On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups
UDC 512.542 For a partition $\sigma$ of the set $\mathbb{R}$ of all primes, it is solved that if every complete Hall set of type $\sigma$ of a finite $3 \prime$-group $G$ is reducible in some subgroup $H$ of $G$, then $H$ is $\sigma$ -subnormal in $G$.  
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1037 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507130349486080 |
|---|---|
| author | Kamornikov, S. F. Tyutyanov, V. N. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. |
| author_facet | Kamornikov, S. F. Tyutyanov, V. N. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. |
| author_sort | Kamornikov, S. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:47Z |
| description | UDC 512.542
For a partition $\sigma$ of the set $\mathbb{R}$ of all primes, it is solved that if every complete Hall set of type $\sigma$ of a finite $3 \prime$-group $G$ is reducible in some subgroup $H$ of $G$, then $H$ is $\sigma$ -subnormal in $G$.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i6.1037 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i6.1037
УДК 512.542
С. Ф. Каморников* (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь),
В. Н. Тютянов (Гомел. фил. Междунар. ун-та „МИТСО”, Беларусь)
О \bfitsigma -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ \bfthree \prime -ГРУПП
For a partition \sigma of the set \BbbP of all primes, it is solved that if every complete Hall set of type \sigma of a finite 3\prime -group G is
reducible in some subgroup H of G, then H is \sigma -subnormal in G.
Для будь-якого розбиття \sigma множини \BbbP всiх простих чисел доведено, що якщо кожна повна холлова множина типу
\sigma скiнченної 3\prime -групи G редукується в деяку пiдгрупу H iз G, то пiдгрупа H є \sigma -субнормальною в G.
1. Введение. Отвечая на вопрос Кегеля [1] и Виландта [2], Кляйдман [3] доказал, что подгруппа
H конечной группы G является субнормальной в G, если H p-субнормальна в G для любого
простого числа p, т. е. H\cap P — силовская p-подгруппа из H для любой силовской p-подгруппы
P группы G и любого простого числа p (в дальнейшем, следуя [4], для обозначения того, что
подгруппа H p-субнормальна в G, используется запись H \leq p G).
Приведенный результат инициировал соответствующий вопрос для \sigma -субнормальных под-
групп конечной группы, поставленный А. Н. Скибой в [5] под номером 19.86 (см. также вопрос
7.2 из [6]).
Проблема 1. Пусть \sigma = \{ \sigma i| i \in I\} — разбиение множества \BbbP всех простых чисел, G —
конечная группа, содержащая холлову \sigma i-подгруппу для каждого i \in I, и H — такая подгруппа
группы G, что H \cap Si — холлова \sigma i-подгруппа из H для любого i \in I и любой холловой \sigma i-
подгруппы Si группы G. Верно ли, что подгруппа H является \sigma -субнормальной в G?
Простая проверка показывает, что обратное утверждение справедливо: если подгруппа H
является \sigma -субнормальной в G, то H \cap Si — холлова \sigma i-подгруппа из H для любого i \in I и
любой холловой \sigma i-подгруппы Si группы G (см., например, [7]).
Концепция \sigma -субнормальной подгруппы, развивающая идею субнормальной подгруппы,
предложена А. Н. Скибой в работе [8]. Эта концепция базируется на следующих определениях.
Пусть \BbbP — множество всех простых чисел, \pi \subseteq \BbbP и \pi \prime = \BbbP \setminus \pi . Если n — натуральное
число, то через \pi (n) обозначается множество всех простых чисел, делящих n; в частности,
\pi (G) = \pi (| G| ) — множество всех простых чисел, делящих порядок | G| группы G.
Далее всегда \sigma — некоторое разбиение множества \BbbP на попарно непересекающиеся под-
множества \sigma i, i \in I , т. е. \BbbP =
\bigcup
i\in I
\sigma i и \sigma i\cap \sigma j = \varnothing для всех i \not = j. Следуя [7], будем говорить,
что группа G является \sigma -примарной, если G является \sigma i-группой для некоторого i \in I.
Подгруппа H группы G называется \sigma -субнормальной, если существует цепь подгрупп
H = H0 \subseteq H1 \subseteq . . . \subseteq Hn = G
такая, что для каждого i = 1, 2, . . . , n либо подгруппа Hi - 1 нормальна в Hi, либо груп-
па Hi/\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}Hi(Hi - 1) является \sigma -примарной. Понятно, что подгруппа H субнормальна в G
* Исследования С. Ф. Каморникова выполнены при финансовой поддержке Министерства образования Респуб-
лики Беларусь (грант ГР № 20191056).
c\bigcirc С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. Н. ТЮТЯНОВ, 2020
806 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
О \sigma -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ 3\prime -ГРУПП 807
тогда и только тогда, когда она \sigma -субнормальна в G для минимального разложения \sigma =
= \{ \{ 2\} , \{ 3\} , \{ 5\} , . . . \} .
Следующая проблема является более общей по сравнению с проблемой 1. Это связано с
существованием групп, содержащих несколько классов сопряженных холловых подгрупп.
Следуя [7], будем говорить, что система \Sigma = \{ S1, S2, . . . , Sk\} \sigma -примарных холловых под-
групп группы G является полным холловым множеством типа \sigma группы G, если выполняются
следующие условия:
1) (| Si| , | Sj | ) = 1 для всех i \not = j \in \{ 1, 2, . . . , k\} ,
2) \pi (G) = \pi (S1) \cup \pi (S2) \cup . . . \cup \pi (Sk).
Если \Sigma = \{ S1, S2, . . . , Sk\} — полное холлово множество типа \sigma группы G, то, очевидно,
система \Sigma g = \{ Sg
1 , S
g
2 , . . . , S
g
k\} также является полным холловым множеством типа \sigma группы G
для любого элемента g \in G. Группа G называется \sigma -полной, если она содержит по крайней мере
одно полное холлово множество типа \sigma (понятно, что для некоторых разбиений \sigma существуют
группы, для которых множество всех полных холловых множеств типа \sigma является пустым).
Будем говорить, что полное холлово множество \Sigma типа \sigma группы G редуцируется в под-
группу H группы G, если H \cap Si — холлова \sigma i-подгруппа из H для любого i = 1, 2, . . . , k
(возможно, что H \cap Si = 1 для некоторых i = 1, 2, . . . , k).
Проблема 2. Пусть \sigma — разбиение множества \BbbP всех простых чисел, G — \sigma -полная
конечная группа, \Sigma = \{ S1, S2, . . . , Sk\} — полное холлово множество типа \sigma группы G и H —
такая подгруппа из G, что \Sigma g редуцируется в H для любого элемента g \in G. Верно ли, что
H является \sigma -субнормальной в G?
Ясно, что положительное решение проблемы 2 всегда приводит к решению проблемы 1.
В данной работе проблемы 1 и 2 решаются в классе конечных 3\prime -групп для произвольного
разбиения \sigma .
Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть \sigma — некоторое разбиение множества \BbbP всех простых чисел, G —
\sigma -полная конечная 3\prime -группа и \Sigma — полное холлово множество типа \sigma группы G. Подгруппа
H группы G тогда и только тогда является \sigma -субнормальной в G, когда \Sigma g редуцируется в
H для любого g \in G.
Ключом к доказательству теоремы 1.1 являются лемма 2.3, устанавливающая строение
минимального контрпримера к проблеме 2, а также работа Судзуки [9], в которой описаны
простые неабелевы 3\prime -группы.
2. Определения и предварительные результаты. В работе рассматриваются только ко-
нечные группы, используются определения и обозначения, принятые в [10]. Что касается тер-
минологии теории \sigma -субнормальных подгрупп, то мы отсылаем читателя к работам [7, 8].
Будем использовать следующие обозначения:
если \pi — некоторое множество простых чисел, то \mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\pi (G) — множество всех холловых
\pi -подгрупп группы G;
если \Sigma = \{ S1, S2, . . . , Sk\} — полное холлово множество типа \sigma группы G и N — нормальная
подгруппа группы G, то \Sigma N/N = \{ S1N/N,S2N/N, . . . , SkN/N\} ;
если n — натуральное число, то \sigma (n) = \{ \sigma i \cap \pi (n)| i \in I, \sigma i \cap \pi (n) \not = \varnothing \} ;
\sigma (G) = \sigma (| G| ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
808 С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. Н. ТЮТЯНОВ
Основные свойства \sigma -субнормальных подгрупп приведем в виде лемм, доказательство ко-
торых осуществляется простой проверкой.
Лемма 2.1. Пусть H и N — подгруппы группы G, причем подгруппа N нормальна в G.
Тогда:
1) если подгруппа H \sigma -субнормальна в G, то подгруппа HN/N \sigma -субнормальна в G/N ;
2) если N \subseteq H, то подгруппа H \sigma -субнормальна в G тогда и только тогда, когда
подгруппа H/N \sigma -субнормальна в G/N.
Лемма 2.2. Пусть H и K — подгруппы группы G, причем подгруппа H \sigma -субнормальна в
G. Тогда:
1) если K \subseteq H и подгруппа K \sigma -субнормальна в H, то K \sigma -субнормальна в G;
2) подгруппа K \cap H \sigma -субнормальна в K;
3) если H \subseteq K, то H \sigma -субнормальна в K.
Пусть H — подгруппа \sigma -полной группы G, \sigma (G) = \{ \sigma 1, \sigma 2, . . . , \sigma k\} и \Sigma = \{ S1, S2, . . . , Sk\}
— полное холлово множество типа \sigma группы G. Будем говорить, что пара (G,H) является
контрпримером к проблеме 2, если для любого g \in G полное холлово множество \Sigma g редуци-
руется в H, но подгруппа H не является \sigma -субнормальной в G. Если при этом пара (G,H)
такова, что сумма | G| + | H| минимальна, то контрпример (G,H) будем называть минимальным
контрпримером к проблеме 2.
Лемма 2.3. Если (G,H) — минимальный контрпример к проблеме 2, то G и H — простые
неабелевы группы.
Доказательство. Пусть \sigma (G) = \{ \sigma 1, \sigma 2, . . . , \sigma k\} . Тогда из определения \sigma -субнормальной
подгруппы следует, что k = | \sigma (G)| \geq 2.
Предположим, что группа G не является простой. Пусть N — ее минимальная нормальная
подгруппа и \Sigma = \{ S1, S2, . . . , Sk\} — полное холлово множество типа \sigma группы G.
По условию леммы подгруппа H \cap Sg
i является холловой \sigma i-подгруппой в H для любого
g \in G и каждого i = 1, 2, . . . , k. Так как N\unlhd G, то N\cap Sg
i \unlhd Sg
i и N\cap Sg
i — холлова \sigma i-подгруппа
в N. Значит, (H \cap Sg
i )(N \cap Sg
i ) — \sigma i-подгруппа группы G. Кроме того, индекс
| HN : (H \cap Sg
i )(N \cap Sg
i )| = | H : (H \cap Sg
i )| | N : (N \cap Sg
i )| /| (H \cap N) : ((H \cap N) \cap Sg
i )|
не делится на числа из \sigma i. Следовательно, (H \cap Sg
i )(N \cap Sg
i ) — холлова \sigma i-подгруппа в HN.
А так как
(H \cap Sg
i )(N \cap Sg
i ) \subseteq HN \cap Sg
i ,
то HN \cap Sg
i — холлова \sigma i-подгруппа в HN.
Теперь из равенства
Sg
i N/N \cap HN/N = (Sg
i \cap HN)N/N
следует, что Sg
i N/N\cap HN/N — холлова \sigma i-подгруппа в HN/N. Таким образом, полное холлово
множество \Sigma gN/N типа \sigma группы G/N редуцируется в HN/N для любого элемента g \in
\in G. Отсюда вследствие минимальности контрпримера (G,H) подгруппа HN/N является \sigma -
субнормальной в G/N. Но тогда в силу леммы 2.1 HN является \sigma -субнормальной подгруппой
группы G. Поэтому N не содержится в H. Более того, \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) = 1. Ясно, что H \cap Sx
i —
холлова \sigma i-подгруппа в H для всех x \in HN и система
\{ HN \cap Sx
1 , HN \cap Sx
2 , . . . ,HN \cap Sx
k\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
О \sigma -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ 3\prime -ГРУПП 809
является полным холловым множеством типа \sigma группы HN, которое редуцируется в H.
Если | HN | < | G| , то вследствие минимальности контрпримера подгруппа H является \sigma -
субнормальной в HN. Тогда в силу леммы 2.2 H является \sigma -субнормальной подгруппой
группы G, что противоречит допущению.
Таким образом, далее полагаем, что G = HN.
Пусть сначала N — элементарная абелева p-подгруппа для некоторого простого p \in \pi (G).
Тогда индекс | G : H| — степень числа p. Отсюда и из k \geq 2 следует, что найдется множество
\sigma i \in \sigma , для которого \sigma i \cap \pi (G) \in \sigma (G) и p /\in \sigma i. Тогда H содержит любую холлову \sigma i-
подгруппу Sg
i для любого g \in G, причем Sg
i \not = 1. Поэтому \langle Sg
i | g \in G\rangle \subseteq H. Поскольку
1 \not = \langle Sg
i | g \in G\rangle \unlhd G, то \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) \not = 1. Пришли к противоречию с тем, что \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) = 1.
Следовательно, N является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп.
Обозначим K = H \cap N. Предположим, что K = H. Тогда H \subseteq N. Простая проверка показы-
вает, что пара (N,H) — контрпример к проблеме 2. Так как | N | + | H| < | G| + | H| , то приходим
к противоречию с выбором группы G. Следовательно, K \not = H. Очевидно, K \unlhd H. Поэтому
полное холлово множество \Sigma g типа \sigma группы G редуцируется в K для любого элемента g \in G.
Отсюда вследствие минимальности контрпримера подгруппа K является \sigma -субнормальной в
G. Но тогда в силу леммы 2.2 подгруппа K будет \sigma -субнормальной в N. Значит, существует
цепь подгрупп
K = K0 \subseteq K1 \subseteq . . . \subseteq Kn - 1 \subseteq Kn = N
такая, что для каждого i = 1, 2, . . . , n либо подгруппа Ki - 1 нормальна в Ki, либо группа
Ki/\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}Ki(Ki - 1) является \sigma -примарной.
Предположим, что K \not = 1, и рассмотрим три возможных случая.
Случай 1. Пусть N — простая неабелева группа. Тогда подгруппа Kn - 1 не нормальна в N.
Значит, N/\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) = N/1 = N — \sigma i-группа для некоторого i \in \{ 1, . . . , k\} . Поскольку
G = HN и k \geq 2, то для всех g \in G подгруппа H содержит все холловы \sigma j -подгруппы Sg
j ,
j \not = i. Следовательно, \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) \not = 1, что невозможно.
Случай 2. Пусть N = N1\times N2, где N1 и N2 — изоморфные простые группы. Если подгруп-
па Kn - 1 не нормальна в N, то N/\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) — \sigma i-группа для некоторого i = 1, 2, . . . , k.
Очевидно, что либо \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) = 1, либо \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) \in \{ N1, N2\} . Если \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) =
= 1, то N/\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) = N — \sigma i-группа. Если же \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) \in \{ N1, N2\} , то вследствие
изоморфизма N/\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}N (Kn - 1) \simeq N1 подгруппа N1 является \sigma i-группой, откуда следует, что и
N является \sigma i-группой. Далее, как и в случае, когда N — простая неабелева группа, приходим
к противоречию с тем, что \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) = 1.
Если подгруппа Kn - 1 нормальна в N, то Kn - 1 \in \{ N1, N2\} , т. е. Kn - 1 — простая неабелева
группа. Если K \subset Kn - 1, то, как и в случае 1, приходим к противоречию. Следовательно,
Kn - 1 = K. Тогда K = H \cap N \unlhd N и K = H \cap N \unlhd H. Поэтому K \unlhd \langle N,H\rangle = HN = G.
Отсюда и из K \subseteq H следует, что \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) \not = 1. Снова пришли к противоречию.
Случай 3. Пусть N = N1\times N2\times . . .\times Nt, где t \geq 3 и N1, N2, . . . , Nt — изоморфные простые
группы. Тогда, используя индукцию по t, как и в случаях 1 и 2, приходим к тому, что либо N
— \sigma -примарная группа, либо \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) \not = 1. А это противоречит доказанному ранее.
Таким образом, K = H \cap N = 1, а значит, G = N \leftthreetimes H — полупрямое произведение
подгрупп N и H. Если Si \in \Sigma , то Si = (Si \cap N) \leftthreetimes (Si \cap H), где Si \cap N \in \mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\sigma i(N),
Si \cap H \in \mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\sigma i(H). Рассмотрим группу N \leftthreetimes (Si \cap H), содержащую Si. По условию леммы
для любого x \in N(Si\cap H) пересечение H \cap Sx
i является холловой \sigma i-подгруппой в H. Отсюда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
810 С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. Н. ТЮТЯНОВ
имеем
Sx
i \cap H \subseteq N(Si \cap H) \cap H = (N \cap H)(Si \cap H) = Si \cap H.
Следовательно, Sx
i \cap H = Si \cap H. Значит, Si \cap H \subseteq Sx
i для всех x \in N(Si \cap H), поэтому
Si \cap H \subseteq O\sigma i(N(Si \cap H)). Если O\sigma i(N) \not = 1, то N является \sigma i-группой. Последнее, как
показано выше, невозможно. Поэтому O\sigma i(N) = 1 и холлова \sigma i-подгруппа Si \cap H группы H
централизует N. Так как это правильно для любого i \in \{ 1, . . . , k\} , то G = N \times H. А так как
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}G(H) = 1, то H = 1 и G = N — простая неабелева группа.
Покажем, что подгруппа H является простой. Предположим, что она содержит собствен-
ную нормальную подгруппу L \not = 1. Очевидно, пара (G,L) удовлетворяет условию леммы.
Поскольку | G| + | L| < | G| + | H| , то подгруппа L является \sigma -субнормальной в G. Это означает,
что существует цепь подгрупп
L = L0 \subseteq L1 \subseteq \cdot \cdot \cdot \subseteq Ln - 1 \subseteq Ln = G
такая, что для каждого i = 1, 2, . . . , n либо подгруппа Li - 1 нормальна в Li, либо группа
Li/\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}Li(Li - 1) является \sigma -примарной. Отсюда и из простоты группы G следует, что G
является \sigma i-группой для некоторого i \in \{ 1, . . . , k\} . Пришли к противоречию с условием k \geq 2.
Следовательно, H — простая неабелева группа.
Лемма доказана.
Лемма 2.3 имеет самостоятельное значение. Следствием простоты группы G из минималь-
ного контрпримера к проблеме 2, в частности, являются следующие результаты.
Следствие 2.1. Пусть G — разрешимая группа, \sigma — некоторое разбиение множества \BbbP
всех простых чисел и \Sigma — полное холлово множество типа \sigma группы G. Подгруппа H группы
G тогда и только тогда является \sigma -субнормальной в G, когда \Sigma g редуцируется в H для
любого g \in G.
Напомним, что группа G называется \sigma -разрешимой, если каждый ее главный фактор явля-
ется \sigma -примарной группой.
Следствие 2.2. Пусть \sigma — некоторое разбиение множества \BbbP всех простых чисел, G
— \sigma -разрешимая группа и \Sigma — полное холлово множество типа \sigma группы G. Подгруппа H
группы G тогда и только тогда является \sigma -субнормальной в G, когда \Sigma g редуцируется в H
для любого g \in G.
3. Доказательство теоремы 1.1. Если подгруппа H \sigma -субнормальна в G, то в силу леммы
2.6 из [7] H \cap Si — холлова \sigma i-подгруппа из H для любого i = 1, 2, . . . , k.
Докажем обратное. Пусть (G,H) — минимальный контрпример. Тогда в силу леммы 2.3 G
и H — простые неабелевы группы. Поскольку G — 3\prime -группа, то G и H являются группами
Судзуки. Пусть G = Sz(q), где q = 22n+1 \geq 8. Из [9] следует, что 2n + 1 = tm, где t и m —
нечетные числа, большие единицы, и H = Sz(q0) для q0 = 2t \geq 8.
В [9] показано, что
| G| = q2(q2 + 1)(q - 1) = q2(q -
\sqrt{}
2q + 1)(q +
\sqrt{}
2q + 1)(q - 1)
и группа G содержит абелевы холловы подгруппы порядков q -
\surd
2q+1, q+
\surd
2q+1 и q - 1.
Кроме того, эти числа являются попарно взаимно простыми.
В частности, группа G является \tau -полной для такого разбиения \tau = \{ \tau j | j \in J\} множества
\BbbP всех простых чисел, что \tau 1 = \{ 2\} , \tau 2 = \pi (q -
\surd
2q+1), \tau 3 = \pi (q+
\surd
2q+1) и \tau 4 = \pi (p - 1).
Точно так же
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
О \sigma -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ 3\prime -ГРУПП 811
| H| = q20(q
2
0 + 1)(q0 - 1) = q20(q0 -
\sqrt{}
2q0 + 1)(q0 -
\sqrt{}
2q0 + 1)(q0 - 1).
Очевидно, имеет место равенство
q - 1 = 2tm - 1 = (2t - 1)(2t(m - 1) + 2t(m - 2) + . . .+ 2t + 1) =
= (q0 - 1)(2t(m - 1) + 2t(m - 2) + . . .+ 2t + 1).
Поэтому q0 - 1 делит q - 1 и, в частности, \pi (q0 - 1) \subseteq \pi (q - 1).
В [9] установлено, что группа G содержит максимальную холлову подгруппу Фробениуса
порядка q2(q - 1) и максимальную диэдральную подгруппу порядка 2(q - 1). Порядки всех
других максимальных подгрупп, отличных от подгрупп Судзуки, взаимно просты с q - 1. В [9]
показано, что (5, q - 1) = (5, q0 - 1) = 1 и (5, q2 +1) = (5, q20 +1) = 5. Поскольку \pi (q0 - 1) \subseteq
\subseteq \pi (q - 1) и H — простая неабелева группа Судзуки, то 5 \in \pi (H) и 5 \in \tau 2 \cup \tau 3. Пусть 5 \in \tau 2.
Группа G содержит абелеву холлову подгруппу T порядка q -
\surd
2q + 1, которая содержится
в единственной максимальной подгруппе порядка 4(q -
\surd
2q + 1). Поскольку 22n+1 \geq 8, то
отсюда легко следует, что
\tau 2 = \pi (G) \cap (\sigma i1 \cup . . . \cup \sigma il)
для некоторых i1, . . . , il из I. При этом из абелевости подгруппы T следует, что T = T1 \times . . .
. . .\times Tl, где Tj — абелева холлова \sigma ij -подгруппа для любого j = 1, 2, . . . , l.
Пусть 5 \in \sigma is для некоторого s \in \{ 1, . . . , l\} . В силу условия теоремы подгруппа Ts ре-
дуцируется в H. Отсюда и из абелевости подгруппы Ts следует, что H \leq 5 G. Последнее
невозможно в силу теоремы 1.4 из [4]. Точно так же рассматривается случай, когда 5 \in \tau 3.
Теорема доказана.
Литература
1. O. H. Kegel, Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 78, 205 – 221 (1962).
2. H. Wielandt, Zusammengesetzte Gruppen: H\"olders Programm heute, Proc. Pure Math., 37, 161 – 173 (1980).
3. P. B. Kleidman, A proof of the Kegel – Wielandt conjecture on subnormal subgroups, Ann. Math., 133, 369 – 428
(1991).
4. R. Guralnick, P. B. Kleidman, R. Lyons, Sylow p-subgroups and subnormal subgroups of finite groups, Proc. London
Math. Soc., 66, № 3, 129 – 151 (1993).
5. Нерешенные вопросы теории групп: Коуровская тетрадь, Ин-т математики СО РАН, Новосибирск (2018).
6. A. N. Skiba, On some results in the theory of finite partially soluble groups, Commun. Math. Stat., 4, № 3, 281 – 309
(2016).
7. A. N. Skiba, On \sigma -subnormal and \sigma -permutable subgroups of finite groups, J. Algebra, 436, 1 – 16 (2015).
8. А. Н. Скиба, О \sigma -свойствах конечных групп I , Проблемы физики, математики и техники, № 4(21), 89 – 96
(2014).
9. M. Suzuki, On a class double transitive groups, Ann. Math., 75, № 1, 105 – 145 (1962).
10. K. Doerk, T. Hawkes, Finite soluble groups, Walter de Gruyter, Berlin; New York (1992).
Получено 10.08.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1037 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:25Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/db/0d3f2b3019c242d57bc339733f144bdb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10372022-03-26T11:01:47Z On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups О $\sigma$-субнормальных подгруппах конечных 3'-групп О $\sigma$-субнормальных подгруппах конечных 3'-групп Kamornikov, S. F. Tyutyanov, V. N. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. UDC 512.542 For a partition $\sigma$ of the set $\mathbb{R}$ of all primes, it is solved that if every complete Hall set of type $\sigma$ of a finite $3 \prime$-group $G$ is reducible in some subgroup $H$ of $G$, then $H$ is $\sigma$ -subnormal in $G$. &nbsp; УДК 512.542 Для любого разбиения&nbsp; $\sigma$ множества $\mathbb{R}$&nbsp; всех простых чисел доказывается, что каждое полное холлово множество типа &nbsp;$\sigma$ конечной&nbsp; 3'-группы $G$ редуцируется в некоторую подгруппу $H$ группы $G$, то подгруппа $H$ является $\sigma$-субнормальной в $G$. УДК 512.542 Для будь-якого розбиття $\sigma$ множини $\mathbb{P}$ всіх простих чисел доведено, що якщо кожна повна холлова множина типу $\sigma$ скінченної $3'$-групи $G$ редукується в деяку підгрупу $H$&nbsp;&nbsp;із $G,$ то підгрупа $H$ є $\sigma$-субнормальною в $G.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1037 10.37863/umzh.v72i6.1037 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 6 (2020); 806-811 Український математичний журнал; Том 72 № 6 (2020); 806-811 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1037/8716 Copyright (c) 2020 Kamornikov Sergey |
| spellingShingle | Kamornikov, S. F. Tyutyanov, V. N. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. Каморников, С. Ф. Тютянов, В. Н. On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups |
| title | On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups |
| title_alt | О $\sigma$-субнормальных подгруппах конечных 3'-групп О $\sigma$-субнормальных подгруппах конечных 3'-групп |
| title_full | On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups |
| title_fullStr | On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups |
| title_full_unstemmed | On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups |
| title_short | On $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups |
| title_sort | on $\sigma$-subnormal subgroups of finite 3'-groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1037 |
| work_keys_str_mv | AT kamornikovsf onsigmasubnormalsubgroupsoffinite3039groups AT tyutyanovvn onsigmasubnormalsubgroupsoffinite3039groups AT kamornikovsf onsigmasubnormalsubgroupsoffinite3039groups AT tûtânovvn onsigmasubnormalsubgroupsoffinite3039groups AT kamornikovsf onsigmasubnormalsubgroupsoffinite3039groups AT tûtânovvn onsigmasubnormalsubgroupsoffinite3039groups AT kamornikovsf osigmasubnormalʹnyhpodgruppahkonečnyh3039grupp AT tyutyanovvn osigmasubnormalʹnyhpodgruppahkonečnyh3039grupp AT kamornikovsf osigmasubnormalʹnyhpodgruppahkonečnyh3039grupp AT tûtânovvn osigmasubnormalʹnyhpodgruppahkonečnyh3039grupp AT kamornikovsf osigmasubnormalʹnyhpodgruppahkonečnyh3039grupp AT tûtânovvn osigmasubnormalʹnyhpodgruppahkonečnyh3039grupp |