Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions
UDC 517.5 In the metric $L_{2},$ we obtain exact inequalities that associate the best approximations by trigonometrical ``angles'' for functions $f(x,y),$ which are differentiable and $2\pi$-periodic in each variable, with the integrals containing modules of continuity of higher or...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1064 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507138894331904 |
|---|---|
| author | Shabozov, M. Sh. Akobirshoev , M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, М. О. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, М. О. |
| author_facet | Shabozov, M. Sh. Akobirshoev , M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, М. О. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, М. О. |
| author_sort | Shabozov, M. Sh. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:48Z |
| description | UDC 517.5
In the metric $L_{2},$ we obtain exact inequalities that associate the best approximations by trigonometrical ``angles'' for functions $f(x,y),$ which are differentiable and $2\pi$-periodic in each variable, with the integrals containing modules of continuity of higher order for mixed derivatives of these functions.  For some classes of functions defined by modules of continuity, we calculate Kolmogorov's quasiwidths and linear quasiwidths. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i6.1064 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i6.1064
УДК 517.5
М. Ш. Шабозов (Тадж. нац. ун-т, Душанбе),
М. О. Акобиршоев (Технол. ун-т Таджикистана, Душанбе)
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ „УГЛОМ” В МЕТРИКЕ \bfitL \bftwo
И ЗНАЧЕНИЯ КВАЗИПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
In the metric L2, we obtain exact inequalities that associate the best approximations by trigonometrical “angles” for
functions f(x, y), which are differentiable and 2\pi -periodic in each variable, with the integrals containing modules of
continuity of higher order for mixed derivatives of these functions. For some classes of functions defined by modules of
continuity, we calculate Kolmogorov’s quasiwidths and linear quasiwidths.
У метрицi L2 отримано точнi нерiвностi, що пов’язують найкращi наближення диференцiйовних 2\pi -перiодичних
по кожнiй iз змiнних функцiй f(x, y) тригонометричними „кутами” з iнтегралами, якi мiстять модулi неперервностi
вищих порядкiв мiшаних похiдних цих функцiй. Обчислено колмогоровськi i лiнiйнi квазiпоперечники деяких класiв
функцiй, що визначаються вказаними модулями неперервностi.
1. Введение. Целью данной статьи является получение результатов, связанных с точными
оценками погрешности среднеквадратического приближения функций двух переменных три-
гонометрическими „углами” на некоторых классах функций, задаваемых модулями непрерыв-
ности. Понятие „угла” было введено М. К. Потаповым [1, 2] и в дальнейшем успешно при-
менялось многими исследователями (см., например, [3 – 14]). Использование аппарата „углов”
в качестве аппроксимирующих подпространств имеет заметные преимущества по сравнению
с двумерными полиномами и другими традиционными методами, поскольку именно „углы”
дают минимальные оценки погрешности на классах функций и реализуют точные значения
квазипоперечников. В работах [8 – 11] найдены точные значения квазипоперечников некоторых
классов дифференцируемых периодических функций двух переменных. Здесь мы продолжаем
исследования в указанном направлении.
Предварительно приведем понятия и определения, необходимые для дальнейшего изло-
жения.
Пусть (X, \| \cdot \| X) и (Y, \| \cdot \| Y ) — линейные нормированные пространства функций одной
переменной, а
Um := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} \{ u0(x), u1(x), . . . , um(x)\} , Vn := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} \{ v0(y), v1(y), . . . , vn(y)\}
— их конечномерные подпространства, Um \subset X, Vn \subset Y. Выражение вида
gm,n(x, y) =
m\sum
\nu =0
u\nu (x)\psi \nu (y) +
n\sum
\mu =0
v\mu (y)\varphi \mu (x),
где
\bigl\{
\varphi \mu (x)
\bigr\} n
\mu =0
и
\bigl\{
\psi \nu (y)
\bigr\} m
\nu =0
— соответственно произвольные наборы функций из пространств
X и Y, назовем обобщенным полиномом, порожденным подпространствами Um и Vn. Указан-
ные обобщенные полиномы образуют подпространство, которое обозначим
Gm,n := G(Um, Vn) = Um \otimes Y \oplus Vn \oplus X,
c\bigcirc М. Ш. ШАБОЗОВ, М. О. АКОБИРШОЕВ, 2020
852 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ „УГЛОМ” В МЕТРИКЕ L2 И ЗНАЧЕНИЯ . . . 853
где операции \otimes и \oplus обозначают соответственно декартово произведение и прямую сумму
множеств. Пусть
\bigl(
Z, \| \cdot \| Z
\bigr)
— линейное нормированное пространство, содержащее подпро-
странство Gm,n. Обозначим
Em,n(f)Z := E(f ;Gm,n)Z = E(f ;G(Um, Vn))Z =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| f - gm,n\| Z : gm,n \in Gm,n
\bigr\}
(1)
и, если \frakM — некоторое множество функций f, положим
Em,n(\frakM )Z := E(\frakM , Gm,n)Z = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
E(f,G(Um, Vn))Z : f \in \frakM
\bigr\}
. (2)
Величина (1) характеризует наилучшее приближение элемента f \in \frakM множеством Gm,n,
а (2) — отклонение множества \frakM от Gm,n в нормированном пространстве (Z, \| \cdot \| Z). Для
центрально-симметричного множества \frakM \subset Z величину
dm,n(\frakM ;Z) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
Em,n(\frakM )Z : Um \subset X,Vn \subset Y
\bigr\}
(3)
называют колмогоровским квазипоперечником множества \frakM (см., например, [8 – 11]). Пусть
L — линейный оператор, действующий на функцию f \in \frakM , образ которого принадлежит
множеству Gm,n. Положим
e(\frakM ,L)Z := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - L(f)\| Z : f \in \frakM
\bigr\}
,
em,n(\frakM )Z := e(\frakM , Gm,n)Z := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
e(\frakM ,L)Z : L(f) \in Gm,n
\bigr\}
.
(4)
Величину
\delta m,n(\frakM , Z) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
em,n(\frakM )Z : Um \subset X,Vn \subset Y
\bigr\}
(5)
назовем линейным квазипоперечником множества \frakM в пространстве Z. Непосредственно из
приведенных определений следуют неравенства
e (\frakM , Gm,n)Z \geq E (\frakM ;Gm,n)Z , \delta m,n(\frakM ;Z) \geq dm,n(\frakM ;Z).
Представляет интерес отыскание экстремальных подпространств U\circ
m \subset X, V \circ
n \subset Y, для кото-
рых реализуется нижняя грань в (3) и (5):
E
\bigl(
\frakM ;G(U\circ
m, V
\circ
n )
\bigr)
Z
= e
\bigl(
\frakM ;G(U\circ
m, V
\circ
n )
\bigr)
Z
= \delta m,n(\frakM ;Z) = dm,n(\frakM ;Z).
Всюду далее полагаем X = Y = L2[0, 2\pi ], Z = L2(Q), Q := [0, 2\pi ]\times [0, 2\pi ].
В этой работе для некоторых центрально-симметричных множеств периодических функций
\frakM \subset L2(Q) найдены точные значения величин (2) – (5). Пусть теперь
U\ast
2m+1 := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ eipx\} mp= - m \subset L2[0, 2\pi ], V \ast
2m+1 := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ eiqx\} nq= - n \subset L2[0, 2\pi ].
Очевидно, что функция
gm,n(x, y) =
\sum
| p| \leq m
\psi p(y)e
ipx +
\sum
| q| \leq n
\phi q(x)e
iqy, p, q \in \BbbN , (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
854 М. Ш. ШАБОЗОВ, М. О. АКОБИРШОЕВ
принадлежит подпространству G
\bigl(
U\ast
2m+1, V
\ast
2n+1
\bigr)
. Функции вида (6) называют тригономет-
рическими „углами” [1, 2] или тригонометрическими квазиполиномами [15]. Для функции
f \in L2(Q) с формальным разложением в двойной ряд Фурье
f(x, y) =
+\infty \sum
p= - \infty
+\infty \sum
q= - \infty
cpq(f) e
i(px+qy), (7)
где
cpq(f) :=
1
4\pi 2
\int \int
(Q)
f(x, y) e - i(px+qy)dx dy
— двойные коэффициенты Фурье функции f \in L2(Q), квазиполиномом Фурье порядка (m,n),
m, n \in \BbbN , называют выражение
\Phi m,n(f ;x, y) =
\left( \sum
| p| \leq m
+\infty \sum
q= - \infty
+
+\infty \sum
p= - \infty
\sum
| q| \leq n
-
\sum
| p| \leq m
\sum
| q| \leq n
\right) cpq(f) ei(px+qy). (8)
Легко проверить, что \Phi m,n(f) принадлежит G(U\ast
m, V
\ast
n ). Следуя схеме рассуждений, изло-
женной в [6, 12], легко доказать, что
E2
m - 1,n - 1(f)L2(Q) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| f - gm - 1,n - 1\| 2L2(Q) : gm - 1,n - 1 \in G(U\ast
2m - 1, V
\ast
2n - 1)
\bigr\}
=
=
\bigm\| \bigm\| f - \Phi m - 1,n - 1(f)
\bigm\| \bigm\| 2
L2(Q)
=
\sum
| p| \geq m
\sum
| q| \geq n
| cpq(f)| 2 =
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f), (9)
где для краткости в последней двойной сумме положено
\rho 2p,q(f) := | cp,q(f)| 2 + | c - p,q(f)| 2 + | cp, - q(f)| 2 + | c - p, - q(f)| 2. (10)
В частности, из (9) следует, что если f(x, y) = f1(x)f2(y), то
E2
m - 1,n - 1(f)L2(Q) = E2
m - 1(f1)L2[0,2\pi ]E
2
n - 1(f2)L2[0,2\pi ], (11)
где, как обычно,
E2
\nu - 1(g)L2[0,2\pi ] := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| g - T\nu - 1\| 2L2[0,2\pi ]
: T\nu - 1 \in G2\nu - 1
\bigr\}
— величина наилучшего среднеквадратического приближения 2\pi -периодической функции g(x)
тригонометрическими полиномами G2\nu - 1 := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}
\bigl\{
eijx
\bigr\} \nu - 1
j= - (\nu - 1)
порядка 2\nu - 1 в простран-
стве L2[0, 2\pi ].
Через C(r,s)(Q), r, s \in \BbbN , обозначим множество функций f \in C(Q), имеющих в квадрате
Q непрерывные частные производные
f (\mu ,\nu )(x, y) := \partial \mu +\nu f/\partial x\mu \partial y\nu , \mu \leq r, \nu \leq s,
а через L
(r,s)
2 := L
(r,s)
2 (Q), r, s \in \BbbN , — множество функций f \in C(r - 1,s - 1)(Q), r, s \in \BbbN ,
r \geq 2, s \geq 2, у которых частные производные f (r,\nu ), r \in \BbbN , \nu = 0, s - 1, f (\mu ,s), \mu = 0, r - 1,
s \in \BbbN , существуют, кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования и
смешанная производная f (r,s) принадлежит L2(Q).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ „УГЛОМ” В МЕТРИКЕ L2 И ЗНАЧЕНИЯ . . . 855
2. Основные результаты. Для произвольной функций f \in L2(Q) определим модуль непре-
рывности k-го порядка по переменной x и l-го порядка по переменной y равенством
\omega k,l(f ; t, \tau )2 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| \Delta k,l
u,\upsilon f(\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\|
L2(Q)
: | u| \leq t, | \upsilon | \leq \tau
\bigr\}
, (12)
где
\Delta k,l
u,\upsilon f(x, y) =
k\sum
\nu =0
l\sum
\mu =0
( - 1)\mu +\nu
\biggl(
k
\nu
\biggr) \biggl(
p
\mu
\biggr)
f(x+ \nu u, y + \mu \upsilon ).
Использовав равенство (7) и тождество Парсеваля, величину (12) после выполнения некоторых
несложных вычислений можно записать в следующем виде:
\omega 2
k,l(f ; t, \tau )2 =
= 2k+l \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\infty \sum
p=1
\infty \sum
q=1
\rho 2p,q(f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu)k(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon )l : | u| \leq t, | \upsilon | \leq \tau
\right\} . (13)
Условимся в дальнейшем вместо \omega k,k(f ; t, \tau )2 писать \omega k(f ; t, \tau )2. В соотношениях общего
характера при вычислении верхней грани по всем функциям f \in L
(r,s)
2 далее предполагается,
что f \not = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Дифференцируя двойной ряд (7) r раз по переменной x и s раз по переменной
y в смысле сходимости в L2(Q), записываем
f (r,s)(x, y) =
+\infty \sum
p= - \infty
+\infty \sum
q= - \infty
(ip)r(iq)scpq(f)e
i(px+qy) =
=
+\infty \sum
p= - \infty
+\infty \sum
q= - \infty
cpq
\bigl(
f (r,s)
\bigr)
ei(px+qy),
где
cpq
\bigl(
f (r,s)
\bigr)
= (ip)r(iq)scpq(f). (14)
Поскольку \bigm| \bigm| cpq\bigl( f (r,s)\bigr) \bigm| \bigm| 2 = p2rq2s| cpq(f)| 2, (15)
то в силу равенства (10) имеем
\rho 2p,q
\bigl(
f (r,s)
\bigr)
= p2rq2s\rho 2p,q(f). (16)
Учитывая равенство (16) для произвольной функции f \in L
(r,s)
2 , получаем
E2
m - 1,n - 1
\bigl(
f (r,s)
\bigr)
2
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q
\bigl(
f (r,s)
\bigr)
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
p2rq2s\rho 2p,q(f). (17)
Заметим также, что если функция f принадлежит L(r,s)
2 , то в силу (16) и формулы (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
856 М. Ш. ШАБОЗОВ, М. О. АКОБИРШОЕВ
\omega 2
k,l(f
(r,s); t, \tau )2 =
= 2k+l \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\infty \sum
p=1
\infty \sum
q=1
p2rq2s\rho 2p,q(f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu)k(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon )l : | u| \leq t, | \upsilon | \leq \tau
\right\} . (18)
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Для произвольной функции f \in L
(r,s)
2 и любых k, l \in \BbbZ +, 0 \leq k \leq r, 0 \leq l \leq s,
выполняется неравенство
Em - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
2
\leq m - (r - k)n - (s - l)Em - 1,n - 1(f
(r,s))2. (19)
Неравенство (19) точно в том смысле, что существует функция f0 \in L
(r,s)
2 , для которой оно
обращается в равенство.
Доказательство. Для произвольной функции f \in L
(r,s)
2 при любых k \in [0, r] и l \in [0, s]
имеем
E2
m - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
2
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
p2kq2l\rho 2p,q(f) =
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
p - 2(r - k)q - 2(s - l) \cdot p2rq2s\rho 2p,q(f) \leq
\leq m - 2(r - k)n - 2(s - l)
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
p2rq2s\rho 2p,q(f) =
= m - 2(r - k)n - 2(s - l)E2
m - 1,n - 1(f
(r,s))2.
Для функции f0(x, y) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ny \in L
(r,s)
2 получаем
f
(k,l)
0 (x, y) = mknl \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
mx+
k\pi
2
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ny +
l\pi
2
\biggr)
, 0 \leq k \leq r, 0 \leq l \leq s,
и в силу (17) записываем
E2
m - 1,n - 1(f
(k,l)
0 )2 = mknl, E2
m - 1,n - 1(f
(r,s)
0 )2 = mrns.
Используя полученные равенства, находим
E2
m - 1,n - 1(f
(k,l)
0 )2 = mknl = m - (r - k)n - (s - l) \cdot mrns =
= m - (r - k)n - (s - l)E2
m - 1,n - 1(f
(r,s)
0 )2.
Лемма 1 доказана.
Следствие 1. В условиях леммы 1 справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L(r,s)
2
Em - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
2
Em - 1,n - 1(f (r,s))2
=
1
mr - kns - l
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ „УГЛОМ” В МЕТРИКЕ L2 И ЗНАЧЕНИЯ . . . 857
Рассмотрим теперь экстремальную задачу об одновременном приближении функции f \in
\in L
(r,s)
2 и ее частных производных f (k,l), 0 \leq k \leq r, 0 \leq l \leq s, тригонометрическими „углами”
и их соответствующими производными:
E2
m - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
2
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| f (k,l) - g
(k,l)
m - 1,n - 1
\bigm\| \bigm\| 2
2
: gm - 1,n - 1 \in G(U\ast
2m - 1, V
\ast
2n - 1)
\Bigr\}
.
Как и при получении формулы (9), легко доказать, что
E2
m - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
2
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k,l) - \Phi m - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
2
=
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho p,q
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
p2kq2l\rho 2p,q(f),
где функция \Phi m - 1,n - 1(g) определена равенством (8).
Поскольку для функции f \in L
(r,s)
2 , r, s \geq 1, r, s \in \BbbN , ее промежуточные производные
f (k,l), 0 \leq k \leq r, 0 \leq l \leq s, также принадлежат классу L
(r,s)
2 , то представляет интерес
изучение поведения величины Em - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
2
на некотором подклассе \frakM (r,s) \subset L
(r,s)
2 , т. е.
при любых 0 \leq k \leq r, 0 \leq l \leq s требуется найти точное значение величины
E
(k,l)
m - 1,n - 1(\frakM
(r,s))2 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
Em - 1,n - 1
\bigl(
f (k,l)
\bigr)
2
: f \in \frakM (r,s)
\Bigr\}
. (20)
Через W (r,s)L2 обозначим класс функций f \in L
(r,s)
2 , удовлетворяющих условию
\| f (r,s)\| 2 \leq 1.
Теорема 1. При всех 0 \leq k \leq r, 0 \leq l \leq s справедливо равенство
E
(k,l)
m - 1,n - 1(W
(r,s)L2)2 =
1
mr - kns - l
. (21)
Доказательство. Поскольку для любой функции f \in W (r,s)L2 имеет место неравенство
Em - 1,n - 1(f
(r,s))2 \leq \| f (r,s)\| 2 \leq 1,
то из (19) следует оценка сверху величины, расположенной в левой части (21):
E
(k,l)
m - 1,n - 1(W
(r,s)L2)2 \leq
1
mr - kns - l
. (22)
С целью получения оценки снизу той же величины введем в рассмотрение функцию
g0(x, y) =
1
mrns
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ny \in L
(r,s)
2 .
Поскольку для 0 \leq k \leq r, 0 \leq l \leq s производные
g
(k,l)
0 (x, y) =
1
mr - kns - l
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
mx+
k\pi
2
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ny +
l\pi
2
\biggr)
,
g
(r,s)
0 (x, y) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
mx+
r\pi
2
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
ny +
s\pi
2
\Bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
858 М. Ш. ШАБОЗОВ, М. О. АКОБИРШОЕВ
а наилучшее приближения этих производных
Em - 1,n - 1
\bigl(
g
(k,l)
0
\bigr)
2
=
\bigm\| \bigm\| g(k,l)0
\bigm\| \bigm\|
2
=
1
mr - kns - l
(23)
и, кроме того, \bigm\| \bigm\| g(r,s)0
\bigm\| \bigm\|
2
= 1,
то, очевидно, g0 принадлежит W (r,s), причем в силу (23) имеем
E
(k,l)
m - 1,n - 1(W
(r,s)L2)2 \geq Em - 1,n - 1(g
(k,l)
0 )2 =
1
mr - kns - l
. (24)
Требуемое равенство (21) получаем из сопоставления неравенств (22) и (24), что и завершает
доказательство теоремы 1.
В принятых обозначениях справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Для любых m,n \in \BbbN , r, s \in \BbbZ +, удовлетворяющих неравенствам 0 < mt \leq \pi ,
0 < n\tau \leq \pi , при любом k \in \BbbN справедливо соотношение
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L(r,s)
2 (Q)
m2r - kn2s - kE2
m - 1,n - 1(f)2\Biggl( \int \pi /m
0
\int \pi /n
0
\omega
2/k
k (f (r,s);u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\Biggr) k =
1
42k
. (25)
Существует функция f0(x, y) \in L
(r,s)
2 , для которой верхняя грань достигается в (25).
Доказательство. Легко доказать, что для произвольной функции f \in L
(r,s)
2 имеет место
неравенство
E2
m - 1,n - 1(f)2 -
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f)(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon ) \leq
\leq 1
4m2r/kn2s/k
E
2 - 2/k
m - 1,n - 1(f)2\omega
2/k
k (f (r,s);u, \upsilon )2. (26)
Действительно, замечая, что при k = l из (18) следует, что
\omega 2
k(f
(r,s); t, \tau )2 =
= 4k \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\infty \sum
p=1
\infty \sum
q=1
p2rq2s\rho 2p,q(f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu)k(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon )k : | u| \leq t, | \upsilon | \leq \tau
\right\} , (27)
используя неравенство Гельдера для сумм, с учетом (9) имеем
E2
m - 1,n - 1(f)2 -
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f)(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon ) =
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon ) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ „УГЛОМ” В МЕТРИКЕ L2 И ЗНАЧЕНИЯ . . . 859
=
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
(\rho p,q(f))
2 - 2/k \rho 2/kp,q (f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon ) \leq
\leq
\Biggl\{ \infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f)
\Biggr\} 1 - 1/k\Biggl\{ \infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu)k(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon )k
\Biggr\} 1/k
\leq
\leq E
2 - 2/k
m - 1,n - 1(f)2
\Biggl\{
1
4km2rn2s
\cdot 4k
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f)p
2rq2s(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu)k(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon )k
\Biggr\} 1/k
\leq
\leq 1
4m2r/kn2s/k
E
2 - 2/k
m - 1,n - 1(f)2\omega
2/k
k
\bigl(
f (r,s);u, \upsilon
\bigr)
2
.
Неравенство (26) доказано.
Умножая обе части неравенства (26) на функцию \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon и интегрируя полученное
соотношение по прямоугольнику \{ 0 \leq u \leq \pi /m, 0 \leq \upsilon \leq \pi /n\} , получаем
4
mn
E2
m - 1,n - 1(f)2 -
\infty \sum
p=m
\infty \sum
q=n
\rho 2p,q(f)
\left( 2
n
\pi /m\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mudu+
+
2
m
\pi /m\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} qu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nu du -
\pi /m\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} pu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mudu
\pi /n\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} q\upsilon \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon d\upsilon
\right) \leq
\leq 1
4m2r/kn2s/k
E
2 - 2/k
m - 1,n - 1(f)2
\pi /m\int
0
\pi /n\int
0
\omega
1/k
k (f (r,s);u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon . (28)
Заметим, что при любых \nu , \mu \in \BbbN , \nu \geq \mu ,
\pi /\mu \int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \nu u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mu u du =
\left\{
0, eсли \nu = \mu ,
-
\sqrt{}
2
\pi
2\mu
\nu 2 - \mu 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\biggl(
\mu \pi
2\nu
\biggr)
, если \nu > \mu ,
поэтому второе слагаемое в левой части неравенства (28) является положительным, и если
мы его опустим, то только усилим указанное неравенство. Таким образом, для произвольной
функции f \in L
(r,s)
2 имеем
4
mn
E2
m - 1,n - 1(f)2 \leq
\leq 1
4m2r/kn2s/k
E
2 - 2/k
m - 1,n - 1(f)2
\left( \pi /m\int
0
\pi /n\int
0
\omega
2/k
k (f (r,s);u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\right) ,
откуда находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
860 М. Ш. ШАБОЗОВ, М. О. АКОБИРШОЕВ
E2
m - 1,n - 1(f)2 \leq
\leq 1
42km2r - kn2s - k
\left( \pi /m\int
0
\pi /n\int
0
\omega
2/k
k (f (r,s);u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\right)
k
. (29)
Из полученного неравенства следует оценка сверху величины, стоящей в левой части равен-
ства (25):
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L(r,s)
2
m2r - kn2s - kE2
m - 1,n - 1(f)2\Biggl( \int \pi /m
0
\int \pi /n
0
\omega
2/k
k (f (r,s);u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\Biggr) k
\leq 1
42k
. (30)
Для получения оценки снизу указанной величины введем в рассмотрение функцию
f0(x, y) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ny \in L
(r,s)
2 (Q), для которой, как следует из равенств (9) и (13), спра-
ведливы равенства
Em - 1,n - 1(f0)2 = 1, \omega 2
k
\bigl(
f
(r,s)
0 ;u, \upsilon
\bigr)
2
= 4km2rn2s(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mu)k(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\upsilon )k. (31)
Используя равенства (31), имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L(r,s)
2
m2r - kn2s - kE2
m - 1,n - 1(f)2\Biggl( \int \pi /m
0
\int \pi /n
0
\omega
2/k
k (f (r,s);u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\Biggr) k
\geq
\geq
m2r - kn2s - kE2
m - 1,n - 1(f0)2\Biggl( \int \pi /m
0
\int \pi /n
0
\omega
2/k
k (f
(r,s)
0 ;u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\Biggr) k
=
=
m2r - kn2s - k
4km2rn2s
\Biggl( \int \pi /m
0
\int \pi /n
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mu)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nu) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\Biggr) k
=
=
1
4k(mn)k(4/mn)k
=
1
42k
. (32)
Равенство (25) непосредственно следует из сравнения оценок сверху (30) и снизу (32). Легко
проверить, что для функции f0(x, y) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ny \in L
(r,s)
2 в равенстве (25) реализуется
верхняя грань, и тем самым теорема 2 доказана.
Отметим, что теорема 2 является обобщением известного результата В. В. Шалаева [16] о
точном неравенстве, связывающем величину наилучшего полиномиального приближения пери-
одических дифференцируемых функций одной переменной f \in L
(r)
2 с интегралом, содержащим
усредненное значение модуля непрерывности высшего порядка \omega 2/m
m (f (r), t)2, на случай наи-
лучшего приближения периодических дифференцируемых функций двух переменных f \in L
(r,s)
2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ „УГЛОМ” В МЕТРИКЕ L2 И ЗНАЧЕНИЯ . . . 861
тригонометрическими „углами” с интегралами, содержащими усредненное значение модулей
непрерывности \omega 2/k
k (f (r,s); t, \tau )2.
Из теоремы 2 следует такое утверждение.
Следствие 2. При всех k, n \in \BbbN , r, s \in \BbbZ + для любой функции f \in L
(r,s)
2 выполняется
неравенство
Em - 1,n - 1(f)2 \leq
1
2kmknk
\omega k
\biggl(
f (r,s);
\pi
m
;
\pi
n
\biggr)
2
. (33)
Заметим, что если функция \omega 2/k
k (f (r,s); t, \tau )2 для любых k \in \BbbN и (t, \tau ) \in [0, \pi /m]\times [0, \pi /n]
удовлетворяет условию
2\omega
2/k
k
\bigl(
f (r,s);\pi /(2m);\pi /(2n)
\bigr)
2
\geq
\geq \omega
2/k
k
\bigl(
f (r,s); t, \tau
\bigr)
2
+ \omega
2/k
k
\biggl(
f (r,s);
\pi
m
- t,
\pi
n
- \tau
\biggr)
2
, (34)
то неравенство (33) можно уточнить. В этом случае справедлива следующая теорема.
Теорема 3. На множестве функций f \in L
(r,s)
2 , у которых функция \omega k
\bigl(
f (r,s); t, \tau
\bigr)
2
удов-
летворяет условию (34), выполняется точное неравенство
Em - 1,n - 1(f)2 \leq 2 - km - rn - s\omega k
\Bigl(
f (r,s);
\pi
2m
,
\pi
2n
\Bigr)
2
(35)
в том смысле, что существует функция f0 \in L
(r,s)
2 , для которой оно обращается в равенство.
Доказательство. Действительно, если выполняется неравенство (34), то имеем
\pi /m\int
0
\pi /n\int
0
\omega
2/k
k
\bigl(
f (r,s);u, v
\bigr)
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nv du dv =
=
1
2
\pi /m\int
0
\pi /n\int
0
\Bigl\{
\omega
2/k
k
\bigl(
f (r,s);u, v
\bigr)
2
+ \omega
2/k
k
\Bigl(
f (r,s);
\pi
m
- u,
\pi
n
- v
\Bigr)
2
\Bigr\}
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nv du dv \leq
\leq \omega
2/k
k
\Bigl(
f (r,s);
\pi
2m
,
\pi
2n
\Bigr)
2
\pi /m\int
0
\pi /n\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nv du dv =
=
4
mn
\omega
2/k
k
\Bigl(
f (r,s);
\pi
2m
,
\pi
2n
\Bigr)
2
.
Теперь, учитывая последнее неравенство, из (29) получаем
E2
m - 1,n - 1(f)2 \leq
1
42km2r - kn2s - k
\biggl(
4
mn
\omega
2/k
k
\Bigl(
f (r,s);
\pi
2m
,
\pi
2n
\Bigr)
2
\biggr) k
=
=
1
4km2rn2s
\omega 2
k
\Bigl(
f (r,s);
\pi
2m
,
\pi
2n
\Bigr)
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
862 М. Ш. ШАБОЗОВ, М. О. АКОБИРШОЕВ
откуда и следует неравенство (35). Непосредственными вычислениями убедимся, что для функ-
ции f0(x, y) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}ny \in L
(r,s)
2 неравенство (35) обращается в равенство, что и завершает
доказательство теоремы 3.
Из теоремы 3 следует такое утверждение.
Следствие 3. В предположении теоремы 3 при всех k \in \BbbN , r, s \in \BbbZ + справедливо равен-
ство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L(r,s)
2
mrnsEm - 1,n - 1(f)2
\omega k
\bigl(
f (r,s);\pi /(2m), \pi /(2n)
\bigr)
2
=
1
2k
.
3. Точные значения квазипоперечников. В этом пункте вычислим точные значения ква-
зипоперечников (3) и (5) для одного класса функций, естественным образом вытекающих из
теоремы 1. Пусть \Phi j(t), j = 1, 2, 0 \leq t < \infty , — непрерывные, неубывающие функции, обра-
щающиеся в нуль в точке t = 0. Для k \in \BbbN , r, s \in \BbbZ + и 0 \leq u, \upsilon \leq 2\pi определим в L(r,s)
2
класс функций
W
(r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2) :=
:=
\left\{ f \in L
(r,s)
2 :
\pi
2u
\pi
2\upsilon
u\int
0
\upsilon \int
0
\omega
2/k
k (f (r,s); t, \tau )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
u
t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
\upsilon
\tau dtd\tau \leq \Phi 2
1(u),\Phi
2
2(\upsilon )
\right\} .
Кроме того, положим
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}m\theta )\ast :=
\left\{ 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}m\theta , m\theta \leq \pi ,
2, m\theta > \pi .
(36)
Теорема 4. Пусть функции \Phi j(t), j = 1, 2, удовлетворяют условию
\Phi 2
j
\biggl(
u
\mu
\biggr) \pi \mu \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta )\ast \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\theta
\mu
d\theta \leq 2\mu \Phi 2
j (u) (37)
при любых \mu > 0 и u \in (0, 2\pi ). Тогда при любых m,n \in \BbbN и r, s \in \BbbZ + справедливы равенства
d2m - 1,2n - 1
\bigl(
W
(r,s)
k
\bigl(
\Phi 1,\Phi 2
\bigr)
, L2(Q)
\bigr)
= \delta 2m - 1,2n - 1
\bigl(
W
(r,s)
k
\bigl(
\Phi 1,\Phi 2
\bigr)
, L2(Q)
\bigr)
=
= Em - 1,n - 1
\bigl(
W
(r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2)
\bigr)
L2(Q)
= em - 1,n - 1
\bigl(
W
(r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2)
\bigr)
L2(Q)
=
=
1
2kmrns
\Phi k
1
\Bigl( \pi
m
\Bigr)
\Phi k
2
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
.
Доказательство. Неравенство (29) запишем в виде
E2
m - 1,n - 1(f)2 \leq
1
22km2rn2s
\times
\times
\left( mn
4
\pi /m\int
0
\pi /n\int
0
\omega
2/k
k (f
(r,s)
0 ;u, \upsilon )2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\upsilon du d\upsilon
\right)
k
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ „УГЛОМ” В МЕТРИКЕ L2 И ЗНАЧЕНИЯ . . . 863
Отсюда непосредственно получаем оценку сверху
d2m - 1,2n - 1
\bigl(
W
(r,s)
k
\bigl(
\Phi 1,\Phi 2
\bigr)
, L2(Q)
\bigr)
\leq \delta 2m - 1,2n - 1
\bigl(
W
(r,s)
k
\bigl(
\Phi 1,\Phi 2
\bigr)
, L2(Q)
\bigr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
Em - 1,n - 1(f)2 : f \in W
(r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2)
\bigr\}
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
em - 1,n - 1(f)2 : f \in W
(r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2)
\bigr\}
\leq
\leq 1
2kmrns
\Phi k
1
\Bigl( \pi
m
\Bigr)
\Phi k
2
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. (38)
Для получения оценки снизу колмогоровского квазипоперечника будем следовать схеме
рассуждений работ [8, 9]. Рассмотрим пространство L
(\nu )
2 := L
(\nu )
2 [0, 2\pi ], состоящее из функ-
ций g(\tau ), имеющих абсолютно непрерывные производные (\nu - 1)-го порядка g(\nu - 1) и \nu -ю
производную g(\nu ) \in L2. Введем в рассмотрение классы функций
W
(r)
k (\Phi 1) :=
\left\{ \varphi \in L
(r)
2 :
\pi
2u
u\int
0
\omega
2/k
k (\varphi (r); t)2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
u
tdt \leq \Phi 2
1(u); 0 \leq u \leq \pi
\right\} ,
W
(s)
k (\Phi 2) :=
\left\{ \psi \in L
(s)
2 :
\pi
2\upsilon
\upsilon \int
0
\omega
2/k
k (\psi (s); t)2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
\upsilon
\tau d\tau \leq \Phi 2
2(\upsilon ); 0 \leq \upsilon \leq \pi
\right\} ,
на базе которых полагаем \widetilde W (r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2) =W
(r)
k (\Phi 1)\otimes W
(s)
k (\Phi 2) :=
:=
\Bigl\{
\varphi (x)\psi (y) : \varphi \in W
(r)
k (\Phi 1), \psi \in W
(s)
k (\Phi 2)
\Bigr\}
.
В силу равенства (11) записываем
d2m - 1,2n - 1
\Bigl( \widetilde W (r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2), L2(Q)
\Bigr)
=
= d2m - 1
\Bigl(
W
(r)
k (\Phi 1);L2[0, 2\pi ]
\Bigr)
d2n - 1
\Bigl(
W
(s)
k (\Phi 2);L2[0, 2\pi ]
\Bigr)
, (39)
где dk(\cdot ) — обычный колмогоровский k-поперечник. Учитывая (39), включение \widetilde W (r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2) \subset
\subset W
(r,s)
k
\bigl(
\Phi 1,\Phi 2
\bigr)
, а также одномерный результат из [16]
d2q - 1
\Bigl(
W
(\nu )
k (\Phi ) ;L2[0, 2\pi ]
\Bigr)
= 2 - k/2q - \nu \Phi (\pi /q),
полученный с учетом (36) при выполнении ограничений (37), приходим к следующей оценке
снизу:
d2m - 1,2n - 1
\Bigl(
W
(r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2), L2(Q)
\Bigr)
\geq
\geq d2m - 1,2n - 1
\Bigl( \widetilde W (r,s)
k (\Phi 1,\Phi 2), L2(Q)
\Bigr)
=
=
1
2kmrns
\Phi k
1
\Bigl( \pi
m
\Bigr)
\Phi k
2
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. (40)
Доказательство теоремы 4 завершается сопоставлением оценок сверху (38) и снизу (40).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
864 М. Ш. ШАБОЗОВ, М. О. АКОБИРШОЕВ
Литература
1. М. К. Потапов, О приближении „углом”, Proc. Conf. Constructive Theory of Functions, Akad. Kiado, Budapesht
(1972), p. 371 – 399.
2. М. К. Потапов, Изучение некоторых классов функций при помощи приближения “углом”, Тр. Мат. ин-та СССР,
117, 256 – 291 (1972).
3. М. Томич, О приближении углом функций с доминирующим модулем гладкости, Publ. Inst. Math (Beograd), 23,
№ 37, 193 – 206 (1978).
4. W. Haussmann, K. Zeller, Uniqueness and non-uniqueness in bivariate L1-approximation, Approxim. Theory IV
(Proc. Intern. Symp., January 10 – 14, 1983), Acad. Press, New York (1983), p. 509 – 514.
5. H. Gronska, K. Jetter, Jackson-type theorems on approximation by trigonometric and algebraic pseudopolynomials,
J. Approxim. Theory, 48, № 4, 396 – 406 (1986).
6. С. Б. Вакарчук, О наилучшем приближении обобщенными полиномами в одном пространстве аналитических
функций двух комплексных переменных, Изв. вузов, 3, 14 – 25 (1991).
7. В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178,
3 – 113 (1986).
8. С. Б. Вакарчук, М. Ш. Шабозов, О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов,
Укр. мат. журн., 48, № 3, 301 – 308 (1996).
9. М. Ш. Шабозов, М. О. Акобиршоев, Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических
функций двух переменных, Докл. АН России, 404, № 4, 460 – 464 (2005).
10. М. Ш. Шабозов, М. О. Акобиршоев, О точных значениях квазипоперечников некоторых классов дифферен-
цируемых периодических функций двух переменных, Укр. мат. журн., 61, № 6, 855 – 864 (2009).
11. M. Sh. Shabozov, M. O. Akobirshoev, Exact estimates of quasiwidths of some classes of differentiable periodic
functions of two variables, Anal. Math., 35, № 1, 61 – 72 (2009).
12. С. Б. Вакарчук, А. В. Швачко, О наилучшем приближении „углом” в среднем на плоскости \BbbR 2 с весом
Чебышева – Эрмита, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 11, № 3, 35 – 46 (2014).
13. С. Б. Вакарчук, А. В. Швачко, Неравенства колмогоровского типа для производных двух переменных и их
приложение к аппроксимации „углом”, Изв. вузов, математика, 11, 3 – 22 (2015).
14. С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух
комплексных переменных и их приложения к теории аппроксимации, Укр. мат. журн., 63, № 12, 1579 – 1601
(2011).
15. Ю. А. Брудный, Приближение функций n-переменных квазимногочленами, Изв. АН СССР, сер. мат., 34, № 3,
564 – 583 (1979).
16. В. В. Шалаев, О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерыв-
ности высших порядков, Укр. мат. журн., 43, № 1, 125 – 129 (1991).
Получено 14.09.19,
после доработки — 06.05.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1064 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:33Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a2/375afa1023906d1f26f042d0eeda40a2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10642022-03-26T11:01:48Z Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions Среднеквадратическое приближение „углом” в метрике $L_2$ и значения квазипоперечников некоторых классов функций Среднеквадратическое приближение „углом” в метрике $L_2$ и значения квазипоперечников некоторых классов функций Shabozov, M. Sh. Akobirshoev , M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, М. О. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, М. О. the best approximation the generalized polynomials approximation subspace module of continuity quasiwidth UDC 517.5 In the metric $L_{2},$ we obtain exact inequalities that associate the best approximations by trigonometrical ``angles'' for functions $f(x,y),$ which are differentiable and $2\pi$-periodic in each variable, with the integrals containing modules of continuity of higher order for mixed derivatives of these functions.&nbsp;&nbsp;For some classes of functions defined by modules of continuity, we calculate Kolmogorov's quasiwidths and linear quasiwidths. УДК 517.5 В метрике $L_{2}$ получены точные неравенства, которыесвязывают наилучшие приближения дифференцируемых $2\pi$ -периодических по каждому из переменных функций $f(x,y)$тригонометрическими ``углами'' с интегралами, содержащими модулинепрерывности высших порядков смешанных производных этих функций.Вычислены колмогоровские и линейные квазипоперечники некоторыхклассов функций, определяемые указанными модулями непрерывности. УДК 517.5 У метриці $L_{2}$ отримано точні нерівності, що&nbsp;пов'язують найкращі наближення диференційовних $2\pi$-періодичних по кожній із змінних функцій $f(x,y)$&nbsp;тригонометричними ,,кутами'' з інтегралами, які містять модулі&nbsp;&nbsp;неперервності вищих порядків мішаних похідних цих функцій.&nbsp;Обчислено колмогоровські і лінійні квазіпоперечники деяких&nbsp;класів функцій, що визначаються вказаними модулями неперервності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1064 10.37863/umzh.v72i6.1064 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 6 (2020); 852-864 Український математичний журнал; Том 72 № 6 (2020); 852-864 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1064/8720 Copyright (c) 2020 Mirgand Shabozov |
| spellingShingle | Shabozov, M. Sh. Akobirshoev , M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, М. О. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, М. О. Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions |
| title | Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions |
| title_alt | Среднеквадратическое приближение „углом” в метрике $L_2$ и значения квазипоперечников некоторых классов функций Среднеквадратическое приближение „углом” в метрике $L_2$ и значения квазипоперечников некоторых классов функций |
| title_full | Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions |
| title_fullStr | Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions |
| title_full_unstemmed | Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions |
| title_short | Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions |
| title_sort | mean-square approximation by an angle in $l_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions |
| topic_facet | the best approximation the generalized polynomials approximation subspace module of continuity quasiwidth |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1064 |
| work_keys_str_mv | AT shabozovmsh meansquareapproximationbyanangleinl2andthevaluesofquasiwidthsforsomeclassesoffunctions AT akobirshoevmo meansquareapproximationbyanangleinl2andthevaluesofquasiwidthsforsomeclassesoffunctions AT shabozovmsh meansquareapproximationbyanangleinl2andthevaluesofquasiwidthsforsomeclassesoffunctions AT akobiršoevmo meansquareapproximationbyanangleinl2andthevaluesofquasiwidthsforsomeclassesoffunctions AT šabozovmš meansquareapproximationbyanangleinl2andthevaluesofquasiwidthsforsomeclassesoffunctions AT akobiršoevmo meansquareapproximationbyanangleinl2andthevaluesofquasiwidthsforsomeclassesoffunctions AT shabozovmsh srednekvadratičeskoepribliženieuglomvmetrikel2iznačeniâkvazipoperečnikovnekotoryhklassovfunkcij AT akobirshoevmo srednekvadratičeskoepribliženieuglomvmetrikel2iznačeniâkvazipoperečnikovnekotoryhklassovfunkcij AT shabozovmsh srednekvadratičeskoepribliženieuglomvmetrikel2iznačeniâkvazipoperečnikovnekotoryhklassovfunkcij AT akobiršoevmo srednekvadratičeskoepribliženieuglomvmetrikel2iznačeniâkvazipoperečnikovnekotoryhklassovfunkcij AT šabozovmš srednekvadratičeskoepribliženieuglomvmetrikel2iznačeniâkvazipoperečnikovnekotoryhklassovfunkcij AT akobiršoevmo srednekvadratičeskoepribliženieuglomvmetrikel2iznačeniâkvazipoperečnikovnekotoryhklassovfunkcij |