Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two
UDC 512.552.7 Let $FG$ be the group algebra of a finite $2$-group $G$ over a finite field $F$ of characteristic two and $\circledast$ an involution which arises from $G$. The $\circledast$-unitary subgroup of $FG$, denoted by $V_{\circledast}(FG)$, is defined to be the set of all normalized units $u...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1068 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507138500067328 |
|---|---|
| author | Laver, V. Balogh, Z. Лавер, В. Балог, Ж. |
| author_facet | Laver, V. Balogh, Z. Лавер, В. Балог, Ж. |
| author_sort | Laver, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:49Z |
| description | UDC 512.552.7
Let $FG$ be the group algebra of a finite $2$-group $G$ over a finite field $F$ of characteristic two and $\circledast$ an involution which arises from $G$. The $\circledast$-unitary subgroup of $FG$, denoted by $V_{\circledast}(FG)$, is defined to be the set of all normalized units $u$ satisfying the property $u^{\circledast}=u^{-1}$. In this paper we establish the order of $V_{\circledast}(FG)$ for all involutions $\circledast$ which arise from $G$, where $G$ is a finite cyclic $2$-group and show that all $\circledast$-unitary subgroups of $FG$ are not isomorphic. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i6.1068 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i6.1068
УДК 512.552.7
Ж. Балог (Ун-т Об’єднаних Арабських Емiратiв, Аль-Айн),
В. Лавер (Ужгород. нац. ун-т)
УНIТАРНI ПIДГРУПИ КОМУТАТИВНИХ ГРУПОВИХ АЛГЕБР
ХАРАКТЕРИСТИКИ 2*
Let FG be the group algebra of a finite 2-group G over a finite field F of characteristic two and let \circledast be an involution
that arises from G. The \circledast -unitary subgroup of FG denoted by V\circledast (FG) is defined as the set of all normalized units u
satisfying the property u\circledast = u - 1 . In this paper, we find the order of V\circledast (FG) for all involutions \circledast that arise from G,
where G is a finite cyclic 2-group, and show that all \circledast -unitary subgroups of FG are not isomorphic.
Нехай FG — групова алгебра скiнченної 2-групи G над скiнченним полем F характеристики 2 i \circledast — iнволюцiя,
що виникає iз групи G. \circledast -Унiтарна пiдгрупа FG, яка позначається V\circledast (FG), визначається як множина всiх
нормалiзованих одиниць u, якi задовольняють властивiсть u\circledast = u - 1. У данiй статтi знайдено порядок V\circledast (FG)
для всiх iнволюцiй \circledast , якi виникають iз G, де G — скiнченна циклiчна 2-група, i показано, що всi \circledast -унiтарнi
пiдгрупи FG неiзоморфнi.
1. Вступ. Нехай FG — групова алгебра 2-групи G над скiнченним полем F характеристики
2. Множина всiх одиниць FG, якi за допомогою поповнюючого вiдображення вiдобража-
ються в 1, формує групу. Ця група (позначається V (FG)) називається групою нормалiзованих
одиниць. Опис структури V (FG) є центральною проблемою теорiї групових алгебр, i вона
дослiджувалась у багатьох роботах. Огляд груп одиниць модулярних групових алгебр наведе-
но у [3].
Нехай \circledast — iнволюцiя на FG. Елемент u \in V (FG) називається \circledast -унiтарним, якщо u\circledast =
= u - 1. Множина всiх \circledast -унiтарних елементiв V (FG) формує пiдгрупу V (FG), яка познача-
ється V\circledast (FG). Унiтарна пiдгрупа, що вiдноситься до канонiчної iнволюцiї (F — лiнiйне розши-
рення iнволюцiї на G, яке кожному елементу G ставить у вiдповiднiсть обернений елемент), вi-
дiграє важливу роль у дослiдженнi структури груп одиниць групових алгебр [7, 9, 10, 19, 20, 22].
Знаходження порядку V\ast (FG) є особливо складною задачею, якщо характеристика F дорiв-
нює двом. Це питання дослiджувалось у кiлькох статтях. А. Бовдi i А. Сакач у [8, 9] визначили
структуру \ast -унiтарних пiдгруп усiх абелевих p-груп i скiнченних полiв характеристики p. У
[13] В. Бовдi та А. Н. Грiшков визначили iнварiанти \eta -унiтарних i симетричних нормалiзованих
одиниць FG, де F — скiнченне поле з двох елементiв, G — скiнченна абелева 2-група i \eta —
iнволютивна iнволюцiя.
Вiдомi тiльки окремi результати для випадку, коли група G не є абелевою. В статтi [11]
визначено порядок V\ast (FG) для дiедральної групи, групи кватернiонiв та екстраспецiальних
2-груп, якщо F — скiнченне поле характеристики 2. Структуру V\ast (FG) для випадку, коли
F — поле iз двох елементiв i G є групою порядку 16 або групою максимального класу, було
знайдено у [4, 5] вiдповiдно. У статтi [10] описано всi груповi алгебри, \ast -унiтарнi пiдгрупи яких
є нормальними у V (FG). Структури V\ast (FQ8) та V\ast (FD8) було знайдено у [14, 15], де Q8 —
група кватернiонiв, D8 — дiедральна група порядку 8 i F — скiнченне поле характеристики 2.
* Виконано за пiдтримки UAEU Research Start-up Grant No. G00002968.
c\bigcirc Ж. БАЛОГ, В. ЛАВЕР, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6 751
752 Ж. БАЛОГ, В. ЛАВЕР
Для немодулярного випадку кiлькiсть результатiв є обмеженою. У [21] було визначено
порядок V\ast (F2kD2N ), де D2N — дiедральна група порядку 2N.
А. Бовдi i А. Сакач також визначили порядок \circledast -унiтарних пiдгруп для випадку, коли харак-
теристика поля F непарна i \circledast виникає з абелевої p-групи G у [6]. Окрiм того, у [12] було
дослiджено структуру унiтарних пiдгруп для рiзних iнволюцiй, де G — дiедральна група. У [2]
структуру V\circledast (FG) було описано для всiх неабелевих груп G порядку 8, де \circledast виникає iз G.
У данiй статтi ми знаходимо порядок V\circledast (FG), де \circledast — iнволюцiя, що виникає зi скiнченної
циклiчної 2-групи G. За допомогою отриманих результатiв доведено таку теорему.
Теорема 1. Нехай F — скiнченне поле характеристики 2. Тодi \circledast -унiтарнi пiдгрупи FC2n ,
n > 2, де \circledast виникає з C2n , не є iзоморфними.
2. \circledast -Унiтарнi пiдгрупи \bfitF \bfitC \bftwo \bfitn . Нехай G — скiнченна 2-група. Позначимо через G[2i] пiд-
групу G, генеровану елементами порядку 2i. Ми використовуємо позначення G2i для пiдгрупи
\langle g2i | g \in G\rangle . У данiй статтi | S| позначає порядок скiнченної множини S, | g| — порядок g \in G,
Cn — циклiчну групу порядку n i \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}G — групу автоморфiзмiв групи G. Також далi у статтi
ми розглядаємо F, як скiнченне поле характеристики 2, i там, де це потрiбно, ми вказуємо
порядок поля у нижньому iндексi (тобто F2n — поле iз 2n елементiв).
Для подальшого викладу нам потрiбнi двi леми.
Лема 1 ([8], теорема 2). Нехай G — скiнченна абелева 2-група i F — скiнченне поле харак-
теристики 2. Тодi
| V\ast (FG)| = | G2[2]| | F |
1
2
(| G| +| G[2]| ) - 1.
Лема 2 ([16], твердження 16). \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}Cn
\sim = (\BbbZ n)
\times .
З леми 2 i теореми 2 [18, с. 43] отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 1. \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}C2n
\sim = C2n - 2 \times C2, n > 2.
У подальшому ми вважатимемо n бiльшим, нiж 2.
Отже, елементи порядку 2 у \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}C2n формують пiдгрупу, яка є iзоморфною 4-групi Клейна.
Нехай \sigma 1 — одиничний автоморфiзм i
\sigma 2 : a \mapsto \rightarrow a - 1, \sigma 3 : a \mapsto \rightarrow a2
n - 1 - 1, \sigma 4 : a \mapsto \rightarrow a2
n - 1+1.
Iнволюцiя \sigma 2 є канонiчною iнволюцiєю FG. Згiдно з лемою 1 маємо | V\ast (FC2n)| = 2| F |
| C2n |
2 .
Позначимо через \circledast лiнiйне розширення iнволюцiї \circledast групи G на FG, а через G\circledast = \{ g \in
\in G | g = g\circledast \} множину \circledast -симетричних елементiв G. Кожний \circledast -симетричний елемент FG
(тобто такий, що x = x\circledast ) можна записати у виглядi\sum
g\in G\circledast
\alpha gg +
\sum
g \not \in G\circledast
\beta g(g + g\circledast ).
Щоб уникнути непорозумiнь, далi там, де це потрiбно, будемо уточнювати iнволюцiю, викори-
стовуючи позначення \sigma i, i \in \{ 3, 4\} , замiсть \circledast .
Для того щоб навести формулу для порядку унiтарної пiдгрупи для iнволюцiї \sigma 3, нам
потрiбнi деякi додатковi викладки.
Нехай H — нормальна пiдгрупа G i I(H) — iдеал FG, генерований множиною \{ (1 +
+ h) | h \in H\} . I(H) можна розглядати як F -модуль iз базисними елементами u(1 + h), де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
УНIТАРНI ПIДГРУПИ КОМУТАТИВНИХ ГРУПОВИХ АЛГЕБР ХАРАКТЕРИСТИКИ 2 753
u \in R(G/H) i h \not = 1. Як висновок, маємо | I(H)| = F
| C2n|
2 . Вiдомо, що FG/I(H) \sim = F (G/H), i
ми позначатимемо через \Psi вiдповiдний природний гомоморфiзм. Позначимо G = G/H i через
V\sigma 3(FG) унiтарну пiдгрупу фактор-алгебри FG/I(H), де x\sigma 3 — iндукована дiя iнволюцiї \sigma 3
на x \in FG/I(H). Очевидно, що множина
N\sigma 3
\Psi =
\bigl\{
x \in V (FG) | \Psi (x) \in V\sigma 3(FG)
\bigr\}
утворює пiдгрупу в V (FG). Бiльше того, множина I(H)+ = \{ 1 + x | x \in I(H)\} утворює
нормальну пiдгрупу в V (FG). Визначимо SH як групу, генеровану елементами \{ xx\sigma 3 | x \in
\in N\sigma 3
\Psi \} . З огляду на те, що xx\sigma 3 \in 1 + \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\Psi ) = I(H)+, приходимо до висновку, що SH є
пiдгрупою I(H)+.
Лема 3. Нехай F — скiнченне поле характеристики 2. Тодi порядок V\sigma 3(FC2n) дорiвнює
| F | 2n - 1
.
Доведення. Нехай H = G\sigma 3 = \langle a2n - 1\rangle . Позначимо через \widehat H суму всiх елементiв H.
Очевидно, що xx\sigma 3 \in I(H)+ для всiх x \in N\sigma 3
\Psi . Отже,
xx\sigma 3 =
\sum
g\in G\sigma 3
\delta gg +
\sum
g \not \in G\sigma 3
\alpha g(g + g\sigma 3) \widehat H + \beta a2
n - 2 \widehat H (1)
для деяких \alpha g, \beta , \delta g \in F.
Доведемо, що SH генерується елементами a2
n - 1
, 1 + \beta a2
n - 2 \widehat H i 1 + \alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i
\bigr) \widehat H, де
i \in \{ 1, . . . , 2n - 2 - 1\} .
Нехай xi = 1 + \alpha i(a
i + a2
n - 1+i). Тодi
xix
\sigma 3
i =
\bigl(
1 + \alpha ia
i + \alpha ia
2n - 1+i
\bigr) \bigl(
1 + \alpha ia
2n - 1 - i + \alpha ia
- i
\bigr)
=
= 1 + \alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i + a2
n - 1+i + a - i
\bigr)
= 1 + \alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i
\bigr) \widehat H.
Оскiльки xix
\sigma 3
i належить до I(H)+, а xi — до N\sigma 3
\Psi , то 1 + \alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i
\bigr) \widehat H належить SH
для всiх \alpha i \in F.
Очевидно, y = 1 + \gamma
\bigl(
a2
n - 3
+ a - 2n - 3\bigr) \not = 1 є \sigma 3-симетричним елементом, якщо n > 3, i
y = 1 + \gamma (a + a3) також є \sigma 3-симетричним елементом, якщо n = 3. Можна за допомогою
обчислень показати, що
yy\sigma 3 = y2 = 1 + \gamma 2
\bigl(
a2
n - 2
+ a - 2n - 2\bigr)
= 1 + \gamma 2a2
n - 2 \widehat H.
Загальновiдомо, що група одиниць F, яка позначається через U(F ), є циклiчною групою
непарного порядку. Отже, \eta (\alpha ) = \alpha 2 є антиавтоморфiзмом U(F ), i ми можемо вибрати таке
\gamma \in F, що \gamma 2 = \beta . Отже, 1 + \beta a2
n - 2 \widehat H також належить SH .
Легко бачити, що a2
n - 1
належить SH . Дiйсно, a \cdot a\sigma 3 = a2
n - 1
.
Тепер покажемо, що \gamma a2
n - 1
не належить SH для всiх \gamma \not = 1. Кожен елемент FG може бути
записаний у виглядi x1 + x2a, де x1, x2 \in FC2
2n . Шляхом нескладних обчислень отримуємо
(x1 + x2a)(x1 + x2a)
\sigma 3 = x1x
\ast
1 + x2x
\ast
2a
2n - 1
+
\bigl(
x\ast 1x2 + x1x
\ast
2a
2n - 1\bigr)
a,
де \ast є канонiчною iнволюцiєю FG. Згiдно з лемою 3 [1] a2
n - 1
не належить носiєвi zz\ast для всiх
z \in FG i слiд zz\ast дорiвнює поповнюючому вiдображенню z, тобто x1x
\ast
1+x2x
\ast
2a
2n - 1
= \gamma a2
n - 1
тодi i тiльки тодi, коли \gamma = 1.
Легко перевiрити, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
754 Ж. БАЛОГ, В. ЛАВЕР\bigl(
1 + \alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i
\bigr) \widehat H\bigr) \bigl(
1 + \beta j(a
j + a2
n - 1 - j) \widehat H\bigr)
=
= 1 +
\bigl(
\alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i
\bigr)
+ \beta j
\bigl(
a2
n - 1+j + a - j
\bigr) \bigr) \widehat H
i \bigl(
1 + \alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i
\bigr) \widehat H\bigr) \bigl(
1 + \beta a2
n - 2 \widehat H\bigr)
=
= 1 +
\bigl(
\alpha i
\bigl(
ai + a2
n - 1 - i
\bigr)
+ \beta a2
n - 2\bigr) \widehat H.
З того, що SH є елементарною абелевою групою, випливає, що | SH | = 2| F | 2n - 2
.
На пiдставi того, що | I(H)+| = | I(H)| , i теореми про гомоморфiзми маємо
| V\sigma 3(FC2n)| =
| I(H)| | V\ast (FG)|
| SH |
= | F |
| C2n |
2
| V\ast (FG)|
| SH |
.
Використовуючи лему 1, отримуємо
| V\sigma 3(FC2n)| =
| F | 2n - 1 \cdot 2| F | 2n - 2
2| F | 2n - 2 = | F | 2n - 1
,
що i доводить лему.
Розглянемо випадок, коли \circledast = \sigma 4. Зауважимо, що iндекси всiх коефiцiєнтiв у твердженнi
та доведеннi наступної леми розглядаються як елементи F2n .
Лема 4. Нехай F — скiнченне поле характеристики 2 i x =
\sum 2n - 1
i=0
\alpha ia
i, x \in V (FC2n).
Тодi
xx\sigma 4 =
2n - 2 - 1\sum
i=0
(\alpha 2i + \alpha 2i+2n - 1)2a4i+
+
2n - 2 - 1\sum
i=0
(\alpha 2(i+2n - 3)+1 + \alpha 2(i+2n - 3)+1+2n - 1)2a4i+2+
+
2n - 2 - 1\sum
j=0
2n - 2 - 1\sum
i=0
(\alpha 2i + \alpha 2i+2n - 1)(\alpha 2j+1 - 2i+2n - 1 + \alpha 2j+1 - 2i)
\bigl(
a2j+1 + a2j+1+2n - 1\bigr)
.
Доведення. Очевидно, що x\sigma 4 =
\sum 2n - 1 - 1
i=0
\alpha 2ia
2i +
\sum 2n - 1 - 1
i=0
\alpha 2i+1+2n - 1a2i+1. Отже, кое-
фiцiєнт при al у xx\sigma 4 , де l \in \{ 1, 3, . . . , 2n - 1\} , дорiвнює
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i\alpha l - 2i+2n - 1 +
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i+1\alpha l - 2i - 1.
Оскiльки l - 2i - 1 — парне число, ми можемо перегрупувати другий доданок:
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i+1\alpha l - 2i - 1 =
2n - 1 - 1\sum
k=0
\alpha l - 2k\alpha 2k,
де 2k = l - (2i+ 1). Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
УНIТАРНI ПIДГРУПИ КОМУТАТИВНИХ ГРУПОВИХ АЛГЕБР ХАРАКТЕРИСТИКИ 2 755
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i\alpha l - 2i+2n - 1 +
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i+1\alpha l - 2i - 1 =
=
2n - 1 - 1\sum
k=0
\alpha 2k(\alpha l - 2k+2n - 1 + \alpha l - 2k).
Розглянемо коефiцiєнт \alpha 2k+2n - 1 = \alpha 2(k+2n - 2) для деякого k. Маємо
\alpha l - 2(k+2n - 2)+2n - 1 + \alpha l - 2(k+2n - 2) = \alpha l - 2k + \alpha l - 2k+2n - 1 .
З цього можемо зробити висновок, що коефiцiєнти при al i al+2n - 1
є рiвними. Отже,
2n - 1 - 1\sum
k=0
\alpha 2k(\alpha l - 2k+2n - 1 + \alpha l - 2k) =
=
2n - 2 - 1\sum
k=0
(\alpha 2k + \alpha 2k+2n - 1)(\alpha l - 2k+2n - 1 + \alpha l - 2k).
Розглянемо випадок, коли l є парним. Тодi коефiцiєнт при al у xx\sigma 4 дорiвнює
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i\alpha l - 2i +
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i+1\alpha l - 2i - 1+2n - 1 . (2)
Припустимо, що l \equiv 4t (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n) для деякого t \in \{ 0, . . . , 2n - 2\} . Розглянемо першу суму в
(2). Нехай 2i \equiv l - 2i (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n). Тодi, якщо l \equiv 4t (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n), отримуємо 4i \equiv 4t (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)
або 2i \equiv 2t (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n - 1). Отже, якщо 2i \equiv 2t (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n - 1), то \alpha 2i\alpha l - 2i дорiвнює або \alpha 2
2t, або
\alpha 2
2t+2n - 1 . Припустимо, що 2i \not \equiv l - 2i (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n). Розглянемо s \in \{ 0, . . . , 2n - 1 - 1\} таке, що
2s \equiv l - 2i (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n). Тодi l - 2s \equiv l - (l - 2i) \equiv 2i (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n), тобто кожен доданок з’являється
двiчi, тож
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i\alpha l - 2i = \alpha 2
2t + \alpha 2
2t+2n - 1 = (\alpha 2t + \alpha 2t+2n - 1)2.
Розглянемо другу суму в (2). Припустимо, що iснує i \in \{ 0, . . . , 2n - 1\} таке, що 2i + 1 \equiv
\equiv l - (2i + 1) + 2n - 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n). Беручи до уваги те, що l \equiv 4t (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n), маємо 2(2i + 1) \equiv
\equiv 4t+ 2n - 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n). Отже, 2i+ 1 \equiv 2t+ 2n - 2 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n - 1), що є суперечнiстю. Це означає,
що 2i+ 1 \not \equiv l - (2i+ 1) + 2n - 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n) для всiх i \in \{ 0, . . . , 2n - 1\} .
Розглянемо s \in \{ 0, . . . , 2n - 1 - 1\} таке, що 2s+ 1 \equiv l - (2i+ 1) + 2n - 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n). Тодi
l - (2s+ 1) + 2n - 1 \equiv l - (l - (2i+ 1) + 2n - 1) + 2n - 1 \equiv 2i+ 1.
Отже, кожен доданок вигляду \alpha 2i+1\alpha l - 2i - 1+2n - 1 з’являється двiчi, тож ми робимо висновок,
що
2n - 1 - 1\sum
i=0
\alpha 2i+1\alpha j - 2i - 1+2n - 1 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
756 Ж. БАЛОГ, В. ЛАВЕР
Припустимо, що l \equiv 4t+2 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n). Тодi з допомогою аналогiчних мiркувань отримуємо\sum 2n - 1 - 1
i=0
\alpha 2i+1\alpha l - 2i - 1+2n - 1 = \alpha 2
2(t+2n - 3)+1 + \alpha 2
2(t+2n - 3)+1+2n - 1 i
\sum 2n - 1 - 1
i=0
\alpha 2i\alpha l - 2i = 0.
Пiдсумовуючи коефiцiєнти для всiх al, l \in \{ 0, . . . , 2n - 1\} , завершуємо доведення леми.
Наслiдок 2. Нехай F — скiнченне поле характеристики 2 i x =
\sum 2n - 1
i=0
\alpha ia
i \in V (FC2n).
Тодi
xx\sigma 4 =
2n - 1 - 1\sum
i=0
\beta 2ia
2i +
2n - 1 - 1\sum
i=0
\beta 2i+1a
2i+1
i \beta 2i+1 = fi(\beta 0, \beta 2, . . . , \beta 2n - 2) для деяких функцiй fi, де 0 \leq i < 2n - 1. Бiльш того,\sum 2n - 1 - 1
i=0
\beta 2i+1 = 0.
Доведення. Беручи до уваги лему 4 i те, що \eta (\delta ) = \delta 2 є автоморфiзмом на F, робимо
висновок, що коефiцiєнт \beta k залежить лише вiд коефiцiєнтiв \beta 0, \beta 2, . . . , \beta 2n - 2 для кожного
непарного k.
Згiдно з лемою 4, коефiцiєнти при a2j+1 i a2j+1+2n - 1
збiгаються для всiх 0 \leq j < 2n - 1,
тож
\sum 2n - 1 - 1
i=0
\beta 2i+1 = 0.
Лема 5. Нехай F — скiнченне поле характеристики 2. Тодi V\sigma 4(FC2n) є елементарною
абелевою групою порядку | F | 2n - 1
.
Доведення. Вiдображення \varphi (x) = xx\sigma 4 є гомоморфiзмом на V (FG). Позначимо через S\sigma 4
образ цього гомоморфiзму. Ядро \varphi (x) збiгається з унiтарною пiдгрупою V\sigma 4(FG). Отже,
V (FG)/V\sigma 4(FG) \sim = S\sigma 4 .
Згiдно з наслiдком 2, кiлькiсть вiльних коефiцiєнтiв у xx\sigma 4 дорiвнює 2n - 1 - 1. Дiйсно,
\beta k не є незалежними змiнними для непарних k, i оскiльки xx\sigma 4 — оборотний елемент, то\sum 2n - 1
i=0
\beta i = 1. Можна бачити, що | S\sigma 4 | = | F | 2n - 1 - 1. Отже,
| V\sigma 4(FG)| = | V (FG)|
| S\sigma 4 |
=
| F | 2n - 1
| F | 2n - 1 - 1
= | F | 2n - 1
.
Покажемо, що V\sigma 4(FC2n) є елементарною абелевою групою. Згiдно з лемою 4, якщо xx\sigma 4 =
= 1, то x є \sigma 4-симетричним елементом. Отже, x2 = 1, що i доводить лему.
Доведення теореми 1. Оскiльки порядок \ast -унiтарної пiдгрупи найбiльший, вона не може
бути iзоморфною до жодної \circledast -унiтарної пiдгрупи.
Оскiльки (a2i)\sigma 3 = a - 2i i (a2i+1)\sigma 3 = a2
n - 1 - 2i - 1, ми робимо висновок, що V\sigma 3(FC2n) \cap
\cap C2n = \langle a2\rangle . Отже, експонента V\sigma 3(FC2n) є не меншою нiж 2n - 1. Беручи до уваги те,
що V\sigma 4(FC2n) є елементарною абелевою групою за лемою 5, робимо висновок, що унiтарнi
пiдгрупи, утворенi iнволюцiями \sigma 3 i \sigma 4, не є iзоморфними групами.
Зауважимо, що у загальному випадку, коли група G є абелевою, теорема 1 не обов’язково
має мiсце. Використовуючи GAP System [17], ми можемо переконатися, що деякi унiтарнi
пiдгрупи F (C8 \times C2), де F — поле iз двох елементiв, є iзоморфними. В цьому випадку є шiсть
автоморфiзмiв порядку \leq 2:
\sigma 1 =
\Biggl\{
a \mapsto \rightarrow a,
b \mapsto \rightarrow b,
\sigma 2 =
\Biggl\{
a \mapsto \rightarrow a3b,
b \mapsto \rightarrow b,
\sigma 3 =
\Biggl\{
a \mapsto \rightarrow ab,
b \mapsto \rightarrow b,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
УНIТАРНI ПIДГРУПИ КОМУТАТИВНИХ ГРУПОВИХ АЛГЕБР ХАРАКТЕРИСТИКИ 2 757
\sigma 4 =
\Biggl\{
a \mapsto \rightarrow a,
b \mapsto \rightarrow a2b,
\sigma 5 =
\Biggl\{
a \mapsto \rightarrow a3,
b \mapsto \rightarrow a2b,
\sigma 6 =
\Biggl\{
a \mapsto \rightarrow a3,
b \mapsto \rightarrow b.
Унiтарнi пiдгрупи, iндукованi \sigma 2 i \sigma 4, є iзоморфними до 4-групи Клейна C2 \times C2.
Лiтература
1. Z. Balogh, A. Bovdi, On units of group algebras of 2-groups of maximal class, Commun. Algebra, 32, № 8,
3227 – 3245 (2004).
2. Z. Balogh, L. Creedon, J. Gildea, Involutions and unitary subgroups in group algebras, Acta Sci. Math. (Szeged),
79, № 3-4, 391 – 400 (2013).
3. A. Bovdi, The group of units of a group algebra of characteristic p, Publ. Math. Debrecen, 52, № 1-2, 193 – 244
(1998).
4. A. Bovdi, L. Erdei, Unitary units in modular group algebras of groups of order 16, Techn. Rep., Univ. Debrecen,
L. Kossuth Univ., 4, № 157, 1 – 16 (1996).
5. A. Bovdi, L. Erdei, Unitary units in modular group algebras of 2-groups, Commun. Algebra, 28, № 2, 625 – 630
(2000).
6. A. Bovdi, A. Szakács, Units of commutative group algebra with involution, Publ. Math. Debrecen, 69, № 3, 291 – 296
(2006).
7. A. A. Bovdi, Unitarity of the multiplicative group of an integral group ring, Mat. Sb. (N.S.), 119(161), № 3, 387 – 400
(1982).
8. A. A. Bovdi, A. A. Sakach, The unitary subgroup of the multiplicative group of the modular group algebra of a nite
Abelian p-group, Mat. Zametki, 45, № 6, 23 – 29 (1989).
9. A. A. Bovdi, A. Szakács, A basis for the unitary subgroup of the group of units in a nite commutative group algebra,
Publ. Math. Debrecen, 46, № 1-2, 97 – 120 (1995).
10. V. Bovdi, L. G. Kovács, Unitary units in modular group algebras, Manuscripta Math., 84, № 1, 57 – 72 (1994).
11. V. Bovdi, A. L. Rosa, On the order of the unitary subgroup of a modular group algebra, Commun. Algebra, 28, № 4,
1897 – 1905 (2000).
12. V. Bovdi, T. Rozgonyi, Unitary units in modular group algebras, Acta. Acad. Paed. Nyiregyháza, 84, № 1, 57 – 72
(1994).
13. V. A. Bovdi, A. N. Grishkov, Unitary and symmetric units of a commutative group algebra, Proc. Edinburgh Math.
Soc., 62, № 3, 641 – 654 (2019).
14. L. Creedon, J. Gildea, Unitary units of the group algebra F2kQs , Internat. J. Algebra and Comput., 19, № 2,
283 – 286 (2009).
15. L. Creedon, J. Gildea, The structure of the unit group of the group algebra F2kQs , Canad. Math. Bull., 54, № 2,
237 – 243 (2011).
16. D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).
17. The GAP Group, GAP –– Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.10.2 (2019).
18. K. Ireland, M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Grad. Texts Math., 84, Springer-Verlag,
New York (1990).
19. G. T. Lee, S. K. Sehgal, E. Spinelli, Group rings whose unitary units are nilpotent, J. Algebra, 410, 343 – 354 (2014).
20. G. T. Lee, S. K. Sehgal, E. Spinelli, Bounded Engel and solvable unitary units in group rings, J. Algebra, 501,
225 – 232 (2018).
21. N. Makhijani, R. Sharma, J. Srivastava, On the order of unitary subgroup of the modular group algebra F2kD2N ,
J. Algebra and Appl., 14, № 8, 1550129-1 – 1550129-10 (2015).
22. S. P. Novikov, Algebraic construction and properties of Hermitian analogs of K -theory over rings with involution
from the viewpoint of Hamiltonian formalism. Applications to di erential topology and the theory of characteristic
classes, I. II, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 34, 253 – 288, 475 – 500 (1970).
Одержано 17.09.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1068 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:33Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8b/13e8cf1d7894de40a87a0e31d0f1338b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10682022-03-26T11:01:49Z Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two Унiтарнi пiдгрупи комутативних групових алгебр характеристики 2 Унiтарнi пiдгрупи комутативних групових алгебр характеристики 2 Laver, V. Balogh, Z. Лавер, В. Балог, Ж. UDC 512.552.7 Let $FG$ be the group algebra of a finite $2$-group $G$ over a finite field $F$ of characteristic two and $\circledast$ an involution which arises from $G$. The $\circledast$-unitary subgroup of $FG$, denoted by $V_{\circledast}(FG)$, is defined to be the set of all normalized units $u$ satisfying the property $u^{\circledast}=u^{-1}$. In this paper we establish the order of $V_{\circledast}(FG)$ for all involutions $\circledast$ which arise from $G$, where $G$ is a finite cyclic $2$-group and show that all $\circledast$-unitary subgroups of $FG$ are not isomorphic. УДК 512.552.7 Нехай $FG$ — групова алгебра скiнченної 2-групи $G$ над скiнченним полем $F$ характеристики 2 i $\circledast$ — iнволюцiя, що виникає iз групи $G$. $\circledast $ - унiтарна пiдгрупа $FG$, яка позначається $V_{\circledast}(FG)$, визначається, як множина всiх нормалiзованих одиниць $u$, якi задовольняють властивiсть $u^{\circledast}=u^{-1}$. У данiй статтi знайдено порядок $V_{\circledast}(FG)$ для всiх iнволюцiй $\circledast$ , якi виникають iз $G$, де $G$ — скiнченна циклiчна 2-група, i показано, що всi $\circledast$ -унiтарнi пiдгрупи $FG$ неiзоморфнi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1068 10.37863/umzh.v72i6.1068 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 6 (2020); 751-757 Український математичний журнал; Том 72 № 6 (2020); 751-757 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1068/8712 Copyright (c) 2020 Vasyl Laver, Zsolt Balogh |
| spellingShingle | Laver, V. Balogh, Z. Лавер, В. Балог, Ж. Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two |
| title | Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two |
| title_alt | Унiтарнi пiдгрупи комутативних групових алгебр характеристики 2 Унiтарнi пiдгрупи комутативних групових алгебр характеристики 2 |
| title_full | Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two |
| title_fullStr | Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two |
| title_full_unstemmed | Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two |
| title_short | Unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two |
| title_sort | unitary subgroups of commutative group algebras of characteristic two |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1068 |
| work_keys_str_mv | AT laverv unitarysubgroupsofcommutativegroupalgebrasofcharacteristictwo AT baloghz unitarysubgroupsofcommutativegroupalgebrasofcharacteristictwo AT laverv unitarysubgroupsofcommutativegroupalgebrasofcharacteristictwo AT balogž unitarysubgroupsofcommutativegroupalgebrasofcharacteristictwo AT laverv unitarnipidgrupikomutativnihgrupovihalgebrharakteristiki2 AT baloghz unitarnipidgrupikomutativnihgrupovihalgebrharakteristiki2 AT laverv unitarnipidgrupikomutativnihgrupovihalgebrharakteristiki2 AT balogž unitarnipidgrupikomutativnihgrupovihalgebrharakteristiki2 |