Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains
UDC 517.9 We present some results on the smoothness of the solution of the initial boundary-value problem for the parabolic system of partial differential equations $$u_t -(-1)^m P(x,t,D_x )u = f(x,t)\quad \text{in } \Omega_T := \Omega\times(0,T),$$ $$\frac{\partial^j u}{\partial \nu^j } = 0 \quad \...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1094 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507148084051968 |
|---|---|
| author | Duong, P. T. Зыонг, Ф. Ч. Зыонг, Ф. Ч. |
| author_facet | Duong, P. T. Зыонг, Ф. Ч. Зыонг, Ф. Ч. |
| author_sort | Duong, P. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:54Z |
| description | UDC 517.9
We present some results on the smoothness of the solution of the initial boundary-value problem for the parabolic system of partial differential equations $$u_t -(-1)^m P(x,t,D_x )u = f(x,t)\quad \text{in } \Omega_T := \Omega\times(0,T),$$ $$\frac{\partial^j u}{\partial \nu^j } = 0 \quad \text{on } (\partial\Omega \backslash M) \times (0, T)$$ $$u(x,0)=0, $$ in the domain $\Omega_T$ of dihedral type, where $P$ is an elliptic operator with variable coefficients. The dependence of the regularity of solutions on the distribution of eigenvalues for the corresponding spectral problems is shown. The obtained results are useful for understanding the asymptotics of the weak solution near the singular edge of dihedral domains. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i7.1094 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i7.1094
УДК 517.9
Ф. Ч. Зыонг (Ханой. пед. ин-т, Вьетнам)
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА
We present some results on the smoothness of the solution of the initial boundary-value problem for the parabolic system
of partial differential equations
ut - ( - 1)mP (x, t,Dx)u = f(x, t) in \Omega T := \Omega \times (0, T ),
\partial ju
\partial \nu j
= 0 on (\partial \Omega \setminus M)\times (0, T ),
u(x, 0) = 0,
in the domain \Omega T of dihedral type, where P is an elliptic operator with variable coefficients. The dependence of the
regularity of solutions on the distribution of eigenvalues for the corresponding spectral problems is shown. The obtained
results are useful for understanding the asymptotics of the weak solution near the singular edge of dihedral domains.
Наведено деякi результати щодо гладкостi розв’язку початково-крайової задачi для параболiчної системи рiвнянь з
частинними похiдними
ut - ( - 1)mP (x, t,Dx)u = f(x, t) в \Omega T := \Omega \times (0, T ),
\partial ju
\partial \nu j
= 0 на (\partial \Omega \setminus M)\times (0, T ),
u(x, 0) = 0,
в областi \Omega T дiедрального типу, де P — елiптичний оператор iз змiнними коефiцiєнтами. Показано залежнiсть
регулярностi розв’язкiв вiд розподiлу власних значень для вiдповiдних спектральних задач. Отриманi результати
кориснi для розумiння асимптотики слабкого розв’язку поблизу сингулярного краю дiедральних областей.
1. Введение. Краевые задачи в негладких областях начали систематически рассматривать, на-
чиная с работы В. А. Кондратьева [2], где изучались эллиптические уравнения в конической и
угловой областях, а также регулярность и асимптотическое представление решения около ко-
нической точки. Для краевых эллиптических задач в областях с более общими особенностями
(типа ребра или острого выступа) имеются известные результаты В. Г. Мазьи и Б. А. Пламенев-
ского [4], В. Г. Мазьи и Дж. Россмана [5]. В этих исследованиях авторы показали связь между
спектральными свойствами операторного пучка, связанного с краевыми задачами в различных
областях с особенностями, и корректностью постановки краевой задачи.
Нестационарные задачи в конических областях были рассмотрены М. Х. Нгуен [6] с
целью получения разрешимости и асимптотики обобщенного решения вблизи конических то-
чек для гиперболических систем. В данной статье мы будем изучать начально-краевую задачу
для сильно параболической системы в цилиндре с диэдром в качестве основания. При этом
мы используем результаты о разрешимости и единственности, а также результаты относитель-
но дифференцируемости по временной переменной, полученные в [7, 8], для доказательства
регулярности обобщенного решения относительно как пространственных x, так и временных
c\bigcirc Ф. Ч. ЗЫОНГ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7 903
904 Ф. Ч. ЗЫОНГ
переменных. Мы также приводим априорную оценку в весовых пространствах Соболева для
частного случая системы уравнений в частных производных второго порядка.
Опишем кратко строение статьи. В пункте 2 приведены обозначения, используемые в даль-
нейшем. Пункт 3 содержит постановку основной задачи. В пункте 4 изложены некоторые
основные факты для эллиптических уравнений в диэдральных областях. И, наконец, в пункте 5
изучается регулярность обобщенного решения в случае параболических систем.
2. Необходимые обозначения. Будем следовать обозначениям, используемым в [4]. Под
диэдром подразумеваем произведение
D = K \times \BbbR n - 2,
где K — угол, определенный в полярных координатах как
K =
\bigl\{
y = (y1, y2)| | \omega | < \alpha /2
\bigr\}
, \omega = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}
y2
y1
.
Стороны K обозначаются так: \gamma \pm := \{ y : 2\omega = \pm \alpha \} . Граница D теперь состоит из двух
полуподпространств \Gamma + и \Gamma - , где \Gamma \pm = \gamma \pm \times \BbbR n - 2, а также из ребра M := \{ x = (y, z), y =
= 0, z \in \BbbR n - 2\} . Для x = (y1, y2, z) \in D обозначим через x = (0, 0, z) ближайшую к x точку
на M.
В случае n = 3 мы принимаем следующие обозначения. \BbbD будет диэдром
\BbbD =
\bigl\{
x = (x\prime , x3) : x\prime \in \BbbK , x3 \in \BbbR
\bigr\}
,
где \BbbK — бесконечный угол, определенный как
\BbbK =
\bigl\{
x\prime = (x1, x2) \in R2 : 0 < r <\infty , 0 < \varphi < \theta
\bigr\}
в полярных координатах (r, \varphi ). При этом мы сохраняем предыдущие обозначения для грани-
цы \BbbD . Граница \BbbD состоит из двух полуплоскостей \Gamma + и \Gamma - , а также из ребра M.
Мы также будем иметь дело с ограниченными областями. Пусть G — компактное замыкание
открытого подмножества \scrG в евклидовом пространстве \BbbR n, которое ограничено (n - 1)-мерным
многообразием \partial G. Пусть M — замкнутое подмножество \partial G, которое является гладким (C\infty )
(n - 2)-мерным подмногообразием в \BbbR n, и \partial G\setminus M также является кусочно-гладким подмного-
образием в \BbbR n. Кроме того, предположим, что в окрестности каждой точки на M множество
G диффеоморфно n-мерному диэдру. Предположим, что \Gamma 1, . . . ,\Gamma s — компоненты связности
\partial G\setminus M.
Пусть \Omega — одна из областей D,G или \BbbD . Для T > 0 обозначим через \Omega T цилиндр \Omega \times (0, T ).
Аналогичным образом определяется MT . Отметим, что в общем случае наши диэдральные
области могут выглядеть совсем иначе, чем обычное представление о трехмерных двугранных
углах.
Будем рассматривать дифференциальный оператор P (x, t,Dx) вида
P (x, t,Dx) =
m\sum
| p| ,| q| =1
Dp
\bigl(
apq(x, t)D
q
\bigr)
+
m\sum
| p| =1
Dpap(x, t) + a(x, t),
где apq(x, t), ap(x, t), a(x, t) — (s\times s)-матрицы, элементы которых являются функциями пере-
менных (x, t), принадлежащими C\infty (\Omega T ). Для выполнения условия самосопряженности пред-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА 905
положим, что apq = ( - 1)| p| +| q| a \star qp. Символ a \star qp обозначает комплексно-сопряженную матрицу
к a\top qp .
Оператор P является сильно эллиптическим в том смысле, что существует такая постоянная
C > 0, что для всех вещественных векторов \xi в \BbbR n и всех \eta \in \BbbC s неравенство\sum
| p| ,| q| =m
apq\xi
p\xi q\eta \eta \geq C| \xi | 2m| \eta | 2
выполняется при всех (x, t) \in \Omega T .
Будем использовать обозначения Hm(\Omega ), Hm,k(\Omega T ) для обычных L2-пространств Соболева
в соответствующих областях \Omega и \Omega T . Индекс m связан с порядком производных по переменной
x, а индекс k — максимальный порядок дифференцирования по t. В дальнейшем мы также
будем использовать пространство
\circ
Hm,k(\Omega T ), являющееся пополнением функций из C\infty (\Omega T )
и равных 0 вблизи \partial \Omega \times (0, T ) относительно нормы в Hm,k(\Omega T ) .
Для областей с особенностями нам понадобится еще несколько пространств. Обозначим
через V k,\ell
\beta (\Omega T ) пространство, состоящее из функций u(x, t) с конечной нормой
\| u\|
V k,\ell
\beta (\Omega T )
=
\left( T\int
0
\int
\Omega
k\sum
| \alpha | =0
r2(\beta - k+| \alpha | )| D\alpha
xu| 2 +
\ell \sum
s=0
| Ds
tu| 2dx dt
\right) 1/2
.
Нам также понадобится пространство V k
\beta (\Omega T ), которое состоит из функций u(x, t) с конечной
нормой
\| u\| V k
\beta (\Omega T ) =
\left( T\int
0
\int
\Omega
k\sum
| \alpha | +s=0
r2(\beta - k+| \alpha | +s)| D\alpha
xD
s
tu| 2dx dt
\right) 1/2
.
Для эллиптических задач мы также будем использовать пространство V k
\beta (\Omega ), состоящее из
функций u = u(x, \cdot ) с конечной нормой
\| u\| V k
\beta (\Omega ) =
\left( \int
\Omega
k\sum
| \alpha | =0
r2(\beta - k+| \alpha | )| D\alpha
xu| 2dx
\right) 1/2
.
В приведенных выше формулах r = | x - x| = | y| для областей типа D, r = | x\prime | для \BbbD и
r = r(x) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,M) для ограниченной области G.
Для угловой области K также введем весовое пространство El
\beta (K) по аналогии с V k
\beta (\Omega ).
По определению Ek
\beta (K) является пополнением к C\infty
0 (K\setminus O) относительно нормы
\| u\| Ek
\beta (K) =
\left( \int
K
| y| 2\beta
l\sum
| \alpha | =0
(| y| 2(| \alpha | - l) + 1)| D\alpha
y u(y)| 2dy
\right) 1/2
.
Пространство El - 1/2
\beta (\gamma \pm ) определяется как пространство следов функций из El
\beta (K) на грани-
цах \gamma \pm .
Для ограниченной области G мы можем ввести пространство с непостоянным весом \beta .
Пусть \beta = \beta (z) — гладкая вещественная функция на M, которая используется в качестве
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
906 Ф. Ч. ЗЫОНГ
весовой функции. Пространство V l
\beta (G) определяется следующим образом. Будем говорить,
что функция u = u(x, t) с носителем около M \times (0, T ) принадлежит V l
\beta (G) тогда и только
тогда, когда
\| u\| V l
\beta (G) =
\left( l\sum
\alpha =0
T\int
0
\int
G
r2(\beta (z) - l+| \alpha | )| D\alpha
xu| 2dx
\right) 1/2
<\infty ,
где z — ближайшая к x точка на M, r = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,M) — расстояние от x до ребра M.
3. Формулировка основной задачи. Пусть \Omega обозначает одну из областей G,D или \BbbD .
Исследуем следующую начально-краевую задачу в цилиндре \Omega \times (0, T ):
ut - ( - 1)mP (x,Dx)u = f(x, t) в \Omega \times (0, T ),
\partial ju
\partial \nu j
= 0 на (\partial \Omega \setminus M)\times (0, T ), (1)
u(x, 0) = 0,
где \nu — единичный вектор внешней нормали к боковой поверхности (\partial \Omega \setminus M)\times (0, T ).
Решение u(x, t) задачи (1) понимается в обобщенном смысле. Функция u \in
\circ
Hm,k(\Omega T )
называется слабым решением, если u удовлетворяет интегральному тождеству\int
\Omega T
\Biggl[
- ut\eta +
m\sum
| p| ,| q| =1
( - 1)m - 1+| p| apqD
quDp\eta +
+
m\sum
| p| =1
( - 1)m - 1apD
pu\eta + ( - 1)m - 1au\eta
\Biggr]
dxdt =
\int
\Omega T
f\eta dxdt
для произвольной пробной функции \eta \in
\circ
Hm,k(\Omega T ), удовлетворяющей условию \eta (x, T ) = 0.
Отметим, что для достаточно гладкого решения u приведенное выше определение исходит из
формального интегрирования по частям. В общем случае обобщенное решение может быть
недифференцируемым достаточное количество раз, как это требуется в формуле оператора P.
Поэтому полезно рассматривать регулярность решений в слабом смысле.
В [7, 8] были получены следующие результаты о разрешимости этой задачи и в случае, когда
интервал для переменной t является бесконечным полуинтервалом [0,\infty ). Хотя в этих иссле-
дованиях мы рассматривали конкретную задачу в коническом цилиндре (основание которого
является конической областью), утверждения 1 и 2 также остаются в силе для произвольной
области, поскольку мы рассматриваем только слабое решение со слабыми частными произ-
водными порядков не превышающих m. Мы приведем эти утверждения для случая, когда
T <\infty .
Сначала сформулируем результат об единственности и существовании решения.
Утверждение 1 (об единственности и существовании обобщенного решения, см. [7]). Пред-
положим, что коэффициенты оператора P и правая часть f удовлетворяют следующим
условиям:
i) величины | Dtapq| , | Dtap| , | apq| , | ap| , | a| ограничены при 1 \leq p, q \leq m;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА 907
ii) f \in L2(\Omega T ).
Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1) в
\circ
Hm,k(\Omega T ), удовлетворяю-
щее неравенству
\| u\| Hm,1(\Omega T ) \leq C\| f\| L2(\Omega T ), C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Это утверждение может быть доказано с помощью метода аппроксимации Галеркина. Ана-
логичным образом можно получить результат о дифференцируемости обобщенного решения
по переменной t.
Утверждение 2 (о регулярности обобщенного решения по t, см. [8]). Предположим, что:
i) | Dk
t apq| , | Dk - 1
t ap| , | Dk - 1
t a| ограничены при k \leq h+ 1,
ii) Dk
t f \in L2(\Omega T ), D
k
t f(x, 0) = 0 при k \leq h.
Тогда (обобщенное) решение задачи (1) в
\circ
Hm,k(\Omega T ) имеет все слабые производные по t вплоть
до порядка h, удовлетворяющие неравенству
\| D\ell
tu\| Hm,1(\Omega T ) \leq C
h\sum
k=0
\| Dk
t f\| L2(\Omega T ) \forall \ell \leq h, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
При доказательстве этих утверждений мы по существу использовали неравенство типа
Гординга: существуют такие константы \lambda > 0, \mu \geq 0, что для всех функций u \in
\circ
Hm(\Omega )\int
G
m\sum
| p| =| q| =0
( - 1)m+| p| apqD
quDpudx \geq \lambda \| u\| 2Hm(\Omega ) - \mu \| u\| 2L2(\Omega ).
4. Регулярность решения в эллиптическом случае. Для задач в конических областях
методом, предложенным В. А. Кондратьевым в [2], можно доказать, что решение задачи (1)
будет принадлежать пространству V 2m,0
m , если оно получено из большего пространства Hm,1.
В диэдральной области аналогичный результат для эллиптических уравнений может быть
получен с помощью методов покрытия диэдра семейством маленьких областей, которые кон-
груэнтны между собой.
Сначала напомним эллиптические результаты в диэдральном случае для неограниченной об-
ласти D. Пусть P (Dy, Dz) — однородный эллиптический дифференциальный оператор порядка
2m с постоянными коэффициентами, y = (y1, y2), z \in \BbbR n - 2. Обозначим через P\pm
j (Dy, Dz),
j = 1, 2, . . . ,m, однородные эллиптические дифференциальные операторы порядков mj \leq
\leq 2m - 1 также с постоянными коэффициентами. Предположим, что система операторов
\{ P\pm
j \} mj=1 является нормальной и накрывает оператор P.
Напомним понятие накрывающей системы граничных операторов для эллиптического опе-
ратора. Сначала рассмотрим случай в \BbbR n
+ = \{ x = (x\prime , xn), x
\prime \in \BbbR n - 1, xn > 0\} . Пусть L,
B1, . . . , Bm — скалярные однородные дифференциальные операторы с постоянными коэффи-
циентами порядков 2m, m1, . . . ,mm. Допустим, что L — эллиптический оператор, и обозначим
через t1, . . . , tm корни полинома t \mapsto \rightarrow L(\xi \prime , t\xi n), расположенные в полуплоскости \mathrm{I}\mathrm{m} t > 0. Сис-
тема \{ B1, . . . , Bm\} накрывает оператор L в \BbbR n
+, если полиномы t \mapsto \rightarrow Bq(\xi
\prime , t\xi n), q = 1, . . . ,m,
линейно независимы по модулю полинома (t - t1(\xi ))\times . . .\times (t - tm(\xi )).
Пусть \Omega — область в \BbbR n с гладкой (класса C\infty ) границей \partial \Omega . Допустим, что \scrL (x,Dx) —
эллиптический оператор порядка 2m c C\infty коэффициентами. Рассмотрим дифференциаль-
ные операторы \scrB 1(x,Dx), . . . ,\scrB m(x,Dx) порядков m1, . . . ,mm с коэффициентами из класса
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
908 Ф. Ч. ЗЫОНГ
C\infty (\Omega ). Пусть x0 \in \partial \Omega . Введем декартовы координаты y = (y\prime , yn) с началом в x0 так,
чтобы ось yn была направлена вдоль внутренней нормали к \partial \Omega . Обозначим через L(x0, Dy),
B1(x
0, Dy), . . . , Bm(x0, Dy) главные однородные части операторов \scrL , \scrB 1, . . . ,\scrB m. Мы говорим,
что система операторов
\bigl\{
\scrB 1(x,Dx), . . . ,\scrB m(x,Dx)
\bigr\}
накрывает оператор \scrL (x,Dx), если для
любой точки x0 \in \partial \Omega система
\bigl\{
B1(x
0, Dy), . . . , Bm(x0, Dy)
\bigr\}
накрывает оператор L(x0, Dy) в
полупространстве \{ y \in \BbbR n : yn > 0\} .
Рассмотрим краевую задачу
P (Dy, Dz)u = f в D, (2)
\partial P\pm
j (Dy, Dz)u = g\pm j на \Gamma \pm , j = 1, 2, . . . ,m,
где символ \partial обозначает оператор сужения на границу.
Введем краевую задачу
P (Dy, \theta ) = f в K, (3)
\partial P\pm
j (Dy, \theta )u = g\pm j на \gamma \pm ,
где \theta — произвольная точка единичной сферы Sn - 3.
Обозначим A(\theta ) = \{ P (Dy, \theta ), \partial P
\pm
j (Dy, \theta )\} . Из определений весовых пространств El
\beta (K) и
пространств следов на границе E
l - 1
2
\beta (\gamma \pm ) оператор A(\theta ) задачи (3) действует как непрерывное
отображение
A(\theta ) : El+2m
\beta (K) \rightarrow El
\beta (K)\times
\prod
\pm
m\prod
j=1
E
l+2m - mj - 1
2
\beta (\gamma \pm ),
поскольку мы рассматриваем операторы P (Dy, Dz), P
\pm
j (Dy, Dz) с постоянными коэффициен-
тами.
Запишем операторы P (Dy, 0) и Pj(Dy, 0) в полярных координатах (r, \omega ):
P (zDy, 0) = r - 2mP(\omega ,D\omega , rDr),
P\pm
j (Dy, 0) = r - m\pm
j P\pm
j (\omega ,D\omega , rDr),
где Dr := i - 1\partial /\partial r и P(\omega ,D\omega , \lambda ),P
\pm
j (\omega ,D\omega , \lambda ) — полиномы комплексной переменной \lambda .
Обозначим через \lambda собственные значения краевой задачи с параметром \lambda :
P(\omega ,D\omega ;\lambda )u = 0, если 2| \omega | < \alpha ,
P\pm
j (D\omega ;\lambda )u = 0, если 2\omega = \pm \alpha .
(4)
Построив специальное диадическое покрытие D, В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский пришли
к следующему результату (см. теорему 4.1 в [4]).
Утверждение 3. Предположим, что u \in H2m
loc (D\setminus M) удовлетворяет задаче (2) с g\pm j = 0
при всех j = 1, . . . ,m. Тогда выполняется оценка
\| u\| V l+2m
\beta (D) \leq C
\Bigl(
\| f\| V l
\beta (D) + \| u\| V 0
\beta - l - 2m(D)
\Bigr)
, (5)
где C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА 909
В случае ограниченной области G введем несколько обозначений для дифференциальных
операторов следующим образом.
Рассмотрим краевую задачу для эллиптического оператора \scrP (x,Dx) с коэффициентами
в C\infty (G) с \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\scrP = 2m. Допустим, что в окрестности каждого множества \Gamma q определены
дифференциальные операторы \scrP j(x,Dx), j = 1, . . . ,m. Предположим, что порядок оператора
\scrP j не меняется и равен mjq на \Gamma q. Будем считать, что коэффициенты оператора \scrP j принадлежат
C\infty в окрестности \Gamma q. Будем считать также, что оператор \scrP эллиптический, а операторы \{ \scrP j\}
образуют нормальную систему и накрывают \scrP на \Gamma q, 1 \leq q \leq s.
Рассмотрим краевую задачу
\scrP (x,Dx)u = f в G,
\partial \scrP j(x,Dx)u = gj на \partial G\setminus M для 1 \leq j \leq m.
(6)
Пусть z — точка на ребре M. Обозначим через \scrP \pm
j предельные значения оператора \scrP j с
каждой из сторон, на которые M локально делит многообразие \partial G. Для произвольной точки
z определены два касательных полупространства \Gamma \pm (z) размерности n - 1 к \partial G и двумерная
плоскость \pi (z), нормальная к M. Обозначим через K(z) угловую область на плоскости \pi (z),
ограниченную двумя лучами \gamma \pm (z) = \Gamma \pm (z)
\bigcap
\pi (z), а через \alpha (z) величину (раствор) этого
угла.
Пусть \{ U\} — достаточно мелкое покрытие области G координатными окрестностями. Если
U
\bigcap
M \not = \varnothing , то мы применяем систему координат в каждой точке x \in U как (y, z), где z —
ближайшая к x точка многообразия M, y = (y1, y2) — координаты x в \pi (z).
Мы можем записать оператор задачи (6) в точке z \in M в виде
\bigl\{
\scrP (z,Dy, Dz), \partial \scrP \pm
j
\bigr\}
.
Пусть
\circ
\scrP ,
\circ
\scrP \pm
j — главные однородные части полиномов \scrP (z; \eta , \zeta ), \scrP \pm
j (z; \eta , \zeta ) переменных
(\eta , \zeta ), (r, \omega ) — полярные координаты y в плоскости \pi (z). Мы рассматриваем только такие
\circ
P ,
\circ
\scrP \pm
j , которые можно представить в виде
\circ
\scrP (z;Dy, 0) = r - 2mP(z;\omega ,D\omega , rDr),
\circ
\scrP \pm
j (z;Dy, 0) = r - m\pm
j P\pm
j (z;\omega ,D\omega , rDr).
Обозначим через \lambda k(z) собственные значения задачи
P(z;\omega ,D\omega , \lambda )u = 0, если 2| \omega | < \alpha (z),
P\pm
j (z;D\omega , \lambda )u = 0, если 2\omega = \pm \alpha (z).
(7)
Далее, пусть A(z, \theta ) = \{ \scrP (z;Dy, \theta ),
\circ
\scrP \pm
j (z;Dy, \theta )\} , где \theta \in Sn - 3.
Утверждение 4 (улучшение локальной гладкости, см. теорему 10.2 в [4]). Предположим,
что \beta — вещественная функция из C\infty (M); \varphi , \psi \in C\infty
0 (G) такие, что \varphi \psi = \varphi . Если
u \in V 0
\beta - l - 2m(GT ) \in H2m
loc (G\setminus M) удовлетворяет задаче (6), где \psi f \in V l
\beta (G), то \varphi u принадле-
жит V l+2m
\beta (G).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
910 Ф. Ч. ЗЫОНГ
Утверждение 4 и другие важные результаты о разрешимости краевой задачи в областях
типа двугранного угла (см. теоремы 7.1 и 9.1 в [4]) можно получить путем установления
изоморфизма оператора, связанного с V -нормой в угле K (см. теорему 6.1 и лемму 7.2 в [4]
для общих Lp случаев). Затем с помощью этих результатов и локальных эллиптических оценок
в угле K с применением неравенства Харди можно получить соответствующие результаты в
областях типа D или G. Более краткое доказательство разрешимости в области K в весовых
пространствах, основанных на Lp, p = 2, представлено в [3] (см. теорему 6.1.3 и лемму 6.1.10
в [3]).
Результаты М. С. Аграновича и М. И. Вишика [1] по эллиптическим задачам, зависящим
от параметра, полезны для получения следующего утверждения. Этот результат утвержда-
ет возможность перейти от одного пространства Соболева с весом с индексом \beta к другому
пространству с совершенно другим индексом \beta \prime в зависимости от отсутствия собственных
значений между двумя заданными прямыми в комплексной плоскости.
Утверждение 5 (об изменении индекса \beta , см. [4]). Пусть \scrU — открытое подмножество
G, \scrU
\bigcap
M \not = \varnothing , такое, что прямая \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda = \beta +1 - 2m не содержит собственных значений зада-
чи (7), а подпространства \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(z, \theta ), \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(z, \theta ) тривиальны для всех \theta \in Sn - 3, z \in M
\bigcap
\scrU .
Пусть \lambda +(z), \lambda - (z) — собственные значения задачи (7), удовлетворяющие неравенству
\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - (z) < \beta + 1 - 2m < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +(z),
и в полосе \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - (z) < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +(z) отсутствуют точки спектра задачи (7). Кроме того,
пусть \beta 1, \beta 2 — гладкие вещественные функции на M
\bigcap
\scrU , удовлетворяющие неравенствам
\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - (z) < \beta j(z) + 1 - 2m < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +(z).
Если u — такое решение задачи (6), что \psi \scrU u \in V 2m
\beta 1
(G), \psi \scrU f \in
2\bigcap
j=1
V 0
\beta j
(G), где \psi \scrU \in C\infty
0 (\scrU ),
то для всех функций \varphi \scrU \in C\infty
0 (\scrU ) таких, что \varphi \scrU \psi \scrU = \varphi \scrU , \varphi \scrU u принадлежит V 2m
\beta 2
(G).
Аналогичный результат для диэдральной области D можно получить, если заменить A(z, \theta )
на A(\theta ) и рассмотреть собственные значения задачи (4) (см. теорему 7.2 в [4]).
5. Гладкость обобщенного решения в нестационарном случае. После установления ос-
новных результатов в эллиптическом случае мы можем сделать следующий шаг для эффектив-
ного изучения регулярности обобщенного решения задачи (1). В дальнейшем будем предпо-
лагать, что apq(x, t), ap(x, t), a(x, t) принадлежат классу C\infty (\Omega T ) с ограниченными частными
производными всех порядков в \Omega T . Последнее условие всегда выполняется, если рассматри-
ваются только ограниченные области \Omega , или если нас интересует только поведение решения в
окрестности множества особенностей M.
Прежде всего отметим, что из утверждения 1 следует включение u(x, t) \in Hm,0(\Omega T ). Это
означает, что при почти всех t \in (0, T ) функция u принадлежит Hm(\Omega ). Теперь из неравенства
Харди, которое можно применить для функции u, обращающейся в нуль вблизи \partial \Omega , следует
оценка \int
\Omega
r - 2m| u(x, t)| 2dx \leq C\| u\| 2Hm(\Omega ), C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Из этого неравенства мы можем установить, что u принадлежит V 0
- m(\Omega ) по определению
весовых пространств V \ell
\beta (\Omega ). Этот результат вместе с теоремой 4.1 в [4] позволяет сформу-
лировать следующую теорему о регулярности слабого решения задачи (1) в цилиндрической
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА 911
области, основанием которой является диэдральная область. Сначала рассмотрим вариант, когда
apq(x, t) не зависят от переменных x (т. е. для каждого t \in [0, T ] коэффициенты дифференци-
ального оператора P постоянны).
Теорема 1. Предположим, что функции f, ft \in L2(DT ) таковы, что Dh
t f(x, 0) = 0 для
h = 0, 1. Пусть u(x, t) — обобщенное решение задачи (1) в DT такое, что u(x, \cdot ) \in H2m
loc (D\setminus M)
при всех t \in (0, T ). Тогда u принадлежит V 2m,0
m (DT ) и справедлива оценка
\| u\|
V 2m,1
m (DT )
\leq C
\Bigl[
\| f\| L2(DT ) + \| Dtf\| L2(DT )
\Bigr]
,
где C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Доказательство. Применим утверждение 3 для случая l = 0, \beta = m (см. теорему 4.1 в [4]
для оценки в случае диэдральной области). Используя замену F = - ut + f(x, t), записываем
оценку норм с l = 0, | \gamma | = 2m :\int
D
| D\gamma u(x, t)| 2r2mdx \leq C
\int
D
\Bigl(
| F (x, t)| 2r2m + r - 2m
\bigm| \bigm| u(x, t)\bigm| \bigm| 2\Bigr) dx. (8)
Подставляя F = - ut + f(x, t), из неравенства Харди получаем
\int
D
| D\gamma u(x, t)| 2r2mdx \leq C
\int
D
\left( | f(x, t)| 2 + | ut| 2 +
\sum
| \alpha | =m
| D\alpha u| 2
\right) dx. (9)
Интегрируя (9) по t на (0, T ), приходим к неравенству
\int
DT
| D\gamma u(x, t)| 2r2mdx dt \leq C
\int
DT
\left( | f(x, t)| 2 + | ut| 2 +
\sum
| \alpha | =m
| D\alpha u| 2
\right) dx dt. (10)
Из утверждений 1 и 2 видно, что правая часть указанного неравенства ограничена величиной
C
\Bigl(
\| f\| 2L2(DT ) + \| ft\| 2L2(DT )
\Bigr)
с постоянной C > 0.
Теорема 1 доказана.
Для случая ограниченной области G мы получим аналогичный результат.
Теорема 2. Предположим, что функции f, ft \in L2(GT ) таковы, что Dh
t f(x, 0) = 0 при
h = 0, 1. Пусть \psi , \varphi — C\infty -функции на G с компактными носителями,\psi = 1 в окрестности
носителя \varphi . Пусть u(x, t) — обобщенное решение задачи (1) такое, что u(x, \cdot ) \in H2m
loc (G\setminus M)
при всех t \in (0, T ). Тогда u принадлежит V 2m,0
m (GT ) и справедлива оценка
\| \phi u\|
V 2m,1
m (GT )
\leq C
\Bigl[
\| \psi f\| L2(GT ) + \| \psi ft\| L2(GT )
\Bigr]
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 с применением утверждения 4
вместо утверждения 3.
Рассмотрим общий случай с непостоянными коэффициентами, когда apq зависят от про-
странственных переменных x. Справедлива следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
912 Ф. Ч. ЗЫОНГ
Теорема 3. Пусть u(x, t) — обобщенное решение начально-краевой задачи (1) в DT та-
кое, что u(x, \cdot ) принадлежит H2m
loc (D\setminus M) при всех t \in (0, T ). Далее, предположим, что
подпространства \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(\theta ), \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(\theta ) тривиальны для всех \theta \in Sn - 3. Допустим, что Dk
t f
принадлежит L2(DT ), D
k
t f(x, 0) = 0 при k \leq 2m. Кроме того, пусть \lambda +, \lambda - — собственные
значения задачи (4), удовлетворяющие неравенству
\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - < 1 - 2m \leq - m < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +,
и в полосе \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda + отсутствуют точки спектра задачи (4) при всех t \in [0, T ].
Тогда u(x, t) принадлежит V 2m
0 (DT ) и выполняется неравенство
\| u\| 2V 2m
0 (DT ) \leq C
2m\sum
k=0
\| Dk
t f\| 2L2(DT ), C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (11)
Доказательство. Сначала докажем оценку
\| Ds
tu\| 2V 2m,0
0 (DT )
\leq C
2m\sum
k=0
\| Dk
t f\| 2L2(DT ), C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, s \leq 2m - 1. (12)
Из уравнения в задаче (1) следует, что ( - 1)mP0(x, t,Dx)u = F (x, t), где
F = ut + f + ( - 1)m - 1
\bigl[
P0(x, t,D) - P (x, t,D)
\bigr]
u.
Из условий на коэффициенты apq(x, t) имеем
| apq(x, t) - apq(x, t)| \leq Cr, r = | y| = | x - x| , C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Из теоремы 1 и утверждений 2, 3 заключаем, что F (x, t) принадлежит V 0,0
m - 1(DT ). Следова-
тельно, F (x, t) принадлежит V 0
m - 1(D) при почти всех t \in [0, T ].
С другой стороны, в полосе 1 - 2m \leq \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \leq - m отсутствуют точки спектра (собственные
значения) задачи (7) для каждого t \in [0, T ]. Следовательно, по теореме 1 и утверждению 5 (см.
также теоремы 7.1 и 7.2 в [4] для случая области D) u принадлежит V 2m
m - 1(D) и
\| u\| 2V 2m
m - 1(D) \leq C
\Bigl(
\| f\| 2L2(D) + \| ut\| 2L2(D) + \| u\| 2V 2m
m (D)
\Bigr)
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (13)
Поскольку u принадлежит V 2m
m - 1(D), то F также принадлежит V 0
m - 2(D) при почти всех t \in
\in [0, T ]. Применяя еще раз утверждение 5, получаем, что u принадлежит V 2m
m - 2(D) и выпол-
няется неравенство
\| u\| 2V 2m
m - 2(D) \leq C
\Bigl(
\| f\| 2L2(D) + \| ut\| 2L2(DT ) + \| u\| 2V 2m
m (D)
\Bigr)
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (14)
Повторяя проведенные выше рассуждения, убеждаемся, что u принадлежит V 2m
0 (D) и
\| u\| 2V 2m
0 (D) \leq C
\Bigl(
\| f\| 2L2(D) + \| ut\| 2L2(D) + \| u\| 2V 2m
m (D)
\Bigr)
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (15)
Отсюда следует, что u принадлежит V 2m,0
0 (DT ) и
\| u\| 2
V 2m,0
0 (DT )
\leq C
\Bigl(
\| f\| 2L2(DT ) + \| ut\| 2L2(DT ) + \| u\| 2
V 2m,0
m (DT )
\Bigr)
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА 913
Используя утверждение 2 и теорему 1, получаем
\| u\| 2
V 2m,0
0 (DT )
\leq C
\Bigl(
\| f\| 2L2(DT ) + \| ft\| 2L2(DT )
\Bigr)
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, (17)
т. е. неравенство (12) доказано при s = 0.
Дальнейшие рассуждения проведем с помощью математической индукции. Предположим,
что неравенство (12) выполняется при s - 1. Формально продифференцируем исходную систе-
му (1) s раз по t и обозначим v = Ds
t . Следовательно, v (формально) является решением
уравнения
( - 1)m - 1Pv = vt +Ds
t f + ( - 1)m
s\sum
k=1
\biggl(
k
s
\biggr)
PtkD
s - k
t u,
где
Ptk :=
m\sum
| p| ,| q| =1
DpDk
t apqD
q +
m\sum
| p| =1
Dk
t apD
p +Dk
t a.
Исходя из гипотезы индукции, используя аргументы, аналогичные случаю s = 0, заключа-
ем, что Ds
tu принадлежит V 2m,0
0 (DT ) и (12) имеет место при всех s \leq 2m - 1.
Поскольку
\| u\| 2V 2m
0 (DT ) \leq
2m - 1\sum
s=0
\| Ds
tu\| 2V 2m,0
0 (DT )
+ \| D2m
t u\| 2L2(DT ),
из полученных выше результатов об ограниченности нормы Ds
tu в весовом пространстве
V 2m,0
0 (DT ) и его L2-гладкости по переменной t получаем оценку (11).
Теорема 3 доказана.
Аналогичным образом получаем результат для ограниченной области G с ребром M. Мы
приведем его ниже.
Теорема 4. Пусть u(x, t) — обобщенное решение начально-краевой задачи (1) в GT такое,
что u(x, \cdot ) \in H2m
loc (G\setminus M) при всех t \in (0, T ). Пусть \psi ,\varphi — бесконечно дифференцируемые
функции с компактными носителями в G, для которых \psi = 1 в окрестности \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi . Далее,
предположим, что подпространства \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(z, \theta ), \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(z, \theta ) тривиальны для всех \theta \in Sn - 3.
Допустим, что \psi Dk
t f \in L2(GT ), \psi D
k
t f(x, 0) = 0 при k \leq 2m. Кроме того, пусть \lambda +(z),
\lambda - (z) — собственные значения задачи (7), удовлетворяющие неравенству
\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - (z) < 1 - 2m \leq - m < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +(z),
и в полосе \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - (z) < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +(z) отсутствуют точки спектра задачи (7). Тогда
\varphi u(x, t) принадлежит V 2m
0 (GT ) и выполняется неравенство
\| \varphi u\| 2V 2m
0 (GT ) \leq C
2m\sum
k=0
\| \psi Dk
t f\| 2L2(GT ), C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (18)
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы для диэдральной обла-
сти D.
Продемонстрируем общий результат на конкретном примере трехмерной задачи. В случае
системы второго порядка мы можем вывести оценку норм в весовых пространствах следующим
прямым и простым образом. Пусть \BbbD — диэдр
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
914 Ф. Ч. ЗЫОНГ
\BbbD =
\bigl\{
x = (x\prime , x3) : x\prime \in \BbbK , x3 \in \BbbR
\bigr\}
,
где \BbbK — бесконечный угол, определенный как
\BbbK =
\bigl\{
x\prime = (x1, x2) \in R2 : 0 < r <\infty , 0 < \varphi < \theta
\bigr\}
в полярных координатах (r, \varphi ).
Рассмотрим следующую краевую задачу в \BbbD T = \BbbD \times [0, T ]:
L(Dx, Dt)u = ut -
3\sum
i,j=1
Ai,j\partial xi\partial xju = f(x, t) в \BbbD T ,
u = 0 на \Gamma \pm , (19)
u(x, 0) = 0,
где Ai,j — постоянные (s \times s)-матрицы, u = (u1, . . . , us), f = (f1, . . . , fs) — вектор-функция.
Пусть B — функциональное пространство и v(x, t) =
\bigl(
v1(x, t), . . . , vs(x, t)) — вектор-функция.
Мы говорим, что v принадлежит Bs, если каждая компонента vj , 1 \leq j \leq s, принадлежит B.
Запишем систему (19) в виде
\scrL u = - ut + f(x, t),
где \scrL := -
\sum 3
i,j=1
Ai,j\partial xi\partial xj . Положим F (x, t) := - ut + f(x, t). Используя результат о глад-
кости относительно t (утверждение 2), убеждаемся, что F принадлежит L2(\BbbD T )
s при условии,
что Dk
t f \in L2((\BbbD T )
s, Dk
t f(x, 0) = 0 с k = 0, 1.
Теорема 5. Пусть \psi и \varphi — функции C\infty на \BbbD с компактными носителями, \psi = 1 в
окрестности носителя \varphi . Предположим, что u(x, t) является (слабым) решением задачи (19)
при предположении, что \psi Dk
t f \in L2(\BbbD T )
s, \psi Dk
t f(x, 0) = 0 при k \leq 2. Допустим, что
\psi \partial jx3u \in V 1
0 (\BbbD T )
s при j = 0, 1. Тогда \varphi u принадлежит V 2,0
0 (\BbbD T )
s и оценка
\| \varphi u\|
V 2,0
0 (\BbbD T )s
\leq C
\left( 1\sum
j=0
\| \psi \partial jx3
u\| V 1
0 (\BbbD T )s + \| \psi f\| L2(\BbbD T )s
\right) , C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, (20)
выполняется, если в полосе 0 \leq \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \leq 1 не существует собственного значения задачи (4).
Доказательство. Пусть L0(\partial x\prime , 0) := -
\sum 2
i,j=1
Ai,j\partial xi\partial xj . Тогда
L0(\partial x\prime , 0)(\varphi u) = F (\partial t, \partial x\prime , 0)(x, t) \equiv - (\varphi ut) + \varphi f + \varphi L1\partial x3u+
\bigl[
L(\partial t, \partial x\prime , 0), \varphi
\bigr]
u,
где L1 — дифференциальный оператор первого порядка. Через\bigl[
L0(\partial x\prime , 0), \varphi
\bigr]
:= L0(\partial x\prime , 0)\varphi - \varphi L0(\partial x\prime , 0)
будем обозначать коммутатор L0(\partial x\prime , 0) и \varphi .
Согласно нашим предположениям относительно u и f, функция F (\cdot , x3) принадлежит
V 0
0 (\BbbK )s при фиксированном x3. Поэтому по теореме 6.1.4 [3] получаем, что (\varphi u)(\cdot , x3) при-
надлежит V 2
0 (\BbbK )s при произвольном фиксированном x3 и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА 915
\| (\varphi u)(\cdot , x3)\| 2V 2
0 (\BbbK )s \leq C\| F (\cdot , x3)\| 2V 1
0 (\BbbK )s
с постоянной C > 0, не зависящей от x3 и t. Интегрируя обе части последнего неравенства по
x3 и используя тот факт, что \psi \partial x3u принадлежит V 1
0 (\BbbD T )
s, получаем оценку
\| \varphi u\| V 2
0 (\BbbD )s \leq C
\left( 1\sum
j=0
\| \psi \partial jx3
u\| V 1
0 (\BbbD )s + \| \psi f\| L2(\BbbD )s
\right) , C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Чтобы получить оценку (20), применим интегрирование по t на [0, T ].
Теорема 5 доказана.
В дальнейшем исследовании нам понадобится еще один вспомогательный результат, близ-
кий к утверждению 3 о локальной оценке.
Лемма 1. Предположим, что u \in H2m+l
loc (D\setminus M) удовлетворяет задаче (2) с g\pm j = 0, j =
= 1, . . . ,m, и f принадлежит V l
\beta (D). Кроме того, допустим, что u \equiv 0 при r > R = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} >
> 0 и u \in V 2m+l - 1
\beta - 1 (D). Тогда u принадлежит V 2m+l
\beta (D) и выполняется оценка
\| u\| V l+2m
\beta (D) \leq C
\Bigl(
\| f\| V l
\beta (D) + \| u\| V 2m+l - 1
\beta - 1 (D)
\Bigr)
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (21)
Доказательство. Из леммы 4.2 [4] следует, что
\int
D
| D\gamma u(x)| 2r2\beta dx \leq C
\int
D
\left( \sum
| \alpha | \leq l
| D\alpha f(x)| 2r2(\beta +| \alpha | - l) + r2(\beta - 2m - l)| u(x)| 2
\right) dx (22)
для всех \gamma таких, что | \gamma | = 2m+ l. Из (22) получаем
\int
D
| D\gamma u(x)| 2r2\beta dx \leq C
\left[ \| f\| 2
V l
\beta (D)
+
\int
D
r2(\beta - 2m - l)| u(x)| 2)dx
\right] \leq
\leq C
\biggl[
\| f\| 2
V l
\beta (D)
+ \| u\| 2
V 2m+l - 1
\beta - 1 (D)
\biggr]
. (23)
Поскольку
\| u\| 2
V 2m+l
\beta (D)
=
\sum
| \gamma | =2m+l
\int
D
| D\gamma u(x)| 2r2\beta dx+ \| u\| 2
V 2m+l - 1
\beta - 1 (D)
,
из (23) следует утверждение этой леммы.
Сформулируем теперь результат, который является обобщением теоремы 3.
Теорема 6. Пусть u(x, t) — обобщенное решение начально-краевой задачи (1) в DT такое,
что u(x, \cdot ) принадлежит H2m+l
loc (D\setminus M) при всех t \in (0, T ), u \equiv 0 при r > R = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Далее, предположим, что подпространства \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(\theta ), \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(\theta ) тривиальны для всех \theta \in
\in Sn - 3. Допустим, что Dk
t f \in V l
0 (DT ) при k \leq 2m, Dk
t f(x, 0) = 0 при k \leq l+2m - 1. Кроме
того, пусть \lambda +(z), \lambda - (z) — собственные значения задачи (4), удовлетворяющие неравенству
\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - (z) < 1 - 2m - l \leq - m < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +(z),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
916 Ф. Ч. ЗЫОНГ
и в полосе \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda - (z) < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda < \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda +(z) отсутствуют точки спектра задачи (4) для всех
t \in [0, T ]. Тогда u(x, t) принадлежит V 2m+l
0 (DT ) и выполняется неравенство
\| u\| 2
V 2m+l
0 (DT )
\leq C
2m\sum
k=0
\| Dk
t f\| 2V l
0 (DT )
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (24)
Доказательство следует методу, который использовался при доказательстве теоремы 3 в
сочетании с методом двойной индукции. Изложим кратко этот подход.
Доказательство проведем индукцией по l. При l = 0 утверждение теоремы следует из
теоремы 3. Пусть оно правильно при l - 1.
Докажем оценку
\| Ds
tu\| 2V 2m+l - s
0 (DT )
\leq C
2m\sum
k=0
\| Dk
t f\| 2V l
0 (DT )
(25)
при s = l, l - 1, . . . , 0 с постоянной C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Действительно, поскольку Dk
t f \in V l
0 (DT ) при k \leq 2m, то Dk
t f \in L2(DT ) при k \leq
\leq 2m + l - 1. С другой стороны, Dk
t f(x, 0) = 0 при k \leq l + 2m - 2. Следовательно, Dl+1
t u
принадлежит L2(DT ) согласно утверждению 2. Используя аргументы, аналогичные таковым
при доказательстве теоремы 3, получаем неравенство (25) при s = l.
Предположим, что (25) справедливо при s = l, l - 1, . . . , j + 1. Положим v = Dj
tu. Тогда v
удовлетворяет равенству
( - 1)m - 1Pv = Fj ,
где
Fj = vt +Dj
t f + ( - 1)m
j\sum
k=1
\biggl(
k
j
\biggr)
PtkD
j - k
t u.
Согласно индуктивной гипотезе по l получаем
j\sum
k=1
\biggl(
k
j
\biggr)
PtkD
j - k
t u \in V l - j
0 (DT ).
С другой стороны, в силу индуктивной гипотезы по s vt принадлежит V l - j
0 (DT ). Следова-
тельно, Fj принадлежит V l - j
0 (DT ). Поскольку имеется включение V l - j
0 (DT ) \subseteq V l - j - 1
- 1 (DT ),
то Fj принадлежит V l - j - 1
- 1 (DT ).
Теперь, повторяя рассуждения, аналогичные использованным при доказательстве теоре-
мы 3, убеждаемся, что v принадлежит V 2m+l - j - 1,0
- 1 (DT ). Из леммы 1 после интегрирования
по t на [0, T ] следует, что Dj
tu = v принадлежит V 2m+l - j,0
0 (DT ) и
\| Dj
tu\| 2V 2m+l - j,0
0 (DT )
\leq C
2m\sum
k=0
\| Dk
t f\| 2V l
0 (DT )
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (26)
Имеем следующее очевидное неравенство из определения весовых пространств:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА 917
\| Dj
tu\| 2V 2m+l - j
0 (DT )
\leq \| Dj+1
t u\| 2
V 2m+l - j - 1
0 (DT )
+ \| Dj
tu\| 2V 2m+l - j,0
0 (DT )
. (27)
Согласно индуктивной гипотезе по s из (25) получаем
\| Dj+1
t u\| 2
V 2m+l - j - 1
0 (DT )
\leq C
2m\sum
k=0
\| Dk
t f\| 2V l
0 (DT )
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
Из последней оценки и (26), (27) следует, что
\| Dj
tu\| 2V 2m+l - j
0 (DT )
\leq C
2m\sum
k=0
\| Dk
t f\| 2V l
0 (DT )
, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
При j = 0 получаем утверждение теоремы.
Теорема 6 доказана.
Замечание. Условия u(x, \cdot ) \in H2m
loc (\Omega \setminus M) или u \equiv 0 при r > R = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0 можно
пропускать для операторов с C\infty коэффициентами и для интегрируемых функций f, Dk
t f,
поскольку вдали от края M для решения краевой задачи справедливы результаты о дифферен-
цируемости решения для эллиптической задачи в гладких областях. Условие тривиальности для
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(\theta ) и \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A(\theta ) связано с однозначной разрешимостью краевой задачи с параметром \lambda ,
поэтому это условие часто можно проверить в приложениях.
Литература
1. М. С. Агранович, М. И. Вишик, Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида,
Успехи мат. наук, 19, вып. 3(117), 53 – 161 (1964).
2. В. А. Кондратьев, Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми
точками, Тр. Моск. мат. о-ва, 16, 209 – 292 (1967).
3. V. A. Kozlov, V. G. Maz’ya, J. Rossmann, Elliptic boundary value problems in domains with point singularities,
Math. Surveys and Monogr., 52, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island (1997).
4. V. G. Maz’ya, B. A. Plamenevskii, Lp estimates of solutions of elliptic boundary value problems in domains with
edges, Trans. Moscow Math. Soc., № 1, 49 – 97 (1980).
5. V. G. Maz’ya, J. Rossmann, Weighted Lp estimate of solutions to boundary value problems for second order elliptic
systems in polyhedral domains, Z. angew. Math. und Mech., 83, № 7, 435 – 467 (2003).
6. N. M. Hung, On the smoothness of solution of Dirichlet problem for hyperbolic systems in domains with conical or
angular points, Dokl. Akad. Nauk, 362, № 2, 161 – 164 (1998).
7. N. M. Hung, P. T. Duong, On the smoothness with respect to time variable of generalized solution with respect to time
variable of the first initial boundary-value problem for strongly parabolic systems in the cylinder with non-smooth
base, Ukr. Math. J., 56, № 1, 78 – 87 (2004).
8. N. M. Hung, P. T. Duong, On the smoothness of generalized solution for parabolic systems in domain with conic
point on boundary, Ukr. Math. J., 56, № 6, 857 – 864 (2004).
Получено 12.10.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1094 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:42Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/20/4a4226186de11cb9d249a41df02d5f20.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10942022-03-26T11:01:54Z Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains Начально-краевая задача для параболических систем в областях диэдрального типа Начально-краевая задача для параболических систем в областях диэдрального типа Duong, P. T. Зыонг, Ф. Ч. Зыонг, Ф. Ч. UDC 517.9 We present some results on the smoothness of the solution of the initial boundary-value problem for the parabolic system of partial differential equations $$u_t -(-1)^m P(x,t,D_x )u = f(x,t)\quad \text{in } \Omega_T := \Omega\times(0,T),$$ $$\frac{\partial^j u}{\partial \nu^j } = 0 \quad \text{on } (\partial\Omega \backslash M) \times (0, T)$$ $$u(x,0)=0, $$ in the domain $\Omega_T$ of dihedral type, where $P$ is an elliptic operator with variable coefficients. The dependence of the regularity of solutions on the distribution of eigenvalues for the corresponding spectral problems is shown. The obtained results are useful for understanding the asymptotics of the weak solution near the singular edge of dihedral domains. УДК 517.9 Наведено деякi результати щодо гладкостi розв'язку початково-крайової задачi для параболiчної системи рiвнянь з частинними похiдними $$u_t -(-1)^m P(x,t,D_x )u = f(x,t)\quad \text{в } \Omega_T := \Omega\times(0,T),$$ $$\frac{\partial^j u}{\partial \nu^j } = 0 \quad \text{на } (\partial\Omega \backslash M) \times (0, T)$$ $$u(x,0)=0, $$ в областi $\Omega_T$ дiедрального типу, де $P$ - еліптичний оператор iз змiнними коефiцiєнтами. Показано залежнiсть регулярностi розв'язкiв вiд розподiлу власних значень для вiдповiдних спектральних задач. Отриманi результати кориснi для розумiння асимптотики слабкого розв'язку поблизу сингулярного краю дiедральних областей. УДК 517.9 Наведено деякi результати щодо гладкостi розвз'язку початково-крайвої задачi для параболiчної системи рiвнянь з частинними похiдними $$u_t -(-1)^m P(x,t,D_x )u = f(x,t)\quad \text{в } \Omega_T := \Omega\times(0,T),$$ $$\frac{\partial^j u}{\partial \nu^j } = 0 \quad \text{на } (\partial\Omega \backslash M) \times (0, T)$$ $$u(x,0)=0, $$ в областi $\Omega_T$ дiедрального типу, де $P$ - елептичний оператор iз змiнними коефiцiєнтами. Показано залежнiсть регулярностi розв'язкiв вiд розподiлу власних значень для вiдповiдних спектральних задач. Отриманi результати кориснi для розумiння асимптотики слабкого розв'язку поблизу сингулярного краю дiедральних областей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-07-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1094 10.37863/umzh.v72i7.1094 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 7 (2020); 903-917 Український математичний журнал; Том 72 № 7 (2020); 903-917 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1094/8727 Copyright (c) 2020 Trieu Duong Pham |
| spellingShingle | Duong, P. T. Зыонг, Ф. Ч. Зыонг, Ф. Ч. Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains |
| title | Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains |
| title_alt | Начально-краевая задача для параболических систем в областях диэдрального типа Начально-краевая задача для параболических систем в областях диэдрального типа |
| title_full | Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains |
| title_fullStr | Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains |
| title_full_unstemmed | Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains |
| title_short | Initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains |
| title_sort | initial boundary-value problem for parabolic systems in dihedral domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1094 |
| work_keys_str_mv | AT duongpt initialboundaryvalueproblemforparabolicsystemsindihedraldomains AT zyongfč initialboundaryvalueproblemforparabolicsystemsindihedraldomains AT zyongfč initialboundaryvalueproblemforparabolicsystemsindihedraldomains AT duongpt načalʹnokraevaâzadačadlâparaboličeskihsistemvoblastâhdiédralʹnogotipa AT zyongfč načalʹnokraevaâzadačadlâparaboličeskihsistemvoblastâhdiédralʹnogotipa AT zyongfč načalʹnokraevaâzadačadlâparaboličeskihsistemvoblastâhdiédralʹnogotipa |