Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals
In the work we done the research of questions on approximation $(\psi,\beta)$-differentiable in the understanding of Stepanets functions that $(\psi, \beta)$-derivative belongs to the class $H^{\alpha}$, by biharmonic Poisson integrals in uniform metric
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1007 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507124184907776 |
|---|---|
| author | Abdullayev, F. G. Kharkevych, Yu. I. Абдуллаев, Ф. Г. Харкевич, Ю. И. Абдуллаєв, Ф. Г. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Abdullayev, F. G. Kharkevych, Yu. I. Абдуллаев, Ф. Г. Харкевич, Ю. И. Абдуллаєв, Ф. Г. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Abdullayev, F. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-02-03T10:25:35Z |
| description | In the work we done the research of questions on approximation $(\psi,\beta)$-differentiable in the understanding of Stepanets functions that $(\psi, \beta)$-derivative belongs to the class $H^{\alpha}$, by biharmonic Poisson integrals in uniform metric |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ф. Г. Абдуллаєв (Киргиз.-Тур. ун-т „Манас”, Бiшкек; Мерсiн. ун-т, Туреччина),
Ю. I. Харкевич (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ \bfitC \bfitpsi
\bfitbeta \bfitH
\bfitalpha
БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА
We study the problem of approximation of (\psi , \beta )-differentiable (in Stepanets’ sense) functions whose (\psi , \beta )-derivative
belongs to the class H\alpha by biharmonic Poisson integrals in the uniform metric.
Дослiджується питання наближення (\psi , \beta )-диференцiйовних у розумiннi О. I. Степанця функцiй, (\psi , \beta )-похiдна
яких належить класу H\alpha , бiгармонiчними iнтегралами Пуассона в рiвномiрнiй метрицi.
Нехай C — простiр 2\pi -перiодичних неперервних функцiй, в якому норма задається за допомо-
гою рiвностi \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| ; L — простiр 2\pi -перiодичних сумовних на перiодi функцiй, в
якому норма задається рiвнiстю \| f\| L =
\int \pi
- \pi
\bigm| \bigm| f(t)\bigm| \bigm| dt.
Нехай, далi, функцiя f \in L i S[f ] =
a0(f)
2
+
\sum \infty
k=1
\bigl(
ak(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx)
\bigr)
— її ряд
Фур’є.
Якщо \psi (k) — фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел i \beta — деяке дiйсне число, а ряд
\infty \sum
k=1
1
\psi (k)
\biggl(
ak(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr)
+ bk(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr) \biggr)
(1)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї \varphi , то функцiю \varphi , згiдно з О. I. Степанцем (див. [1,
с. 132]), називають (\psi , \beta )-похiдною функцiї f i позначають f\psi \beta . Множину сумовних функ-
цiй f, для яких iснує (\psi , \beta )-похiдна, позначають через L\psi \beta , а пiдмножину неперервних функцiй
iз L\psi \beta — через C\psi \beta .
Якщо f \in C\psi \beta i при цьому f\psi \beta \in H\alpha , 0 \leq \alpha < 1, тобто\bigm| \bigm| f\psi \beta (x+ h) - f\psi \beta (x)
\bigm| \bigm| \leq | h| \alpha , x, h \in [0, 2\pi ],
то кажуть, що f належить класу C\psi \beta H
\alpha .
Зазначимо, що якщо \psi (k) = k - r, r > 0, то C\psi \beta = W r
\beta i f\psi \beta = f
(r)
\beta — (r, \beta )-похiдна в сенсi
Вейля – Надя.
Послiдовностi \psi (k), якi входять в означення (\psi , \beta )-похiдних, взагалi кажучи, можуть бути
довiльними. Але, як показав О. I. Степанець [1], у багатьох випадках можна обмежитися,
без iстотних втрат загальностi, лише додатними опуклими донизу послiдовностями \psi (k), якi
задовольняють умову \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \psi (k) = 0.
Будемо вважати, що послiдовнiсть \psi (k) є звуженням на множину натуральних чисел функ-
цiй неперервного аргумента t \geq 1 з множини
\frakM =
\Bigl\{
\psi (t) : \psi (t) > 0, \psi (t1) - 2\psi
\bigl(
(t1 + t2)/2
\bigr)
+ \psi (t2) \geq 0 \forall t1, t2 \in [1,\infty ), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\psi (t) = 0
\Bigr\}
.
c\bigcirc Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2020
20 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 21
Як показано в [1], будь-яка сумовна (неперервна) функцiя f обов’язково має (\psi , \beta )-похiдну,
яка також є сумовною (неперервною), i при цьому \psi належить \frakM .
Iз множини \frakM видiлимо пiдмножину
\frakM 0 =
\biggl\{
\psi \in \frakM : 0 <
t
\eta (t) - t
\leq K \forall t \geq 1
\biggr\}
,
де \eta (t) = \eta (\psi ; t) = \psi - 1
\biggl(
1
2
\psi (t)
\biggr)
, а K — деяка стала, яка, можливо, залежить вiд \psi .
Нехай U(\rho ;x) = Un(\rho ; f ;x) — полiгармонiчна функцiя порядку n в одиничному крузi
| z| < 1 (z = \rho eix), тобто є розв’язком рiвняння
\Delta nU(\rho ;x) = 0, (2)
де \Delta =
\partial 2
\partial \rho 2
+
1
\rho
\partial
\partial \rho
+
1
\rho 2
\partial 2
\partial x2
— оператор Лапласа в полярних координатах.
Розв’язок рiвняння (2) iз заданими граничними умовами
U(\rho ;x)
\bigm| \bigm| \bigm|
\rho =1
= f(x),
\partial k
\partial \rho k
U(\rho ;x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\rho =1
= 0, k = 1, 2, . . . , n - 1, (3)
де f — сумовна 2\pi -перiодична функцiя, далi будемо позначати так: Pn(\rho ; f ;x) = Un(\rho ; f ;x),
n \in \BbbN . Згiдно з формулою (3.127.5) iз монографiї М. П. Тiмана [2], розв’язок крайової задачi (2),
(3) можна записати у виглядi
Pn(\rho ; f ;x) =
a0
2
+
\infty \sum
i=1
\lambda i(\rho ;n) (ai \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ix+ bi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ix) , 0 \leq \rho < 1,
де ai, bi — коефiцiєнти Фур’є функцiї f,
\lambda i(\rho ;n) = \rho i
n - 1\sum
k=0
\bigl(
1 - \rho 2
\bigr) k
Q(k; i),
Q(k; i) =
i(i+ 2)(i+ 4) . . . (i+ 2k - 2)
k!2k
, i = 0, 1, . . . , Q(k; 0) = 1.
Поклавши \rho = e -
1
\delta , \delta > 0, величину Pn(\rho ; f ;x) запишемо у виглядi
Pn(\delta ; f ;x) =
a0
2
+
\infty \sum
i=1
\lambda i(\delta ;n) (ai \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ix+ bi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ix) ,
\lambda i (\delta ;n) = e -
i
\delta
n - 1\sum
k=0
\bigl(
1 - e -
2
\delta
\bigr) k
Q(k; i).
(4)
При n = 1, 2 з формули (4) отримуємо величини
P1(\delta ; f ;x) =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
e -
k
\delta (ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
22 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
P2(\delta ; f ;x) =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
\biggl(
1 +
k
2
\bigl(
1 - e -
2
\delta
\bigr) \biggr)
e -
k
\delta (ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx),
якi називають вiдповiдно iнтегралом Пуассона та бiгармонiчним iнтегралом Пуассона функ-
цiї f.
Для класiв C\psi \beta H
\alpha будемо розглядати величину
\scrE
\bigl(
C\psi \beta H
\alpha ;B\delta
\bigr)
C
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\psi \beta H\alpha
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - B\delta (f ; \cdot )
\bigm\| \bigm\|
C
.
Якщо в явному виглядi знайдена функцiя \varphi (\delta ) є такою, що \scrE
\bigl(
C\psi \beta H
\alpha ;B\delta
\bigr)
C
= \varphi (\delta ) +
+ o
\bigl(
\varphi (\delta )
\bigr)
при \delta \rightarrow \infty , то говорять (див., наприклад, [3, с. 8]), що розв’язано задачу Колмого-
рова – Нiкольського для методу B\delta (f ;x) на класi C\psi \beta H
\alpha в метрицi простору C.
Вивченню апроксимативних властивостей iнтегралiв Пуассона на класах диференцiйовних
функцiй присвячено роботи [4 – 13], зокрема на класах C\psi \beta H
\alpha — роботу [14].
Початок дослiджень апроксимативних властивостей бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона бу-
ло покладено в роботi С. Канiєва [15]. Далi дослiдження в даному напрямку були продовженi в
роботах [16 – 22]. Що ж стосується питання про апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iн-
тегралiв Пуассона на класах C\psi \beta H
\alpha з точки зору задачi Колмогорова – Нiкольського, то воно до
цього часу залишалось вiдкритим. Тому мета даної роботи полягає в отриманнi асимптотичних
рiвностей для величини \scrE
\bigl(
C\psi \beta H
\alpha ;B\delta
\bigr)
C
при \delta \rightarrow \infty .
Справджуються такi твердження.
Теорема 1. Нехай \psi належить \frakM 0, функцiя g(u) = g(\psi ;u) := u2\psi (u) опукла донизу на
[b,\infty ), b \geq 1,
\int \infty
1
g(u)
u
du <\infty , 0 \leq \alpha < 1 i \beta \in \BbbR . Тодi при \delta \rightarrow \infty має мiсце асимптотична
рiвнiсть
\scrE
\bigl(
C\psi \beta H
\alpha ;B\delta
\bigr)
C
=
1
\delta 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\psi \beta H\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (2)0
2
+ f
(1)
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
+
+O(1)
\left( 1
\delta 3
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du+
1
\delta 2+\alpha
\infty \int
\delta
u\psi (u) du
\right) , (5)
де f
(1)
0 i f (2)0 — вiдповiдно (1,0)- i (2,0)-похiдна в сенсi Вейля – Надя функцiї f, а O(1) —
величина, рiвномiрно обмежена по \beta i \delta .
Доведення. Для довiльної функцiї \tau через \widehat \tau (t) позначимо її перетворення Фур’є вигляду
\widehat \tau (t) = \widehat \tau (\beta ; t) := 1
\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
ut+
\beta \pi
2
\Bigr)
, du, \beta \in \BbbR , (6)
а через A\alpha (\tau ), 0 \leq \alpha < 1, — величину
A\alpha (\tau ) = A\alpha (\tau ;\beta ) :=
1
\pi
\infty \int
- \infty
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt, \beta \in \BbbR . (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 23
Для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона, аналогiчно до формули (6) роботи [21], розглянемо
пiдсумовуючу функцiю
\tau (u) = \tau (\psi ; \delta ;u) :=
\left\{
(1 - (1 + \gamma u) e - u)
\psi (1)
\psi (\delta )
, 0 \leq u \leq 1
\delta
,
(1 - (1 + \gamma u) e - u)
\psi (\delta u)
\psi (\delta )
, u \geq 1
\delta
,
(8)
де \gamma :=
1
2
\bigl(
1 - e -
2
\delta
\bigr)
\delta . Перетворення Фур’є \widehat \tau (t) функцiї (8) сумовне на всiй числовiй осi
(див. [19]).
Застосовуючи метод доведення леми iз роботи [14], можна показати, що якщо функцiю (8)
подано у виглядi \tau (u) = \varphi (u) + \nu (u), перетворення Фур’є \widehat \varphi (t) i \widehat \nu (t) вигляду (6) сумовнi на
всiй дiйснiй осi, iнтеграли A\alpha (\varphi ) i A\alpha (\nu ) вигляду (7) збiгаються i A\alpha (\nu ) = o
\bigl(
A\alpha (\varphi )
\bigr)
, \delta \rightarrow \infty ,
то при 0 \leq \alpha < 1 i \delta \rightarrow \infty справджується асимптотична рiвнiсть
\scrE (C\psi \beta H
\alpha ;B\delta )C = \psi (\delta ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\psi \beta H\alpha
\| f\varphi \| C +O
\biggl(
\psi (\delta )
\delta \alpha
A\alpha (\nu )
\biggr)
, (9)
де f\varphi (x) :=
\int \infty
- \infty
\biggl(
f\psi \beta
\biggl(
x+
t
\delta
\biggr)
- f\psi \beta (x)
\biggr) \widehat \varphi (t) dt.
Аналогiчно до доведення теореми 2.1 iз роботи [23], запишемо функцiю \tau (u), задану за
допомогою спiввiдношення (8), у виглядi \tau (u) = \varphi (u) + \nu (u), де
\varphi (u) = \varphi (\psi ; \delta ;u) :=
\left\{
\biggl(
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
\psi (1)
\psi (\delta )
, 0 \leq u \leq 1
\delta
,\biggl(
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
\psi (\delta u)
\psi (\delta )
, u \geq 1
\delta
,
(10)
\nu (u) = \nu (\psi ; \delta ;u) :=
\left\{
\biggl(
1 - (1 + \gamma u)e - u - u2
2
- u
\delta
\biggr)
\psi (1)
\psi (\delta )
, 0 \leq u \leq 1
\delta
,\biggl(
1 - (1 + \gamma u)e - u - u2
2
- u
\delta
\biggr)
\psi (\delta u)
\psi (\delta )
, u \geq 1
\delta
,
(11)
а \gamma = \gamma (\delta ) =
1
2
\bigl(
1 - e -
2
\delta
\bigr)
\delta . Перетворення Фур’є \widehat \varphi (t) i \widehat \nu (t) функцiй (10) i (11) сумовнi на всiй
числовiй осi (цей факт встановлено в роботi [19]).
Доведемо збiжнiсть iнтеграла A\alpha (\varphi ). Для цього, згiдно з теоремою 1 iз роботи [24], необ-
хiдно i достатньо показати збiжнiсть iнтегралiв
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| ,
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| , \infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \beta \pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (u)\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du,
1\int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
24 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Оскiльки
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| \leq \psi (1)
(2 - \alpha )\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
+ \delta \alpha
\infty \int
1
\delta
u
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| ,
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| \leq 2\alpha
\infty \int
1
\delta
u
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| , \infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| \leq \infty \int
1
\delta
u
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| ,
то, повторюючи метод оцiнювання iнтеграла (21) iз роботи [17], оцiнюємо iнтеграл
\int \infty
1
\delta
u
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm|
на кожному з промiжкiв
\biggl[
1
\delta
,
b
\delta
\biggr]
i
\biggl[
b
\delta
,\infty
\biggr)
(при \delta > 2b).
Враховуючи формули (23), (27) iз роботи [17] i опуклiсть донизу функцiї g(u), отримуємо
спiввiдношення
b
\delta \int
1
\delta
u
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| = O(1)
\delta 2\psi (\delta )
,
\infty \int
b
\delta
u
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| = O(1)
\delta 2\psi (\delta )
.
Тодi при \delta \rightarrow \infty справедливими є оцiнки
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| = O(1)
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
,
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| = O(1)
\delta 2\psi (\delta )
, (12)
\infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| = O(1)
\delta 2\psi (\delta )
. (13)
Далi, враховуючи (10) i те, що
\int \infty
1
u\psi (u) du <\infty , маємо
\infty \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (u)\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
5\psi (1)
4(1 - \alpha )\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
+
1
\psi (\delta )
\infty \int
1
\delta
\biggl(
u
2
+
1
\delta
\biggr)
\psi (\delta u)
u\alpha
du =
O(1)
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
. (14)
Щод оцiнити iнтеграл
\int 1
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du, запишемо його у виглядi суми двох
iнтегралiв
1\int
0
| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)|
u1+\alpha
du =
\left( 1 - 1
\delta \int
0
+
1\int
1 - 1
\delta
\right) \bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 25
Введемо функцiю \mu (u) =
u2
2
+
u
\delta
й оцiнимо перший доданок iз правої частини (15), додаючи
i вiднiмаючи пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину \mu (1 - u) - \mu (1 + u). В
результатi отримаємо
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du+
+O(1)
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u) - \mu (1 - u) + \mu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du. (16)
Iз спiввiдношення (10) випливає, що при u \in [0, 1 - 1/\delta ]
\mu (1 - u) =
\psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 - u)
\bigr) \varphi (1 - u), \mu (1 + u) =
\psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) \varphi (1 + u),
тодi
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u) - \mu (1 - u) + \mu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du \leq
\leq
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 - u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
+
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
. (17)
З огляду на (12) i (13), на основi леми 1 iз роботи Л. I. Баусова [24, с. 4] отримуємо нерiвнiсть
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 - u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
+
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
\leq
\leq KH(\alpha ;\varphi )
\left( 1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 - u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
+
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
\right) , (18)
H(\alpha ;\varphi ) = | \varphi (0)| +| \varphi (1)| +
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| +
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| + \infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\varphi \prime (u)
\bigm| \bigm| . (19)
Тут i далi через K,Ki, i = 1, 2, . . . , позначено сталi, взагалi кажучи, рiзнi в рiзних спiввiдно-
шеннях.
Оскiльки, згiдно з теоремою 3.12.1 iз роботи [1, с. 161],
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
u\rightarrow 0
1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 - u)
\bigr)
u
=
| \psi \prime (\delta )| \delta
\psi (\delta )
\leq K1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
u\rightarrow 0
\psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) - 1
u
=
| \psi \prime (\delta )| \delta
\psi (\delta )
\leq K1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
26 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
то функцiї
1 - \psi (\delta )/\psi
\bigl(
\delta (1 - u)
\bigr)
u
i
\psi (\delta )/\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr)
- 1
u
обмеженi при всiх u \in [0, 1 - 1/\delta ] .
Тому з (16) – (18) випливає, що
1 - 1
\delta \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1 - 1
\delta \int
0
| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)|
u1+\alpha
du+O(1)H(\alpha ;\varphi ). (20)
Розглянемо тепер другий доданок iз правої частини (15). Очевидно, що
1\int
1 - 1
\delta
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1\int
1 - 1
\delta
\bigm| \bigm| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du+
+O(1)
1\int
1 - 1
\delta
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u) - \mu (1 - u) + \mu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du. (21)
З (10) при u \in
\biggl[
1 - 1
\delta
; 1
\biggr]
маємо
\mu (1 - u) =
\psi (\delta )
\psi (1)
\varphi (1 - u), \mu (1 + u) =
\psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) \varphi (1 + u),
тодi, аналогiчно до (17) i (18), отримуємо
1\int
1 - 1
\delta
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du \leq
\leq KH(\alpha ;\varphi )
\left( 1\int
1 - 1
\delta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi (1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
+
1\int
1 - 1
\delta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du
u1+\alpha
\right) . (22)
Оскiльки функцiї 1 - \psi (\delta )
\psi (1)
i
\psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) - 1 обмеженi при всiх u \in
\biggl[
1 - 1
\delta
, 1
\biggr]
, \delta > 1, то
1\int
1 - 1
\delta
\biggl(
1 - \psi (\delta )
\psi (1)
\biggr)
du
u1+\alpha
+
1\int
1 - 1
\delta
\Biggl(
\psi (\delta )
\psi
\bigl(
\delta (1 + u)
\bigr) - 1
\Biggr)
du
u1+\alpha
= O(1). (23)
На пiдставi спiввiдношень (21) i (23) одержуємо
1\int
1 - 1
\delta
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1\int
1 - 1
\delta
| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)|
u1+\alpha
du+O(1)H(\alpha ;\varphi ). (24)
Об’єднуючи формули (20) i (24), приходимо до рiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 27
1\int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1\int
0
| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)|
u1+\alpha
du+O(1)H(\alpha ;\varphi ). (25)
Враховуючи, що
\int 1
0
| \mu (1 - u) - \mu (1 + u)|
u1+\alpha
du =
\int 1
0
2u+
u
\delta
u1+\alpha
= O(1), а також той факт, що
на основi (10), (12), (13) i (19) справедливою є оцiнка
H(\alpha ;\varphi ) = O(1)
\biggl(
1 +
1
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
\biggr)
, (26)
остаточно отримуємо
1\int
0
\bigm| \bigm| \varphi (1 - u) - \varphi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du = O(1)
\biggl(
1 +
1
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
\biggr)
. (27)
Таким чином, встановлено збiжнiсть iнтеграла A\alpha (\varphi ), а отже, згiдно з теоремою 1 iз робо-
ти [24], з урахуванням формул (10), (12), (14) i (27), оцiнку
A\alpha (\varphi ) = O(1)
\biggl(
1 +
1
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
\biggr)
.
Оцiнимо тепер iнтеграл A\alpha (\nu ). Для цього, згiдно з теоремою 1 iз роботи [24], достатньо
оцiнити iнтеграли
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| ,
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha | d\nu \prime (u)| ,
\infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| , (28)
\infty \int
0
| \nu (u)|
u1+\alpha
du,
1\int
0
\bigm| \bigm| \nu (1 - u) - \nu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du. (29)
Розглянемо функцiю
\phi (u) = \phi (\delta ;u) := 1 - e - u - \gamma ue - u - u2
2
- u
\delta
. (30)
Неважко переконатись, що
\phi (u) \leq 0, \phi \prime (u) < 0, \phi \prime \prime (u) < 0, u \geq 0. (31)
Для першого iнтеграла з (28) маємо
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| = \psi (1)
\psi (\delta )
1
\delta \int
0
u1 - \alpha | \phi \prime \prime (u)| du+
1
2\int
1
\delta
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| .
Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
28 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| \leq 1
\psi (\delta )
\Bigl( \bigm| \bigm| \phi \prime \prime (u)\bigm| \bigm| \psi (\delta u) + 2
\bigm| \bigm| \phi \prime (u)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi \prime (\delta u)
\bigm| \bigm| \delta + | \phi (u)| \psi \prime \prime (\delta u)\delta 2
\Bigr)
du, (32)
то дослiдимо функцiї \phi (u), \phi \prime (u) i \phi \prime \prime (u) при невеликих значеннях u > 0.
Враховуючи (32) i те, що
e - u \leq 1 - u+
u2
2
, e - u \geq 1 - u, (33)
отримуємо
| \phi (u)| = u2
2
+
u
\delta
- 1 + e - u + \gamma ue - u \leq
\biggl(
- 1 + \gamma +
1
\delta
\biggr)
u+ (1 - \gamma )u2 + \gamma
u3
2
,
\bigm| \bigm| \phi \prime (u)\bigm| \bigm| = u+
1
\delta
- e - u + \gamma e - u - \gamma ue - u \leq
\biggl(
- 1 + \gamma +
1
\delta
\biggr)
+ 2(1 - \gamma )u+
3
2
\gamma u2,\bigm| \bigm| \phi \prime \prime (u)\bigm| \bigm| = e - u - 2\gamma e - u + \gamma ue - u + 1 \leq (2 - 2\gamma ) + 3\gamma u.
Звiдси, внаслiдок нерiвностей
\gamma < 1, 1 - \gamma <
1
\delta
, - 1 + \gamma +
1
\delta
<
2
3\delta 2
, (34)
випливає, що\bigm| \bigm| \phi (u)\bigm| \bigm| < 2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
u3
2
,
\bigm| \bigm| \phi \prime (u)\bigm| \bigm| < 2
3\delta 2
+
2
\delta
u+
3
2
u2,
\bigm| \bigm| \phi \prime \prime (u)\bigm| \bigm| < 2
\delta
+ 3u. (35)
Застосування останньої нерiвностi з (35) дозволяє записати оцiнку
\psi (1)
\psi (\delta )
1
\delta \int
0
u1 - \alpha | \phi \prime \prime (u)| du \leq 1
\psi (\delta )
1
\delta \int
0
u1 - \alpha
\biggl(
2
\delta
+ 3u
\biggr)
du =
K
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
. (36)
Враховуючи (32) i (35), маємо
1
2\int
1
\delta
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| \leq 5
\psi (\delta )
1
2\int
1
\delta
u2 - \alpha \psi (\delta u) du+
+
25\delta
3\psi (\delta )
1
2\int
1
\delta
u3 - \alpha | \psi \prime (\delta u)| du+
13\delta 2
6\psi (\delta )
1
2\int
1
\delta
u4 - \alpha \psi \prime \prime (\delta u) du. (37)
Iнтегруючи частинами останнiй iнтеграл iз (37) i застосовуючи теореми 3.16.1 [1, с. 175] i 3.12.1
[1, с. 161], одержуємо
1
2\int
1
\delta
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| < 13\delta
\bigm| \bigm| \psi \prime \bigl( \delta
2
\bigr) \bigm| \bigm|
6 \cdot 24 - \alpha \psi (\delta )
+
13 | \psi \prime (1)|
6\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
+
5
\psi (\delta )
1
2\int
1
\delta
u2 - \alpha \psi (\delta u) du+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 29
+
(102 - 4\alpha )\delta
6\psi (\delta )
1
2\int
1
\delta
u3 - \alpha | \psi \prime (\delta u)| du \leq K1 +
K2
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
+
K3
\psi (\delta )
1
2\int
1
\delta
u2 - \alpha \psi (\delta u) du. (38)
Отже, з (36) i (38) маємо
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| = O(1)
\left( 1 +
1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
+
1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du
\right) . (39)
Оцiнимо тепер другий i третiй iнтеграли з (28). Для цього знайдемо оцiнки зверху величин\bigm| \bigm| \phi (u)\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \phi \prime (u)\bigm| \bigm| i
\bigm| \bigm| \phi \prime \prime (u)\bigm| \bigm| , якi зручно застосовувати при великих значеннях u. З урахуванням (31),
перших нерiвностей з (33), (34) i нерiвностi e - u \leq 1, u \geq 0, отримуємо
| \phi (u)| = - 1 + e - u + \gamma ue - u +
u2
2
+
u
\delta
\leq u2 +
u
\delta
. (40)
Аналогiчно, з урахуванням (31) i нерiвностi \gamma < 1 знаходимо\bigm| \bigm| \phi \prime (u)\bigm| \bigm| = - e - u + \gamma e - u - \gamma ue - u + u+
1
\delta
\leq u+
1
\delta
, (41)
а з допомогою (31) i нерiвностi ue - u \leq 1, u \geq 0, маємо\bigm| \bigm| \phi \prime \prime (u)\bigm| \bigm| = e - u(1 - 2\gamma + \gamma u) + 1 \leq 3. (42)
Легко бачити, що
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| \leq 2\alpha
3
2\int
1
2
u
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| , \infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| \leq 2\alpha
\infty \int
3
2
u
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| . (43)
З (32) i (40) – (42) випливає оцiнка
\infty \int
1
2
u
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| \leq 3
\psi (\delta )
\infty \int
1
2
u\psi (\delta u) du+
4\delta
\psi (\delta )
\infty \int
1
2
u2| \psi \prime (\delta u)| du+
2\delta 2
\psi (\delta )
\infty \int
1
2
u3\psi \prime \prime (\delta u) du. (44)
Застосовуючи метод iнтегрування частинами до останнього iнтеграла з (44) i теореми 3.16.1
[1, с. 175] i 3.12.1 [1, с. 161], одержуємо
\infty \int
1
2
u
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| \leq 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi \prime
\biggl(
\delta
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
4\psi (\delta )
+
3
\psi (\delta )
\infty \int
1
2
u\psi (\delta u) du+
10\delta
\psi (\delta )
\infty \int
1
2
u2
\bigm| \bigm| \psi \prime (\delta u)
\bigm| \bigm| du \leq
\leq K1 +
K2
\psi (\delta )
\infty \int
1
2
u\psi (\delta u) du \leq K3 +
K2
\psi (\delta )
\infty \int
1
u\psi (\delta u) du. (45)
На основi (43) i (45) робимо висновок, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
30 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| = O(1)
\left( 1 +
1
\delta 2\psi (\delta )
\infty \int
\delta
u\psi (u) du
\right) , (46)
\infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\nu \prime (u)\bigm| \bigm| = O(1)
\left( 1 +
1
\delta 2\psi (\delta )
\infty \int
\delta
u\psi (u) du
\right) . (47)
Використавши схему оцiнювання першого iнтеграла з (56) iз роботи [11], знайдемо оцiнки
iнтеграла
\int \infty
0
| \nu (u)|
u1+\alpha
du на промiжках
\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
,
\biggl[
1
\delta
; 1
\biggr]
i [1;\infty ). Враховуючи першу нерiвнiсть
з (35) i (40), маємо
1
\delta \int
0
| \nu (u)|
u1+\alpha
du \leq \psi (1)
\psi (\delta )
1
\delta \int
0
\biggl(
2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
1
2
u3
\biggr)
du
u1+\alpha
=
K1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
,
1\int
1
\delta
| \nu (u)|
u1+\alpha
du \leq
1\int
1
\delta
\biggl(
2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
1
2
u3
\biggr)
\psi (\delta u)
\psi (\delta )
du
u1+\alpha
\leq
\leq 13
6\psi (\delta )
1\int
1
\delta
u2 - \alpha \psi (\delta u) du =
K2
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du,
\infty \int
1
| \nu (u)|
u1+\alpha
du \leq
\infty \int
1
\Bigl(
u2 +
u
\delta
\Bigr) \psi (\delta u)
\psi (\delta )
du
u1+\alpha
\leq
\leq 2
\psi (\delta )
\infty \int
1
u1 - \alpha \psi (\delta u) du =
K3
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
\infty \int
\delta
u1 - \alpha \psi (u) du.
Звiдси
\infty \int
0
\bigm| \bigm| \nu (u)\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
= O(1)
\left( 1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
+
1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du+
1
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
\infty \int
\delta
u1 - \alpha \psi (u) du
\right) . (48)
Можна показати, що для другого iнтеграла з (29) має мiсце спiввiдношення, аналогiчне
до (25), тобто
1\int
0
\bigm| \bigm| \nu (1 - u) - \nu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1\int
0
\bigm| \bigm| \phi (1 - u) - \phi (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du+O(1)H(\alpha ; \nu ), (49)
де величина H(\alpha ; \nu ) визначена рiвнiстю (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 31
Виконуючи елементарнi перетворення, приходимо до рiвностi\bigm| \bigm| \phi (1 + u) - \phi (1 - u)
\bigm| \bigm| = \Bigl( e - (1+u) - e - (1 - u)
\Bigr)
(1 + \gamma ) + u
\biggl(
e - (1+u) + e - (1 - u) + 2 +
2
\delta
\biggr)
. (50)
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}u\rightarrow 0
e - (1 - u) - e - (1+u)
u
=
2
e
, то функцiя
e - (1 - u) - e - (1+u)
u
обмежена при всiх
u \geq 0. Тому згiдно з (49), (50) маємо
1\int
0
\bigm| \bigm| \nu (1 - u) - \nu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du = O(1)
\bigl(
1 +H(\alpha ; \nu )
\bigr)
. (51)
З (39), (46), (47) i (51) робимо висновок, що
1\int
0
\bigm| \bigm| \nu (1 - u) - \nu (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
= O(1)
\left( 1 +
1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
+
1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du+
1
\delta 2\psi (\delta )
\infty \int
\delta
u\psi (u) du
\right) . (52)
З теореми 1 роботи [24], враховуючи (39), (46) – (48), (52) i те, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow \infty
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow \infty
\delta \int
1
u\psi (u) du = K1,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow \infty
1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow \infty
1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
\delta 2\psi (\delta )
\delta \int
1
u - \alpha du = K2,
отримуємо
A\alpha (\nu ) = O(1)
\left( 1
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du+
1
\delta 2\psi (\delta )
\infty \int
\delta
u\psi (u) du
\right) . (53)
Отже, ми переконались у збiжностi iнтегралiв A\alpha (\varphi ), A\alpha (\nu ), 0 \leq \alpha < 1, а також у тому,
що A\alpha (\nu ) = o
\bigl(
A\alpha (\varphi )
\bigr)
, \delta \rightarrow \infty , тобто в справедливостi рiвностi (9).
Згiдно з (9) i оцiнкою (53) справджується рiвнiсть
\scrE (C\psi \beta H
\alpha ;B\delta )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\psi \beta H\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \psi (\delta )
\infty \int
- \infty
\biggl(
f\psi \beta
\biggl(
x+
t
\delta
\biggr)
- f\psi \beta (x)
\biggr) \widehat \varphi (t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
+
+O(1)
\left( 1
\delta 3
\delta \int
1
u2 - \alpha \psi (u) du+
1
\delta 2+\alpha
\infty \int
\delta
u\psi (u) du
\right) , \delta \rightarrow \infty . (54)
Як i при доведеннi рiвностi (98) з [25], можна показати, що ряд Фур’є функцiї f\varphi (x) має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
32 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
S[f\varphi ] =
\infty \sum
k=1
\biggl(
k2
2\delta 2\psi (\delta )
+
k
\delta 2\psi (\delta )
\biggr)
(ak(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx),
де ak(f), bk(f), k \in \BbbN , — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
З останньої рiвностi i формули (1) маємо
f\varphi (x) =
1
\delta 2\psi (\delta )
\Biggl(
f
(2)
0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
\Biggr)
. (55)
Пiдставляючи (55) в (54), отримуємо (5).
Теорему 1 доведено.
Прикладом функцiй \psi \in \frakM , для яких справедливою є теорема 1, є функцiї вигляду \psi (u) =
= u - r, \psi (u) = u - r \mathrm{l}\mathrm{n}\varepsilon (u + K), \psi (u) = u - r \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g} u, \psi (u) = (K + e - u)u - r, u \geq 1, r > 2,
\varepsilon < - 1, K > 0.
Наведемо наслiдок з теореми 1 для функцiй \psi (u) = u - r, r > 2.
Наслiдок. Нехай r > 2, 0 \leq \alpha < 1 i \beta \in \BbbR . Тодi при \delta \rightarrow \infty має мiсце асимптотична
рiвнiсть
\scrE
\bigl(
W r
\beta H
\alpha ;B\delta
\bigr)
C
=
1
\delta 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta H
\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (2)0
2
+ f
(1)
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
+O(1)\Upsilon (r, \alpha ), (56)
де
\Upsilon (r, \alpha ) =
\left\{
1
\delta r+\alpha
, r + \alpha < 3,
\mathrm{l}\mathrm{n} \delta
\delta 3
, r + \alpha = 3,
1
\delta 3
, r + \alpha > 3,
f
(1)
0 (x) i f (2)0 (x) — вiдповiдно (1,0)- i (2,0)-похiднi в сенсi Вейля – Надя, а O(1) — величина,
рiвномiрно обмежена по \beta i \delta .
Теорема 2. Нехай \psi належить \frakM , функцiя g(u) = u2\psi (u) опукла донизу на [b,\infty ), b \geq 1,
\infty \int
1
u3\psi (u) du <\infty , (57)
0 \leq \alpha < 1 i \beta \in \BbbR . Тодi при \delta \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE (C\psi \beta H
\alpha ;B\delta )C =
1
\delta 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\psi \beta H\alpha
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (2)0
2
+ f
(1)
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C
+
O(1)
\delta 3
, (58)
де f
(1)
0 i f (2)0 — вiдповiдно (1,0)- i (2,0)-похiднi в сенсi Вейля – Надя функцiї f, а O(1) —
величина, рiвномiрно обмежена по \alpha , \beta i \delta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 33
Доведення. Покажемо, що iнтеграл A\alpha (\tau ) вигляду (7) збiгається. Для цього запишемо
функцiю \tau (u) вигляду (8) як суму функцiй \varphi (u) i \nu (u), якi визначаються вiдповiдно форму-
лами (10) i (11). Тодi дослiдимо на збiжнiсть iнтеграл A\alpha (\varphi ) вигляду (7). Для цього подiлимо
множину ( - \infty ,\infty ) на двi пiдмножини: ( - \infty , - \delta ) \cup (\delta ,+\infty ) i [ - \delta , \delta ].
З [18, с. 1101] отримуємо
\int
| t| \geq \delta
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\varphi (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt \leq 2K1
(1 - \alpha )\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
. (59)
Знайдемо оцiнку iнтеграла A\alpha (\varphi ) на промiжку [ - \delta , \delta ]. Оскiльки має мiсце умова (57), то
\delta \int
- \delta
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\varphi (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt \leq 2\delta 1+\alpha
1 + \alpha
\infty \int
0
\bigm| \bigm| \varphi (u)\bigm| \bigm| du =
=
4\psi (1)
3\psi (\delta )\delta 2 - \alpha
1
1 + \alpha
+
2\delta 1+\alpha
(1 + \alpha )\psi (\delta )
\infty \int
1
\delta
\biggl(
u2
2
+
u
\delta
\biggr)
\psi (\delta u) du \leq K2
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
. (60)
Iз спiввiдношень (59), (60) при \delta \rightarrow \infty випливає оцiнка
A\alpha (\varphi ) =
O(1)
\delta 2 - \alpha \psi (\delta )
.
Отже, iнтеграл A\alpha (\varphi ) збiгається на всiй числовiй осi.
Далi покажемо збiжнiсть iнтеграла A\alpha (\nu ), який визначається за допомогою формули (7).
Для цього подiлимо множину ( - \infty ,\infty ) на двi частини: [ - \delta , \delta ] i ( - \infty , - \delta ) \cup (\delta ,\infty ) так, що
A\alpha (\nu ) =
\delta \int
- \delta
| t| \alpha | \widehat \nu (t)| dt+ \int
| t| >\delta
| t| \alpha | \widehat \nu (t)| dt = I1(\delta ) + I2(\delta ), (61)
I1(\delta ) = I1(\psi ;\alpha ; \delta ) :=
\delta \int
- \delta
| t| \alpha | \widehat \nu (t)| dt, I2(\delta ) = I2(\psi ;\alpha ; \delta ) :=
\int
| t| >\delta
| t| \alpha | \widehat \nu (t)| dt.
Врахувавши першу нерiвнiсть iз (35) i те, що
\int \infty
1
u3\psi (u) du < \infty , знайдемо оцiнку iнте-
грала I1(\delta ):
I1(\delta ) \leq
1
\pi
\delta \int
- \delta
| t| \alpha
\infty \int
0
| \nu (u)| du dt = 2\delta 1+\alpha
(1 + \alpha )\pi
\infty \int
0
| \nu (u)| du =
=
2\delta 1+\alpha
(1 + \alpha )\pi
1
\delta \int
0
| \phi (u)| \psi (1)
\psi (\delta )
du+
2\delta 1+\alpha
(1 + \alpha )\pi
\infty \int
1
\delta
| \phi (u)| \psi (\delta u)
\psi (\delta )
du \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
34 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
\leq 2\delta 1+\alpha
(1 + \alpha )\pi
1
\delta \int
0
\biggl(
2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
u3
2
\biggr)
\psi (1)
\psi (\delta )
du+
+
2\delta 1+\alpha
(1 + \alpha )\pi
\infty \int
1
\delta
\biggl(
2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
u3
2
\biggr)
\psi (\delta u)
\psi (\delta )
du \leq K3
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
. (62)
Оцiнимо iнтеграл I2(\delta ). Оскiльки, згiдно з [18, с. 1105],\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\nu (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K4
t2\delta 2\psi (\delta )
,
то при \delta \rightarrow \infty отримуємо
I2(\delta ) =
1
\pi
\int
| t| >\delta
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\nu (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt \leq K5
(1 - \alpha )\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
. (63)
Об’єднуючи формули (61) – (63), записуємо оцiнку
A\alpha (\nu ) =
O(1)
\delta 3 - \alpha \psi (\delta )
. (64)
Отже, iнтеграли A\alpha (\varphi ) й A\alpha (\nu ) вигляду (7) збiгаються i A\alpha (\nu ) = o (A\alpha (\varphi )) . Тому на
основi (9), враховуючи оцiнку (64), отримуємо (58).
Теорему 2 доведено.
Прикладом функцiй \psi \in \frakM , для яких виконуються умови теореми 2, але не виконуються
умови теореми 1, є функцiї \psi (t) = e - \gamma t
r
, \gamma \in \BbbR , r > 0.
Зауваження. При виконаннi умов теорем 1 i 2 рiвностi (5) i (58) дають розв’язок задачi
Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона на класах C\psi \beta H
\alpha в рiвно-
мiрнiй метрицi.
Лiтература
1. А. И. Степанец, Методы теории приближения, Ин-т математики НАН Украины, Киев (2002), ч. 1.
2. М. Ф. Тиман, Аппроксимация и свойства периодических функций, Наук. думка, Киев (2009).
3. А. И. Степанец, Классификация и приближение периодических функций, Наук. думка, Киев (1987).
4. И. П. Натансон, О порядке приближения непрерывной 2\pi -периодической функции при помощи ее интеграла
Пуассона, Докл. АН СССР, 72, № 1, 11 – 14 (1950).
5. А. Ф. Тиман, Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций интегра-
лами Пуассона, Докл. АН СССР, 74, № 1, 17 – 20 (1950).
6. B. Nagy, Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son int\'\mathrm{e}grale de Poisson, Acta Math. Acad. Sci. Hungar.,
1, 183 – 188 (1950).
7. Э. Л. Штарк, Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p} 1 от их
сингулярного интеграла Абеля – Пуассона, Мат. заметки, 13, № 1, 21 – 28 (1973).
8. В. А. Баскаков, О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля – Пуассона, Мат. заметки, 17,
№ 2, 169 – 180 (1975).
9. I. V. Kal’chuk, Yu. I. Kharkevych, Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes
by the Poisson integrals, Acta Comment. Univ. Tartu. Math., 22, № 1, 23 – 36 (2018).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ C\psi \beta H
\alpha БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 35
10. Yu. I. Kharkevych, K. V. Pozharska, Asymptotics of approximation of conjugate functions by Poisson integrals, Acta
Comment. Univ. Tartu. Math., 22, № 2, 235 – 243 (2018).
11. Yu. I. Kharkevych, T. V. Zhyhallo, Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions defined on the real axis by
Abel – Poisson operators, Ukr. Math. J., 57, № 8, 1297 – 1315 (2005).
12. K. M. Zhyhallo, Yu. I. Kharkevych, Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel – Poisson
integrals, Ukr. Math. J., 61, № 1, 86 – 98 (2009).
13. T. V. Zhyhallo, Yu. I. Kharkevych, Approximation of functions from the class C\psi \beta ,\infty by Poisson integrals in the
uniform metric, Ukr. Math. J., 61, № 12, 1893 – 1914 (2009).
14. Ю. И. Харкевич, Т. А. Степанюк, Аппроксимативные свойства интегралов Пуассона на классах C\psi \beta H
\alpha , Мат.
заметки, 96, № 6, 939 – 952 (2014).
15. С. Каниев, Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений, Докл. АН СССР, 153,
№ 5, 995 – 998 (1963).
16. S. B. Hembars’ka, K. M. Zhyhallo, Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes,
Ukr. Math. J., 69, № 7, 1075 – 1084 (2017).
17. T. V. Zhyhallo, Yu. I. Kharkevych, Approximation of function from class \widehat C\psi \beta ,\infty by Poisson biharmonic operators in
the uniform metric, Ukr. Math. J., 60, № 5, 769 – 798 (2008).
18. K. M. Zhyhallo, Yu. I. Kharkevych, Approximation of functions from the classes C\psi \beta ,\infty by biharmonic Poisson
integrals, Ukr. Math. J., 63, № 7, 1083 – 1107 (2011).
19. K. M. Zhyhallo, Yu. I. Kharkevych, Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions of low smoothness by biharmonic
Poisson integrals, Ukr. Math. J., 63, № 12, 1820 – 1844 (2012).
20. T. V. Zhyhallo, Yu. I. Kharkevych, Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes \widehat L\psi \beta ,1 ,
Ukr. Math. J., 69, № 5, 757 – 765 (2017).
21. I. V. Kal’chuk, Yu. I. Kharkevych, Approximating properties of biharmonic Poisson integrals in the classes W r
\beta H
\alpha ,
Ukr. Math. J., 68, № 11, 1727 – 1740 (2017).
22. U. Z. Hrabova, I. V. Kal’chuk, T. A. Stepaniuk, On the approximation of the classes W r
\beta H
\alpha by biharmonic Poisson
integrals, Ukr. Math. J., 70, № 5, 719 – 729 (2018).
23. U. Z. Hrabova, I. V. Kal’chuk, T. A. Stepaniuk, Approximative properties of the Weierstrass integrals on the classes
W r
\beta H
\alpha , J. Math. Sci. (N.Y.), 231, № 1, 41 – 47 (2018).
24. Л. И. Баусов, Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами, II, Изв.
вузов, 55, № 6, 3 – 17 (1966).
25. Yu. I. Kharkevych, I. V. Kal’chuk, Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions by Weierstrass integrals, Ukr.
Math. J., 59, № 7, 1059 – 1087 (2007).
Одержано 16.07.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1007 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:19Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/92/22ad4b93bd77132bcdff116be69a4b92.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10072020-02-03T10:25:35Z Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals Приближение классов $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ бигармоническими интегралами Пуассона Наближення класів $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ бігармонічними інтегралами Пуассона Abdullayev, F. G. Kharkevych, Yu. I. Абдуллаев, Ф. Г. Харкевич, Ю. И. Абдуллаєв, Ф. Г. Харкевич, Ю. І. Ряди Фур'є асимптотична рівність бігармонічні інтеграли Пуассона (ψ, β) - похідна умова Ліпшиця Fourier series asymptotic equality biharmonic Poisson integral ( ψ, β) -derivative Lipschitz condition In the work we done the research of questions on approximation $(\psi,\beta)$-differentiable in the understanding of Stepanets functions that $(\psi, \beta)$-derivative belongs to the class $H^{\alpha}$, by biharmonic Poisson integrals in uniform metric В работе проведено исследование вопросов приближения $(\psi,\beta)$-дифференцируемых в понимании А.И. Степанца функций, $(\psi, \beta) $-производная которых принадлежит классу $H^{\alpha}$, бигармоническими интегралами Пуассона в равномерной метрике У роботі проведено дослідження питань наближення $(\psi, \beta)$-диференційовних в розумінні О.І. Степанця функцій, $(\psi, \beta)$-похідна яких належить класу $H^{\alpha}$, бігармонічними інтегралами Пуассона в рівномірній метриці Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-01-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1007 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 1 (2020); 20-35 Український математичний журнал; Том 72 № 1 (2020); 20-35 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1007/1544 |
| spellingShingle | Abdullayev, F. G. Kharkevych, Yu. I. Абдуллаев, Ф. Г. Харкевич, Ю. И. Абдуллаєв, Ф. Г. Харкевич, Ю. І. Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title | Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_alt | Приближение классов $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ бигармоническими интегралами Пуассона Наближення класів $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_full | Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_fullStr | Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_short | Approximation of the classes $C^{\psi}_{\beta}H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals |
| title_sort | approximation of the classes $c^{\psi}_{\beta}h^{\alpha}$ by biharmonic poisson integrals |
| topic_facet | Ряди Фур'є асимптотична рівність бігармонічні інтеграли Пуассона (ψ β) - похідна умова Ліпшиця Fourier series asymptotic equality biharmonic Poisson integral ( ψ β) -derivative Lipschitz condition |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1007 |
| work_keys_str_mv | AT abdullayevfg approximationoftheclassescpsibetahalphabybiharmonicpoissonintegrals AT kharkevychyui approximationoftheclassescpsibetahalphabybiharmonicpoissonintegrals AT abdullaevfg approximationoftheclassescpsibetahalphabybiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûi approximationoftheclassescpsibetahalphabybiharmonicpoissonintegrals AT abdullaêvfg approximationoftheclassescpsibetahalphabybiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûí approximationoftheclassescpsibetahalphabybiharmonicpoissonintegrals AT abdullayevfg približenieklassovcpsibetahalphabigarmoničeskimiintegralamipuassona AT kharkevychyui približenieklassovcpsibetahalphabigarmoničeskimiintegralamipuassona AT abdullaevfg približenieklassovcpsibetahalphabigarmoničeskimiintegralamipuassona AT harkevičûi približenieklassovcpsibetahalphabigarmoničeskimiintegralamipuassona AT abdullaêvfg približenieklassovcpsibetahalphabigarmoničeskimiintegralamipuassona AT harkevičûí približenieklassovcpsibetahalphabigarmoničeskimiintegralamipuassona AT abdullayevfg nabližennâklasívcpsibetahalphabígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT kharkevychyui nabližennâklasívcpsibetahalphabígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT abdullaevfg nabližennâklasívcpsibetahalphabígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT harkevičûi nabližennâklasívcpsibetahalphabígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT abdullaêvfg nabližennâklasívcpsibetahalphabígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT harkevičûí nabližennâklasívcpsibetahalphabígarmoníčnimiíntegralamipuassona |