Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices
UDC 517.926.7 Conditions for existence are determined and bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices are constructed.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1059 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507136542375936 |
|---|---|
| author | Boichuk, A. A. Elishevich, M. A. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. |
| author_facet | Boichuk, A. A. Elishevich, M. A. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. |
| author_sort | Boichuk, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:48Z |
| description | UDC 517.926.7
Conditions for existence are determined and bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices are constructed. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i6.1059 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i6.1059
УДК 517.926.7
А. А. Бойчук (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
М. А. Елишевич (Киев. нац. ун-т стр-ва и архитектуры)
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ*
Conditions for existence are determined and bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations
of the first order with rectangular matrices are constructed.
Визначено умови iснування та побудовано обмеженi розв’язки системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних
рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями.
Постановка задачи. В данной работе для системы
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t), t \in R, (1)
где A(t), B(t) — прямоугольные матрицы-функции размерности m\times n, f(t) — вектор-функция
размерности m, причем A(t), B(t) и f(t) действительные, ограниченные и имеющие ограни-
ченные производные всех порядков при t \in R, рассматривается задача нахождения условий
существования ее ограниченных решений и построения этих решений при их выполнении.
Основные определения. Будем использовать жордановы наборы векторов матрицы B(t)
относительно оператора
L(t) = A(t) - B(t)
d
dt
и сопряженной матрицы B\ast (t) относительно оператора
L\ast (t) = A\ast (t) +
d
dt
B\ast (t),
формально сопряженного к L(t).
Определение 1 [1, с. 54]. Элемент \varphi (1)(t) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B(t) имеет в точке t \in R конечную
жорданову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p, p \geq 1,
если существуют векторы \varphi (i)(t), i = 1, p, удовлетворяющие соотношениям
B(t)\varphi (1)(t) = 0,
B(t)\varphi (i)(t) = L(t)\varphi (i - 1)(t), i = 2, p,
L(t)\varphi (p)(t) /\in \mathrm{I}\mathrm{m}B(t).
* Пiдтримано науково-дослiдною та iнновацiйною програмою „Горизонт 2020” згiдно з грантовою угодою Марiї
Склодовської-Кюрi № 873071.
c\bigcirc А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ, 2020
758 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 759
Определение 2. Элемент \~\varphi (1)(t) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B(t) имеет в точке t \in R циклическую жорда-
нову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины \~p, \~p \geq 1, если
существуют векторы \~\varphi (i)(t), i = 1, \~p, удовлетворяющие соотношениям
B(t) \~\varphi (1)(t) = 0,
B(t) \~\varphi (i)(t) = L(t) \~\varphi (i - 1)(t), i = 2, \~p,
L(t) \~\varphi (\~p)(t) = 0.
Определение 3. Элемент \^\varphi (1)(t) имеет в точке t \in R вспомогательную цепочку векторов
матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины \^p, \^p \geq 1, если существуют векторы
\^\varphi (i)(t), i = 1, \^p, удовлетворяющие соотношениям
B(t) \^\varphi (i)(t) = L(t) \^\varphi (i - 1)(t), i = 2, \^p,
B(t) \^\varphi (1)(t) /\in \mathrm{I}\mathrm{m}L(t),
L(t) \^\varphi (\^p)(t) /\in \mathrm{I}\mathrm{m}B(t).
Аналогично определим цепочки векторов на R. В дальнейшем будем предполагать, что до-
казываемые утверждения выполняются на R, если не оговорено иное. Свойства этих цепочек
на конечном отрезке числовой оси изучены в [1, с. 54 – 57] (квадратные матрицы, конечные
цепочки) и в [2, 3] (прямоугольные матрицы, конечные, циклические и вспомогательные це-
почки).
В [4, с. 243 – 252] для системы (1) рассмотрен случай, когда B(t) — единичная матрица,
A(t) — квадратная матрица. В данной работе рассматривается случай, когда A(t) и B(t) —
прямоугольные матрицы и могут существовать конечные, циклические и вспомогательные це-
почки, но \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}B(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}L(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} при всех t \in R (вследствие чего количества и
длины указанных цепочек постоянны) и эти ранги не меняются при t\rightarrow - \infty и t\rightarrow \infty .
Определение 4. Линейный замкнутый нормально разрешимый оператор U является:
n-нормальным [5, с. 27], если \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U <\infty ,
d-нормальным [5, с. 31], если \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U\ast <\infty ,
нетеровым [6, с. 219], если \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U <\infty , \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U\ast <\infty ,
фредгольмовым [6, с. 219], если \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U <\infty , \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U\ast <\infty , \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U\ast .
Обозначим через 0i нулевой вектор размерности i, через ci произвольный постоянный
вектор размерности i, c0 = 01.
Определение 5 [7, с. 59]. Система (1) имеет конечномерное пространство решений раз-
мерности l, 0 \leq l \leq n, если существует такая матрица-функция Xl(t) размерности n \times l
с линейно независимыми столбцами, что общее решение соответствующей (1) однородной
системы имеет вид x(t) = Xl(t)cl и других решений эта система не имеет. В противном
случае пространство решений бесконечномерное.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
760 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Определение 6 [8, с. 236]. Система
dy
dt
= C(t)y (2)
с фундаментальной матрицей Y (t), где C(t) — квадратная матрица-функция порядка l,
допускает экспоненциальную дихотомию решений на полуосях R - = ( - \infty ; 0] и R+ = [0;\infty ),
если существуют постоянные квадратные матрицы-проекторы Pi (P
2
i = Pi) порядка l и
скалярные постоянные Ki \geq 1, \alpha i > 0, i = 1, 2, такие, что выполняются неравенства\bigm\| \bigm\| Y (t)P1Y
- 1 (s)
\bigm\| \bigm\| \leq K1e
- \alpha 1(t - s), s \leq t \leq 0, (3)\bigm\| \bigm\| Y (t)(El - P1)Y
- 1 (s)
\bigm\| \bigm\| \leq K1e
- \alpha 1(s - t), t \leq s \leq 0, (4)\bigm\| \bigm\| Y (t)P2Y
- 1 (s)
\bigm\| \bigm\| \leq K2e
- \alpha 2(t - s), 0 \leq s \leq t, (5)\bigm\| \bigm\| Y (t)(El - P2)Y
- 1 (s)
\bigm\| \bigm\| \leq K2e
- \alpha 2(s - t), 0 \leq t \leq s. (6)
Для системы (2) и других систем, допускающих экспоненциальную дихотомию решений на
полуосях R - и R+, которые рассматриваются далее, введем следующие обозначения дополни-
тельно к тем, что были введены в определении 5: U = P1 + P2 - El — постоянная квадратная
матрица порядка l, \varkappa = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U\ast , 0 \leq \varkappa \leq l, F и G — постоянные прямоуголь-
ные матрицы размерности l\times \varkappa , составленные из базисов \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U и \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}U\ast соответственно. Если
\varkappa = 0, то положим F = G = 0l.
Аналогично [4, с. 244] обозначим через BC\infty (R) множество всех скалярных, векторных,
матричных функций, принадлежащих C\infty (R), ограниченных и имеющих ограниченные про-
изводные всех порядков на R. Таким образом, A(t), B(t) и f(t) принадлежат BC\infty (R).
Полученный результат. Сначала рассмотрим систему
dy
dt
= C(t)y + g(t), (7)
где g(t) \in BC\infty (R) — вектор-функция размерности l, остальные обозначения те же, что и у
соответствующей ей однородной системы (2).
Теорема 1. Если система (2) допускает экспоненциальную дихотомию решений на полу-
осях R - и R+, то система (7) имеет принадлежащие BC\infty (R) решения в том и только том
случае, когда
\infty \int
- \infty
G\ast P1Y
- 1(t)g(t)dt = 0. (8)
Эти решения имеют вид
y(t) = Y (t)
\bigl[
P2Fc\varkappa + \~y(t)
\bigr]
, (9)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 761
\~y(t) =
\left\{
\int t
- \infty
P1Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau -
\int 0
- t
(El - P1)Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau +
+(El - P1)U
-
\biggl[ \int 0
- \infty
P1Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau +
\int \infty
0
(El - P2)Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau
\biggr]
, t \leq 0,
\int t
0
P2Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau -
\int \infty
t
(El - P2)Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau +
+P2U
-
\biggl[ \int 0
- \infty
P1Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau +
\int \infty
0
(El - P2)Y
- 1(\tau )g(\tau )d\tau
\biggr]
, t \geq 0,
(10)
— вектор-функция размерности l.
Доказательство. Поскольку система (2) допускает экспоненциальную дихотомию реше-
ний на полуосях R - и R+, то согласно [4, с. 243 – 252] для существования ограниченных
решений системы (7) необходимо и достаточно выполнения условия (8). При его выполнении
эти решения имеют вид (9), (10). Согласно [7, с. 60] y(t) принадлежит C\infty (R). Ограниченность
производных всех порядков y(t) доказывается методом математической индукции.
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Согласно [4, с. 248] в условии (8) матрицу P1 можно заменить матрицей
(El - P2). Аналогично в (9) матрицу P2 можно заменить матрицей (El - P1).
Рассмотрим матрицы A(t), B(t) и векторы, введенные в определениях 1 – 3.
Пусть \rho = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}B(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, k = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B(t) = n - \rho , l = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B\ast (t) = m - \rho , \varphi i(t),
i = 1, k, \psi i(t), i = 1, l, zi(t), i = 1, l, \gamma i(t), i = 1, k, — базисы в \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B(t), \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B\ast (t), \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B(t)
и \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B\ast (t) соответственно.
Лемма 1. Векторы \varphi i(t), i = 1, k, можно выбрать так, чтобы они принадлежали
BC\infty (R).
Доказательство. Используем методы работы [9]. Представим матрицу B(t) в виде
B(t) =
\Biggl[
B11(t) B12(t)
B21(t) B22(t)
\Biggr]
,
где B11(t), B12(t), B21(t) и B22(t) — матрицы размерности \rho \times \rho , \rho \times k, l \times \rho и l \times k
соответственно. Если \rho > 0, то, не умаляя общности, можно считать, что \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B11(t) \not \equiv 0.
Построим матрицу P (t) \in BC\infty (R) размерности n\times k:
P (t) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B11(t)
\Biggl[
B - 1
11 (t)B12(t)
- Ek
\Biggr]
. (11)
Согласно [10] B(t)P (t) = 0 при \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B11(t) \not = 0. Поскольку \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B11(t) \not \equiv 0, то существует не
более чем счетное множество нулей функции \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B11(t) при t \in R. Но так как B(t), P (t) \in
\in BC\infty (R), то B(t)P (t) \equiv 0.
Из (11) следует, что \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}P (t) < k может быть только при \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B11(t) = 0. Следовательно,
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}P (t) = k, за исключением не более чем счетного множества точек ti \in R, i = 1, 2, . . . .
Пусть ui, i = 1, r, — базис в \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}P (t1). Дополним его векторами ui, i = r + 1, k, до полного
базиса. Построим матрицу Q(t) \in BC\infty (R):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
762 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Q(t) =
\Biggl[
P (t)u1\bigm\| \bigm\| P (t)u1\bigm\| \bigm\| , . . . , P (t)uk\bigm\| \bigm\| P (t)uk\bigm\| \bigm\|
\Biggr]
,
B(t)Q(t) \equiv 0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q(t) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}P (t) \forall t \not = ti, i = 1, 2, . . . . Заменим матрицу P (t) матрицей
Q(t). Если \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q(t1) < k, то выполняем с ней аналогичные преобразования, и т. д. Этот
процесс конечный, поскольку \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q(t1) > \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}P (t1).
Выполним такие же преобразования в точках ti, i = 2, 3, . . . . Если 0 является предель-
ной точкой функции \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B11(t) при t \rightarrow - \infty , то выберем максимальное количество линейно
независимых векторов ui, i = 1, r, таких, что вектор 0n является предельной точкой вектор-
функций P (t1)ui, i = 1, r, при t \rightarrow - \infty , и выполним аналогичные преобразования. При
необходимости такие же преобразования выполним и при t \rightarrow \infty . В итоге получим матрицу,
столбцы которой можно взять за векторы \varphi i(t), i = 1, k.
Лемма 1 доказана.
Следствие 1. Векторы \psi i(t), i = 1, l, можно выбрать так, чтобы они принадлежали
BC\infty (R).
Не умаляя общности, будем полагать, что
\bigm\| \bigm\| \varphi i(t)
\bigm\| \bigm\| = 1, i = 1, k,
\bigm\| \bigm\| \psi i(t)
\bigm\| \bigm\| = 1, i = 1, l. Тогда
векторы zi(t), i = 1, l, \gamma i(t), i = 1, k, можно выбрать так, чтобы они принадлежали BC\infty (R)
и выполнялись равенства \bigl(
\varphi i(t), \gamma j(t)
\bigr)
= \delta ij , i, j = 1, k, (12)\bigl(
zi(t), \psi j(t)
\bigr)
= \delta ij , i, j = 1, l. (13)
Лемма 2. Обобщенно-обратную матрицу B - (t) можно построить так, чтобы B - (t)
принадлежала BC\infty (R) и выполнялись равенства
B - (t)zi(t) = 0, i = 1, l, (14)\bigl[
B - (t)
\bigr] \ast
\gamma i(t) = 0, i = 1, k, (15)\bigl[
B\ast (t)
\bigr] -
=
\bigl[
B - (t)
\bigr] \ast
. (16)
Доказательство. Дополним векторы \varphi i(t), i = 1, k, и \psi i(t), i = 1, l, векторами qi(t) \in
\in BC\infty (R), i = 1, \rho , и pi(t) \in BC\infty (R), i = 1, \rho , соответственно до полных базисов так,
чтобы выполнялись равенства\bigl(
B(t)qi(t), pj(t)
\bigr)
= \delta ij , i, j = 1, \rho .
Построим прямоугольные матрицы, принадлежащие BC\infty (R):
\Phi (t) =
\bigl[
\varphi 1(t), . . . , \varphi k(t)
\bigr]
, \Psi (t) =
\bigl[
\psi 1(t), . . . , \psi l(t)
\bigr]
,
Z(t) =
\bigl[
z1(t), . . . , zl(t)
\bigr]
, \Gamma (t) =
\bigl[
\gamma 1(t), . . . , \gamma k(t)
\bigr]
, (17)
P (t) =
\bigl[
p1(t), . . . , p\rho (t)
\bigr]
, Q(t) =
\bigl[
q1(t), . . . , q\rho (t)
\bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 763
Тогда согласно [2]
B - (t) =
\bigl[
En - \Phi (t)\Gamma \ast (t)
\bigr]
Q(t)P \ast (t)
\bigl[
Em - Z(t)\Psi \ast (t)
\bigr]
(18)
и принадлежит BC\infty (R), равенства (14) – (16) выполняются.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если элемент \varphi (1)(t) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B(t) имеет конечную или циклическую жордано-
ву цепочку матрицы B(t) относительно оператора L(t), состоящую из векторов \varphi (i)(t) \in
\in BC\infty (R), i = 1, p, то элемент \=\varphi (1)(t) = a(t)\varphi (1)(t), где a(t) \in BC\infty (R), a(t) \not = 0, —
скалярная функция, имеет аналогичную цепочку векторов.
Доказательство. Искомая цепочка состоит из векторов
\=\varphi (i)(t) =
i\sum
j=1
Ci - j
p - j
di - ja(t)
dti - j
\varphi (j)(t), \=\varphi (i)(t) \in BC\infty (R), i = 1, p.
Для них выполняются равенства из определений 1 или 2 соответственно.
Лемма 3 доказана.
Построим прямоугольные матрицы
\Phi
(p)
ij (t) =
\bigl[
B - (t)L(t)
\bigr] p - 1\bigl[
\varphi i(t), . . . , \varphi j(t)
\bigr]
, i \leq j, i, j = 1, k, p = 1, 2, . . . . (19)
Лемма 4. Конечные и циклические жордановы цепочки матрицы B(t) относительно опе-
ратора L(t) можно построить так, чтобы составляющие их векторы принадлежали BC\infty (R).
Доказательство. Если \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}L(t)\Phi
(1)
1k (t) < k, то существуют циклические цепочки дли-
ны 1, состоящие из векторов \u \varphi i(t), i = 1, \u r. Тогда \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}L(t)\Phi
(1)
1k (t) = k - \u r = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} . Согласно
лемме 1 существует базис \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L(t)\Phi
(1)
1k (t), состоящий из векторов \u \xi i(t) \in BC\infty (R), i = 1, \u r.
Согласно [2] и лемме 3 \u \varphi i(t) = \Phi
(1)
1k (t)
\u \xi i(t) \in BC\infty (R), i = 1, \u r.
Положим \varphi k - \u r+i(t) = \u \varphi i(t), i = 1, \u r, а векторы \varphi i(t) \in BC\infty (R), i = 1, k - \u r, определим
заново и изменим матрицы (17) – (19).
Для того чтобы ненулевой вектор \varphi (t), являющийся линейной комбинацией векторов
\varphi i(t), i = 1, k - \u r, имел цепочку длины больше 1, необходимо и достаточно выполнения
равенства \Psi \ast (t)L(t)\varphi (t) = 0. Поскольку r1 = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Psi \ast (t)L(t)\Phi
(1)
1,k - \u r(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, то согласно
лемме 1 существует базис \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\Psi \ast (t)L(t)\Phi
(1)
1,k - \u r(t), состоящий из векторов \xi 1i(t) \in BC\infty (R),
i = 1, k - \u r - r1.
Положим \varphi r1+i(t) = \varphi
(1)
r1+i(t) = \Phi
(1)
1,k - \u r(t)\xi 1i(t) \in BC\infty (R), i = 1, k - \u r - r1, а векторы
\varphi i(t) = \varphi
(1)
i (t) \in BC\infty (R), i = 1, r1, из которых состоят конечные цепочки длины 1, определим
заново.
Из постоянства рангов матрицы B(t) и оператора L(t) следует, что векторы L(t)\varphi
(1)
i (t),
i = 1, r1, линейно независимы при t \rightarrow \pm \infty , так что положим zi(t) = L(t)\varphi
(1)
i (t), i = 1, r1,
а векторы \psi i(t), i = 1, l, zi(t), i = r1 + 1, l, \gamma i(t), i = 1, k, определим заново таким образом,
чтобы выполнялись равенства (12), (13), и изменим матрицы (17) – (19).
Положим \varphi
(2)
i (t) = B - (t)L(t)\varphi
(1)
i (t) \in BC\infty (R), i = r1 + 1, k - \u r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
764 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Далее аналогично: количество циклических цепочек длины 2 равно \~r2 = k - \u r - r1 -
- \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}L(t)\Phi
(2)
r1+1,k - \u r(t), они состоят из векторов \~\varphi
(1)
i (t) = \Phi
(1)
r1+1,k - \u r(t)
\~\xi 2i(t) \in BC\infty (R),
\~\varphi
(2)
i (t) = \Phi
(1)
r1+1,k - \u r(t)
d
dt
\~\xi 2i(t) +\Phi
(2)
r1+1,k - \u r(t)
\~\xi 2i(t) \in BC\infty (R), i = 1, \~r2, где \~\xi 2i(t) \in BC\infty (R),
i = 1, \~r2, — базис \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L(t)\Phi
(2)
r1+1,k - \u r(t), и т. д.
Лемма 4 доказана.
Следствие 2. Циклические жордановы цепочки матрицы B\ast (t) относительно оператора
L\ast (t) можно построить так, чтобы составляющие их векторы принадлежали BC\infty (R).
Пусть мы построили следующие жордановы цепочки:
матрицы B(t) относительно оператора L(t):
r конечных, r \geq 0, длин si, si > 0, i = 1, r, состоящих из векторов \varphi
(j)
i (t), j = 1, si,
i = 1, r;
\~r циклических, \~r \geq 0, длин (\~si + 1) , \~si > 0, i = 1, \~r, состоящих из векторов \~\varphi
(j)
i (t),
j = 1, \~si + 1, i = 1, \~r;
\u r циклических, \u r \geq 0, длины 1, состоящих из векторов \u \varphi i(t), i = 1, \u r;
матрицы B\ast (t) относительно оператора L\ast (t):
\^r циклических, \^r \geq 0, длин (\^si + 1) , \^si > 0, i = 1, \^r, состоящих из векторов \~\psi
(j)
i (t),
j = 1, \^si + 1, i = 1, \^r;
\v r циклических, \v r \geq 0, длины 1, состоящих из векторов \u \psi i(t), i = 1, \v r.
В процессе их построения мы получили, что в (12), (13) k = r + \~r + \u r, \varphi i(t) = \varphi
(1)
i (t),
i = 1, r, \varphi r+i(t) = \~\varphi
(1)
i (t), i = 1, \~r, \varphi r+\~r+i(t) = \u \varphi i(t), i = 1, \u r, zi(t) = L(t)\varphi
(si)
i (t), i = 1, r. С
учетом этого изменим матрицы (17), (18). Тогда
\varphi
(j)
i (t) =
\bigl[
B - (t)L(t)
\bigr] j - 1
\varphi
(1)
i (t), j = 2, si, i = 1, r,
\~\varphi
(j)
i (t) =
\bigl[
B - (t)L(t)
\bigr] j - 1
\~\varphi
(1)
i (t), j = 2, \~si + 1, i = 1, \~r,
\~\psi
(j)
i (t) =
\bigl\{
[B\ast (t)] - L\ast (t)
\bigr\} j - 1 \~\psi
(1)
i (t), j = 2, \^si + 1, i = 1, \^r.
Лемма 5. Существуют r конечных жордановых цепочек принадлежащих BC\infty (R) век-
торов матрицы B\ast (t) относительно оператора L\ast (t) длин si, i = 1, r.
Доказательство. Согласно [2] существуют векторы \psi
(1)
i (t) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B(t), i = 1, r, такие, что\Bigl(
L(t)\varphi
(si)
i (t), \psi
(1)
j (t)
\Bigr)
= \delta ij , i, j = 1, r.
Следовательно, их можно выбрать так, что \psi (1)
i (t), i = 1, r, принадлежат BC\infty (R). Искомые
цепочки состоят из векторов
\psi
(j)
i (t) =
\Bigl\{ \bigl[
B\ast (t)
\bigr] -
L\ast (t)
\Bigr\} j - 1
\psi
(1)
i (t) \in BC\infty (R), j = 2, si, i = 1, r.
Лемма 5 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 765
Аналогично [2] доказывается, что существуют вспомогательные цепочки матрицы B(t) от-
носительно оператора L(t), состоящие из векторов \^\varphi
(1)
i (t) \in BC\infty (R), j = 1, \^si, i = 1, \^r, вспо-
могательные цепочки матрицы B\ast (t) относительно оператора L\ast (t), состоящие из векторов
\^\psi
(j)
i (t) \in BC\infty (R), j = 1, \~si, i = 1, \~r, векторы \v \varphi i(t) /\in \mathrm{I}\mathrm{m}B(t)
\bigcup
\mathrm{I}\mathrm{m}L(t), \v \varphi i(t) \in BC\infty (R),
i = 1, \v r, векторы \v \psi i(t) /\in \mathrm{I}\mathrm{m}B\ast (t)
\bigcup
\mathrm{I}\mathrm{m}L\ast (t), \v \psi i(t) \in BC\infty (R), i = 1, \u r, такие, что элементы
каждого из следующих множеств линейно независимы:
1) \u \varphi i(t), i = 1, \u r, \~\varphi
(j)
i (t), j = 1, \~si + 1, i = 1, \~r, \varphi
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, \^\varphi
(j)
i (t), j = 1, \^si,
i = 1, \^r;
2) \v \varphi i(t), i = 1, \v r, L(t) \~\varphi
(j)
i (t), j = 1, \~si, i = 1, \~r, L(t)\varphi
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, B(t) \^\varphi
(1)
i (t),
i = 1, \^r, L(t) \^\varphi
(j)
i (t), j = 1, \^si, i = 1, \^r;
3) \u \psi i(t), i = 1, \v r, \~\psi
(j)
i (t), j = 1, \^si + 1, i = 1, \^r, \psi
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, \^\psi
(j)
i (t), j = 1, \~si,
i = 1, \~r;
4) \v \psi i(t), i = 1, \u r, L\ast (t) \~\psi
(j)
i (t), j = 1, \^si, i = 1, \^r, L\ast (t)\psi
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
B\ast (t) \^\psi
(1)
i (t), i = 1, \~r, L\ast (t) \^\psi
(j)
i (t), j = 1, \~si, i = 1, \~r.
При этом в (12), (13) l = r + \^r + \v r, \rho = n - r - \~r - \u r = m - r - \^r - \v r, \psi i(t) = \psi
(1)
i (t),
i = 1, r, \psi r+i(t) = \~\psi
(1)
i (t), i = 1, \^r, \psi r+\^r+i(t) = \u \psi i(t), i = 1, \v r, \gamma i(t) = L\ast (t)\psi
(si)
i (t), i = 1, r,
zr+i(t) = L(t) \^\varphi
(\^si)
i (t), i = 1, \^r, \gamma r+i(t) = L\ast (t) \^\psi
(\~si)
i (t), i = 1, \~r, zr+\^r+i(t) = \v \varphi i(t), i = 1, \v r,
\gamma r+\~r+i(t) = \v \psi i(t), i = 1, \u r. Отсюда с учетом (14), (15) следует, что пары множеств 1 и 4, 2 и 3
соответственно представляют собой биортогональные системы:\bigl(
\u \varphi i(t), \v \psi k(t)
\bigr)
= \delta ik, i, k = 1, \u r,\Bigl(
\v \varphi i(t), \u \psi k(t)
\Bigr)
= \delta ik, i, k = 1, \v r,
\Bigl(
\~\varphi
(j)
i (t), L\ast (t) \^\psi
(l)
k (t)
\Bigr)
=
\Bigl(
L(t) \~\varphi
(j)
i (t), \^\psi
(l)
k (t)
\Bigr)
= \delta ik\delta l+j,\~si+1, j, l = 1, \~si, i, k = 1, \~r,
\Bigl(
\~\varphi
(\~si+1)
i (t), B\ast (t) \^\psi
(1)
k (t)
\Bigr)
= \delta ik, i, k = 1, \~r,
\Bigl(
\^\varphi
(j)
i (t), L\ast (t) \~\psi
(l)
k (t)
\Bigr)
=
\Bigl(
L(t) \^\varphi
(j)
i (t), \~\psi
(l)
k (t)
\Bigr)
= \delta ik\delta l+j,\^si+1, j, l = 1, \^si, i, k = 1, \^r,
\Bigl(
B(t) \^\varphi
(1)
i (t), \~\psi
(\^si+1)
k (t)
\Bigr)
= \delta ik, i, k = 1, \^r,
\Bigl(
\varphi
(j)
i (t), L\ast (t)\psi
(l)
k (t)
\Bigr)
=
\Bigl(
L(t)\varphi
(j)
i (t), \psi
(l)
k (t)
\Bigr)
= \delta ik\delta l+j,si+1, j, l = 1, si, i, k = 1, r;
все остальные скалярные произведения векторов из соответствующих пар множеств равны
нулю.
Обозначим
s =
r\sum
i=1
si, \~s =
\~r\sum
i=1
\~si, \^s =
\^r\sum
i=1
\^si, \alpha = n - \u r - \~r - \~s - s - \^s = m - \v r - \^r - \^s - s - \~s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
766 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Элементы множеств 1 и 3 дополним векторами qi(t) \in BC\infty (R), i = 1, \alpha , и pi(t) \in
\in BC\infty (R), i = 1, \alpha , до полных базисов так, чтобы они были ортогональны всем элементам
множеств 4 и 2 соответственно и выполнялись равенства\bigl(
B(t)qi(t), pj(t)
\bigr)
= \delta ij , i, j = 1, \alpha .
Это возможно согласно [3]. Элементы каждого из следующих множеств линейно независимы:
5) qi(t), i = 1, \alpha , \u \varphi i(t), i = 1, \u r, \~\varphi
(j)
i (t), j = 1, \~si + 1, i = 1, \~r, \varphi
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
\^\varphi
(j)
i (t), j = 1, \^si, i = 1, \^r;
6) B(t)qi(t), i = 1, \alpha , \v \varphi i(t), i = 1, \v r, L(t) \~\varphi
(j)
i (t), j = 1, \~si, i = 1, \~r, L(t)\varphi
(j)
i (t), j = 1, si,
i = 1, r, B(t) \^\varphi
(1)
i (t), i = 1, \^r, L(t) \^\varphi
(j)
i (t), j = 1, \^si, i = 1, \^r;
7) pi(t), i = 1, \alpha , \u \psi i(t), i = 1, \v r, \~\psi
(j)
i (t), j = 1, \^si + 1, i = 1, \^r, \psi
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
\^\psi
(j)
i (t), j = 1, \~si, i = 1, \~r;
8) B\ast (t)pi(t), i = 1, \alpha , \v \psi i(t), i = 1, \u r, L\ast (t) \~\psi
(j)
i (t), j = 1, \^si, i = 1, \^r, L\ast (t)\psi
(j)
i (t),
j = 1, si, i = 1, r, B\ast (t) \^\psi
(1)
i (t), i = 1, \~r, L\ast (t) \^\psi
(j)
i (t), j = 1, \~si, i = 1, \~r.
Пары множеств 5 и 8, 6 и 7 соответственно представляют собой биортогональные системы.
Из элементов множеств 5 и 7 составим принадлежащие BC\infty (R) прямоугольные матрицы:
Q0(t) =
\bigl[
q1(t), . . . , q\alpha (t)
\bigr]
,
\Phi i(t) =
\Bigl[
\varphi
(1)
i (t), . . . , \varphi
(si)
i (t)
\Bigr]
, i = 1, r,
\~\Phi ij(t) =
\Bigl[
\~\varphi
(j)
i (t), . . . , \~\varphi
(1)
i (t)
\Bigr]
, j = \~si, \~si + 1, i = 1, \~r,
\^\Phi i(t) =
\Bigl[
\^\varphi
(1)
i (t), . . . , \^\varphi
(\^si)
i (t)
\Bigr]
, i = 1, \^r,
Q(t) =
\Bigl[
Q0(t),\Phi 1(t), . . . ,\Phi r(t), \~\Phi 1,\~s1+1(t), . . . , \~\Phi \~r,\~s\~r+1(t), \^\Phi 1(t), . . . , \^\Phi \^r(t), \u \varphi 1(t), . . . , \u \varphi \u r(t)
\Bigr]
,
(20)
P0(t) =
\bigl[
p1(t), . . . , p\alpha (t)
\bigr]
,
\Psi i(t) =
\Bigl[
\psi
(si)
i (t), . . . , \psi
(1)
i (t)
\Bigr]
, i = 1, r,
\~\Psi ij(t) =
\Bigl[
\~\psi
(j)
i (t), . . . , \~\psi
(1)
i (t)
\Bigr]
, j = \^si, \^si + 1, i = 1, \^r,
\^\Psi i(t) =
\Bigl[
\^\psi
(1)
i (t), . . . , \^\psi
(\~si)
i (t)
\Bigr]
, i = 1, \~r,
P (t) =
\Bigl[
P0(t),\Psi 1(t), . . . ,\Psi r(t), \^\Psi 1(t), . . . , \^\Psi \~r(t), \~\Psi 1,\^s1+1(t), . . . , \~\Psi \^r,\^s\^r+1(t), \u \psi 1(t), . . . , \u \psi \v r(t)
\Bigr] \ast
.
(21)
Здесь P (t) и Q(t) — квадратные невырожденные матрицы порядков m и n соответственно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 767
Обозначим через Ji = Isi , i = 1, r, нильпотентный жорданов блок размерности si, \~Ji =
= [E\~si , 0\~si ],
\~Ki = [0\~si , E\~si ], i = 1, \~r, \^Ji = [E\^si , 0\^si ]
T , \^Ki = [0\^si , E\^si ]
T , i = 1, \^r.
Перейдем непосредственно к системе (1). Согласно [3] для ее разрешимости необходимо и
достаточно выполнения условий
\^si\sum
j=0
dj
dtj
\Bigl(
f(t), \~\psi
(\^si - j+1)
i (t)
\Bigr)
= 0, i = 1, \^r, (22)
\Bigl(
f(t), \u \psi i(t)
\Bigr)
= 0, i = 1, \v r. (23)
При их выполнении ее общее решение имеет вид
x(t) = Q0(t)X(t)
\left[ c\alpha +
t\int
0
X - 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau
\right] -
r\sum
i=1
\Phi i(t)
si - 1\sum
j=0
Ijsi
dj
dtj
\bigl[
\Psi \ast
i (t)f(t)
\bigr]
-
-
\~r\sum
i=1
\~\Phi i\~si(t)
\~si - 1\sum
j=0
\bigl(
IT\~si
\bigr) j dj
dtj
\Bigl[
\^\Psi \ast
i (t)f(t)
\Bigr]
-
\^r\sum
i=1
\^\Phi i(t)
\^si - 1\sum
j=0
Ij\^si
dj
dtj
\Bigl[
\~\Psi \ast
i\^si
(t)f(t)
\Bigr]
+
+
\~r\sum
i=1
\~si\sum
j=0
\biggl[
dj
dtj
\~\beta i(t)
\biggr]
\~\varphi
(\~si - j+1)
i (t) +
\u r\sum
i=1
\u \beta i(t) \u \varphi i(t),
где X(t) — фундаментальная матрица однородной системы
dy0
dt
= P \ast
0 (t)
\bigl[
L(t)Q0(t)
\bigr]
y0, (24)
\~\beta i(t) \in C\infty (R), i = 1, \~r, \u \beta i(t) \in C\infty (R), i = 1, \u r, — произвольные скалярные функции.
Теорема 2. Пусть A(t), B(t) и f(t) принадлежат BC\infty (R), для любого t \in R сущест-
вуют жордановы цепочки векторов
матрицы B(t) относительно оператора L(t):
r конечных, r \geq 0, длин si, si > 0, i = 1, r;
\~r циклических, \~r \geq 0, длин (\~si + 1), \~si > 0, i = 1, \~r;
\u r циклических, \u r \geq 0, длины 1;
матрицы B\ast (t) относительно оператора L\ast (t):
\^r циклических, \^r \geq 0, длин (\^si + 1), \^si > 0, i = 1, \^r;
\v r циклических, \v r \geq 0, длины 1,
система (24) допускает экспоненциальную дихотомию решений на полуосях R - и R+. Тогда
система (1) имеет принадлежащее BC\infty (R) решение в том и только том случае, когда
выполняются равенства (22), (23),
\infty \int
- \infty
G\ast P1X
- 1(t)P \ast
0 (t)f(t)dt = 0. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
768 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Эти решения имеют вид
x(t) = Q0(t)X(t)
\bigl[
P2Fc\varkappa + \~x(t)
\bigr]
-
r\sum
i=1
\Phi i(t)
si - 1\sum
j=0
Ijsi
dj
dtj
\bigl[
\Psi \ast
i (t)f(t)
\bigr]
-
-
\~r\sum
i=1
\~\Phi i(t)
\~si - 1\sum
j=0
\bigl(
IT\~si
\bigr) j dj
dtj
\Bigl[
\^\Psi \ast
i (t)f(t)
\Bigr]
-
\^r\sum
i=1
\^\Phi i(t)
\^si - 1\sum
j=0
Ij\^si
dj
dtj
\Bigl[
\~\Psi \ast
i (t)f(t)
\Bigr]
+
+
\~r\sum
i=1
\~si\sum
j=0
\biggl[
dj
dtj
\~\beta i(t)
\biggr]
\~\varphi
(\~si - j+1)
i (t) +
\u r\sum
i=1
\u \beta i(t) \u \varphi i(t), (26)
где
\~x(t) =
\left\{
\int t
- \infty
P1X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau -
\int 0
t
(E\alpha - P1)X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau +
+(E\alpha - P1)U
-
\biggl[ \int 0
- \infty
P1X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau +
+
\int \infty
0
(E\alpha - P2)X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau
\biggr]
, t \leq 0,\int t
0
P2X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau -
\int \infty
t
(E\alpha - P2)X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau +
+P2U
-
\biggl[ \int
0
- \infty P1X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau +
+
\int \infty
0
(E\alpha - P2)X
- 1(\tau )P \ast
0 (\tau )f(\tau )d\tau
\biggr]
, t \geq 0,
(27)
— вектор-функция размерности \alpha , \~\beta i(t) \in BC\infty (R), i = 1, \~r, \u \beta i(t) \in BC\infty (R), i = 1, \u r.
Доказательство. Выполним в системе (1) замену
x(t) = Q(t)y(t) (28)
с матрицей Q(t) (20) и умножим слева на матрицу P (t) (21). Тогда, представив вектор y(t) в
виде
y(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl[
y0(t), y1(t), . . . , yr(t), \~y1(t), . . . , \~y\~r(t), \^y1(t), . . . , \^y\^r(t), \u y1(t), . . . , \u y\u r(t)
\bigr]
, (29)
где составляющие его векторы имеют размерности y0(t) — \alpha , yi(t) — si, i = 1, r, \~yi(t) —
- (\~si + 1), i = 1, \~r, \^yi(t) — \^si, i = 1, \^r, \u yi(t) — 1, i = 1, \u r (скалярные функции), согласно [3]
получим, что система (1) распадается на следующие независимые системы:
dy0
dt
= P \ast
0 (t)
\bigl[
L(t)Q0(t)
\bigr]
y0 + P \ast
0 (t)f(t), (30)
Ji
dyi
dt
= yi +\Psi \ast
i (t)f(t), i = 1, r, (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 769
\~Ji
d\~yi
dt
= \~Ki\~yi + \^\Psi \ast
i (t)f(t), i = 1, \~r, (32)
\^Ji
d\^yi
dt
= \^Ki\^yi + \~\Psi \ast
i,\^si+1(t)f(t), i = 1, \^r, (33)
0 = \u \psi \ast
i (t)f(t), i = 1, \v r. (34)
Поскольку соответствующая (30) однородная система (24) допускает экспоненциальную
дихотомию решений на полуосях R - и R+, то согласно теореме 1 для существования ее
решений, принадлежащих BC\infty (R), необходимо и достаточно выполнения условия (25). При
его выполнении эти решения имеют вид (27),
y0(t) = X(t)
\bigl[
P2Fc\varkappa + \~x(t)
\bigr]
. (35)
Системы (31) – (34) исследованы в [3].
Системы (31) имеют единственные решения
yi(t) = -
si - 1\sum
j=0
Ijsi
dj
dtj
\Psi \ast
i (t)f(t), i = 1, r. (36)
Системы (32) имеют бесконечномерные пространства решений
\~yi(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\left[ 01, - \~si - 1\sum
j=0
\bigl(
IT\~si
\bigr) j dj
dtj
\^\Psi \ast
i (t)f(t)
\right] + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\biggl[
\~\beta i(t), . . . ,
d\~si
dt\~si
\~\beta i(t)
\biggr]
, i = 1, \~r. (37)
Для разрешимости систем (33) необходимо и достаточно выполнения равенств (22). При их
выполнении они имеют единственные решения
\^yi(t) = -
\^si - 1\sum
j=0
Ij\^si
dj
dtj
\~\Psi \ast
i,\^si
(t)f(t), i = 1, \^r. (38)
Равенства (34) не содержат координат вектора y(t), они эквивалентны равенствам (23) и
являются условиями разрешимости системы (1).
Функции \u yi(t), i = 1, \u r, в системы (30) – (34) не входят, поэтому положим
\u yi(t) = \u \beta i(t), i = 1, \u r. (39)
Подставив (20), (29), (35) – (39) в (28), получим (26). При этом x(t) принадлежит BC\infty (R).
Теорема 2 доказана.
Следствие 3. Условие (25) представляет собой \varkappa скалярных равенств, из них линейно
независимых \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(G\ast P1).
Замечание 2. Если \~r = \u r = 0, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L(t) = \alpha , оператор L(t) является n-нормальным,
в противном случае \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L(t) = \infty . Если \^r = \v r = 0, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L\ast (t) = \alpha , оператор L(t)
является d-нормальным, в противном случае \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L\ast (t) = \infty . Если же \~r = \u r = \^r = \v r = 0,
то оператор L(t) является фредгольмовым.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
770 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Следствие 4. Если \~r = \u r = 0, то пространство решений (26), (27) системы (1) конечно-
мерно и имеет размерность, равную \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(P2F ). В противном случае оно бесконечномерно.
Рассмотрим частный случай, когда \alpha = 1, предположив, что условия (22), (23) выполняют-
ся. При этом
X(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
\lambda (\tau )d\tau
\right) ,
где \lambda (t) = P \ast
0 (t)L(t)Q0(t) = p\ast 1(t)L(t)q1(t) — скалярная функция. Система (24) допускает
экспоненциальную дихотомию решений на полуосях R - и R+ тогда и только тогда, когда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\bigm| \bigm| \lambda (t)\bigm| \bigm| > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| \lambda (t)\bigm| \bigm| > 0.
Следовательно, существуют такие точки t1 \in R - и t2 \in R+, что \lambda (t) \not = 0 при t \in ( - \infty ; t1]
\bigcup \bigcup
[t2;\infty ). Обозначим через \Delta 1 \subset [t1; 0], \Delta 2 \subset [0; t2] произвольные отрезки.
Если \lambda (t) < 0 при t \leq t1, то в (3), (4) положим
P1 = 1, \alpha 1 = - \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\leq t1
\lambda (t), K1 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Delta 1
\int
\Delta 1
\lambda (\tau )d\tau + \alpha 1t1
\right) .
Если \lambda (t) > 0 при t \leq t1, то в (3), (4) положим
P1 = 0, \alpha 1 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\leq t1
\lambda (t), K1 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Delta 1
\int
\Delta 1
\lambda (\tau )d\tau - \alpha 1t1
\right) .
Если \lambda (t) < 0 при t \geq t2, то в (5), (6) положим
P2 = 1, \alpha 2 = - \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq t2
\lambda (t), K2 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Delta 2
\int
\Delta 2
\lambda (\tau )d\tau - \alpha 2t2
\right) .
Если \lambda (t) > 0 при t \geq t2, то в (5), (6) положим
P2 = 0, \alpha 2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\geq t2
\lambda (t), K2 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Delta 2
\int
\Delta 2
\lambda (\tau )d\tau + \alpha 2t2
\right) .
Если P1 = 0, P2 = 0, то U = U - = - 1, \varkappa = 0, F = G = 0, условие (25) выполняется,
система (1) имеет принадлежащие BC\infty (R) решения (26), (27):
x(t) = - q1(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
\lambda (z)dz
\right) \infty \int
t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) p\ast 1(\tau )f(\tau )d\tau -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 771
-
r\sum
i=1
\Phi i(t)
si - 1\sum
j=0
Ijsi
dj
dtj
\bigl[
\Psi \ast
i (t)f(t)
\bigr]
-
\~r\sum
i=1
\~\Phi i(t)
\~si - 1\sum
j=0
\bigl(
IT\~si
\bigr) j dj
dtj
\Bigl[
\^\Psi \ast
i (t)f(t)
\Bigr]
-
-
\^r\sum
i=1
\^\Phi i(t)
\^si - 1\sum
j=0
Ij\^si
dj
dtj
\Bigl[
\~\Psi \ast
i (t)f(t)
\Bigr]
+
\~r\sum
i=1
\~si\sum
j=0
\biggl[
dj
dtj
\~\beta i(t)
\biggr]
\~\varphi
(\~si - j+1)
i (t) +
\u r\sum
i=1
\u \beta i(t) \u \varphi i(t). (40)
Если P1 = 0, P2 = 1, то U = U - = 0, \varkappa = 1, F = G = 1, условие (25) выполняется,
система (1) имеет принадлежащие BC\infty (R) решения (26), (27):
x(t) = q1(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
\lambda (z)dz
\right) \left[ c1 + t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) p\ast 1(\tau )f(\tau )d\tau
\right] -
-
r\sum
i=1
\Phi i(t)
si - 1\sum
j=0
Ijsi
dj
dtj
\bigl[
\Psi \ast
i (t)f(t)
\bigr]
-
\~r\sum
i=1
\~\Phi i(t)
\~si - 1\sum
j=0
\bigl(
IT\~si
\bigr) j dj
dtj
\Bigl[
\^\Psi \ast
i (t)f(t)
\Bigr]
-
-
\^r\sum
i=1
\^\Phi i(t)
\^si - 1\sum
j=0
Ij\^si
dj
dtj
\bigl[
\~\Psi \ast
i (t)f(t)
\bigr]
+
\~r\sum
i=1
\~si\sum
j=0
\biggl[
dj
dtj
\~\beta i(t)
\biggr]
\~\varphi
(\~si - j+1)
i (t) +
\u r\sum
i=1
\u \beta i(t) \u \varphi i(t). (41)
Если P1 = 1, P2 = 0, то U = U - = 0, \varkappa = 1, F = G = 1, условие (25) имеет вид
\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) p\ast 1(\tau )f(\tau )d\tau = 0. (42)
При его выполнении система (1) имеет принадлежащие BC\infty (R) решения (26), (27), совпада-
ющие с (40), или, что согласно (42) то же самое,
x(t) = q1(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
\lambda (z)dz
\right) t\int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) p\ast 1(\tau )f(\tau )d\tau -
-
r\sum
i=1
\Phi i(t)
si - 1\sum
j=0
Ijsi
dj
dtj
\bigl[
\Psi \ast
i (t)f(t)
\bigr]
-
\~r\sum
i=1
\~\Phi i(t)
\~si - 1\sum
j=0
\bigl(
IT\~si
\bigr) j dj
dtj
\Bigl[
\^\Psi \ast
i (t)f(t)
\Bigr]
-
-
\^r\sum
i=1
\^\Phi i(t)
\^si - 1\sum
j=0
Ij\^si
dj
dtj
\bigl[
\~\Psi \ast
i (t)f(t)
\bigr]
+
\~r\sum
i=1
\~si\sum
j=0
\biggl[
dj
dtj
\~\beta i(t)
\biggr]
\~\varphi
(\~si - j+1)
i (t) +
\u r\sum
i=1
\u \beta i(t) \u \varphi i(t). (43)
Если P1 = 1, P2 = 1, то U = U - = 1, \varkappa = 0, F = G = 0, условие (25) выполняется,
система (1) имеет принадлежащие BC\infty (R) решения (26), (27), совпадающие с (43).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
772 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Пример. Пусть в (1) m = n = 2,
B(t) =
\Biggl[
1 0
0 0
\Biggr]
, A(t) =
\Biggl[
a11(t) a12(t)
a21(t) a22(t)
\Biggr]
, f(t) =
\Biggl[
f1(t)
f2(t)
\Biggr]
,
aij(t) \in BC\infty (R), i, j = 1, 2, fi(t) \in BC\infty (R), i = 1, 2, — действительные скалярные функции.
Рассмотрим следующие случаи [2, 3]:
1) a22(t) \not = 0 \forall t \in R,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\bigm| \bigm| a22(t)\bigm| \bigm| > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| a22(t)\bigm| \bigm| > 0.
Имеем r = 1, s1 = 1, \u r = \v r = \~r = \^r = 0, \alpha = 1,
\varphi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \psi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
0
a - 1
22 (t)
\Biggr]
, q1(t) =
\Biggl[
1
- a21(t)a - 1
22 (t)
\Biggr]
, p1(t) =
\Biggl[
1
- a12(t)a - 1
22 (t)
\Biggr]
,
\lambda (t) = a11(t) - a12(t)a21(t)a
- 1
22 (t),
условия (22), (23) отсутствуют.
Если \lambda (t) < 0 при t \rightarrow - \infty и \lambda (t) < 0 при t \rightarrow \infty , то система (1) имеет единственное
принадлежащее BC\infty (R) решение (43):
x(t) =
\Biggl[
1
- a21(t)a - 1
22 (t)
\Biggr]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
\lambda (z)dz
\right) t\int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) \times
\times
\bigl(
f1(\tau ) - a12(\tau )a
- 1
22 (\tau )f2(\tau )
\bigr)
d\tau -
\Biggl[
0
a - 1
22 (t)f2(t)
\Biggr]
. (44)
Если \lambda (t) < 0 при t\rightarrow - \infty и \lambda (t) > 0 при t\rightarrow \infty , то условие (42) принимает вид
\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) \bigl(
f1(\tau ) - a12(\tau )a
- 1
22 (\tau )f2(\tau )
\bigr)
d\tau = 0.
При его выполнении система (1) имеет единственное принадлежащее BC\infty (R) решение (43),
совпадающее с (44), или, что то же самое, (40):
x(t) = -
\Biggl[
1
- a21(t)a - 1
22 (t)
\Biggr]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
\lambda (z)dz
\right) \infty \int
t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) \times
\times
\bigl(
f1(\tau ) - a12(\tau )a
- 1
22 (\tau )f2(\tau )
\bigr)
d\tau -
\Biggl[
0
a - 1
22 (t)f2(t)
\Biggr]
. (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 773
Если \lambda (t) > 0 при t \rightarrow - \infty и \lambda (t) < 0 при t \rightarrow \infty , то система (1) имеет конечномерное
пространство принадлежащих BC\infty (R) решений (41) размерности 1:
x(t) =
\Biggl[
1
- a21(t)a - 1
22 (t)
\Biggr]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
\lambda (z)dz
\right) \times
\times
\left[ c1 + t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
\lambda (z)dz
\right) \bigl(
f1(\tau ) - a12(\tau )a
- 1
22 (\tau )f2(\tau )
\bigr)
d\tau
\right] -
\Biggl[
0
a - 1
22 (t)f2(t)
\Biggr]
.
Если \lambda (t) > 0 при t \rightarrow - \infty и \lambda (t) > 0 при t \rightarrow \infty , то система (1) имеет единственное
принадлежащее BC\infty (R) решение (40), совпадающее с (45).
2) a22(t) \equiv 0, a12(t) \not = 0, a21(t) \not = 0 \forall t \in R,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\bigm| \bigm| a12(t)\bigm| \bigm| > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| a12(t)\bigm| \bigm| > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\bigm| \bigm| a21(t)\bigm| \bigm| > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| a21(t)\bigm| \bigm| > 0.
Имеем r = 1, s1 = 2, \u r = \v r = \~r = \^r = 0, \alpha = 0,
\varphi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \varphi
(2)
1 (t) =
\left[ a12(t)
a - 1
12 (t)
d
dt
a12(t) - a11(t)
\right] ,
\psi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
0
a - 1
12 (t)a
- 1
21 (t)
\Biggr]
, \psi
(2)
1 (t) =
\Biggl[
a - 1
12 (t)
0
\Biggr]
,
условия (22), (23), (25) отсутствуют, система (1) имеет единственное принадлежащее BC\infty (R)
решение (26):
x(t) =
\left[ - a - 1
21 (t)f2(t)
a - 1
12 (t)
\biggl[
a11(t)a
- 1
21 (t)f2(t) - f1(t) -
d
dt
\bigl(
a - 1
21 (t)f2(t)
\bigr) \biggr]
\right] .
3) a22(t) \equiv 0, a12(t) \not = 0, a21(t) \equiv 0 \forall t R,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\bigm| \bigm| a12(t)\bigm| \bigm| > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| a12(t)\bigm| \bigm| > 0.
Имеем \~r = 1, \~s1 = 1, \v r = 1, \u r = r = \^r = 0, \alpha = 0,
\~\varphi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \~\varphi
(2)
1 (t) =
\left[ a12(t)
a - 1
12 (t)
d
dt
a12(t) - a11(t)
\right] ,
\u \psi 1(t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \^\psi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
a - 1
12 (t)
0
\Biggr]
, \v \varphi 1(t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
774 А. А. БОЙЧУК, М. А. ЕЛИШЕВИЧ
условия (22), (25) отсутствуют, условие (23) имеет вид f2(t) \equiv 0. При его выполнении система
(1) имеет бесконечномерное пространство принадлежащих BC\infty (R) решений (26):
x(t) =
\left[ a12(t) \~\beta 1(t)
a - 1
12 (t)
\~\beta 1(t)
d
dt
a12(t) - a11(t) \~\beta 1(t) - a - 1
12 (t)f1(t) +
d
dt
\~\beta 1(t)
\right] .
4) a22(t) \equiv 0, a12(t) \equiv 0, a21(t) \not = 0 \forall t \in R,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\bigm| \bigm| a21(t)\bigm| \bigm| > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| a21(t)\bigm| \bigm| > 0.
Имеем \u r = 1, \^r = 1, \^s1 = 1, \~r = r = \v r = 0, \alpha = 0,
\u \varphi 1(t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \~\psi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \~\psi
(2)
1 (t) =
\left[ a21(t)
- a11(t) - a - 1
21 (t)
d
dt
a21(t)
\right] ,
\^\varphi
(1)
1 (t) =
\Biggl[
a - 1
21 (t)
0
\Biggr]
, \v \psi 1(t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
,
условия (23), (25) отсутствуют, условие (22) имеет вид
a21(t)f1(t) - a11(t)f2(t) - a - 1
21 (t)f2(t)
d
dt
a21(t) +
d
dt
f2(t) \equiv 0.
Отсюда
f1(t) = a11(t)a
- 1
21 (t)f2(t) + a - 2
21 (t)f2(t)
d
dt
a21(t) - a - 1
21 (t)
d
dt
f2(t).
При его выполнении система (1) имеет бесконечномерное пространство принадлежащих BC\infty (R)
решений (26):
x(t) =
\Biggl[
- a - 1
21 (t)f2(t)
\u \beta 1(t)
\Biggr]
.
5) a22(t) \equiv 0, a12(t) \equiv 0, a21(t) \equiv 0 \forall t \in R.
Имеем \u r = 1, \v r = 1, \~r = r = \^r = 0, \alpha = 1,
\u \varphi 1(t) =
\biggl[
0
1
\biggr]
, \u \psi 1(t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \v \varphi 1(t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, \v \psi 1(t) =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, q1(t) =
\Biggl[
1
0
\Biggr]
, p1(t) =
\Biggl[
1
0
\Biggr]
,
\lambda (t) = a11(t),
условие (22) отсутствует, условие (23) имеет вид
f2(t) \equiv 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 775
Далее будем предполагать, что оно выполняется.
Если a11(t) < 0 при t \rightarrow - \infty и a11(t) < 0 при t \rightarrow \infty , то система (1) имеет бесконечно-
мерное пространство принадлежащих BC\infty (R) решений (43):
x(t) =
\Biggl[
1
0
\Biggr]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
a11(z)dz
\right) t\int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
a11(z)dz
\right) f1(\tau )d\tau +
\Biggl[
0
\u \beta 1(t)
\Biggr]
. (46)
Если a11(t) < 0 при t\rightarrow - \infty и a11(t) > 0 при t\rightarrow \infty , то условие (42) имеет вид
\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
a11(z)dz
\right) f1(\tau )d\tau = 0.
При его выполнении система (1) имеет бесконечномерное пространство принадлежащих BC\infty (R)
решений (43), совпадающих с (46), или, что то же самое, (40):
x(t) = -
\Biggl[
1
0
\Biggr]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
a11(z)dz
\right) \infty \int
t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
a11(z)dz
\right) f1(\tau )d\tau +
\Biggl[
0
\u \beta 1(t)
\Biggr]
. (47)
Если a11(t) > 0 при t \rightarrow - \infty и a11(t) < 0 при t \rightarrow \infty , то система (1) имеет бесконечно-
мерное пространство принадлежащих BC\infty (R) решений (41):
x(t) =
\Biggl[
1
0
\Biggr]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
a11(z)dz
\right) \left[ c1 + t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\tau \int
0
a11(z)dz
\right) f1(\tau )d\tau
\right] +
\Biggl[
0
\u \beta 1(t)
\Biggr]
.
Если a11(t) > 0 при t \rightarrow - \infty и a11(t) > 0 при t \rightarrow \infty , то система (1) имеет бесконечно-
мерное пространство принадлежащих BC\infty (R) решений (40), совпадающих с (47).
Литература
1. А. М. Самойленко, М. I. Шкiль, В. П. Яковець, Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями,
Вища шк., Київ (2000).
2. М. А. Елишевич, Некоторые свойства жордановых наборов векторов матрицы относительно оператора,
содержащего дифференцирование, Журн. обчислюв. та прикл. математики, № 2 (108), 119 – 134 (2012).
3. М. А. Елишевич, Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого
порядка с прямоугольными матрицами, Нелiнiйнi коливання, 16, № 2, 173 – 190 (2013).
4. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2nd ed.,
De Gruyter, Berlin (2016).
5. С. Г. Крейн, Линейные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва (1971).
6. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Физматлит, Москва (2007).
7. В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова, Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем, Наука, Ново-
сибирск (2003).
8. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве, Наука, Москва (1970).
9. Y. Sibuya, Some global properties of matrixes of functions of one variable, Math. Anal., 161, № 1, 67 – 77 (1965).
10. W. Wasow, On holomorphically similar matrices J, Math. Anal. and Appl., № 4, 202 – 206 (1962).
Получено 04.09.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1059 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:31Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/cc6393b39b505d8a90e5b20436ee6ccc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10592022-03-26T11:01:48Z Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices Ограниченные решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Ограниченные решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Boichuk, A. A. Elishevich, M. A. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. UDC 517.926.7 Conditions for existence are determined and bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices are constructed. УДК 517.926.7 Определены условия существования и построены ограниченные решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами. УДК 517.926.7 Визначено умови існування та побудовано обмежені розв'язки системи лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь першого порядку з прямокутними матрицями. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1059 10.37863/umzh.v72i6.1059 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 6 (2020); 758-775 Український математичний журнал; Том 72 № 6 (2020); 758-775 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1059/8713 Copyright (c) 2020 Олександр Андрійович Бойчук, Михайло Єлiшевич |
| spellingShingle | Boichuk, A. A. Elishevich, M. A. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. Бойчук, А. А. Елишевич, М. А. Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices |
| title | Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices |
| title_alt | Ограниченные решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Ограниченные решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
| title_full | Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices |
| title_fullStr | Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices |
| title_full_unstemmed | Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices |
| title_short | Bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices |
| title_sort | bounded solutions of a system of linear inhomogeneous differential equations of the first order with rectangular matrices |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1059 |
| work_keys_str_mv | AT boichukaa boundedsolutionsofasystemoflinearinhomogeneousdifferentialequationsofthefirstorderwithrectangularmatrices AT elishevichma boundedsolutionsofasystemoflinearinhomogeneousdifferentialequationsofthefirstorderwithrectangularmatrices AT bojčukaa boundedsolutionsofasystemoflinearinhomogeneousdifferentialequationsofthefirstorderwithrectangularmatrices AT eliševičma boundedsolutionsofasystemoflinearinhomogeneousdifferentialequationsofthefirstorderwithrectangularmatrices AT bojčukaa boundedsolutionsofasystemoflinearinhomogeneousdifferentialequationsofthefirstorderwithrectangularmatrices AT eliševičma boundedsolutionsofasystemoflinearinhomogeneousdifferentialequationsofthefirstorderwithrectangularmatrices AT boichukaa ograničennyerešeniâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami AT elishevichma ograničennyerešeniâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami AT bojčukaa ograničennyerešeniâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami AT eliševičma ograničennyerešeniâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami AT bojčukaa ograničennyerešeniâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami AT eliševičma ograničennyerešeniâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami |