Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу
A propagator for the one-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation with an asymmetric rectangular potential is obtained, by using the multiple-scattering theory. It allows the consideration of the reflection and transmission processes as the scattering of a particle at the potential jump (in...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Publishing house "Academperiodika"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://ujp.bitp.kiev.ua/index.php/ujp/article/view/2019096 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrainian Journal of Physics |
Репозитарії
Ukrainian Journal of Physics| _version_ | 1863131269686099968 |
|---|---|
| author | Los, V. F. Los, M. V. |
| author_facet | Los, V. F. Los, M. V. |
| author_sort | Los, V. F. |
| baseUrl_str | https://ujp.bitp.kiev.ua/index.php/ujp/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-16T20:40:40Z |
| description | A propagator for the one-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation with an asymmetric rectangular potential is obtained, by using the multiple-scattering theory. It allows the consideration of the reflection and transmission processes as the scattering of a particle at the potential jump (in contrast to the conventional wave-like picture) and the account for the non-classical counterintuitive contribution of the backward-moving component of the wave packet attributed to a particle. This propagator completely resolves the corresponding time-dependent Schr¨odinger equation (defines the wave function w(x, t)) and allows the consideration of the quantum mechanical effects of a particle reflection from the potential downward step/well and a particle tunneling through the potential barrier as a function of the time. These results are related to fundamental issues such as measuring the time in quantum mechanics (tunneling time, time of arrival, dwell time). For the imaginary time, which represents an inverse temperature (t → −ih/kBT), the obtained propagator is equivalent to the density matrix for a particle that is in a heat bath and is subject to the action of a rectangular potential. This density matrix provides information about particles’ density in the different spatial areas relative to the potential location and on the quantum coherence of different particle spatial states. If one passes to the imaginary time (t → −it), the matrix element of the calculated propagator in the spatial basis provides a solution to the diffusion-like equation with a rectangular potential. The obtained exact results are presented as the integrals of elementary functions and thus allow a numerical visualization of the probability density |w(x, t)|2, the density matrix, and the solution of the diffusion-like equation. The results obtained may also be applied to spintronics due to the fact that the asymmetric (spin-dependent) rectangular potential can model the potential profile in layered magnetic nanostructures. |
| doi_str_mv | 10.15407/ujpe61.04.0331 |
| first_indexed | 2025-10-02T01:15:49Z |
| format | Article |
| id | ujp2-article-2019096 |
| institution | Ukrainian Journal of Physics |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2025-10-02T01:15:49Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Publishing house "Academperiodika" |
| record_format | ojs |
| spelling | ujp2-article-20190962019-04-16T20:40:40Z An Exact Solution of the Time-Dependent Schr¨odinger Equation with a Rectangular Potential for Real and Imaginary Times Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу Los, V. F. Los, M. V. Schr¨odinger equation asymmetric rectangular potential layered magnetic nanostructures - A propagator for the one-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation with an asymmetric rectangular potential is obtained, by using the multiple-scattering theory. It allows the consideration of the reflection and transmission processes as the scattering of a particle at the potential jump (in contrast to the conventional wave-like picture) and the account for the non-classical counterintuitive contribution of the backward-moving component of the wave packet attributed to a particle. This propagator completely resolves the corresponding time-dependent Schr¨odinger equation (defines the wave function w(x, t)) and allows the consideration of the quantum mechanical effects of a particle reflection from the potential downward step/well and a particle tunneling through the potential barrier as a function of the time. These results are related to fundamental issues such as measuring the time in quantum mechanics (tunneling time, time of arrival, dwell time). For the imaginary time, which represents an inverse temperature (t → −ih/kBT), the obtained propagator is equivalent to the density matrix for a particle that is in a heat bath and is subject to the action of a rectangular potential. This density matrix provides information about particles’ density in the different spatial areas relative to the potential location and on the quantum coherence of different particle spatial states. If one passes to the imaginary time (t → −it), the matrix element of the calculated propagator in the spatial basis provides a solution to the diffusion-like equation with a rectangular potential. The obtained exact results are presented as the integrals of elementary functions and thus allow a numerical visualization of the probability density |w(x, t)|2, the density matrix, and the solution of the diffusion-like equation. The results obtained may also be applied to spintronics due to the fact that the asymmetric (spin-dependent) rectangular potential can model the potential profile in layered magnetic nanostructures. Використовуючи теорiю багатократного розсiяння, отримано пропагатор для одновимiрного, залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з асиметричним прямокутним потенцiалом. Це дозволило розглядати процеси вiдбивання i проходження, як розсiяння частинки на стрибках потенцiалу (на вiдмiну вiд звичайної хвильової картини), та враховувати некласичний i парадоксальний внесок обернено рухомих компонент хвильового пакета, що асоцiюється iз частинкою. Отриманий пропагатор дає повне рiшення вiдповiдного залежного вiд часу рiвнянняШредiнгера (тобто визначає хвильову функцiю w(x, t)) та дозволяє розгляд квантово-механiчних ефектiв вiдбивання частинки вiд потенцiальної ями (або сходинки) та ї ї проходження через потенцiальний бар’єр як функцiю часу. Цi результати стосуються таких фундаментальних проблем, як вимiр часу у квантовiй механiцi (час тунелювання, час прибуття, час перебування). Для уявного часу, що представляє обернену температуру (t → −ih/kBT), отриманий пропагатор є еквiвалентним до матрицi густини для частинки, яка знаходиться у термостатi i пiд впливом прямокутного потенцiалу. Ця матриця густини надає iнформацiю про густину частинок у рiзних просторових областях (вiдносно розташування потенцiалу) i про квантову когерентнiсть рiзних просторових станiв частинки. Якщо перейти до уявного часу, як t → −it, то матричний елемент обчисленого пропагатора у просторовому базисi дає рiшення рiвняння дифузiйного типу з прямокутним потенцiалом. Отриманi точнi результати представленi у виглядi iнтегралiв вiд елементарних функцiй, i таким чином дозволяють чисельно вiзуалiзувати густину ймовiрностi |w(x, t)|2, матрицю густини та рiшення рiвняння дифузiйного типу. Отриманi результати можуть також бути корисними для спiнтронiки, оскiльки асиметричний (залежний вiд спiну) прямокутний потенцiал моделює потенцiальний профiль шаруватих магнiтних наноструктур. Publishing house "Academperiodika" 2019-01-06 Article Article Peer-reviewed application/pdf https://ujp.bitp.kiev.ua/index.php/ujp/article/view/2019096 10.15407/ujpe61.04.0331 Ukrainian Journal of Physics; Vol. 61 No. 4 (2016); 331 Український фізичний журнал; Том 61 № 4 (2016); 331 2071-0194 2071-0186 10.15407/ujpe61.04 en https://ujp.bitp.kiev.ua/index.php/ujp/article/view/2019096/994 Copyright (c) 2019 Bogolyubov Institute for Theoretical Physics, National Academy of Sciences of Ukraine |
| spellingShingle | Los, V. F. Los, M. V. Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу |
| title | Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу |
| title_alt | An Exact Solution of the Time-Dependent Schr¨odinger Equation with a Rectangular Potential for Real and Imaginary Times |
| title_full | Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу |
| title_fullStr | Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу |
| title_full_unstemmed | Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу |
| title_short | Точне рiшення залежного вiд часу рiвняння Шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу |
| title_sort | точне рiшення залежного вiд часу рiвняння шредiнгера з прямокутним потенцiалом для дiйсного i уявного часу |
| topic_facet | Schr¨odinger equation asymmetric rectangular potential layered magnetic nanostructures - |
| url | https://ujp.bitp.kiev.ua/index.php/ujp/article/view/2019096 |
| work_keys_str_mv | AT losvf anexactsolutionofthetimedependentschrodingerequationwitharectangularpotentialforrealandimaginarytimes AT losmv anexactsolutionofthetimedependentschrodingerequationwitharectangularpotentialforrealandimaginarytimes AT losvf točnerišennâzaležnogovidčasurivnânnâšredingerazprâmokutnimpotencialomdlâdijsnogoiuâvnogočasu AT losmv točnerišennâzaležnogovidčasurivnânnâšredingerazprâmokutnimpotencialomdlâdijsnogoiuâvnogočasu AT losvf exactsolutionofthetimedependentschrodingerequationwitharectangularpotentialforrealandimaginarytimes AT losmv exactsolutionofthetimedependentschrodingerequationwitharectangularpotentialforrealandimaginarytimes |