On equicontinuous families of mappings of metric spaces
UDC 517.5 We obtain analogs of results on equicontinuity of families of quasiregular mappings that take no values from a fixed continuum. We prove that these families are equicontinuous whenever the quasiconformity characteristics of the mappings have a finite mean oscillation at every inner point....
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1075 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507145588441088 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. O. Petrov, E. A. Севостьянов, Евгений Александрович Скворцов, Сергей Александрович Петров, Евгений Александрович Севостьянов, Є. О. Скворцов, С. О. Петров, Є. О. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. O. Petrov, E. A. Севостьянов, Евгений Александрович Скворцов, Сергей Александрович Петров, Евгений Александрович Севостьянов, Є. О. Скворцов, С. О. Петров, Є. О. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:43Z |
| description | UDC 517.5
We obtain analogs of results on equicontinuity of families of quasiregular mappings that take no values from a fixed continuum. We prove that these families are equicontinuous whenever the quasiconformity characteristics of the mappings have a finite mean oscillation at every inner point. In this context, we also prove the equicontinuity of generalized quasiisometries of Riemannian manifolds. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i10.1075 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i10.1075
УДК 517.5
Є. О. Севостьянов (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка; Iн-т прикл. математики i механiки НАН України,
Слов’янськ),
С. О. Скворцов (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка),
Є. О. Петров (Iн-т прикл. математики i механiки НАН України, Слов’янськ)
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ
МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ
We obtain analogs of results on equicontinuity of families of quasiregular mappings that take no values from a fixed
continuum. We prove that these families are equicontinuous whenever the quasiconformity characteristics of the mappings
have a finite mean oscillation at every inner point. In this context, we also prove the equicontinuity of generalized
quasiisometries of Riemannian manifolds.
Отримано аналоги результатiв про одностайну неперервнiсть сiмей квазiрегулярних вiдображень, якi не набува-
ють значень з деякого континуума. Доведено, що вказанi сiм’ї є одностайно неперервними, якщо характеристика
квазiконформностi вiдображень має скiнченне середнє коливання в кожнiй внутрiшнiй точцi. Окремо дослiджено
випадок узагальнених квазiiзометрiй рiманових многовидiв.
1. Вступ. Добре вiдомi умови, при яких сiм’ї вiдображень з обмеженим спотворенням одно-
стайно неперервнi в заданiй точцi (див., наприклад, теорему 3.17 [1] i наслiдок III.2.7 [2]).
Тут мова йде про вiдображення, що не набувають значень iз деякої множини, однак у випадку
гомеоморфiзмiв цiлком можливо обмежитись двоточковою множиною (див. теорему 19.2 [3]).
Зокрема, справедливою є така теорема (див. наслiдок III.2.7 [2]).
Теорема (Мартiо – Рiкман – Вяйсяля). Сiм’я \scrQ K,E(D), що складається з усiх вiдображень
з обмеженим спотворенням f : D \rightarrow \BbbR n \setminus E зi спiльним коефiцiєнтом квазiконформностi K,
є одностайно неперервною в областi D, якщо \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}E > 0.
Як показує приклад сiм’ї аналiтичних функцiй fn(z) = zn, z \in B(0, 2) = \{ z \in \BbbC :
| z| < 2\} \subset \BbbC , без умови \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} E > 0 результат не є правильним. Зауважимо, що для де-
яких класiв вiдображень з необмеженою характеристикою подiбнi результати встановлено в
роботах [4 – 6]. У цiй статтi ми покажемо, що в абстрактних метричних просторах має мiсце
аналогiчна ситуацiя: сiм’я вiдображень, що не набувають значень iз деякого континуума, одно-
стайно неперервна в кожнiй точцi при вiдповiдних умовах на рiст їхнiх характеристик. Окремо
будуть розглянутi рiмановi многовиди з iзопериметричною нерiвнiстю, де це твердження мож-
на отримати при бiльш слабких умовах. У останньому випадку будуть вивчатись узагальненi
квазiiзометрiї — вiдображення, що спотворюють p-модуль сiм’ї кривих з оцiнкою, подiбною до
нерiвностi Полецького, де n - 1 < p < n, а n — розмiрнiсть многовиду.
Скрiзь далi (X, d, \mu ) i (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — метричнi простори з метриками d i d\prime i борелевими
мiрами \mu i \mu \prime вiдповiдно. Замiсть записiв (X, d, \mu ) i (X \prime , d\prime , \mu \prime ) будемо використовувати вiдпо-
вiдно (X, d) i (X \prime , d\prime ) або X i X \prime , якщо це не викликає непорозумiнь. Введемо до розгляду
наступнi аналоги сфери Рiмана i хордальної метрики на нiй (див. [3], розд. 12). Нехай X —
метричний простiр iз метрикою d, X := X \cup \{ \infty \} i h : X \times X \rightarrow \BbbR — деяка метрика. Будемо
говорити, що h задовольняє умову слабкої сферикалiзацiї, якщо (X,h) — компактний метри-
чний простiр i, крiм того, h(x, y) \leq d(x, y) при всiх x, y \in X. Метричний простiр X назива-
c\bigcirc Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, С. О. СКВОРЦОВ, Є. О. ПЕТРОВ 2020
1418 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 1419
ється простором, що допускає слабку сферикалiзацiю, якщо iснує хоча б одна така метрика h :
X \times X \rightarrow \BbbR .
Нехай \zeta 0 \in X i 0 < r1 < r2 <\infty . Покладемо
A(\zeta 0, r1, r2) =
\bigl\{
x \in X : r1 < d(x, \zeta 0) < r2
\bigr\}
,
S(\zeta 0, ri) =
\bigl\{
x \in X : d(x, \zeta 0) = ri
\bigr\}
, B(\zeta 0, ri) =
\bigl\{
x \in X : d(x, \zeta 0) < ri
\bigr\}
.
Тут i далi Mp(\cdot ) — модуль сiм’ї кривих у метричному просторi X або X \prime , в залежностi вiд
контексту (див., наприклад, [7], розд. 7.3). Нехай E, F \subset X — довiльнi множини. У подальшому
\Gamma (E,F,X) позначає сiм’ю всiх кривих \gamma : [a, b] \rightarrow X, якi з’єднують E i F в X, тобто \gamma (a) \in
\in E, \gamma (b) \in F i \gamma (t) \in X при t \in (a, b). Нехай G — область в X, Q : G \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна
вiдносно мiри \mu функцiя i p, q \geq 1 — фiксованi числа. Згiдно з [8] (розд. 7), вiдображення
f : G \rightarrow X \prime будемо називати кiльцевим Q-вiдображенням у точцi \zeta 0 \in G вiдносно (p, q)-
модулiв, якщо для будь-яких 0 < r1 < r2 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (\zeta 0, \partial G) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}x\in \partial G d(\zeta 0, x) i будь-якої вимiрної
за Лебегом функцiї \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такої, що
\int r2
r1
\eta (r) dr \geq 1, виконується нерiвнiсть
Mp
\Bigl(
f
\Bigl(
\Gamma (S(\zeta 0, r1), S(\zeta 0, r2), A)
\Bigr) \Bigr)
\leq
\int
A
Q(x)\eta q
\bigl(
d(x, \zeta 0)
\bigr)
d\mu (x). (1)
Якщо p = q, то коротко будемо називати такi вiдображення кiльцевими Q-вiдображеннями
вiдносно p-модуля. Зауважимо, що для багатьох вiдомих класiв вiдображень були встановленi
оцiнки вигляду (1). Зокрема, клас кiльцевих Q-вiдображень мiстить у собi аналiтичнi функцiї
при X = X \prime = \BbbC , Q(x) \equiv 1, p = q = 2, а також квазiрегулярнi (квазiконформнi) вiдображення
при X = X \prime = \BbbR n, Q(x) \leq K = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} i p = q = n (див., наприклад, теорему II.8.1 [2]). Iснує
чимало вiдображень з необмеженою характеристикою, для яких також виконуються оцiнки (1).
Зокрема, сюди можна вiднести гомеоморфiзми f \in W 1,n
loc , для яких f - 1 \in W 1,n
loc . У цьому
випадку Q = KI(x, f) i p = q = n, де KI(x, f) — внутрiшня дилатацiя вiдображення f у точцi
x (див. теореми 8.1, 8.6 [8]).
Наступне означення можна знайти, наприклад, у [8] (розд. 13.4). Будемо говорити, що
iнтегровна в деякiй кулi B(\zeta 0, \varepsilon 0) функцiя \varphi : G \rightarrow \BbbR має скiнченне середнє коливання в точцi
\zeta 0 \in G (пишемо \varphi \in FMO(\zeta 0)), якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
1
\mu (B(\zeta 0, \varepsilon ))
\int
B(\zeta 0,\varepsilon )
| \varphi (x) - \varphi \varepsilon | d\mu (x) <\infty ,
де \varphi \varepsilon =
1
\mu (B(\zeta 0, \varepsilon ))
\int
B(\zeta 0,\varepsilon )
\varphi (x) d\mu (x). Означення регулярних за Альфорсом просторiв i про-
сторiв з нерiвнiстю Пуанкаре, що використовуються нижче, можна знайти, наприклад, у [9, 10].
Вiдображення f : G \rightarrow X \prime будемо називати вiдкритим, якщо f(E) вiдкрите в X \prime для будь-
якого вiдкритого E \subset G, i дискретним, якщо f - 1(y) складається тiльки з iзольованих точок
областi G при кожному y \in X \prime .
Наслiдуючи [11], будемо дотримуватися такої термiнологiї. Нехай 2 \leq \alpha <\infty i 1 \leq q \leq \alpha ,
тодi простiр X = (X, d, \mu ) назвемо \alpha -допустимим джерелом, якщо (X, d, \mu ) локально ком-
пактний i локально лiнiйно зв’язний \alpha -регулярний за Альфорсом метричний простiр. Нехай
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1420 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, С. О. СКВОРЦОВ, Є. О. ПЕТРОВ
2 \leq \alpha \prime < \infty i \alpha \prime - 1 < p \leq \alpha \prime , тодi простiр X \prime = (X \prime , d\prime , \mu \prime ) будемо називати (\alpha \prime , p)-
допустимою цiллю, якщо (X \prime , d\prime , \mu \prime ) лiнiйно зв’язний, локально зв’язний i локально компактний
\alpha \prime -регулярний за Альфорсом метричний простiр, в якому виконується (1; p)-нерiвнiсть Пуанка-
ре. Нагадаємо, що метричний простiр (X, d) називається геодезичним, якщо будь-якi двi точки
x1, x2 \in X можна з’єднати спрямлюваною кривою \gamma : [0, 1] \rightarrow X, \gamma (0) = x1 i \gamma (1) = x2,
довжина l(\gamma ) якої збiгається з d(x1, x2).
Нехай K — деякий континуум в X \prime . Позначимо через \frakF p,q
\zeta 0,Q
(G,X \prime ,K) сiм’ю всiх вiдкритих
дискретних кiльцевих Q-вiдображень f : G \rightarrow X \prime \setminus K в точцi \zeta 0 \in G вiдносно (p, q)-модулiв.
Справедливаю є наступна теорема, що узагальнює теорему Монтеля про нормальнiсть сiмей
аналiтичних функцiй на площинi (див. [12], \S 32, гл. II, [3], теореми 19.4 i 20.5, i [5], теоре-
ма 5.11).
Теорема 1. Нехай \alpha \prime - 1 < p \leq \alpha \prime , 1 \leq q \leq \alpha , простiр (X, d, \mu ) є \alpha -допустимим
джерелом, а простiр X \prime = (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — (\alpha \prime , p)-допустима цiль. Припустимо, що простiр
X є геодезичним, Q \in FMO(\zeta 0), крiм того, X \prime допускає слабку сферикалiзацiю. Тодi сiм’я
\frakF p,q
\zeta 0,Q
(G,X \prime ,K) одностайно неперервна в точцi \zeta 0 у сенсi простору (X \prime , h).
Згiдно з [7] (розд. 7), метричний простiр (X, d) називається власним, якщо кожна замкне-
на куля B(x0, R) є компактом в (X, d). Нагадаємо, що метричний простiр (X, d) назива-
ється птолемеєвим, якщо для будь-яких чотирьох точок x, y, z, t \in X виконується нерiвнiсть
d(x, z)d(y, t) + d(x, t)d(y, z) - d(x, y)d(z, t) \geq 0. Можна показати, що власнi птолемеєвi про-
стори допускають слабку сферикалiзацiю, де в якостi h необхiдно розглядати метрику
hx0(x, y) :=
d(x, y)\sqrt{}
1 + d2(x, x0)
\sqrt{}
1 + d2(y, x0)
, (2)
hx0(x,\infty ) =
1\sqrt{}
1 + d2(x0, x)
,
де x0 — деяка (довiльна) фiксована точка x0 \in X (див. лему 5.4 [11]). Якщо X = \BbbR n, а x0 = 0,
то метрика hx0 , визначена в (2), визначає вiдстань мiж проекцiями точок на рiмановiй сферi (в
цьому випадку вона називається хордальною метрикою, див. означення 12.1 [3]). Зауважимо, що
простiр \BbbR n є птолемеєвим (див. пропозицiю 10.9.2 [13]). Визначимо \frakF p,q
Q (G,X \prime ,K) як сiм’ю
вiдображень f : G \rightarrow X \prime , що належать \frakF p,q
\zeta 0,Q
(G,X \prime ,K) при кожному \zeta 0 \in G. Враховуючи
викладене вище, iз теореми 1 i теореми Арцела – Асколi (теорема 20.4 [3]) отримуємо таке
твердження.
Наслiдок 1. Нехай \alpha \prime - 1 < p \leq \alpha \prime , 1 \leq q \leq \alpha , простiр (X, d, \mu ) є \alpha -допустимим
джерелом, X — геодезичним, крiм того, простiр (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — (\alpha \prime , p)-допустима цiль. Якщо
(X, d, \mu ) є сепарабельним, а (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — птолемеєвим i власним, крiм того, Q \in FMO(\zeta 0)
для кожного \zeta 0 \in G, то \frakF p,q
Q (G,X \prime ,K) є нормальною сiм’єю вiдображень в G у сенсi простору
(X \prime , hx0).
2. Основна лема i доведення теореми 1. Нагадаємо, що пара E = (A,C), де A — вiдкрита
множина в X i C \subset A — компактна множина, називається конденсатором в X. Нехай \Gamma E
позначає сiм’ю всiх кривих вигляду \gamma : [a, b) \rightarrow A таких, що \gamma (a) \in C i | \gamma | \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}(A \setminus F ) \not = \varnothing ,
яким би не була компактна множина F \subset A. (По сутi \Gamma E — сiм’я кривих iз початком в C i
таких, що прямують до межi множини A). Для заданого p \geq 1 величину
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 1421
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p E =Mp(\Gamma E) (3)
будемо називати p-ємнiстю E. Наступне важливе твердження доведено в [11] (лема 3.3).
Лема 1. Нехай \alpha \geq 2, \alpha - 1 < p \leq \alpha i X — (\alpha , p)-допустима цiль. Припустимо, що X
допускає слабку сферикалiзацiю i F — невироджений континуум в X. Тодi для кожного a > 0
знайдеться \delta = \delta (a) > 0 таке, що для кожного континуума C \subset X \setminus F, що задовольняє умову
h(C) \geq a, виконується нерiвнiсть \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p(X \setminus F,C) \geq \delta .
Наступна лема мiстить в собi теорему 1 у бiльш загальному випадку.
Лема 2. Нехай \alpha \prime - 1 < p \leq \alpha \prime , 1 \leq q \leq \alpha , простiр (X, d, \mu ) є \alpha -допустимим дже-
релом, а простiр X \prime = (X \prime , d\prime , \mu \prime ) — (\alpha \prime , p)-допустима цiль, причому X \prime допускає слабку
сферикалiзацiю. Припустимо, що \varepsilon 0 > 0 i \psi : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна за Лебегом функцiя,
що задовольняє таку умову: для кожного \varepsilon 2 \in (0, \varepsilon 0] знайдеться таке \varepsilon 1 \in (0, \varepsilon 2], що при
кожному \varepsilon \in (0, \varepsilon 1)
0 < I(\varepsilon , \varepsilon 2) : =
\varepsilon 2\int
\varepsilon
\psi (t) dt <\infty \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon 1). (4)
Припустимо також, що \int
\varepsilon <d(x,\zeta 0)<\varepsilon 0
Q(x) \cdot \psi q
\bigl(
d(x, \zeta 0)
\bigr)
d\mu (x) = o(I q(\varepsilon , \varepsilon 0)). (5)
Тодi сiм’я \frakF p,q
\zeta 0,Q
(G,X \prime ,K) одностайно неперервна в точцi \zeta 0 у сенсi простору (X \prime , h).
Доведення. Зафiксуємо f \in \frakF p,q
\zeta 0,Q
(G,X \prime ,K). Оскiльки простiр X локально компактний, не
обмежуючи загальностi мiркувань, можна вважати, що замкнена куля B(\zeta 0, \varepsilon 0) є компактом
у G. Зауважимо, що якщо \beta : [a, b) \rightarrow X \prime — деяка крива i x \in f - 1(\beta (a)), то за лемою 2.1 [11]
iснує максимальне пiдняття \alpha : [a, c) \rightarrow G кривої \beta при вiдображеннi f з початком у точцi x. У
такому випадку, покладаючи S1 = S(\zeta 0, \varepsilon ), S2 = S(\zeta 0, \varepsilon 0) i мiркуючи аналогiчно до доведення
леми 3 в [10], можемо показати, що при 0 < \varepsilon < \varepsilon \prime 0 виконується спiввiдношення
Mp
\Bigl(
\Gamma
\bigl(
f
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon )
\bigr)
, \partial f
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon 0)
\bigr)
, X \prime \bigr) \Bigr) := \alpha (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0. (6)
Оскiльки простiр X є геодезичним, а вiдображення f неперервне, C = B(\zeta 0, \varepsilon ) i f(C) —
зв’язнi множини при досить малому \varepsilon > 0. Розглянемо конденсатор \scrE = (A,C), A = B(\zeta 0, \varepsilon 0),
C = B(\zeta 0, \varepsilon ). Тодi в термiнах ємностi конденсатора \scrE спiввiдношення (6) можна записати у
виглядi
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f\scrE = \alpha (\varepsilon ) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0. (7)
З iншого боку, за лемою 1 для кожного a > 0 iснує таке \delta = \delta (a), що для довiльного континуума
C \subset X \prime \setminus K, що задовольняє умову h(C) \geq a, виконується оцiнка
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (X
\prime \setminus K,C) \geq \delta . (8)
З оцiнки (7) випливає, що для числа \delta = \delta (a) знайдеться таке \varepsilon \ast = \varepsilon \ast (a), що
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f\scrE \leq \delta \forall \varepsilon \in
\bigl(
0, \varepsilon \ast (a)
\bigr)
. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1422 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, С. О. СКВОРЦОВ, Є. О. ПЕТРОВ
Використовуючи спiввiдношення (9), маємо
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
X \prime \setminus K, f
\Bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon )
\Bigr) \Bigr)
\leq \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
f
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon 0)
\bigr)
, f
\Bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon )
\Bigr) \Bigr)
< \delta
при \varepsilon \in
\Bigl(
0, \varepsilon \ast (a)
\Bigr)
. Тодi з (8) випливає, що h
\Bigl(
f
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon )
\bigr) \Bigr)
< a. Нарештi, для будь-якого a > 0
iснує таке \varepsilon \ast = \varepsilon \ast (a), що h
\Bigl(
f
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon )
\bigr) \Bigr)
< a, як тiльки \varepsilon \in
\bigl(
0, \varepsilon \ast (a)
\bigr)
.
Лему доведено.
Доведення теореми 1 безпосередньо випливає з леми 2 i пропозицiї 2 [10].
3. Допомiжнi вiдомостi з теорiї метричних просторiв i многовидiв. Нагадаємо, що
довжина кусково-гладкої кривої \gamma = \gamma (t), t \in [a, b], що з’єднує точки \gamma (a) = M1 \in \BbbM n i
\gamma (b) =M2 \in \BbbM n на рiмановому многовидi \BbbM n, визначається спiввiдношенням
l(\gamma ) :=
b\int
a
\sqrt{} n\sum
i,j=1
gij(x(t))
dxi
dt
dxj
dt
dt, (10)
де g = gij(x) — гладкий додатно визначений тензор типу (0, 2) на многовидi (рiманова метрика).
Iншими словами, g = gij(x) — система матриць, якi в рiзних системах координат пов’язанi
спiввiдношенням \prime gij(x) =
\sum n
k,l=1
gkl(y(x))
\partial yk
\partial xi
\partial yl
\partial xj
. Геодезичною вiдстанню d(p1, p2) мiж
точками p1 i p2 \in \BbbM n будемо називати найменшу довжину всiх кусково-гладкких кривих в
\BbbM n, що з’єднують точки p1 i p2. В цих термiнах також має сенс
l(\gamma ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\sum
i=1
d(\gamma (ti), \gamma (ti - 1)), (11)
де супремум береться по всiх можливих розбиттях a := t0 \leq t1 \leq . . . \leq tm := b. Отже, ми
маємо «два означення» для l(\gamma ) для кусково-гладких кривих \gamma : (10) i (11), одне з яких, що
вiдповiдає формулi (11), пiдходить для довiльних кривих, а не лише кусково-гладких.
Зауваження 1. Для кусково-гладких кривих \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbM n зв’язного рiманового многови-
ду \BbbM n величини для l(\gamma ), визначенi спiввiдношеннями (10) i (11), збiгаються (див. теорему 2.2
[14]).
Справедливою є така лема (див. також зауваження 9.11 [7]).
Лема 3. Нехай \BbbM n, n \geq 2, — рiмановий многовид iз геодезичною метрикою d, який є
зв’язним i власним простором. Тодi простiр \BbbM n є геодезичним.
Доведення. Очевидно, що \BbbM n — повний метричний простiр. Справдi, нехай xm, m =
= 1, 2, . . . , — фундаментальна в \BbbM n послiдовнiсть. Тодi для числа \varepsilon = 1 знайдеться таке нату-
ральне число M > 1, що d(xm, xl) < 1 при всiх m, l \geq M. У такому випадку xl \in B(xM , 1),
l \geq M. Оскiльки простiр \BbbM n є власним, замикання будь-якої кулi B(a, r) — компакт в \BbbM n.
Крiм того, оскiльки всi елементи послiдовностi \{ xm\} \infty m=1 (за винятком скiнченної кiлькостi)
належать кулi B(xM , 1), знайдеться пiдпослiдовнiсть xmk
послiдовностi xm, що збiгається до
деякого елемента x0 \in \BbbM n при k \rightarrow \infty .
Оскiльки послiдовнiсть xm, m = 1, 2, . . . , фундаментальна, то для довiльного \varepsilon > 0 знай-
деться такий номер N = N(\varepsilon ), що d(xm, xl) < \varepsilon /2 при всiх m, l > N. Крiм того, з огляду
на збiжнiсть xmk
до x0 при деякому K = K(\varepsilon ) i всiх k > K маємо d(xmk
, x0) < \varepsilon /2. З
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 1423
цих двох нерiвностей, за нерiвнiстю трикутника при всiх l, k > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ K,N\} , будемо мати
d(xl, x0) \leq d(xl, xmk
) + d(xmk
, x0) < \varepsilon /2 + \varepsilon /2 = \varepsilon , тобто послiдовнiсть xm збiгається при
m\rightarrow \infty до x0.
Отже, \BbbM n — повний рiмановий многовид, а тому для будь-яких двох точок p1, p2 \in \BbbM n
знайдеться кусково-гладка крива \gamma , що з’єднує цi точки, довжина якої в сенсi спiввiдношен-
ня (10) збiгається з d(p1, p2) (див. наслiдок 6.15 [15]). При цьому ця довжина збiгається з
довжиною \gamma , що розумiється в сенсi метричного простору i визначається формулою (11) (див.
зауваження 1).
Лему доведено.
Вiдносно множини E \subset X покладемо d(E) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x,y\in E d(x, y). Справджується таке тверд-
ження.
Пропозицiя 1. Нехай X — n-регулярний за Альфорсом метричний простiр iз мiрою, в
якому виконується (1; p)-нерiвнiсть Пуанкаре, n - 1 < p \leq n. Тодi для довiльнх континуумiв E
i F, що мiстяться в кулi B(x0, R), i деякої сталої C > 0 (що залежить тiльки вiд простору X )
виконується нерiвнiсть Mp
\bigl(
\Gamma (E,F,X)
\bigr)
\geq 1
C
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
d(E), d(F )
\bigr\}
R1+p - n
(див. пропозицiю 4.7 [16]).
4. Про одностайно неперервнi сiм’ї узагальнених квазiiзометрiй у просторах з iзопери-
метричною нерiвнiстю. У цьому пунктi ми покажемо, що якщо n - 1 < p < n, то на рiманових
многовидах з iзопериметричною нерiвнiстю вiдповiднi сiм’ї вiдображень одностайно неперерв-
нi навiть без припущення про випускання деякої множини E. Зауважимо, що iзопериметричнi
нерiвностi в евклiдовому випадку є вiдомими (див., наприклад, [17], п. 3.2.43).
Скрiзь нижче d i d\ast — геодезичнi вiдстанi на зв’язних рiманових многовидах \BbbM n i \BbbM n
\ast
вiдповiдно, а dv i dv\ast — елементи об’єму на цих многовидах. Поняття, пов’язанi з їхнiм
вивченням, ми вважаємо вiдомими (їх можна знайти, наприклад, у [9] або [15]). Крiм того,
p-ємнiсть конденсатора E = (A,C) на многовидi \BbbM n (або \BbbM n
\ast , в залежностi вiд контексту)
визначена через p-модуль сiмей кривих шляхом спiввiдношення (3). Варто зауважити, що на
многовидах задане означення збiгається з загальновiдомим означенням ємностi через iнтеграл
вiд градiєнта (див., наприклад, пропозицiю 10.2 i зауваження 10.8, гл. II [2]).
Будемо вимагати тепер на рiмановому многовидi \BbbM n
\ast з геодезичною вiдстанню d\ast i мiрою
об’єму v\ast додаткову умову. Позначивши через \scrH n - 1(B) далi (n - 1)-вимiрну мiру Ґаусдор-
фа множини B \subset \BbbM n
\ast , будемо припускати, що для будь-якої вiдкритої множини A \subset \BbbM n
\ast з
компактним замиканням i гладкою межею виконується умова
\scrH n - 1(\partial A) \geq c
(v\ast (A))1/n - 1
, (12)
де c > 0 — деяка стала. Умова (12) називається iзопериметричною нерiвнiстю на \BbbM n
\ast . Тодi для
довiльного конденсатора E = (A,C) на многовидi \BbbM n
\ast згiдно з нерiвностями (1.7) i (4.1) [18]
виконується
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p(A,C) \geq C \prime \cdot (v\ast (C))1 - p/n. (13)
Нехай G — область рiманового многовиду \BbbM n, n \geq 2, i Q : G\rightarrow [0,\infty ] — вимiрна функцiя.
Позначимо через \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ) сiм’ю всiх кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв f : G \rightarrow \BbbM n
\ast у точцi
\zeta 0 \in G вiдносно p-модуля. Справджується таке твердження.
Лема 4. Нехай Q : G \rightarrow (0,\infty ] — вимiрна вiдносно мiри об’єму v функцiя, n - 1 < p < n,
а простiр \BbbM n
\ast , як метричний простiр з геодезичною метрикою d\ast , є (n, p)-допустимою цiллю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1424 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, С. О. СКВОРЦОВ, Є. О. ПЕТРОВ
i власним простором з iзопериметричною нерiвнiстю (12). Припустимо, що виконуються умо-
ви (4), (5), де q = p. Тодi сiм’я \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ) одностайно неперервна в точцi \zeta 0, де одностайна
неперервнiсть розумiється в сенсi простору (\BbbM n
\ast , d\ast ).
Доведення. I. Припустимо протилежне, а саме, що сiм’я \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ) не є одностайно
неперервною в деякiй точцi \zeta 0 \in G. Тодi знайдуться \delta 0 > 0 i послiдовностi \zeta m \in G, fm \in
\in \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ) такi, що \zeta m \rightarrow \zeta 0 при m\rightarrow \infty i
d\ast
\bigl(
fm(\zeta m), fm(\zeta 0)
\bigr)
\geq \delta 0. (14)
Зафiксуємо тепер довiльним чином двi точки x1, x2 \in \BbbM n
\ast , x1 \not = x2. Не обмежуючи загальностi
мiркувань, можна вважати, що кулi B1 := B(x1, \delta 0/3) i B2 := B(x2, \delta 0/3) є компактами в \BbbM n
\ast i
\delta 0 < d\ast (x1, x2).
\bigl(
У протилежному випадку можна покласти \delta \ast 0 := d\ast (x1, x2)/2. Тодi отримаємо
аналогiчну (14) нерiвнiсть, яка мiстить \delta \ast 0 замiсть \delta 0. У цьому випадку \delta \ast 0 < d\ast (x1, x2).
\bigr)
За
нерiвнiстю трикутника
d\ast (B1, B2) \geq \delta 0/3. (15)
Оскiльки многовид \BbbM n
\ast є регулярним за Альфорсом, знайдеться деяка стала \widetilde C > 0, що залежить
лише вiд многовиду \BbbM n
\ast , така, що
v\ast (Bi) \geq \widetilde C\delta n0 , i = 1, 2. (16)
II. Розглянемо конденсатор вигляду \scrE = (A,C), де A = B(\zeta 0, \varepsilon 0), C = B(\zeta 0, \varepsilon ), 0 < \varepsilon < \varepsilon 0.
Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що C лежить в нормальному околi точки \zeta 0 i,
зокрема, множини B(\zeta 0, \varepsilon ) =
\bigl\{
x \in \BbbM n
\ast : d(x, \zeta 0) < \varepsilon
\bigr\}
i S(\zeta 0, \varepsilon ) =
\bigl\{
x \in \BbbM n
\ast : d(x, \zeta 0) = \varepsilon
\bigr\}
є лiнiйно зв’язними при всiх \varepsilon \in (0, \varepsilon 0). (Означення i властивостi нормальних околiв точки
можна знайти, наприклад, у [15] розд. 5, пропозицiя 5.11.)
Мiркуючи, як i при доведеннi леми 2, робимо висновок, що виконується спiввiдношення (6)
при p = q i X \prime = \BbbM n
\ast . Звiдси випливає, що
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f(\scrE ) \leq \alpha (\varepsilon ) \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), f \in \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ), \alpha (\varepsilon )
\varepsilon \rightarrow 0\rightarrow 0.
З iншого боку, оскiльки за умовою леми виконується спiввiдношення (12), з огляду на наведенi
вище зауваження виконується також (13). Отже,
\alpha (\varepsilon ) \geq \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f(\scrE ) \geq C \prime \bigl[ v\ast (f(C))\bigr] n - p
n \forall f \in \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ).
Iз останнього спiввiдношення випливає, що
v\ast (f(C)) \leq \alpha 1(\varepsilon ) \forall f \in \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ),
де функцiя \alpha 1 така, що \alpha 1(\varepsilon ) \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0. Тодi при деякому \varepsilon 1 > 0
v\ast
\Bigl(
f
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon 1)
\bigr) \Bigr)
\leq \widetilde C\delta n0 /2 \forall f \in \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ). (17)
III. Позначимо A1 := B(\zeta 0, \varepsilon 1), C1 := B(\zeta 0, \varepsilon ) i розглянемо новий конденсатор \scrE 1 =
= (A1, C1) = (B(\zeta 0, \varepsilon 1), B(\zeta 0, \varepsilon )), де 0 < \varepsilon < \varepsilon 1. Оскiльки за умовами леми Q(x) > 0, то з
умов (4), (5) iз урахуванням аналога теореми Фубiнi на рiманових многовидах (див. теорему 2.1
[9]) випливає, що величина iнтеграла в (5) не прямує до нуля при малих значеннях \varepsilon , а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 1425
(ζ0)
δ0/3
δ0
δ0
δ0/3
отже, I(\varepsilon , \varepsilon 0) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0. Звiдси випливає, що спiввiдношення (4), (5) залишаються
правильними, якщо в них замiнити \varepsilon 0 на \varepsilon 1 \in (0, \varepsilon 0). Тодi, мiркуючи, як у пунктi II, робимо
висновок, що
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f(\scrE 1) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (f(B(\zeta 0, \varepsilon 1)), f(B(\zeta 0, \varepsilon ))) \leq
\leq \alpha 2(\varepsilon ) \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon 1) \forall f \in \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ), \alpha 2(\varepsilon )
\varepsilon \rightarrow 0\rightarrow 0. (18)
IV. Зауважимо, що як в кулi B1, так i в кулi B2, знайдуться точки zm \in B1, wm \in B2,
такi, що zm, wm \not \in fm(A1). Це безпосередньо випливає iз спiввiдношень (16) i (17) (див.
рисунок). Покажемо, що точки zm, wm можна з’єднати кривою \beta m так, що \beta m(t) \not \in fm(A1)
при всiх t \in [0, 1] i, крiм того, \beta m(tm0 ) \in \partial fm(A1) \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}B(fm(\zeta 0), \delta 0) при деякому tm0 \in (0, 1),
де B(fm(\zeta 0), \delta 0) = \{ x \in \BbbM n
\ast : d\ast (x, fm(\zeta 0)) < \delta 0\} .
Для довiльної кривої \alpha : [a, b] \rightarrow \BbbM n
\ast позначимо
| \alpha | =
\bigl\{
y \in \BbbM n
\ast : \exists t \in [a, b] : \alpha (t) = y
\bigr\}
— носiй кривої \alpha . Зауважимо, що за регулярнiстю простору \BbbM n
\ast за Альфорсом виконується
умова
v\ast
\bigl(
B(fm(\zeta 0), \delta 0)
\bigr)
\geq \widetilde C \cdot \delta n0 , (19)
де \widetilde C — стала з нерiвностi (17). З огляду на (17) i (19) в кулi B(fm(\zeta 0), \delta 0) є хоча б одна точка
Pm \in \BbbM n
\ast \setminus fm(A1). Оскiльки многовид \BbbM n
\ast зв’язний, точки fm(\zeta 0) i Pm можна з’єднати кривою
\Delta m : [0, 1] \rightarrow \BbbM n
\ast так, що \Delta m(0) = fm(\zeta 0), \Delta m(1) = Pm. При цьому, оскiльки простiр \BbbM n
\ast є
геодезичним (див. лему 3), криву \Delta m можна пiдiбрати так, що її довжина буде дорiвнювати
d\ast (fm(\zeta 0), Pm), де d\ast (fm(\zeta 0), Pm) < \delta 0. Тому | \Delta m| \subset B(fm(\zeta 0), \delta 0). Оскiльки крива \Delta m
повнiстю не лежить нi в \BbbM n
\ast \setminus fm(A1), нi в fm(A1), то знайдеться точка
qm \in \partial fm(A1) \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} | \Delta m| \subset B(fm(\zeta 0), \delta 0) (20)
(див. теорему 1.I.5.46 [19]). З’єднаємо тепер точки zm i wm кривою \gamma m : [0, 1] \rightarrow \BbbM n
\ast : \gamma m(0) =
= zm, \gamma m(1) = wm. Криву \gamma m можна вибрати так, щоб \gamma m(1/2) = qm з огляду на зв’язнiсть
многовиду \BbbM n
\ast . Якщо при цьому вся крива \gamma m лежить зовнi fm(A1), то можна покласти
\beta m := \gamma m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1426 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, С. О. СКВОРЦОВ, Є. О. ПЕТРОВ
Нехай знайдеться хоча б одна точка p \in | \gamma m| \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} fm(A1), тодi за теоремою 1.I.5.46 [19]
знайдеться \omega \in | \gamma m| \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} \partial fm(A1). Введемо до розгляду
am = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in [0,1],\gamma m(t)\in \partial fm(A1)
t, bm = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,1],\gamma m(t)\in \partial fm(A1)
t.
Очевидно, 0 < am \leq bm < 1 i \gamma m(am), \gamma m(bm) \in \partial fm(A1). Оскiльки fm — гомеоморфiзм
областi G на деяку область fm(G) i B(\zeta 0, \varepsilon 0) \subset G, знайдуться єдинi точки pm, km i gm \in
\in S(\zeta 0, \varepsilon 1) такi, що fm(pm) = \gamma m(am), fm(km) = qm i fm(gm) = \gamma m(bm). З огляду на
зауваження, наведенi на початку доведення леми, сфера S(\zeta 0, \varepsilon 1) є лiнiйно зв’язною множиною.
Тому точки pm, km i gm можна попарно з’єднати кривою \alpha m : [am, bm] \rightarrow \BbbM n так, що \alpha m(t) \in
\in S(\zeta 0, \varepsilon 0) при t \in [am, bm], причому \alpha m(tm0 ) = km = f - 1
m (qm) при деякому tm0 \in [am, bm].
Отже, крива
\beta m(t) =
\left\{ \gamma m(t), t \in [0, am] \cup [bm, 1],
fm
\bigl(
\alpha m(t)
\bigr)
, t \in [am, bm],
є бажаною, а саме, такою, що з’єднує точки wm i zm в \BbbM n
\ast \setminus fm(A1), яка набуває значення qm
iз (20) при деякому значеннi t = tm0 .
V. Отже, криву \beta m побудовано. Тепер на основi кривої \beta m побудуємо деяку нову криву
\beta m таким чином. Якщо множина | \beta m| цiлком лежить в кулi B(qm, \delta 0), покладемо \beta m := \beta m.
Зауважимо, що d\ast
\bigl(
| \beta m|
\bigr)
\geq \delta 0/3, що випливає iз (15). Припустимо, що знайдеться така точка
tm1 \in [0, 1], що \beta m(tm1 ) \not \in B(qm, \delta 0). Тодi з огляду на зв’язнiсть кривої \beta m знайдеться така
точка t\ast m2 \in [0, 1], що \beta m(t\ast m2 ) \in S(qm, \delta 0) (див. теорему 1.I.5.46 [19]). Тодi визначимо \beta m
як пiдкриву \beta m, що з’єднує точки qm i \beta m(t\ast m2 ) всерединi кулi B(qm, \delta 0). Очевидно, що
геодезичний дiаметр d\ast носiя такої пiдкривої \beta m не менший нiж \delta 0.
Переходячи до перепараметризацiї, якщо це необхiдно, можна вважати, що криву \beta m ви-
значено при t \in [0, 1]. Таким чином, встановлено iснування кривої \beta m : [0, 1] \rightarrow \BbbM n
\ast з такими
умовами:
1) при кожному t \in [0, 1] виконується умова \beta m(t) \in \BbbM n
\ast \setminus fm(A1);
2) виконується оцiнка знизу
d\ast
\bigl(
| \beta m|
\bigr)
\geq \delta 0/3, (21)
де d\ast
\bigl(
| \beta m|
\bigr)
позначає геодезичний дiаметр множини | \beta m| \subset \BbbM n
\ast ;
3) виконується включення
| \beta m| \subset B(qm, \delta 0). (22)
Зауважимо, що iз включення (22) випливає ще одне бiльш важливе включення. А саме, нехай
x \in | \beta m| , тодi за нерiвнiстю трикутника d\ast (x, fm(\zeta 0)) \leq d\ast (x, qm) + d\ast (qm, fm(\zeta 0)) \leq 2\delta 0
(див. (20)), так що
| \beta m| \subset B(fm(\zeta 0), 2\delta 0). (23)
VI. Подальшi мiркування спрямованi на застосування пропозицiї (1) (оцiнки знизу p-ємностi
конденсатора у (18)), звiдки випливатиме суперечнiсть iз припущенням у (14).
Позначимо \varepsilon m := d(\zeta m, \zeta 0), \varepsilon m \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty . З’єднаємо точки \zeta 0 i \zeta m iз (14) кри-
вою \kappa m : [0, 1] \rightarrow B(\zeta 0, \varepsilon m). Це можливо, оскiльки замкненi кулi B(\zeta 0, \varepsilon m) лежать у деякому
нормальному околi точки \zeta 0, i, отже, B(\zeta 0, \varepsilon m) лiнiйно звя’знi при будь-якому m \in \BbbN . Нехай
tm := \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} t : t \in [0, 1], fm(\kappa m(t)) \in B(\zeta 0, \delta 0)\} i \eta m = fm(\kappa m)| [0,tm] — частина кривої fm(\kappa m),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 1427
що лежить у кулi B(fm(\zeta 0), \delta 0). Зауважимо, що | \eta m| — континуум у B(fm(\zeta 0), \delta 0) \subset \BbbM n
\ast i
d\ast
\bigl(
| \eta m|
\bigr)
\geq \delta 0, (24)
де, як завжди, d\ast (| \eta m| ) позначає геодезичний дiаметр множини | \eta m| в \BbbM n
\ast , а | \eta m| — носiй
(образ) кривої \eta m. Застосуємо тепер пропозицiю 1 до E = | \eta m| , F = | \beta m| , X = \BbbM n
\ast , R = 2\delta 0.
Зауважимо, що з огляду на (21), (23) i (24) виконуються умови F,E \subset B
\bigl(
fm(\zeta 0, 2\delta 0)
\bigr)
, d\ast (E) \geq
\geq \delta 0 i d\ast (F ) \geq \delta 0/3. Тому за пропозицiєю 1
Mp(\Gamma (E,F,\BbbM n
\ast )) \geq
1
C
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ d\ast (E), d\ast (F )\}
(2\delta 0)1+p - n
\geq 1
C
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \delta 0, \delta 0/3\}
(2\delta 0)1+p - n
:= C0 > 0. (25)
З iншого боку, з огляду на мiнорування, оскiльки F = | \beta m| \subset \BbbM n
\ast \setminus fm(A1), згiдно з теоре-
мою 1.I.5.46 [19] ми маємо
\Gamma
\Bigl(
F, fm(B(\zeta 0, \varepsilon m)),\BbbM n
\ast
\Bigr)
> \Gamma
\Bigl(
\partial fm(A1), fm(B(\zeta 0, \varepsilon m)), fm(A1)
\Bigr)
.
Крiм того, оскiльки за побудовою E = | \eta m| \subset fm
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon m)
\bigr)
, то
\Gamma (E,F,\BbbM n
\ast ) \subset \Gamma
\Bigl(
F, fm(B(\zeta 0, \varepsilon m)),\BbbM n
\ast
\Bigr)
.
Iз двох останнiх спiввiдношень i (25) випливає, що
0 < C0 \leq Mp
\Bigl(
\Gamma (E,F,\BbbM n
\ast )
\bigr)
\leq Mp
\Bigl(
\Gamma
\bigl(
\partial fm(A1), fm
\Bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon m)
\Bigr)
, fm(A1)
\bigr) \Bigr)
=
= \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
f
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon 1)
\bigr)
, fm
\bigl(
B(\zeta 0, \varepsilon m)
\bigr) \Bigr)
,
де стала C0 залежить тiльки вiд \delta 0, C, n i p. Проте останнє спiввiдношення суперечить (18).
Це свiдчить про хибнiсть припущення в (14), що i доводить лему.
На основi леми 4 можна сформулювати основнi результати цього пункту. Їхнiй зв’язок iз
лемою 4 встановлюється на основi пiдходу, викладеного при доведеннi теорем 1.1, 2.1 i 2.2 [20]
тому деталi ми не наводимо.
Теорема 2. Нехай Q : G\rightarrow (0,\infty ] — вимiрна вiдносно мiри об’єму v функцiя, n - 1 < p < n,
а простiр \BbbM n
\ast , як метричний простiр з геодезичною метрикою d\ast , є (n, p)-допустимою цiллю
i власним простором з iзопериметричною нерiвнiстю (12). Припустимо, що Q \in FMO(\zeta 0).
Тодi сiм’я \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ) одностайно неперервна в точцi \zeta 0, де одностайна неперервнiсть
розумiється в сенсi простору (\BbbM n
\ast , d\ast ).
Теорема 3. Припустимо, що в умовах теореми 2 замiсть вимоги Q \in FMO(\zeta 0) викону-
ється умова
\int \delta (x0)
\varepsilon
dr
r
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (r)
<\infty при деякому \delta (x0) > 0 i всiх досить малих \varepsilon > 0 i, крiм
того,
\delta (x0)\int
0
dr
r
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (r)
= \infty , (26)
де qx0(r) :=
1
rn - 1
\int
S(x0,r)
Q(x) d\scrH n - 1, \scrH n - 1 — (n - 1)-вимiрна гаусдорфова мiра на S(x0, r).
Тодi сiм’я \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ) одностайно неперервна в точцi \zeta 0, причому одностайна неперервнiсть
розумiється в сенсi простору (\BbbM n
\ast , d\ast ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1428 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, С. О. СКВОРЦОВ, Є. О. ПЕТРОВ
Теорема 4. Припустимо, що в умовах теореми 2 замiсть вимоги Q \in FMO викону-
ється умова Q \in Ls
loc(\BbbR n), де s \geq n
n - p
— деяке число. Тодi сiм’я \frakF p
\zeta 0,Q
(G,\BbbM n
\ast ) одностайно
неперервна в точцi \zeta 0 в сенсi простору (\BbbM n
\ast , d\ast ).
5. Приклади.
Приклад 1. Розглянемо сiм’ю аналiтичних функцiй fn(z) = enz, n \in \BbbN . Зауважимо, що
вказана сiм’я вiдображень не є одностайно неперервною в точцi z0 = 0. Уточнимо, якi саме з
умов теорем 1 i 2 при цьому порушуються.
Насамперед зауважимо, що вiдображення fn є кiльцевими Qn-вiдображеннями при
Qn(z) \equiv 1 (див. теорему 2 [21] або теореми 8.1 i 8.6 [8]). Бiльше того, fn є кiльцевими
Qn-вiдображеннями вiдносно p-модуля, 1 < p \leq 2, при KI,p(z, fn) = Qn(z) = n2 - p| enz| 2 - p
(див. теорему 1.1 [22]). В якостi мiр \mu i \mu \prime тут розглядаються плоскi мiри Лебега, а функцiя
KI,p(x, f), згадана вище, обчислюється за формулою
KI,p(x, f) =
\left\{
| J(x, f)|
(l(f \prime (x)))p
, J(x, f) \not = 0,
1, f \prime (x) = 0,
\infty — в iнших випадках,
у якiй J(x, f) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} f \prime (x) i l(f \prime (x)) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}h\in \BbbR n\setminus \{ 0\}
| f \prime (x)h|
| h|
. Зауважимо, що при p = 2 функцiя
Q \equiv 1 має скiнченне середнє коливання в кожнiй точцi комплексної площини. Однак теорему 1
не можна застосувати до сiм’ї вiдображень \{ fn\} \infty n=1, оскiльки континуума K в \BbbC , значення
якого обов’язково випускає ця сiм’я, не iснує. Ситуацiя не змiниться, якщо ми розглянемо цю
сiм’ю вiдображень не в \BbbC , а лише в деякiй обмеженiй пiдобластi комплексної площини.
Оскiльки випускання континуума K не вимагається в умовах теореми 2, випадок 1 < p < 2
ми розглянемо окремо. Можна покласти тут \BbbM 2 = \BbbM 2
\ast = \BbbC i d(x, y) = d\ast (x, y) = | x - y| ,
x, y \in \BbbC . В останньому випадку iнша умова теореми 2 не виконується, а саме, функцiї Qn не
мають загальної мажоранти Q iз вiдповiдного класу. Можна показати, що решта умов теореми 2
виконується.
Приклад 2. Для 1 < q < 2 розглянемо сiм’ю вiдображень fm(x) =
\Bigl( x1
m
,
x2
mq
\Bigr)
, m =
= 1, 2, . . . , z = (x1, x2) \in \BbbD , \BbbD = \{ z \in \BbbR 2 : | z| < 1\} . Зауважимо, що fm — гомеомор-
фiзми одиничного круга в себе, при цьому J(z, fm) =
1
mq
i l
\bigl(
f \prime m(x)
\bigr)
=
1
m
. За теоре-
мою 1.1 [22] вiдображення fm є кiльцевими Qm-гомеоморфiзмами вiдносно p-модуля при
Qm = KI,p(z, fm) = mp - q. З означення зрозумiло, що сiм’я \{ fm\} \infty m=1 одностайно неперервна,
скажiмо, в точцi 0, однак цей висновок не можна отримати iз теорем 1 або 2 при p = \alpha = \alpha \prime = 2.
Отже, функцiї Qm, очевидно, не мають загальної мажоранти класу FMO.
З iншого боку, одностайну неперервнiсть сiм’ї вiдображень fm можна отримати iз вказаних
теорем у випадку, коли p \leq q \leq 2. У цьому випадку можна покласти Q(x) \equiv 1, оскiльки
Qm(x) \leq 1 скрiзь в \BbbD .
Приклад 3. Розглянемо сiм’ю вiдображень iз прикладу 2 з тiєю вiдмiннiстю, що ми ви-
значимо fm у всьому просторi \BbbR 2. У цьому випадку одностайну неперервнiсть сiм’ї \{ fm\} \infty m=1
в точцi 0 не можна безпосередньо отримати з теореми 1, оскiльки вказанi вiдображення не є
такими, що не набувають значень iз деякого континуума K в \BbbR 2. Однак цей результат випливає
з теореми 2, оскiльки вiдображення fm є гомеоморфiзмами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 1429
Приклад 4. Зафiксуємо число p \geq 1, що задовольняє умову n/p(n - 1) < 1. Покладемо \alpha \in
\in
\bigl(
0, n/p(n - 1)
\bigr)
. Визначимо послiдовнiсть гомеоморфiзмiв fm одиничної кулi \BbbB n =
\bigl\{
x \in \BbbR n :
| x| < 1
\bigr\}
на кулю B(0, 2) таким чином:
fm(x) =
\left\{
1 + | x| \alpha
| x|
\cdot x, 1/m \leq | x| < 1,
1 + (1/m)\alpha
(1/m)
\cdot x, 0 < | x| < 1/m
.
Зауважимо, що fm є кiльцевими Q-гомеоморфiзмами вiдносно n-модуля при
Q =
\biggl(
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
\biggr) n - 1
у кожнiй точцi \zeta 0 \in \BbbB n, бiльше того, Q \in Lp(\BbbB n) (див., наприклад, доведення теореми 7.1
[23]). Зауважимо, що \frakF = \{ fm\} \infty m=1 не є одностайно неперервною в \BbbB n. Справдi, | fm(xm) -
- f(0)| = 1+(1/m)\alpha \rightarrow 1 при m\rightarrow \infty , де | xm| = 1/m. Причина останньої обставини, а також
неможливiсть застосування теорем 1 i 2 полягають в тому, що функцiя Q не належить класу
FMO в точцi \zeta 0 = 0.
Приклад 5. Нехай \BbbD — одиничний круг на площинi. Гiперболiчну вiдстань в \BbbD визначимо
згiдно зi спiввiдношенням h\ast (z1, z2) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + t
1 - t
, t =
| z1 - z2|
| 1 - z1z2|
, а гiперболiчну площу множини
S в \BbbD будемо обчислювати як величину v(S) =
\int
S
4 dm(z)
(1 - | z| 2)2
(див., наприклад, [24], (2.4),
(2.5)). Для борелевої функцiї \rho : \BbbD \rightarrow [0,\infty ], вимiрної за Лебегом множини S \subset \BbbD i локально
спрямлюваної кривої \gamma : (a, b) \rightarrow \BbbD покладемо\int
S
\rho (z) dv(z) :=
\int
S
4\rho (z) dm(z)
(1 - | z| 2)2
,
\int
\gamma
\rho (z) dsh\ast (z) :=
\int
\gamma
2\rho (z) | dz|
1 - | z| 2
.
Зауважимо, що метричний простiр (\BbbD , h\ast , v) не є регулярним за Альфорсом, хоча вiн є ре-
гулярним за Альфорсом знизу (див. [7], приклад 8.24(c) i пропозицiя 8.19). Зафiксуємо 0 <
< r0 < 1/4 i зауважимо, що простiр (B(0, r0), h
\ast , v) з гiперболiчною площею v є 2-регулярним
за Альфорсом, де B(z0, r) = \{ z \in \BbbC : | z - z0| < r\} . Справдi, використовуючи позначення
Bh\ast (z0, r) =
\bigl\{
z \in \BbbD : h\ast (z, z0) < r
\bigr\}
, можна показати, що
B(z0, Cr) \subset Bh\ast (z0, r) \subset B(z0, r) \forall z0 \in B(0, r0) \forall r \in (0, r0), (27)
де C — деяка додатна стала, що залежить лише вiд r0. Зауважимо, що гiперболiчна площа v
спiввiдноситься з лебеговою мiрою m за допомогою спiввiдношень
C1 \cdot m(E) \leq v(E) \leq C2 \cdot m(E), (28)
де E \subset B(z0, r0), а C1 i C2 — деякi додатнi сталi, що залежать тiльки вiд r0. У цьому
випадку регулярнiсть за Альфорсом простору (B(0, r0), h
\ast , v) випливає iз (27) i (28), а також
iз того факту, що звичайнi евклiдовi кулi є регулярними за Альфорсом (див., наприклад, [7],
приклад 8.24(a) i пропозицiя 8.19).
Розглянемо сiм’ю вiдображень
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1430 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, С. О. СКВОРЦОВ, Є. О. ПЕТРОВ
fm(x) =
\left\{
1 + | x| \alpha
| x|
\cdot x, 1/m \leq | x| < r0,
1 + (1/m)\alpha
(1/m)
\cdot x, 0 < | x| < 1/m.
Ми розглядаємо тут fm, m = 1, 2, . . . , як вiдображення, що дiє мiж (B(0, r0), h
\ast , v) i (\BbbC , | \cdot | ,m),
де | \cdot | вiдповiдає евклiдовiй вiдстанi, а m — звичайна мiра Лебега. Згiдно iз зауваженням 5.2 [25],
вiдображення fm є кiльцевими Q-вiдображеннями при Q =
\biggl(
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
\biggr) n - 1
в точцi 0 вiдносно
n-модуля. Як було вказано у прикладi 4, сiм’я вiдображень fm не є одностайно неперервною.
Разом з тим всi умови теореми 1, що вiдносяться до заданого випадку, виконуються, окрiм
умови Q \in FMO(0), в термiнах вказаних метрики i мiри.
Приклад 6. Щоб отримати у прикладi 4 аналогiчну сiм’ю вiдображень, що є одностайно
неперервною в нулi, варто покласти
gm(x) =
\left\{
x\bigm| \bigm| (m - 1)/m
\bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} e
(m - 1)/m
, x \in \BbbB n \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}B
\bigl(
0, (m - 1)/m
\bigr)
,
x
| x| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} e
| x|
, x \in \BbbB n \setminus B
\bigl(
0, (m - 1)/m
\bigr)
,
де \BbbB n =
\bigl\{
x \in \BbbR n : | x| < 1
\bigr\}
. Можна показати, що gm є кiльцевими Q-вiдображеннями вiднос-
но n-модуля, де Q(x) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}n - 1 e
| x|
(див. мiркування, використанi при розглядi пропозицiї 6.3
[8]). Одностайну неперервнiсть цiєї сiм’ї можна отримати за допомогою безпосереднiх мiрку-
вань, хоча вона випливає також iз леми 4. Iснування вiдповiдної функцiї \psi випливає тут на
основi леми 7.3 [8], причому розбiжнiсть iнтеграла (26) для Q(x) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}n - 1 e
| x|
перевiряється
безпосередньо.
Неважко також вказати аналогiчну сiм’ю вiдображень i з прикладу 5, визначену в одинич-
ному крузi з гiперболiчними площею i метрикою.
Лiтература
1. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Distortion and singularities of quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1, 465, 1 – 13 (1970).
2. S. Rickman, Quasiregular mappings, Results Math. Related Areas (3), 26, Springer-Verlag, Berlin (1993).
3. J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., 229, Springer-Verlag, Berlin
etc. (1971).
4. M. Cristea, Open discrete mappings having local ACLn inverses, Complex Variables and Elliptic Equat., 55, № 1-3,
61 – 90 (2010).
5. V. Ryazanov, E. Sevost’yanov, Toward the theory of ring Q-homeomorphisms, Israel J. Math., 168, 101 – 118 (2008).
6. Е. А. Севостьянов, О равностепенно непрерывных семействах отображений, не принимающих значения из
переменного множества, Укр. мат. журн., 66, № 3, 361 – 370 (2014).
7. J. Heinonen, Lectures on analysis on metric spaces, Springer Science+Business Media, New York (2001).
8. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Science + Business
Media, LLC, New York (2009).
9. Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов, Об открытых дискретных отображениях с неограниченной характерис-
тикой на римановых многообразиях, Мат. сб., 207, № 4, 65 – 112 (2016).
10. Е. А. Севостьянов, О локальном и граничном поведении отображений в метрических пространствах, Алгебра
и анализ, 28, № 6, 118 – 146 (2016).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ПРО ОДНОСТАЙНО НЕПЕРЕРВНI СIМ’Ї ВIДОБРАЖЕНЬ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 1431
11. E. A. Sevost’yanov, A. A. Markysh, On Sokhotski – Casorati – Weierstrass theorem on metric spaces, Complex
Variables and Elliptic Equat., 64, № 12, 1973 – 1993 (2019).
12. П. Монтель, Нормальные семейства аналитических функций, ОНТИ НКТП СССР, Москва, Ленинград (1936).
13. М. Берже, Геометрия, т. 1, Мир, Москва (1984).
14. Y. Burtscher Annegret, Length structures on manifolds with continuous Riemannian metrics, New York J. Math., 21,
273 – 296 (2015).
15. J. M. Lee, Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Springer, New York (1997).
16. T. Adamowicz, N. Shanmugalingam, Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families, Ann.
Acad. Sci. Fenn. Math., 35, 609 – 626 (2010).
17. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, Москва (1987).
18. A. Grigor’yan, Isoperimetric inequalities and capacities on Riemannian manifolds. The Maz’ya anniversary collection,
Vol. 1, 139 – 153 (1998); Oper. Theory Adv. and Appl., 109, Birkhäuser, Basel (1999).
19. К. Куратовский, Топология, т. 2, Мир, Москва (1969).
20. Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов, О граничном поведении открытых дискретных отображений на римановых
многообразиях, Мат. сб., 209, № 5, 3 – 53 (2018).
21. Е. А. Полецкий, Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений, Мат. сб., 83, № 2,
261 – 272 (1970).
22. R. R. Salimov, E. A. Sevost’yanov, The Poletskii and Väisälä inequalities for the mappings with (p, q)-distortion,
Complex Variables and Elliptic Equat., 59, № 2, 217 – 231 (2014).
23. Е. А. Севостьянов, О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов с неограниченной характеристикой,
Мат. тр., 15, № 1, 178 – 204 (2012).
24. V. Ryazanov, S. Volkov, On the boundary behavior of mappings in the class W 1,1
loc on Riemann surfaces, Complex
Anal. and Operator Theory, 11, 1503 – 1520 (2017).
25. E. Sevost’yanov, On boundary extension of mappings in metric spaces in the terms of prime ends, Ann. Acad. Sci.
Fenn. Math., 44, № 1, 65 – 90 (2019).
Одержано 19.09.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1075 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:40Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ad/7363f4afa2f5efe36d65af3ce006e4ad.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10752025-03-31T08:49:43Z On equicontinuous families of mappings of metric spaces О равностепенно непрерывных семействах отображений метрических пространств Про одностайно неперервні сім’ї відображень метричних просторів Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. O. Petrov, E. A. Севостьянов, Евгений Александрович Скворцов, Сергей Александрович Петров, Евгений Александрович Севостьянов, Є. О. Скворцов, С. О. Петров, Є. О. UDC 517.5 We obtain analogs of results on equicontinuity of families of quasiregular mappings that take no values from a fixed continuum. We prove that these families are equicontinuous whenever the quasiconformity characteristics of the mappings have a finite mean oscillation at every inner point. In this context, we also prove the equicontinuity of generalized quasiisometries of Riemannian manifolds. Отримано аналоги результатів про одностайну неперервність сімейквазірегулярних відображень, які не набувають значень з деякогоконтинуума. Доведено, що вказані сім'ї є одностайно неперервними,якщо характеристика квазіконформності відображень має скінченнесереднє коливання в кожній внутрішній точці. Окремо досліджено випадок узагальнених квазіізометрій ріманових многовидів. УДК 517.5 Отримано аналоги результатів про одностайну неперервність сімей квазірегулярних відображень, які не набувають значень з деякого континуума. Доведено, що вказані сім'ї є одностайно неперервними,якщо характеристика квазіконформності відображень має скінченне середнє коливання в кожній внутрішній точці. Окремо досліджено випадок узагальнених квазіізометрій ріманових многовидів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-10-16 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1075 10.37863/umzh.v72i10.1075 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 10 (2020); 1418 - 1431 Український математичний журнал; Том 72 № 10 (2020); 1418 - 1431 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1075/8773 Copyright (c) 2020 Євген Олександрович Севостьянов, Сергій Олександрович Скворцов, Євген Олександрович Петров |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Skvortsov, S. O. Petrov, E. A. Севостьянов, Евгений Александрович Скворцов, Сергей Александрович Петров, Евгений Александрович Севостьянов, Є. О. Скворцов, С. О. Петров, Є. О. On equicontinuous families of mappings of metric spaces |
| title | On equicontinuous families of mappings of metric spaces |
| title_alt | О равностепенно непрерывных семействах отображений метрических пространств Про одностайно неперервні сім’ї відображень метричних просторів |
| title_full | On equicontinuous families of mappings of metric spaces |
| title_fullStr | On equicontinuous families of mappings of metric spaces |
| title_full_unstemmed | On equicontinuous families of mappings of metric spaces |
| title_short | On equicontinuous families of mappings of metric spaces |
| title_sort | on equicontinuous families of mappings of metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1075 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT skvortsovso onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT petrovea onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT sevostʹânovevgenijaleksandrovič onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT skvorcovsergejaleksandrovič onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT petrovevgenijaleksandrovič onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT sevostʹânovêo onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT skvorcovso onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT petrovêo onequicontinuousfamiliesofmappingsofmetricspaces AT sevost039yanovea oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT skvortsovso oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT petrovea oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT sevostʹânovevgenijaleksandrovič oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT skvorcovsergejaleksandrovič oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT petrovevgenijaleksandrovič oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT sevostʹânovêo oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT skvorcovso oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT petrovêo oravnostepennonepreryvnyhsemejstvahotobraženijmetričeskihprostranstv AT sevost039yanovea proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT skvortsovso proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT petrovea proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT sevostʹânovevgenijaleksandrovič proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT skvorcovsergejaleksandrovič proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT petrovevgenijaleksandrovič proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT sevostʹânovêo proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT skvorcovso proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív AT petrovêo proodnostajnoneperervnísímívídobraženʹmetričnihprostorív |