Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions
UDC 517.547.22  We study relations between the class of entire functions of order $\rho$ and of completely regular growth and the class of entire functions of bounded $l$-index, where $l(z)=|z|^{\rho-1}+1$ for $|z|\ge 1.$ Possible applications of these functions in the anal...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1048 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507134744068096 |
|---|---|
| author | Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. Скаскив, Олег |
| author_facet | Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. Скаскив, Олег |
| author_sort | Bandura, A. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-06-30T14:12:58Z |
| description | UDC 517.547.22 
We study relations between the class of entire functions of order $\rho$ and of completely regular growth and the class of entire functions of bounded $l$-index, where $l(z)=|z|^{\rho-1}+1$ for $|z|\ge 1.$ Possible applications of these functions in the analytic theory of differential equations are considered.  We pose three new problems on the existence of functions with given properties which belong to the difference of these classes and, for the fourth problem, we give an affirmative answer.  Namely, we suggest sufficient conditions for an infinite product to be an entire function of completely regular growth of order $\rho$ with unbounded $l_{\rho}$-index and its zeros do not satisfy known Levin's conditions (C) and (C$'$).  We also construct an entire function of completely regular growth of order $\rho$ with unbounded $l_{\rho}$-index, whose zeros do not satisfy known Levin's conditions (C) and (C$'$). |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i3.1048 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.547.22
А. I. Бандура (Iвано-Франк. нац. техн. ун-т нафти i газу),
О. Б. Скаскiв (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ОБМЕЖЕНIСТЬ \bfitl -IНДЕКСУ
I ЦIЛКОМ РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ
We study relations between the class of entire functions of order \rho and of completely regular growth and the class of
entire functions of bounded l-index, where l(z) = | z| \rho - 1 + 1 for | z| \geq 1. Possible applications of these functions in the
analytic theory of differential equations are considered. We pose three new problems on the existence of functions with
given properties which belong to the difference of these classes and, for the fourth problem, we give an affirmative answer.
Namely, we suggest sufficient conditions for an infinite product to be an entire function of completely regular growth of
order \rho with unbounded l\rho -index and its zeros do not satisfy known Levin’s conditions (C) and (C\prime ). We also construct
an entire function of completely regular growth of order \rho with unbounded l\rho -index, whose zeros do not satisfy known
Levin’s conditions (C) and (C\prime ).
Дослiджується зв’язок мiж класом цiлих функцiй цiлком регулярного зростання порядку \rho i класом цiлих функцiй
обмеженого l-iндексу, де l(z) = | z| \rho - 1 + 1 для | z| \geq 1. Розглядаються можливi застосування цих функцiй в ана-
лiтичнiй теорiї диференцiальних рiвнянь. Сформульовано три новi проблеми про iснування функцiй iз заданими
властивостями, якi належать до рiзниць цих класiв. Отримано ствердну вiдповiдь на проблему 4, а саме наведено
достатнi умови того, що нескiнченний добуток є цiлою функцiєю цiлком регулярного зростання порядку \rho , необме-
женого l\rho -iндексу, а його нулi не задовольняють вiдомi умови Левiна (C) та (C\prime ). Також побудовано цiлу функцiю
цiлком регулярного зростання порядку \rho й обмеженого iндексу l\rho , нулi якої не задовольняють вiдомi умови Левiна
(C) i (C\prime ).
На сьогоднi властивостi цiлих функцiй цiлком регулярного зростання є досить повно вивченими
(широку бiблiографiю про цей клас функцiй див. у монографiях [1, 15, 22, 24, 30, 32]). Проте
цей роздiл комплексного аналiзу має багато давнiх проблем. Однiєю з таких цiкавих проблем
є проблема Гольдберга – Островського – Петренка [14] (часто використовується скорочення
ГОП-проблема): Нехай
w(n) + an - 1(z)w
(n - 1) + . . .+ a1(z)w
\prime + a0(z)w = 0 (1)
— задане лiнiйне диференцiальне рiвняння, коефiцiєнти якого aj , 0 \leq j \leq n - 1, — цiлi функцiї
цiлком регулярного зростання. Чи кожний розв’язок w(z) рiвняння (1), який має скiнченний
порядок, буде цiлком регулярного зростання?
В. П. Петренко [31] сформулював цю проблему без припущення, що коефiцiєнти aj(z) —
цiлi функцiї цiлком регулярного зростання. Вiн також дав ствердну вiдповiдь, якщо aj(z) —
многочлени. Пiзнiше А. А. Гольдберг [14] спростував цю проблему у формулюваннi Петренка.
Вiн показав, що якщо f — довiльна цiла функцiї з нулями порядку щонайбiльше n - 1, то
вона задовольняє деяке лiнiйне диференцiальне рiвняння порядку n вигляду (1), де aj , 0 \leq
\leq j \leq n - 1, — цiлi функцiї. Тому А. А. Гольдберг i Й. В. Островський уточнили формулювання
Петренка, додавши припущення про цiлком регулярне зростання коефiцiєнтiв aj , 0 \leq j \leq n - 1.
Незважаючи на понад 30 рокiв дослiджень, ця проблема залишається нерозв’язаною [23].
Водночас зазначимо [33], що кожен цiлий розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння
n-порядку зi сталими коефiцiєнтами є функцiєю обмеженого iндексу. А цiлi функцiї обмеженого
l-iндексу мають властивостi, що вказують на їхню подiбнiсть до функцiй цiлком регулярного
зростання. Нехай l : \BbbC \rightarrow \BbbR + — задана додатна неперервна функцiя, де \BbbR + = (0,+\infty ). Цiла
c\bigcirc А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ, 2020
316 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ОБМЕЖЕНIСТЬ l-IНДЕКСУ I ЦIЛКОМ РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 317
функцiя f називається функцiєю обмеженого l-iндексу [27], якщо iснує цiле число m, не
залежне вiд z, таке, що
| f (p)(z)|
lp(z)p!
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| f (s)(z)|
ls(z)s!
: 0 \leq s \leq m
\Biggr\}
для всiх p i кожного z \in \BbbC .
Найменше таке цiле m називається l-iндексом функцiї f i позначається через N(f ; l). Якщо
l(z) \equiv 1, то функцiя f називається функцiєю обмеженого iндексу [29].
Зокрема, цi функцiї мають такi властивостi [2, 34]: рiвномiрний у деякому сенсi розподiл
своїх нулiв, певну регулярну поведiнку розв’язкiв диференцiального рiвняння, тощо. Бiльш
того, вiдомо [26], що кожен цiлий розв’язок рiвняння (1) з многочленними коефiцiєнтами aj(z)
має обмежений l-iндекс з l(z) = | z| s + 1, де s = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}j\in \{ 0,...,n - 1\}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} aj(z)
j
. Також у працях
[4, 12, 26] отримано достатнi умови обмеженостi l-iндексу цiлих розв’язкiв рiвняння (1), де
aj(z) — цiлi трансцендентнi функцiї. Крiм того, для цiлих функцiй обмеженого l-iндексу в
[27, 34] встановлено такi оцiнки їхнього зростання:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(z)| : | z| = r\} \int r
0 l(t)dt
\leq N(f ; l) + 1, (2)
де l = l(| z| ) задовольняє деякi додатковi умови. Визначимо l\rho (z) = | z| \rho - 1 + 1. Зважаючи на
наведену оцiнку зростання, А. А. Гольдберг [16] неявно сформулював таку проблему.
Проблема 1. Який взаємозв’язок мiж класом цiлих функцiй цiлком регулярного зростання,
скiнченного порядку \rho i класом цiлих функцiй обмеженого l\rho -iндексу?
Ним встановлено такi факти [16]:
1. Нехай 0 < \rho < \infty . Функцiя Мiттаг-Леффлера E\rho (z) =
\sum \infty
k=0
zk
\Gamma (1 + k/\rho )
має порядок
\rho , обмежений l\rho -iндекс з l\rho (z) = | z| \rho - 1+1 i цiлком регулярне зростання, де \Gamma — гамма-функцiя,
тобто \Gamma (t) =
\int \infty
0
xt - 1e - xdx.
2. Iснує цiла функцiя цiлком регулярного зростання i скiнченного порядку \rho \in (0; 1) така,
що вона необмеженого l-iндексу для l(z) = | z| \rho - 1 + 1.
Остання функцiя побудована Гольдбергом так: для 0 < \rho < \infty позначимо kn = 22
n
, qn =
= 22
n - 22
n - n = kn(1 - 2 - n), \scrB =
\bigcup \infty
n=1
[kn, qn+1], \scrA = \{ k1/\rho : k \in \scrB \cap \BbbN \} . Тодi визначимо
g(z) =
\prod
a\in \scrA
(1 - z/a). (3)
Зазначимо, що n(r) =
\sum
a\in \scrA
| a| <r
1 = (1 + o(1))r\rho при r \rightarrow \infty (див. [16]).
Щоб встановити обмеженiсть l-iндексу функцiї g для деякої функцiї l, ми скористаємося
результатом iз [9]. Нехай Q — клас додатних неперервних функцiй l на [0,+\infty ) таких, що
величина
\lambda (r) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
l(t1)
l(t2)
: | t1 - t2| <
r
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ l(t1), l(t2)\}
\biggr\}
скiнченна для всiх r \geq 0. Нехай l1(r), l2(r) — додатнi неперервнi функцiї. Запис l1(r) \asymp l2(r)
означає, що iснують \theta 1 > 0 i \theta 2 > 0 такi, що \theta 1l1(r) \leq l2(r) \leq \theta 2l1(r) для всiх r > 0. Наступне
твердження вказує достатнi умови обмеженостi l-iндексу для нескiнченного добутку нульового
роду.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
318 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Твердження 1 [9]. Нехай \pi (z) =
\prod \infty
n=1
\biggl(
1 - z
cn
\biggr)
,
\sum \infty
n=1
1
| cn|
< +\infty , n(r, \pi ) =
=
\sum
| cn| <r
1 i n\gamma /cn \searrow 0 (n \rightarrow \infty ) для деякого \gamma \in (0, 1]. Якщо
\sum \infty
k=n(r,\pi )
1
| ck|
=
= O(r - 1n(r, \pi ) \mathrm{l}\mathrm{n}n(r, \pi )), r \rightarrow \infty , то функцiя \pi (z) має обмежений l-iндекс з функцiєю l \in Q
такою, що l(r) \asymp r - 1n(r, \pi ) \mathrm{l}\mathrm{n}n(r, \pi ) (r \rightarrow \infty ).
Також вiдомi iншi результати [10, 37, 38] про обмежений iндекс нескiнченного добутку
нульового роду. З огляду на твердження 1 функцiя g(z) має обмежений l-iндекс з l(r) \asymp
\asymp r\rho - 1 \mathrm{l}\mathrm{n} r.
Щоб розглянути докладнiше проблему 1, нам потрiбнi деякi факти з [30]. Нехай f — цiла
функцiя, cn — її нулi, \rho (r) — уточнений порядок функцiї f. Б. Я. Левiн [30, с. 107] видiлив два
пiдкласи цiлих функцiй цiлком регулярного зростання. Вiн припустив, що виконується одна з
наступних умов:
(C) Iснує число d > 0 таке, що кола радiусiв rn = d| cn| 1 -
\rho (| cn| )
2 з центрами у точках cn не
перетинаються.
(C\prime ) Точки cn лежать в серединi кутiв зi спiльною вершиною в початку координат, якi не
мають iнших спiльних точок i є такими, що якщо пiсля впорядкування за зростанням модулiв
точки множини \{ cn\} лежать в одному з цих кутiв, то всi точки з цього кута задовольняють
нерiвнiсть | ck+1| - | ck| > d| ck| 1 - \rho (| ck| ) для деякого d > 0.
Функцiя g(z), побудована А. А. Гольдбергом, задовольняє умову (C\prime ).
Наразi ми не можемо дати вичерпну вiдповiдь на проблему Гольдберга. У цiй статтi ми
розглянемо деякi частковi проблеми, пов’язанi з проблемою 1.
У [18] отримано наведенi нижче оцiнки логарифмiчної похiдної цiлої функцiї f цiлком
регулярного зростання, нулi cn якої задовольняють умову (C).
Твердження 2 [18]. Нехай f(z) — цiла функцiя порядку \rho , цiлком регулярного зростання
вiдносно уточненого порядку \rho (r) \rightarrow \rho (r \rightarrow \infty ), а її нулi задовольняють умову (C). Нехай
\Delta (\psi ) — кутова щiльнiсть послiдовностi нулiв функцiї f(z), E — множина точок розриву
функцiї \Delta (\psi ), M — довiльна замкнена множина, а M \subset [0, 2\pi ] \setminus E, U визначено вище. Тодi
для z = rei\varphi \in \BbbC \setminus U рiвномiрно щодо \varphi , \varphi \in M справджується рiвнiсть
f \prime (z)/f(z) = \scrH (\varphi )r\rho (r) - 1 + o(r\rho (r) - 1), r \rightarrow \infty , (4)
де
\scrH (\varphi ) =
\left\{
- \pi \rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi \rho
\int 2\pi
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ i[ - \psi + (\rho - 1)(| \varphi - \psi | - \pi )\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\varphi - \psi )]\} d\Delta (\psi ), \rho \not \in \BbbZ +,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i(\rho - 1)\varphi )
\biggl\{
\delta + i
\int 2\pi
0
[\varphi - \psi - \pi \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\varphi - \psi )]e - i\rho \psi d\Delta (\psi )
\biggr\}
, \rho \in \BbbZ +,
\delta = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty r\rho - \delta (r)\delta (r) i \delta (r) = c+
1
\rho
\sum
| ck| \leq r
| cn| - \rho .
Отже, за твердженням 2 цiла функцiя f(z) скiнченного порядку \rho > 0 i цiлком регулярного
зростання з нулями, що задовольняють умову (C), допускає оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ОБМЕЖЕНIСТЬ l-IНДЕКСУ I ЦIЛКОМ РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 319\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (z)f(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq Pl\rho (z) (5)
для всiх z, що лежать ззовнi множини U =
\bigcup
k
\{ z : | z - cn| < q| cn| 1 - \rho /2\} .
Нижче у доведеннi теореми 1 скористаємося вiдомим логарифмiчним критерiєм обмеже-
ностi l-iндексу. Це твердження 4. Нерiвнiсть (5) — необхiдна умова обмеженостi l\rho -iндексу
цiлих функцiй iз твердження 4, якщо вона виконується для всiх z \in \BbbC \setminus Gq(f), де Gq(f) =
=
\bigcup
n
\biggl\{
z : | z - cn| <
q
l\rho (cn)
\biggr\}
. Оскiльки \BbbC \setminus U \subset \BbbC \setminus Gq(f), це приводить до такого питання.
Проблема 2. Чи iснує цiла функцiя f порядку \rho i цiлком регулярного зростання, нулi якої
задовольняють умову (C) i такi, що f — функцiя необмеженого l\rho -iндексу?
Iснують функцiї обмеженого l\rho -iндексу, порядку \rho i цiлком регулярного зростання, нулi
яких задовольняють умову (C) (див. приклади у доведеннi теореми 4 з [8]).
Зважаючи на описанi властивостi функцiї Мiттаг-Леффлера i функцiї g(z), природною
виглядає така проблема.
Проблема 3. Чи iснує цiла функцiя порядку \rho i обмеженого l\rho -iндексу така, що f має не
цiлком регулярне зростання?
Зазначимо, що iснує цiла функцiя порядку \rho i обмеженого l\rho -iндексу така, що f має цiлком
регулярне зростання, а її нулi задовольняють умову (C). Прикладом функцiї з такими властиво-
стями є \sigma -функцiя Вейєрштрасса. Вiдомо, що це цiла функцiя порядку 2 з множиною простих
нулiв на цiлочисловiй ґратцi, а тому вона задовольняє умову (C). Цiлком регулярне зростан-
ня цiєї функцiї встановлено у [20, 25] (також див. [18]). Натомiсть обмеженiсть l-iндексу цiєї
функцiї з l(r) = r (так звану гiпотезу Шеремети) доведено у статтi [6].
Зокрема, умови (C) i (C\prime ) не вичерпують усi функцiї цiлком регулярного зростання. Також
вiдомим є великий клас цiлих функцiй цiлком регулярного зростання, нулi яких не задоволь-
няють умови (C) i (C\prime ). Тому наступне питання виглядає цiкавим.
Проблема 4. Чи iснує цiла функцiя f порядку \rho , цiлком регулярного зростання i обмеже-
ного l\rho -iндексу з простими нулями, якi не задовольняють умови (C) та (C\prime )?
Наступне твердження дає ствердну вiдповiдь на питання з проблеми 4.
Твердження 3. Iснує цiла функцiя з простими нулями, порядку \rho , цiлком регулярного зро-
стання i обмеженого l\rho -iндексу, нулi якої не задовольняють умови (C) i (C\prime ).
Доведення. Розглянемо функцiю
g(z) =
\infty \prod
n=1
\Bigl(
1 - z
n1/\rho
\Bigr)
,
де \rho \in (0, 1). Цiла функцiя g(z) (див. [8], теорема 4) має порядок \rho , цiлком регулярне зростання
i обмежений l\rho -iндекс. Її нулi не задовольняють умову (C) i задовольняють умову (C\prime ). Справдi,
маємо
(n+ 1)1/\rho - n1/\rho > dn1/\rho - 1 \leftrightarrow (1 + 1/n)1/\rho - 1 >
d
n
.
Але (1 + 1/n)1/\rho - 1 \sim 1
n\rho
при n\rightarrow \infty , тобто для d <
1
\rho
умова (C\prime ) справджується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
320 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Подiбним чином вiдстань мiж нулями поводиться як (n+ 1)1/\rho - n1/\rho \sim n1/\rho
1
n\rho
=
n1/\rho - 1
\rho
при n \rightarrow \infty . Але для радiуса виконується рiвнiсть (n1/\rho )1 - \rho /2 = n1/\rho - 1/2. Вiдповiдно, радiус
бiльший за вiдстань мiж двома колами. Звiдси робимо висновок, що нулi функцiї g(z) не
задовольняють умову (C).
Виберемо a \in (0, \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}n\in \BbbN \{ 1, (n + 1)1/\rho - n1/\rho \} ). Тодi цiла функцiя g1(z) = g(z + a) також
має порядок \rho , цiлком регулярне зростання й обмежений l\ast -iндекс, де l\ast (z) = | z + a| \rho - 1 + 1.
Розглянемо g2(z) = g(z)g1(z) = g(z)g(z + a). Функцiя g2(z) також цiла функцiя порядку
\rho . Позначимо через n(r, f) число нулiв функцiї f у крузi | z| < r. Зважаючи на вибiр a, маємо
n(r, g) \leq n(r + a, g) \leq n(r, g) + 1, тобто n(r, g2) = n(r, g) + n(r, g1) = n(r, g) + n(r + a, g) \leq
\leq 2n(r, g) + 1. Тому за твердженням 5 функцiя g2 має цiлком регулярне зростання.
Варто зауважити, що l\ast (z) \sim l\rho (z) при z \rightarrow \infty . Тодi за теоремою 3 з [35] g1(z) також є
функцiєю обмеженого l\rho -iндексу. Вiдомо [35] (наслiдок 1), що добуток цiлих функцiй обмеже-
ного l-iндексу також функцiя обмеженого l-iндексу. Звiдси отримуємо, що функцiя g2(z) має
обмежений l\rho -iндекс.
Звiсно, нулi функцiї g2 не задовольняють умову (C), тому що нулi функцiї g мають подiбну
властивiсть. Бiльш того, вiдстань мiж нулями n1/\rho i n/1\rho - a дорiвнює a. Але для \rho \in (0, 1)
справджується (n1/\rho - a)1 - \rho > ((n - 1)1/\rho )1 - \rho = (n - 1)1/\rho - 1 \rightarrow +\infty при n \rightarrow +\infty . Таким
чином, умова (C\prime ) не виконується.
Твердження 3 доведено.
Позначимо через n(r, z, 1/f) =
\sum
| ak - z| <r
1 лiчильну функцiю нулiв, де (ak)k\in \BbbN — послi-
довнiсть нулiв функцiї f, а z — фiксована точка.
Зауваження 1. Використовуючи iдею доведення твердження 3, ми можемо побудувати цiлу
функцiю f порядку \rho , цiлком регулярного зростання i необмеженого l\rho -iндексу з простими
нулями, якi не задовольняють умови (C) i (C\prime ). Досить розглянути функцiю f(z) = g(z)g(z +
+ a), де g — функцiя, подбудована Гольдбергом у [16] (див. також (3)), а величина a визначена
так само, як у доведеннi твердження 3. Зазначимо, що функцiя Гольдберга не задовольняє умову
1 твердження 4 (див. вiдповiднi мiркування у [15]), тобто нерiвнiсть | g\prime (z)| /| g(z)| \leq Pl\rho (| z| )
не виконується. А це означає, що вона є функцiєю необмеженого l\rho -iндексу.
За твердженням 4 обмеженiсть l-iндексу означає справедливiсть деякої оцiнки логарифмiч-
ної похiдної через функцiю l\rho (умова 1 у твердженнi 4) i рiвномiрний розподiл нулiв у деякому
сенсi (умова 2 у твердженнi 4).
Тому цiкаво з’ясувати, чи iснує цiла функцiя f порядку \rho , цiлком регулярного зростання з
простими нулями, якi не задовольняють умови (C) i (C\prime ) i до того ж \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in \BbbC n(r, z, 1/f) = +\infty .
Iншими словами, функцiя не повинна задовольняти умову 2 твердження 4. Її нулi повиннi
лежати досить близько, щоб умови (C), (C\prime ) й умова 2 з твердження 4 не справджувалися. З
iншого боку, її нулi повиннi лежати на такiй вiдстанi один вiд одного, щоб не порушилося
цiлком регулярне зростання.
Використовуючи приклад з [28, с. 75, 76], ми побудуємо таку функцiю.
Далi запис [a] означатиме цiлу частину числа a \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ОБМЕЖЕНIСТЬ l-IНДЕКСУ I ЦIЛКОМ РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 321
Теорема 1. Нехай \alpha \geq 1, (xn)n\in \BbbN — додатна необмежена послiдовнiсть, що строго
зростає i така, що xn+1 - xn \geq 1,
\sum \infty
n=1
n\alpha
xpn
< +\infty ,
\sum \infty
n=1
n\alpha
xp - 1
n
= +\infty для деякого
p \in \BbbN \setminus \{ 1\} .
Нехай \rho = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\biggl\{
\beta \geq 1 :
\sum \infty
n=1
n\alpha
x\beta n
< \infty
\biggr\}
, m1 = 1, mk+1 = mk + [k\alpha ], k \in \BbbN , \lambda mk
= xk i
\lambda j = \lambda mk
+
j - mk
mk+1 - mk
\lambda 1 - \rho mk для mk \leq j < mk+1. Тодi нескiнченний добуток
f(z) =
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - zp
\lambda pk
\biggr)
(6)
має такi властивостi:
1) f — цiла функцiя порядку \rho ;
2) нулi функцiї f не задовольняють умову (C); якщо до того ж n - \alpha x
1 - \rho /2
n \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty ,
то вони не задовольняють умову (C\prime );
3) f має необмежений l\rho -iндекс;
4) якщо \alpha = 1 i xn = n\gamma , \gamma \in [1, 2], то функцiя f має цiлком регулярне зростання.
Доведення. Зрозумiло, що
\infty \sum
n=1
1
\lambda pn
=
\infty \sum
k=1
mk+1 - 1\sum
j=mk
1
\lambda pj
\leq
\infty \sum
k=1
[k\alpha ]\lambda - pmk
\leq
\infty \sum
k=1
k\alpha
xpk
< +\infty ,
тобто функцiя f є цiлою. Також для mk \leq j < mk+1 справджується \lambda mk
\leq \lambda j \leq \lambda mk
+ 1.
Звiдси xk \leq \lambda j \leq xk + 1 для mk \leq j < mk+1. Пiдсумовуючи вiдповiднi вирази, отримуємо
[k\alpha ]
x\beta k
\leq
mk+1 - 1\sum
j=mk
1
\lambda \beta j
\leq [k\alpha ]
(xk + 1)\beta
.
Тому
\rho = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Biggl\{
\beta \geq 1 :
\infty \sum
k=1
k\alpha
x\beta k
<\infty
\Biggr\}
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \beta \geq 1 :
\infty \sum
j=1
1
\lambda \beta j
<\infty
\right\} .
Отже, функцiя f має порядок \rho .
Для доведення необмеженостi l\rho -iндексу нам потрiбне допомiжне твердження.
Твердження 4 [34, 35]. Нехай l \in Q. Цiла функцiя f має обмежений l-iндекс тодi й
тiльки тодi, коли:
1) для будь-якого r > 0 iснує P = P (r) > 0 таке, що | f \prime (z)/f(z)| \leq Pl(z) для кожного
z \in \BbbC \setminus Gr;
2) для будь-якого r > 0 знайдеться \~n = \~n(r) \in \BbbZ + таке, що n(r/l(z), z, 1/f) \leq \~n для всiх
z \in \BbbC .
Зауваження 2. Слабшi достатнi умови обмеженостi l-iндексу отримано у [3, 5]. Цей кри-
терiй дуже зручний для дослiдження нескiнченних добуткiв [7 – 11, 19, 36 – 38]. Вiн також
застосовний до диференцiальних рiвнянь [4, 26].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
322 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Доведемо, що умова 2 у твердженнi 4 не задовольняється. Дiйсно,
n
\Biggl(
1
\lambda \rho - 1
mk
, \lambda mk
,
1
f
\Biggr)
=
\sum
| \lambda j - \lambda mk
| \leq \lambda 1 - \rho
mk
1 = mk+1 - mk = [k\alpha ] \rightarrow +\infty (k \rightarrow \infty ).
Отже, функцiя f має необмежений l\rho -iндекс.
Тепер перевiримо умову (C\prime ). Наприклад, якщо j = mk, то
| \lambda j+1| - | \lambda j | =
\biggl(
\lambda mk
+
1
mk+1 - mk
\lambda 1 - \rho mk
\biggr)
- \lambda mk
=
=
1
mk+1 - mk
\lambda 1 - \rho mk
=
1
k\alpha
\lambda 1 - \rho mk
. (7)
Через те, що
1
k\alpha
\rightarrow 0 при k \rightarrow +\infty , умова (C\prime ) не виконується. Щоб спростувати справедли-
вiсть умови (C), досить показати, що для j = mk виконується
\lambda j + d\lambda
1 - \rho /2
j > \lambda j+1 - d\lambda
1 - \rho /2
j+1
або
\lambda j+1 - \lambda j < d(\lambda
1 - \rho /2
j + \lambda
1 - \rho /2
j+1 ).
Але з (7) випливає
\lambda j+1 - \lambda j =
\lambda
1 - \rho /2
mk
k\alpha
\lambda 1 - \rho /2mk
=
x
1 - \rho /2
k
k\alpha
\lambda 1 - \rho /2mk
.
За припущенням цiєї теореми маємо
x
1 - \rho /2
k
k\alpha
\rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Отже, умова (C) є хибною для
нулiв функцiї f.
Щоб довести властивiсть 4, нам потрiбнi деякi факти з [30] (гл. 2).
Твердження 5 [30, с. 158]. Для того щоб цiла функцiя f(z) уточненого порядку \rho (r) була
функцiєю цiлком регулярного зростання, необхiдно й достатньо, щоб її нулi були регулярно
розподiленi, тобто для всiх, крiм злiченної множини, значень \nu i \theta (0 < \nu < \theta < 2\pi ) iснує
скiнченна границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty
n(r, \nu , \theta )
r\rho (r)
, а якщо до того ж \rho — цiле число, то iснує скiнченна
границя \delta f = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty
\delta f (r)
r\rho (r) - r
\biggl(
\delta f (r) = c\rho +
1
\rho
\sum
| an| \leq r
a - \rho n
\biggr)
, де c\rho — коефiцiєнт при доданку
з найбiльшим степенем в експоненцiальному множнику на початку канонiчного добутку.
Нехай \alpha = 1, xn = n\gamma , \gamma \in [1; 2]. Тодi \rho =
2
\gamma
, p =
\biggl[
2
\gamma
\biggr]
+ 1. Звiдси mk+1 = mk + k,
\lambda mk
= xk = k\gamma i
\lambda j = \lambda k +
j - mk
mk+1 - mk
\lambda 1 - \rho mk
= k\gamma +
j - mk
k
(k\gamma )1 - 2/\gamma = k\gamma + (j - mk)k
\gamma - 3
для mk \leq j < mk+1.
Нулi функцiї f(z) =
\prod \infty
k=1
\biggl(
1 - zp
\lambda pk
\biggr)
симетрично розподiленi на p променях. Досить
розглянути один промiнь. Нехай n(r, 0) — число нулiв на променi \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z = 0 в серединi круга
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ОБМЕЖЕНIСТЬ l-IНДЕКСУ I ЦIЛКОМ РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 323
| z| < r. Тодi верхню оцiнку кутової щiльностi можна отримати з рiвностей
\lambda mk+1 - 1 = k\gamma + k \cdot k\gamma - 3 = k\gamma + k\gamma - 2 = r,
n(r, 0) = 1 + 2 + . . .+ k =
k(k + 1)
2
.
Звiдси
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
n(r, 0)
r\rho
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
(k2 + k)/2
(k\gamma + k\gamma - 2)2/\gamma
=
1
2
.
Для нижньої оцiнки виберемо \lambda mk
= k\gamma = r, тобто k = r1/\gamma . Тодi n(r, 0) = 1 + 2 + . . .+ (k -
- 2) + k - 1 + 1 =
k(k - 1)
2
+ 1 =
r1/\gamma (r1/\gamma - 1)
2
+ 1. Звiдси
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
n(r, 0)
r\rho
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
r1/\gamma (r1/\gamma - 1)/2 + 1
r2/\gamma
=
1
2
.
Згiдно з твердженням 5 функцiя f має цiлком регулярне зростання, якщо 2/\gamma не цiле, а це
можливо, якщо \gamma /\in \{ 1, 2\} .
Якщо ж 2/\gamma — цiле число, то згiдно з твердженням 5 нам потрiбно довести iснування
границi \delta f = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty
\delta f (r)
r\rho (r) - r
. У цьому випадку c\rho = 0. Для \rho (r) = \rho \in \{ 1, 2\} маємо
\delta f = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
1
\rho
\sum
| \lambda k| <r
p - 1\sum
j=0
\lambda - \rho k e
2\pi ij
p = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
1
\rho
\sum
| \lambda k| <r
\lambda - \rho k
p - 1\sum
j=0
e
2\pi ij
p =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
1
\rho
\sum
| \lambda k| <r
\lambda - \rho k
1 - e
2\pi ip
p
1 - e
2\pi i
p
= 0.
Звiдси випливає для \gamma \in \{ 1, 2\} функцiя f також має цiлком регулярне зростання.
Теорему 1 доведено.
Зведемо всi наведенi факти в таблицю:
Зростання Умова l\rho ��l\rho
ц.р. (C) \sigma -функцiя Вейєрштрасса [6, 20, 25] ? (проблема 2)
ц.р. (C\prime ) функцiя Мiттаг-Леффлера [16] Гольдберг [16]
Бордуляк, Шеремета [8]
ц.р. �
�(C\prime ) ��(C) Бандура, Скаскiв Бандура, Скаскiв
(твердження 3) (зауваження 1, теорема 1)
��ц.р. ? (проблема 3) тривiально
З огляду на проблему 3, можна сформулювати таке елементарне зауваження.
Зауваження 3. Кожна цiла функцiя з простими нулями, порядку \rho , цiлком регулярного зро-
стання i максимального типу є функцiєю необмеженого l\rho -iндексу. Це безпосередньо випливає
з нерiвностi (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
324 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Функцiї скiнченного порядку i не цiлком регулярного зростання з [17] мають необмеже-
ний l\rho -iндекс. Безпосереднiми обчисленнями можна перевiрити, що їхнi логарифмiчнi похiднi
не задовольняють (5). Якщо вiдповiдь на проблему 3 є негативною, то проблема Гольдбер-
га – Островського – Петренка стає розв’язною для диференцiального рiвняння (1), коефiцiєнти
якого є функцiями обмеженого l\rho -iндексу i задовольняють деякi природнi обмеження (див.,
наприклад, [4, 12, 26]).
Лiтература
1. V. Azarin, Growth theory of subharmonic functions, Birkhäuser, Basel (2009).
2. A. Bandura, O. Skaskiv, Entire functions of several variables of bounded index, Publisher I. E. Chyzhykov, Lviv
(2016).
3. А. Бандура, О. Скаскiв, Логарифмiчна похiдна за напрямком та розподiл нулiв цiлої функцiї обмеженого
L-iндексу за напрямком, Укр. мат. журн., 69, № 3, 426 – 432 (2017).
4. A. Bandura, O. Skaskiv, P. Filevych, Properties of entire solutions of some linear PDE’s, J. Appl. Math. and Comput.
Mech., 16, № 2, 17 – 28 (2017).
5. A. I. Bandura, Some improvements of criteria of L-index boundedness in direction, Mat. Stud., 47, № 1, 27 – 32
(2017).
6. M. T. Bordulyak, On l-index boundedness of the Weierstrass \sigma -function, Bull. Soc. Sci. Lett. Lódź Sér. Rech.
Déform., 63, № 1, 49 – 56 (2013).
7. M. T. Bordulyak, I. E. Chyzhykov, M. M. Sheremeta, Preservation of l-index boundedness under zero shifts, Mat.
Stud., 19, № 1, 21 – 30 (2003).
8. M. T. Bordulyak, M. M. Sheremeta, On the existence of entire functions of bounded l-index and l-regular growth,
Ukr. Math. J., 48, № 9, 1322 – 1340 (1996).
9. I. E. Chyzhykov, M. M. Sheremeta, On the boundedness l-index for entire functions of zero genus, Dopov. Nats.
Akad. Nauk Ukr., 7, 33 – 39 (2003).
10. I. E. Chyzhykov, M. M. Sheremeta, Boundedness of l-index for entire functions of zero genus, Mat. Stud., 16, № 2,
124 – 130 (2001).
11. G. H. Fricke, Entire functions of locally slow growth, J. Anal. Math., 28, № 1, 101 – 122 (1975).
12. G. H. Fricke, S. M. Shah, On bounded value distribution and bounded index, Nonlinear Anal., 2, № 4, 423 – 435
(1978).
13. A. A. Goldberg, M. N. Sheremeta, Existence of an entire transcendental function of bounded l-index, Math. Notes,
57, № 1, 88 – 90 (1995).
14. A. A. Goldberg, I. V. Ostrovskii, Completely regular growth of entire solutions of linear differential equation, Linear
and Complex Analysis. Problem book 3, Springer-Verlag, Berlin (1994), p. 300.
15. A. A. Goldberg, B. Ya. Levin, I. V. Ostrovskii, Entire and meromorphic functions, Complex Analysis: one Variable,
Modern Problems of Mathematics, 85, 5 – 186 (1991).
16. A. A. Goldberg, An estimate of modulus of logarithmic derivative of Mittag-Leffler function with applications, Mat.
Stud., 5, 21 – 30 (1996).
17. A. A. Goldberg, S. N. Strochik, Asymptotic behavior of meromorphic functions of completely regular growth and of
their logarithmic derivatives, Sib. Math. J., 26, № 6, 802 – 809 (1985).
18. A. A. Goldberg, N. E. Korenkov, Asymptotic behavior of the logarithmic derivative of an entire function of completely
regular growth, Ukr. Math. J., 30, № 1, 17 – 22 (1978).
19. А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета, Про обмеженiсть l-iндексу канонiчних добуткiв, Укр. мат. вiсн., 2, № 1,
52 – 64 (2005).
20. А. А. Гольдберг, О распределении значений сигма-функции Вейерштрасса, Изв. вузов, математика, № 1, 43 – 46
(1966).
21. A. A. Gol’dberg, N. E. Korenkov, Asymptotic behavior of logarithmic derivative of entire function of completely
regular growth, Sib. Math. J., 21, № 3, 363 – 375 (1980).
22. N. V. Govorov, Riemann’s boundary problem with infinite index, Birkhäuser, Basel (1994).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ОБМЕЖЕНIСТЬ l-IНДЕКСУ I ЦIЛКОМ РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 325
23. J. Heittokangas, I. Laine, K. Tohge, Z.-T. Wen, Completely regular growth solutions of second order complex linear
differential equations, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 40, 985 – 1003 (2015).
24. А. А. Кондратюк, Ряды Фурье и мероморфные функции, Вища шк., Львов (1988).
25. Н. Е. Коренков, О распределении значений сигма-функции Вейерштрасса, Мат. сб., Наук. думка, Киев (1976),
с. 240 – 242.
26. А. Д. Кузык, М. Н. Шеремета, О целых функциях, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям,
Дифференц. уравнения, 26, № 10, 1716 – 1722 (1990).
27. A. D. Kuzyk, M. M. Sheremeta, Entire functions of bounded l-distribution of values, Math. Notes, 39, № 1, 3 – 8
(1986).
28. А. Д. Кузык, Целые функции ограниченного l-индекса, дис. ... канд. физ.-мат. наук, Львов (1992).
29. B. Lepson, Differential equations of infinite order, hyperdirichlet series and entire functions of bounded index, Proc.
Sympos. Pure Math., 2, 298 – 307 (1968).
30. B. Ya. Levin, Distribution of zeros of entire functions, Transl. Math. Monogr., 5 (1980).
31. В. П. Петренко, Целые кривые, Вища шк., Харьков (1984).
32. L. I. Ronkin, Functions of completely regular growth, Math. and Appl. Soviet Ser., 81 (1992).
33. S. M. Shah, Entire functions of bounded index, Proc. Amer. Math. Soc., 19, № 5, 1017 – 1022 (1968).
34. M. Sheremeta, Analytic functions of bounded index, VNTL Publ., Lviv (1999).
35. M. N. Sheremeta, A. D. Kuzyk, Logarithmic derivative and zeros of an entire function of bounded l-index, Sib. Math.
J., 33, № 2, 304 – 312 (1992).
36. M. M. Sheremeta, M. T. Bordulyak, Boundedness of the l-index of Laguerre – Polya entire functions, Ukr. Math. J.,
55, № 1, 112 – 125 (2003).
37. M. M. Sheremeta, Generalization of the Fricke theorem on entire functions of finite index, Ukr. Math. J., 48, № 3,
460 – 466 (1996).
38. Yu. S. Trukhan, M. M. Sheremeta, On the boundedness of l-index of a canonical product of zero genus and of a
Blaschke product, Mat. Stud., 29, № 1, 45 – 51 (2008).
Одержано 26.08.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1048 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:29Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ff/75e55645fa55eb231abd8c82b10e1cff.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10482020-06-30T14:12:58Z Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions Ограниченность $l$-индекса и вполне регулярный рост целых функций Обмеженість $l$-індексу та цілком регулярне зростання цілих функцій Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. Скаскив, Олег UDC 517.547.22&nbsp; We study relations between the class of entire functions of order $\rho$ and of completely regular growth and the class of entire functions of bounded $l$-index, where $l(z)=|z|^{\rho-1}+1$ for $|z|\ge 1.$&nbsp;Possible applications of these functions in the analytic theory of differential equations are considered.&nbsp;&nbsp;We pose three new problems on the existence of functions with given properties which belong to the difference of these classes and, for the fourth problem, we give an affirmative answer.&nbsp;&nbsp;Namely, we suggest sufficient conditions for an infinite product to be an entire function of completely regular growth of order $\rho$ with unbounded $l_{\rho}$-index and its zeros do not satisfy known Levin's conditions (C) and (C$'$).&nbsp;&nbsp;We also construct an entire function of completely regular growth of order $\rho$ with unbounded $l_{\rho}$-index, whose zeros do not satisfy known Levin's conditions (C) and (C$'$). УДК 517.547.22 &lt;br&gt; В статье исследуется связь между классом целых функций порядка $\rho$ и вполне регулярного ростаи классом целых функций ограниченного $l$-индекса, где $l(z)=|z|^{\rho-1}+1$ для $|z|\ge 1.$Рассматриваются возможные применения этих функций в аналитической теории дифференциальных уравнений. Сформулировано четыре новые проблемы об существовании функции с заданными свойствами, которые принадлежат к разнице этых классов. Дано положительный ответ на проблему 5. А именно, представлены достаточные условия того, что бесконечное произведение является целой функцией вполне регулярного роста порядка $\rho,$ неограниченного $l_{\rho}$-индекса и его нули не удовлетворяют известным условиям Левина (C) и (C$'$). Также построена целая функция вполне регулярного роста порядка $\rho$ и ограниченного индекса $l_{\rho}$, нули которой не удовлетворяют известным условиям Левина (C) и (C$'$). УДК 517.547.22&nbsp; Досліджується зв'язок між класом цілих функцій цілком регулярного зростання порядку $\rho$&nbsp;і класом цілих функцій обмеженого $l$-індексу, де $l(z)=|z|^{\rho-1}+1$ для $|z|\ge 1.$&nbsp;Розглядаються можливі застосування цих функцій в аналітичній теорії диференціальних рівнянь.&nbsp;&nbsp;Сформульовано три нові проблеми про існування функцій із заданими властивостями, які належать до різниць цих класів.&nbsp;Отримано ствердну відповідь на проблему 4, а саме наведено достатні умови того, що нескінченний добуток є цілою функцією цілком регулярного зростання порядку $\rho,$ необмеженого $l_{\rho}$-індексу, а його нулі не задовольняють відомі умови Левіна (C) та (C$'$). Також побудовано цілу функцію цілком регулярного зростання порядку $\rho$ й обмеженого індексу $l_{\rho},$ нулі якої не задовольняють відомі умови Левіна (C) і (C$'$).&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1048 10.37863/umzh.v72i3.1048 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 3 (2020); 316-325 Український математичний журнал; Том 72 № 3 (2020); 316-325 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1048/8663 Copyright (c) 2020 Андрій Бандура, Олег Скасків |
| spellingShingle | Bandura, A. I. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. Скаскив, Олег Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions |
| title | Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions |
| title_alt | Ограниченность $l$-индекса и вполне регулярный рост целых функций Обмеженість $l$-індексу та цілком регулярне зростання цілих функцій |
| title_full | Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions |
| title_fullStr | Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions |
| title_full_unstemmed | Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions |
| title_short | Boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions |
| title_sort | boundedness of $l$-index and completely regular growth of entire functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1048 |
| work_keys_str_mv | AT banduraai boundednessoflindexandcompletelyregulargrowthofentirefunctions AT skaskivob boundednessoflindexandcompletelyregulargrowthofentirefunctions AT banduraaí boundednessoflindexandcompletelyregulargrowthofentirefunctions AT skaskívob boundednessoflindexandcompletelyregulargrowthofentirefunctions AT skaskivoleg boundednessoflindexandcompletelyregulargrowthofentirefunctions AT banduraai ograničennostʹlindeksaivpolneregulârnyjrostcelyhfunkcij AT skaskivob ograničennostʹlindeksaivpolneregulârnyjrostcelyhfunkcij AT banduraaí ograničennostʹlindeksaivpolneregulârnyjrostcelyhfunkcij AT skaskívob ograničennostʹlindeksaivpolneregulârnyjrostcelyhfunkcij AT skaskivoleg ograničennostʹlindeksaivpolneregulârnyjrostcelyhfunkcij AT banduraai obmeženístʹlíndeksutacílkomregulârnezrostannâcílihfunkcíj AT skaskivob obmeženístʹlíndeksutacílkomregulârnezrostannâcílihfunkcíj AT banduraaí obmeženístʹlíndeksutacílkomregulârnezrostannâcílihfunkcíj AT skaskívob obmeženístʹlíndeksutacílkomregulârnezrostannâcílihfunkcíj AT skaskivoleg obmeženístʹlíndeksutacílkomregulârnezrostannâcílihfunkcíj |