Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations
UDC 517.9 The averaging method is applied to the investigation of the problem of existence of solutions of boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations.  It is shown that if the averaged boundary-value problem has a solution, then th...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1071 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507141312348160 |
|---|---|
| author | Mynbayeva, S. T. Stanzhitskii, A. N. Marchuk, N. A. Мынбаева, С. Т. Станжицкий, А. Н. Марчук, Н. А. Минбаєва, С. Т. Станжицький, О. М. Марчук, Н. А. |
| author_facet | Mynbayeva, S. T. Stanzhitskii, A. N. Marchuk, N. A. Мынбаева, С. Т. Станжицкий, А. Н. Марчук, Н. А. Минбаєва, С. Т. Станжицький, О. М. Марчук, Н. А. |
| author_sort | Mynbayeva, S. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-07T12:15:30Z |
| description | UDC 517.9
The averaging method is applied to the investigation of the problem of existence of solutions of boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations.  It is shown that if the averaged boundary-value problem has a solution, then the original problem also has a solution.  It is worth noting that, in this case, the system obtained as a result of averaging of a system of integrodifferential equations has the form of a simpler  system of ordinary differential equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. Н. Станжицкий (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
С. Т. Мынбаева (Актюб. регион. гос. ун-т им. К. Жубанова, Актобе, Казахстан; Ин-т математики и мат.
моделирования, Алматы, Казахстан),
Н. А. Марчук (Подол. аграр.-техн. ун-т, Каменец-Подольский)
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
The averaging method is applied to the investigation of the problem of existence of solutions of boundary-value problems
for systems of differential and integrodifferential equations. It is shown that if the averaged boundary-value problem has a
solution, then the original problem also has a solution. It is worth noting that, in this case, the system obtained as a result of
averaging of a system of integrodifferential equations has the form of a simpler system of ordinary differential equations.
Метод усереднення застосовано до дослiдження iснування розв’язкiв крайових задач для систем диференцiальних i
iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Показано, що якщо усереднена крайова задача має розв’язок, то початкова задача
також має розв’язок. При цьому усередненою для системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь є бiльш проста система
звичайних диференцiальних рiвнянь.
Введение. Рассматриваются краевые задачи для систем дифференциальных и интегро-диффе-
ренциальных уравнений с малым параметром вида
\.x = \varepsilon X(t, x), F
\biggl(
x(0), x
\biggl(
T
\varepsilon
\biggr) \biggr)
= 0 (1)
и
\.x = \varepsilon X
\left( t, x, t\int
0
\varphi
\bigl(
t, s, x(s)
\bigr)
ds
\right) , F
\biggl(
x(0), x
\biggl(
T
\varepsilon
\biggr) \biggr)
= 0, (2)
где \varepsilon > 0 — малый параметр, X, F — d-мерные вектор-функции, \varphi — m-мерная вектор-
функция.
При условии существования интегрального среднего
X0(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
T\int
0
X(t, x)dt (3)
задаче (1) ставится в соответствие усредненная краевая задача
\.y = \varepsilon X0(y), F
\biggl(
y(0), y
\biggl(
T
\varepsilon
\biggr) \biggr)
= 0 (4)
или в „медленном времени" \tau = \varepsilon t
dy
d\tau
= X0(y), F
\bigl(
y(0), y(T )
\bigr)
= 0. (5)
c\bigcirc А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2 245
246 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
Аналогично для задачи (2), если \varphi 1(t, x) =
\int t
0
\varphi
\bigl(
t, s, x
\bigr)
ds, то интегральное среднее имеет
вид
X0(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
T\int
0
X(t, x, \varphi 1(t, x))dt, (6)
а усредненная краевая задача — вид (4) или (5).
Целью работы является доказательство того факта, что если усредненные краевые задачи
имеют решения, то и исходные краевые задачи (1), (2) при малых значениях параметра \varepsilon имеют
решения, при этом устанавливается близость между соответствующими решениями точных и
усредненных задач. Точная постановка задач и формулировки результатов приведены во втором
пункте.
Интегро-дифференциальные уравнения являются математическими моделями многих ре-
альных процессов, возникающих в различных областях естествознания, например в флуид-
ной динамике, кинетической химии (см. [1 – 3] и приведенную в них библиографию). Такие
уравнения появляются при изучении мультиволатильных популяций [4], при пространственно-
временном развитии эпидемий [5] и др.
В данных моделях, как правило, возникают краевые задачи. Изучению краевых задач для
интегро-дифференциальных уравнений посвящено много работ (см. [6 – 12]).
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений к исследованию краевых задач
успешно применялся метод усреднения [13], позволяющий свести решение краевой задачи
для неавтономной системы к исследованию аналогичной задачи для автономной усредненной
системы. Метод усреднения разработан и для интегро-дифференциальных уравнений с после-
дующим его применением к решению краевых задач (см., например, [14] и приведенную в ней
библиографию). При этом для решения краевых задач он имеет еще большее значение, так как
позволяет свести краевую задачу для интегро-дифференциальных уравнений к краевой задаче
для обыкновенных дифференциальных уравнений.
В данной работе мы рассматриваем аналогичные вопросы как для обыкновенных, так и для
интегро-дифференциальных уравнений. При этом для обыкновенных уравнений, в отличие от
работы [13], где рассмотрена система с быстрыми и медленными переменными, мы рассмат-
риваем систему только с медленными переменными. Однако сужение класса систем позволило
нам ослабить некоторые условия работы [13], в частности опустить требование дважды глад-
кости функции F (x, y) из краевого условия (1), заменив его равномерной непрерывностью
первых производных, а также ослабить условие на матрицу Якоби
\partial F0(x0)
\partial x0
из (3).
Что касается применения метода усреднения к решению краевых задач для систем интегро-
дифференциальных уравнений, то, например, в работе [14] доказана только близость решений
краевых задач для точных и усредненных уравнений при условии их существования. Само же
существование решения краевой задачи (2) не доказывалось, в отличие от аналогичного резуль-
тата из [13] для обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной статье мы доказываем
существование и единственность решения краевой задачи (2), как это сделано в [13] для обык-
новенных дифференциальных уравнений. При этом мы используем аналог первой теоремы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 247
Боголюбова метода усреднения [15]. Однако эта теорема доказана в предположении существо-
вания глобального решения системы интегро-дифференциальных уравнений. Этот вопрос для
таких систем нетривиален, так как для них, в отличие от систем обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, не всегда возможно продолжение решения. В [15, 16] этот вопрос рассмотрен
частично, однако при весьма жестких ограничениях. В связи с этим в данной работе мы до-
казываем теорему о существовании и единственности глобального решения задачи Коши до
момента его выхода из области как для уравнений вольтерровского, так и фредгольмовского
типов.
Заметим, что для существования решения краевой задачи (2) нам нужно использовать глад-
кость решения (2) по начальным данным. В связи с этим для систем интегро-дифференциаль-
ных уравнений вольтерровского типа мы доказываем теоремы о непрерывной и непрерывно-
дифференцируемой зависимости решений от начальных данных и параметров, а также запи-
сываем соответствующую систему в вариациях.
Работа состоит из введения и четырех пунктов. В первом пункте приведена постановка задач
и сформулированы основные результаты. Второй и третий пункты имеют вспомогательный
характер и касаются свойств решения задач Коши для интегро-дифференциальных уравнений и
усреднения уравнений в вариациях. В четвертом пункте доказаны основные результаты работы.
1. Постановка задач и основные результаты. Для задачи (1) имеет место следующая
теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
1.1) функция X(t, x) непрерывна в области Q =
\bigl\{
t \geq 0, x \in D \subset \BbbR d
\bigr\}
(D — область
в \BbbR d) и имеет равномерно непрерывные по x из \rho -окрестности y(\tau ) частные производные,
равномерно по t \geq 0, а
\partial X0
\partial x
непрерывна в \rho -окрестности y(\tau );
1.2) в области Q функция X(t, x) ограничена постоянной M > 0 и удовлетворяет по
переменной x условию Липшица с постоянной L > 0;
1.3) равномерно по x \in D существуют предел (3), а также предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
T\int
0
\partial X
\partial x
(t, x)dt =
\partial X0
\partial x
;
1.4) усредненная задача (5) имеет решение y = y(\tau ) = y(\varepsilon t), лежащее в области D с
некоторой \rho -окрестностью, и в этой окрестности функция F имеет равномерно непрерывные
частные производные
\partial F
\partial x
,
\partial F
\partial y
, при этом
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\partial F0(x0)
\partial x0
\not = 0, (7)
где x0 = y(0), F0(x0) = F (x0, y(T, x0)).
Тогда существует такое \varepsilon 0 > 0, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) можно указать функцию \xi = \xi (\varepsilon ) \rightarrow 0,
\varepsilon \rightarrow 0, такую, что краевая задача (1) имеет единственное решение x(t, \varepsilon ), лежащее в \xi (\varepsilon )-
окрестности y(\varepsilon t), т. е.\bigm| \bigm| x(t, \varepsilon ) - y(\varepsilon t)
\bigm| \bigm| < \xi (\varepsilon ), t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
, \varepsilon \in (0, \varepsilon 0). (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
248 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
В дальнейшем через | \cdot | будем обозначать норму вектора, а через \| \cdot \| — норму матрицы,
согласованную с нормой вектора.
Относительно задачи (2) справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1.5) функция X(t, x, y) непрерывна вместо со своими частными производными
\partial X
\partial x
,
\partial X
\partial y
в области Q =
\bigl\{
t \geq 0, x \in D, y \in \BbbR m
\bigr\}
, D — область в \BbbR d;
1.6) в области Q функция X(t, x, y) ограничена постоянной M > 0 и удовлетворяет
вместе с
\partial X
\partial x
,
\partial X
\partial y
и
\partial X0
\partial x
по переменным x и y условию Липшица с постоянной L > 0;
1.7) функция \varphi (t, s, z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные
\partial \varphi
\partial z
в области Q1 =
\bigl\{
t \geq 0, s \geq 0, z \in D
\bigr\}
, \varphi : Q1 \rightarrow \BbbR m;
1.8) функция \varphi ограничена в Q1 постоянной M и удовлетворяет вместе с
\partial \varphi
\partial z
по z условию
Липшица в форме \bigm| \bigm| \varphi (t, s, z1) - \varphi (t, s, z2)
\bigm| \bigm| \leq \mu (t, s)
\bigm| \bigm| z1 - z2
\bigm| \bigm| ,
при этом
1
t
t\int
0
d\tau
\tau \int
0
\mu (\tau , s)ds\rightarrow 0, t\rightarrow \infty ,
и интеграл
\int s
0
\mu (s, \tau )d\tau ограничен при s \geq 0 некоторой постоянной \mu 0;
1.9) равномерно по x \in D существуют предел (6), а также предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow \infty
1
T
T\int
0
\biggl(
\partial X(t, x, \varphi 1(t, x))
\partial x
+
\partial X(t, x, \varphi 1(t, x))
\partial y
\partial \varphi 1(t, x)
\partial x
\biggr)
dt =
\partial X0
\partial x
;
1.10) выполнено условие 1.4 теоремы 1.
Тогда существует такое \varepsilon 0 > 0, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) можно указать функцию \xi = \xi (\varepsilon ) \rightarrow 0,
\varepsilon \rightarrow 0, такую, что краевая задача (2) имеет единственное решение x(t, \varepsilon ), лежащее в \xi (\varepsilon )-
окрестности y(\varepsilon t), т. е.
\bigm| \bigm| x(t, \varepsilon ) - y(\varepsilon t)
\bigm| \bigm| < \xi (\varepsilon ), t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
, \varepsilon \in (0, \varepsilon 0).
2. Задача Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений. В этом пункте
рассмотрим задачу Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений вольтерровского
типа
\.x = X
\left( t, x, t\int
0
\varphi (t, s, x(s))ds
\right) , x(0) = x0. (9)
Будут изучены вопросы нелокального существования и единственность решения задачи
Коши (9), а также его зависимость от начальных данных и параметров. Относительно задачи
(9) имеет место следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 249
Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:
2.1) функция X(t, x, y) определена и непрерывна в области t \in [0, T ], x \in D, D — область
в \BbbR d, \partial D — ее граница, D = D \cup \partial D, y \in D1, D1 — область в \BbbR m;
2.2) \varphi (t, s, z) определена и непрерывна в Q1 =
\bigl\{
[0, T ]\times [0, T ]\times D
\bigr\}
и \varphi : Q1 \rightarrow D1;
2.3) X удовлетворяет по x, y условию линейного роста и условию Липшица, т. е. сущест-
вуют такие постоянные M > 0 и L > 0, что для t \in [0, T ], x, x1 \in D, y, y1 \in D1\bigm| \bigm| X(t, x, y)
\bigm| \bigm| \leq M
\bigl(
1 + | x| + | y|
\bigr)
, (10)\bigm| \bigm| X(t, x, y) - X(t, x1, y1)
\bigm| \bigm| \leq L
\bigl(
| x - x1| + | y - y1|
\bigr)
, (11)
где через | \cdot | обозначена евклидова норма в \BbbR d и \BbbR m;
2.4) \varphi удовлетворяет по z условию Липшица с постоянной L, для всех t, s \in [0, T ] и
z, z1 \in D имеем \bigm| \bigm| \varphi (t, s, z) - \varphi (t, s, z1)
\bigm| \bigm| \leq L
\bigm| \bigm| z - z1
\bigm| \bigm| , (12)
и ограничена в Q1 постоянной M.
Пусть также область D1 содержит шар радиуса TM.
Тогда если отрезок | x - x0| \leq b содержится в D, то решение задачи Коши (9) существует
и единственно на интервале 0 \leq t \leq h, где
h = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
T,
b
N
\biggr\}
, N = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| x - x0| \leq b,| y| \leq TM,t\in [0,T ]
| X(t, x, y)| .
При этом оно однозначно продолжается до момента его выхода на \partial D.
Доказательство. Рассмотрим последовательность функций x0(t) \equiv 0, а xn(t) — решение
задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
\.xn(t) = X
\left( t, xn, t\int
0
\varphi (t, s, xn - 1(s))ds
\right) , xn(0) = x0. (13)
Поскольку функция \varphi ограничена постоянной M, а область D1 содержит шар радиуса
TM, то при каждом n для системы (13) справедливы условия теоремы Пикара. Поэтому
последовательность функций \{ xn(t)\} определена на отрезке [0, an], где an = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
T,
b
Mn
\biggr\}
,
Mn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in [0,T ],| x - x0| \leq b
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X \biggl( t, x,\int t
0
\varphi (t, s, xn - 1(s))ds
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , но
Mn \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ],| x - x0| \leq b,y\in BTM (0)
\bigm| \bigm| X\bigl( t, x, y\bigr) \bigm| \bigm| . (14)
Здесь BTM (0) — шар в Rm с центром в нуле радиуса TM. Так что an \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
T,
b
Mn
\biggr\}
= a
для любого n. Поэтому для каждого n последовательность xn(t) определена на общем отрезке
[0, a]. Выберем теперь h0 \leq a так, чтобы
L2h20
1 - Lh0
< 1. (15)
Покажем равномерную на [0, h0] сходимость последовательности \{ xn(t)\} . Действительно,
на [0, h0] имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
250 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq L
t\int
0
\bigm| \bigm| xn(s) - xn - 1(s)
\bigm| \bigm| ds+ L2
t\int
0
d\tau
\tau \int
0
\bigm| \bigm| xn - 1(s) - xn - 2(s)
\bigm| \bigm| ds.
Отсюда
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,h0]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq Lh0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,h0]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| + (Lh0)
2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,h0]
\bigm| \bigm| xn - 1(t) - xn - 2(t)
\bigm| \bigm| .
Так,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,h0]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq (Lh0)
2
1 - Lh0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,h0]
\bigm| \bigm| xn - 1(t) - xn - 2(t)
\bigm| \bigm| . (16)
Из (15) следует равномерная на [0, h0] сходимость последовательности xn(t) \rightrightarrows x(0)(t). Пре-
дельным переходом в интегральном равенстве
xn(t) = x0 +
t\int
0
X
\left( \tau , xn(\tau ), \tau \int
0
\varphi (\tau , s, xn - 1(s))ds
\right) d\tau (17)
убеждаемся, что x(1)(t) удовлетворяет уравнению
x(0)(t) = x0 +
t\int
0
X
\left( \tau , x(0)(\tau ), \tau \int
0
\varphi
\bigl(
\tau , s, x(0)(s)
\bigr)
ds
\right) d\tau , (18)
т. е. является решением задачи Коши для системы
\.x = X
\left( \tau , x, t\int
0
\varphi
\bigl(
t, s, x(s)
\bigr)
ds
\right) , x(0) = x0, (19)
на [0, h0].
Покажем теперь, что это решение можно продолжить вправо, до момента его выхода на
\partial D. Для этого нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Для любого компакта K, целиком содержащегося в области Q = \{ (0, T ) \times
\times D\} , решение x(t) задачи (19) можно продолжить до точки t+ так, что (t+, x(t+)) не
принадлежит K.
Доказательство. Действительно, если точка
\bigl(
h0, x
(0)(h0)
\bigr)
принадлежит K, то утвержде-
ние доказано. Пусть
\bigl(
h0, x
(0)(h0)
\bigr)
не принадлежит K. Тогда применим проведенные выше
рассуждения. Рассмотрим последовательность функций \{ xn(t)\} таких, что xn(t) \equiv x(0)(t) при
t \in [0, h0], а для t > h0 определим их, как решения задач Коши систем (13) с начальными
данными xn(h0) = x(0)(h0).
Покажем теперь, что все они определены на общем отрезке [h0, h0 + h1], где h1 не зависит
от выбора n и точки
\bigl(
h0, x
(0)(h0)
\bigr)
.
Выберем число \varepsilon > 0 настолько малым, чтобы для каждой точки
\bigl(
t\prime , x\prime
\bigr)
\in K квадрат
\Pi \varepsilon
\bigl(
t\prime , x\prime
\bigr)
=
\bigl\{
(t, x) \in D :
\bigm| \bigm| t - t\prime
\bigm| \bigm| \leq \varepsilon ,
\bigm| \bigm| x - x\prime
\bigm| \bigm| \leq \varepsilon
\bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 251
целиком лежал в D. Тогда
K\varepsilon =
\bigcup \bigl(
t\prime ,x\prime
\bigr)
\in K
\Pi \varepsilon
\bigl(
t\prime , x\prime
\bigr)
\subset D
и \Pi \varepsilon
\bigl(
t\prime , x\prime
\bigr)
\subset K\varepsilon , если
\bigl(
t\prime , x\prime
\bigr)
\in K\varepsilon . И, как следствие, отсюда получаем
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(t,x)\in \Pi \varepsilon
\bigl(
t\prime ,x\prime
\bigr)
,y\in BTM (0)
\leq M\varepsilon = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(t,x)\in K\varepsilon ,y\in BTM (0)
\bigm| \bigm| X(t, x, y)
\bigm| \bigm| .
Из теоремы Пеано, примененной к квадрату \Pi \varepsilon
\bigl(
t\prime , x\prime
\bigr)
, следует, что решения xn(t) системы
(13) с начальными данными
\bigl(
h0, x
(0)(h0)
\bigr)
существуют на отрезке [h0, h0 + h1], где h1 =
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\varepsilon ,
\varepsilon
M\varepsilon
\biggr\}
. Далее выберем h1 так, чтобы для него выполнялось условие
(Lh1)
2
1 - Lh1
< 1.
Тогда при t \in [h0, h0 + h1] получим
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [h0,h0+h1]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq
\leq L
h0+h1\int
h0
\bigm| \bigm| xn(s) - xn - 1(s)
\bigm| \bigm| ds+ h0+h1\int
h0
L2
\left( \tau \int
0
\bigm| \bigm| xn - 1(s) - xn - 2(s)
\bigm| \bigm| ds
\right) d\tau . (20)
Но в силу построения xn(t)
h0\int
0
\bigm| \bigm| xn - 1(s) - xn - 2(s)
\bigm| \bigm| ds = 0.
Поэтому (20) можно записать в виде
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [h0,h0+h1]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq Lh1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [h0,h0+h1]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| +
+L2
h0+h1\int
h0
d\tau
\left( \tau \int
0
\bigm| \bigm| xn - 1(s) - xn - 2(s)
\bigm| \bigm| ds
\right) \leq Lh1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [h0,h0+h1]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| +
+(Lh1)
2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [h0,h0+h1]
\bigm| \bigm| xn - 1(t) - xn - 2(t)
\bigm| \bigm| .
Отсюда получим неравенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [h0,h0+h1]
\bigm| \bigm| xn(t) - xn - 1(t)
\bigm| \bigm| \leq (Lh1)
2
1 - Lh1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [h0,h0+h1]
\bigm| \bigm| xn - 1(t) - xn - 2(t)
\bigm| \bigm| ,
из которого и следует равномерная на [h0, h0 + h1] сходимость последовательности \{ xn(t)\} к
предельной функций x(1)(t). Предельным переходом в равенстве
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
252 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
xn(t) = x(0)(h) +
t\int
0
X
\left( \tau , xn(\tau ), \tau \int
0
\varphi
\bigl(
\tau , s, xn - 1(s)
\bigr)
ds
\right) d\tau
убеждаемся, что x(1)(t) удовлетворяет уравнению
x(1)(t) = x(0)(h) +
t\int
h
X
\left( \tau , x(1)(\tau ), \tau \int
0
\varphi
\bigl(
\tau , s, x(1)(s)
\bigr)
ds
\right) d\tau .
Теперь функция
x(t) =
\Biggl\{
x(0)(t), t \in [0, h0],
x(1)(t), t \in [h0, h0 + h1],
удовлетворяет уравнению (19) как на интервалах [0, h0], так и на [h0, h0 + h1]. При этом
левая и правая производные функции x(t) в точке h0 существуют и равны соответствен-
но X
\biggl(
h0, x
(0)(h0),
\int h0
0
\varphi
\bigl(
h0, s, x
(0)(s)
\bigr)
ds
\biggr)
и X
\biggl(
h0, x
(1)(h0),
\int h0
0
\varphi
\bigl(
h0, s, x
(1)(s)
\bigr)
ds
\biggr)
. Но по
построению x(1)(t) эти значения совпадают. Таким образом, x(t) является решением задачи
Коши (19) на [0, h+ h1].
Если точка (h0 + h1, x(h0 + h1)) не принадлежит K, то лемма доказана. Если же (h0 +
+h1, x(h0+h1)) принадлежит K, то повторяем данную процедуру на отрезке [h0+h1, h0+2h1].
Поскольку K ограничено, то за конечное число шагов мы выйдем из компакта K.
Лемма 1 доказана.
Продолжим доказательство теоремы 3. Поскольку компакт K был выбран произвольно, то
решение x(t) достигнет границы области D. Единственность такого решения и его непрерыв-
ная зависимость от начальных данных следуют из аналога леммы Гронуолла [15] (теорема 2.1).
Теорема 3 доказана.
Замечание 1. Условие ограниченности функции \varphi не является необходимым и взято для
технического удобства. Немного изменив доказательство теоремы 3, нетрудно показать, что
она остается в силе, если условие ограниченности функции \varphi (t, s, z) заменить условием ее
линейного по z роста: \bigm| \bigm| \varphi (t, s, z)\bigm| \bigm| \leq M
\bigl(
1 + | z|
\bigr)
.
Рассмотрим теперь задачу Коши типа (9) с параметром
\.x = X
\left( t, x, t\int
0
\varphi
\bigl(
t, s, x(s), \lambda
\bigr)
ds, \lambda
\right) , x(0) = x0. (21)
При этом ее решение уже является функцией от x0 и \lambda , x(t) = x(t, x0, \lambda ). Изучим вопрос
зависимости решения от начальных данных и параметров. Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 2. Предположим, что выполнены следующие условия:
2.9) функция X(t, x, y, \lambda ) определена и непрерывна в области Q =
\bigl\{
t \in [0, T ], x \in D, y \in
\in D1, \lambda \in [\lambda 0, \lambda 1]
\bigr\}
, где D и D1 — те же области, что и в теореме 3;
2.10) \varphi (t, s, z, \lambda ) определена и непрерывна в области Q1 =
\bigl\{
t \in [0, T ], s \in [0, T ], x \in
\in D,\lambda \in [\lambda 0, \lambda 1]
\bigr\}
и \varphi : Q1 \rightarrow D1;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 253
2.11) X(t, x, y, \lambda ) равномерно относительно \lambda удовлетворяет по x, y условию линейного
роста и условию Липшица (10);
2.12) \varphi (t, s, z, \lambda ) равномерно относительно \lambda удовлетворяет по z условию Липшица (12),
т. е. \bigm| \bigm| \varphi (t, s, z, \lambda ) - \varphi (t, s, z1, \lambda )
\bigm| \bigm| \leq L
\bigm| \bigm| z - z1
\bigm| \bigm| ,
и ограничена в Q1 постоянной M.
Пусть также область D1 содержит шар BTM (0).
Тогда при x0 \in D и \lambda \in [\lambda 0, \lambda 1] для решения задачи Коши (21) справедливо заключение
теоремы 3 и решение x(t, x0, \lambda ) является непрерывной функцией по совокупности аргументов
в области
\bigl\{
t \in [0, h], x0 \in D,\lambda \in [\lambda 0, \lambda 1]
\bigr\}
.
Доказательство. Применим к построению решения задачи Коши (21) теорему 3. В ре-
зультате получим последовательность функций \{ xn(t, x0, \lambda )\} , которая по построению будет
непрерывно зависеть от x0 и \lambda . При этом, в силу равномерности по \lambda условий леммы 2, эта
последовательность будет иметь равномерно по t, x0 и \lambda сходящуюся к решению задачи (21)
подпоследовательность, что в силу единственности решения задачи (21) и доказывает лемму.
Для дальнейшего важным является вопрос непрерывной дифференцируемости решений
задачи (9) по начальным данным.
Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 3 и при этом частные производные
\partial X
\partial x
,
\partial X
\partial y
,
\partial \varphi
\partial z
непрерывны по совокупности аргументов в указанных областях. Тогда решение за-
дачи Коши (9) является непрерывно дифференцируемой функцией параметра x0 и при этом
функция z(t) =
\partial x
\partial x0
(t, x0) удовлетворяет линейному интегро-дифференциальному уравнению
\.z =
\partial X
\biggl(
t, x(t, x0),
\int t
0
\varphi
\bigl(
t, s, x(s, x0)
\bigr)
ds
\biggr)
\partial x
z(t)+
+
\partial X
\biggl(
t, x(t, x0),
\int t
0
\varphi
\bigl(
t, s, x(s, x0)
\bigr)
ds
\biggr)
\partial y
t\int
0
\partial \varphi
\bigl(
t, s, x(s, x0)
\bigr)
\partial z
z(s)ds. (22)
Замечание 2. По аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями уравнение
(22) назовем уравнением в вариациях.
Доказательство. Идейно доказательство похоже на доказательство утверждения для обык-
новенных дифференциальных уравнений. Поэтому, не вдаваясь в подробности, все выкладки
проведем для d = m = 1. Для многомерного случая рассуждения аналогичны. Обозначим\widetilde x(t) = x(t, x0 +\Delta x0), x(t) = x(t, x0). Тогда
d
dt
\biggl(
x(t, x0 +\Delta x0) - x(t, x0)
\Delta x0
\biggr)
=
\partial X
\biggl(
t, x(t) + \theta
\bigl( \widetilde x(t) - x(t)
\bigr)
,
\int t
0
\varphi
\bigl(
t, s, \widetilde x(s)\bigr) ds\biggr)
\partial x
\times
\times \widetilde x(t) - x(t)
\Delta x0
+
\partial X
\biggl(
t, x(t),
\int t
0
\varphi
\bigl(
t, s, x(s)
\bigr)
ds+ \theta 1
\int t
0
\bigl(
\varphi
\bigl(
t, s, \widetilde x(s)\bigr) - \varphi
\bigl(
t, s, x(s)
\bigr) \bigr)
ds
\biggr)
\partial y
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
254 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
\times
t\int
0
\partial \varphi
\bigl(
t, s, x(s) + \theta 2(\widetilde x(s) - x(s))
\bigr)
\partial z
\widetilde x(s) - x(s)
\Delta x0
ds, (23)
\theta , \theta 1, \theta 2 \in (0, 1).
Уравнение (23) является линейным уравнением относительно функции
\widetilde x(t) - x(t)
\Delta x0
, при
этом его коэффициенты, в силу условий леммы, непрерывно зависят от \Delta x0, как от парамет-
ра. Следовательно, и решение уравнения (23), в силу леммы 2, непрерывно зависит от \Delta x0.
Выполнив предельный переход в (23), при \Delta x0 \rightarrow 0 получим утверждение леммы.
Замечание 3. Изучение гладкости решения задачи Коши (21) по параметру сводится к
гладкости по начальным данным, следовательно, в предположении гладкости функций
\partial X
\partial x
,
\partial X
\partial y
,
\partial X
\partial \lambda
,
\partial \varphi
\partial z
,
\partial \varphi
\partial \lambda
и при выполнении условий леммы 3 решение задачи Коши (21) непрерывно
дифференцируемо по \lambda .
3. Леммы об усреднении уравнений в вариациях. Для получения основных результатов
нам понадобятся две леммы об усреднении, касающиеся близости производных по начальным
данным решений от точных и усредненных задач для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений (1), (4) и интегро-дифференциальных уравнений (2), (4).
Лемма 4. Пусть выполнены условия 1.1 – 1.4 и функции
\partial X(t, x)
\partial x
,
\partial X0(t, x)
\partial x
равномерно
непрерывны по x из \rho -окрестности решения y(\tau ) равномерно по t \geq 0.
Тогда для производных по начальным данным решений точных и усредненных задач
\partial x(t, z, \varepsilon )
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
и
\partial y(\varepsilon t, z)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
справедливо утверждение: для любого \eta > 0 существует
такое \varepsilon 0 = \varepsilon 0(\eta ) > 0, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0] выполняется неравенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial x(t, z, \varepsilon )\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
- \partial y(\varepsilon t, z)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \eta
при t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
.
Для систем интегро-дифференциальных уравнений справедлив аналогичный результат.
Лемма 5. Пусть выполнены условия 1.5 – 1.10, функции
\partial X
\partial x
,
\partial X
\partial y
и
\partial X0
\partial x
липшицевы с
постоянной L по x \in D и y \in \BbbR m, а
\partial \varphi
\partial x
удовлетворяет по z условию Липшица в форме 1.8.
Тогда для производных по начальным данным решений точных (2) и усредненных (4) урав-
нений для любого \eta > 0 существует такое \varepsilon 0 = \varepsilon 0(\eta ) > 0, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0] выполняется
неравенство \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial x(t, z, \varepsilon )\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
- \partial y(\varepsilon t, z)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \eta (24)
при t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 255
Поскольку лемма 4 является следствием леммы 5, проведем доказательство только леммы 5.
Доказательство леммы \bffive . Обозначим
\partial x(t, z, \varepsilon )
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
= z(t), а
\partial y(\varepsilon t, z)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
= z1(t).
Тогда, согласно лемме 3, z(t) удовлетворяет уравнению в вариациях
\.z = \varepsilon
\left[ \partial X
\biggl(
t, x(t, x0, \varepsilon ),
\int t
0
\varphi (t, s, x(s, x0, \varepsilon ))ds
\biggr)
\partial x
z(t)+
+
\partial X
\biggl(
t, x(t, x0, \varepsilon ),
\int t
0
\varphi (t, s, x(s, x0, \varepsilon ))ds
\biggr)
\partial y
t\int
0
\partial \varphi (t, s, x(s, x0, \varepsilon ))
\partial z
z(s)ds
\right] ,
а z1(t) — уравнению в вариациях вида
\.z1 = \varepsilon
\partial X0
\bigl(
y(\varepsilon t, x0)
\bigr)
\partial x
z1
с начальными условиями, равным единичным ортам.
Из аналога первой теоремы Боголюбова для интегро-дифференциальных уравнений следует
существование такого \varepsilon 1 > 0, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 1] решение x(t, x0, \varepsilon ) точной системы (2)
принадлежит области D при t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
. Следовательно, для него выполнена оценка
\bigm| \bigm| x(t, x0, \varepsilon )\bigm| \bigm| \leq | x0| + TM, t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
.
Аналогичная оценка справедлива и для решения усредненной задачи. Из липшицевости
функций X, X0, \varphi следует, что
| z(t)| \leq | z(0)| + \varepsilon
t\int
0
\left( L| z(s)| + s\int
0
\mu (s, \tau )| z(\tau )| d\tau
\right) ds.
Поэтому в силу аналога неравенства Гронуолла [8, с. 58] имеем
| z(t)| \leq | z(0)| e
\varepsilon
\int t
0
\biggl(
L+
\int s
0
\mu (s, \tau )d\tau
\biggr)
ds
\leq | z(0)| eLK ,
при t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
, где K > 0 — некоторая константа.
Используя стандартную лемму Гронуолла, аналогичную оценку можно получить и для z1(t) :
| z1(t)| \leq | z1(0)| eL.
Зафиксируем \eta > 0 и оценим на
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
разность z(t) - z1(t). Далее положим x(t, x0, \varepsilon ) =
= x(t), y(\varepsilon t, x0) = y(t). Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
256 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
| z(t) - z1(t)| =
= \varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, x(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , x(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial x
-
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial x
\right] z(s)ds+
+\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, x(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , x(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , x(\tau ))
\partial z
z(\tau )d\tau -
-
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
z(\tau ) d\tau
\right] ds+
+\varepsilon
t\int
0
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial x
\bigl(
z(s) - z1(s)
\bigr)
ds+
+\varepsilon
t\int
0
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))
\biggr)
d\tau
\partial x
z1(s)ds+ \varepsilon
t\int
0
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
\times
\times
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial x
z(\tau )d\tau ds - \varepsilon
t\int
0
\partial X0(y(s))
\partial x
z1(s)ds. (25)
Оценим первое слагаемое в (25). Учитывая липшицевость
\partial X
\partial x
и ограниченность z(t), это
слагаемое оцениваем выражением\left( \varepsilon L t\int
0
L| x(s) - y(s)| ds+ \varepsilon L
t\int
0
ds
s\int
0
\mu (s, \tau )| x(\tau ) - y(\tau )| d\tau
\right) | z(0)| eLK . (26)
Из аналога первой теоремы Боголюбова для интегро-дифференциальных уравнений следует
возможность выбора такого 0 < \varepsilon 2 \leq \varepsilon 1, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 2] выражение (26) не превышает
\eta
a
.
Здесь a > 0 — постоянная, определенная ниже, \varepsilon 2 = \varepsilon 2(a).
Второе слагаемое в (25) оценивается выражением
\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, x(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , x(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\biggl(
\partial \varphi (s, \tau , x(\tau ))
\partial z
- \partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
\biggr)
z(\tau )d\tau
\right] ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 257
+\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, x(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , x(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
-
-
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
z(\tau )d\tau
\right] ds.
В силу условий Липшица последнее выражение по норме не превышает выражения
\varepsilon
t\int
0
Lds
s\int
0
\mu (s, \tau )| x(\tau ) - y(\tau )| | z(\tau )| d\tau +
+\varepsilon
t\int
0
L
\left( | x(s) - y(s)| +
s\int
0
\mu (s, \tau )| x(\tau ) - y(\tau )| d\tau +
s\int
0
\mu (s, \tau )| z(\tau )| d\tau
\right) ds. (27)
Выражение (27) не превышает при \varepsilon \leq \varepsilon 2 выражения
\varepsilon
\eta L
a
| z(0)| eLK\varepsilon
\left( t\int
0
ds
s\int
0
\mu (s, \tau )d\tau +
T
\varepsilon
L+ \mu 0
t\int
0
ds
s\int
0
\mu (s, \tau )d\tau
\right) .
С учетом оценок (26), (27) выражение (25) теперь оценивается выражением
\eta
a
+
\eta
a
L| z(0)| eLK
\bigl(
T + TL+ \mu 0T
\bigr)
+ \varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial x
(z(s) - z1(s))+
+
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
(z(\tau ) - z1(\tau ))d\tau
\right] ds+
+\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial x
z1(s)+
+
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
z1(\tau )d\tau -
\partial X0(y(s))
\partial x
z1(s)
\right] ds. (28)
Оценим последнее слагаемое в (28), записав его в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
258 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial x
-
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(s))d\tau
\biggr)
\partial x
\right] z1(s)ds+
+\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
z1(\tau )d\tau -
-
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(s))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(s))
\partial z
z1(s)d\tau
\right] ds+
+\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(s))d\tau
\biggr)
\partial x
+
+
\partial X
\biggl(
s, y(s),
s\int
0
\varphi (s, \tau , y(s))d\tau
\biggr)
\partial y
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(s))
\partial z
- \partial X0(y(s))
\partial x
\right] z1(s)ds. (29)
Первое слагаемое в (29) допускает оценку
\varepsilon L
t\int
0
ds
s\int
0
\mu (s, \tau )| y(s) - y(\tau )| d\tau | z1(0)| eL \leq \varepsilon LMT
t\int
0
ds
s\int
0
\mu (s, \tau )d\tau | z1(0)| eL. (30)
В силу условия 1.5 существует монотонно стремящаяся к нулю при t \rightarrow \infty функция \psi 1(t)
такая, что
t\int
0
ds
s\int
0
\mu (s, \tau )d\tau \leq t\psi 1(t).
Поэтому (30) не превышает выражения
\varepsilon LMT\psi 1(t)| z1(0)| eL \leq TLM \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in [0,T ]
\Bigl(
\tau \psi 1
\Bigl( \tau
\varepsilon
\Bigr) \Bigr)
| z1(0)| eL = \delta (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, (31)
в силу теоремы Дини.
Оценим второе слагаемое в (29), представив его в виде
\varepsilon
t\int
0
\left(
\left[ \partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(\tau ))d\tau
\biggr)
\partial y
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 259
-
\partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(s))d\tau
\biggr)
\partial y
\right]
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
z1(\tau )d\tau ds
\right) +
+\varepsilon
t\int
0
\left[ \partial X
\biggl(
s, y(s),
\int s
0
\varphi (s, \tau , y(s))d\tau
\biggr)
\partial y
\left( s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(\tau ))
\partial z
-
s\int
0
\partial \varphi (s, \tau , y(s))
\partial z
\right) z1(s)d\tau
\right] ds.
(32)
Первое слагаемое в (32) не превышает по норме выражения
\varepsilon LMT\mu 0
t\int
0
ds
s\int
0
\mu (s, \tau )d\tau | z1(0)| eL \leq \mu 0\delta (\varepsilon ).
Второе слагаемое в (32) оценивается, аналогично (30), выражением
\varepsilon L
t\int
0
ds
\left( s\int
0
\mu (s, \tau )| y(\tau ) - y(s)| d\tau | z1(s)|
\right) = \delta (\varepsilon ).
Таким образом, второе слагаемое в (29) не превышает выражения
(\mu 0 + 1)\delta (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0. (33)
Осталось оценить третье слагаемое в (29). Запишем его в виде
\varepsilon
t\int
0
\Biggl[
\partial X
\bigl(
s, y(s), \varphi 1(s, y(s))
\bigr)
\partial x
+
\partial X
\bigl(
s, y(s), \varphi 1(s, y(s))
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, y(s))
\partial z
- \partial X0(y(s))
\partial x
\Biggr]
z1(s)ds.
(34)
Распространим интегрирование на весь интервал
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
, считая, что справа от t подынте-
гральное выражение равно нулю. Разделим интервал
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
на n равных частей точками\bigl\{
ti
\bigr\} n
1
. Тогда (34) примет вид
\varepsilon
n - 1\sum
i=0
\left[ ti+1\int
ti
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, y(s), \varphi 1(s, y(s))
\bigr)
\partial x
z1(s) -
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial x
z1(ti)
\Biggr)
ds+
+
ti+1\int
ti
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, y(s), \varphi 1(s, y(s))
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, y(s))
\partial z
z1(s) -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
260 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
-
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, y(ti))
\partial z
z1(ti)
\Biggr)
ds+
+
ti+1\int
ti
\biggl(
\partial X0(y(ti))
\partial x
z1(ti) -
\partial X0(y(s))
\partial x
z1(s)
\biggr)
ds
\right] +
+\varepsilon
n - 1\sum
i=1
ti+1\int
ti
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial x
+
+
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, y(ti))
\partial z
- \partial X0(y(ti))
\partial x
\Biggr)
dsz1(ti). (35)
Оценим каждое слагаемое в (35). Первое слагаемое в первой сумме не превышает выраже-
ния
\varepsilon
n - 1\sum
i=0
\Biggl[ ti+1\int
ti
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, y(s), \varphi 1(s, y(s))
\bigr)
\partial x
-
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial x
\Biggr)
z1(s) +
+
\partial X(s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti)))
\partial x
(z1(s) - z1(ti))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ds
\Biggr]
\leq
\leq \varepsilon
n - 1\sum
i=0
\left[ ti+1\int
ti
\left( L| y(s) - y(ti)| + L
s\int
0
\mu (s, \tau )| y(s) - y(ti)| d\tau
\right) \right] ds \leq
\leq LMT 2(1 + \mu 0)
n
| z1(0)| eL. (36)
Третье слагаемое в первой сумме оценивается величиной
LMT 2
n
+
(LT )2
n
. (37)
С учетом (36) и (37) первое и третье слагаемые в первой сумме в (35) оцениваются выражением
LMT 2
n
\bigl(
(1 + \mu 0)| z1(0)| eL + 1
\bigr)
+ 2
(LT )2
n
+
LMT 2
n
. (38)
Аналогично для второго слагаемого получаем с некоторой постоянной A = A(L,M, T, \mu 0,
| z1(0)| ) оценку
A
n
.
Оценим теперь последнее слагаемое в (35). Очевидно, оно не превышает выражения
\varepsilon
n - 1\sum
i=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
ti+1\int
ti
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial x
+
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, y(ti))
\partial z
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 261
- \partial X0(y(ti))
\partial x
\Biggr)
ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| | z1(ti)| \leq | z1(0)| eL
\Biggl(
\varepsilon
n - 1\sum
i=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
ti+1\int
0
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial x
+
+
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, y(ti))
\partial z
- \partial X0(y(ti))
\partial x
\Biggr)
ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+\varepsilon
n - 1\sum
i=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
ti\int
0
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial x
+
+
\partial X
\bigl(
s, y(ti), \varphi 1(s, y(ti))
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, y(ti))
\partial z
- \partial X0(y(ti))
\partial x
\Biggr)
ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggr)
. (39)
В силу условия 1.6 можно указать монотонно стремящуюся к нулю при t\rightarrow \infty функцию \psi (t)
такую, что\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t\int
0
\Biggl(
\partial X
\bigl(
s, x, \varphi 1(s, x)
\bigr)
\partial x
+
\partial X
\bigl(
s, x, \varphi 1(s, x)
\bigr)
\partial y
\partial \varphi 1(s, x)
\partial x
- \partial X0(x)
\partial x
\Biggr)
ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq t\psi (t)
равномерно по x \in D. Поэтому (39) оценивается выражением
| z1(0)| eL
\Biggl(
\varepsilon
n - 1\sum
i=0
ti+1\psi (ti+1) + \varepsilon
n - 1\sum
i=0
ti\psi (ti)
\Biggr)
. (40)
Если t в (34) принадлежит любому интервалу [ti, ti+1], i \geq 1, то (40) оценивается величиной
2| z1(0)| eLT\psi
\biggl(
T
\varepsilon n
\biggr)
. (41)
Если же t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon n
\biggr]
, то выражение (35) оценивается величиной
| z1(0)| eL\varepsilon t\psi (t) = | z1(0)| eL\tau \psi
\Bigl( \tau
\varepsilon
\Bigr)
\leq | z1(0)| eL \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in [0,T ]
\Bigl(
\tau \psi
\Bigl( \tau
\varepsilon
\Bigr) \Bigr)
= \delta 1(\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, (42)
в силу теоремы Дини.
Выбором достаточно большого n выражения (38) можно сделать меньше
\eta
a
. Зафиксиро-
вав теперь n, выберем достаточно малое \varepsilon так, чтобы выражения (41) и (42) также сделать
меньшими
\eta
a
.
Из (28) с учетом оценок (31), (33), (38), (41) и (42) для разности z(t) - z1(t) имеем оценку
| z(t) - z1(t)| \leq
\eta
a
+
\eta
a
L| z(0)| eLK(T + TL+ \mu 0T ) + \delta (\varepsilon )(2 + \mu 0) +
\eta
a
+
\eta
a
+
+\varepsilon
t\int
0
\left( L| z(s) - z1(s)| + L
s\int
0
\mu (s, \tau )| z(\tau ) - z1(\tau )| d\tau
\right) ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
262 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
откуда с учетом аналога неравенства Гронуолла [15, с. 58] надлежащим выбором a > 0 полу-
чаем оценку (24).
Лемма 5 доказана.
4. Доказательства теорем. Доказательство теоремы \bfone . Согласно условию 1.4 усреднен-
ная задача (4) имеет решение y(\tau ) = y(\varepsilon t), которое при \tau \in [0, T ] или при t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
лежит в
D вместе с некоторой фиксированной \rho -окрестностью.
Пусть x0 = y(0) — начальное значение этого решения. Решение краевой задачи (1) будем
искать в виде
x(t, \varepsilon ) = x(t, x0 + x, \varepsilon ), (43)
где x выбирается из некоторой окрестности нуля. Рассмотрим решение усредненной задачи
y(\tau , x0 + x). Тогда для разности y(\tau ) и y(\tau , x0 + x) справедлива оценка
| y(\tau ) - y(\tau , x0 + x)| \leq | x| eLT (44)
до момента выхода y(\tau , x0 + x) на границу области D. Следовательно, если
| x| < \rho
2
e - LT ,
то решение y(\tau , x0 + x) существует при \tau \in [0, T ] и лежит в
\rho
2
-окрестности y(\tau ).
Неизвестный параметр x в (43) будем определять из уравнения
F
\biggl(
x0 + x, x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr) \biggr)
= 0. (45)
Отметим, что в силу первой теоремы Боголюбова метода усреднения решение
x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr)
точной системы при достаточно малых \varepsilon > 0 существует на отрезке
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
и при выполнении (3) для любого \eta > 0 существует такое \varepsilon 0(\eta ) > 0, что при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0)
справедлива оценка
| x(t, x0 + x, \varepsilon ) - y(\varepsilon t, x0 + x)| < \eta (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0. (46)
Следовательно, при \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), если \varepsilon 0 достаточно мало, отображение, содержащееся в
левой части (45), как отображение по x, определено корректно в шаре Br(0), где r \leq \rho
2
e - LT .
Отметим также, что поскольку y(\tau ) при \tau \in [0, T ] является ограниченной функцией, то в силу
оценок (44) и (46) x(t, x0 + x, \varepsilon ) лежит в ограниченной области при t \in
\biggl[
0,
T
\varepsilon
\biggr]
, \varepsilon \in (0, \varepsilon 0).
Поэтому отображение F
\biggl(
x0 + x, x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr) \biggr)
непрерывно по x и имеет равномерно
непрерывные в Br(0) частные производные
\partial F
\partial x
и
\partial F
\partial y
в силу условия 1.4. Следовательно,
существует постоянная N(r) > 0 такая, что
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial F\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq N(r) и
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial F\partial y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq N(r) при x \in Br(0).
Далее
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 263
F
\biggl(
x0 + x, x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr) \biggr)
= F
\biggl(
x0 + x, x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr) \biggr)
-
- F
\bigl(
x0 + x, y(T, x0 + x)
\bigr)
+ F
\bigl(
x0 + x, y(T, x0 + x)
\bigr)
- F (x0, y(T, x0)).
Обозначим R1(x, \varepsilon ) = F
\biggl(
x0 + x, x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr) \biggr)
- F
\bigl(
x0 + x, y(T, x0 + x)
\bigr)
. Для него
справедлива оценка
| R1(x, \varepsilon )| \leq N(r)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x\biggl( T\varepsilon , x0 + x, \varepsilon
\biggr)
- y(T, x0 + x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq N(r)\eta (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, (47)
в силу (46). Имеем
F
\bigl(
x0 + x, y(T, x0 + x)
\bigr)
- F (x0, y(T, x0)) =
=
\Biggl(
\partial F
\bigl(
x0, y(T, x0)
\bigr)
\partial x
+
\partial F
\bigl(
x0, y(T, x0)
\bigr)
\partial y
\partial y(T, x0)
\partial x0
\Biggr)
x+
+
1\int
0
\Biggl(
\partial F
\bigl(
x0 + sx, y(T, x0 + sx)
\bigr)
\partial x
-
\partial F
\bigl(
x0, y(T, x0)
\bigr)
\partial x
\Biggr)
x ds+
+
1\int
0
\Biggl(
\partial F
\bigl(
x0 + sx, y(T, x0 + sx)
\bigr)
\partial y
\partial y(T, x0 + sx)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0+sx
-
-
\partial F
\bigl(
x0, y(T, x0)
\bigr)
\partial y
\partial y(T, x0)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
\Biggr)
x ds =
=
\Biggl(
\partial F
\partial x
(x0, y(T, x0)) +
\partial F
\bigl(
x0, y(T, x0)
\bigr)
\partial y
\partial y(T, x0)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
\Biggr)
x+R2(x)x+R3(x)x. (48)
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое в (48). Для первого получим в силу обозначения
F0(x0) в (7) следующее представление:\Biggl(
\partial F
\bigl(
x0, y(T, x0)
\bigr)
\partial x
+
\partial F
\bigl(
x0, y(T, x0)
\bigr)
\partial y
\partial y(T, x0)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0
\Biggr)
x =
\partial F0
\partial x0
x.
Для второго слагаемого, в силу равномерной непрерывности частных производных и (44),
при | x| \leq r имеем оценку
| R2(x)| \leq \delta (r) \rightarrow 0, r \rightarrow 0,
где r \leq \rho
2
e - LT .
Для оценки третьего слагаемого заметим, что производная по начальным данным
\partial y(T, z)
\partial z
удовлетворяет линейному уравнению в вариациях, поэтому является непрерывно дифференци-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
264 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
руемой функцией параметра z. Так что, согласно равномерной непрерывности и (44), анало-
гично предыдущему для | x| \leq r получаем оценку
| R3(x)| \leq \delta 1(r) \rightarrow 0, r \rightarrow 0. (49)
Теперь уравнение (45) для определения x можно записать в виде
x = -
\biggl(
\partial F0
\partial x0
\biggr) - 1 \bigl(
R1(x, \varepsilon ) +
\bigl(
R2(x) +R3(x)
\bigr)
x
\bigr)
, x =
\biggl(
\partial F0
\partial x0
\biggr) - 1
M(x, \varepsilon ),
где для M(x, \varepsilon ) справедлива оценка
| M(x, \varepsilon )| \leq N(r)\eta (\varepsilon ) + \delta 2(r)x. (50)
При этом \eta (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, \delta 2(r) \rightarrow 0, r \rightarrow 0.
Теперь оценим
\partial M
\partial x
. Имеем
\partial R1(x, \varepsilon )
\partial x
=
\partial F
\biggl(
x0 + x, x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr) \biggr)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=x0+x
+
+
\partial F
\biggl(
x0 + x, x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr) \biggr)
\partial y
\partial x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0+x
-
-
\partial F
\bigl(
x0 + x, y
\bigl(
\tau , x0 + x
\bigr) \bigr)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=x0+x
+
\partial F
\bigl(
x0 + x, y
\bigl(
\tau , x0 + x
\bigr) \bigr)
\partial y
\partial y
\bigl(
\tau , x0 + x
\bigr)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0+x
.
Заметим, что в силу леммы 4 разность
\partial x
\biggl(
T
\varepsilon
, x0 + x, \varepsilon
\biggr)
\partial z
-
\partial y
\bigl(
\tau , x0 + x
\bigr)
\partial z
можно сде-
лать столь угодно малой путем выбора малого \varepsilon , так что из неравенства (46) и равномерной
непрерывности
\partial F
\partial x
и
\partial F
\partial y
в области | x| \leq r для
\partial R1
\partial x
имеем оценку
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial R1(x, \varepsilon )
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \delta 3(\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, | x| \leq r. (51)
Оценим теперь
\partial R2
\partial x
. Имеем
R2 = F (x0 + x, y(T, x0 + x)) - \partial F (x0, y(T, x0))
\partial x
x,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial R2
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (x0 + x, y(T, x0 + x))
\partial x
- \partial F (x0, y(T, x0))
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \delta 4(x) \rightarrow 0, r \rightarrow 0, (52)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
УСРЕДНЕНИЕ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 265
в силу равномерной непрерывности
\partial F
\partial x
и оценки (44).
Аналогично для
\partial R3
\partial x
получаем
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial R3
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (x0 + x, y(T, x0 + x))
\partial y
\partial y(T, x0 + x)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0+x
-
- \partial F (x0, y(T, x0 + x))
\partial y
\partial y(T, x0)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=x0+x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \delta 5(x) \rightarrow 0, r \rightarrow 0, (53)
в силу равномерной непрерывности
\partial F
\partial y
, оценки (44) и равномерной по | x| \leq r ограниченности
\partial y(T, x0 + x)
\partial z
. Таким образом, для
\partial M(x, \varepsilon )
\partial x
из (51) – (53) получаем оценку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial M(x, \varepsilon )
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \delta 3(\varepsilon ) + \delta 4(x) + \delta 5(x) = \zeta (\varepsilon , x) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, x\rightarrow 0.
Пусть C =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
\partial F0
\partial x0
\biggr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . Тогда выберем r так, чтобы
\delta 2(r) \leq
1
2
, (54)
а затем \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0 так, чтобы
\eta (\varepsilon ) \leq r
2CN(r)
. (55)
Тогда, если | x| \leq r, из (50) получаем
C| M(x, \varepsilon )| \leq C
\bigl(
N(r)\eta (r) + \delta 2(r)| x|
\bigr)
\leq r
2
+
r
2
= r.
Таким образом, отображение
\biggl(
\partial F0
\partial x0
\biggr) - 1
M(x, \varepsilon ) при выполнении (54) и (55) переводит шар
B0(r) в себя. А если выбрать \varepsilon и r так, чтобы кроме неравенств (54) и (55) выполнялось
неравенство \zeta (\varepsilon , x) < 1, то отображение (49) будет и сжимающим. Следовательно, оно имеет
единственную неподвижную точку x\ast = x\ast (\varepsilon , r), которая и является начальным значением
решения краевой задачи (1).
Выберем теперь r как функцию параметра \varepsilon так, чтобы r(\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0, а \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0 так,
чтобы для функции \eta (\varepsilon ) в (47) выполнялось неравенство
\eta (\varepsilon )
r(\varepsilon )
\leq 1
2CN(r(\varepsilon ))
.
Отметим, что такой выбор возможен, поскольку функция N(r(\varepsilon )), ограничивающая част-
ные производные
\partial F
\partial x
и
\partial F
\partial y
в шаре Br(0), не растет с уменьшением r(\varepsilon ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
266 А. Н. СТАНЖИЦКИЙ, С. Т. МЫНБАЕВА, Н. А. МАРЧУК
Оценка (8) теперь следует из неравенств (44) и (46).
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2 проводится по той же схеме. При этом неравенство (44) следует
из теоремы 2.1 [15], а оценка типа (46) для разности между решениями задач Коши точных
и усредненных уравнений — из аналога первой теоремы Боголюбова для систем интегро-
дифференциальных уравнений [15] (теорема 3.3). Еще заметим, что вместо стандартных урав-
нений в вариациях нужно воспользоваться уравнениями (22), а также свойствами решений
(леммы 3, 5). В остальном доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.
Литература
1. A. Alownel, K. Al-Khaled, M. Al-Towiq, Reliable algorithms for solving integro-differential equations with
applications, Int. J. Comput. Math., 87, № 7, 1538 – 1554 (2009).
2. P. K. Kythe, P. Puri, Computational methods for linear integral equations, Univ. New Orleans, New Orleans (1992).
3. A. M. Wazwaz, A comparison study between the modified decomposition method and the traditional methods for
solving nonlinear integral equations, Appl. Math. and Comput., 181, № 2, 1703 – 1712 (2006).
4. J. M. Kean, N. D. Barlow, A spatial model for the succesful biological control of Sitona discoidens by Microctonus
aethiopoides, J. Appl. Ecology, 38, 162 – 169 (2001).
5. H. R. Thilme, A model for the spatio-spread of an epidemic, J. Math. Biol., 4, 337 – 351 (1977).
6. О. А. Бойчук, I. А. Головацька, Слабконелiнiйнi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь, Нелiнiйнi коливання,
16, № 3, 314 – 321 (2013).
7. О. А. Бойчук, I. А. Головацька, Крайовi задачi для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь, Нелiнiйнi коли-
вання, 16, № 4, 460 – 474 (2013).
8. D. S. Dzhumabaev, A method for solving the linear boundary value problem an integro-differential equation, Comput.
Math. and Math. Phys., 50, 1150 – 1161 (2010).
9. D. S. Dzhumabaev, Necessary and sufficient conditions for the solvability of linear boundary-value problems for the
Fredholm integro-differential equations, Ukr. Math. J., 66, № 8, 1200 – 1219 (2015).
10. D. S. Dzhumabaev, On one approach to solve the linear boundary value problems for Fredholm integro-differential
equations, J. Comput. and Appl. Math., 294, 342 – 357 (2016).
11. D. S. Dzhumabaev, New general solutions to linear Fredholm integro-differential equations and their applications on
solving the boundary value problems, J. Comput. and Appl. Math., 327, 79 – 108 (2018).
12. А. М. Самойленко, О. А. Бойчук, С. А. Кривошея, Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-диференцiальних
рiвнянь з виродженим ядром, Укр. мат. журн., 48, № 11, 1576 – 1579 (1996).
13. А. М. Самойленко, Р. И. Петришин, Метод усреднения в некоторых краевых задачах, Дифференц. уравнения,
25, № 6, 956 – 964 (1989).
14. Ю. А. Митропольский, Д. Д. Байнов, С. Д. Милушева, Применение метода усреднения для решения краевых
задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений, Мат. физика,
вып. 25, 3 – 22 (1979).
15. А. Н. Филатов, Л. В. Шарова, Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний, Наука, Москва
(1976).
16. З. Шмарда, Существование и единственность решения задачи Коши для сингулярных систем интегро-
дифференциальных уравнений, Укр. мат. журн., 45, № 12, 1716 – 1720 (1993).
Получено 18.09.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1071 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:36Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2a/82d3a2900c0c56a9d0d1447ef6656a2a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10712020-04-07T12:15:30Z Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations Усреднение в краевых задачах для систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений Усереднення в крайових задачах для систем диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь Mynbayeva, S. T. Stanzhitskii, A. N. Marchuk, N. A. Мынбаева, С. Т. Станжицкий, А. Н. Марчук, Н. А. Минбаєва, С. Т. Станжицький, О. М. Марчук, Н. А. Усереднення крайова задача вольтерівський тип збіжність варіація Averaging boundary value problem Volterra type convergence variation UDC 517.9 The averaging method is applied to the investigation of the problem of existence of solutions of boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations.&nbsp;&nbsp;It is shown that if the averaged boundary-value problem has a solution, then the original problem also has a solution.&nbsp;&nbsp;It is worth noting that, in this case, the system obtained as a result of averaging of a system of integrodifferential equations has the form of a simpler&nbsp; system of ordinary differential equations. УДК 517.9 Метод усереднення застосовано до дослідження існування розв'язків крайових задач для систем диференціальних і інтегро-диференціальних рівнянь.&nbsp;Показано, що якщо усереднена крайова задача має розв'язок, то початкова задача також має розв'язок.&nbsp;При цьому усередненою для системи інтегро-диференціальних рівнянь є більш проста система звичайних диференціальних рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-02-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1071 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 2 (2020); 245-266 Український математичний журнал; Том 72 № 2 (2020); 245-266 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1071/1563 Copyright (c) 2020 С. Т. Минбаєва,А. Н. Станжицький,Н. А. Марчук |
| spellingShingle | Mynbayeva, S. T. Stanzhitskii, A. N. Marchuk, N. A. Мынбаева, С. Т. Станжицкий, А. Н. Марчук, Н. А. Минбаєва, С. Т. Станжицький, О. М. Марчук, Н. А. Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations |
| title | Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations |
| title_alt | Усреднение в краевых задачах для систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений Усереднення в крайових задачах для систем диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь |
| title_full | Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations |
| title_fullStr | Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations |
| title_full_unstemmed | Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations |
| title_short | Averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations |
| title_sort | averaging in boundary-value problems for systems of differential and integrodifferential equations |
| topic_facet | Усереднення крайова задача вольтерівський тип збіжність варіація Averaging boundary value problem Volterra type convergence variation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1071 |
| work_keys_str_mv | AT mynbayevast averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT stanzhitskiian averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT marchukna averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT mynbaevast averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT stanžickijan averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT marčukna averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT minbaêvast averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT stanžicʹkijom averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT marčukna averaginginboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialandintegrodifferentialequations AT mynbayevast usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT stanzhitskiian usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT marchukna usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT mynbaevast usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT stanžickijan usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT marčukna usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT minbaêvast usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT stanžicʹkijom usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT marčukna usrednenievkraevyhzadačahdlâsistemdifferencialʹnyhiintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT mynbayevast userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT stanzhitskiian userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT marchukna userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT mynbaevast userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT stanžickijan userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT marčukna userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT minbaêvast userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT stanžicʹkijom userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ AT marčukna userednennâvkrajovihzadačahdlâsistemdiferencíalʹnihtaíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹ |