Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions
The conditions of existence and asymptotic representations as $t\uparrow\omega \ (\omega\le +\infty)$ are obtained for one class of solutions of nonautonomous differential equations of the $n$th order that are asymptotically close, in a certain sense, to the equations with regularly varying nonlinea...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1006 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507122819661824 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Droggina, A. V. Евтухов, В. М. Дрожжина, А.В. Євтухов, В. М. Дрожжина, А. В. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Droggina, A. V. Евтухов, В. М. Дрожжина, А.В. Євтухов, В. М. Дрожжина, А. В. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-01-20T13:11:37Z |
| description | The conditions of existence and asymptotic representations as $t\uparrow\omega \ (\omega\le +\infty)$ are obtained for one class of solutions of nonautonomous differential equations of the $n$th order that are asymptotically close, in a certain sense, to the equations with regularly varying nonlinearities. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов, А. В. Дрожжина (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
The conditions of existence and asymptotic representations as t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ) are obtained for one class of solutions
of nonautonomous differential equations of the nth order that are asymptotically close, in a certain sense, to the equations
with regularly varying nonlinearities.
Встановлено умови iснування та асимптотичнi при t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ) зображення одного класу розв’язкiв неавтоном-
них диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що у деякому сенсi є асимптотично близькими до рiвнянь iз правильно
змiнними нелiнiйностями.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y(n) = f(t, y, y\prime , . . . , y(n - 1)), (1.1)
где n \geq 2, f : [a, \omega [\times \Delta Y0 \times \Delta Y1 \times . . . \times \Delta Yn - 1 - \rightarrow \BbbR — непрерывная функция, - \infty < a <
< \omega \leq +\infty , Yk равно либо нулю, либо \pm \infty , \Delta Yk
— некоторая односторонняя окрестность Yk,
k = 0, 1, . . . , n - 1.
Определение 1.1. Пусть - \infty \leq \lambda 0 \leq +\infty . Непрерывно дифференцируемая n раз функ-
ция y : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR называется P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решением уравнения (1.1), если она
удовлетворяет условиям
y(k)(t) \in \Delta Yk
при t \in [t0, \omega [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \omega
y(k)(t) = Yk, k = 0, 1, . . . , n - 1, (1.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \omega
[y(n - 1)(t)]
2
y(n - 2)(t)y(n)(t)
= \lambda 0 (1.3)
и y(n)(t) \equiv f(t, y(t), . . . , y(n - 1)(t)).
Асимптотическое поведение таких решений уравнения (1.1) ранее исследовалось в работах
[1 – 4] при n = 2, т. е. в случае дифференциального уравнения второго порядка. При этом
предполагалось, что на каждом из этих решений имеет место представление
f(t, y(t), y\prime (t)) = \alpha 0p(t)\varphi 0(y(t))\varphi 1(y
\prime (t))[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
где \alpha 0 \in \{ - 1, 1\} , p : [t0, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная функция, \varphi k : \Delta Yk
- \rightarrow ]0,+\infty [ —
непрерывная правильно меняющаяся функция при y(k) \rightarrow Yk, k = 0, 1, причем \alpha 0, p и \varphi k,
k = 0, 1, зависят от выбранного параметра \lambda 0.
Определение 1.2. Измеримая функция \varphi : \Delta Y - \rightarrow ]0,+\infty [, где Y равно либо нулю, либо
\pm \infty и \Delta Y — некоторая односторонняя окрестность Y, называется правильно меняющейся
при y \rightarrow Y, если существует число \rho \in \BbbR такое, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y
y\in \Delta Y
\varphi (\lambda y)
\varphi (y)
= \lambda \rho при любом \lambda > 0.
При этом число \rho называют порядком функции \varphi (или показателем).
c\bigcirc В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА, 2019
1626 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1627
Из этого определения следует, что правильно меняющаяся при y \rightarrow Y функция \varphi предста-
вима в виде
\varphi (y) = | y| \rho L(y),
где L : \Delta y - \rightarrow ]0,+\infty [ удовлетворяет условию
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y
y\in \Delta Y
L(\lambda y)
L(y)
= 1 при любом \lambda > 0, (1.4)
т. е. является правильно меняющейся функцией порядка \rho = 0 при y \rightarrow Y.
Определение 1.3. Правильно меняющаяся при y \rightarrow Y функция L : \Delta Y - \rightarrow ]0,+\infty [ нуле-
вого порядка, где Y равно либо нулю, либо \pm \infty и \Delta Y — некоторая односторонняя окрестность
Y, называется медленно меняющейся функцией при y \rightarrow Y.
Примерами медленно меняющихся функций при y \rightarrow Y (Y равно либо нулю, либо \pm \infty )
являются
| \mathrm{l}\mathrm{n} | y| | \gamma 1 , \mathrm{l}\mathrm{n}\gamma 2 | \mathrm{l}\mathrm{n} | y| | , \gamma 1, \gamma 2 \in \BbbR ,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(| \mathrm{l}\mathrm{n} | y| | \gamma 3), 0 < \gamma 3 < 1, \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} | y|
\mathrm{l}\mathrm{n} | \mathrm{l}\mathrm{n} | y| |
\biggr)
,
функции, имеющие отличный от нуля конечный предел при y \rightarrow Y, и многие др.
Если Y равно либо нулю, либо \pm \infty , \Delta Y — некоторая односторонняя окрестность Y и L :
\Delta Y - \rightarrow ]0,+\infty [ — медленно меняющаяся функция при y \rightarrow Y, то в силу свойств таких
функций (см., например, [5, с. 10, 11, 24], пп. 1.1, 1.2, 1.4):
1) предельное соотношение (1.4) выполняется равномерно по \lambda на любом отрезке [c, d] \subset
\subset ]0,+\infty [;
2) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y
y\in \Delta Y
\mathrm{l}\mathrm{n}L(y)
\mathrm{l}\mathrm{n} | y|
= 0;
3) существует непрерывно дифференцируемая функция L0 : \Delta Y - \rightarrow ]0,+\infty [, называемая
нормализованной медленно меняющейся функцией при y \rightarrow Y, такая, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y
y\in \Delta Y
L0(y)
L(y)
= 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y
y\in \Delta Y
yL\prime
0(y)
L0(y)
= 0.
Определение 1.4. Будем говорить, что медленно меняющаяся при y \rightarrow Y функция L :
\Delta Y - \rightarrow ]0,+\infty [, где Y равно либо нулю, либо \pm \infty и \Delta Y — односторонняя окрестность Y,
удовлетворяет условию S0, если
L
\Bigl(
\nu e[1+o(1)] ln | y|
\Bigr)
= L(y)[1 + o(1)] при y \rightarrow Y (y \in \Delta Y ),
где \nu = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1628 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
Условию S0 заведомо удовлетворяют первые две функции из приведенных выше примеров
медленно меняющихся функций, а также функции, имеющие отличный от нуля конечный
предел при y \rightarrow Y. Не удовлетворяют этому условию третья и четвертая функции из указанных
примеров.
Целью настоящей работы является распространение результатов, полученных в [1] для
уравнения (1.1) при n = 2, на случай n \geq 2, а именно установление условий существования
P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решений дифференциального уравнения (1.1) в случае, когда \lambda 0 \in
\in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
, а также асимптотических при t \uparrow \omega представлений для таких
решений и их производных до порядка n - 1 включительно.
2. Некоторые вспомогательные утверждения. Изучаемые в данной работе решения диф-
ференциального уравнения (1.1) в силу следствия 10.1 из [6] имеют следующие априорные
асимптотические свойства.
Лемма 2.1. При \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
каждое P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решение
дифференциального уравнения (1.1) удовлетворяет условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)y
(k)(t)
y(k - 1)(t)
=
a0k
\lambda 0 - 1
, k = 1, . . . , n, (2.1)
где
a0k = (n - k)\lambda 0 - (n - k - 1), k = 1, . . . , n, \pi \omega (t) =
\Biggl\{
t, если \omega = +\infty ,
t - \omega , если \omega < +\infty .
Наряду с этой леммой будем использовать еще один результат о существовании исчезающих
в особой точке решений системы квазилинейных дифференциальных уравнений вида
y\prime j = h(t)
\Biggl[
Fj(t, y1, . . . , yn) +
n\sum
k=1
cjkyk + Yj(t, y1, . . . , yn)
\Biggr]
, j = 1, . . . , n, (2.2)
в которой cjk \in \BbbR , j, k = 1, . . . , n, h : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR — непрерывная функция такая, что
h(t) \not = 0 при t \in [t0, \omega [,
\omega \int
t0
| h(t)| dt = +\infty , (2.3)
Fj , Yj : [t0, \omega [\times \BbbR n
c - \rightarrow \BbbR , j = 1, . . . , n, — непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \omega
Fj(t, y1, . . . , yn) = 0, j = 1, . . . , n, равномерно по (y1, . . . , yn) \in \BbbR n
c , (2.4)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| y1| +...+| yn| \rightarrow 0
Yj(t, y1, . . . , yn)
| y1| + . . .+ | yn|
= 0, j = 1, . . . , n, равномерно по t \in [t0, \omega [, (2.5)
где
- \infty < t0 < \omega \leq +\infty , \BbbR n
c = \{ (y1, . . . , yn) \in \BbbR n : | yi| \leq c (i = 1, . . . , n), c > 0\} .
Из теоремы 2.2 работы [7] непосредственно вытекает следующий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1629
Лемма 2.2. Пусть выполняются условия (2.3) – (2.5) и матрица C = (cjk)
n
j,k=1 не имеет
собственных значений с нулевой действительной частью. Тогда система дифференциальных
уравнений (2.2) имеет хотя бы одно решение (yj)
n
j=1 : [t1, \omega [ - \rightarrow \bfR n
c , t1 \in [t0, \omega [, стремя-
щееся к нулю при t \uparrow \omega , причем таких решений существует m-параметрическое семейство,
если среди собственных значений матрицы C имеется m собственных значений (с учетом
кратных), действительные части которых имеют знак, противоположный знаку функции h
на промежутке [t0, \omega [.
3. Основные результаты. В дальнейшем, не ограничивая общности, будем считать, что
\Delta Yj = \Delta Yj (bj), \Delta Yj (bj) =
\Biggl\{
либо [bj , Yj [,
либо ]Yj , bj ],
j = 0, . . . , n - 1,
где bj \in \Delta Yj выбрано так, что | bj | < 1 при Yj = 0 и bj > 1 (bj < - 1) при Yj = +\infty (Yj = - \infty ).
Теперь введем числа
\nu j = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} bj , j = 0, . . . , n - 1,
определяющие знаки любого P\omega (Y0, . . . , Y1, \lambda 0)-решения дифференциального уравнения (1.1)
и его производных до порядка n - 1 включительно. В силу (1.2) для наличия таких реше-
ний у дифференциального уравнения (1.1) необходимо, чтобы при любом j \in \{ 1, . . . , n - 1\}
выполнялись неравенства
\nu j - 1\nu j < 0, если Yj - 1 = 0, и \nu j - 1\nu j > 0, если Yj - 1 = \pm \infty . (3.1)
Определение 3.1. Будем говорить, что в дифференциальном уравнении (1.1) функция f
удовлетворяет условию (RN)\lambda 0 при \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
, если существуют числа
\alpha 0 \in \{ - 1; 1\} , t0 \in [a, \omega [, непрерывная функция p : [t0, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ и непрерывные правильно
меняющиеся при zj \rightarrow Yj , j = 0, . . . , n - 1, функции \varphi j : \Delta Yj \rightarrow ]0,+\infty [ порядков \sigma j , j =
= 0, . . . , n - 1, такие, что для любых непрерывно дифференцируемых функций zj : [t0, \omega [\rightarrow
\rightarrow \Delta Yj , j = 0, 1, . . . , n - 1, удовлетворяющих условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
zj - 1(t) = Yj - 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)z
\prime
j - 1(t)
zj - 1(t)
=
a0j
\lambda 0 - 1
, j = 1, . . . , n, (3.2)
где a0j , j = 1, . . . , n, и \pi \omega взяты из леммы 2.1, имеет место представление
f(t, z0(t), . . . , zn - 1(t)) = \alpha 0p(t)
n - 1\prod
j=0
\varphi j(zj(t))[1 + o(1)] при t \uparrow \omega . (3.3)
При выполнении этого условия ниже будем использовать также следующие обозначения:
\gamma = 1 -
n - 1\sum
j=0
\sigma j , \mu n =
n - 2\sum
j=0
\sigma j(n - j - 1), C =
| \lambda 0 - 1| \mu n\prod n - 2
j=0
\prod n - 1
i=j+1
| a0i| \sigma j
,
Jn(t) =
t\int
An
p(\tau )| \pi \omega (\tau )| \mu n d\tau , где An =
\left\{
a, если
\int \omega
a
p(t)| \pi \omega (t)| \mu n dt = +\infty ,
\omega , если
\int \omega
a
p(t)| \pi \omega (t)| \mu n dt < +\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1630 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
Теорема 3.1. Пусть \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
, функция f удовлетворяет условию
(RN)\lambda 0 и \gamma \not = 0. Тогда для существования P\omega (Y0, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решений дифференциального
уравнения (1.1) необходимо, а если алгебраическое относительно \rho уравнение
n - 1\sum
j=0
\sigma j
n - 1\prod
k=j+1
a0k
j\prod
k=1
(a0k + \rho ) = (1 + \rho )
n - 1\prod
k=1
(a0k + \rho ) (3.4)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы наряду с (3.1)
выполнялись неравенства
\alpha 0\nu n - 1 < 0, если Yn - 1 = 0, и \alpha 0\nu n - 1 > 0, если Yn - 1 = \pm \infty , (3.5)
а также условия
\nu j - 1\nu ja0j(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) > 0, j = 1, . . . , n - 1, \alpha 0\nu n - 1(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) > 0, (3.6)
\alpha 0\nu n - 1\gamma Jn(t) > 0 при t \in ]a, \omega [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)J
\prime
n(t)
Jn(t)
=
\gamma
\lambda 0 - 1
. (3.7)
Более того, для каждого такого решения имеют место при t \uparrow \omega асимптотические пред-
ставления
y(j)(t) =
[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1\prod n - 1
i=j+1
a0i
y(n - 1)(t)[1 + o(1)], j = 0, 1, . . . , n - 2, (3.8)
где y(n - 1)(t) — неявная функция вида
y(n - 1)(t) = \nu n - 1| \pi \omega (t)|
1
\lambda 0 - 1
+o(1)
при t \uparrow \omega , (3.9)
определяемая из асимптотического соотношения\bigm| \bigm| y(n - 1)(t)
\bigm| \bigm| \gamma \prod n - 1
j=0
Lj
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr) = \alpha 0\nu n - 1\gamma CJn(t)[1 + o(1)], (3.10)
в котором Lj
\bigl(
y(j)
\bigr)
= | y(j)| - \sigma j\varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
, j = 0, n - 1, — медленно меняющиеся составляющие
функций \varphi j , j = 0, . . . , n - 1, причем существует m-параметрическое семейство решений с
такими представлениями в случае, когда среди корней алгебраического уравнения (3.4) имеется
m корней (с учетом кратных), действительные части которых имеют знак, противополож-
ный знаку (\lambda 0 - 1)\pi \omega (t).
Замечание 3.1. Алгебраическое уравнение (3.4) заведомо не имеет корней с нулевой дей-
ствительной частью, если выполняется неравенство
n - 2\sum
j=0
| \sigma sj | < | \sigma sn - 1 - 1| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1631
Действительно, если уравнение (3.4) записать в виде
n - 2\sum
j=0
\sigma sj
n - 1\prod
k=j+1
a0k
j\prod
k=1
(a0k + \rho ) = (1 + \rho - \sigma sn - 1)
n - 1\prod
k=1
(a0k + \rho )
и допустить, что оно имеет решение вида \rho = i\rho 0, где \rho 0 \in \BbbR и i — мнимая единица, то,
учитывая, что модуль суммы не превышает суммы модулей, получаем
| 1 + i\rho - \sigma sn - 1|
n - 1\prod
k=1
| a0k + i\rho 0| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n - 2\sum
j=0
\sigma sj
n - 1\prod
k=j+1
a0k
j\prod
k=1
(a0k + \rho )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
n - 2\sum
j=0
| \sigma sj |
n - 1\prod
k=j+1
| a0k|
j\prod
k=1
| a0k + i\rho 0| \leq
n - 2\sum
j=0
| \sigma sj |
n - 1\prod
k=1
| a0k + i\rho 0| ,
откуда в силу неравенств a0k \not = 0, k = 1, . . . , n - 1, следует, что
n - 2\sum
j=0
| \sigma sj | \geq | 1 - \sigma sn - 1 + i\rho 0| \geq | 1 - \sigma sn - 1| .
Доказательство теоремы 3.1. Необходимость. Пусть y : [t0, \omega [ - \rightarrow \Delta Y0 — произвольное
P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решение дифференциального уравнения (1.1). Тогда \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y(k - 1)(t) =
= \nu k - 1, k = 1, . . . , n, при t \in [t0, \omega [, для каждого k \in \{ 1, . . . , n - 1\} выполняется неравенство
(3.1) и согласно лемме 2.1 выполняются условия (2.1). В силу этих условий справедливы первые
n - 1 из неравенств (3.6). Кроме того, из (1.2) и (2.1) ясно, что для функций zk(t) = y(k)(t), k =
= 0, 1, . . . , n - 1, выполняются условия (3.2). Поэтому вследствие выполнения условия (RN)\lambda 0
f
\Bigl(
t, y(t), y\prime (t), . . . , y(n - 1)(t)
\Bigr)
= \alpha 0p(t)
n - 1\prod
k=0
\varphi k(y
(k)(t))[1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Отсюда с учетом (1.1) следует, что
y(n)(t) = \alpha 0p(t)[1 + o(1)]
n - 1\prod
j=0
\varphi j(y
(j)(t)) при t \uparrow \omega . (3.11)
Значит, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y(n)(t) = \alpha 0 в некоторой левой окрестности \omega . Поэтому в силу выполнения при
k = n - 1 условий (1.2) выполняется неравенство (3.5), а в силу (2.1) при k = n — последнее
из неравенств (3.6).
Далее, учитывая, что
y(j)(t) =
y(j)(t)
y(j+1)(t)
. . .
y(n - 2)(t)
y(n - 1)(t)
y(n - 1)(t), j = 0, 1, . . . , n - 2,
с использованием (2.1) получаем
y(j)(t) =
[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1\prod n - 1
i=j+1
a0i
y(n - 1)(t)[1 + o(1)], j = 0, 1, . . . , n - 2, при t \uparrow \omega ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1632 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
т. е. имеют место асимптотические соотношения (3.8). Из (2.1) при k = n следует также
справедливость представления (3.9).
В (3.11) каждая функция \varphi j : \Delta Yj - \rightarrow ]0,+\infty [, j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , является правиль-
но меняющейся функцией порядка \sigma j при стремлении аргумента к Yj и поэтому допускает
представление вида
\varphi j(y
(j)) = | y(j)| \sigma jLj(y
(j)), (3.12)
где Lj : \Delta Yj - \rightarrow ]0,+\infty [ — медленно меняющаяся функция при y(j) \rightarrow Yj . В силу этих пред-
ставлений при j = 0, 1, . . . , n - 1, асимптотических соотношений (3.8) и указанного во введении
свойства 1 медленно меняющихся функций при t \uparrow \omega имеют место соотношения
\varphi j(y
(j)(t)) =
| (\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)| \sigma j(n - j - 1)\prod n - 1
i=j+1
| a0j | \sigma j
| y(n - 1)(t)| \sigma jLj
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr)
[1 + o(1)],
j = 0, 1, . . . , n - 1.
Используя эти соотношения, из (3.11) находим
y(n)(t)| y(n - 1)(t)| \gamma - 1\prod n - 1
j=0
Lj
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr) = \alpha 0C| \pi \omega (t)| \mu np(t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega . (3.13)
Согласно свойству 3 медленно меняющихся функций для каждого j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} су-
ществует непрерывно дифференцируемая функция L0j : \Delta Yj - \rightarrow ]0,+\infty [ такая, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y(j)\rightarrow Yj
y(j)\in \Delta Yj
Lj(y
(j))
L0j(y(j))
= 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y(j)\rightarrow Yj
y(j)\in \Delta Yj
y(j)L\prime
0j(y
(j))
L0j(y(j))
= 0. (3.14)
В силу второго из этих условий, а также условий \gamma \not = 0,
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)| - \rightarrow Yj , j = 0, 1, . . . , n - 1, при t \uparrow \omega , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)y
(n)(t)
y(n - 1)(t)
=
1
\lambda 0 - 1
имеем\left( | y(n - 1)(t)| \gamma \prod n - 1
j=0
L0j
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr)
\right)
\prime
= \nu n - 1
y(n)(t)| y(n - 1)(t)| \gamma - 1\prod n - 1
j=0
L0j
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr) \times
\times
\left[ \gamma - y(n - 1)(t)
\pi \omega (t)y(n)(t)
n - 1\sum
j=0
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)| L\prime
0j
\Bigl(
| \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr)
L0j
\Bigl(
| \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr) \times
\times
\Biggl(
n - j - 1 +
\pi \omega (t)y
(n)(t)
y(n - 1)(t)
\Biggr) \Biggr]
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1633
= \nu n - 1\gamma
y(n)(t)| y(n - 1)(t)| \gamma - 1\prod n - 1
j=0
L0j
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr) [1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Поэтому (3.13) с учетом первого из условий (3.14) может быть записано в виде\left( | y(n - 1)(t)| \gamma \prod n - 1
j=0
L0j
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr)
\right)
\prime
= \alpha 0\nu n - 1\gamma C| \pi \omega (t)| \mu np(t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t и принимая во внимание правило выбора
предела интегрирования An в функции Jn, получаем
| y(n - 1)(t)| \gamma \prod n - 1
j=0
L0j
\Bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)y(n - 1)(t)|
\Bigr) = \alpha 0\nu n - 1\gamma CJn(t)[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
откуда с учетом первого из условий (3.14) следует справедливость асимптотического представ-
ления (3.10).
Справедливость первого из условий (3.7) непосредственно следует из (3.10), а второго – из
асимптотических соотношений (3.10), (3.13) и предельного соотношения (2.1) при k = n.
Достаточность. Пусть выполняются условия (3.5) – (3.7) и алгебраическое уравнение (3.4)
не имеет корней с нулевой действительной частью. Покажем, что в этом случае дифферен-
циальное уравнение (1.1) имеет P\omega (Y0, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решения, допускающие асимптотические
представления (3.8) – (3.10), и выясним вопрос о количестве таких решений.
Сначала рассмотрим соотношение
| Y | \gamma \prod n - 1
j=0
L0j
\bigl(
\nu j | \pi n - j - 1
\omega (t)Y |
\bigr) = \alpha 0\nu n - 1\gamma CJn(t)[1 + vn], (3.15)
где L0j : \Delta Yj - \rightarrow ]0,+\infty [, j = 0, 1, . . . , n - 1, — непрерывно дифференцируемые нормали-
зованные медленно меняющиеся при y(j) \rightarrow Yj функции, удовлетворяющие условиям (3.14),
существующие в силу свойства 3 медленно меняющихся функций.
Точно таким же образом, как в работе [8] при рассмотрении соотношения (2.13), устанав-
ливаем, что (3.15) однозначно определяет заданную на множестве [t0, \omega [\times \BbbR 1
2
, где t0 \in [a, \omega [ и
\BbbR 1
2
=
\biggl\{
vn \in \BbbR : | vn| \leq
1
2
\biggr\}
, непрерывно дифференцируемую неявную функцию Y (t, vn) вида
Y (t, vn) = \nu n - 1| \pi \omega (t)|
1
\lambda 0 - 1
+z(t,vn), (3.16)
где функция z такова, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
z(t, vn) = 0 равномерно по vn \in \BbbR 1
2
, (3.17)
удовлетворяющую условиям
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)| \in \Delta Yj , j = 0, 1, . . . , n - 1, при (t, vn) \in [t0, \omega [\times \BbbR 1
2
, (3.18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1634 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)| = Yj , j = 0, 1, . . . , n - 1, равномерно по vn \in \BbbR 1
2
, (3.19)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)(Y (t, vn))
\prime
t
Y (t, vn)
=
1
\lambda 0 - 1
равномерно по vn \in \BbbR 1
2
. (3.20)
Теперь уравнение (1.1) с помощью замен
y(j)(t)
y(n - 1)(t)
=
[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1\prod n - 1
i=j+1
a0i
[1 + vj+1(t)], j = 0, n - 2, y(n - 1)(t) = Y (t, vn(t)),
(3.21)
с учетом того, что функция y(n - 1)(t) = Y (t, vn(t)) при t \in [t0, \omega [ удовлетворяет уравнению
| y(n - 1)(t)| \gamma \prod n - 1
j=0
L0j
\Bigl(
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| y(n - 1)(t)|
\Bigr) = \alpha 0\nu n - 1\gamma CJn(t)[1 + vn(t)], (3.22)
сведем к системе дифференциальных уравнений
v\prime j =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
[1 + a0jvj+1 - (n - j)(\lambda 0 - 1)vj -
- R(t, v1, . . . , vn)(1 + vj)] , j = 1, . . . , n - 2,
v\prime n - 1 =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
[1 - (\lambda 0 - 1)vn - 1 - R(t, v1, . . . , vn)(1 + vn - 1)] ,
v\prime n =
1
\pi \omega (t)
\biggl[
\gamma
\lambda 0 - 1
R(t, v1, . . . , vn)(1 + vn) -
- \pi \omega (t)J
\prime
n(t)
Jn(t)
(1 + vn) - \varepsilon (t, v1, . . . , vn)(1 + vn)
\biggr]
,
(3.23)
где
\varepsilon (t, v1, . . . , vn) =
n - 1\sum
j=0
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)| L\prime
0j
\bigl(
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)|
\bigr)
L0j (\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)| )
\times
\times
\biggl[
n - j - 1 +
1
\lambda 0 - 1
R(t, v1, . . . , vn)
\biggr]
, R(t, v1, . . . , vn) = (\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)\times
\times
f
\left( t,
[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - 1Y (t, vn)\prod n - 1
i=1
a0i
(1 + v1), . . . ,
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)Y (t, vn)
a0n - 1
(1 + vn - 1), Y (t, vn)
\right)
Y (t, vn)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1635
Эту систему рассмотрим на множестве [t1, \omega [\times \BbbR n
1
2
, где \BbbR n
1
2
=
\biggl\{
(v1, . . . , vn) \in \BbbR n : | vi| <
1
2
,
i = 1, . . . , vn
\biggr\}
и t1 \in [t0, \omega [ выбрано с учетом (3.6), (3.18), (3.19) так, чтобы выполнялись
условия
[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1Y (t, vn)\prod n - 1
i=j+1
a0i
(1 + vj+1) \in \Delta Yj ,
j = 0, . . . , n - 2, при t \in [t1, \omega [, (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1
2
.
На этом множестве правые части системы (3.23) непрерывны. Кроме того, в силу (3.20)
\pi \omega (t)
\left( [(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1Y (t, v1)(1 + vj+1)\prod n - 1
i=j+1
a0i
\right)
\prime
t
[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1Y (t, v1)(1 + vj+1)\prod n - 1
i=j+1
a0i
= n - j - 1 +
\pi \omega (t)(Y (t, vn)
\prime
t
Y (t, vn)
- \rightarrow
- \rightarrow n - j - 1 +
1
\lambda 0 - 1
=
a0j+1
\lambda 0 - 1
, j = 0, . . . , n - 2, равномерно по (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1
2
.
Поэтому согласно условию (RN)\lambda 0
f
\left( t,
[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - 1Y (t, vn)\prod n - 1
i=1
a0i
(1 + v1), . . . ,
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)Y (t, vn)
a0n - 1
(1 + vn - 1), Y (t, vn)
\right) =
= \alpha 0p(t)\varphi n - 1(Y (t, vn))
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\left( [(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1Y (t, vn)(1 + vj+1)\prod n - 1
i=j+1
a0i
\right) [1 + \delta 1(t, v1, . . . , vn)],
где \delta 1(t, v1, . . . , vn) - \rightarrow 0 при t \uparrow \omega равномерно по (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1
2
. Здесь в силу представ-
лений (3.12), а также свойств 1 и 3 медленно меняющихся функций
\varphi n - 1(Y (t, vn))
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\left( [(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1Y (t, vn)(1 + vj+1)\prod n - 1
i=j+1
a0i
\right) =
= | Y (t, vn)|
\sum n - 1
j=0 \sigma j
n - 2\prod
j=0
| (\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)| \sigma j(n - j - 1)\prod n - 2
j=0
| a0i| \sigma j
\times
\times
n - 2\prod
j=0
(1 + vj+1)
\sigma j
n - 2\prod
j=0
Lj
\left( [(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)]
n - j - 1Y (t, vn)(1 + vj+1)\prod n - 1
i=j+1
a0i
\right) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1636 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
= C| Y (t, vn)| 1 - \gamma | \pi \omega (t)| \mu n
n - 2\prod
j=0
(1 + vj+1)
\sigma j\times
\times
n - 1\prod
j=0
Lj
\bigl(
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)|
\bigr)
[1 + \delta 2(t, v1, . . . , vn)] =
= C| Y (t, vn)| 1 - \gamma | \pi \omega (t)| \mu n\times
\times
n - 2\prod
j=0
(1 + vj+1)
\sigma j
n - 1\prod
j=0
L0j
\bigl(
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)|
\bigr)
[1 + \delta (t, v1, . . . , vn)],
где L0j , j = 0, . . . , n - 1, — функции из (3.15), \delta 2(t, v1, . . . , vn) - \rightarrow 0 при t \uparrow \omega равномерно по
(v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1
2
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\delta (t, v1, . . . , vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1
2
. (3.24)
В силу вышеизложенного и соотношения (3.22), которому удовлетворяет функция y(n - 1)(t) =
= Y (t, vn), имеем
R(t, v1, . . . , vn) =
=
\alpha 0\nu n - 1(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)p(t)| \pi \omega (t)| \mu n
| Y (t, vn)| \gamma
n - 2\prod
j=0
(1 + vj+1)
\sigma j
n - 1\prod
j=0
L0j
\bigl(
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| Y (t, vn)|
\bigr)
\times
\times [1 + \delta (t, v1, . . . , vn)] =
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)J
\prime
n(t)
\gamma Jn(t)(1 + vn)
n - 2\prod
j=0
(1 + vj+1)
\sigma j [1 + \delta (t, v1, . . . , vn)], (3.25)
где функция \delta удовлетворяет условию (3.24).
Теперь, учитывая (3.14), (3.18), (3.19), (3.25) и (3.7), замечаем также, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\varepsilon (t, v1, . . . , vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1
2
. (3.26)
Вводя функцию
V (v1, . . . , vn) =
\prod n - 2
j=0
(1 + vj+1)
1 + vn
- 1 -
n - 2\sum
j=0
\sigma jvj+1 + vn,
удовлетворяющую условиям
V (0, . . . , 0) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| v1| +...+| vn| \rightarrow 0
V (v1, . . . , vn)
| v1| + . . .+ | vn|
= 0, (3.27)
и принимая во внимание представление (3.25), записываем систему дифференциальных урав-
нений (3.23) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1637
v\prime j =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
\Biggl[
fj(t, v1, . . . , vn) - a0jvj + a0jvj+1 -
-
n - 2\sum
i=0
\sigma ivi+1 + vn + Vj(v1, . . . , vn)
\Biggr]
, j = 1, . . . , n - 2,
v\prime n - 1 =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
\Biggl[
fn - 1(t, v1, . . . , vn) - \lambda 0vn - 1 -
n - 2\sum
i=0
\sigma ivi+1 + vn + Vn - 1(v1, . . . , vn)
\Biggr]
,
v\prime n =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
\Biggl[
fn(t, v1, . . . , vn) + \gamma
n - 2\sum
i=0
\sigma ivi+1 - \gamma vn + Vn(v1, . . . , vn)
\Biggr]
,
где функции
fj(t, v1, . . . , vn) = - (\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)J
\prime
n(t)
\gamma Jn(t)
(1 + vj)
\prod n - 2
i=0
(1 + vi+1)
\sigma i
1 + vn
\delta (t, v1, . . . , vn)+
+
\biggl(
1 +
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)J
\prime
n(t)
\gamma Jn(t)
\biggr) (1 + vj)
\prod n - 2
i=0
(1 + vi+1)
\sigma i
1 + vn)
,
Vj(v1, . . . , vn) = - V (v1, . . . , vn)(1 + vj) - vj
\Biggl(
n - 2\sum
i=0
\sigma ivi+1 - vn
\Biggr)
, j = 1, . . . , n - 1,
fn(t, v1, . . . , vn) = - (\lambda 0 - 1)\varepsilon (t, v1, . . . , vn)+
+
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)J
\prime
n(t)
Jn(t)
n - 2\prod
i=0
(1 + vi+1)
\sigma i\delta (t, v1, . . . , vn)+
+
\biggl(
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)J
\prime
n(t)
Jn(t)
- \gamma
\biggr) \Biggl( n - 2\prod
i=0
(1 + vi+1)
\sigma i - 1 - vn
\Biggr)
,
Vn(v1, . . . , vn) = \gamma (1 + vn)V (v1, . . . , vn) + \gamma vn
\Biggl(
n - 2\sum
i=0
\sigma ivi+1 - vn
\Biggr)
и в силу условий (3.7), (3.24), (3.26), (3.27) таковы, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
fj(t, v1, . . . , vn) = 0, j = 1, . . . , n, равномерно по (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1
2
, (3.28)
Vj(0, . . . , 0) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| v1| +...+| vn| \rightarrow 0
Vj(v1, . . . , vn)
| v1| + . . .+ | vn|
= 0, j = 1, . . . , n. (3.29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1638 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
К данной системе дифференциальных уравнений, с целью упрощения ее вида, применим
дополнительное преобразование
vj = yj -
1
\gamma
yn, j = 1, . . . , n - 1, vn = yn. (3.30)
В результате получим систему дифференциальных уравнений вида
y\prime j =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
[Fj(t, y1, . . . , yn) - a0jyj+
+ a0jyj+1 + Y (y1, . . . , yn)] , j = 1, . . . , n - 2,
y\prime n - 1 =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
\biggl[
Fn - 1(t, y1, . . . , yn) - a0n - 1yn - 1+
+
a0n - 1
\gamma
yn + Yn - 1(y1, . . . , yn)
\biggr]
,
y\prime n =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
\Biggl[
Fn(t, y1, . . . , yn)+
+ \gamma
n - 1\sum
k=1
\sigma k - 1yk + (\sigma n - 1 - 1)yn + Yn(y1, . . . , yn)
\Biggr]
,
(3.31)
где
Fn(t, y1, . . . , yn) = fn
\biggl(
t, y1 -
1
\gamma
yn, . . . , yn - 1 -
1
\gamma
yn, yn
\biggr)
,
Yn(y1, . . . , yn) = Vn
\biggl(
y1 -
1
\gamma
yn, . . . , yn - 1 -
1
\gamma
yn, yn
\biggr)
,
Fj(t, y1, . . . , yn) =
= fj
\biggl(
t, y1 -
1
\gamma
yn, . . . , yn - 1 -
1
\gamma
yn, yn
\biggr)
- 1
\gamma
Fn(t, y1, . . . , yn), j = 1, . . . , n - 1,
Yj(y1, . . . , yn) = Vj
\biggl(
y1 -
1
\gamma
yn, . . . , yn - 1 -
1
\gamma
yn, yn
\biggr)
- 1
\gamma
Yn(y1, . . . , yn), j = 1, . . . , n - 1.
Таким образом, получена система дифференциальных уравнений (2.2), в которой функция
h(t) =
1
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
удовлетворяет условиям (2.3), а функции Fj , Yj , j = 1, . . . , n, удовле-
творяют в силу (3.28) и (3.29) условиям (2.3) и (2.4). Кроме того, матрица C = (cjk)
n
j,k=1 из
системы (2.2) в данном случае состоит из элементов вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1639
cjk = 0 при k \in \{ 1, . . . , n\} \setminus \{ j, j + 1\} , j = 1, . . . , n - 1,
cjj = - a0j , cjj+1 = a0j при j = 1, . . . , n - 1, cn - 1n - 1 = - a0n - 1, cn - 1n =
a0n - 1
\gamma
,
cnk = \gamma \sigma k - 1 при k = 1, . . . , n - 1, cnn = \sigma n - 1 - 1.
Нетрудно проверить, что характеристическое уравнение этой матрицы \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(C - \rho E) = 0, где
E — единичная (n\times n)-матрица, имеет вид (3.4), и поэтому в силу условий теоремы не имеет
корней с нулевой действительной частью. Значит, для системы дифференциальных уравнений
(3.31) выполнены все условия леммы 2.2. Согласно этой лемме система дифференциальных
уравнений (3.31) имеет по крайней мере одно решение (yj)
n
j=1 : [t2, \omega [ - \rightarrow \BbbR n, t2 \in [t1, \omega [,
стремящееся к нулю при t \uparrow \omega , причем таких решений существует m-параметрическое семей-
ство, если среди корней уравнения (3.4) имеется m корней (с учетом кратных), действительные
части которых имеют знак, противоположный знаку функции (\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) на промежутке
[a, \omega [. Каждому такому решению системы дифференциальных уравнений (3.31) в силу замен
(3.30) и (3.21) соответствует решение y : [t2, \omega [ - \rightarrow \Delta Y0 с асимптотическими при t \uparrow \omega пред-
ставлениями (3.8), (3.9), которое является P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решением.
Теорема 3.1 доказана.
Теперь приведем результат, вытекающий из данной теоремы и позволяющий записывать
асимптотические представления при t \uparrow \omega для P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решений в явном виде.
Теорема 3.2. Пусть \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
, функция f удовлетворяет условию
(RN)\lambda 0 , \gamma \not = 0 и медленно меняющиеся составляющие Lj функций \varphi j , j = 0, 1, . . . , n - 1,
в представлении (3.3) удовлетворяют условию S0. Тогда для каждого P\omega (Y0, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-
решения дифференциального уравнения (1.1) (в случае их существования) имеют место при
t \uparrow \omega асимптотические представления (3.8) и
y(n - 1)(t) = \nu n - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \gamma CJn(t)
n - 1\prod
j=0
Lj
\biggl(
\nu j | \pi \omega (t)|
a0j+1
\lambda 0 - 1
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\gamma
[1 + o(1)]. (3.32)
Доказательство. Допустим, что дифференциальное уравнение (1.1) имеет P\omega (Y0, . . . , Yn - 1,
\lambda 0)-решение y : [t0, \omega [ - \rightarrow \Delta Y0 . Тогда в силу теоремы 3.1 выполняются условия (3.5) – (3.7) и
для данного решения имеют место при t \uparrow \omega асимптотические соотношения (3.8) – (3.10).
Поскольку функции Lj , j = 0, 1, . . . , n - 1, удовлетворяют условию S0 и имеет место пред-
ставление (3.9), то
Lj
\Bigl(
\nu j | \pi \omega (t)| n - j - 1| y(n - 1)(t)|
\Bigr)
= Lj
\Bigl(
\nu j | \pi \omega (t)|
n - j - 1+ 1
\lambda 0 - 1
+o(1)
\Bigr)
=
= Lj
\biggl(
\nu j | \pi \omega (t)|
a0j+1
\lambda 0 - 1
+o(1)
\biggr)
= Lj
\Biggl(
\nu je
[1+o(1)] ln | \pi \omega (t)|
a0j+1
\lambda 0 - 1
\Biggr)
=
= Lj
\biggl(
\nu j | \pi \omega (t)|
a0j+1
\lambda 0 - 1
\biggr)
[1 + o(1)], j = 0, 1, . . . , n - 1, при t \uparrow \omega .
Учитывая эти асимптотические соотношения, записываем соотношение (3.10) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1640 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
| y(n - 1)(t)| \gamma = \alpha 0\nu n - 1\gamma CJn(t)
n - 1\prod
j=0
Lj
\biggl(
\nu j | \pi \omega (t)|
a0j+1
\lambda 0 - 1
\biggr)
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Отсюда следует, что для y(n - 1)(t) при t \uparrow \omega имеет место асимптотическое представление (3.32).
Поскольку в теоремах 3.1 и 3.2 a < \omega \leq +\infty , то они охватывают также случай, когда
\omega < +\omega 0 и функция f непрерывна на множестве
\Omega 0 = [a, \omega 0[ \times \Delta Y0 \times . . .\times \Delta Yn - 1 . (3.33)
Поэтому данные теоремы позволяют описывать также и асимптотику некоторых типов сингу-
лярных решений.
Определение 3.2. Решение дифференциального уравнения (1.1) будем называть сингуляр-
ным P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решением, если оно является P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решением
и при этом функция f в уравнении (1.1) является непрерывной на множестве (3.33), где \omega 0
таково, что a < \omega < \omega 0.
Определение 3.3. Пусть функция f непрерывна на множестве (3.33). Будем говорить,
что она удовлетворяет условию (RN)\lambda 0, \omega при \lambda 0 \in
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
и \omega \in ]a, \omega 0[, если
существуют числа \alpha 0 \in \{ - 1; 1\} , t0 \in [a, \omega [, непрерывная функция p : [t0, \omega ] - \rightarrow ]0,+\infty [ и
непрерывные правильно меняющиеся при zj \rightarrow Yj , j = 0, . . . , n - 1, функции \varphi j : \Delta Yj \rightarrow
\rightarrow ]0,+\infty [ порядков \sigma j , j = 0, . . . , n - 1, такие, что для любых непрерывно дифференцируемых
функций zj : [t0, \omega [ \rightarrow \Delta Yj , j = 0, 1, . . . , n - 1, удовлетворяющих условиям (3.2), имеет место
представление (3.3).
В случае, когда в представлении (3.3) функция p такова, что p(\omega ) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, имеем
Jn(t) \sim
\left\{
- p(\omega )(\omega - t)\mu n+1
\mu n + 1
, если \mu n \not = - 1,
- p(\omega ) \mathrm{l}\mathrm{n}(\omega - t), если \mu n = - 1,
при t \uparrow \omega ,
и поэтому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)J
\prime
n(t)
Jn(t)
= \mu n + 1.
Значит, в данном случае второе из условий (3.7) выполняется тогда и только тогда, когда
\mu n \not = - 1 и \mu n + 1 =
\gamma
\lambda 0 - 1
,
т. е. с учетом значений \lambda 0 лишь в случае, когда
\lambda 0 = 1 +
\gamma
\mu n + 1
\in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
. (3.34)
При этом первое из условий (3.7) и условия (3.6) примут вид
\alpha 0\nu n - 1\gamma (\mu n + 1) < 0, \nu j - 1\nu j
\biggl[
1 + (n - j)
\gamma
\mu n + 1
\biggr]
\gamma (\mu n + 1) < 0, j = 1, . . . , n - 1. (3.35)
Следовательно, из теорем 3.1 и 3.2 непосредственно вытекают следующие утверждения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1641
Следствие 3.1. Пусть функция f непрерывна на множестве (3.33). Пусть, кроме того,
\lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
, \omega \in ]a, \omega 0[, функция f удовлетворяет условию (RN)\lambda 0,\omega , \gamma \not = 0
и p(\omega ) > 0. Тогда для существования сингулярных P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решений диффе-
ренциального уравнения (1.1) необходимо, а если алгебраическое относительно \rho уравнение
(3.4) не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы наряду с
(3.1), (3.5) выполнялись условия (3.34) и (3.35). Более того, для каждого такого решения при
t \uparrow \omega имеют место асимптотические представления
y(j)(t) =
\biggl(
\gamma (t - \omega )
\mu n + 1
\biggr) n - j - 1
\prod n - 1
i=j+1
\biggl[
1 + (n - i)
\gamma
\mu n + 1
\biggr] y(n - 1)(t)[1 + o(1)], j = 0, . . . , n - 2, (3.36)
где y(n - 1)(t) — неявная функция вида
y(n - 1)(t) = \nu n - 1(\omega - t)
\mu n+1
\gamma
+o(1) при t \uparrow \omega ,
определяемая из асимптотического соотношения
| y(n - 1)(t)| \gamma \prod n - 1
j=0
Lj
\Bigl(
\nu j(\omega - t)n - j - 1| y(n - 1)(t)|
\Bigr) = - \alpha 0\nu n - 1\gamma Cp(\omega )
\mu n + 1
(\omega - t)\mu n+1[1 + o(1)],
в котором Lj
\bigl(
y(j)
\bigr)
= | y(j)| - \sigma j\varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
, j = 0, n - 1, — медленно меняющиеся составляющие
функций \varphi j , j = 0, . . . , n - 1, причем существует m-параметрическое семейство решений с
такими представлениями в случае, когда среди корней алгебраического уравнения (3.4) имеется
m корней (с учетом кратных), действительные части которых имеют знак, совпадающий со
знаком числа \gamma (\mu n + 1).
Следствие 3.2. Пусть выполняются условия следствия 3.1 и медленно меняющиеся со-
ставляющие Lj функций \varphi j , j = 0, 1, . . . , n - 1, в представлении (3.3) удовлетворяют условию
S0. Тогда для каждого сингулярного P\omega (Y0, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решения дифференциального уравне-
ния (1.1) (в случае их существования) при t \uparrow \omega имеют место асимптотические представления
(3.36) и
y(n - 1)(t) = \nu n - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \gamma Cp(\omega )
\mu n + 1
(\omega - t)\mu n+1
n - 1\prod
j=0
Lj
\biggl(
\nu j(\omega - t)
\mu n+1+(n - j - 1)\gamma
\gamma
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\gamma
[1 + o(1)].
Замечание 3.2. Аналогичные утверждения могут быть получены и для случая, когда p(\omega ) =
= 0. В этом случае в условиях этих утверждений и асимптотических соотношениях останется,
как и в теоремах 3.1, 3.2, интеграл Jn, поскольку он уже асимптотически не вычисляется.
Проиллюстрируем полученные результаты на двух примерах. Сначала рассмотрим диффе-
ренциальное уравнение
y(n) =
\sum l
k=1
\alpha kpk(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi kj
\Bigl(
y(j)
\Bigr)
\sum m
k=l+1
\alpha kpk(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi kj
\Bigl(
y(j)
\Bigr) , (3.37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1642 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
в котором \alpha k \in \{ - 1, 1\} , pk : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ (\omega \leq +\infty ) — непрерывная функция, \varphi kj :
\Delta Yj - \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная и правильно меняющаяся при yj \rightarrow Yj функция поряд-
ка \sigma kj , Yj равно либо нулю, либо \pm \infty , \Delta Yj — некоторая односторонняя окрестность Yj ,
k = 1, . . . ,m, j = 0, 1, . . . , n - 1.
Выбрав произвольным образом число \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
, предположим, что
существуют s \in \{ 1, . . . , l\} и r \in \{ l + 1, . . . ,m\} , для которых выполняются неравенства
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\uparrow \omega
\mathrm{l}\mathrm{n} pk(t) - \mathrm{l}\mathrm{n} ps(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \pi \omega (t)|
<
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\pi \omega (t)
\lambda 0 - 1
n - 1\sum
j=0
(\sigma sj - \sigma kj)a0j+1 при всех k \in \{ 1, . . . , l\} \setminus \{ s\}
(3.38)
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\uparrow \omega
\mathrm{l}\mathrm{n} pk(t) - \mathrm{l}\mathrm{n} pr(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \pi \omega (t)|
<
<
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\pi \omega (t)
\lambda 0 - 1
n - 1\sum
j=0
(\sigma rj - \sigma kj)a0j+1 при всех k \in \{ l + 1, . . . ,m\} \setminus \{ r\} , (3.39)
где a0k, k = 1, . . . , n, определены в лемме 2.1.
Покажем, что при выполнении этих условий правая часть уравнения (3.37) удовлетворяет
условию (RN)\lambda 0 .
Пусть zj : [t0, \omega [ - \rightarrow \Delta Yj , j = 0, 1, . . . , n - 1, — произвольные непрерывно дифференциру-
емые функции, удовлетворяющие условиям (3.2). Тогда для них имеют место асимптотические
соотношения
\mathrm{l}\mathrm{n} | zj(t)| =
\biggl(
a0j+1
\lambda 0 - 1
+ o(1)
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n} | \pi \omega (t)| , j = 0, 1, . . . , n - 1, при t \uparrow \omega .
Учитывая их, представления вида
\varphi kj(y
(j)) = | y(j)| \sigma kjLkj(y
(j)), k = 1, . . . ,m, j = 0, . . . , n - 1,
где Lkj(y
(j)) : \Delta Yj - \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная медленно меняющаяся функция при y(j) - \rightarrow Yj ,
а также свойство 2 медленно меняющихся функций (из введения), при k \in \{ 1, . . . , l\} \setminus \{ s\} имеем
\mathrm{l}\mathrm{n}
\left( pk(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi kj(zj(t))
ps(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi sj(zj(t))
\right) = \mathrm{l}\mathrm{n} pk(t) - \mathrm{l}\mathrm{n} ps(t) +
n - 1\sum
j=0
(\mathrm{l}\mathrm{n}\varphi kj(zj(t)) - \mathrm{l}\mathrm{n}\varphi sj(zj(t))) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} pk(t) - \mathrm{l}\mathrm{n} ps(t) +
n - 1\sum
j=0
((\sigma kj - \sigma sj) \mathrm{l}\mathrm{n} | zj(t)| + \mathrm{l}\mathrm{n}Lkj(zj(t)) - Lsj(zj(t))) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} pk(t) - \mathrm{l}\mathrm{n} ps(t) +
n - 1\sum
j=0
\mathrm{l}\mathrm{n} | zj(t)|
\biggl(
\sigma kj - \sigma sj +
\mathrm{l}\mathrm{n}Lkj(zj(t))
\mathrm{l}\mathrm{n} | zj(t)|
- \mathrm{l}\mathrm{n}Lsj(zj(t))
\mathrm{l}\mathrm{n} | zj(t)|
\biggr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1643
= \mathrm{l}\mathrm{n} pk(t) - \mathrm{l}\mathrm{n} ps(t) + \mathrm{l}\mathrm{n} | \pi \omega (t)|
n - 1\sum
j=0
\biggl(
(\sigma kj - \sigma sj)a0j+1
\lambda 0 - 1
+ o(1)
\biggr)
=
= | \mathrm{l}\mathrm{n} | \pi \omega (t)| |
\left( \mathrm{l}\mathrm{n} pk(t) - \mathrm{l}\mathrm{n} ps(t)
| \mathrm{l}\mathrm{n} | \pi \omega (t)| |
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\pi \omega (t)
\lambda 0 - 1
\left( n - 1\sum
j=0
(\sigma sj - \sigma kj)a0j+1 + o(1)
\right) \right) при t \uparrow \omega .
Отсюда в силу выполнения условия (3.38) следует, что выражение, стоящее слева, стремится к
- \infty при t \uparrow \omega , и поэтому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\left( pk(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi kj(zj(t))
ps(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi sj(zj(t))
\right) = 0 при всех k \in \{ 1, . . . , l\} \setminus \{ s\} .
Аналогично, с использованием условия (3.39) устанавливаем, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\left( pk(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi kj(zj(t))
pr(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi rj(zj(t))
\right) = 0 при всех k \in \{ l + 1, . . . ,m\} \setminus \{ r\} .
В силу этих предельных соотношений\sum l
k=1
\alpha kpk(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi kj (zj(t))\sum m
k=l+1
\alpha kpk(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi kj (zj(t))
=
\alpha sps(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi sj(zj(t))
\alpha rpr(t)
\prod n - 1
j=0
\varphi rj(zj(t))
[1 + o(1)] при t \uparrow \omega ,
т. е. имеет место асимптотическое соотношение (3.3), в котором
\alpha 0 = \alpha s\alpha r, p(t) =
ps(t)
pr(t)
, \varphi j(zj(t)) =
\varphi sj(zj(t))
\varphi rj(zj(t)
, j = 0, 1, . . . , n - 1,
причем здесь \varphi j — непрерывная правильно меняющаяся при zj - \rightarrow Yj функция порядка
\sigma j = \sigma sj - \sigma rj и ее медленно меняющаяся составляющая Lj равна отношению медленно
меняющихся составляющих Lsj и Lrj функций \varphi sj и \varphi rj .
Следовательно, правая часть уравнения (3.37) удовлетворяет условию (RN)\lambda 0 . Поэтому в
случае, когда при некоторых s \in \{ 1, . . . , l\} , r \in \{ l + 1, . . . ,m\} выполняются условия (3.38),
(3.39) и отлична от нуля постоянная \gamma = 1 -
\sum n - 1
j=0
(\sigma sj - \sigma rj), для уравнения (3.37) справедливы
теоремы 3.1 и 3.2 о существовании и асимптотике P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решений с заменой
в них постоянных \alpha 0, \sigma j , j = 0, 1, . . . , n - 1, и функций p, \varphi j , Lj , j = 0, 1, . . . , n - 1, на
указанные выше постоянные и функции.
Заметим также, что если \omega является внутренней точкой промежутка, на котором в уравнении
(3.37) непрерывны и положительны все функции pi, i = 1, . . . ,m, то неравенства (3.38), (3.39)
принимают соответственно вид
(\lambda 0 - 1)
n - 1\sum
j=0
(\sigma sj - \sigma kj)a0j+1 < 0 при всех k \in \{ 1, . . . , l\} \setminus \{ s\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1644 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
и
(\lambda 0 - 1)
n - 1\sum
j=0
(\sigma rj - \sigma kj)a0j+1 < 0 при всех k \in \{ l + 1, . . . ,m\} \setminus \{ r\} .
В данном случае при выполнении этих неравенств и неравенства 1 -
\sum n - 1
j=0
(\sigma sj - \sigma rj) \not =
\not = 0 для дифференциального уравнения (3.37) справедливы следствия 3.1 и 3.2 о наличии и
асимптотике сингулярных P\omega (Y0, Y1, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решений с заменой в них постоянных \alpha 0,
\sigma j , j = 0, 1, . . . , n - 1, и функций p, \varphi j , Lj , j = 0, 1, . . . , n - 1, на те же, что и выше.
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение
y(n) = p(t)| y| \sigma \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + | y| ), (3.40)
где p : [a,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная функция и \sigma > 1. Известно (см. [9, с. 262 – 273],
§ 11), что при любом \omega > a уравнение (3.40) имеет сингулярное решение второго рода y :
[a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ такое, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y(t) = +\infty .
Выясним, используя следствия 3.1 и 3.2, вопрос о наличии у дифференциального уравнения
(3.40) сингулярных P\omega (Y0, . . . , Yn - 1, \lambda 0)-решений при некотором \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
\biggr\}
.
Правая часть данного уравнения при любом \lambda 0 \in R \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
, 1
\biggr\}
и \omega > a заведомо
удовлетворяет условию (RN)\lambda 0,\omega , причем здесь
\alpha 0 = 1, \varphi (y) = | y| \sigma \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + | y| ), \gamma = 1 - \sigma < 0, \mu n = \sigma (n - 1),
медленно меняющаяся при y \rightarrow Y0 составляющая функции \varphi удовлетворяет условию S0, и
алгебраическое уравнение (3.4) принимает вид
(1 + \rho )
n - 1\prod
k=1
(a0k + \rho ) - \sigma = 0. (3.41)
В силу изложенного перед следствием 3.1 уравнение (3.40) может иметь сингулярные P\omega (Y0, . . .
. . . , Yn - 1, \lambda 0)-решения лишь в случае, когда \lambda 0 = 1 +
\gamma
\mu n + 1
. При таком \lambda 0 условия (3.34) и
(3.35) будут выполняться лишь в случае, когда \nu j - 1 = 1, j = 1, . . . , n, т. е. если Yj - 1 = +\infty ,
j = 1, . . . , n. Кроме того, учитывая неравенства 1 - \sigma < 0 и a0k > 0, k = 1, . . . , n - 1, нетрудно
убедиться в том, что уравнение (3.41) не имеет чисто мнимых корней. Поэтому согласно след-
ствиям 3.1 и 3.2 дифференциальное уравнение (3.41) имеет сингулярные P\omega (+\infty , . . . ,+\infty , \lambda 0)-
решения, где \lambda 0 = 1 +
\gamma
\mu n + 1
, и каждое из них допускает при t \uparrow \omega асимптотические пред-
ставления
y(j)(t) =
[\sigma (n - 1) + 1]j [(1 - \sigma )(t - \omega )]n - j - 1\prod n - 1
i=1
[\sigma (i - 1) + n - i+ 1]
y(n - 1)(t)[1 + o(1)], j = 0, . . . , n - 2,
y(n - 1)(t)=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (n - 1)(\sigma - 1)\sigma (n - 1)+1p(\omega )
[\sigma (n - 1) + 1]
\prod n - 1
i=0
[\sigma (i - 1) + n - i+ 1]\sigma
(\omega - t)\sigma (n - 1)+1 \mathrm{l}\mathrm{n}(\omega - t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
1 - \sigma
[1+o(1)].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ . . . 1645
Каждое такое решение дифференциального уравнения (3.40), очевидно, является сингуляр-
ным (по И. Т. Кигурадзе) решением второго рода.
Известно также (см. [9, с. 280 – 289], § 13), что если n четно и
+\infty \int
a
tn - 1p(t) dt = +\infty , (3.42)
то уравнение (3.40) имеет континуум исчезающих в бесконечности кнезеровских решений.
В случае четного n, использовав теоремы 3.1 и 3.2, выясним вопрос о наличии у диф-
ференциального уравнения (3.40) при некотором \lambda 0 \in \BbbR \setminus
\biggl\{
0,
1
2
, . . . ,
n - 2
n - 1
\biggr\}
исчезающих в
бесконечности P+\infty (0, 0, . . . , 0, \lambda 0)-решений. В силу теоремы 3.1 такие решения дифференци-
ального уравнения (3.40) могут существовать лишь в случае, когда
n - 2
n - 1
< \lambda 0 < 1, \nu n - 1 = 1, \nu j - 1 = ( - 1)j - 1, j = 1, . . . , n, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
tJ \prime
n(t)
Jn(t)
=
1 - \sigma
\lambda 0 - 1
,
т. е. лишь тогда, когда существует отличный от нуля конечный предел \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty
tJ \prime
n(t)
Jn(t)
,
\lambda 0 = 1 +
(1 - \sigma )Jn(t)
tJ \prime
n(t)
и
n - 2
n - 1
< \lambda 0 < 1.
При таком \lambda 0 выполняется условие (3.42), алгебраическое уравнение (3.41) не имеет чисто мни-
мых корней, а имеет (см. [10, с. 91], глава II, § 8) по крайней мере один корень с положительной
действительной частью. В этом случае, согласно теоремам 3.1 и 3.2, у дифференциального урав-
нения (3.40) существует бесконечное множество положительных P+\infty (0, 0, . . . , 0, \lambda 0)-решений
и для каждого из них при t \rightarrow +\infty имеют место асимптотические представления
y(j)(t) =
[(\lambda 0 - 1)t]n - j - 1\prod n - 1
i=j+1
a0i
y(n - 1)(t)[1 + o(1)], j = 0, 1, . . . , n - 2,
y(n - 1)(t) = -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (1 - \sigma )| \lambda 0 - 1| \sigma (n - 1) - 1[(n - 1)\lambda 0 - (n - 2)]\prod n - 1
i=1
| a0i| \sigma
Jn(t) \mathrm{l}\mathrm{n} t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
1 - \sigma
[1 + o(1)].
Эти решения уравнения (3.40) являются, очевидно, кнезеровскими.
Литература
1. Евтухов В. М., Кусик Л. И. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений второго
порядка // Дифференц. уравнения. – 2013. – 49, № 4. – С. 424 – 438.
2. Кусик Л. И. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных урав-
нений второго порядка // Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14, № 3. – С. 333 – 349.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
1646 В. М. ЕВТУХОВ, А. В. ДРОЖЖИНА
3. Кусик Л. И. Условия существования и асимптотика некоторого класса решений дифференциальных уравнений
второго порядка // Мат. студ. – 2014. – 41, № 2. – С. 184 – 197.
4. Евтухов В. М., Кусик Л. И. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. – 2009. – 14, вип. 20. –
С. 57 – 74.
5. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
6. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1998. – 295 c.
7. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений у вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. –
С. 52 – 80.
8. Евтухов В. М., Клопот А. М. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных урав-
нений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2014. – 50, № 5. –
С. 584 – 600.
9. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. – М.: Наука, 1990. – 430 с.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
Получено 17.06.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1006 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:18Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/65/763c08d392c184802adc55c6ffbe8965.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10062020-01-20T13:11:37Z Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений : Асимптотические представления решений Асимптотичні зображення розв'язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь: Асимптотичні зображення розв'язків Evtukhov, V. M. Droggina, A. V. Евтухов, В. М. Дрожжина, А.В. Євтухов, В. М. Дрожжина, А. В. The conditions of existence and asymptotic representations as $t\uparrow\omega \ (\omega\le +\infty)$ are obtained for one class of solutions of nonautonomous differential equations of the $n$th order that are asymptotically close, in a certain sense, to the equations with regularly varying nonlinearities. Устанавливаются условия существования и асимптотические при $t\uparrow\omega \ (\omega\le +\infty$) представления одного класса решений дифференциальных уравнений $n$- го порядка, асимптотически близких в некотором смысле к уравнениям с правильно меняюшимися нелинейностями. Встановлено умови існування та асимптотичні при $t\uparrow\omega \ (\omega\le +\infty)$ зображення одного класу розв'язків неавтономних диференціальних рівнянь $n$-го порядку, що у деякому сенсі є асимптотично близькими до рівнянь із правильно змінними нелінійностями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1006 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 12 (2019); 1626-1646 Український математичний журнал; Том 71 № 12 (2019); 1626-1646 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1006/1522 Copyright (c) 2019 Вячеслав Евтухов,Анастасія Дрожжіна |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Droggina, A. V. Евтухов, В. М. Дрожжина, А.В. Євтухов, В. М. Дрожжина, А. В. Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions |
| title | Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions |
| title_alt | Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений : Асимптотические представления решений Асимптотичні зображення розв'язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь: Асимптотичні зображення розв'язків |
| title_full | Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions |
| title_fullStr | Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions |
| title_full_unstemmed | Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions |
| title_short | Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: Asymptotic representations of solutions |
| title_sort | asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations: asymptotic representations of solutions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1006 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofnonautonomousordinarydifferentialequationsasymptoticrepresentationsofsolutions AT drogginaav asymptoticrepresentationsofsolutionsofnonautonomousordinarydifferentialequationsasymptoticrepresentationsofsolutions AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofnonautonomousordinarydifferentialequationsasymptoticrepresentationsofsolutions AT drožžinaav asymptoticrepresentationsofsolutionsofnonautonomousordinarydifferentialequationsasymptoticrepresentationsofsolutions AT êvtuhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofnonautonomousordinarydifferentialequationsasymptoticrepresentationsofsolutions AT drožžinaav asymptoticrepresentationsofsolutionsofnonautonomousordinarydifferentialequationsasymptoticrepresentationsofsolutions AT evtukhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijasimptotičeskiepredstavleniârešenij AT drogginaav asimptotičeskiepredstavleniârešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijasimptotičeskiepredstavleniârešenij AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijasimptotičeskiepredstavleniârešenij AT drožžinaav asimptotičeskiepredstavleniârešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijasimptotičeskiepredstavleniârešenij AT êvtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijasimptotičeskiepredstavleniârešenij AT drožžinaav asimptotičeskiepredstavleniârešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijasimptotičeskiepredstavleniârešenij AT evtukhovvm asimptotičnízobražennârozv039âzkívneavtonomnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹasimptotičnízobražennârozv039âzkív AT drogginaav asimptotičnízobražennârozv039âzkívneavtonomnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹasimptotičnízobražennârozv039âzkív AT evtuhovvm asimptotičnízobražennârozv039âzkívneavtonomnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹasimptotičnízobražennârozv039âzkív AT drožžinaav asimptotičnízobražennârozv039âzkívneavtonomnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹasimptotičnízobražennârozv039âzkív AT êvtuhovvm asimptotičnízobražennârozv039âzkívneavtonomnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹasimptotičnízobražennârozv039âzkív AT drožžinaav asimptotičnízobražennârozv039âzkívneavtonomnihzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹasimptotičnízobražennârozv039âzkív |