Fibration of idempotent measures
UDC 515.12 We prove that the idempotent barycenter map restricted to the points with nontrivial fibers is a trivial fibration with Hilbert cube fibers whenever it is open.
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1038 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507130053787648 |
|---|---|
| author | Radul , T. М. Радул, Т. М. |
| author_facet | Radul , T. М. Радул, Т. М. |
| author_sort | Radul , T. М. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 515.12
We prove that the idempotent barycenter map restricted to the points with nontrivial fibers is a trivial fibration with Hilbert cube fibers whenever it is open. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.1038 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.1038
УДК 515.12
Т. М. Радул (Унiверситет Казимира Великого в Бидгощi, Польща; Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
РОЗШАРУВАННЯ IДЕМПОТЕНТНИХ МIР
We prove that the idempotent barycenter map restricted to the points with nontrivial fibers is a trivial fibration with Hilbert
cube fibers whenever it is open.
Доведено, що вiдображення iдемпотентного барицентра, обмежене на точки з невиродженими шарами, є тривiаль-
ним розшаруванням з шаром гiльбертiв куб, якщо воно вiдкрите.
1. Вступ. Поняття iдемпотентної мiри (мiри Маслова) широко застосовується в рiзних галузях
математики, математичної фiзики та економiки (див., наприклад, оглядову статтю [9] та наведе-
ну в нiй бiблiографiю). Топологiчнi i категорнi властивостi вивчались у [22]. Хоча iдемпотентнi
мiри, взагалi кажучи, неадитивнi, а вiдповiднi функцiонали нелiнiйнi, iснують певнi аналогiї
мiж топологiчними властивостями просторiв iмовiрнiсних мiр та просторiв iдемпотентних мiр
(див., наприклад, [13, 22]), якi є наслiдком iснування природної структури еквiзв’язностi для
обох конструкцiй.
Проте вiдмiнностi з’являються при вивченнi топологiчних властивостей вiдображення ба-
рицентра. Вiдкритiсть вiдображення барицентра ймовiрнiсних мiр вивчалась в працях [3 – 5,
11, 12]. Зокрема, в [11] було доведено, що вiдкритiсть вiдображення барицентра ймовiрнiсних
мiр еквiвалентна вiдкритостi вiдображення (x, y) \mapsto \rightarrow 1/2(x + y), а в [5] доведено, що добу-
ток довiльної сiм’ї барицентрично вiдкритих компактiв (тобто опуклих компактiв, для яких
вiдображення барицентра є вiдкритим) є барицентрично вiдкритим. У [14] показано, що для
iдемпотентних мiр аналогiчнi твердження не мають мiсця.
М’якiсть вiдображення барицентра ймовiрнiсних мiр вивчалась у працях [5, 15, 16]. Зокре-
ма, в [5] було доведено, що добуток \omega 1 барицентрично вiдкритих опуклих метризовних ком-
пактiв є барицентрично м’яким. Натомiсть у [17] доведено, що тихоновський куб ваги \omega 1 не є
iдемпотентно барицентрично м’яким.
Цi вiдмiнностi пояснюються рiзними властивостями опуклостей, що визначають вiдображен-
ня барицентра: класичною лiнiйною опуклiстю у просторi ймовiрнiсних мiр та iдемпотентною
max-plus опуклiстю для iдемпотентних мiр.
У [4] доведено, що вiдображення барицентра ймовiрнiсних мiр, обмежене на повний про-
образ точок iз невиродженими шарами, є тривiальним розшаруванням iз шаром гiльбертiв куб,
якщо воно вiдкрите. Разом з тим, згiдно з зауваженням М. В. Зарiчного, цей результат не можна
узагальнити на вищi ваги (див. [6, 18] для бiльш повної iнформацiї).
В цiй статтi ми розглядаємо аналогiчну проблему для iдемпотентних мiр.
2. Iдемпотентнi мiри: необхiднi поняття. Компактом ми називаємо компактний гаусдор-
фовий простiр. Для компакту X через C(X) ми позначаємо банаховий простiр неперервних
функцiй на X, надiлений sup-нормою, а для c \in \BbbR через cX — сталу функцiю, що набуває
значення c.
Через \BbbR max = \BbbR \cup \{ - \infty \} позначимо метричний простiр з метрикою \varrho , визначеною фор-
мулою \varrho (x, y) = | ex - ey| . Дотримуючись формалiзму iдемпотентної математики (бiльше iн-
c\bigcirc Т. М. РАДУЛ, 2020
1544 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
РОЗШАРУВАННЯ IДЕМПОТЕНТНИХ МIР 1545
формацiї можна почерпнути, наприклад, у [10]), ми використовуємо позначення \oplus i \odot в \BbbR як
альтернативи для \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} i + вiдповiдно. Конвенцiя - \infty \odot x = - \infty дозволяє нам продовжити
операцiї \odot i \oplus на множину \BbbR max.
Max-plus опуклi множини були означенi в [24]. Для кардинального числа \tau , точок x, y \in \BbbR \tau
i \lambda \in \BbbR max через y\oplus x ми позначаємо покоординатний максимум точок x та y, а через \lambda \odot x —
вектор, отриманий додаванням до кожної координати вектора x числа \lambda . Пiдмножина A в \BbbR \tau
називається max-plus опуклою, якщо \alpha \odot a \oplus b \in A для всiх a, b \in A i \alpha \in \BbbR max такого, що
\alpha \leq 0. Легко переконатись, що A є max-plus опуклою тодi й лише тодi, коли \oplus n
i=1\lambda i \odot \delta xi \in A
для всiх x1, . . . , xn \in A i \lambda 1, . . . , \lambda n \in \BbbR max таких, що \oplus n
i=1\lambda i = 0. Далi пiд max-plus опуклим
компактом ми розумiємо max-plus опуклу компактну пiдмножину \BbbR \tau .
Через \odot : \BbbR \times C(X) \rightarrow C(X) позначимо вiдображення, що дiє таким чином: (\lambda , \varphi ) \mapsto \rightarrow
\mapsto \rightarrow \lambda X+\varphi , а через \oplus : C(X)\times C(X) \rightarrow C(X) — вiдображення, що дiє так: (\psi ,\varphi ) \mapsto \rightarrow \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \psi ,\varphi \} .
Означення 1 [22]. Функцiонал \mu : C(X) \rightarrow \BbbR називається iдемпотентною мiрою (мiрою
Маслова), якщо вiн задовольняє такi умови:
(1) \mu (1X) = 1;
(2) \mu (\lambda \odot \varphi ) = \lambda \odot \mu (\varphi ) для кожних \lambda \in \BbbR i \varphi \in C(X);
(3) \mu (\psi \oplus \varphi ) = \mu (\psi )\oplus \mu (\varphi ) для кожних \psi , \varphi \in C(X).
Зауважимо, що кожна iдемпотентна мiра \mu : C(X) \rightarrow \BbbR є нерозтягуючим вiдображенням
(лiпшицевим зi сталою 1) вiдносно sup-метрики на просторi C(X) та природної метрики на
\BbbR [22].
Через IX позначимо множину всiх iдемпотентних мiр на компактi X. Ми розглядаємо
IX як пiдпростiр в \BbbR C(X). У [22] показано, що IX є max-plus опуклою компактною пiдмно-
жиною в \BbbR C(X). Конструкцiя I є функторiальною, це означає, що для кожного неперервного
вiдображення мiж компактами f : X \rightarrow Y ми можемо знайти неперервне вiдображення If :
IX \rightarrow IY, означене таким чином: If(\mu )(\psi ) = \mu (\psi \circ f) для \mu \in IX i \psi \in C(Y ). У [22]
доведено, що функтор I зберiгає топологiчнi вкладення. Далi для вкладення i : A\rightarrow X, де A —
замкнена пiдмножина компакту X, ми ототожнюємо простiр IA i пiдпростiр Ii(IA) \subset IX.
Оскiльки функтор I зберiгає перетини, можемо розглянути поняття носiя мiри \mu \in IX :
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu = \cap \{ A \subset X | A замкнена i \mu \in IA\} [22].
Через \delta x позначимо мiру Дiрака, зосереджену в точцi x \in X. Отримаємо вiдображення \delta X :
X \rightarrow IX, означене таким чином: \delta X(x) = \delta x, x \in X. Вiдображення \delta X є неперервним, бiльш
того, воно є вкладенням [22]. Також у [22] показано, що множина
I\omega X =
\bigl\{
\oplus n
i=1 \lambda i \odot \delta xi | \lambda i \in \BbbR max, i \in \{ 1, . . . , n\} ,\oplus n
i=1\lambda i = 0, xi \in X,n \in \BbbN
\bigr\}
(тобто множина iдемпотентних мiр зi скiнченними носiями) є скрiзь щiльною в IX.
Поняття густини iдемпотентної мiри введено в [1]. Нехай \mu \in IX. Можемо означити
функцiю \rho \mu : X \rightarrow [ - \infty , 0] за допомогою формули \rho \mu (x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mu (\varphi )| \varphi \in C(X) така, що
\varphi \leq 0 i \varphi (x) = 0\} , x \in X. Функцiя \rho \mu є напiвнеперервною зверху i називається густиною
мiри \mu . Навпаки, кожна напiвнеперервна зверху функцiя f : X \rightarrow [ - \infty , 0] така, що \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} f = 0,
визначає iдемпотентну мiру \nu f за допомогою формули \nu f (\varphi ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ f(x) \odot \varphi (x)| x \in X\} , де
\varphi \in C(X) (iснування максимуму випливає з напiвнеперервностi зверху функцiї f ). Нескладно
переконатися, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu = \mathrm{C}\mathrm{l}\{ x \in X | \rho \mu (x) > - \infty \} .
Нехай A \subset \BbbR T є max-plus опуклою компактною пiдмножиною. Для кожного t \in T по-
кладемо ft = \mathrm{p}\mathrm{r}t| A : A \rightarrow \BbbR , де \mathrm{p}\mathrm{r}t : \BbbR T \rightarrow \BbbR — природна проекцiя. Для iдемпотентної
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1546 Т. М. РАДУЛ
мiри \mu \in IA точка \beta A(\mu ) \in \BbbR T визначається умовами \mathrm{p}\mathrm{r}t(\beta A(\mu )) = \mu (ft) для кожного
t \in T. В [22] показано, що \beta A(\mu ) належить A для кожної \mu \in I(A) i вiдображення \beta A :
IA \rightarrow A є неперервним. Вiдображення \beta A називається iдемпотентним вiдображенням бари-
центра.
Вiдображення f : X \rightarrow Y мiж max-plus опуклими компактами X i Y називається max-plus
афiнним, якщо для довiльних a, b \in X i \alpha \in [ - \infty , 0] виконується f(\alpha \odot a\oplus b) = \alpha \odot f(a)\oplus f(b).
Вiдображення \beta A є max-plus афiнним (наслiдок 4.2 з [14]).
3. Метрика на max-plus опуклих компактах. Нехай (X, d) — довiльний метричний ком-
пакт. Для n \in \BbbN позначимо через \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}n(X, d) множину всiх лiпшицевих функцiй на (X, d) з
константою Лiпшиця n. Для \nu , \mu \in IX i n \in \BbbN покладемо
dn(\nu , \mu ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| \nu (\varphi ) - \mu (\varphi )
\bigm| \bigm|
n
| \varphi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}n(X, d)
\Biggr\}
,
а також
dI(\nu , \mu ) =
\sum
n\in \BbbN
dn(\nu , \mu )
2n
.
У [22] доведено, що метрика dI породжує на IX топологiю пiдпростору в \BbbR C(X), причому
вiдображення \delta X : (X, d) \rightarrow (IX, dI) є iзометричним вкладенням.
Для метричного простору (X, d) i \varepsilon > 0 вiдображення h : X \rightarrow X називається \varepsilon -близьким
до тотожного, якщо d(x, h(x)) < \varepsilon для довiльного x \in X.
Лема 1. Нехай (X, d) — метричний компакт i вiдображення h : X \rightarrow X \varepsilon -близьке до
тотожного для деякого \varepsilon > 0. Тодi вiдображення Ih : IX \rightarrow IX \varepsilon -близьке до тотожного в
метрицi dI .
Доведення. Нехай \mu \in IX, а \psi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}n(X, d). Лема випливає з нерiвностi\bigm| \bigm| Ih(\mu )(\psi ) - \mu (\psi )
\bigm| \bigm|
n
\leq
\bigm| \bigm| \mu (\psi \circ h) - \mu (\psi )
\bigm| \bigm|
n
\leq
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in X
\bigm| \bigm| \psi (h(x)) - \psi (x)
\bigm| \bigm|
n
\leq
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in X nd
\bigl(
h(x), x
\bigr)
n
(оскiльки \mu — нерозтяжне вiдображення).
4. Основний результат для max-plus опуклих компактiв вигляду \bfitI \bfitX . У цьому пунктi
ми вивчаємо структуру вiдображення \beta IX : I2X \rightarrow IX для довiльного метризовного компак-
ту X. В [14] доведено, що воно є вiдкритим.
Для функцiї \varphi \in C(X) позначимо через \~\varphi \in C(IX) функцiю, означену за допомогою
формули \~\varphi (\nu ) = \nu (\varphi ) для \nu \in IX. Зауважимо, що \~\varphi \in C(IX) є афiнною функцiєю. Дi-
агональний добуток ( \~\varphi )\varphi \in C(X) вкладає IX в \BbbR C(X) як max-plus опуклу пiдмножину. Легко
переконатись, що вiдображення \beta IX задовольняє рiвнiсть \beta IX(\scrM )(\varphi ) = \scrM ( \~\varphi ) для довiльних
\scrM \in I2X = I(IX) i \varphi \in C(X). Зокрема, \beta IX \circ I(\delta X) = \mathrm{i}\mathrm{d}IX для кожного компакту X.
Нехай X — max-plus опуклий компакт. Точка x \in X називається екстремальною, якщо для
будь-яких двох точок y, z \in X i для довiльного t \in [ - \infty , 0] з рiвностi x = t\odot y \oplus z випливає
x \in \{ y, z\} [8]. Множину екстремальних точок max-plus опуклого компакту X ми познача-
ємо через E(X). У [14] доведено, що з вiдкритостi вiдображення iдемпотентного барицентра
випливає замкненiсть множини E(X).
Лема 2. Нехай X — довiльний компакт. Тодi E(IX) = \delta X(X) = \{ \mu \in IX | | \beta - 1
IX(\mu )| = 1\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
РОЗШАРУВАННЯ IДЕМПОТЕНТНИХ МIР 1547
Доведення. Нехай \mu \in E(IX). Припустимо, що iснують рiзнi x1, x2 \in X такi, що \rho \mu (x1) >
> - \infty i \rho \mu (x2) > - \infty , де \rho \mu — густина мiри \mu . Можемо вважати, що \rho \mu (x1) = 0. Запишемо
X = X1 \cup X2, де X1 i X2 — замкненi пiдмножини компакту X такi, що x2 /\in X1 \ni x1 i
x1 /\in X2 \ni x2. Покладемо a = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in X2 \rho \mu (x) \leq 0 (iснування максимуму випливає з напiвне-
перервностi зверху функцiї \rho \mu ). Означимо функцiї \rho 1, \rho 2 : X \rightarrow [ - \infty , 0] таким чином:
\rho 1(x) =
\left\{ \rho \mu (x), x \in X1,
- \infty , x /\in X1,
i
\rho 2(x) =
\left\{ \rho \mu (x) - a, x \in X2,
- \infty , x /\in X2.
Легко бачити, що функцiї \rho 1 i \rho 2 напiвнеперервнi зверху i \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in X \rho 1(x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in X \rho 2(x) = 0.
Отже, вони є густинами деяких мiр \mu 1, \mu 2 \in IX, причому \mu /\in \{ \mu 1;\mu 2\} i a\odot \mu 2 \oplus \mu 1 = \mu . Ми
прийшли до суперечностi, i \mu \in \delta X(X).
Нехай x \in X. Тодi \delta x = I(\{ x\} ). Згiдно з лемою 2.2 з [17] \beta - 1
IX(I(\{ x\} )) \subset I2(\{ x\} ). Отже,
\beta - 1
IX(\delta x) = \beta - 1
IX(I(\{ x\} )) \subset I2(\{ x\} ) = \{ \delta \delta x\} i \delta x \in
\bigl\{
\mu \in IX | | \beta - 1
IX(\mu )| = 1
\bigr\}
.
Тепер нехай \mu /\in E(IX). Тодi iснують такi \mu 1, \mu 2 \in IX i a \in [ - \infty , 0], що \mu /\in \{ \mu 1;\mu 2\} i
a\odot \mu 2 \oplus \mu 1 = \mu . Але тодi множина \beta - 1
IX(\mu ) мiстить двоточкову пiдмножину \{ a\odot \delta \mu 2 \oplus \delta \mu 1 , \delta \mu \}
i \mu /\in
\bigl\{
\nu \in IX | | \beta - 1
IX(\nu )| = 1
\bigr\}
.
Лему 2 доведено.
Нагадаємо деякi означення та поняття, необхiднi для формулювання та доведення основ-
ного результату. Нехай A — пiдмножина простору X. Неперервне вiдображення r : X \rightarrow A
називається ретракцiєю, якщо r| A = \mathrm{i}\mathrm{d}A. Простiр A називається абсолютним ретрактом (по-
значаємо AR), якщо для довiльного замкненого вкладення j : A \rightarrow X iснує ретракцiя r :
X \rightarrow j(A).
Лема 3. Довiльний метризовний max-plus опуклий компакт X є абсолютним ретрактом.
Доведення. Вiдомо, що IX є абсолютним ретрактом для кожного метричного компакту
(див., наприклад, [17] або [2]). Вiдображення \delta X \circ \beta X : IX \rightarrow \delta X(X) є ретракцiєю, тому X
також є абсолютним ретрактом.
Неперервне вiдображення f : X \rightarrow Y називається м’яким [19], якщо для довiльного прос-
тору Z, довiльної замкненої пiдмножини A простору Z i неперервних вiдображень \Phi : A\rightarrow X
i \Psi : Z \rightarrow Y таких, що \Psi | A = f \circ \Phi , iснує таке неперервне вiдображення G : Z \rightarrow X, що
G| A = \Phi i \Psi = f \circ G. Безпосередньо з означення випливає, що звуження м’якого вiдображення
на повний прообраз є м’яким.
Неперервне вiдображення f : X \rightarrow Y називається тривiальним розшаруванням iз шаром Z
(або тривiальним Z -розшаруванням), де Z — довiльний простiр, якщо iснує такий гомеомор-
фiзм h : X \rightarrow Z \times Y, що f = \mathrm{p}\mathrm{r}Y \circ h. Неперервне вiдображення f : X \rightarrow Y називається
локально тривiальним розшаруванням з шаром Z, якщо для кожної точки y \in Y знайдуться
окiл U i гомеоморфiзм h : f - 1(U) \rightarrow Z \times U такi, що f(x) = \mathrm{p}\mathrm{r}Y \circ h(x) x \in X.
Через Q позначимо гiльбертiв куб, тобто злiченний нескiнченний добуток одиничних замк-
нених вiдрiзкiв iз топологiєю добутку. Ми будемо використовувати наступну версiю теореми
Веста – Торуньчика про топологiчну характеризацiю Q-розшарувань, яка безпосередньо випли-
ває з твердження 1.6.5 [7].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1548 Т. М. РАДУЛ
Теорема 1. Нехай f : X \rightarrow Y — м’яке вiдображення мiж компактними AR-ами, а d —
метрика на X. Якщо для кожного \varepsilon > 0 iснують два \varepsilon -близькi до тотожного неперервнi
вiдображення h, g : X \rightarrow X такi, що h(X)\cap g(X) = \varnothing i f \circ h = f = f \circ g, то f є тривiальним
Q-розшаруванням.
Покладемо J =
\bigl\{
(t, p) \in [ - \infty , 0] \times [ - \infty , 0] | t \oplus p = 0
\bigr\}
. Нехай X — max-plus опуклий
компакт. Означимо вiдображення sX : X \times X \times J \rightarrow X за допомогою формули sX(x, y, t, p) =
= t\odot x\oplus p\odot y. Легко перевiрити, що вiдображення sX неперервне.
Теорема 2. Нехай X — метричний компакт. Вiдображення bX = \beta IX | I2X\setminus \beta - 1
IX(E(IX)) :
I2X \setminus \beta - 1
IX(E(IX)) \rightarrow IX \setminus E(IX) є тривiальним Q-розшаруванням.
Доведення. Нехай (X, d) — метричний компакт. На IX та I2X розглянемо вiдповiдно
метрики dI та (dI)I , введенi у п. 3. Оскiльки кожне локально тривiальне Q-розшарування
є тривiальним [20], достатньо довести, що вiдображення bX є локально тривiальним Q-
розшаруванням. Нехай \nu \in IX — довiльна точка. Виберемо max-plus опуклий компактний
окiл K точки \nu такий, що K \cap E(IX) = \varnothing . З афiнностi вiдображення \beta IX випливає, що
компакт \beta - 1
IX(K) є max-plus опуклим. Отже, компакти \beta - 1
X (K) i K є абсолютними ретрактами
згiдно з лемою 3.
Через bK позначимо звуження вiдображення \beta IX на \beta - 1
IX(K). Покажемо, що вiдображення
bK задовольняє умови теореми 1. Оскiльки вiдображення \beta IX : I2X \rightarrow IX є вiдкритим i X —
метричний компакт, то \beta IX є м’яким (наслiдок 4.2 з [17]). Тодi вiдображення bK також є
м’яким, як звуження \beta IX на повний прообраз.
Розглянемо довiльне \varepsilon > 0. Оскiльки вiдображення sIX неперервне, IX — компактний
простiр, а sIX(\mu , \nu , 0, - \infty ) = \mu для довiльних мiр \mu , \nu \in IX, iснує t \in ( - \infty , 0] та-
ке, що неперервне вiдображення h\kappa : IX \rightarrow IX, де \kappa \in K, означене за допомогою фор-
мули h\kappa (\mu ) = sIX(\mu , \kappa , 0, t), є \varepsilon -близьким до тотожного. Зауважимо також, що множина
S = \cup \kappa \in Kh\kappa (IX) = sIX(IX,K, 0, t) є компактною i такою, що S \cap E(IX) = \varnothing .
Означимо вiдображення g : \beta - 1
IX(K) \rightarrow I2X за допомогою формули
g(\scrM ) = I(h\beta IX(\scrM ))(\scrM ).
Легко переконатися, що вiдображення g неперервне, а з леми 1 випливає, що воно \varepsilon -близьке
до тотожного.
Розглянемо довiльнi функцiї \varphi \in C(X) i \scrM \in \beta - 1
IX(K). Тодi \beta IX \circ g(\scrM )(\varphi ) = \beta IX \circ
\circ I(h\beta IX(\scrM ))(\scrM )(\varphi ) = \scrM ( \~\varphi \circ h\beta IX(\scrM )). Позначимо \Psi = \~\varphi \circ h\beta IX(\scrM ). Виберемо довiльну
мiру \nu \in IX. Тодi \Psi (\nu ) = \~\varphi \circ h\beta IX(\scrM )(\nu ) = \~\varphi (t \odot \beta IX(\scrM ) \oplus \nu ) = (оскiльки \~\varphi : IX \rightarrow \BbbR є
афiнною функцiєю) = t\odot \scrM ( \~\varphi )\oplus \nu (\varphi ) \leq \scrM ( \~\varphi )\oplus \nu (\varphi ). Таким чином, \~\varphi \leq \Psi \leq \scrM ( \~\varphi )IX \oplus \~\varphi .
З властивостей iдемпотентної мiри випливає, що \scrM ( \~\varphi ) = \scrM (\Psi ) для довiльних \varphi \in C(X)
i \scrM \in \beta - 1
IX(K), тобто \beta IX \circ g = \beta IX . Зокрема, g(\beta - 1
IX(K)) \subset K. Також зауважимо, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(g(\scrM )) \cap E(IX) = \varnothing для довiльної \scrM \in \beta - 1
IX(K).
Оскiльки вiдображення sI2X неперервне, I2X — компактний простiр, а
sI2X(\scrM ,\scrK , 0, - \infty ) = \scrM
для довiльних \scrM , \scrK \in I2X, iснує t \in ( - \infty , 0] таке, що неперервне вiдображення h : \beta - 1
IX(K) \rightarrow
\rightarrow \beta - 1
IX(K), означене за допомогою формули h(\scrM ) = sI2X(\scrM , I(\delta X)(\beta IX(\scrM )), 0, t), є \varepsilon -
близьким до тотожного. З афiнностi вiдображення \beta IX та рiвностi \beta IX\circ I(\delta X) = \mathrm{i}\mathrm{d}IX випливає
рiвнiсть \beta IX \circ h = \beta IX . Оскiльки \delta X(X) = E(IX), то I(\delta X)(\beta IX(\scrM )) \in I(E(IX)), а отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
РОЗШАРУВАННЯ IДЕМПОТЕНТНИХ МIР 1549
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(h(\scrM )) \cap E(IX) \not = \varnothing для довiльної \scrM \in \beta - 1
IX(K). Ми переконалися, що вiдображення g
i h задовольняють умови теореми 1.
Теорему 2 доведено.
5. Загальний випадок: частковий результат i вiдкрита проблема. В цьому пунктi ми
дослiджуємо структуру вiдображення iдемпотентного барицентра для довiльного метричного
max-plus опуклого компакту. Зауважимо, що для ймовiрнiсних мiр множина екстремальних
точок довiльного опуклого компакту збiгається з множиною точок, де вiдображення барицентра
має одноточковi шари [4]. Для iдемпотентних мiр це, взагалi кажучи, не так. Легко переконатися,
що вiдображення iдемпотентного барицентра \beta [0,1] : I
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
\rightarrow [0, 1] не має одноточкових
шарiв, хоча max-plus опуклий компакт [0, 1] має двi екстремальнi точки: 0 i 1.
Для max-plus опуклого компакту X через B(X) позначимо множину точок, де вiдображення
барицентра має одноточковi шари. Легко переконатися, що B(X) \subset E(X).
Лема 4. Нехай X — довiльний max-plus опуклий компакт. Тодi B(X) = \{ x \in X |
для будь-яких двох точок y, z \in X i для довiльного\lambda \in ( - \infty , 0] з рiвностix = \lambda \odot y \oplus z
випливаєx = y = z\} .
Доведення. Нехай x \in B(X). Припустивши, що iснують t \in ( - \infty , 0] i не рiвнi одночасно
x точки y, z \in X такi, що x = \lambda \odot y \oplus z, отримуємо \beta X(\lambda \odot \delta y \oplus \delta z) = x i \lambda \odot \delta y \oplus \delta z \not = \delta x —
суперечнiсть.
Тепер розглянемо x /\in B(X). Оскiльки \delta x \in \beta - 1
X (x), iснує \mu \in \beta - 1
X (x), для якої iснують
рiзнi x1, x2 \in X такi, що \rho \mu (x1) > - \infty i \rho \mu (x2) > - \infty , де \rho \mu — густина мiри \mu . Можемо
вважати, що \rho \mu (x1) = 0.
Нагадаємо, що X ми розглядаємо як max-plus опуклу компактну пiдмножину \BbbR T . Iснує
таке t \in T, що \mathrm{p}\mathrm{r}t(x1) \not = \mathrm{p}\mathrm{r}t(x2). Можемо вважати, що \mathrm{p}\mathrm{r}t(x1) < \mathrm{p}\mathrm{r}t(x2). Виберемо таке
q \in (\mathrm{p}\mathrm{r}t(x1), \mathrm{p}\mathrm{r}t(x2)), що \mathrm{p}\mathrm{r}t(x) \not = q. Запишемо X = X1 \cup X2, де X1 = \{ y \in X | \mathrm{p}\mathrm{r}t(y) \leq q\}
i X2 = \{ y \in X | \mathrm{p}\mathrm{r}t(y) \geq q\} — замкненi max-plus опуклi пiдмножини компакту X. Покладемо
a = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}y\in X2 \rho \mu (y) \leq 0 (iснування максимуму випливає з напiвнеперервностi зверху функцiї
\rho \mu ). Означимо функцiї \rho 1, \rho 2 : X \rightarrow [ - \infty , 0] таким чином:
\rho 1(y) =
\left\{ \rho \mu (y), y \in X1,
- \infty , y /\in X1,
i
\rho 2(y) =
\left\{ \rho \mu (y) - a, y \in X2,
- \infty , y /\in X2.
Легко бачити, що функцiї \rho 1 i \rho 2 напiвнеперервнi зверху i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in X
\rho 1(y) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in X
\rho 2(y) = 0.
Отже, вони є густинами деяких мiр \mu 1, \mu 2 \in IX, причому a \odot \mu 2 \oplus \mu 1 = \mu . Покладемо
\beta X(\mu 1) = z i \beta X(\mu 2) = y. Оскiльки X1 i X2 — max-plus опуклi компакти, z \in X1 i y \in X2,
тобто точки y та z не рiвнi одночасно x. Окрiм того, x = \beta X(\mu ) = \beta X(a\odot \mu 2\oplus \mu 1) = a\odot y\oplus z.
Лему 4 доведено.
Зауважимо, що з леми 2 випливає включення B(X) \subset E(X).
Теорема 3. Вiдображення \beta [0,1] є тривiальним Q-розшаруванням.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1550 Т. М. РАДУЛ
Доведення. На [0, 1] ми розглядаємо природну метрику d, а на I
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
— метрику dI ,
введену в п. 3.
Як i в доведеннi теореми 2, достатньо встановити, що вiдображення \beta [0,1] є локально тривi-
альним Q-розшаруванням. Через b0 позначимо звуження вiдображення \beta [0,1] на \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
,
а через b1 — звуження вiдображення \beta [0,1] на \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
1
3
, 1
\biggr] \biggr)
. Ми доведемо, що вiдображення
b0 i b1 є тривiальними Q-розшаруваннями. З афiнностi вiдображення \beta IX та леми 3 випливає,
що компакти \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
1
3
, 1
\biggr] \biggr)
та \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
є абсолютними ретрактами.
Оскiльки вiдображення \beta [0,1] є вiдкритим [17], то \beta [0,1] є м’яким (наслiдок 4.2 з [17]). Тодi
вiдображення b0 i b1 також є м’якими, як звуження \beta [0,1] на повний прообраз.
Розглянемо довiльне \varepsilon > 0. Оскiльки вiдображення sI([0,1]) неперервне, I
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
— компакт-
ний простiр, а sI([0,1])(\mu , \nu , 0, - \infty ) = \mu для довiльних \mu , \nu \in IX, iснує t \in ( - \infty , - 1] таке,
що неперервне вiдображення h0 : \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
\rightarrow \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
, означене за допомогою
формули h0(\mu ) = sIX(\mu , \delta 1, 0, t), є \varepsilon -близьким до тотожного. Оскiльки t \leq - 1, то b0 \circ h0 = b0.
Зауважимо також, що 1 \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}h0(\mu ) для довiльної \mu \in \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
.
Означимо функцiю
l : \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
\times
\biggl[
2
3
, 1
\biggr]
\rightarrow \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
таким чином. Нехай \nu \in \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
з густиною \rho \nu i p \in
\biggl[
2
3
, 1
\biggr]
. Означимо функцiю \sigma :
[0, 1] \rightarrow [ - \infty , 0] за допомогою формули
\sigma (t) =
\left\{
\rho \nu (t), t < p,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}s\in [p,1](1 - s)\odot \rho \nu (s), t = p,
- \infty , t > p.
Легко переконатись, що функцiя \sigma коректно визначена, неперервна зверху i \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}s\in [0,1] \sigma (s) = 1.
Отже, \sigma є густиною для певної мiри \mu \in \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
, причому \beta [0,1](\mu ) = \beta [0,1](\nu ).
Покладемо l(\nu , p) = \mu . Легко переконатись, що вiдображення l неперервне i l(\nu , 1) = \nu
для кожної \nu \in \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
. Тодi iснує \delta \in
\biggl(
2
3
, 1
\biggr)
таке, що неперервне вiдображен-
ня g0 : \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
\rightarrow \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
, означене за допомогою формули g0(\nu ) = l(\nu , \delta ),
є \varepsilon -близьким до тотожного. Легко переконатись, що b0 \circ g0 = b0. Зауважимо також, що
1 /\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}g0(\nu ) для довiльної \nu \in \beta - 1
[0,1]
\biggl( \biggl[
0,
2
3
\biggr] \biggr)
.
Таким чином, з теореми 1 випливає, що вiдображення b0 є тривiальним Q-розшаруванням.
Аналогiчнi мiркування, навiть дещо простiшi, використовуємо для вiдображення b1.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
РОЗШАРУВАННЯ IДЕМПОТЕНТНИХ МIР 1551
Узагальненням теорем 2 i 3 та об’єднанням їх в одну була б позитивна вiдповiдь на таке
питання.
Задача 1. Нехай X — max-plus опуклий метричний компакт, такий, що вiдображення \beta X є
вiдкритим. Чи буде вiдображення \beta X | IX\setminus \beta - 1
X (B(X)) : IX \setminus \beta - 1
X (B(X)) \rightarrow X \setminus B(X) тривiальним
Q-розшаруванням?
Зауважимо, що теореми 2 i 3 описують два полярно протилежнi випадки: в теоремi 2
всi екстремальнi точки є точками однократностi вiдображення барицентра, натомiсть в теоре-
мi 3 точок однократностi немає взагалi. Бачимо, що iдеї доведення цих теорем рiзняться. В
загальному випадку max-plus опуклий компакт може мати як екстремальнi точки, що є точками
однократностi, так i тi, що не є такими. Тому здається, що для вiдповiдi на вищепоставлене
питання потрiбно якимось чином змiксувати методи доведення згаданих теорем.
Насамкiнець розглянемо проблему, чи можна отриманi результати перенести на неметри-
зовнi компакти. Почнемо з ваги \omega 1. Очевидно, що розшарування мали б бути з шаром [0, 1]\omega 1
(в [2] доведено, що IX гомеоморфно [0, 1]\omega 1 для кожного вiдкритопородженого однорiдного за
характером компакту X ). Аналогiчна проблема розглядалася для ймовiрнiсних мiр (див. [6, 18],
де отримано негативнi результати). Для iдемпотентних мiр ситуацiя є такою самою.
Розглянемо max-plus опуклий компакт I
\bigl(
[0, 1]\omega 1
\bigr)
та вiдповiдне вiдображення барицент-
ра \beta I([0,1]\omega 1 ). Згiдно з лемою 2, воно має точки однократностi, множина яких збiгається з
\delta [0, 1]\omega 1
\bigl(
[0, 1]\omega 1
\bigr)
. Разом з тим з леми 2.2 в [17] випливає, що для довiльної мiри \nu \in IA,
де A — довiльна метризовна пiдмножина в [0, 1]\omega 1 , шар \beta - 1
I([0,1]\omega 1 )(\nu ) є метризовним. Отже,
нам залишається лише iдемпотентний аналог питання Федорчука, сформульованого для ймо-
вiрнiсних мiр (питання 7.12 з [6]): чи вiдображення \beta I([0,1]\omega 1 ), обмежене на повний прообраз
деякого компакту, елементами якого є тiльки мiри з неметризовними носiями, є тривiальним
розшаруванням з шаром [0, 1]\omega 1 ?
Вiдповiдь на це питання є, як i у випадку ймовiрнiсних мiр, негативною i випливає з на-
ступного твердження, що є знову ж таки iдемпотентним аналогом твердження 5.1 з [18]. Заува-
жимо, що доведення нашого твердження можна отримати формальним перекладом доведення
твердження 5.1 на мову iдемпотентної математики з урахуванням категорних властивостей
функтора iдемпотентних мiр I, дослiджених у [22].
Твердження. Iснує мiра з неметризовним носiєм, \nu \in I([0, 1]\omega 1), така, що компакт
\beta - 1
I([0,1]\omega 1 )(\nu ) має точку злiченного характеру.
Лiтература
1. M. Akian, Densities of idempotent measures and large deviations, Trans. Amer. Math. Soc., 351, № 11, 4515 – 4543
(1999).
2. L. Bazylevych, D. Repovs, M. Zarichnyi, Spaces of idempotent measures of compact metric spaces, Topology and
Appl., 157, 136 – 144 (2010).
3. L. Q. Eifler, Openness of convex averaging, Glas. Mat. Ser. III, 32, № 1, 67 – 72 (1977).
4. V. V. Fedorchuk, On a barycentric map of probability measures, Vestn. Mosk. Univ., Ser. I, № 1, 42 – 47 (1992).
5. V. V. Fedorchuk, On barycentrically open bicompacta, Sib. Math. J., 33, 1135 – 1139 (1992).
6. V. V. Fedorchuk, Probability measures in topology, Russian Math. Surveys, 46 , 41 – 80 (1991).
7. V. Fedorchuk, A. Chigogidze, Absolute retracts and infinitedimensional manifolds, Nauka, Moskow (1992).
8. S. Gaubert, R. Katz, Max-plus convex geometry, Lect. Notes Comput. Sci., 4136, 192 – 206 (2006).
9. G. L. Litvinov, The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: a very brief introduction, Contemp.
Math., 377, 1 – 17 (2005).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1552 Т. М. РАДУЛ
10. V. P. Maslov, S. N. Samborskii, Idempotent analysis, Adv. Soviet Math., Vol. 13, Amer. Math. Soc., Providence
(1992).
11. R. C. O’Brien, On the openness of the barycentre map, Math. Ann., 223, 207 – 212 (1976).
12. S. Papadopoulou, On the geometry of stable compact convex sets, Math. Ann., 229, 193 – 200 (1977).
13. T. Radul, Absolute retracts and equiconnected monads, Topology and Appl., 202, 1 – 6 (2016).
14. T. Radul, On the openness of the idempotent barycenter map, Topology and Appl., 265, Article 106809 (2019),
DOI 10.1016/j.topol.2019.07.003.
15. T. Radul, On the baricentric map of probability measures, Vestn. Mosk. Univ., Ser. I, № 1, 3 – 6 (1994).
16. T. Radul, On baricentrically soft compacta, Fund. Math., 148, 27 – 33 (1995).
17. T. Radul, Idempotent measures: absolute retracts and soft maps, Topol. Methods Nonlinear Anal., 56, 161 – 172
(2020).
18. T. N. Radul, M. M. Zarichnyi, Monads in the category of compacta, Uspekhi Mat. Nauk., 50, 83 – 108 (1995).
19. E. V. Shchepin, Topology of limit spaces of uncountable inverse spectra, Russian Math. Surveys, 31, 155 – 191 (1976).
20. H. Torunczyk, J. West, Fibrations and bundles with Hilbert cube manifold fibers, Mem. Amer. Math. Soc., 80, № 406
(1989).
21. M. van de Vel, Theory of convex strutures, North-Holland (1993).
22. M. Zarichnyi, Spaces and mappings of idempotent measures, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 74, 45 – 64 (2010).
23. M. Zarichnyi, Michael selection theorem for max-plus compact convex sets, Topology Proc., 31, 677 – 681 (2007).
24. K. Zimmermann, A general separation theorem in extremal algebras, Ekon.-Mat. Obz., 13, 179 – 201 (1977).
Одержано 13.08.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1038 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:25Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/69/19b0dce114b1f94ced6df479ddb6aa69.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10382025-03-31T08:49:35Z Fibration of idempotent measures Розшарування ідемпотентних мір Radul , T. М. Радул, Т. М. UDC 515.12 We prove that the idempotent barycenter map restricted to the points with nontrivial fibers is a trivial fibration with Hilbert cube fibers whenever it is open. УДК 515.12 Доведено, що відображення ідемпотентного барицентра, обмежене на точки з невиродженими шарами, є тривіальним розшаруванням з шаром гільбертів куб, якщо воно відкрите. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1038 10.37863/umzh.v72i11.1038 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1544-1552 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1544-1552 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1038/8783 Copyright (c) 2020 Т. М. Радул |
| spellingShingle | Radul , T. М. Радул, Т. М. Fibration of idempotent measures |
| title | Fibration of idempotent measures |
| title_alt | Розшарування ідемпотентних мір |
| title_full | Fibration of idempotent measures |
| title_fullStr | Fibration of idempotent measures |
| title_full_unstemmed | Fibration of idempotent measures |
| title_short | Fibration of idempotent measures |
| title_sort | fibration of idempotent measures |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1038 |
| work_keys_str_mv | AT radultm fibrationofidempotentmeasures AT radultm fibrationofidempotentmeasures AT radultm rozšaruvannâídempotentnihmír AT radultm rozšaruvannâídempotentnihmír |