Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients
UDC 517.988.6 We obtain the necessary and sufficient conditions for the exponential dichotomy of solutions of linear difference equations with piecewise constant operator coefficients.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1052 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507133720657920 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:47Z |
| description | UDC 517.988.6
We obtain the necessary and sufficient conditions for the exponential dichotomy of solutions of linear difference equations with piecewise constant operator coefficients. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i6.1052 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i6.1052
УДК 517.988.6
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ
З КУСКОВО-СТАЛИМИ ОПЕРАТОРНИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
We obtain the necessary and sufficient conditions for the exponential dichotomy of solutions of linear difference equations
with piecewise constant operator coefficients.
Отримано необхiднi i достатнi умови експоненцiальної дихотомiї розв’язкiв лiнiйних рiзницевих рiвнянь iз кусково-
сталими операторними коефiцiєнтами.
1. Постановка основної задачi. Нехай En, n \in \BbbZ , — банаховi простори, \| \cdot \| En — норма в
En, 0n — нульовий елемент у просторi En i \frakM — банаховий простiр обмежених двостороннiх
послiдовностей \bfx = (xn), для кожної з яких xn \in En, n \in \BbbZ , з нормою \| \bfx \| \frakM = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\in \BbbZ \| xn\| En
i нульовим елементом \bfzero = (0n).
Позначимо через l\infty (\BbbZ , E) банаховий простiр обмежених двостороннiх послiдовностей
\bfx = (xn), для кожної з яких xn є елементом банахового простору E, n \in \BbbZ , з нормою
\| \bfx \| l\infty (\BbbZ ,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\in \BbbZ \| xn\| E . Очевидно, що l\infty (\BbbZ , E) = \frakM , якщо En = E для всiх n \in \BbbZ .
Нехай L(Ek, El) — банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiв A : Ek \rightarrow El з нор-
мою \| A\| L(Ek,El) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| Ek
=1 \| Ax\| El
.
Розглянемо оператори An \in L(En, En+1), n \in \BbbZ , для яких \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\in \BbbZ \| An\| L(En,En+1) < +\infty ,
i лiнiйнi рiзницевi рiвняння
xn = An - 1xn - 1, n \in \BbbZ , (1)
xn = An - 1xn - 1 + fn, n \in \BbbZ , (2)
де xn \in En для всiх n \in \BbbZ i \bff = (fn) \in \frakM .
Важливою для теорiї рiзницевих рiвнянь є задача про умови iснування та єдиностi розв’язкiв
рiвняння (2) для кожної послiдовностi \bff \in \frakM , тобто задача про умови оборотностi оператора
(\frakA y)n = yn - An - 1yn - 1, n \in \BbbZ ,
що дiє в просторi \frakM .
Цю задачу розв’язано в [1] iз використанням означення експоненцiальної дихотомiї розв’яз-
кiв рiвняння (1).
Означення 1. Для рiвняння (1) має мiсце експоненцiальна дихотомiя на \BbbZ (рiвняння e-
дихотомiчне), якщо для кожного m \in \BbbZ простiр Em зображується у виглядi прямої суми
замкнених пiдпросторiв Em = E+
m \oplus E -
m i виконуються такi умови:
а) проектори P+
m i P -
m на пiдпростори E+
m i E -
m рiвномiрно обмеженi, тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\in \BbbZ
(\| P+
m\| L(Em,Em) + \| P -
m\| L(Em,Em)) < +\infty ; (3)
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2020
822 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 823
б) для кожного z \in E+
m розв’язок yn задачi
yn+1 = Anyn, n \geq m, ym = z (4)
задовольняє нерiвнiсть \| yn\| En \leq N1(q1)
n - m\| z\| Em для всiх n \geq m з деякими N1 > 0 i
q1 \in (0, 1), не залежними вiд n i m;
в) для кожного z \in E -
m розв’язок yn задачi
yn+1 = Anyn, n < m, ym = z (5)
задовольняє нерiвнiсть \| yn\| En \leq N2(q2)
m - n\| z\| Em для всiх n \leq m з деякими N2 > 0 i
q2 \in (0, 1), не залежними вiд n i m.
Ми будемо дослiджувати рiвняння (1), (2) та окремi випадки цих рiвнянь у загальному
випадку, вважаючи, що жоден iз просторiв E+
m i E -
m не є нульовим. Якщо ця вимога не
виконується, то всi розв’язки рiвняння (1) задовольняють спiввiдношення (4) (випадок E+
m =
= Em) або спiввiдношення (5) (випадок E -
m = Em) i дослiдження рiвнянь суттєво спрощується.
В [1] показано, що справджуються такi твердження.
Теорема 1. Рiвняння (1) e-дихотомiчне тодi i тiльки тодi, коли оператор \frakA має непе-
рервний обернений.
Теорема 2. Якщо оператор \frakA має неперервний обернений, то iснує операторна функцiя
Gn,m (Gn,m \in L(Em, En), m, n \in \BbbZ ), для якої :
1) справджуються рiвностi
Gn,m - An - 1Gn - 1,m =
\Biggl\{
Im, якщо n = m,
On, якщо n \not = m,
m, n \in \BbbZ , (6)
де Im i On — одиничний i нульовий елементи просторiв L(Em, Em) i L(En, En) вiдповiдно;
2) для деяких чисел q \in (0, 1) i N > 0
\| Gn,m\| L(Em,En) \leq Nq| n - m| , m, n \in \BbbZ ; (7)
3) для кожної послiдовностi \bff = (fn) \in \frakM обмежений розв’язок рiвняння (2) має вигляд
xn =
\sum
m\in \BbbZ
Gn,mfm, n \in \BbbZ ; (8)
4) проектори P+
m i P -
m записуються за допомогою рiвностей
P+
m = Gm,m i P -
m = - Am - 1Gm - 1,m, m \in \BbbZ . (9)
Основним об’єктом дослiджень у статтi є рiзницевi рiвняння
xn = Bn - 1xn - 1, n \in \BbbZ , (10)
i
xn = Bn - 1xn - 1 + fn, n \in \BbbZ , (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
824 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
в яких
Bn =
\left\{
D, якщо n < n1,
An, якщо n1 \leq n < n2,
C, якщо n \geq n2,
(12)
де n1 i n2 — довiльнi цiлi числа, для яких n1 < n2, C : E \rightarrow E, D : E \rightarrow E, An : E \rightarrow E —
лiнiйнi неперервнi оператори i \bff = (fn) \in l\infty (\BbbZ , E).
Очевидно, що рiвняння (10) є окремим випадком рiвняння (1), а Bn — кусково-сталою
операторною функцiєю.
Метою статтi є встановлення умов експоненцiальної дихотомiї розв’язкiв рiвняння (10), а
отже, встановлення умов оборотностi оператора \frakB : l\infty (\BbbZ , E) \rightarrow l\infty (\BbbZ , E), що визначається
спiввiдношенням
(\frakB \bfx )n = xn - Bn - 1xn - 1, n \in \BbbZ ,
та знаходження зображення оберненого оператора \frakB - 1 i обмежених розв’язкiв рiвняння (11).
2. Допомiжнi твердження. Для подальшого нам потрiбнi деякi властивостi операторних
коефiцiєнтiв рiзницевих рiвнянь (1) i (10) та оператора \frakB .
2.1. Властивостi операторних коефiцiєнтiв \bfite -дихотомiчного рiвняння (1). Використа-
ємо означення e-дихотомiчностi рiвняння (1), зображення Em = E+
m \oplus E -
m простору Em та
проектори P+
m i P -
m на пiдпростори E+
m i E -
m.
Теорема 3. Нехай рiвняння (1) e-дихотомiчне. Тодi для кожного m \in \BbbZ :
1) AmE+
m \subset E+
m+1;
2) AmE -
m = E -
m+1 i оператор P -
m+1AmP -
m : E -
m \rightarrow E -
m+1 має неперервний обернений\bigl(
P -
m+1AmP -
m
\bigr) - 1
.
Доведення. Спочатку обґрунтуємо правильнiсть першої частини твердження теореми.
Зафiксуємо довiльнi m \in \BbbZ i a \in E+
m. Покажемо, що Ama \in E+
m+1.
Припустимо, що Ama = b+ + b - , де b+ = P+
mAma i b - = P -
mAma, причому b - \not = 0m+1.
Розглянемо величини yn, zn, z
+
n i z - n , для яких
yn+1 = Anyn, n \geq m, ym = a,
zn+1 = Anzn, n \geq m+ 1, zm+1 = b+ + b - ,
z+n+1 = Anz
+
n , n \geq m+ 1, z+m+1 = b+,
i
z - n+1 = Anz
-
n , n \geq m+ 1, z - m+1 = b - .
Очевидно, що
yn = zn для всiх n \geq m+ 1 (13)
i
zn = z+n + z - n для всiх n \geq m+ 1. (14)
Згiдно з означенням e-дихотомiчностi рiвняння (1) справджуються спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 825
\| yn\| En \leq N1(q1)
n - m\| a\| Em для всiх n \geq m
i
\| z+n \| En \leq N1(q1)
n - m - 1\| b+\| Em+1 для всiх n \geq m+ 1
з деякими N1 > 0 i q1 \in (0, 1). Тому на пiдставi (13) i (14)
\| z - n \| En \leq 2N1(q1)
n - m - 1\| b - \| Em+1 для всiх n \geq m+ 1. (15)
Розглянемо задачу
xn+1 = Anxn, n \leq m, xm+1 = b - . (16)
Оскiльки b - \in E -
m+1 \setminus \{ 0m+1\} , то згiдно з означенням e-дихотомiчностi рiвняння (1) для
розв’язку un задачi (16) справджується спiввiдношення
\| un\| En \leq N2(q2)
| n - m - 1| \| b - \| Em+1 для всiх n \leq m+ 1 (17)
з деякими N2 > 0 i q2 \in (0, 1).
Iз наведених мiркувань випливає, що обмежена на пiдставi (15) i (17) послiдовнiсть \bfv =
= (vn), яка визначається формулою
vn =
\left\{
z - n , якщо n \geq m+ 2,
b - , якщо n = m+ 1,
un, якщо n \leq m,
є ненульовим обмеженим розв’язком рiвняння (16). Проте e-дихотомiчне рiвняння (1) має
лише тривiальний обмежений розв’язок. Тому припущення про виконання спiввiдношення
b - \not = 0m+1 є хибним.
Таким чином, включення Ama \in E+
m+1 є правильним. Оскiльки a — довiльний елемент
простору E+
m, то обґрунтування першої частини твердження теореми завершено.
Перейдемо до обґрунтування правильностi другої частини твердження теореми.
Зафiксуємо довiльнi m \in \BbbZ i a \in E -
m. Згiдно з означенням e-дихотомiчностi рiвняння (1)
задача
xn+1 = Anxn, n < m, xm = a (18)
має розв’язок yn, для якого виконується спiввiдношення
\| yn\| En \leq N2(q2)
| n - m| \| a\| Em для всiх n \leq m (19)
з деякими N2 > 0 i q2 \in (0, 1).
Покажемо, що цей розв’язок єдиний.
Припустимо, що задача (18) також має розв’язок \^yn \not \equiv yn, для якого виконується спiввiд-
ношення, аналогiчне (19). Тодi
\omega n =
\Biggl\{
yn - \^yn, якщо n \leq m,
0n, якщо n > m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
826 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
буде обмеженим ненульовим розв’язком рiвняння (1). Оскiльки e-дихотомiчне рiвняння (1) має
лише нульовий обмежений розв’язок, то розв’язок yn задачi (18) єдиний.
Покажемо, що
ym - 1 \in E -
m - 1. (20)
Зазначимо, що згiдно з (1)
Am - 1ym - 1 = ym.
Припустимо, що ym - 1 \not \in E -
m - 1. Тодi ym - 1 можна записати у виглядi ym - 1 = c - + c+, де
c - \in E -
m - 1 i c+ \in E+
m - 1, до того ж
c+ \not = 0m - 1. (21)
Розглянемо задачу
xn+1 = Anxn, n < m - 1, xm - 1 = c - .
Згiдно з e-дихотомiчнiстю рiвняння (1) для розв’язку vn цiєї задачi виконується спiввiдношення
\| vn\| En \leq N2(q2)
| n - m+1| \| c - \| Em - 1 для всiх n < m - 1. (22)
З урахуванням (19) i (22) отримуємо, що для деякого числа M > 1 виконується спiввiдношення
\| yn - vn\| En \leq M(q2)
| n - m+1| \| c+\| Em - 1 для всiх n < m - 1. (23)
Далi використаємо задачу
xn+1 = Anxn, n \geq m - 1, xm - 1 = c+.
Завдяки e-дихотомiчностi рiвняння (1) для розв’язку zn цiєї задачi виконується спiввiдношення
\| zn\| En \leq N1(q1)
| n - m+1| \| c+\| Em - 1 для всiх n \geq m - 1. (24)
Легко перевiрити, що згiдно з (23) i (24) обмежена послiдовнiсть \bfg = (gn), яка визначається
спiввiдношенням
gn =
\left\{
yn - vn, якщо n > m - 1,
c+, якщо n = m - 1,
zn, якщо n < m - 1,
є ненульовим розв’язком рiвняння (1). Проте e-дихотомiчне рiвняння (1) має лише тривiаль-
ний обмежений розв’язок. Тому спiввiдношення (21) є хибним. Отже, спiввiдношення (20) є
правильним.
Iз наведених мiркувань випливає, що для кожного ym \in E -
m рiвняння ym = Am - 1ym - 1 має
єдиний розв’язок ym - 1 \in E -
m - 1.
Покажемо, що
Am - 1E
-
m - 1 = E -
m.
Припустимо, що Am - 1c \not \in E -
m для деякого вектора c \in E -
m - 1. Тодi вектор Am - 1c можна
записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 827
Am - 1c = d+ + d - ,
де d+ \in E+
m i d - \in E -
m. Нехай c - — вектор простору E -
m - 1, для якого Am - 1c
- = d - . Згiдно
з попереднiми мiркуваннями такий вектор iснує i єдиний. Розглянемо вектор c - c - \in E -
m - 1.
Для нього Am - 1(c - c - ) = d+.
Розглянемо задачi
xn+1 = Anxn, n \geq m, xm = d+
i
xn+1 = Anxn, n \leq m - 2, xm - 1 = c - c - ,
розв’язки \^zn i \^\^zn яких вiдповiдно обмеженi на пiдставi e-дихотомiчностi рiвняння (1).
Очевидно, що
\xi n =
\left\{
\^zn, якщо n \geq m+ 1,
d+, якщо n = m,
c - c - , якщо n = m - 1,
\^\^zn, якщо n \leq m - 2,
є обмеженим розв’язком рiвняння (1). Оскiльки для e-дихотомiчного рiвняння (1) обмеженим
є лише нульовий розв’язок, то d+ = 0m i, отже, c - c - = 0m - 1.
Звiдси та з того, що для кожного ym \in E -
m рiвняння ym = Am - 1ym - 1 має єдиний роз-
в’язок ym - 1 \in E -
m - 1, випливає рiвнiсть Am - 1E
-
m - 1 = E -
m. Тодi на пiдставi теореми Банаха
про обернений оператор [2] оператор P -
mAm - 1P
-
m - 1 : E -
m - 1 \rightarrow E -
m має неперервний обер-
нений оператор
\bigl(
P -
mAm - 1P
-
m - 1
\bigr) - 1
. Звiдси та з довiльностi вибору числа m \in \BbbZ випливає
правильнiсть другої частини твердження теореми.
Теорему 3 доведено.
Зауваження 1. У першiй частинi твердження теореми 3 включення AmE+
m \subset E+
m+1 не
можна замiнити рiвнiстю
AmE+
m = E+
m+1, (25)
що пiдтверджується таким прикладом.
Приклад 1. Розглянемо скалярне рiвняння xn = 0, що є окремим випадком рiвняння (1).
Це рiвняння отримується з (1) при An - 1 \equiv 0 i є е-дихотомiчним. Очевидно, що En = E+
n = \BbbR
для всiх n \in \BbbZ i (25) не виконується.
Зауваження 2. Оскiльки за теоремою 3 оператор P -
m+1AmP -
m : E -
m \rightarrow E -
m+1 для кожного
m \in \BbbZ має неперервний обернений
\bigl(
P -
m+1AmP -
m
\bigr) - 1
, то на пiдставi умови в) означення e-ди-
хотомiчностi рiвняння (1) елементи пiдпростору E -
m \subset Em додатково мають таку властивiсть:
для кожного x \in E -
m розв’язок задачi
xn+1 = Anxn, n \geq m, xm = x
задовольняє спiввiдношення \| xn\| En \geq N - 1
2
\bigl(
q - 1
2
\bigr) n - m \| x\| Em , n \geq m.
Зазначимо, що завдяки теоремi 3 означення 1 e-дихотомiчностi рiвняння (1) рiвносильне
такому означенню e-дихотомiчностi цього рiвняння.
Означення 2. Для рiвняння (1) має мiсце експоненцiальна дихотомiя на \BbbZ (рiвняння е-
дихотомiчне), якщо для кожного m \in \BbbZ простiр Em зображується у виглядi прямої суми
замкнених пiдпросторiв Em = E+
m \oplus E -
m i виконуються такi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
828 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
а) проектори P+
m i P -
m на пiдпростори E+
m i E -
m рiвномiрно обмеженi, тобто виконується
спiввiдношення (3);
б) для кожного z \in E+
m розв’язок yn задачi (4) для всiх n \geq m задовольняє спiввiдношення
yn \in E+
n i \| yn\| En \leq N1(q1)
n - m\| z\| Em з деякими N1 > 0 i q1 \in (0, 1), не залежними вiд n i m;
в) для кожного z \in E -
m розв’язок yn задачi (5) для всiх n \leq m задовольняє спiввiдношення
yn \in E -
n i \| yn\| En \leq N2(q2)
m - n\| z\| Em з деякими N2 > 0 i q2 \in (0, 1), не залежними вiд n i m.
2.2. Властивостi оператора \bffrakB . Розглянемо лiнiйнi неперервнi оператори \frakC , \frakD , Sm,
m \in \BbbZ , що дiють у просторi l\infty (\BbbZ , E), i оператор Q\varepsilon ,\tau ((\varepsilon , \tau ) \in (0, 1] \times \BbbR ), що дiє у просторi
\frakM , зокрема в l\infty (\BbbZ , E), та неперервну функцiю q : \BbbR \rightarrow [0, 1], якi визначаються рiвностями
(\frakC \bfy )n = yn - Cyn - 1, n \in \BbbZ ,
(\frakD \bfy )n = yn - Dyn - 1, n \in \BbbZ ,
(Sm\bfy )n = yn+m, n \in \BbbZ ,
(Q\varepsilon ,\tau \bfx )n = q(\varepsilon (n - \tau ))xn, n \in \BbbZ ,
(26)
i
q(t) =
\Biggl\{
1 - | t| , якщо | t| \leq 1,
0, якщо | t| > 1.
Очевидно, що
| q(t1) - q(t2)| \leq | t1 - t2| для всiх t1, t2 \in \BbbR . (27)
Важливими для встановлення необхiдних i достатнiх умов e-дихотомiчностi рiвняння (10)
є такi три твердження.
Лема 1. Нехай \frakP — довiльна множина лiнiйних неперервних операторiв S : \frakM \rightarrow \frakM ,
кожен з яких визначається формулою
(S\bfx )n =
\sum
m\in \BbbZ
Sn,mxm, n \in \BbbZ , (28)
де Sn,m \in L(Em, En), i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
S\in \frakP
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\sum
m\in \BbbZ
\| Sn,m\| L(Em,En)| n - m| < +\infty . (29)
Тодi для кожного \bfx \in \frakM виконується спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
S\in \frakP
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in \BbbR
\| Q\varepsilon ,\tau S\bfx - SQ\varepsilon ,\tau \bfx \| \frakM = 0. (30)
Доведення. Позначимо через M лiву частину нерiвностi (29). Завдяки (27) – (29) для всiх
S \in \frakP , \bfx \in \frakM , n \in \BbbZ , \varepsilon \in (0, 1) i \tau \in \BbbR справджуються спiввiдношення
\bigm\| \bigm\| (Q\varepsilon ,\tau S\bfx )n - (SQ\varepsilon ,\tau \bfx )n
\bigm\| \bigm\|
En
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| q(\varepsilon (n - \tau ))
\sum
m\in \BbbZ
Sn,mxm -
\sum
m\in \BbbZ
Sn,mq(\varepsilon (m - \tau ))xm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
En
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 829
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
m\in \BbbZ
Sn,m(q(\varepsilon (n - \tau )) - q(\varepsilon (m - \tau )))xm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
En
\leq
\leq
\sum
m\in \BbbZ
\| Sn,m\| L(En,Em)| q(\varepsilon (n - \tau )) - q(\varepsilon (m - \tau ))| \| x\| Em \leq
\leq
\Biggl( \sum
m\in \BbbZ
\| Sn,m\| L(En,Em)| n - m|
\Biggr)
\varepsilon \| \bfx \| \frakM \leq M\varepsilon \| \bfx \| \frakM ,
з яких випливає (30).
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай оператор \frakB має неперервний обернений. Тодi для кожних \bff \in l\infty (\BbbZ , E) i
n \in \BbbZ iснують границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
\bigl(
Sk\frakB
- 1S - k\bff
\bigr)
n
(31)
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow - \infty
\bigl(
Sk\frakB
- 1S - k\bff
\bigr)
n
. (32)
Доведення. Очевидно, що завдяки (26) для кожного k \in \BbbZ
\| Sk\| L(l\infty (\BbbZ ,E),l\infty (\BbbZ ,E)) = 1 (33)
i \bigm\| \bigm\| Sk\frakB
- 1S - k
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (\BbbZ ,E),l\infty (\BbbZ ,E))
=
\bigm\| \bigm\| \frakB - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (\BbbZ ,E),l\infty (\BbbZ ,E))
. (34)
Припустимо, що твердження щодо iснування границi (31) є хибним, тобто для деяких
\bff = (fn) \in l\infty (\BbbZ , E) i \^n \in \BbbZ послiдовнiсть векторiв (Sk\frakB
- 1S - k\bff )\^n, k \geq 1, є розбiжною.
Очевидно, що \bff \not = \bfzero . Розглянемо елемент \bfg k = (gk,n) \in l\infty (\BbbZ , E), де gk,n = (Sk\frakB
- 1S - k\bff )n.
На пiдставi (34)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 1
\| \bfg k\| l\infty (\BbbZ ,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ
\bigm\| \bigm\| (Sk\frakB
- 1S - k\bff )n
\bigm\| \bigm\|
E
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakB - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (\BbbZ ,E),l\infty (\BbbZ ,E))
\| \bff \| l\infty (\BbbZ ,E). (35)
Згiдно з припущенням та (35) для деяких числа a > 0 i строго зростаючої послiдовностi (ki)
натуральних чисел
2
\bigm\| \bigm\| \frakB - 1
\bigm\| \bigm\|
L(l\infty (\BbbZ ,E),l\infty (\BbbZ ,E))
\| \bff \| l\infty (\BbbZ ,E) \geq
\bigm\| \bigm\| gki,\^n - gkj ,\^n
\bigm\| \bigm\|
E
\geq a, якщо i \not = j. (36)
Зазначимо, що
((Sk\frakB S - k)\bfg k)n = gk,n - Bn - 1+kgk,n - 1 = fn для всiх n \in \BbbZ , k \geq 1, (37)
i
Bn - 1+k = C, якщо n - 1 + k \geq n2. (38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
830 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зафiксуємо довiльне число \varepsilon \in (0, 1). Завдяки (37) i (38)
((Sk\frakB S - k)\bfg k)n = gk,n - Cgk,n - 1 = fn,
якщо
\^n - 1 + k > n2 i \varepsilon | n - \^n| \leq 1.
Звiдси випливає, що
(gki,n - Cgki,n - 1) - (gki+1,n - Cgki+1,n - 1) = 0,
якщо
\^n - 1 + ki > n2, \varepsilon | n - \^n| \leq 1,
i, отже, на пiдставi означення функцiї q(t) у випадку \^n - 1 + ki > n2
q(\varepsilon (n - \^n))
\bigl(
(gki,n - Cgki,n - 1) - (gki+1,n - Cgki+1,n - 1)
\bigr)
= 0, n \in \BbbZ ,
тобто з урахуванням (38)
\| Q\varepsilon ,\^n(Ski\frakB S - ki)(\bfg ki - \bfg ki+1
)\| l\infty (\BbbZ ,E) = 0. (39)
На пiдставi леми 1 i (39) у випадку \^n - 1 + ki > n2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\| (Ski\frakB S - ki)Q\varepsilon ,\^n(\bfg ki - \bfg ki+1
)\| l\infty (\BbbZ ,E) = 0.
Iз цього спiввiдношення, послiдовностi (36) та означення оператора Q\varepsilon ,\tau випливає рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
i\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\| l\infty (\BbbZ ,E)=1
\| Ski\frakB S - ki\bfx \| l\infty (\BbbZ ,E) = 0.
Таким чином, з урахуванням (26) i (33)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\| l\infty (\BbbZ ,E)=1
\| \frakB \bfx \| l\infty (\BbbZ ,E) = 0,
що суперечить оборотностi оператора \frakB . Отже, припущення, що границя (31) не iснує, є
хибним.
Аналогiчно можна показати iснування границi (32).
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай оператор \frakB має неперервний обернений \frakB - 1. Тодi для кожного \bff \in
\in l\infty (\BbbZ , E) обмеженi векторнi величини, що визначаються рiвностями
x+n = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
\bigl(
Sk\frakB
- 1S - k\bff
\bigr)
n
, n \in \BbbZ ,
i
x - n = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow - \infty
\bigl(
Sk\frakB
- 1S - k\bff
\bigr)
n
, n \in \BbbZ ,
є єдиними розв’язками рiвнянь
(\frakC \bfx )n = fn, n \in \BbbZ , (40)
i
(\frakD \bfx )n = fn, n \in \BbbZ , (41)
вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 831
Доведення. Зазначимо, що завдяки (34) i неперервностi оператора \frakB - 1 векторнi величини
x+n i x - n є обмеженими.
Покажемо, що x+n — розв’язок рiвняння (40). Зафiксуємо довiльне n \in \BbbZ . Згiдно з рiвнiстю\bigl(
Sk\frakB
- 1S - k\bff
\bigr)
n
=
\sum
l\in \BbbZ
Gn+k,l+kfl, що випливає з (8) у випадку En \equiv E, (6) та тим, що
Bn = C для всiх n \geq n2, справджуються спiввiдношення
(\frakC \bfx +)n = x+n - Cx+n - 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
\bigl(
Sk\frakB
- 1S - k\bff
\bigr)
n
- C \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
\bigl(
Sk\frakB
- 1S - k\bff
\bigr)
n - 1
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
\sum
l\in \BbbZ
Gn+k,l+kfl - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
Bn - 1+k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
\sum
l\in \BbbZ
Gn - 1+k,l+kfl =
=
\sum
l\in \BbbZ
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
(Gn+k,l+k - Bn - 1+kGn - 1+k,l+k) fl =
=
\sum
l\in \BbbZ
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
(Gn+k,l+k - Bn - 1+kGn - 1+k,l+k) fl = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
(Gn+k,n+k - Bn - 1+kGn - 1+k,n+k) fn+
+
\sum
l \not =n
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow +\infty
(Gn+k,l+k - Bn - 1+kGn - 1+k,l+k) fl = Ifn +
\sum
l \not =n
Ofl = fn,
де I i O — одиничний i нульовий елементи простору L(E,E). У цих спiввiдношеннях також
використано оцiнку (7) для норми оператора Gn,m, завдяки якiй граничний перехiд пiд знаком
суми є можливим. Отже, x+n — обмежений розв’язок рiвняння (40).
Покажемо, що цей розв’язок єдиний.
Припустимо, що рiвняння (40) має вiдмiнний вiд x+n обмежений розв’язок x++
n . Тодi y+n =
= x+n - x++
n — обмежений ненульовий розв’язок рiвняння
yn - Cyn - 1 = 0 (42)
i для деякого n0 \in \BbbZ
y+n0
\not = 0. (43)
Очевидно, що обмеженим розв’язком рiзницевого рiвняння (42) також є y+n - k для кожного
k \in \BbbZ . На пiдставi леми 1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\tau \in \BbbZ \| Q\varepsilon ,\tau \frakC \bfy
+ - \frakC Q\varepsilon ,\tau \bfy
+\| l\infty (\BbbZ ,E) = 0, i тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\tau \in \BbbZ \| \frakC Q\varepsilon ,\tau \bfy
+\| l\infty (\BbbZ ,E) = 0, оскiльки \frakC \bfy + = \bfzero , зокрема
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbZ , k\in \BbbN
\| q(\varepsilon (n - k - n0))y
+
n - k - Cq(\varepsilon (n - 1 - k - n0))y
+
n - 1 - k\| E = 0. (44)
Розглянемо довiльнi строго спадну (\varepsilon i)i\geq 1 i строго зростаючу (ki)i\geq 1 послiдовностi, для
яких \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}i\rightarrow \infty \varepsilon i = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}i\rightarrow \infty ki = +\infty i n2 < ki - n0 -
\bigl[
\varepsilon - 1
i
\bigr]
- 3, i \geq 1, де
\bigl[
\varepsilon - 1
i
\bigr]
— цiла частина
числа \varepsilon - 1
i . Тодi
q(\varepsilon i(n - ki - n0)) = 0 для всiх n \leq n2 + 1
i, отже, \bigm\| \bigm\| \bigm\| q(\varepsilon i(n - ki - n0))y
+
n - ki
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
= 0 для всiх n \leq n2 + 1.
Завдяки рiвностям Bn = C, n \geq n2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
832 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
q(\varepsilon i(n - ki - n0))y
+
n - ki
- Bn - 1q(\varepsilon i(n - 1 - ki - n0))y
+
n - 1 - ki
=
= q(\varepsilon i(n - ki - n0))y
+
n - ki
- Cq(\varepsilon i(n - 1 - ki - n0))y
+
n - 1 - ki
для всiх n \in \BbbZ . (45)
Отже, на пiдставi (44) i (45)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
i\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| \frakB Q\varepsilon i,ki+n0S - ki\bfy
+
\bigm\| \bigm\|
l\infty (\BbbZ ,E)
= 0.
Це спiввiдношення суперечить оборотностi оператора \frakB , оскiльки з урахуванням (43)
\| Q\varepsilon i,ki+n0S - ki\bfy
+\| l\infty (\BbbZ ,E) \geq \| y+n0
\| E > 0, i \geq 1.
Отже, припущення, що рiвняння (40) має обмежений вiдмiнний вiд x+n розв’язок x++
n , є хибним.
Аналогiчно з використанням рiвностей Bn = D, n < n1, можна показати, що x - n —
обмежений розв’язок рiвняння (41) i до того ж єдиний.
Лему 3 доведено.
Наслiдком лем 2 i 3 є таке твердження.
Теорема 4. Нехай оператор \frakB має неперервний обернений. Тодi аналогiчну властивiсть
мають оператори \frakC i \frakD .
Далi наведемо умови оборотностi операторiв \frakC i \frakD . Будемо використовувати спектри \sigma (C)
i \sigma (D) операторiв C i D вiдповiдно та одиничне коло T = \{ z \in \BbbC : | z| = 1\} .
Правильною є така теорема.
Теорема 5. Оператори \frakC i \frakD мають неперервнi оберненi тодi i тiльки тодi, коли \sigma (C)\cap
\cap T = \varnothing i \sigma (D) \cap T = \varnothing .
Умови оборотностi рiзницевих операторiв, аналогiчних \frakC , i складнiших операторiв, при
дослiдженнi яких неможливо використовувати експоненцiальну дихотомiю, отримано в [3 – 5].
Зауваження 3. Для оборотностi оператора \frakB недостатньо оборотностi операторiв \frakC i \frakD ,
що пiдтверджується таким прикладом.
Приклад 2. Розглянемо оператори \frakF ,\frakG ,\frakH : l\infty (\BbbZ ,\BbbR ) \rightarrow l\infty (\BbbZ ,\BbbR ), що визначаються рiвно-
стями
(\frakF \bfx )n = xn -
\left\{
1
2
xn - 1, якщо n > 0,
2xn - 1, якщо n \leq 0,
(\frakG \bfx )n = xn - 1
2
xn - 1 i (\frakH \bfx )n = xn - 2xn - 1, n \in \BbbZ .
Оператори \frakG i \frakH є оборотними, оскiльки спектри операторiв C i D, що вiдповiдають \frakG i \frakH ,
збiгаються з множинами \{ 1/2\} i \{ 2\} вiдповiдно i не мають спiльних точок з T. Проте оператор
\frakF не є оборотним, оскiльки рiвняння \frakF \bfx = \bfzero має ненульовий обмежений розв’язок xn = 2 - | n| .
У подальшому будемо використовувати множини \sigma +(C) = \{ \lambda \in \sigma (C) : | \lambda | < 1\} , \sigma - (C) =
= \{ \lambda \in \sigma (C) : | \lambda | > 1\} , \sigma +(D) = \{ \lambda \in \sigma (C) : | \lambda | < 1\} , \sigma - (D) = \{ \lambda \in \sigma (C) : | \lambda | >
> 1\} , проектори P+
C , P -
C , P+
D , P -
D i пiдпростори E+
C = P+
C E, E -
C = P -
C E, E+
D = P+
DE,
E -
D = P -
DE простору E, що вiдповiдають цим множинам. Крiм того, будемо використовува-
ти оператори C+ = P+
C CP+
C , C - = P -
C CP -
C , D+ = P+
DDP+
D i D - = P -
DDP -
D , спектрами
яких є множини \sigma +(C), \sigma - (C), \sigma +(D) i \sigma - (D) вiдповiдно, а також спектральний радiус
r(A) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \lambda | : \lambda \in \sigma (A)\} оператора A \in L(E,E).
Корисною є така лема.
Лема 4. Якщо r(A) < 1, то для кожного числа q \in (r(A), 1) iснує таке число M \geq 1, що
\| An\| L(E,E) \leq Mqn, n \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 833
Твердження леми є наслiдком формули Гельфанда r(A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty n
\sqrt{}
\| An\| L(E,E) [6].
Оскiльки \sigma +(C) \cup \sigma +(D) \subset \{ \lambda \in \BbbC : | \lambda | < 1\} , то r (C+) < 1 i r (D+) < 1, а оскiльки
\sigma - (C) \cup \sigma - (D) \subset \{ \lambda \in \BbbC : | \lambda | > 1\} , то оператори C - i D - мають неперервнi оберненi
(C - ) - 1, (D - ) - 1 i згiдно з теоремою Данфорда про вiдображення спектра [7] r
\bigl(
(C - ) - 1
\bigr)
< 1
i r
\bigl(
(D - ) - 1
\bigr)
< 1.
Отже, справджується таке твердження.
Теорема 6. Оператори C - : E -
C \rightarrow E -
C i D - : E -
D \rightarrow E -
D мають неперервнi оберненi
(C - ) - 1 i (D - ) - 1 вiдповiдно i r(C+) < 1, r(D+) < 1, r((C - ) - 1) < 1 i r((D - ) - 1) < 1.
Важливою для подальшого є така теорема.
Теорема 7. Нехай оператор \frakB має неперервний обернений. Тодi
E+
n = E+
C i E -
n = E -
C для всiх n \geq n2
i
E+
n = E+
D i E -
n = E -
D для всiх n \leq n1 - 1.
Доведення. Спочатку покажемо, що E+
n2
= E+
C . Згiдно з умовою б) означення e-дихотомiч-
ностi рiвняння (1) E+
C \subset E+
n2
. Припустимо, що E+
n2
\not = E+
C i z = P+
C z + P -
C z — елемент з E+
n2
,
для якого P -
C z \not = 0. За означенням E+
n2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \| Cn(P+
C z + P -
C z)\| E = 0. Оскiльки CE+
C \subset
\subset E+
C i r (C+) < 1, то \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty
\bigm\| \bigm\| CnP+
C z
\bigm\| \bigm\|
E
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \| (C+)nP+
C z\| E = 0. Звiдси випливає
рiвнiсть \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \| CnP -
C z\| E = 0, що неможливо. Справдi, згiдно з умовою в) означення
e-дихотомiчностi рiвняння (1), включенням E -
C \subset E -
n2
i зауваженням 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \| CnP -
C z\| E =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \| (C - )nP -
C z\| E \not = 0. Отже, припущення, що E+
n2
\not = E+
C , є хибним.
Аналогiчно доводиться, що E+
n = E+
C для n > n2.
Далi покажемо, що E -
n2
= E -
C . Згiдно з умовою в) означення e-дихотомiчностi рiвняння
(1) та нерiвнiстю r
\bigl(
(C - ) - 1
\bigr)
< 1 справджується включення E -
C \subset E -
n2
. Припустимо, що
E -
n2
\not = E -
C i z = P+
C z + P -
C z — елемент простору E -
n2
, для якого P+
C z \not = 0. За означенням E -
n2
розв’язки задачi
xn = Bn - 1xn - 1, n \leq n2, xn2 = a
при a = P+
C z + P -
C z i a = P -
C z прямують до 0 за експоненцiальним законом (при n \rightarrow
\rightarrow - \infty ). Аналогiчну властивiсть має розв’язок цiєї задачi i при a = P+
C z, оскiльки P+
C z+P -
C z,
P -
C z — вектори з простору E -
n2
i тому (P+
C z + P -
C z) - P -
C z = P+
C z \in E -
n2
. Тодi на пiдставi
зауваження 2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \| CnP+
C z\| E = +\infty , що суперечить спiввiдношенням CE+
C \subset E+
C ,
CnP+
C z = (C+)nP+
C z, n \in \BbbN i r(C+) < 1, з яких випливає, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow +\infty \| CnP+
C z\| E = 0.
Отже, припущення, що E -
n2
\not = E -
C , є хибним.
Аналогiчно доводиться, що E -
n = E -
C для n > n2.
Тепер покажемо, що E -
n1 - 1 = E -
D. З означення простору E -
n1 - 1, рiвностi D - E -
D = E -
D
i оборотностi оператора D - : E -
D \rightarrow E -
D (на пiдставi теореми 3) випливає, що E -
D \subset E -
n1 - 1.
Припустимо, що E -
n1 - 1 \not = E -
D i вектор z = P+
D z + P -
D z з простору E -
n1 - 1 є таким, що
P+
D z \not = 0. Згiдно з тим, що простори E+
D i E -
D iнварiантнi вiдносно оператора D, оператор D - :
E -
D \rightarrow E -
D оборотний i задача
xn = Dxn - 1, n \leq n1 - 1, xn1 = a (46)
при a = z має розв’язок zn, для якого \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow - \infty \| zn\| E = 0, випливає, що цей розв’язок можна
записати у виглядi zn = P+
D zn + P -
D zn, причому DP+
D zn = P+
DDzn i DP -
D zn = P -
DDzn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
834 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Оскiльки P -
D z \in E -
D \subset E -
n1 - 1 i P+
D z = z - P -
D z \in E -
n1 - 1, то для розв’язкiв P -
D zn i P+
D zn задачi
(46) вiдповiдно при a = P -
D z i a = P+
D z згiдно з означенням простору E -
n1 - 1 виконуються
спiввiдношення \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow - \infty \| P -
D zn\| E = 0 i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow - \infty
\| P+
D zn\| E = 0. (47)
З iншого боку, P+
D z \not = 0 i P+
D zn = D+P+
D zn - 1, n \leq n1. Тому P+
D zn \not = 0, n \leq n1. Оскiльки
r(D+) < 1, то на пiдставi леми 4 \| P+
D z\| E \leq Mq| n - n1+1| \| P+
D zn\| E , n \leq n1 - 1, для деяких чисел
M > 0 i q \in (0, 1). Це спiввiдношення суперечить (47) i свiдчить про хибнiсть припущення
E -
n1 - 1 \not = E -
D.
Аналогiчно доводиться, що E -
n = E -
D для n < n1 - 1.
Нарештi покажемо, що E+
n1 - 1 = E+
D.
Згiдно з оборотнiстю оператора \frakB i, отже, e-дихотомiчнiстю рiвняння (10), а також оборот-
нiстю оператора \frakD (завдяки теоремам 4 i 5) справджуються рiвностi
E = E+
n1 - 1 \oplus E -
n1 - 1 = E+
n1 - 1 \oplus E -
D = E+
D \oplus E -
D. (48)
Тут на пiдставi попереднiх мiркувань враховано, що E -
D = E -
n1 - 1. Зазначимо, що з (48) не
випливає рiвнiсть E+
n1 - 1 = E+
D.
Припустимо, що E+
n1 - 1 \not = E+
D. Тодi
E+
n1 - 1 \setminus E
+
D \not = \varnothing (49)
або
E+
n1 - 1 \subset E+
D i E+
D \setminus E+
n1 - 1 \not = \varnothing . (50)
Розглянемо випадок виконання спiввiдношення (49). Зафiксуємо довiльний ненульовий
вектор
v \in E+
n1 - 1 \setminus E
+
D. (51)
Завдяки (48) вектор v можна записати у виглядi v = P+
n1 - 1v + P -
D v, де P -
D v \not = 0. Очевидно,
що рiвнiсть P -
D v = 0 неможлива внаслiдок (51), оскiльки тодi v = P+
D v.
З означень просторiв E+
n1 - 1 i E -
n1 - 1 випливає, що для розв’язку v+n задачi
xn = Bn - 1xn - 1, n \geq n1, xn1 - 1 = v
виконується спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\geq n2, n\rightarrow +\infty
\| v+n \| En2
= 0, (52)
а для розв’язку \~vn задачi
xn = Bn - 1xn - 1, n \geq n1, xn1 - 1 = a (53)
при a = P -
D v згiдно з рiвнiстю E -
n1 - 1 = E -
D i зауваженням 2 для деяких чисел M > 0 i Q > 1
— спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 835
\| \~vn\| En2
\geq MQn - n1+1\| P -
D v\| En1 - 1 , n \geq n2. (54)
Завдяки (52) i (54) для розв’язку \~\~vn задачi (53) при a = P+
n1 - 1v також буде виконуватися
спiввiдношення \bigm\| \bigm\| \~\~vn\bigm\| \bigm\| En2
\geq M1(Q1)
n - n1+1\| P+
D v\| En1 - 1 , n \geq n2,
для деяких чисел M1 > 0 i Q1 > 1, аналогiчне (54). Останнє спiввiдношення суперечить
означенню простору E+
n1 - 1. Отже, припущення, що E+
n1 - 1 \not = E+
D у випадку виконання (49), є
хибним.
Далi розглянемо випадок виконання спiввiдношень (50).
Зафiксуємо довiльний ненульовий вектор
v \in E+
D \setminus E+
n1 - 1. (55)
Тодi
v \in E+
D \oplus E -
D = En1 - 1 (56)
i згiдно з (55) та рiвнiстю E -
D = E -
n1 - 1
v \not \in E+
n1 - 1 \oplus E -
D = En1 - 1,
що суперечить (56). Отже, припущення, що виконуються спiввiдношення (50), є хибним.
Таким чином, припущення, що E+
n1 - 1 \not = E+
D у випадку (50), також хибне i, отже, E+
n1 - 1 =
= E+
D.
Аналогiчно доводиться, що E+
n = E+
D для n < n1 - 1.
Теорему 7 доведено.
2.3. Зображення обмежених розв’язкiв рiвняння (2). Згiдно з теоремою 2 обмеженi
розв’язки рiвняння (2) мають вигляд (8), де операторна функцiя Gn,m задовольняє (6), (7) i
(9). З’ясуємо, як зображується функцiя Gn,m з використанням розв’язкiв задач (4) i (5).
Вважаємо, що рiвняння (1) e-дихотомiчне. Позначимо через y+n,m(z) i y - n,m(z) розв’язки
задач (4) i (5) вiдповiдно. На пiдставi теореми 3
y+n,m(z) \in E+
n , n \geq m, i y - n,m(z) \in E -
n , n \leq m.
Цi розв’язки єдинi завдяки e-дихотомiчностi рiвняння (1) i задовольняють нерiвностi
\| y+n,m(z)\| E+
n
\leq N1(q1)
n - m\| z\| E+
m
, n \geq m, (57)
\| y - n,m(z)\| E -
n
\leq N2(q2)
m - n\| z\| E -
m
, n \leq m, (58)
де N1, N2, q1 i q2 — сталi, що й в умовах б) i в) означення e-дихотомiчностi рiвняння (1).
Для точок (n,m) \in \BbbN \times \BbbN , n \geq m, i (p,m) \in \BbbN \times \BbbN , p \leq m, визначимо оператори S+
n,m :
E+
m \rightarrow E+
n i S -
p,m : E -
m \rightarrow E -
p рiвностями
S+
n,mz = y+n,m(z), z \in E+
m, (59)
S -
p,mz = y - p,m(z), z \in E -
m. (60)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
836 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Цi оператори є лiнiйними завдяки лiнiйностi рiвняння (1) i неперервними завдяки (57), (58).
Очевидно, що S+
m,m = P+
m , S -
m,m = P -
m i на пiдставi (57), (58) виконуються спiввiдношення
\| S+
n,m\| L(E+
m,E+
n ) \leq N1(q1)
n - m, n \geq m, (61)
\| S -
p,m\| L(E -
m,E -
p ) \leq N2(q2)
p - m, p \leq m. (62)
Розглянемо операторну функцiю
Gn,m =
\Biggl\{
S+
n,m, якщо n \geq m,
- S -
n,m, якщо n \leq m - 1,
(63)
для якої згiдно з означенням S+
n,m i S -
n,m
Gn,m = An - 1Gn - 1,m, якщо n \not = m,
а також
Gm,m - Am - 1Gm - 1,m = Im.
Справдi, завдяки (59), (60), (63) та рiвностi S -
m - 1,m =
\bigl(
P -
mAm - 1P
-
m - 1
\bigr) - 1
S -
m,m, що отримуєть-
ся з (5) з урахуванням теореми 3,
Gm,m - Am - 1Gm - 1,m = S+
m,m +Am - 1S
-
m - 1,m =
= P+
m +Am - 1
\bigl(
P -
mAm - 1P
-
m - 1
\bigr) - 1
S -
m,m = P+
m + S -
m,m = P+
m + P -
m = Im.
Таким чином, операторна функцiя Gn,m задовольняє (6). Також ця функцiя на пiдставi (61) i
(62) задовольняє (7).
Отже, правильним є таке твердження.
Теорема 8. Якщо рiвняння (1) e-дихотомiчне, то для кожного \bff = (fn) \in \frakM обмежений
розв’язок рiвняння (2) має вигляд (8), де Gn,m визначається рiвнiстю (63).
3. Умови експоненцiальної дихотомiї розв’язкiв рiвняння (10). Наведенi допомiжнi ре-
зультати дають змогу отримати необхiднi та достатнi умови e-дихотомiчностi рiвняння (10).
Справджується таке твердження.
Теорема 9. Для e-дихотомiчностi рiвняння (10) необхiдно i достатньо виконання таких
умов:
1) для кожного m \in \BbbZ банаховий простiр E зображується у виглядi прямої суми замкне-
них пiдпросторiв
E = E+
m \oplus E -
m, (64)
для яких
E+
n = E+
n2
i E -
n = E -
n2
для всiх n \geq n2 (65)
та
E+
n = E+
n1 - 1 i E -
n = E -
n1 - 1 для всiх n \leq n1 - 1; (66)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 837
2) CE+
n2
\subset E+
n2
, CE -
n2
= E -
n2
, оператор P -
n2
CP -
n2
: E -
n2
\rightarrow E -
n2
має неперервний обернений\bigl(
P -
n2
CP -
n2
\bigr) - 1
i
r
\bigl(
P+
n2
CP+
n2
\bigr)
< 1, (67)
r
\Bigl( \bigl(
P -
n2
CP -
n2
\bigr) - 1
\Bigr)
< 1; (68)
3) DE+
n1 - 1 \subset E+
n1 - 1 \cap E+
n1
, DE -
n1 - 1 = E -
n1 - 1 = E -
n1
, оператор P -
n1 - 1DP -
n1 - 1 : E -
n1 - 1 \rightarrow
\rightarrow E -
n1 - 1 має неперервний обернений
\bigl(
P -
n1 - 1DP -
n1 - 1
\bigr) - 1
i
r
\bigl(
P+
n1 - 1DP+
n1 - 1
\bigr)
< 1, (69)
r
\Bigl( \bigl(
P -
n1 - 1DP -
n1 - 1
\bigr) - 1
\Bigr)
< 1; (70)
4) An1E
+
n1
\subset E+
n1+1, An1+1E
+
n1+1 \subset E+
n1+2, . . . , An2 - 1E
+
n2 - 1 \subset E+
n2
;
5) An1E
-
n1
= E -
n1+1, An1+1E
-
n1+1 = E -
n1+2, . . . , An2 - 1E
-
n2 - 1 = E -
n2
i оператори An1 | E -
n1
:
E -
n1
\rightarrow E -
n1+1 , An1+1| E -
n1+1
: E -
n1+1 \rightarrow E -
n1+2, . . . , An2 - 1| E -
n2 - 1
: E -
n2 - 1 \rightarrow E -
n2
мають непе-
рервнi оберненi оператори.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай рiвняння (10) e-дихотомiчне.
За означенням e-дихотомiчностi рiвняння для кожного m \in \BbbZ банаховий простiр E зобра-
жується у виглядi (64), а завдяки теоремам 1 i 7 виконуються спiввiдношення (65) i (66). Отже,
перша умова виконується.
Друга умова також виконується. Справдi, згiдно з теоремами 3 i 7 CE+
n2
\subset E+
n2
i CE -
n2
=
= E -
n2
. За другою частиною твердження теореми 3 з урахуванням рiвностей P -
n2+1 = P -
n2
= P -
C
оператор C - = P -
C CP -
C = P -
n2+1CP -
n2
має неперервний обернений (C - ) - 1 =
= (P -
n2+1CP -
n2
) - 1 = (P -
n2
CP -
n2
) - 1. Тодi за теоремою 6 виконуються спiввiдношення (67)
i (68).
Аналогiчно обґрунтовується виконання третьої умови. Дiйсно, завдяки рiвностi D = An1 - 1,
iнварiантностi просторiв E+
D = E+
n1 - 1 i E -
D = E -
n1 - 1 вiдносно оператора D та оборотностi
оператора D - : E -
D \rightarrow E -
D (за теоремою 6) виконуються спiввiдношення DE+
n1 - 1 \subset E+
n1 - 1 i
DE -
n1 - 1 = E -
n1 - 1. За теоремою 3 DE+
n1 - 1 \subset E+
n1
, DE -
n1 - 1 = E -
n1
(тому DE+
n1 - 1 \subset E+
n1 - 1\cap E+
n1
)
i оператор D - = P -
n1 - 1DP -
n1 - 1 : E -
n1 - 1 \rightarrow E -
n1 - 1 має неперервний обернений (D - ) - 1 =
=
\bigl(
P -
n1 - 1DP -
n1 - 1
\bigr) - 1
. Тодi за теоремою 6 виконуються спiввiдношення (69) i (70).
Четверта i п’ята умови виконуються на пiдставi теореми 3.
Таким чином, e-дихотомiчнiсть рiвняння (10) гарантує виконання п’яти умов, що мiстяться
у формулюваннi теореми.
Достатнiсть. Нехай виконуються умови теореми.
Покажемо e-дихотомiчнiсть рiвняння (10).
Умова а) e-дихотомiчностi рiзницевого рiвняння (див. п. 1) для (10) виконується, оскiльки
завдяки (65) i (66)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\in \BbbZ
(\| P+
m\| L(E,E) + \| P -
m\| L(E,E)) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
m\in [n1 - 1,n2]\cap \BbbZ
(\| P+
m\| L(E,E) + \| P -
m\| L(E,E)) < +\infty .
Умова б) e-дихотомiчностi рiзницевого рiвняння для (10) також виконується. Справдi, зафiк-
суємо довiльнi m \in \BbbZ i вектор xm \in E+
m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
838 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Розглянемо задачу
yn = Bn - 1yn - 1, n \geq m+ 1, ym = xm (71)
i операторну функцiю S+
n,m : E+
m \rightarrow E+
n , що визначається рiвнiстю
S+
n,m =
\left\{
P+
m , якщо n = m,
(C+)n - mP+
m , якщо n2 \leq m \leq n,
An - 1 . . . AmP+
m , якщо n1 \leq m < n \leq n2,
(C+)n - n2An2 - 1 . . . AmP+
m , якщо n1 \leq m < n2 < n,
(D+)
| m - n|
P+
m , якщо m \leq n \leq n1 - 1,
An - 1 . . . An1 (D
+)
| m - n1+1|
P+
m , якщо m \leq n1 - 1 < n \leq n2,
(C+)n - n2An2 - 1 . . . An1 (D
+)
| m - n1+1|
P+
m , якщо m \leq n1 - 1, n2 < n,
(72)
де C+ = P+
C CP+
C = P+
n2
CP+
n2
i D+ = P+
DDP+
D = P+
n1 - 1DP+
n1 - 1.
З обмеженостi операторної функцiї Bn, спiввiдношень (67), (69) i леми 4 випливає, що для
деяких чисел N1 \geq 1 i q1 \in (0, 1) виконується спiввiдношення
\bigm\| \bigm\| S+
n,m
\bigm\| \bigm\|
L(Em,En)
\leq N1(q1)
n - m, n \geq m. (73)
Можна показати (через громiздкiсть ми цього не робимо), що на пiдставi (12) i першої,
другої, третьої та четвертої умов теореми розв’язок задачi (71) має вигляд
yn = S+
n,mxm, n \geq m.
Завдяки (73)
\| yn\| En \leq N1(q1)
n - m\| xm\| Em , n \geq m.
Отже, умова б) e-дихотомiчностi рiзницевого рiвняння для (10) виконується.
Аналогiчно показується, що умова в) e-дихотомiчностi рiзницевого рiвняння для (10) також
виконується. Справдi, зафiксуємо довiльнi m \in \BbbZ i вектор xm \in E -
m.
Розглянемо задачу
zn = Bn - 1zn - 1, n \leq m - 1, zm = xm (74)
i операторну функцiю S -
n,m : E -
m \rightarrow E -
n , що визначається рiвнiстю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 839
S -
n,m =
\left\{
P -
m , якщо n = m,\bigl(
(D - ) - 1
\bigr) | n - m|
P -
m , якщо n \leq m \leq n1 - 1,\Bigl(
An| E -
n
\Bigr) - 1
. . .
\Bigl(
Am - 1| E -
m - 1
\Bigr) - 1
P -
m , якщо n1 \leq n < m \leq n2,\bigl(
(D - ) - 1
\bigr) | n - n1|
\Bigl(
An1 | E -
n1
\Bigr) - 1
. . .
\Bigl(
Am - 1| E -
m - 1
\Bigr) - 1
P -
m , якщо n \leq n1 < m \leq n2,\bigl(
(C - ) - 1
\bigr) | m - n|
P -
m , якщо n2 \leq n \leq m,\Bigl(
An| E -
n
\Bigr) - 1
. . .
\Bigl(
An2 - 1| E -
n2 - 1
\Bigr) - 1 \bigl(
(C - ) - 1
\bigr) | m - n2| P -
m , якщо n1 \leq n < n2 \leq m,\bigl(
(D - ) - 1
\bigr) n - n1
\Bigl(
An1 | E -
n1
\Bigr) - 1
. . .
. . .
\Bigl(
An2 - 1| E -
n2 - 1
\Bigr) - 1 \bigl(
(C - ) - 1
\bigr) | m - n2| P -
m , якщо n < n1, n2 \leq m,
(75)
де C - = P -
C CP -
C = P -
n2
CP -
n2
i D - = P -
DDP -
D = P -
n1 - 1DP -
n1 - 1.
Iз спiввiдношень (68), (70) i леми 4 випливає, що для деяких чисел N2 \geq 1 i q2 \in (0, 1)
виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| S -
n,m
\bigm\| \bigm\|
L(Em,En)
\leq N2(q2)
| n - m| , n \leq m. (76)
Можна показати (через громiздкiсть ми цього також не робимо), що на пiдставi (12) i
першої, другої, третьої та п’ятої умов теореми розв’язок задачi (74) має вигляд
zn = S -
n,mxm, n \leq m.
Завдяки (76)
\| zn\| En \leq N2(q2)
| n - m| \| xm\| Em , n \leq m.
Отже, умова в) e-дихотомiчностi рiзницевого рiвняння для (10) також виконується.
Теорему 9 доведено.
Приклад 3. Розглянемо рiзницеве рiвняння (10) у випадку Bn =
\Biggl\{
D, якщо n < 0,
C, якщо n \geq 0,
де
C i D — лiнiйнi неперервнi оператори, що й у (12). Очевидно, що операторна функцiя Bn є
окремим випадком функцiї, що визначається рiвнiстю (12), i n1 = n2 = 0.
Iз теореми 9 випливає, що рiзницеве рiвняння (10) з такою операторною функцiєю е-дихо-
томiчне тодi i тiльки тодi, коли:
1) банаховий простiр E зображується у виглядi прямих сум замкнених пiдпросторiв E =
= E+
0 \oplus E -
0 = E+
- 1 \oplus E -
- 1 ;
2) CE+
0 \subset E+
0 , CE -
0 = E -
0 , оператор P -
0 CP -
0 : E -
0 \rightarrow E -
0 має неперервний обернений\bigl(
P -
0 CP -
0
\bigr) - 1
, r
\bigl(
P+
0 CP+
0
\bigr)
< 1 i r
\Bigl( \bigl(
P -
0 CP -
0
\bigr) - 1
\Bigr)
< 1;
3) DE+
- 1 \subset E+
- 1 \cap E+
0 , DE -
- 1 = E -
- 1 = E -
0 , оператор P -
- 1DP -
- 1 : E -
- 1 \rightarrow E -
- 1 має непе-
рервний обернений
\bigl(
P -
- 1DP -
- 1
\bigr) - 1
, r
\bigl(
P+
- 1DP+
- 1
\bigr)
< 1 i r
\Bigl( \bigl(
P -
- 1DP -
- 1
\bigr) - 1
\Bigr)
< 1.
Очевидно, що наведенi умови спрощуються, якщо E -
- 1 i E -
0 є нульовими просторами (тодi
E+
- 1 = E+
0 = E ) або E+
- 1 i E+
0 є нульовими просторами (тодi E -
- 1 = E -
0 = E ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
840 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
4. Зображення оператора \frakB - 1 . Завдяки теоремi 8 справджується таке твердження.
Теорема 10. Нехай оператор \frakB має неперервний обернений \frakB - 1. Тодi оператор \frakB - 1
зображується спiввiдношенням\bigl(
\frakB - 1\bff
\bigr)
n
=
\sum
m\in \BbbZ
Gn,mfm, n \in \BbbZ ,
де Gn,m визначається рiвностями (63), (72) i (75).
5. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Дослiдженню задач про умови iснуван-
ня обмежених розв’язкiв рiзницевих рiвнянь та про зображення i властивостi таких розв’язкiв
придiлено багато уваги (див., наприклад, [8 – 19]). Для нелiнiйних рiвнянь розв’язання цих задач
не є тривiальними навiть у випадку E = \BbbR , i лише в окремих випадках для них можна отримати
завершенi результати (див. [10, 12, 13]). У випадку лiнiйних неоднорiдних рiзницевих рiвнянь
задачi про обмеженi розв’язки тiсно пов’язанi з оборотнiстю операторiв, породжених цими
рiвняннями. У зв’язку з цим навiть у випадку загального лiнiйного неоднорiдного рiзницевого
рiвняння (2) з використанням експоненцiальної дихотомiї розв’язкiв вiдповiдного однорiдного
рiзницевого рiвняння (1) отримано необхiднi та достатнi умови iснування й єдиностi обмежених
розв’язкiв рiвняння для довiльної обмеженої неоднорiдної частини i знайдено загальний вигляд
обмежених розв’язкiв цього рiвняння [1].
Дослiдження рiзницевих рiвнянь (10) i (11) iз кусково-сталим операторним коефiцiєнтом Bn,
яким придiлено основну увагу в статтi, здiйснюється не простiше, нiж дослiдження вiдповiдних
рiвнянь (1) i (2), що пiдтверджується викладеними в пп. 2 i 3 результатами та статтею [1].
Леми 2, 3 та теореми 3, 4, 7 i 9 є новими.
Розглянуте в статтi дослiдження рiвнянь (10), (11) є завершеним i наводиться уперше.
Рiвняння (10) i (11) частково дослiджувались у [20] (див. також [21]). У [20] у випадку
скiнченновимiрного простору E для рiвняння (11) з одним та двома стрибками коефiцiєнта Bn
(перший випадок розглянуто у прикладi 3) наведено необхiднi та достатнi умови iснування i
єдиностi обмежених розв’язкiв та їхнi зображення, а у випадку нескiнченновимiрного простору
E для (11) з одним стрибком коефiцiєнта Bn — достатнi умови iснування i єдиностi обмежених
розв’язкiв.
e-Дихотомiчнi рiзницевi рiвняння з нелiпшицевими збуреннями розглядалися в [22], а e-
дихотомiчнi диференцiальнi та диференцiально-функцiональнi рiвняння — в [23 – 30].
Експоненцiальнiй дихотомiї на \BbbZ + i \BbbZ - розв’язкiв рiзницевих рiвнянь у скiнченновимiрних
i нескiнченновимiрних банахових просторах придiлено увагу в [31, 32].
Лiтература
1. В. E. Слюсарчук, Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем, Укр. мат. журн., 35, № 1,
109 – 115 (1983).
2. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, Москва (1968).
3. В. E. Слюсарчук, Разностные уравнения в функциональных пространствах, Дополнение II монографии Д. И.
Мартынюка „Лекции по качественной теории разностных уравнений”, Наук. думка, Киев (1972), с. 197 – 224.
4. В. E. Слюсарчук, Ограниченные и почти периодические решения разностных уравнений в банаховом про-
странстве, Аналитические методы исследования решений нелинейных дифференциальных уравнений, Ин-т
математики АН УССР, Киев (1975), с. 147 – 156.
5. В. E. Слюсарчук, Об ограниченных и почти периодических решениях неявных разностных уравнений в бана-
ховом пространстве, Докл. АН УССР, сер. А, № 6, 503 – 509 (1975).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ДИХОТОМIЧНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З КУСКОВО-СТАЛИМИ . . . 841
6. И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов, Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, Москва
(1960).
7. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы, Общая теория, т. I, Изд-во иностр. лит., Москва (1962).
8. S. V. Coffman, J. J. Schaffer, Dichotomies for linear difference equations, Math. Ann., 172, 139 – 166 (1967).
9. А. Халанай, Д. Векслер, Качественная теория импульсных систем, Мир, Москва (1971).
10. А. Н. Шарковский, Ю. Л. Майстренко, Е. Ю. Романенко, Разностные уравнения и их приложения, Наук. думка,
Киев (1986).
11. А. Я. Дороговцев, Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохас-
тических динамических систем, Вища шк., Киев (1992).
12. В. Ю. Слюсарчук, Оборотнiсть нелiнiйних рiзницевих операторiв, Вид-во Нац. ун-ту водн. госп-ва та приро-
докористування, Рiвне (2006).
13. В. Ю. Слюсарчук, Неявнi недиференцiйовнi функцiї в теорiї операторiв, Вид-во Нац. ун-ту водн. госп-ва та
природокористування, Рiвне (2008).
14. В. E. Слюсарчук, О представлении ограниченных решений линейных дискретных систем, Укр. мат. журн., 39,
№ 2, 210 – 215 (1987).
15. В. Ю. Слюсарчук, Зображення обмежених розв’язкiв лiнiйних дискретних рiвнянь, Нелiнiйнi коливання, 22,
№ 2, 262 – 279 (2019).
16. М. Ф. Городнiй, Ограниченные и периодические решения одного разностного уравнения и его стохастического
аналога в банаховом пространстве, Укр. мат. журн., 43, № 1, 42 – 46 (1991).
17. А. Г. Баскаков, Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов, Мат. заметки, 67, вып. 6,
816 – 827 (2000).
18. В. Ю. Слюсарчук, Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регуляр-
ними операторами, Нелiнiйнi коливання, 15, № 1, 122 – 126 (2012).
19. В. Ю. Слюсарчук, Майже перiодичнi та перiодичнi розв’язки рiзницевих рiвнянь у метричному просторi,
Нелiнiйнi коливання, 18, № 1, 112 – 119 (2015).
20. I. В. Гончар, Обмеженi та сумовнi розв’язки рiзницевого рiвняння зi стрибками операторного коефiцiєнта,
Дис. ... канд. фiз.-мат. наук, Київ (2018).
21. М. Ф. Городнiй, I. В. Гончар, Про обмеженi розв’язки рiзницевого рiвняння зi стрибком операторного коефi-
цiєнта, Нелiнiйнi коливання, 20, № 1, 66 – 73 (2017).
22. В. Ю. Слюсарчук, Експоненцiально дихотомiчнi рiзницевi рiвняння з нелiпшицевими збуреннями, Нелiнiйнi
коливання, 14, № 4, 536 – 555 (2011).
23. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве, Наука, Москва (1970).
24. М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов, Нелинейные почти периодические колебания, Наука,
Москва (1970).
25. Х. Л. Массера, Х. Х. Шеффер, Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства,
Мир, Москва (1970).
26. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, Москва (1970).
27. Д. Хенри, Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений, Мир, Москва (1985).
28. Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, В. Л. Кулик, Исследования дихотомии линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с помощью функций Ляпунова, Наук. думка, Киев (1990).
29. Ю. С. Колесов, Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти
периодических уравнений с последействием, Вестн. Ярослав. ун-та, вып. 5, 28 – 62 (1973).
30. В. Г. Курбатов, О дихотомии решений уравнений нейтрального типа, Исследования по устойчивости и теории
колебаний, Ярослав. гос. ун-т (1977), с. 156 – 166.
31. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and fredholm boundary-value problems (2th ed.),
De Gruyter, Berlin; Boston (2016).
32. О. О. Покутний, Розв’язки лiнiйного рiзницевого рiвняння у просторi Банаха, обмеженi на всiй цiлочисельнiй
осi, Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка, № 1, 182 – 188 (2006).
Одержано 29.08.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1052 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:28Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/18ff155f82a7d5bbac6e95bf983d1ef8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10522022-03-26T11:01:47Z Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients Експоненціально дихотомічні різницеві рівняння з кусково-сталими операторними коефіцієнтами Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. UDC 517.988.6 We obtain the necessary and sufficient conditions for the exponential dichotomy of solutions of linear difference equations with piecewise constant operator coefficients. Получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных разностных уравнений с кусочно-постоянными операторными коефициентами &nbsp; &nbsp; УДК 517.988.6 Отримано необхiднi i достатнi умови експоненцiальної дихотомiї розв’язкiв лiнiйних рiзницевих рiвнянь iз кусково-сталими операторними коефiцiєнтами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-06-16 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1052 10.37863/umzh.v72i6.1052 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 6 (2020); 822-841 Український математичний журнал; Том 72 № 6 (2020); 822-841 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1052/8718 Copyright (c) 2020 Василь Юхимович Слюсарчук |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients |
| title | Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients |
| title_alt | Експоненціально дихотомічні різницеві рівняння з кусково-сталими операторними коефіцієнтами |
| title_full | Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients |
| title_fullStr | Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients |
| title_full_unstemmed | Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients |
| title_short | Exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients |
| title_sort | exponentially dichotomous difference equations with piecewise constant operator coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1052 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu exponentiallydichotomousdifferenceequationswithpiecewiseconstantoperatorcoefficients AT slyusarchukvû exponentiallydichotomousdifferenceequationswithpiecewiseconstantoperatorcoefficients AT slûsarčukvû exponentiallydichotomousdifferenceequationswithpiecewiseconstantoperatorcoefficients AT slyusarchukvyu eksponencíalʹnodihotomíčníríznicevírívnânnâzkuskovostalimioperatornimikoefícíêntami AT slyusarchukvû eksponencíalʹnodihotomíčníríznicevírívnânnâzkuskovostalimioperatornimikoefícíêntami AT slûsarčukvû eksponencíalʹnodihotomíčníríznicevírívnânnâzkuskovostalimioperatornimikoefícíêntami |