ортогональные обмотки) не зависят друг от
друга и потери в них, вызванные явлением гистере-
зиса, суммируются, что дает удвоенное значение
этих потерь по сравнению со знакопеременным по-
лем, создаваемым одной обмоткой.
Рис. 4
-2 -1 0 1 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Hy × 10-1, о.е.
Hx × 10-1, о.е.
0 0.5 1 1.5 2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Bm, o.e.
Знакопеременное поле
Вращающееся поле
p, o.e.
Рис. 5
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 1 33
На рис. 5 показаны зависимости удельных потерь от гистерезиса для двух рассматриваемых
режимов намагничивания. Как видно, описанный выше и известный из литературных источников ха-
рактер зависимости потерь от магнитной индукции [7] качественно отражен расчетными кривыми на
рис. 5. Удвоенная величина потерь от вращающегося поля при малых значениях индукции с ростом
последней уступает величине потерь от знакопеременного магнитного поля.
Перечислим параметры математической модели симметричного векторного гистерезисного
цикла: 1) начальная активная составляющая удельного магнитного сопротивления – νR0 ; 2) νm, νs –
ненасыщенное и насыщенное значения реактивной составляющей удельного магнитного сопротивле-
ния; 3) Bs – координата точки перегиба кривой намагничивания; 4) m – показатель "резкости" переги-
ба кривой намагничивания (крутизны кривой удельного магнитного сопротивления при переходе от
ненасыщенного к насыщенному участку); 5) масштабирущие коэффициенты (базисные величины)
для магнитной индукции и напряженности поля, которые в модели явно не присутствуют, однако
должны определяться при решении задачи идентификации. Определение этих коэффициентов для
реальных ферромагнетиков является самостоятельной задачей и выходит за рамки настоящей работы.
Заключение. Предложенная математическая модель гистерезиса хорошо описывает особен-
ности процесса перемагничивания как при знакопеременном, так и вращающемся магнитном поле.
Будучи построенной из гладких дробно-рациональных функций, она не вызывает особенностей и не-
определенностей при дифференцировании, что благоприятно сказывается при решении нелинейных
задач расчета электромагнитного поля. При этом модель дает решение сразу на всем временном пе-
риоде изменения поля и поэтому органично внедряется в алгоритм метода временных гармоник для
расчета установившегося несинусоидального режима.
1. Аркадьев В.К. Теория электромагнитного поля в ферромагнитном металле // Журнал русского физи-
ческого общества. – 1913. – №45. – C. 312–344.
2. Вонсовский С.В. Магнетизм. – М.: Наука, 1984. – 208 с.
3. Зирка С.Е., Мороз Ю.И., Мороз Е.Ю. Инверсная модель магнитного гистерезиса // Техн. електроди-
наміка. – 2010. – №4. – С. 3–7.
4. Калантаров П.Л., Нейман Л.Р. Теоретические основы электротехники. – Л.-М.: Госэнергоиздат, 1951. – 464 с.
5. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1949. – 190 с.
6. Петухов И.С. Моделирование переменного электромагнитного поля в ферромагнитной проводящей
среде методом конечных элементов // Техн. електродинаміка. – 2008. – №4. – С. 18–26.
7. Baily F.G. The hysteresis of iron and steel in a rotating magnetic field // Phil. Trans. Royal Soc. A. – 1896. –
Vol. 187. – Pp. 715–746.
8. Dlala E., Belahcen A., Fonteyn K., Belkasim M. Improving loss properties of the Mayergoyz vector hysteresis
model / Hysteresis Modeling And Micromagnetics. – 2009. – NIST, Gaithersburg, Maryland, USA. – 101 р.
9. Enokizono M. Vector Magnetic Property and Magnetic Characteristic Analysis by Vector Magneto-
Hysteretic E&S Model // IEEE Trans. on Magnetics. – 2009. – Vol. 45. – No. 3. – Pp. 1148–1153.
10. Ivanyi A. Hysteresis in rotation magnetic field // Physica B-Condensed Matter. – 2000. – Vol. 275. – No.1–
3. – Pp. 107–113.
11. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis // Journal of Magnetism and Magnetic Mate-
rials. – 1986. – Vol. 61. – Pp. 48–60.
12. Matsuo T. Comparison of Rotational Hysteretic Properties of Isotropic Vector Stop Models // IEEE Trans.
on Magnetics. – 2009. – Vol. 45. – No. 3. – Pp. 1194–1197.
13. Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresis. – N.Y.: Springer-Verlag, 1991. – 207 p.
14. Preisach F. Uber die magnetische Nachwirkung // Zeitschrift fur Physik. – 1935. – No. 94. – Pp. 277–302.
15. Stoner E., Wohlfarth E. A mechanism of magnetic hysteresis in heterogeneous alloys // IEEE Trans. On
Magn. – 1991. – Vol. 27. – Pp. 3475–3518.
16. Yanli Zhang, Young Hwan Eum, Wei Li, Dexin Xie, Chang Seop Koh. An Improved Modeling of Vector
Magnetic Properties of Electrical Steel Sheet for FEM Application and Its Experimental Verification // IEEE Trans. On
Magnetics. – 2009. – Vol. 45. – No. 3. – Pp. 1162–1165.
17. Zirka S.E., Moroz Yu.L., Marketos P., Moses A.J., Jiles D.C., Matsuo T. Generalization of the classical
method for calculating dynamic hysteresis loops in grain-oriented electrical steels // IEEE Transactions on Magnetics. –
2008. – Vol. 44. – No. 9. – Pp. 2113–2126.
34 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2014. № 1
УДК 530.152.15
МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГІСТЕРЕЗИСУ ЗА УМОВ ПЕРІОДИЧНОГО ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ
И.С.Пєтухов, канд.техн.наук
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна.
e-mail: igor_petu@mail.ru
Запропоновано модель векторного гістерезису для симетричного циклу перемагнічування, яка базується на
комбінації дробно-раціональних функцій та явно виражає залежність напруженості магнітного поля від інду-
кції на періоді зміни поля. Модель орієнтована на застосування в методі скінченних елементів та відображає
вплив насичення феромагнетика на величину та характер зміни поля по двох ортогональних напрямках. Хара-
ктер залежності втрат від величини магнітної індукції при обертальному перемагнічуванні добре погоджу-
ється з відомими експериментальними даними. Бібл. 17, рис. 5.
Ключові слова: векторний гистерезис, періодичне електромагнітне поле.
VECTOR HYSTERESIS MODEL AT PERIODIC ELECTROMAGNETIC FIELD
I.S.Petukhov
Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine,
pr. Peremohy, 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine
e-mail: igor_petu@mail.ru
A vector hysteresis model for the symmetric magnetization cycle, based on a combination of fractional rational functions
was proposed. The model explicitly expresses dependences of field strength from induction. The model is intended to be
used with finite element method and represents the influence of the saturation of ferromagnetic on the magnitude of the
magnetic field and its wave form in two orthogonal directions. The dependence of losses on the magnetic induction under
condition of rotational magnetization is in good agreement with known experimental data. References 17, figures 5.
Key words: vector hysteresis, periodic electromagnetic field.
1. Arkadiev V.K. The theory of electromagnetic field in ferromagnetic metal // Zhurnal russkogo fizicheskogo
obshchestva. – 1913. – № 45. – Pp. 312–344. (Rus)
2. Vonsovskiy S.V. The magnetism. – Moskva: Nauka, 1984. – 208 p. (Rus)
3. Zirka S.E., Moroz Yu.I., Moroz E.Yu. An inverse model of magnetic hysteresis // Tekhnichna elektrody-
namika. – 2010. – №4. – Pp. 3–7. (Rus)
4. Kalantarov P.L., Neyman L.R. Theoretical fundamentals of electrical engineering. – Leningrad-Moskva:
Gosenergoizdat, 1951. – 464 p. (Rus)
5. Neіman L.R. The skin effect in ferromagnetic medium. – Moskva-Leningrad: Gosenergoizdat, 1949. – 190 p. (Rus)
6. Petukhov I.S. Finite element modelling of the alternating electromagnetic field in ferromagnetic conductive
medium // Tekhnichna elektrodynamika. – 2008. – № 4. – Pp. 18–26. (Rus)
7. Baily F.G. The hysteresis of iron and steel in a rotating magnetic field // Phil. Trans. Royal Soc. A. – 1896. –
Vol. 187. – Pp. 715–746.
8. Dlala E., Belahcen A., Fonteyn K., Belkasim M. Improving loss properties of the Mayergoyz vector hystere-
sis model / Hysteresis Modeling And Micromagnetics. – 2009. – NIST, Gaithersburg, Maryland, USA. – 101 p.
9. Enokizono M. Vector Magnetic Property and Magnetic Characteristic Analysis by Vector Magneto-
Hysteretic E&S Model // IEEE Trans. on Magnetics. – 2009. – Vol. 45. – No. 3. – Pp. 1148–1153.
10. Ivanyi A. Hysteresis in rotation magnetic field // Physica B-Condensed Matter. – 2000. – Vol. 275. – No.1–
3. – Pp. 107–113.
11. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis // Journal of Magnetism and Magnetic Mate-
rials. – 1986. – Vol. 61. – Pp. 48–60.
12. Matsuo T. Comparison of Rotational Hysteretic Properties of Isotropic Vector Stop Models // IEEE Trans.
on Magnetics. – 2009. – Vol. 45. – No. 3. – Pp. 1194–1197.
13. Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresis. – N.Y.: Springer-Verlag, 1991. – 207 p.
14. Preisach F. Uber die magnetische Nachwirkung // Zeitschrift fur Physik. – 1935. – No. 94. – Pp. 277–302.
15. Stoner E., Wohlfarth E. A mechanism of magnetic hysteresis in heterogeneous alloys // IEEE Trans. On
Magn. – 1991. – Vol. 27. – Pp. 3475–3518.
16. Yanli Zhang, Young Hwan Eum, Wei Li, Dexin Xie, Chang Seop Koh. An Improved Modeling of Vector
Magnetic Properties of Electrical Steel Sheet for FEM Application and Its Experimental Verification // IEEE Trans. On
Magnetics. – 2009. – Vol. 45. – No. 3. – Pp. 1162–1165.
17. Zirka S.E., Moroz Yu.L., Marketos P., Moses A.J., Jiles D.C., Matsuo T. Generalization of the classical
method for calculating dynamic hysteresis loops in grain-oriented electrical steels // IEEE Transactions on Magnetics. –
2008. – Vol. 44. – No. 9. – Pp. 2113–2126.
Надійшла 21.03.2013
Остаточний варіант 14.05.2013
|
| id | techned_org_ua-article-988 |
| institution | Technical Electrodynamics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-16T01:16:42Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України, Київ |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | technedorgua/50/0892cefee0ed2406bb0061a93c089250.pdf |
| spelling | techned_org_ua-article-9882023-01-04T14:44:23Z VECTOR HYSTERESIS MODEL AT PERIODIC ELECTROMAGNETIC FIELD МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Петухов, И.С. vector hysteresis periodic electromagnetic field векторный гистерезис периодическое электромагнитное поле A vector hysteresis model for the symmetric magnetization cycle, based on a combination of fractional rational functions was proposed. The model explicitly expresses dependences of field strength from induction. The model is intended to be used with finite element method and represents the influence of the saturation of ferromagnetic on the magnitude of the magnetic field and its wave form in two orthogonal directions. The dependence of losses on the magnetic induction under condition of rotational magnetization is in good agreement with known experimental data. References 17, figures 5. Предложена модель векторного гистерезиса для симметричного цикла перемагничивания ферромагнетика, основанная на комбинации дробно-рациональных функций и явно выражающая зависимость напряженности магнитного поля от индукции на периоде изменения поля. Модель ориентирована на применение в методе конечных элементов и отражает влияние насыщения ферромагнетика на величину и характер изменения поля по двум ортогональным направлениям. Характер зависимости потерь от величины магнитной индукции при вращательном перемагничивании хорошо согласуется с известными экспериментальными данными. Библ. 17, рис. 5. Інститут електродинаміки НАН України, Київ 2013-12-26 Article Article application/pdf https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/988 Tekhnichna Elektrodynamika; No. 1 (2014): TEKHNICHNA ELEKTRODYNAMIKA; 028 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; № 1 (2014): ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА; 028 2218-1903 1607-7970 uk https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/988/865 Авторське право (c) 2023 ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | векторный гистерезис периодическое электромагнитное поле Петухов, И.С. МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ |
| title | МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ |
| title_alt | VECTOR HYSTERESIS MODEL AT PERIODIC ELECTROMAGNETIC FIELD |
| title_full | МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ |
| title_fullStr | МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ |
| title_full_unstemmed | МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ |
| title_short | МОДЕЛЬ ВЕКТОРНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ |
| title_sort | модель векторного гистерезиса при периодическом электромагнитном поле |
| topic | векторный гистерезис периодическое электромагнитное поле |
| topic_facet | vector hysteresis periodic electromagnetic field векторный гистерезис периодическое электромагнитное поле |
| url | https://techned.org.ua/index.php/techned/article/view/988 |
| work_keys_str_mv | AT petuhovis vectorhysteresismodelatperiodicelectromagneticfield AT petuhovis modelʹvektornogogisterezisapriperiodičeskomélektromagnitnompole |