Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line
UDC 517.5 We obtain new Kolmogorov type sharp inequalities that estimate the norm of the Marchaud fractional derivative $\big\|D^k_-f\big\|_\infty$ of a function $f$ defined on the positive half-line in terms of $\|f\|_p,$ $1< p<\infty,$ and $\|f''\|_1.$ In ad...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1074 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507141914230784 |
|---|---|
| author | Kozynenko, O. Skorokhodov, D. Козиненко, Александр Скороходов, Дмитро Козиненко, О. Скороходов, Д. |
| author_facet | Kozynenko, O. Skorokhodov, D. Козиненко, Александр Скороходов, Дмитро Козиненко, О. Скороходов, Д. |
| author_sort | Kozynenko, O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:43Z |
| description | UDC 517.5
We obtain new Kolmogorov type sharp inequalities that estimate the norm of the Marchaud fractional derivative $\big\|D^k_-f\big\|_\infty$ of a function $f$ defined on the positive half-line in terms of $\|f\|_p,$ $1< p<\infty,$ and $\|f''\|_1.$ In addition, we solve the following related problems: the Stechkin problem on the best approximation of the operator $D^k_-$ by linear bounded operators and the problem on the best recovery of the operator $D^k_-$ by using a class of elements given with an error. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i10.1074 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i10.1074
УДК 517.5
О. Козиненко, Д. Скороходов (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ
ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ НА ДОДАТНIЙ ПIВОСI
We obtain new Kolmogorov type sharp inequalities that estimate the norm of the Marchaud fractional derivative
\bigm\| \bigm\| Dk
- f
\bigm\| \bigm\|
\infty
of a function f defined on the positive half-line in terms of \| f\| p, 1 < p < \infty , and \| f \prime \prime \| 1. In addition, we solve
the following related problems: the Stechkin problem on the best approximation of the operator Dk
- by linear bounded
operators and the problem on the best recovery of the operator Dk
- by using a class of elements given with an error.
Отримано деякi новi нерiвностi типу Колмогорова, що оцiнюють норму дробової похiдної в сенсi Маршо
\bigm\| \bigm\| Dk
- f
\bigm\| \bigm\|
\infty
функцiї f, визначеної на додатнiй пiвосi, через \| f\| p, 1 < p < \infty , i \| f \prime \prime \| 1. Також розв’язано спорiдненi задачi: за-
дачу Стєчкiна про найкраще наближення оператора Dk
- лiнiйними обмеженими операторами i задачу про найкраще
вiдновлення оператора Dk
- на класi, елементи якого вiдомi з похибкою.
1. Вступ та постановка задач. Нехай G — дiйсна вiсь \BbbR або пiввiсь \BbbR + = [0,+\infty ), 1 \leq
\leq p, q, s \leq \infty , k \in \BbbZ + i r \in \BbbN , r > k. Нехай також Lp(G) — простiр вимiрних функцiй f :
G \rightarrow \BbbR зi стандартною нормою
\| f\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int
G
\bigm| \bigm| f(t)\bigm| \bigm| p dt\biggr) 1/p
, 1 \leq p < \infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{ \bigm| \bigm| f(t)\bigm| \bigm| : t \in G
\bigr\}
, p = \infty .
Позначимо через Lr
p,s(G) простiр функцiй f \in Lp(G), для яких f (r - 1) локально абсолютно
неперервна на G i f (r) \in Ls(G).
Нехай \lambda , \mu \in \BbbR . Нерiвнiсть вигляду\bigm\| \bigm\| f (k)
\bigm\| \bigm\|
Lq(G)
\leq K\| f\| \mu Lp(G)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| \lambda
Ls(G)
, (1)
яка виконується для будь-якої функцiї f \in Lr
p,s(G) з деякою сталою K > 0, що не залежить
вiд f, називається мультиплiкативною нерiвнiстю типу Колмогорова (нерiвнiстю Колмогорова –
Надя у випадку k = 0). Вiдомо [1] (див. також [2], § 4), що стала K в нерiвностi (1) скiнченна
тодi i тiльки тодi, коли одночасно виконуються такi умови:
1) \mu = 1 - \lambda i \lambda =
k - 1/q + 1/p
r - 1/s+ 1/p
\in [0, 1];
2)
r
q
\leq r - k
p
+
k
s
.
Уперше нерiвностi вигляду (1) з’явилися на початку ХХ столiття в роботах [3 – 5]. Для
функцiй, визначених на \BbbR , точна стала K вiдома для всiх значень k, r у таких випадках:
1) p = q = s = \infty [3] (r = 2), [6] (r = 3, 4; r = 5 i k = 2) i [7] (r \geq 5);
2) p = q = s = 2 [8];
3) p = q = s = 1 [9];
4) q = \infty i p = s = 2 [10];
а для функцiй, визначених на \BbbR +, — у випадках:
5) p = q = s = +\infty [3] (r = 2), [11] (r = 3) i [12] (r \geq 4);
c\bigcirc О. КОЗИНЕНКО, Д. СКОРОХОДОВ, 2020
1372 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ . . . 1373
6) p = q = s = 2 [5] (r = 2), [13, 14] (r \geq 3);
7) q = \infty i p = s = 2 [15 – 17].
Детальний огляд iнших вiдомих результатiв щодо нерiвностей вигляду (1) та подальшi посилан-
ня можна знайти в оглядовiй статтi [18] та книзi [2].
Останнiм часом все бiльше застосувань потребують дослiдження похiдних дробових по-
рядкiв (див. [19 – 22]). Тому важливим є дослiдження нерiвностей типу Колмогорова i для норм
дробових похiдних:\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfD kf
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq(G)
\leq K\| f\| 1 - \lambda
Lp(G)
\bigm\| \bigm\| f (r)
\bigm\| \bigm\| \lambda
Ls(G)
, \lambda =
k - 1/q + 1/p
r - 1/s+ 1/p
, (2)
де k \in \BbbR + \setminus \BbbZ +, \bfD k — оператор дробового диференцiювання порядку k, f \in Lr
p,s(G) i
стала K > 0 не залежить вiд f. У данiй роботi ми розглянемо один з операторiв дробового
диференцiювання — дробову похiдну в сенсi Маршо [23] (див. також [20]). Нагадаємо (див. [20],
роздiл 5.6), що правосторонньою дробовою похiдною Dk
- f у сенсi Маршо порядку k функцiї f :
G \rightarrow \BbbR в точцi x \in G називається функцiя
Dk
- f (x) =
1
\kappa (k, n)
+\infty \int
0
(\Delta n
uf) (x)
u1+k
du,
де n \in \BbbN , n > k (означення не залежить вiд вибору n) i
(\Delta n
uf) (x) :=
n\sum
m=0
( - 1)m
\biggl(
n
m
\biggr)
f(x+mu), \kappa (k, n) := \Gamma ( - k)
n\sum
m=0
( - 1)m
\biggl(
n
m
\biggr)
mk.
Перелiчимо випадки, в яких точна стала K в нерiвностi (2) є вiдомою:
1) G = \BbbR , p = q = s = \infty , r = 2, k \in (0, 1), \bfD k = Dk
- [24];
2) G = \BbbR +, p = q = s = \infty , k \in (0, 1], r \in (k, 2], \bfD k — оператор дробового диференцiю-
вання в сенсi Рiмана – Лiувiлля [25];
3) G = \BbbR +, p = q = s = \infty , k \in (0, 2) \setminus \{ 1\} , r = 2, \bfD k — оператор дробового диференцi-
ювання в сенсi Рiмана – Лiувiлля [25];
4) G = \BbbR або G = \BbbR +, p = s = 2, q = \infty , r \in \BbbR , - 1
2
< k < r - 1
2
, \bfD k — оператор
дробового диференцiювання в сенсi Вейля [26, 27];
5) G = \BbbR або G = \BbbR +, p = q = \infty , 1 \leq s \leq \infty , r = 1, k \in
\biggl(
0, 1 - 1
s
\biggr)
, \bfD k = Dk
- [28, 29];
6) G = \BbbR або G = \BbbR +, p = q = s = \infty , r = 1, k \in (0, 1), \bfD k — оператор дробового
диференцiювання в сенсi Рiса [29, 30];
7) G = \BbbR , p = q = \infty , 1 \leq s \leq \infty , r = 1, 2 i k \in
\biggl(
0, r - 1
s
\biggr)
, \bfD k = Dk
- [31, 32];
8) G = \BbbR , p = q = s = 1, r = 1, k \in (0, 1), \bfD k = Dk
- [33];
9) G = \BbbR або G = \BbbR +, p = q = \infty , 1 \leq s \leq \infty , r = 2, k \in
\biggl(
0, 2 - 1
s
\biggr)
, \bfD k = Dk
- [33].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1374 О. КОЗИНЕНКО, Д. СКОРОХОДОВ
Огляд iнших вiдомих нерiвностей для норм дробових похiдних можна знайти в моногра-
фiї [34]. В данiй роботi отримано нову точну нерiвнiсть вигляду (2) у випадку G = \BbbR +,
1 < p < \infty , q = \infty , s = 1, r = 2 та k \in (0, 1) (див. теорему 1 та наслiдок 1). Як застосування
цiєї нерiвностi розглянемо спорiдненi задачi про найкраще наближення необмежених опера-
торiв лiнiйними обмеженими операторами та задачу про найкраще вiдновлення операторiв на
класi, елементи якого заданi неточно.
Задача Стєчкiна. Наведемо постановку С. Б. Стєчкiна [35] задачi про найкраще наближення
необмежених операторiв лiнiйними обмеженими. Нехай X,Y — банаховi простори; A : X \rightarrow
\rightarrow Y — оператор з областю визначення \scrD (A); Q \subset \scrD (A) — деяка множина. Функцiя
\Omega (\delta ) = \Omega (\delta , A,Q) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| Af\| Y : f \in Q, \| f\| X \leq \delta
\bigr\}
, \delta \geq 0,
називається модулем неперервностi оператора A на множинi Q.
Через \scrL = \scrL (X,Y ) позначимо простiр лiнiйних обмежених операторiв S : X \rightarrow Y. Позна-
чимо вiдхилення оператора A вiд оператора S \in \scrL на множинi Q:
U(A,S;Q) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in Q
\| Ax - Sx\| Y
та для N \geq 0 означимо похибку найкращого наближення оператора A лiнiйними обмеженими
операторами на множинi Q:
EN (A;Q) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
S\in \scrL : \| S\| \leq N
U(A,S;Q). (3)
Задача Стєчкiна про найкраще наближення оператора A лiнiйними обмеженими операторами
на множинi Q полягає в обчисленнi величини (3) та знаходженнi екстремальних операторiв
S\ast \in \scrL , на яких досягається iнфiмум у правiй частинi (3), якщо такi оператори iснують.
Теорема А [35]. Нехай A — однорiдний (зокрема, лiнiйний) оператор, Q \subset \scrD (A) —
центрально-симетрична опукла множина. Тодi для будь-яких N \geq 0 i \delta \geq 0
EN (A;Q) \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\delta \geq 0
\bigl\{
\Omega (\delta , A,Q) - N\delta
\bigr\}
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in Q
\bigl\{
\| Ax\| Y - N\| x\| X
\bigr\}
,
\Omega (\delta , A,Q) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
N\geq 0
\bigl(
EN (A;Q) +N\delta
\bigr)
.
Крiм того, якщо iснують елемент x0 \in Q i оператор S0 \in \scrL такi, що
\| Ax0\| Y = U(A,S0;Q) + \| S0\| \| x0\| X , (4)
то \Omega
\bigl(
\| x0\| X , A,Q
\bigr)
= \| Ax0\| Y i E\| S0\| (A;Q) = U(A,S0;Q) = \| Ax0\| Y - \| S0\| \| x0\| X . Отже,
S0 — екстремальний оператор у задачi (3) для N = \| S0\| , а елемент x0 реалiзує супремум у
правiй частинi означення величини \Omega (\delta , A,Q) для \delta = \| x0\| X .
Задача про найкраще вiдновлення оператора на класi (див. [2], § 7.1). Нехай A : X \rightarrow
\rightarrow Y — оператор з областю визначення \scrD (A), значення якого на елементах класу Q \subset \scrD (A)
необхiдно вiдновити за умови, що елементи класу Q вiдомi з деякою похибкою. Для вiдновлен-
ня оператора A будемо використовувати множину \scrR операторiв (однозначних вiдображень) S :
X \rightarrow Y. В якостi \scrR , як правило, розглядають одну iз множин: множину \scrO = \scrO (X,Y ) усiх
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ . . . 1375
вiдображень, множину \scrL = \scrL (X,Y ) усiх лiнiйних операторiв, множину \scrB = \scrB (X,Y ) усiх
лiнiйних обмежених операторiв.
Для числа \delta \geq 0 та оператора S \in \scrR означимо
U\delta (A,S;Q) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| Ax - S\eta \| Y : x \in Q, \eta \in X, \| x - \eta \| X \leq \delta
\bigr\}
.
Тодi величина
\scrE \delta (\scrR ;A;Q) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
S\in \scrR
U\delta (A,S;Q) (5)
називається найкращим вiдновленням оператора A за допомогою множини вiдображень (ме-
тодiв вiдновлення) \scrR на елементах класу Q, якi задано з похибкою \delta .
Наступне твердження встановлює взаємозв’язок задачi (5) iз задачами про обчислення мо-
дуля неперервностi оператора та найкращого наближення оператора лiнiйними обмеженими
операторами.
Теорема Б ([2], теорема 7.1.2). Нехай A — однорiдний оператор, Q — центрально-симет-
рична опукла множина. Тодi для кожного \delta \geq 0
\Omega (\delta , A,Q) \leq \scrE \delta (\scrO ;A;Q) \leq \scrE \delta (\scrB ;A;Q) = \scrE \delta (\scrL ;A;Q) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
N\geq 0
\bigl(
EN (A;Q) +N\delta
\bigr)
.
Бiльше того, якщо iснують елемент x0 \in Q та оператор S0 \in \scrB , для яких виконується
рiвнiсть (4), то
\| Ax0\| Y = \Omega (\delta , A,Q) = \scrE \delta (\scrO ;A;Q) = \scrE \delta (\scrB ;A;Q) = \scrE \delta (\scrL ;A;Q), \delta = \| x0\| X .
Дана робота має таку структуру. Основнi результати наведено у другому пунктi, а їхньому
доведенню присвячено четвертий пункт. У третьому пунктi доведено допомiжне твердження
про iснування розв’язку спецiальної нелiнiйної системи рiвнянь.
2. Основнi результати. Для зручностi далi будемо використовувати скорочення: Lp =
= Lp(\BbbR +), \| \cdot \| p = \| \cdot \| Lp(\BbbR +), Lr
p,s = Lr
p,s(\BbbR +). Нехай 1 < p < \infty . Розглянемо множину
T =
\bigl\{
(a, b, c) \in \BbbR 3 : 0 < a < b \leq c < 1
\bigr\}
i для довiльної трiйки чисел (a, b, c) \in T означимо
функцiї
\mu a,b,c(u) :=
\left\{
u - a
b - a
1
1 - c
\biggl(
k(1 - k)
c1+k
\biggr) 1
p - 1\Bigl(
b
\bigl(
1 - c
1+k
p - 1
\bigr)
-
\bigl(
1 - c
1+ 1+k
p - 1
\bigr) \Bigr)
, u \in [0, b],
1
1 - c
\biggl(
k(1 - k)
c1+k
\biggr) 1
p - 1\Bigl(
u
\bigl(
1 - c
1+k
p - 1
\bigr)
-
\bigl(
1 - c
1+ 1+k
p - 1
\bigr) \Bigr)
, u \in [b, 1],
( - 1)
\biggl(
k(1 - k)
u1+k
\biggr) 1
p - 1
, u \in (1,+\infty ),
i \omega a,b,c := | \mu a,b,c| p - 1\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\mu a,b,c. Для r \in \BbbN через g[r] позначимо первiсну функцiї g \in L1 порядку
r, для якої g[r](0) = 0, тобто
g[r](\cdot ) =
(\cdot )\int
0
g[r - 1](u) du, де g[0] = g.
Графiки функцiй \mu a,b,c i \omega [2]
a,b,c при p = 2 зображено на рисунку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1376 О. КОЗИНЕНКО, Д. СКОРОХОДОВ
0 1
a b c
μa,b,c(u)
− k(1− k)
u1+ k
1
p− 1( ) 0 1
a b c
ω[2]
a,b,c(u)
u1− k
Має мiсце допомiжне твердження, доведенню якого присвячено третiй пункт.
Лема 1. Нехай 1 < p < \infty i k \in (0, 1). Тодi система рiвнянь
\omega
[1]
a,b,c(b) = (1 - k)b - k,
\omega
[1]
a,b,c(1) = 1 - k,
\omega
[2]
a,b,c(b) + \omega
[2]
a,b,c(1) = 1 + b1 - k
(6)
має хоча б один розв’язок в T.
Нехай (a\ast , b\ast , c\ast ) \in T — деякий розв’язок системи (6). Через \omega i \mu позначимо функцiї
\omega a\ast ,b\ast ,c\ast i \mu a\ast ,b\ast ,c\ast вiдповiдно. Нескладно бачити, що \mu \not \in L2
p,1 i для будь-якого h > 0 викону-
ється рiвнiсть
\bigm\| \bigm\| Dk
- \mu
\bigm\| \bigm\|
\infty =
\| \omega \| p\prime
\Gamma (2 - k)hk+1/p
\| \mu \| p +
h1 - k
\bigm\| \bigm\| \omega [2](u) - u1 - k
\bigm\| \bigm\|
\infty
\Gamma (2 - k)
\| \mu \prime \| V , (7)
де \| g\| V позначає варiацiю функцiї g : \BbbR + \rightarrow \BbbR .
Теорема 1. Нехай k \in (0, 1), h > 0, 1 < p < \infty i p\prime = p/(p - 1). Тодi для будь-якої функцiї
f \in L2
p,1 виконується адитивна нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| Dk
- f
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\| \omega \| p\prime
\Gamma (2 - k)hk+1/p
\| f\| p +
h1 - k
\bigm\| \bigm\| \omega [2](u) - u1 - k
\bigm\| \bigm\|
\infty
\Gamma (2 - k)
\| f \prime \prime \| 1. (8)
Бiльше того, iснує така множина функцiй \{ f\varepsilon \} \varepsilon >0 \subset L2
p,1, що для довiльного \varepsilon > 0
\bigm\| \bigm\| Dk
- f\varepsilon
\bigm\| \bigm\|
\infty >
\| \omega \| p\prime
\Gamma (2 - k)hk+1/p
\| f\varepsilon \| p +
\Biggl(
h1 - k
\bigm\| \bigm\| \omega [2](u) - u1 - k
\bigm\| \bigm\|
\infty
\Gamma (2 - k)
- \varepsilon
\Biggr) \bigm\| \bigm\| f \prime \prime
\varepsilon
\bigm\| \bigm\|
1
.
Мiнiмiзуючи нерiвнiсть (8) за параметром h > 0, отримуємо точну мультиплiкативну не-
рiвнiсть вигляду (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ . . . 1377
Наслiдок 1. Нехай k \in (0, 1) i 1 < p < \infty . Тодi для довiльної функцiї f \in L2
p,1 виконується
точна нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| Dk
- f
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\| Dk
- \mu \| \infty
\| \mu \| 1 - \lambda
p \| \mu \prime \| \lambda V
\| f\| 1 - \lambda
p \| f \prime \prime \| \lambda 1 , \lambda =
k + 1/p
1 + 1/p
. (9)
Позначимо W 2
p,1 :=
\bigl\{
f \in L2
p,1 : \| f \prime \prime \| 1 \leq 1
\bigr\}
i розглянемо лiнiйний оператор FN : Lp \rightarrow L\infty ,
N > 0, визначений спiввiдношенням
FNf(\cdot ) = hk+1
\Gamma (2 - k)
+\infty \int
0
\omega (ht)f(\cdot + t) dt, f \in Lp, (10)
де
h =
\Bigl(
N\Gamma (2 - k)\| \omega \| - 1
p\prime
\Bigr) 1
k+1/p
. (11)
Нескладно бачити, що оператор FN є обмеженим i \| FN\| = N. Наступнi твердження дають
розв’язок задачi Стєчкiна про найкраще наближення оператора Dk
- на класi W 2
p,1 та задачi про
найкраще вiдновлення оператора Dk
- на класi W 2
p,1, елементи якого задано з похибкою.
Теорема 2. Нехай k \in (0, 1), N > 0 i 1 < p < \infty . Тодi
EN
\bigl(
Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= U
\bigl(
Dk
- , FN ;W 2
p,1
\bigr)
=
= \lambda (1 - \lambda )
\lambda
1 - \lambda
\Biggl( \bigm\| \bigm\| Dk
- \mu
\bigm\| \bigm\|
\infty
\| \mu \| 1 - \lambda
p \| \mu \prime \| \lambda V
\Biggr) 1
\lambda
N
1
\lambda
- 1, \lambda =
k + 1/p
1 + 1/p
.
Теорема 3. Нехай k \in (0, 1), 1 < p < \infty i \delta \geq 0. Тодi
\scrE \delta
\bigl(
\scrO ;Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= \scrE \delta
\bigl(
\scrB ;Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= \scrE \delta
\bigl(
\scrL ;Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
=
\| Dk
- \mu \| \infty \delta 1 - \lambda
\| \mu \| 1 - \lambda
p \| \mu \prime \| \lambda V
, \lambda =
k + 1/p
1 + 1/p
.
Бiльше того, екстремальним є оператор FN , де
N = (1 - \lambda )
\bigm\| \bigm\| Dk
- \mu
\bigm\| \bigm\|
\infty
\| \mu \| 1 - \lambda
p \| \mu \prime \| \lambda V
\delta - \lambda .
Зауваження 1. Нехай V — простiр функцiй f : \BbbR + \rightarrow \BbbR обмеженої варiацiї та Lr
p,V , r \in \BbbN ,
1 < p < \infty , — простiр функцiй f \in Lp, якi мають локально абсолютно неперервну похiдну
f (r) \in V. Вiдомо, що L2
p,1 \subset L1
p,V i \| f \prime \prime \| 1 = \| f \prime \| V для всiх f \in L2
p,1. Теорема 1 i наслiдок 1
залишаються правильними, якщо простiр L2
p,1 замiнити бiльш широким простором L1
p,V , а
норму \| f \prime \prime \| 1 — нормою \| f \prime \| V . Також теореми 2 i 3 залишаються правильними, якщо клас
W 2
p,1 замiнити класом W 1
p,V :=
\Bigl\{
f \in L1
p,V : \| f \prime \| V \leq 1
\Bigr\}
.
3. Доведення леми 1. Цей пункт присвячено доведенню допомiжної леми 1. Запишемо (6)
у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1378 О. КОЗИНЕНКО, Д. СКОРОХОДОВ
G1 (a, b, c) :=
b\int
0
\omega a,b,c(u) du - (1 - k)b - k = 0,
G2 (a, b, c) :=
1\int
b
\omega a,b,c(u) du+ (1 - k)(b - k - 1) = 0,
G3 (a, b, c) :=
b\int
0
u\omega a,b,c(u) du+
1\int
0
u\omega a,b,c(u) du+ k
\Bigl(
b1 - k + 1
\Bigr)
= 0.
(12)
Розглянемо множину T \prime =
\bigl\{
(a, b, c) \in \BbbR 3 : 0 < a < b \leq c \leq 1
\bigr\}
, яка мiстить T, а функцiї
G1, G2, G3 довизначимо на T \prime за неперервнiстю. Покажемо, що система (12) має хоча б один
розв’язок у T \prime .
Неважко бачити, що функцiя G1 та її частиннi похiднi неперервнi на T \prime . Для довiльних
b0 \in (0, 1] i c0 \in [b0, 1] функцiя G1(a, b0, c0) зростає за змiнною a. Оскiльки G1(0, b0, c0) < 0 та
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}a\rightarrow b+0
G1(a, b0, c0) = +\infty , то iснує таке a0 \in (0, b0), що G1(a0, b0, c0) = 0. За теоремою про
неявну функцiю (див. теорему 1\prime в [36], § 7.15) в деякому околi точки (a0, b0, c0) iснує i непе-
рервна функцiя \xi (b, c), для якої G1
\bigl(
\xi (b, c), b, c
\bigr)
= 0. Отже, функцiя \xi визначена i неперервна
на множинi \Xi =
\bigl\{
(b, c) : b \in (0, 1], c \in [b, 1]\} , причому G1(\xi (b, c), b, c) = 0 i 0 < \xi (b, c) < b для
всiх (b, c) \in \Xi .
Враховуючи, що G2 не залежить вiд змiнної a, означуємо функцiї F1, F2 : \Xi \rightarrow \BbbR :
F1(b, c) := G2(\xi (b, c), b, c), F2(b, c) := G3 (\xi (b, c), b, c) , (b, c) \in \Xi .
Доведемо iснування розв’язку на \Xi системи рiвнянь
F1(b, c) = 0,
F2(b, c) = 0,
(13)
звiдки випливатиме, що система (12) має розв’язок у T \prime .
Зауважимо, що функцiї F1, F2 є композицiями неперервних функцiй G2, G3 : T \prime \rightarrow \BbbR
вiдповiдно, з функцiєю \Upsilon : \Xi \rightarrow T \prime , яка визначена правилом \Upsilon (b, c) = (\xi (b, c), b, c). Тому F1 i
F2 неперервнi на \Xi . Зафiксуємо \varepsilon \in (0, 1), означимо \Xi \varepsilon :=
\bigl\{
(b, c) : b \in [\varepsilon , 1], c \in [b, 1]
\bigr\}
, яка є
пiдмножиною \Xi , i розглянемо неперервне векторне поле F = (F1, F2) : \Xi \varepsilon \rightarrow \BbbR 2. Припустимо
супротивне, тобто що рiвняння (13) не має розв’язку. Отже, векторне поле F не обертається в
нуль на \Xi \varepsilon .
Далi нам буде потрiбно поняття обертання векторного поля. Нагадаємо (див. [37]), що
обертанням векторного поля \Phi : \Gamma \rightarrow \BbbR 2, яке не обертається в нуль, на кривiй \Gamma , яка задана
параметрично з параметром t \in [\alpha , \beta ], називається величина
\gamma (\Phi ,\Gamma ) :=
1
2\pi
(\theta (\beta ) - \theta (\alpha )) =
1
2\pi
\theta (\beta ),
де \theta (t) — кутова функцiя поля \Phi на кривiй \Gamma , тобто функцiя, яка вимiрює кут (у радiанах) мiж
векторами \Phi (t) та \Phi (\alpha ), вiдрахований вiд вектора \Phi (\alpha ) проти годинникової стрiлки. Нехай
\Omega \subset \BbbR 2 — замкнена множина з непорожньою однозв’язною внутрiшнiстю \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\Omega , межею якої є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ . . . 1379
крива \Gamma . Особливими точками поля \Phi : \Omega \subset \BbbR 2 називаються такi точки множини \Omega , в яких \Phi
або не визначене, або розривне, або обертається в нуль. За теоремою 3.2 [37] число особливих
точок векторного поля \Phi : \Omega \rightarrow \BbbR 2, яке не обертається в нуль на \Gamma , на областi \Omega дорiвнює
обертанню векторного поля \Phi на межi \Omega — кривiй \Gamma .
Оскiльки поле F : \Xi \varepsilon \rightarrow \BbbR 2 неперервне i за припущенням не обертається в нуль, то за
теоремою 3.2 [37] \gamma (F, \partial \Xi \varepsilon ) = 0.
З iншого боку, обчислимо обертання векторного поля F на \partial \Xi \varepsilon безпосередньо. Зрозумiло,
що множина \partial \Xi \varepsilon — трикутник iз вершинами A\varepsilon = (\varepsilon , \varepsilon ), B = (1, 1) i C\varepsilon = (\varepsilon , 1).
1. Розглянемо першу компоненту F1 поля F. На сторонi A\varepsilon B = \{ (b, b) : b \in [\varepsilon , 1]\} для
кожного b \in [\varepsilon , 1) маємо
\omega \xi (b,b),b,b(u) > k(1 - k)u - 1 - k, u \in (b, 1),
звiдки
F1(b, b) =
1\int
b
\omega \xi (b,b),b,b(u) du+ (1 - k)(b - k - 1) < 0.
Також F1(1, 1) = 0. Отже, на сторонi A\varepsilon B функцiя F1 набуває недодатних значень i обертається
в нуль лише в точцi B.
На сторонi BC\varepsilon =
\bigl\{
(b, 1) : b \in [\varepsilon , 1]
\bigr\}
для кожного b \in [\varepsilon , 1) маємо
\omega \xi (b,1),b,1(u) < k(1 - k)u - 1 - k, u \in (b, 1),
звiдки випливає, що F1 (b, 1) > 0. Отже, на сторонi BC\varepsilon функцiя F1 набуває невiд’ємних
значень i обертається в нуль лише в точцi B.
Нарештi, на сторонi C\varepsilon A\varepsilon = \{ (\varepsilon , c) : c \in [\varepsilon , 1]\} функцiя F1(\varepsilon , c) зростає за змiнною c \in [\varepsilon , 1]
i за вищенаведеними мiркуваннями F1(\varepsilon , \varepsilon ) < 0 i F1(\varepsilon , 1) > 0. Отже, за теоремою Больцано –
Кошi iснує єдине c\varepsilon \in (\varepsilon , 1) таке, що F1
\bigl(
\varepsilon , c\varepsilon
\bigr)
= 0.
Таким чином, F1 обертається в нуль на межi \partial \Xi \varepsilon лише в точках B та D\varepsilon = (\varepsilon , c\varepsilon ). Тому
для обчислення величини \gamma (F, \partial \Xi \varepsilon ) достатньо знайти \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}F2 в точках B та D\varepsilon . При цьому
якщо \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}F2(1, 1) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}F2
\bigl(
\varepsilon , c\varepsilon
\bigr)
, то \gamma (F, \partial \Xi \varepsilon ) = 0; в iншому випадку \gamma (F, \partial \Xi \varepsilon ) = - 1, якщо
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}F2(1, 1) = 1, i \gamma (F, \partial \Xi \varepsilon ) = 1, якщо \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}F2(1, 1) = - 1.
2. Визначимо знак числа F2(1, 1). Нехай \alpha = \xi (1, 1). Тодi
G1(\alpha , 1, 1) =
\alpha \int
0
k(1 - k)(\alpha - u)p - 1
(1 - \alpha )p - 1 du -
1\int
\alpha
k(1 - k)(u - \alpha )p - 1
(1 - \alpha )p - 1 du - (1 - k) =
=
\alpha pk(1 - k)
p(1 - \alpha )p - 1 - (1 - \alpha )pk(1 - k)
p(1 - \alpha )p - 1 - (1 - k) =
=
\alpha pk(1 - k)
p(1 - \alpha )p - 1
\Biggl(
1 -
\biggl(
1
\alpha
- 1
\biggr) p
- p
k
1
\alpha
\biggl(
1
\alpha
- 1
\biggr) p - 1
\Biggr)
.
За означенням функцiї \xi параметр \alpha \in (0, 1) i G1(\alpha , 1, 1) = 0. Пiдставляючи q =
1
\alpha
- 1 \in
\in (0,+\infty ) i враховуючи попереднiй вираз для G1(\alpha , 1, 1), отримуємо рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1380 О. КОЗИНЕНКО, Д. СКОРОХОДОВ
qp - 1
\biggl(
q +
p
k
(1 + q)
\biggr)
= 1. (14)
Покажемо, що F2(1, 1) > 0. Дiйсно,
F2(1, 1) = 2
\left( k +
\alpha \int
0
u
k(1 - k)(\alpha - u)p - 1
(1 - \alpha )p - 1 du -
1\int
\alpha
u
k(1 - k)(u - \alpha )p - 1
(1 - \alpha )p - 1 du
\right) =
= 2
\Biggl(
k +
k(1 - k)
(1 - \alpha )p - 1
\Biggl(
\alpha p+1
p(p+ 1)
- (1 - \alpha )p+1
p+ 1
- \alpha (1 - \alpha )p
p
\Biggr) \Biggr)
=
= C
\biggl(
p(p+ 1)
1 - k
(1 + q)2qp - 1 + 1 - pqp+1 - (p+ 1)qp
\biggr)
,
де C =
2k(1 - k)\alpha p+1
p(p+ 1)(1 - \alpha )p - 1
> 0. Пiдставивши qp - 1 з рiвностi (14), отримаємо
F2(1, 1) =
C
q +
p
k
(1 + q)
\biggl(
p(p+ 1)
1 - k
(1 + q)2 + q +
p
k
(1 + q) - pq2 - (p+ 1)q
\biggr)
=:
=:
CM(q)
q +
p
k
(1 + q)
.
Множник
C
q +
p
k
(1 + q)
додатний, тому знак F2(1, 1) визначається знаком множника M(q),
який можна записати у виглядi
M(q) = q2
\biggl(
p(p+ 1)
1 - k
- p
\biggr)
+ q
\biggl(
2p(p+ 1)
1 - k
+
p
k
- p
\biggr)
+
\biggl(
p(p+ 1)
1 - k
+
p
k
\biggr)
.
Вочевидь, кожний доданок у виразi для M(q) додатний, а тому M(q) > 0. Отже,
\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}F2(1, 1) = 1.
3. Визначимо знак числа F2
\bigl(
\varepsilon , c\varepsilon
\bigr)
для достатньо малих \varepsilon > 0. Для цього дослiдимо
асимптотичну поведiнку F2
\bigl(
\varepsilon , c\varepsilon
\bigr)
при \varepsilon \rightarrow 0+. Нехай \alpha \varepsilon = \xi
\bigl(
\varepsilon , c\varepsilon
\bigr)
\in (0, \varepsilon ) та для зручностi
позначимо \mu \varepsilon := \mu \xi (\varepsilon ,c\varepsilon ),\varepsilon ,c\varepsilon i A\varepsilon := - \mu \varepsilon (\varepsilon ). Тодi
\mu \varepsilon (u) = - A\varepsilon +
u - \varepsilon
1 - \varepsilon
\Bigl(
-
\bigl(
k(1 - k)
\bigr) 1
p - 1 +A\varepsilon
\Bigr)
, u \in [\varepsilon , 1].
Пiдставляючи цей вираз у рiвняння F1(\varepsilon , c\varepsilon ) = 0, отримуємо
1 - \varepsilon
-
\bigl(
k(1 - k)
\bigr) 1
p - 1 +A\varepsilon
\bigl(
k(1 - k)
\bigr) p
p - 1 - Ap
\varepsilon
p
+ (1 - k)
\bigl(
\varepsilon - k - 1
\bigr)
= 0.
Переходячи в останнiй рiвностi до границi при \varepsilon \rightarrow 0+, переконуємося, що A\varepsilon \rightarrow +\infty i, бiльше
того,
Ap - 1
\varepsilon = (1 - k)p\varepsilon - k + o(\varepsilon - k), \varepsilon \rightarrow 0+. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ . . . 1381
Далi, для u \in [0, \varepsilon ] маємо
\mu \varepsilon (u) = - A\varepsilon
u - \alpha \varepsilon
\varepsilon - \alpha \varepsilon
.
Пiдставляючи цей вираз у рiвняння G1 (\alpha \varepsilon , \varepsilon , c\varepsilon ) = 0, одержуємо
Ap - 1
\varepsilon
p
\alpha p
\varepsilon - (\varepsilon - \alpha \varepsilon )
p
(\varepsilon - \alpha \varepsilon )
p - 1 - (1 - k)\varepsilon - k = 0.
Пiдставивши \alpha \varepsilon = \varepsilon \beta \varepsilon , \beta \varepsilon \in (0, 1), в останнє рiвняння, матимемо
\beta p
\varepsilon - (1 - \beta \varepsilon )
p = (1 - k)p
\varepsilon - k - 1
Ap - 1
\varepsilon
(1 - \beta \varepsilon )
p - 1.
Подiлимо обидвi частини отриманого спiввiдношення на \beta p
\varepsilon i виконаємо пiдстановку
1
\beta \varepsilon
- 1 =
= q\varepsilon \in (0,+\infty ):
1 - qp\varepsilon = (1 - k)p
\varepsilon - k - 1
Ap - 1
\varepsilon
qp - 1
\varepsilon
\bigl(
q\varepsilon + 1
\bigr)
.
Переходячи в останнiй рiвностi до границi при \varepsilon \rightarrow 0+, нескладно бачити, що q\varepsilon \rightarrow 0, бiльше
того, q\varepsilon = \varepsilon
1
p - 1 + o
\Bigl(
\varepsilon
1
p - 1
\Bigr)
, \beta \varepsilon = 1 - \varepsilon
1
p - 1 + o
\Bigl(
\varepsilon
1
p - 1
\Bigr)
i
\alpha \varepsilon = \varepsilon - \varepsilon
p
p - 1 + o
\Bigl(
\varepsilon
p
p - 1
\Bigr)
, \varepsilon \rightarrow 0+. (16)
Дослiдимо асимптотичну поведiнку F2(\varepsilon , c\varepsilon ). За означенням
F2
\bigl(
\varepsilon , c\varepsilon
\bigr)
= I1\varepsilon + I2\varepsilon + I3\varepsilon + k
\bigl(
1 + \varepsilon 1 - k
\bigr)
,
де
I1\varepsilon := 2
\alpha \varepsilon \int
0
u | \mu \varepsilon (u)| p - 1 du =
2\alpha p+1
\varepsilon Ap - 1
\varepsilon
p(p+ 1)(\varepsilon - \alpha \varepsilon )p - 1
,
I2\varepsilon := - 2
\varepsilon \int
\alpha \varepsilon
u | \mu \varepsilon (u)| p - 1 du = - 2Ap - 1
\varepsilon
(\varepsilon - \alpha \varepsilon )p - 1
\biggl(
(\varepsilon - \alpha \varepsilon )
p+1
p+ 1
+
\alpha \varepsilon (\varepsilon - \alpha \varepsilon )
p
p
\biggr)
,
I3\varepsilon := -
1\int
\varepsilon
u | \mu \varepsilon (u)| p - 1 du =
=
(1 - \varepsilon )
\Bigl( \bigl(
k(1 - k)
\bigr) p
p - 1 - Ap
\varepsilon
\Bigr)
p
\Bigl(
A\varepsilon -
\bigl(
k(1 - k)
\bigr) 1
p - 1
\Bigr) +
(1 - \varepsilon )2
\biggl(
Ap+1
\varepsilon -
\bigl(
k(1 - k)
\bigr) p+1
p - 1
\biggr)
p(p+ 1)
\Bigl(
A\varepsilon -
\bigl(
k(1 - k)
\bigr) 1
p - 1
\Bigr) 2 .
Використовуючи асимптотичнi рiвностi (16) i (15), переконуємося, що при \varepsilon \rightarrow 0+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1382 О. КОЗИНЕНКО, Д. СКОРОХОДОВ
I1\varepsilon =
2(1 - k)
p+ 1
\varepsilon 1 - k + o
\bigl(
\varepsilon 1 - k
\bigr)
, I2\varepsilon = o
\bigl(
\varepsilon 1 - k
\bigr)
, I3\varepsilon = - (1 - k)p
p+ 1
\varepsilon - k + o
\bigl(
\varepsilon - k
\bigr)
.
Тому F2
\bigl(
\varepsilon , c\varepsilon
\bigr)
= - (1 - k)p
p+ 1
\varepsilon - k + o
\bigl(
\varepsilon - k
\bigr)
, \varepsilon \rightarrow 0+, i, отже, iснує достатньо мале \varepsilon 0 \in (0, 1),
для якого \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}F2(\varepsilon , c\varepsilon ) = - 1. Це означає, що \gamma
\bigl(
F, \partial \Xi \varepsilon 0
\bigr)
= - 1, що суперечить припущенню
про вiдсутнiсть розв’язкiв системи рiвнянь (13). Тобто iснує трiйка чисел (a\ast , b\ast , c\ast ) \in T \prime ,
яка буде розв’язком системи (6). Також з попереднього аналiзу нескладно бачити, що поле
F не обертається в нуль на пiвiнтервалi
\bigl\{
(b, 1) : b \in (0, 1]
\bigr\}
, звiдки випливає, що c\ast \not = 1 i
(a\ast , b\ast , c\ast ) \in T.
4. Доведення нерiвностi типу Колмогорова. Доведення теореми 1. Спочатку доведемо
нерiвнiсть (8) у випадку h = 1. За властивостями (6) для будь-якої функцiї f \in L2
p,1 можна
записати таку рiвнiсть:
Dk
- f (0) - 1
\Gamma (2 - k)
+\infty \int
0
\omega (u)f(u) du =
1
\Gamma (2 - k)
+\infty \int
0
\bigl(
u1 - k - \omega [2](u)
\bigr)
f \prime \prime (u) du. (17)
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\rho \rightarrow 0+
\bigm\| \bigm\| (\cdot )1 - k\chi (0,\rho )(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
\infty = 0, де \chi (0,\rho )(x) — характеристична функцiя, тобто
\chi (0,\rho )(x) :=
\left\{ 1, x \in (0, \rho ),
0, x /\in (0, \rho ),
\omega [1] локально абсолютно неперервна на \BbbR + i (\cdot )1 - k - \omega [2](\cdot ) \in L\infty , то за теоремою 4 [33]
отримаємо \bigm\| \bigm\| Dk
- f
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq 1
\Gamma (2 - k)
\Bigl(
\| \omega \| p\prime \| f\| p +
\bigm\| \bigm\| (\cdot )1 - k - \omega [2](\cdot )
\bigm\| \bigm\|
\infty \| f \prime \prime \| 1
\Bigr)
. (18)
Обґрунтуємо точнiсть нерiвностi (8) у випадку h = 1. Для iнших значень h точнiсть (8)
можна довести за аналогiєю. За побудовою виконуються рiвнiсть (7) i рiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
+\infty \int
0
\omega (u)\mu (u) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \| \mu \| p\| \omega \| p\prime ,
+\infty \int
0
\bigl(
u1 - k - \omega [2](u)
\bigr)
d\mu \prime (u) =
\bigm\| \bigm\| (\cdot )1 - k - \omega [2](\cdot )
\bigm\| \bigm\|
\infty \| \mu \prime \| V .
Для \lambda > 0 розглянемо усереднення \mu \lambda за Стєкловим функцiї \mu , тобто
\mu \lambda (\cdot ) :=
1
\lambda
\lambda \int
0
\mu (\cdot + u) du.
Нескладно бачити, що \mu \lambda \in L2
p,1 i на пiдставi рiвностi (17) виконуються граничнi рiвностi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0+
Dk
- \mu \lambda (0) = Dk
- \mu (0), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0+
\bigm\| \bigm\| \mu \prime \prime
\lambda
\bigm\| \bigm\|
1
= \| \mu \prime \| V , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0+
\| \mu \lambda \| p = \| \mu \| p.
З урахуванням вищенаведених граничних рiвностей, рiвностi (17) i неперервностi дробової
похiдної Dk
- f функцiї f \in L2
p,1 (див. [33], твердження 4) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ . . . 1383
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0+
\bigm\| \bigm\| Dk
- \mu \lambda
\bigm\| \bigm\|
\infty - \| \omega \| p\prime \| \mu \lambda \| p\bigm\| \bigm\| \mu \prime \prime
\lambda
\bigm\| \bigm\|
1
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0+
Dk
- \mu \lambda (0) - \| \omega \| p\prime \| \mu \lambda \| p\bigm\| \bigm\| \mu \prime \prime
\lambda
\bigm\| \bigm\|
1
=
=
Dk
- \mu (0) - \| \omega \| p\prime \| \mu \| p
\| \mu \prime \| V
=
\bigm\| \bigm\| (\cdot )1 - k - \omega [2](\cdot )
\bigm\| \bigm\|
\infty
\Gamma (2 - k)
,
що завершує доведення у випадку h = 1. У випадку довiльного h > 0 нерiвнiсть (8) можна
отримати з нерiвностi (18), пiдставивши замiсть функцiї f функцiю h - kf (h(\cdot )) . Точнiсть
нерiвностi (8) для довiльного h > 0 доводиться за аналогiєю до випадку h = 1.
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. За лемою 4 [38], використовуючи мiркування, аналогiчнi тим, що
були застосованi при доведеннi теореми 2 [38], отримуємо
EN
\bigl(
Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= \lambda (1 - \lambda )
\lambda
1 - \lambda
\Biggl( \bigm\| \bigm\| Dk
- \mu
\bigm\| \bigm\|
\infty
\| \mu \| 1 - \lambda
p \| \mu \prime \| \lambda V
\Biggr) 1
\lambda
N
1
\lambda
- 1. (19)
Залишилося переконатися в екстремальностi оператора FN . Нехай h визначено рiвнiстю (11) i
x \in \BbbR +. Пiдставляючи в рiвнiсть (17) замiсть функцiї f(\cdot ) функцiю hkg
\biggl(
x+
(\cdot )
h
\biggr)
i виконуючи
замiну змiнної, неважко бачити, що
Dk
- g(x) - FNg(x) =
1
\Gamma (2 - k)
+\infty \int
0
\Bigl(
(hu)1 - k - \omega [2](hu)
\Bigr)
g\prime \prime (u) du.
Отже,
U
\bigl(
Dk
- , FN ;W 2
p,1
\bigr)
\leq
\bigm\| \bigm\| (\cdot )1 - k - \omega [2](\cdot )
\bigm\| \bigm\|
\infty
\Gamma (2 - k)
= \lambda (1 - \lambda )
\lambda
1 - \lambda
\Biggl( \bigm\| \bigm\| Dk
- \mu
\bigm\| \bigm\|
\infty
\| \mu \| 1 - \lambda
p \| \mu \prime \| \lambda V
\Biggr) 1
\lambda
N
1
\lambda
- 1.
Спiвставляючи останню нерiвнiсть з рiвнiстю (19), переконуємося в екстремальностi операто-
ра FN .
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 3. З леми 4 [38] випливає, що
EN
\bigl(
Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\delta \geq 0
\biggl\{
\Omega
\biggl(
\delta ,Dk
- ,W
2
p,1
\biggr)
- N\delta
\biggr\}
.
Звiдси, а також з теореми 3.2 [18] випливає, що
\scrE \delta
\bigl(
\scrO ;Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= \scrE \delta
\bigl(
\scrL ;Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= \scrE \delta
\bigl(
\scrB ;Dk
- ;W
2
p,1
\bigr)
= \Omega
\bigl(
\delta ,Dk
- ,W
2
p,1
\bigr)
.
При цьому для \delta > 0 екстремальним оператором є оператор FN , де
N = (1 - \lambda )
\bigm\| \bigm\| Dk
- \mu
\bigm\| \bigm\|
\infty
\| \mu \| 1 - \lambda
p \| \mu \prime \| \lambda V
\delta - \lambda .
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1384 О. КОЗИНЕНКО, Д. СКОРОХОДОВ
Лiтература
1. В. Н. Габушин, Неравенства для норм функции и ее производных в метриках Lp , Мат. заметки, 1, № 3,
291 – 298 (1967); English translation: Math. Notes, 1, № 3, 194 – 198 (1967).
2. В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения,
Наук. думка, Киев (2003).
3. E. Landau, Einige Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktion, Proc. London Math. Soc., 13, 43 – 49 (1913).
4. J. Hadamard, Sur le module maximum d’une fonction et de ses derivees, C. R. Soc. Math. France, 41, 68 – 72 (1914).
5. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Contribution to the arithmetic theory of series, Proc. London Math. Soc. (2), 11,
411 – 478 (1912).
6. Г. Е. Шилов, О неравенствах между производными, Сб. науч. студ. работ МГУ, 17 – 27 (1937).
7. A. N. Kolmogorov, On inequalities between the upper bounds of the successive derivatives of an arbitrary function
on the infinite interval, Uch. Zap. MGU, Math., 30, № 1 (1939).
8. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Inequlities, Cambridge (1934).
9. E. M. Stein, Functions of exponential type, Ann. Math., 65, № 3, 582 – 592 (1957).
10. Л. В. Тайков, Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования, Мат.
заметки, 4, № 2, 233 – 238 (1968).
11. А. П. Маторин, О неравенствах между наибольшими значениями абсолютных величин функции и ее производ-
ных на полупрямой, Укр. мат. журн., 7, № 2, 262 – 266 (1955).
12. I. J. Shoenberg, A. Cavaretta, Solution of Landau’s problem, concerning higher derivatives on half-line, MRC
Technical Summary Report 1050, Madison, Wisconsin (1970).
13. Ю. И. Любич, О неравенствах между степенями линейных операторов, Изв. АН СССР. Сер. мат., 24, 825 – 864
(1960).
14. Н. П. Купцов, Колмогоровские оценки для производных в L2[0,\infty ), Тр. Мат. ин-та АН СССР, 138, 94 – 117
(1975).
15. В. Н. Габушин, О наилучшем приближении дифференциальных операторов на полуоси, Мат. заметки, 6, № 3,
573–582 (1969).
16. Н. П. Купцов, О точных константах в неравенствах между нормами функций и их производных, Мат. заметки,
41, № 3, 313 – 319 (1987).
17. Г. А. Калябин, Точные константы в неравенствах для промежуточных производных (случай Габушина),
Функцион. анализ и его прил., 38, № 3, 29 – 38 (2004).
18. В. В. Арестов, В. Н. Габушин, Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными, Изв.
вузов, Математика, 42 – 68 (1995); English translation: Russian Math. (Iz. VUZ), 38 – 63 (1995).
19. K. B. Oldham, J. Spanier, The fractional calculus; theory and applications of differentiation and integration to
arbitrary order, Math. Sci. and Eng., Vol. 5, Acad. Press (1974).
20. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Fractional integrals and derivatives: theory and applications, Taylor&
Francis Books Ltd, London (2002).
21. F. Mainardi, Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity: an introduction to mathematical models, Imperial
College Press (2010).
22. V. E. Tarasov, Fractional dynamics: applications of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media,
Springer, Berlin (2010).
23. A. Marchaud, Sur les derivees et sur les differences des fonctions de variables reelles, J. Math. Pures et Appl. (9), 6,
337 – 426 (1927).
24. S. P. Geisberg, Generalization of Hadamard’s inequality, Sb. Nauch. Tr. Leningr. Mekh. Inst., 50, 42 – 54 (1965).
25. V. V. Arestov, Inequalities for fractional derivatives on the half-line, Approxim. Theory, Vol. 4, Banach Center Publ.,
Warsaw (1979), p. 19 – 34.
26. А. П. Буслаев, В. М. Тихомиров, О неравенствах для производных в многомерном случае, Мат. заметки, 25,
№ 1, 59 – 73 (1979).
27. G. G. Magaril-Il’yaev, V. M. Tihomirov, On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line,
Anal. Math., 7, № 1, 37 – 47 (1981).
28. В. Ф. Бабенко, М. С. Чурiлова, Про нерiвностi типу Колмогорова для похiдних дробового порядку, Вiсн.
Днiпропетр. ун-ту. Сер. мат., 6, 16 – 20 (2001).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
НЕРIВНОСТI ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ НОРМ ДРОБОВИХ ПОХIДНИХ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ . . . 1385
29. М. С. Чурiлова, Нерiвностi типу Колмогорова для похiдних дробового порядку та їх застосування в теорiї
апроксимацiї, Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук, Днiпропетровськ (2006).
30. В. Ф. Бабенко, М. С. Чурiлова, Про нерiвностi типу Колмогорова для дробових похiдних функцiй, визначених
на дiйснiй осi, Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. мат., 13, 28 – 34 (2008).
31. В. Ф. Бабенко, Н. В. Парфинович, Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций
многих переменных и некоторые их приложения, Тр. ИММ УрО РАН, 17, № 3, 60 – 70 (2011).
32. В. Ф. Бабенко, Н. В. Парфинович, С. А. Пичугов, Неравенства типа Колмогорова для норм производных
Рисса функций многих переменных с ограниченным в L\infty лапласианом и смежные задачи, Мат. заметки, 95,
№ 1, 3 – 17 (2014).
33. V. F. Babenko, M. S. Churilova, N. V. Parfinovych, D. S. Skorokhodov, Kolmogorov type inequalities for the
Marchaud fractional derivatives on the real line and the half-line, J. Inequal. and Appl., Article № 504 (2014).
34. В. П. Моторный, В. Ф. Бабенко, А. А. Довгошей, О. И. Кузнецова, Теория приближений и гармонический
анализ, Наук. думка, Киев (2014).
35. S. B. Stechkin, Best approximation of linear operators, Math. Notes, 1, № 2, 91 – 99 (1967).
36. С. М. Никольский, Курс матетматического анализа, Физматлит, Москва (2001).
37. М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко, Векторные поля на плоскости, Наука,
Москва (1963).
38. В. Н. Габушин, Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах, Мат. заметки, 8, № 5,
551 – 562 (1970).
Одержано 18.09.19,
пiсля доопрацювання — 13.07.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1074 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:36Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/fca747b78bad9ed5fc1d803a475ee744.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10742025-03-31T08:49:43Z Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line Нерівності типу Колмогорова для норм дробових похідних функцій, визначених на додатній півосі Kozynenko, O. Skorokhodov, D. Козиненко, Александр Скороходов, Дмитро Козиненко, О. Скороходов, Д. UDC 517.5 We obtain new Kolmogorov type sharp inequalities that estimate the norm of the Marchaud fractional derivative $\big\|D^k_-f\big\|_\infty$ of a function $f$ defined on the positive half-line in terms of $\|f\|_p,$ $1&lt; p&lt;\infty,$ and $\|f''\|_1.$ In addition, we solve the following related problems: the Stechkin problem on the best approximation of the operator $D^k_-$ by linear bounded operators and the problem on the best recovery of the operator $D^k_-$ by using a class of elements given with an error. Найдены некоторые новые неравенства типа Колмогорова, которые оценивают норму дробной производной Маршо $\left\|D^k_-f\right\|_\infty$ функции $f$, определенной на неотрицательной полуоси, через $\|f\|_p$, $1&lt; p&lt;\infty$, и $\left\|f''\right\|_1$. Также решены близкие задачи: задача Стечкина о наилучшем приближении оператора $D^k_-$ линейными ограниченными операторами и задача о наилучшем востановлении оператора $D^k_-$ на классе, элементы которого заданы с погрешностью. УДК 517.5Отримано деякі нові нерівності типу Колмогорова, що оцінюють норму дробової похідної в сенсі Маршо $\big\|D^k_-f\big\|_\infty$ функції $f,$ визначеної на додатній півосі, через $\|f\|_p,$ $1&lt; p&lt;\infty,$ і $\|f''\|_1.$ Також розв'язано споріднені задачі: задачу Стєчкіна про найкраще наближення оператора $D^k_-$ лінійними обмеженими операторами і задачу про найкраще відновлення оператора $D^k_-$ на класі, елементи якого відомі з похибкою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1074 10.37863/umzh.v72i10.1074 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 10 (2020); 1372 - 1385 Український математичний журнал; Том 72 № 10 (2020); 1372 - 1385 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1074/8761 Copyright (c) 2020 Олександр Віталійович Козиненко, Дмитро Сергійович Скороходов |
| spellingShingle | Kozynenko, O. Skorokhodov, D. Козиненко, Александр Скороходов, Дмитро Козиненко, О. Скороходов, Д. Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line |
| title | Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line |
| title_alt | Нерівності типу Колмогорова для норм дробових похідних функцій, визначених на додатній півосі |
| title_full | Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line |
| title_fullStr | Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line |
| title_short | Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line |
| title_sort | kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1074 |
| work_keys_str_mv | AT kozynenkoo kolmogorovtypeinequalitiesfornormsoffractionalderivativesoffunctionsdefinedonthepositivehalfline AT skorokhodovd kolmogorovtypeinequalitiesfornormsoffractionalderivativesoffunctionsdefinedonthepositivehalfline AT kozinenkoaleksandr kolmogorovtypeinequalitiesfornormsoffractionalderivativesoffunctionsdefinedonthepositivehalfline AT skorohodovdmitro kolmogorovtypeinequalitiesfornormsoffractionalderivativesoffunctionsdefinedonthepositivehalfline AT kozinenkoo kolmogorovtypeinequalitiesfornormsoffractionalderivativesoffunctionsdefinedonthepositivehalfline AT skorohodovd kolmogorovtypeinequalitiesfornormsoffractionalderivativesoffunctionsdefinedonthepositivehalfline AT kozynenkoo nerívnostítipukolmogorovadlânormdrobovihpohídnihfunkcíjviznačenihnadodatníjpívosí AT skorokhodovd nerívnostítipukolmogorovadlânormdrobovihpohídnihfunkcíjviznačenihnadodatníjpívosí AT kozinenkoaleksandr nerívnostítipukolmogorovadlânormdrobovihpohídnihfunkcíjviznačenihnadodatníjpívosí AT skorohodovdmitro nerívnostítipukolmogorovadlânormdrobovihpohídnihfunkcíjviznačenihnadodatníjpívosí AT kozinenkoo nerívnostítipukolmogorovadlânormdrobovihpohídnihfunkcíjviznačenihnadodatníjpívosí AT skorohodovd nerívnostítipukolmogorovadlânormdrobovihpohídnihfunkcíjviznačenihnadodatníjpívosí |