Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes
UDC 519.21 We establish the rate of convergence to the exponential distribution in the general limit theorem for the extreme values of regenerative processes. We also suggest some applications of this result to birth and death processes and queue length processes.
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1028 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507125918203904 |
|---|---|
| author | Zakusylo, O. K. Matsak , I. K. Закусило, Олег Закусило, О. К. Мацак, І. К. |
| author_facet | Zakusylo, O. K. Matsak , I. K. Закусило, Олег Закусило, О. К. Мацак, І. К. |
| author_sort | Zakusylo, O. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:59Z |
| description | UDC 519.21
We establish the rate of convergence to the exponential distribution in the general limit theorem for the extreme values of regenerative processes. We also suggest some applications of this result to birth and death processes and queue length processes. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i8.1028 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i8.1028
УДК 519.21
О. К. Закусило, I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI
ДЛЯ ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ РЕГЕНЕРУЮЧИХ ПРОЦЕСIВ
We establish the rate of convergence to the exponential distribution in the general limit theorem for the extreme values
of regenerative processes. We also suggest some applications of this result to birth and death processes and queue length
processes.
Встановлено швидкiсть збiжностi до експоненцiального розподiлу в загальнiй граничнiй теоремi для екстремумiв
регенеруючих процесiв. Наведено приклади застосувань отриманого результату до процесiв народження та загибелi
i процесiв, якi задають довжину черги.
1. Вступ. Основна теорема. Розглянемо регенеруючий випадковий процес (в.п.) X(t), t \geq 0,
X(t) = \xi k(t - Sk - 1) при t \in [Sk - 1, Sk),
де Sk = T1 + . . . + Tk, k \geq 1, S0 = 0, \$k = (Tk, \xi k(t)), k \geq 1, — нескiнченна послiдовнiсть
незалежних циклiв, однаково розподiлених з циклом \$ = (T, \xi (t)), T \geq 0, майже напевно
(м.н.) (див., наприклад, [1], ч. II, гл. 2, [2], гл. 11, § 8). Звичайно точки Sk називають моментами
регенерацiї, а промiжок [Sk - 1, Sk) — k-м перiодом регенерацiї.
На в.п. \xi i(t) будемо накладати умову сепарабельностi. Тодi сепарабельним буде i в.п. X(t).
Введемо в.п.
Z(t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq s<t
X(s), t \geq 0.
Однiєю з задач про асимптотичну поведiнку Z(t) є вивчення умов, за яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bfP (\beta (t)(Z(t) - \alpha (t)) < x) = G(x), (1)
де G(x) — невироджена функцiя розподiлу, \alpha (t) i \beta (t) — невипадковi функцiї. Так, на основi
класичної теорiї екстремальних значень незалежних однаково розподiлених випадкових ве-
личин (н.о.р.в.в.) у рядi робiт (див., наприклад, огляд [3]) вивчались екстремальнi значення
довжини черги та часу чекання в черзi для систем масового обслуговування (СМО). Аналогiчнi
задачi ставились i для процесiв народження та загибелi [4].
Але в багатьох важливих випадках рiвностi типу (1) не мають мiсця, тобто при лiнiйних
нормуваннях для Z(t) не iснує невиродженого граничного розподiлу. Тому у статтi [5] запро-
поновано дещо iнший пiдхiд до подiбних задач.
Введемо послiдовнiсть н.о.р.в.в.
Zk = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Sk - 1\leq s<Sk
X(s), k = 1, 2, . . . .
Будемо вважати, що для всiх u \in \bfR
q(u) = \bfP (Zk \geq u) > 0 i q(u) \downarrow 0 при u \uparrow \infty ,
c\bigcirc О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК, 2020
1064 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1065
тобто Zk — м.н. скiнченна та необмежена випадкова величина (в.в.)
Нехай a = \bfE Tk < \infty . У роботi [5] для досить широких класiв регенеруючих в.п. було
встановлено асимптотичну рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
u\rightarrow \infty
\bfP (Z (t\ast ) \geq u) = 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x) \forall x > 0, (2)
де
t\ast = t\ast (x, u) = xa/q(u).
Також було наведено приклади, для яких величини a та q(u) знаходяться конструктивно.
У данiй роботi вивчається швидкiсть збiжностi у спiввiдношеннi (2). Крiм того, ми розгля-
немо кiлька застосувань до процесiв народження та загибелi i процесiв, якi задають довжину
черги в СМО.
Введемо деякi необхiднi для подальшого викладу позначення. Нехай T -
k — довжини циклiв,
на яких вiдбулася подiя \{ Zk < u\} (цикли типу 1),
F - (x) = \bfP
\bigl(
T -
k < x
\bigr)
= \bfP (Tk < x/Zk < u) ,
a - =
\infty \int
0
xdF - (x), a - 2 =
\infty \int
0
x2dF - (x).
Аналогiчнi позначення
T+
k , F+(x), a+, a+2
вiднесемо до циклiв 2-го типу, на яких вiдбулася протилежна подiя \{ Zk \geq u\} .
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема 1. Нехай x > 0, t\ast означено пiсля рiвностi (2),
\Delta \ast (x) = \bfP (Z (t\ast ) \geq u) - 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x)
i
\bfE T 2 = a2 <\infty . (3)
Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \Delta \ast (x)| \leq \kappa \ast (q(u)), (4)
де
\kappa \ast (q(u)) =
\bigl(
1 + e - 1
\bigr) | a - a - |
a -
+ C\ast q(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)),
C\ast = (\pi ) - 1(1 + \delta )
\bigl(
1 + a2/2a
2
\bigr)
, \delta > 0.
Важливим кроком на шляху доведення теореми 1 є таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1066 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК
Твердження 1. Нехай x > 0, \^t = \^t(x, u) = xa - /q(u),
\^\Delta (x) = \bfP (Z(\^t) \geq u) - 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x)
i виконується умова (3).
Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
\bigm| \bigm| \bigm| \^\Delta (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \^\kappa (q(u)), (5)
де
\^\kappa (q(u)) =
a+
a -
q(u) + \^Cq(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)), (6)
\^C = (\pi ) - 1(1 + \delta )
\Bigl(
1 + a - 2 /2
\bigl(
a -
\bigr) 2\Bigr)
, \delta > 0.
2. Допомiжнi леми.
Лема 1. Нехай F1(x) i F2(x) — функцiї розподiлу, а
\varphi 1(t) =
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(itx)dF1(x) i \varphi 2(t) =
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(itx)dF2(x)
— вiдповiднi характеристичнi функцiї. Крiм того, нехай для деякого K > 0 та будь-яких
x, y \in R
| F2(x) - F2(y)| \leq K| x - y| . (7)
Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in R
| F1(x) - F2(x)| \leq b
+\Lambda \int
- \Lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi 1(t) - \varphi 2(t)
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt+ Kbc2(b)
\Lambda
, \Lambda > 0, b > (2\pi ) - 1, (8)
де c(b) — додатна стала, яка залежить лише вiд b.
Ця лема є наслiдком узагальненої теореми Ессена (див. [6], гл. 5, § 1, теорема 1).
Для наших цiлей важливим є випадок стандартного експоненцiального розподiлу, F2(x) =
= 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x), x \geq 0. Для нього виконується умова (7) з K = 1, а \varphi 2(t) =
1
1 - it
. Крiм того,
якщо F1(0) = 0, то нерiвнiсть (8) набирає вигляду
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| F1(x) - 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x)| \leq b
+\Lambda \int
- \Lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\varphi 1(t) -
1
1 - it
t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt+
bc2(b)
\Lambda
. (9)
Нехай \zeta , \zeta 1, \zeta 2, . . . — послiдовнiсть додатних н.о.р.в.в., \nu — геометрично розподiлена в.в.,
незалежна вiд послiдовностi (\zeta i),
\bfP (\nu = k) = q(1 - q)k - 1, k = 1, 2, . . . , 0 < q < 1.
Покладемо
S\nu =
\nu \sum
k=1
\zeta k, \Delta 0(x) = \bfP (qS\nu < x) - 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x).
Наступна лема бере свiй початок у роботi Реньї [7] (див. також [8], [9], гл. 8, § 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1067
Лема 2. Якщо \bfE \zeta = 1 i \bfE \zeta 2 = \beta 2 <\infty , то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \Delta 0(x)| \leq \kappa 0(q), (10)
\kappa 0(q) = C0q \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q
+O(q), (11)
де C0 можна вибрати у виглядi C0 = (\pi ) - 1(1 + \delta )(1 + \beta 2/2), \delta > 0.
Доведення. Нехай \psi (t) = \bfE \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(it\zeta ) — характеристична функцiя в.в. \zeta . Оскiльки в.в. \nu та
послiдовнiсть (\zeta i) незалежнi, то
\varphi (t) = \bfE \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(itS\nu ) =
q\psi (t)
1 - (1 - q)\psi (t)
.
Тодi
\varphi (qt) =
q\psi (qt)
1 - (1 - q)\psi (qt)
— характеристична функцiя в.в. qS\nu . З останньої рiвностi та нерiвностi (9) отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \Delta 0(x)| \leq b
+\Lambda \int
- \Lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\psi (qt)
1 - (1 - q)\psi (qt)
- 1
1 - it
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt| t| + bc2(b)
\Lambda
. (12)
Щоб оцiнити iнтеграл в (12), покладемо
L(q, t) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\psi (qt)
1 - (1 - q)\psi (qt)
- 1
1 - it
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Як вiдомо, в умовах леми 2 має мiсце зображення
\psi (t) = 1 + it - \beta 2
2
t2\theta , \theta = \theta (t), | \theta | \leq 1, (13)
а отже, згiдно з рiвнiстю (13) маємо
L(q, t) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
\biggl(
1 + iqt - \beta 2
2
q2t2\theta
\biggr)
1 - (1 - q)
\biggl(
1 + iqt - \beta 2
2
q2t2\theta
\biggr) - 1
1 - it
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 + iqt - \beta 2
2
q2t2\theta
1 - it(1 - q) +
\beta 2
2
q(1 - q)t2\theta
- 1
1 - it
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
qt2
\biggl(
1 +
\beta 2
2
(iqt - 1)\theta
\biggr)
\surd
1 + t2
\biggl(
1 - it(1 - q) +
\beta 2
2
q(1 - q)t2\theta
\biggr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (14)
Далi виберемо довiльне мале \delta \in (0, 1) i позначимо C = 2\delta /\beta 2, \Lambda = C/q. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1068 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + \beta 2
2
(iqt - 1)\theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1 +
\beta 2
2
(C + 1) = 1 + \delta +
\beta 2
2
. (15)
Тепер при досить малих q > 0, \delta > 0, t \not = 0 оцiнимо знизу знаменник у формулi (14). Оскiльки
| \beta 2qt/2| \leq \delta , то\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + it(1 - q) +
\beta 2
2
qt2(1 - q)\theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = | t| (1 - q)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| i+ 1
t(1 - q)
+
\beta 2
2
qt\theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq | t| (1 - q). (16)
Iз нерiвностей (14) – (16) одержуємо
L(q, t) \leq C1q| t| \surd
1 + t2
, (17)
де C1 =
1 + \delta +
\beta 2
2
1 - q
.
Нерiвнiсть (17) дозволяє оцiнити зверху iнтеграл у (12). Маємо
\int
1\leq | t| \leq \Lambda
L(q, t)
| t|
dt \leq 2C1q
C/q\int
1
dt
t
= 2C1q \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q
+O(q) (18)
i \int
| t| \leq 1
L(q, t)
| t|
dt \leq 2C1q
1\int
0
dt\surd
1 + t2
= 2C1q. (19)
Iз (18), (19) безпосередньо випливає оцiнка
\Lambda \int
- \Lambda
L(q, t)
| t|
dt \leq 2C1q \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q
+O(q). (20)
Виберемо досить мале \delta > 0 i покладемо b = (2\pi ) - 1(1 + \delta ). Оскiльки останнiй доданок у
нерiвностi (12) обмежений величиною bc2(b)q/C, то разом iз (20) це i дає оцiнки (10), (11).
Лему 2 доведено.
Зауваження 1. У роботi [8] розглядався бiльш загальний випадок, коли у в.в. \zeta iснує мо-
мент s-го порядку, 1 < s \leq 2. Оцiнка (10) дещо уточнює вiдповiдну оцiнку iз [8] при s = 2.
Далi вважаємо, що
\sum m - 1
k=1
= 0 при m = 1.
Лема 3. В умовах леми 2\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP (qS\nu < x) - \bfP
\Biggl(
q
\nu - 1\sum
k=1
\zeta k < x
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq q \forall x \geq 0. (21)
Нерiвнiсть (21) доводиться легко. Дiйсно,
\bfP
\Biggl(
q
\nu - 1\sum
k=1
\zeta k < x
\Biggr)
=
\infty \sum
m=1
q(1 - q)m - 1\bfP
\Biggl(
q
m - 1\sum
k=1
\zeta k < x
\Biggr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1069
= q +
\infty \sum
m=2
q(1 - q)m - 1\bfP
\Biggl(
q
m - 1\sum
k=1
\zeta k < x
\Biggr)
=
= q + (1 - q)
\infty \sum
m=1
q(1 - q)m - 1\bfP
\Biggl(
q
m\sum
k=1
\zeta k < x
\Biggr)
= q + (1 - q)\bfP (qS\nu < x).
Звiдси i отримуємо (21).
Зауваження 2. Припустимо, що в умовах леми 2 в.в. \zeta має експоненцiальний розподiл з
параметром \lambda :
\bfP (\zeta < x) = 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda x), x \geq 0, i \psi (t) =
1
1 - it/\lambda
.
Тодi \varphi (qt) =
1
1 - it/\lambda
i
\bfP (qS\nu < x) = 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda x), (22)
\bfP
\Biggl(
q
\nu - 1\sum
k=1
\zeta k < x
\Biggr)
= q + (1 - q)(1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda x). (23)
Лема 4. Нехай d(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - ax/a - ) - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x). Тодi в умовах теореми 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| d(x)| \leq \kappa 1(q(u))), (24)
де
\kappa 1(q(u)) = e - 1q(u)
| a+ - a - |
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} (a - , a)
.
Доведення. Безпосередньо з означення величин a+, a - маємо
a = \bfE TkI(Zk < u) +\bfE TkI(Zk \geq u) = (1 - q(u))a - + q(u)a+, (25)
де I(A) — iндикатор випадкової подiї A.
З останнiх рiвностей та елементарної оцiнки
x \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x) \leq e - 1, x \geq 0,
при a \geq a - отримуємо
| d(x)| = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- q(u)x
\biggl(
a+
a -
- 1
\biggr) \biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq x \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x)q(u)
\biggl(
a+
a -
- 1
\biggr)
\leq e - 1q(u)
a+ - a -
a -
. (26)
Так само розглядаємо випадок a < a - :
| d(x)| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- ax
a -
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- x
\Bigl(
1 - a
a -
\Bigr) \Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq ax
a -
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- ax
a -
\Bigr) a -
a
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - a
a -
\bigm| \bigm| \bigm| \leq e - 1q(u)
| a+ - a - |
a
. (27)
Зрозумiло, що нерiвнiсть (24) — це простий наслiдок iз (26) i (27).
Лему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1070 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК
3. Доведення твердження 1. Введемо позначення
\epsilon k(u) = I(Zk \geq u),
\nu (u) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(k \geq 1 : \epsilon k(u) = 1).
Для циклiв 2-го типу покладемо
\eta k = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(t \geq 0 : \xi k(t) \geq u), \^a = \bfE (\eta k/\epsilon k(u) = 1) ,
тобто \^a — це середнiй час досягнення рiвня u на циклах 2-го типу. Нехай
\^Tk =
\biggl\{
\eta k при \epsilon k(u) = 1,
Tk у противному разi
\biggr\}
.
Випадковi подiї
(Z(t) \geq u) i
\left( \nu (u)\sum
k=1
\^Tk \leq t
\right)
еквiвалентнi (див. [5]), тому
\bfP
\bigl(
Z
\bigl(
\^t
\bigr)
\geq u
\bigr)
= \bfP
\left( \nu (u)\sum
k=1
\^Tk \leq \^t
\right) = \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u)\sum
k=1
\^Tk \leq x
\right) . (28)
Далi через \tau , \tau 1, \tau 2, . . . будемо позначати послiдовнiсть н.о.р.в.в., якi мають стандартний
експоненцiальний розподiл, \bfP (\tau < x) = 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x), x \geq 0. Вважаємо, що послiдовнiсть (\tau i)
не залежить вiд процесу X(t).
Крiм того, нехай при x \geq 0
\Delta 1(x) = \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u)\sum
k=1
\^Tk \leq x
\right) - \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k +
q(u)
a -
\^T\nu (u) \leq x
\right) ,
\Delta 2(x) = \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k +
q(u)
a -
\^T\nu (u) \leq x
\right) - \bfP
\left( q(u) \nu (u)\sum
k=1
\tau k \leq x
\right) .
Враховуючи рiвнiсть (22), одержуємо
| \^\Delta (x)| \leq | \Delta 1(x)| + | \Delta 2(x)| \forall x \geq 0. (29)
Таким чином, нам необхiдно оцiнити доданки у правiй частинi нерiвностi (29).
Почнемо з першого. Безпосередньо з означення випливає рiвнiсть розподiлiв
\nu (u) - 1\sum
k=1
\^Tk
df
=
\nu (u) - 1\sum
k=1
T -
k
i
\^T\nu (u)
df
= \eta \nu (u),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1071
причому якщо в.в. \nu (u) i \^Tk в загальному випадку залежнi, то \nu (u) i T -
k , k = 1, 2, . . . , \nu (u) - 1,
будуть незалежними. Також в.в. \eta \nu (u) не буде залежати вiд суми
\sum \nu (u) - 1
k=1
T -
k . Тому при x \geq 0
| \Delta 1(x)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u) - 1\sum
k=1
T -
k +
q(u)
a -
\eta \nu (u) \leq x
\right) - \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k +
q(u)
a -
\eta \nu (u) \leq x
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
x\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u) - 1\sum
k=1
T -
k \leq x - y
\right) - \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k \leq x - y
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\bfP
\biggl(
q(u)
a -
\eta \nu (u) < y
\biggr)
.
(30)
Далi розглянемо пiдiнтегральний вираз у (30). При v \geq 0 маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u) - 1\sum
k=1
T -
k \leq v
\right) - \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k \leq v
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u) - 1\sum
k=1
T -
k \leq v
\right) - \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u)\sum
k=1
T -
k \leq v
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u)\sum
k=1
T -
k \leq v
\right) - 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - v)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k \leq v
\right) - 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - v)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (31)
Перший доданок у правiй частинi нерiвностi (31) за лемою 3 не перевищує q(u). Другий
доданок, згiдно з лемою 2, оцiнюється величиною
\kappa 0(q(u)) = \^Cq(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)),
константа \^C визначена у твердженнi 1. Нарештi останнiй доданок менший, нiж q(u) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - v) \leq
\leq q(u) (див. зауваження 2, рiвнiсть (23)).
Таким чином, iз наведених вище оцiнок одержуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \Delta 1(x)| \leq \^Cq(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)). (32)
Залишилося оцiнити зверху | \Delta 2(x)| . Ще раз використовуючи рiвнiсть (23), неважко знайти
при y > 0 похiдну функцiї розподiлу в.в.\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k
\right) : f(y) = (1 - q(u)) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - y).
Тодi для x \geq 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1072 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК
| \Delta 2(x)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k +
q(u)
a -
\eta \nu (u) \leq x
\right) - \bfP
\left( q(u) \nu (u) - 1\sum
k=1
\tau k + q(u)\tau \nu (u) \leq x
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq (1 - q(u))
x\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP \biggl( q(u)a -
\eta \nu (u) \leq x - y
\biggr)
- \bfP
\bigl(
q(u)\tau \nu (u) \leq x - y
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - y)dy + q(u) \leq
\leq (1 - q(u))
\infty \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP \biggl( q(u)a -
\eta \nu (u) \geq v
\biggr)
+\bfP
\bigl(
q(u)\tau \nu (u) \geq v
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dv + q(u) =
= (1 - q(u))q(u)
\biggl(
\bfE \eta \nu (u)
a -
+\bfE \tau
\biggr)
+ q(u) \leq q(u)
\biggl(
\^a
a -
+ 2
\biggr)
. (33)
З оцiнок (29), (32) i (33) отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
\bigm| \bigm| \bigm| \^\Delta (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \^a
a -
q(u) + \^Cq(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)).
Оскiльки \^a \leq a+, то звiдси випливають спiввiдношення (5), (6).
Твердження 1 доведено.
4. Доведення теореми 1. Так само, як i у випадку рiвностi (28), маємо
\bfP (Z (t\ast ) \geq u) = \bfP
\left( \nu (u)\sum
k=1
\^Tk \leq t\ast
\right) = \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u)\sum
k=1
\^Tk \leq xa
a -
\right) .
Звiдси та з нерiвностi трикутника випливає оцiнка
| \Delta \ast (x)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bfP
\left( q(u)
a -
\nu (u)\sum
k=1
\^Tk \leq xa
a -
\right) - 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- xa
a -
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\Bigl( - xa
a -
\Bigr)
- \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x)
\bigm| \bigm| \bigm| . (34)
Згiдно з твердженням 1, перший доданок у правiй частинi нерiвностi (34) не перевищує вели-
чини \^\kappa (q(u)), яка задається формулою (6).
Другий доданок у (34) не перевищує \kappa 1(q(u)) (див. оцiнку (24)). А оскiльки \^a \leq a+, то з
оцiнки (34) отримуємо
| \Delta \ast (x)| \leq
\bigl(
1 + e - 1
\bigr) a+
a -
q(u) + (\pi ) - 1(1 + \delta )
\Bigl(
1 + a - 2 /2
\bigl(
a -
\bigr) 2\Bigr)
q(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)). (35)
Так само, як i (25), маємо рiвняння для других моментiв
a2 = (1 - q(u))a2
- + q(u)a2
+. (36)
Далi, iз (25) та (36) неважко вивести нерiвностi
a - \leq a
1 - q(u)
, a2
- \leq a2
1 - q(u)
, a+ \leq
\sqrt{}
a2
q(u)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1073
\bigm| \bigm| a - a -
\bigm| \bigm| = q(u)
\bigm| \bigm| a+ - a -
\bigm| \bigm| \leq \sqrt{} a2q(u) + aq(u)
1 - q(u)
.
Залишилося пiдставити їх у (35):
| \Delta \ast (x)| \leq
\bigl(
1 + e - 1
\bigr) | a - a - |
a -
+ (\pi ) - 1(1 + \delta )
\bigl(
1 + a2/2a
2
\bigr)
q(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)).
Це i є нерiвнiсть (4).
Теорему 1 доведено.
5. Приклади.
Приклад 1. Процес народження та загибелi. Розглянемо процес народження та загибелi
X(t) з параметрами
\lambda 0 > 0, \mu 0 = 0, \lambda n > 0, \mu n > 0, n = 1, 2, . . . , (37)
де \lambda n i \mu n — iнтенсивностi переходiв зi стану n вiдповiдно вгору та вниз (див. [11], гл. 7, § 6).
Нехай X(0) = 0 м.н. i покладемо
\theta 0 = 1, \theta k =
k\prod
i=1
\lambda i - 1
\mu i
, k \geq 1.
Будемо припускати, що виконуються спiввiдношення\sum
k\geq 1
\theta k <\infty , (38)
\sum
k\geq 1
1
\lambda k\theta k
= \infty . (39)
Умови (38), (39), як вiдомо (див. [11, 13]), достатнi для iснування стацiонарних iмовiрностей
станiв
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bfP (X(t) = k) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
pk(t) = pk,
причому
pk = \theta kp0, p0 =
\Biggl( \infty \sum
k=0
\theta k
\Biggr) - 1
. (40)
Крiм того, X(t) буде регенеруючим процесом iз моментами регенерацiї S0 = 0, S1, S2, . . . .
Тут Sk — це перший момент попадання у стан 0 пiсля k-го виходу iз нього, Tk = Sk - Sk - 1 —
довжина k-го циклу регенерацiї, T1 = T.
Для того щоб застосувати теорему 1 для оцiнки величини \Delta \ast (x) у даному прикладi, необ-
хiдно обчислити параметри
a = \bfE T, a - = \bfE T - , a2 = \bfE T 2, q(u).
У цьому та наступному прикладах вважаємо, що u — цiле додатне число. Вiдомо [5], що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1074 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК
a = \bfE T =
1
\lambda 0p0
=
1
\lambda 0
\infty \sum
k=0
\theta k (41)
i
q(u) =
\Biggl(
u - 1\sum
k=0
k\prod
i=1
\mu i
\lambda i
\Biggr) - 1
=
\Biggl(
u - 1\sum
k=0
\lambda 0
\lambda k\theta k
\Biggr) - 1
. (42)
Для процесу народження та загибелi X(t) будемо називати перiодом зайнятостi iнтервал,
який починається з переходу 0 \rightarrow 1 i закiнчується у момент першого пiсля цього переходу 1 \rightarrow
\rightarrow 0. Довжини перiодiв зайнятостi T z є н.о.р.в.в., а самi перiоди перемежовуються iнтервалами,
на яких X(t) = 0. Всi вказанi перiоди незалежнi в сукупностi, а тривалостi перебування у станi
0 мають екпоненцiальний розподiл iз параметром \lambda 0.
Як i в теоремi 1, через T -
k позначаємо довжини циклiв 1-го типу
\bigl(
на яких процес X(t) не
досягає рiвня u
\bigr)
.
Лема 5. Нехай X(t) — процес народження та загибелi, для якого виконуються умови (38),
(39). Тодi
a - = \bfE T -
k =
1
\lambda 0
\Biggl(
u - 1\sum
k=0
\theta k -
\theta u - 1\lambda u - 1
\lambda u - 1 + \mu u - 1
\Biggr)
, a - a - =
1
\lambda 0
\Biggl( \infty \sum
k=u
\theta k +
\theta u - 1\lambda u - 1
\lambda u - 1 + \mu u - 1
\Biggr)
. (43)
Доведення. Побудуємо новий „урiзаний” процес народження та загибелi \~X(t) iз станами
0, 1, 2, . . . , u - 1. Його параметри \~\lambda i i \~\mu i при i < u - 1 збiгаються з параметрами початкового
процесу X(t), а \~\lambda u - 1 = 0, \~\mu u - 1 = \mu u - 1 + \lambda u - 1.
Так само для процесу \~X(t) можна розглянути перiоди, коли вiн знаходиться у станi 0
( \~T 0 — нульовi перiоди), та перiоди, коли вiн перебуває у станах 1, 2, . . . , u - 1 ( \~T z — перiоди
зайнятостi). I якщо \~T — довжина циклу регенерацiiї процесу \~X(t), то
T - d
= \~T
d
= \~T 0 + \~T z.
Запис \xi 1
d
= \xi 2 означає, що в.в. \xi 1, \xi 2 однаково розподiленi.
Зрозумiло, що при x \geq 0
\bfP
\Bigl(
\~T 0 < x
\Bigr)
= 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda 0x), \bfE \~T 0 =
1
\lambda 0
.
Зауважимо, що перiоди \~T z однаково розподiленi, бо на початку такого перiоду процес \~X(t)
знаходиться у станi 1, а в кiнцi переходить у стан 0. Окрiм того, внаслiдок марковостi процесу
\~X(t) як першi, так i другi перiоди незалежнi.
Нехай
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bfP
\Bigl(
\~X(t) = 0
\Bigr)
= \~p0.
Тодi, як i в рiвностi (41), маємо
\~p0 =
\bfE \~T 0
\bfE \~T
=
1
\lambda 0a -
. (44)
З iншого боку, вiдомо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1075
\~p0 =
\Biggl(
u - 1\sum
k=0
\~\theta k
\Biggr) - 1
=
\Biggl(
u - 1\sum
k=0
\theta k -
\theta u - 1\lambda u - 1
\lambda u - 1 + \mu u - 1
\Biggr) - 1
. (45)
Iз (44), (45) одержуємо формулу для a - iз рiвностi (43). Звiдси та з (41) випливає i формула
для a - a - .
Лему 5 доведено.
Перейдемо до обчислення моментiв перiоду зайнятостi процесу X(t). В подальшому по-
стiйно фiгуруватимуть рекурентнi рiвняння
xk = ck + bkxk+1, k \geq 1, (46)
де xk > 0, ck > 0, bk > 0.
Лема 6. Всi xk iз рiвняння (46) одночасно або скiнченнi, або нескiнченнi. При цьому мiнi-
мальний розв’язок має вигляд
xk = ck + ck+1bk + ck+2bk+1bk + . . . =
\infty \sum
i=k
ci
i - 1\prod
j=k
bj , (47)
де
\prod k - 1
j=k
bj \equiv 1.
Безпосередньою пiдстановкою xk iз формули (47) у рекурентне спiввiдношення (46) пере-
конуємось, що лема 6 є правильною.
Крiм рiвностей (46), (47) будемо розглядати вирази I(A)\xi , де I(A) — iндикатор випадкової
подiї A, I(A) та \xi — незалежнi в.в. Нехай \bfP (A) = p. Тодi неважко перевiрити рiвностi
\bfE I(A)\xi = p\bfE \xi , \bfD I(A)\xi = p\bfD \xi + p(1 - p)(\bfE \xi )2. (48)
Введемо такi позначення: I(i \rightarrow i + 1) — iндикатор переходу i \rightarrow i + 1, Ti,i - 1 — тривалiсть
переходу процесу X(t) зi стану i в i - 1, \tau i — тривалiсть перебування у станi i.
Основою обчислень буде рiвнiсть
T z = T1,0 = \tau 1 + I(1 \rightarrow 2)
\Bigl(
T2,1 + T
\prime
1,0
\Bigr)
, (49)
де всi випадковi величини у правих частинах рiвностей (48) незалежнi, а T
\prime
1,0 є незалежною
копiєю T1,0.
Так само в загальному випадку маємо
Ti,i - 1 = \tau i + I(i\rightarrow i+ 1)
\Bigl(
Ti+1,i + T
\prime
i,i - 1
\Bigr)
, i \geq 1, (50)
де T
\prime
i,i - 1 — незалежна копiя Ti,i - 1.
Спочатку розглянемо випадок, коли процес X(t) має скiнченну множину станiв: 0, 1, . . . , N.
Тодi перехiд N \rightarrow N + 1 є неможливим, i покладаючи \bfE Ti,i - 1 = mi,i - 1, з рiвностей (48) – (50)
отримуємо
mN,N - 1 =
1
\mu N
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1076 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК
mN - 1,N - 2 =
1
\mu N - 1 + \lambda N - 1
+
\lambda N - 1
\mu N - 1 + \lambda N - 1
(mN,N - 1 +mN - 1,N - 2),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mi,i - 1 =
1
\mu i + \lambda i
+
\lambda i
\mu i + \lambda i
(mi+1,i +mi,i - 1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\bfE T z = m1,0 =
1
\mu 1 + \lambda 1
+
\lambda 1
\mu 1 + \lambda 1
(m2,1 +m1,0),
або
mN,N - 1\mu N = 1, mi,i - 1\mu i = 1 +mi+1,i\lambda i, i = 1, 2, . . . , N - 1. (51)
З (51) послiдовно одержуємо
\bfE T z = m1,0 =
1
\mu 1
(1 + \lambda 1m2,1) =
1
\mu 1
\biggl(
1 +
\lambda 1
\mu 2
(1 + \lambda 2m3,2)
\biggr)
= . . .
. . . =
1
\mu 1
+
\lambda 1
\mu 1\mu 2
+
\lambda 1\lambda 2
\mu 1\mu 2\mu 3
+ . . .+
\lambda 1\lambda 2 . . . \lambda N - 1
\mu 1\mu 2 . . . \mu N
=
=
1
\lambda 0
(\theta 1 + \theta 2 + . . .+ \theta N ). (52)
Тепер можна перейти до загального випадку, коли процес X(t) має нескiнченну множину
станiв, а параметри задаються рiвностями (37).
Введемо „урiзаний” процес народження та загибелi \~X(t) iз станами 0, 1, 2, . . . , N i парамет-
рами
\~\lambda k = \lambda k при 0 \leq k \leq N - 1, \lambda N = 0,
\~\mu k = \mu k при 0 \leq k \leq N - 1, \~\mu N = \mu N + \lambda N ,
причому процеси X(t) та \~X(t) задамо на одному ймовiрнiсному просторi таким чином.
Вiд моменту L0 = 0 до першого моменту L1, коли X(t) попадає у стан N+1, їхнi траєкторiї
збiгаються. Але в момент L1 процес \~X(t) переходить у стан N - 1. Пiсля моменту L1 вони,
як процеси народження та загибелi, рухаються незалежно до моменту L2 нової їхньої зустрiчi.
Якщо в момент L2 процес X(t) робить перехiд вниз: k + 1 \rightarrow k, а \~X(L2) = k, то
X(t) перебуває в станi k разом з \~X(t) протягом його залишкового часу. Далi їхнi траєкторiї
збiгаються до моменту L3, коли X(t) знову переходить у стан N + 1.
Якщо ж у момент L2 процес \~X(t) робить перехiд вгору: k - 1 \rightarrow k, а X(L2) = k, то \~X(t)
знаходиться у станi k разом з X(t) протягом його залишкового часу, i т. д.
Оскiльки залишковий час для експоненцiальної в.в. \tau k задовольняє рiвнiсть
\bfP (\tau k > t+ s/\tau k > t) = \bfP (\tau k > s),
то наведена конструкцiя дасть вiдповiднi процеси народження та загибелi X(t) i \~X(t). Крiм
того, за побудовою для них м.н.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1077
\~T z \leq T z,
\~T z \uparrow T z при N \uparrow \infty ,
де T z i \~T z — довжини перiодiв зайнятостi процесiв X(t) i \~X(t) вiдповiдно.
Тодi при N \rightarrow \infty
\bfE \~T z \rightarrow \bfE T z, \bfD \~T z \rightarrow \bfD T z. (53)
Звiдси та з (52) для процесу народження та загибелi X(t) iз нескiнченною множиною станiв
маємо
\bfE T z = m1,0 =
1
\lambda 0
\infty \sum
k=1
\theta k =
1
\lambda 0
\biggl(
1
p0
- 1
\biggr)
.
Повторюючи мiркування, наведенi вище, iз системи рiвностей (51) та асимптотичних спiввiд-
ношень (53) виводимо формули для середнього часу переходу k \rightarrow k - 1:
mk,k - 1 =
\infty \sum
i=k
1
\mu i
i - 1\prod
j=k
\lambda j
\mu j
, k \geq 1. (54)
Залишилось обчислити дисперсiю перiоду зайнятостi \bfD T z. Покладемо \bfD Ti,i - 1 = Di,i - 1. З
рiвностей (48) – (50) отримуємо
Di,i - 1 = \bfD \tau i +
\lambda i
\mu i + \lambda i
(Di+1,i +Di,i - 1) +
\lambda i\mu i
(\mu i + \lambda i)2
(mi+1,i +mi,i - 1)
2,
або
Di,i - 1 =
1
\mu i (\mu i + \lambda i)
+
\lambda i
\mu i + \lambda i
(mi+1,i +mi,i - 1)
2 +
\lambda i
\mu i
Di+1,i.
Ще раз використовуючи перехiд до „урiзаного” процесу \~X(t), а потiм асимптотичнi спiввiдно-
шення (53), переконуємось, що Dk,k - 1 визначається правою частиною рiвностi (47) з
ci =
1
\mu i(\mu i + \lambda i)
+
\lambda i
\mu i + \lambda i
(mi+1,i +mi,i - 1)
2, bj =
\lambda j
\mu j
.
Наприклад, для \bfD T z маємо формулу
\bfD T z = D1,0 =
\infty \sum
i=1
\biggl(
1
\mu i(\mu i + \lambda i)
+
\lambda i
\mu i + \lambda i
(mi+1,i +mi,i - 1)
2
\biggr) i - 1\prod
j=1
\lambda j
\mu j
. (55)
Оскiльки \bfE T z = m1,0 знайдено вище, то mi+1,i тут можна обчислити рекурентно згiдно з
рiвнiстю (51).
Через \bfD T z вже неважко знайти другий момент тривалостi циклу регенерацiї для проце-
су X(t):
a2 = \bfE T 2 = \bfD T z +\bfD \tau 0 + (\bfE T )2 = \bfD T z +
1
(\lambda 0)2
\biggl(
1
p20
+ 1
\biggr)
.
Збираючи наведенi вище формули для моментiв T z, iз теореми 1 та леми 5 отримуємо таке
твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1078 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК
Твердження 2. Нехай X(t) — процес народження та загибелi, який задовольняє умови
(38), (39), X(0) = 0. Тодi виконується оцiнка (4) з
\kappa \ast (q(u)) =
\bigl(
1 + e - 1
\bigr) \sum \infty
k=u - 1
\theta k\sum u - 2
k=0
\theta k
+ C\ast q(u) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
q(u)
+O(q(u)), (56)
де
C\ast = (\pi ) - 1(1 + \delta )
\bigl(
1 + a2/2a
2
\bigr)
= (2\pi ) - 1(1 + \delta )
\bigl(
3 + p20
\bigl(
\lambda 20\bfD T
z + 1
\bigr) \bigr)
, \delta > 0,
q(u) та \bfD T z задаються формулами (42) та (55) вiдповiдно.
Приклад 2. Довжина черги в СМО M/M/s. 1 \leq s < \infty . Розглянемо s-канальну СМО, на
яку надходить пуассонiвський потiк заявок з iнтенсивнiстю \lambda , а час обслуговування \xi має
експоненцiальний розподiл (див. [10, 12])
\bfP (\xi < x) = 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \mu x).
Вважаємо, що параметри \lambda та \mu задовольняють умову
\rho =
\lambda
s\mu
< 1. (57)
Нехай в момент S0 = 0 система порожня, а S1 — це момент звiльнення системи пiсля
1-го перiоду зайнятостi. Вiдповiдно Sk — це момент звiльнення системи пiсля k-го перiоду
зайнятостi.
Пiд довжиною черги будемо розумiти загальне число заявок, якi знаходяться на обслуго-
вуваннi або очiкують його. Через Q(t) позначимо довжину черги в момент часу t, а \=Q(t) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq s<tQ(s).
Тодi процес Q(t) — це регенеруючий процес з моментами регенерацiї (Sk), Tk = Sk -
- Sk - 1 — тривалiсть k-го перiоду регенерацiї, T1 = T.
Бiльше того, вiдомо [11, с. 219, 220], що Q(t) буде процесом загибелi та розмноження з
параметрами
\lambda k = \lambda k = 0, 1, 2, . . . ,
\mu 0 = 0 \mu k =
\Biggl\{
k\mu при 1 \leq k \leq s,
s\mu при k > s.
Якщо нерiвнiсть (57) виконується, то процес Q(t) задовольняє умови (38), (39). Таким чином,
для оцiнки величини \Delta \ast (x) у даному прикладi можна скористатися твердженням 2. Залишилось
оцiнити вiдповiднi параметри у рiвностi (56) для випадку СМО M/M/s.
Вiдомо [10, 12], що за умови (57) для процесу Q(t) iснують стацiонарнi ймовiрностi,
причому
p0 =
\Biggl(
s\sum
k=0
(s\rho )k
k!
+
ss\rho s+1
s!(1 - \rho )
\Biggr) - 1
, (58)
i для досить великих u
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1079
q(u) =
\Biggl(
s\sum
k=0
k!
(s\rho )k
+
s!((1/\rho )u - (1/\rho )s+1)
ss(1/\rho - 1)
\Biggr) - 1
\sim (1/\rho - 1)
ss\rho u
s!
(59)
(див. [5]).
На наступному кроцi оцiнимо перший доданок у правiй частинi рiвностi (56). Елементар-
ними обчисленнями отримуємо
\theta k =
\left\{
sk\rho k
k!
при 1 \leq k \leq s,
ss\rho k
s!
при k > s.
Оскiльки sk/k! \leq ss/s! при 1 \leq k \leq s, то
\infty \sum
k=u
\theta k \leq ss
s!
\infty \sum
k=u
\rho k =
ss
s!(1 - \rho )
\rho u = O (\rho u) . (60)
I нарештi знайдемо конструктивну оцiнку для величини \bfD T z iз рiвностi (55). У вiдповiд-
ностi з формулою (53)
mk,k - 1 =
\infty \sum
i=k
1
s\mu
i - 1\prod
j=k
\lambda
s\mu
=
1
s\mu (1 - \rho )
при k \geq s. (61)
Для обчислення величини mk,k - 1 при 1 \leq k < s слiд скористатися рекурентною формулою
mk,k - 1 =
1
k\mu
(1 + \lambda mk+1,k)
та рiвнiстю (61).
Таким чином,
\bfD T z = A1 +A2, (62)
де
A1 =
s\sum
k=1
\biggl(
1
k\mu + \lambda
\biggl(
1
k\mu
+ \lambda (mk+1,k +mk,k - 1)
2
\biggr)
sk - 1
(k - 1)!
\biggr)
\rho k - 1,
A2 =
\infty \sum
k=s+1
\biggl(
1
s\mu (s\mu + \lambda )
+
\lambda
s\mu + \lambda
4
(s\mu )2(1 - \rho )2
\biggr)
\rho k - 1 =
=
1
s\mu (s\mu + \lambda )
\biggl(
1 +
4\lambda
s\mu (1 - \rho )2
\biggr)
\rho s
1 - \rho
.
Iз наведених вище оцiнок та твердження 2 випливає таке твердження.
Твердження 3. Нехай для СМО M/M/s, 1 \leq s <\infty , виконується умова (57) i
Q(0) = 0 м.н., x > 0, t\ast = t\ast (x, u) =
x
\lambda p0q(u)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1080 О. К. ЗАКУСИЛО, I. K. MАЦАК
\Delta \ast (x) = \bfP
\bigl(
\=Q (t\ast ) \geq u
\bigr)
- 1 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - x).
Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \Delta \ast (x)| \leq C\ast s
s
s!
\biggl(
1
\rho
- 1
\biggr) \biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
\biggr)
u\rho u +O (\rho u) , (63)
де C\ast = (2\pi ) - 1(1 + \delta )
\bigl(
3 + p0
\bigl(
\lambda 2\bfD T z + 1
\bigr) \bigr)
, \delta > 0, а p0, q(u) i \bfD T z задаються формулами
(58), (59) i (62).
Зауваження 3. Для одноканальної СМО (при s = 1) величини p0 i \bfD T z обчислюються
легко (див. [10], гл. 4, § 8):
p0 = 1 - \rho , \bfD T z =
\mu + \lambda
(\mu - \lambda )3
.
Зауваження 4. У статтi [14] для СМО M/M/1 оцiнка вигляду
| \Delta \ast (x)| \leq Kuq(u) (64)
дослiджувалась за допомогою iмiтацiйного моделювання. У випадку \lambda = 1, \mu = 2, u =
= 2, 3, . . . , 10 виявилось, що оцiнка (64) виконується при K = 0, 3.
Зазначимо, що iз твердження 3 маємо
K \approx C\ast \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
= (\pi ) - 1(1 + \delta )
\bigl(
1 + a2/2a
2
\bigr)
\mathrm{l}\mathrm{n} 2 \approx 0, 42(1 + \delta ).
Таким чином, величина C\ast у теоремi 1 для випадку СМО M/M/1 мало вiдрiзняється вiд вiд-
повiдної сталої, отриманої методом Монте-Карло (слiд врахувати, що C\ast у теоремi 1 знайдено
у значно бiльш загальному випадку).
Зауваження 5. Для СМО M/M/\infty (нескiнченне число каналiв, s = \infty ), \lambda k = \lambda , \mu k = k\mu ,
iз твердження 2 так само, як i (63), можна отримати оцiнку
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \Delta \ast (x)| \leq C\ast
\biggl(
\~\rho u - 1
(u - 1)!
\biggr)
u \mathrm{l}\mathrm{n}u(1 + o(1)),
де C\ast = (2\pi ) - 1(1+\delta )
\bigl(
3 + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - 2\~\rho )
\bigl(
\lambda 2\bfD T z + 1
\bigr) \bigr)
, \delta > 0, \~\rho = \lambda /\mu . Величина \bfD T z задається
формулою (55), при цьому
mi,i - 1 =
(i - 1)!
\mu \~\rho i
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\~\rho ) - 1 - \~\rho - . . . - \~\rho i - 1
(i - 1)!
\biggr)
.
Зазначимо, що у даному випадку (див. [5])
\~\rho =
\lambda
\mu
, a = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\~\rho ) /\lambda , p0 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - \~\rho ) ,
q(u) =
\Biggl(
u - 1\sum
k=0
k!
(\~\rho )k
\Biggr) - 1
\sim \~\rho u - 1
(u - 1)!
,
\infty \sum
k=u
\theta k =
\infty \sum
k=u
\~\rho k
k!
= O
\biggl(
\~\rho u
u!
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОЦIНКИ ШВИДКОСТI ЗБIЖНОСТI В ГРАНИЧНIЙ ТЕОРЕМI . . . 1081
Лiтература
1. W. L. Smith, Renewal theory and its ramifications, J. Roy. Statist. Soc., 20, № 2, 243 – 302 (1958).
2. W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, vol.2, John Wiley and Sons, New York etc.
(1968).
3. S. Asmussen, Extreme values theory for queues via cycle maxima, Extremes, 1, 137 – 168 (1998).
4. R. F. Serfozo, Extreme values of birdh and death processes and queues, Stochastic Process. and Appl., 27, 291 – 306
(1988).
5. О. К. Закусило, I. К. Мацак, Про екстремальнi значення деяких регенеруючих процесiв, Теорiя ймовiрностей
та мат. статистика, 97, 58 – 71 (2017).
6. V. V. Petrov, Sums of independent random variables, Springer, Berlin, Heidelberg (1975).
7. A. Renyi, A Poisson-folyamat egy jellemzese, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. K\"\mathrm{o}zl., 1, 519 – 527 (1956).
8. S. Yu. Vsekhsvyatskii, V. V. Kalashnikov, Estimates of the moments of occurrence of rare events in regenerative
processes, Theory Probab. and Appl., 30, 618 – 621 (1986).
9. В. М. Круглов, В. Ю. Королев, Предельные теоремы для случайных сумм, Изд-во Моск. ун-та, Москва (1990).
10. J. Riordan, Stochastic service systems, John Wiley and Sons, New York, London (1962).
11. S. Karlin, A first course in stochastic processes, Acad. Press, New York (1968).
12. В. В. Анисимов, О. К. Закусило, В. С. Донченко, Элементы теории массового обслуживания и асимптоти-
ческого анализа систем, Вища шк., Киев (1987).
13. S. Karlin, J. McGregor, The classification of birth and death processes, Trans. Amer. Math. Soc., 86, 366 – 400
(1957).
14. I. Мацак, O. Скуржанський, Граничнi теореми для екстремальних значень довжини черги в системах масового
обслуговування, Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка, сер. фiз.-мат. науки, № 1(39), 28 – 36 (2018).
Одержано 31.07.19,
пiсля доопрацювання — 12.07.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1028 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:21Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ca/647a00220d007717154cab3f4f87deca.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10282022-03-26T11:01:59Z Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes Оценки скорости сходимости в предельной теореме для экстремальных значений регенерирующих процессов Оцінки швидкості збіжності в граничній теоремі для екстремальних значень регенеруючих процесів Zakusylo, O. K. Matsak , I. K. Закусило, Олег Закусило, О. К. Мацак, І. К. Екстремуми регенеруючi процеси процеси народження та загибелі системи масового обслуговування UDC 519.21 We establish the rate of convergence to the exponential distribution in the general limit theorem for the extreme values of regenerative processes.&nbsp;We also suggest some applications of this result to birth and death processes and queue length processes. Установливается скорость сходимости к експоненциальномураспределению в общей предельной теореме для экстремумоврегенерирующих процесов. Приводятся примеры применений к процессамрождения и гибели и к процесам, задающим длину очереди. &nbsp; &nbsp; &nbsp; УДК 519.21 Встановлено швидкість збіжності до експоненціального розподілу в загальній граничній&nbsp; теоремі для екстремумів регенеруючих процесів.&nbsp;Наведено приклади застосувань отриманого результату до процесів народження та загибелі і процесів, які задають довжину черги. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1028 10.37863/umzh.v72i8.1028 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 8 (2020); 1064-1081 Український математичний журнал; Том 72 № 8 (2020); 1064-1081 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1028/8739 Copyright (c) 2020 Іван мацак, Олег Закусило |
| spellingShingle | Zakusylo, O. K. Matsak , I. K. Закусило, Олег Закусило, О. К. Мацак, І. К. Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes |
| title | Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes |
| title_alt | Оценки скорости сходимости в предельной теореме для экстремальных значений регенерирующих процессов Оцінки швидкості збіжності в граничній теоремі для екстремальних значень регенеруючих процесів |
| title_full | Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes |
| title_fullStr | Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes |
| title_full_unstemmed | Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes |
| title_short | Estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes |
| title_sort | estimates for the convergence rate in the limit theorem for extreme values of regenerative processes |
| topic_facet | Екстремуми регенеруючi процеси процеси народження та загибелі системи масового обслуговування |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1028 |
| work_keys_str_mv | AT zakusylook estimatesfortheconvergencerateinthelimittheoremforextremevaluesofregenerativeprocesses AT matsakik estimatesfortheconvergencerateinthelimittheoremforextremevaluesofregenerativeprocesses AT zakusilooleg estimatesfortheconvergencerateinthelimittheoremforextremevaluesofregenerativeprocesses AT zakusilook estimatesfortheconvergencerateinthelimittheoremforextremevaluesofregenerativeprocesses AT macakík estimatesfortheconvergencerateinthelimittheoremforextremevaluesofregenerativeprocesses AT zakusylook ocenkiskorostishodimostivpredelʹnojteoremedlâékstremalʹnyhznačenijregeneriruûŝihprocessov AT matsakik ocenkiskorostishodimostivpredelʹnojteoremedlâékstremalʹnyhznačenijregeneriruûŝihprocessov AT zakusilooleg ocenkiskorostishodimostivpredelʹnojteoremedlâékstremalʹnyhznačenijregeneriruûŝihprocessov AT zakusilook ocenkiskorostishodimostivpredelʹnojteoremedlâékstremalʹnyhznačenijregeneriruûŝihprocessov AT macakík ocenkiskorostishodimostivpredelʹnojteoremedlâékstremalʹnyhznačenijregeneriruûŝihprocessov AT zakusylook ocínkišvidkostízbížnostívgraničníjteoremídlâekstremalʹnihznačenʹregeneruûčihprocesív AT matsakik ocínkišvidkostízbížnostívgraničníjteoremídlâekstremalʹnihznačenʹregeneruûčihprocesív AT zakusilooleg ocínkišvidkostízbížnostívgraničníjteoremídlâekstremalʹnihznačenʹregeneruûčihprocesív AT zakusilook ocínkišvidkostízbížnostívgraničníjteoremídlâekstremalʹnihznačenʹregeneruûčihprocesív AT macakík ocínkišvidkostízbížnostívgraničníjteoremídlâekstremalʹnihznačenʹregeneruûčihprocesív |