Weakly periodic ground states for the λ-model
For the $\lambda$-model on a Cayley tree of order $k\geq2,$ we describe a set of periodic and weakly periodic ground states that correspond to normal divisors of index 2 of the group representation of the Cayley tree.
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1095 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507146668474368 |
|---|---|
| author | Mukhamedov, Farrukh M. Rahmatullaev, Muzaffar M. Rasulova, M. A. Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон |
| author_facet | Mukhamedov, Farrukh M. Rahmatullaev, Muzaffar M. Rasulova, M. A. Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон |
| author_sort | Mukhamedov, Farrukh M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:40Z |
| description | For the $\lambda$-model on a Cayley tree of order $k\geq2,$ we describe a set of periodic and weakly periodic ground states that correspond to normal divisors of index 2 of the group representation of the Cayley tree. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i5.1095 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i5.1095
УДК 517.98 + 530.1
Ф. М. Мухамедов (Dep. Math. Sci., College Sci., The United Arab Emirates Univ., Al Ain, UAE),
М. М. Рахматуллаев, М. А. Расулова (Наманган. гос. ун-т, Узбекистан)
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ \bfitlambda -МОДЕЛИ
For the \lambda -model on a Cayley tree of order k \geq 2, we describe a set of periodic and weakly periodic ground states that
correspond to normal divisors of index 2 of the group representation of the Cayley tree.
Для \lambda -моделi на деревi Келi порядку k \geq 2 описано множину перiодичних i слабко перiодичних основних станiв,
що вiдповiдають нормальним дiльникам iндексу 2 групового зображення дерева Келi.
1. Введение. Известно, что фазовая диаграмма гиббсовских мер для данного гамильтониана
близка к фазовой диаграмме основных изолированных (устойчивых) состояний этого гамиль-
тониана. При низких температурах периодическому основному состоянию соответствует пе-
риодическая мера Гиббса (см. [1, 3, 15, 21]). Поэтому естественно возникает задача описания
периодических и слабо периодических основных состояний. Периодические основные состоя-
ния для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли порядка k = 2
изучены в работах [10, 19]. В работе [15] изучена слабо периодическая мера Гиббса для модели
Поттса. В работе [13] для модели Поттса изучены слабо периодические основные состояния
для нормального делителя индекса 2. Слабо периодические основные состояния для модели
Изинга с конкурирующими взаимодействиями описаны в работах [7, 8].
Модель Поттса в q-состоянии является одной из наиболее изученных моделей в статистиче-
ской механике из-за широкого теоретического интереса и практического применения [1, 2]. Мо-
дель Поттса [5] была введена в качестве обобщения модели Изинга для более чем двух компо-
нент и охватывает ряд проблем в статистической физике (см., например, [6]). В работе [14] для
модели Поттса на дереве Кэли получены некоторые явные формулы для свободных энергий и
энтропий. Кроме того, модель Поттса стала одной из важных моделей в статистической механи-
ке. Поэтому естественно рассматривать более общую модель, чем модель Поттса. Так, в работах
[17, 18] была предложена так называемая \lambda -модель (т. е. модель с ближайшими соседями, где
взаимодействия зависят от функции \lambda ), которая включает модель Поттса как частный случай,
т. е. \lambda -функция берется как \lambda (x, y) = J\delta x,y, где \delta — символ Кронекера. Эта \lambda -модель включает
разные возможные взаимодействия, которые невозможно охватить с моделями Поттса. Напри-
мер, модель Видома – Ровлинсона, в которой взаимодействие описывается функцией (см. [20])
\lambda (x, y) = J\delta xy +
\mathrm{l}\mathrm{n}(\mu )
\beta
| x - y| , x, y \in \{ 1, 2, 3\} , \mu > 0, \beta > 0.
Эта модель отличается от модели Поттса при \mu \not = 1, причем ее фазовая диаграмма богаче,
чем модель Поттса. Этот пример показывает, что рассматриваемая в данной статье модель яв-
ляется более общей, чем модель Видома – Ровлинсона, и имеет большую структуру основных
состояний [16].
В данной статье рассматривается \lambda -модель на дереве Кэли порядка k \geq 2. Целью этой
работы является описание периодических и слабо периодических основных состояний для
этой модели.
c\bigcirc Ф. М. МУХАМЕДОВ, М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, М. А. РАСУЛОВА, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5 667
668 Ф. М. МУХАМЕДОВ, М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, М. А. РАСУЛОВА
Полученные результаты, в частности, позволяют изучать структуру основных состояний для
упомянутой модели Видома – Ровлинсона. Более того, мы можем изучать свободную энергию
и фазовую диаграмму рассматриваемой \lambda -модели (см. [14]).
Следует отметить, что полученные результаты отличаются от результатов [16], поскольку
в упомянутой работе только описаны 1- и 2-периодические основные состояния, а в данной
статье мы находим более общие периодические и слабо периодические основные состояния
для \lambda -модели на произвольном дереве Кэли.
2. Определение и известные факты. Пусть \tau k = (V,L), k \geq 1, — дерево Кэли порядка
k \geq 1, где V — множество вершин, L — множество ребер \tau k.
Если x, y \in V являются концевыми точками некоторого ребра l \in L, то x, y называются
ближайшими соседями, и в этом случае мы будем писать l = \langle x, y\rangle .
Расстояние d(x, y), x, y \in V, на дереве Кэли вводится по формуле
d(x, y) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
d | \exists x = x0, x1, . . . , xd - 1, xd = y \in V, где \langle x0, x1\rangle , . . . , \langle xd - 1, xd\rangle
\bigr\}
.
Пусть Gk — групповое представление дерева Кэли (см., например, [7 – 12, 15]), т. е. Gk
является свободным произведением k+1 циклической группы второго порядка с образующими
a1, a2, . . . , ak+1 такими, что a2i = e, i = 1, 2, . . . , k + 1, где e \in Gk — единичный элемент.
Обозначим через S(x) множество „прямых потомков” точки x \in Gk, а через S1(x) множест-
во всех ближайших соседей точки x \in Gk, т. е. S1(x) = \{ y \in Gk : \langle x, y\rangle \} и x\downarrow = S1(x) \setminus S(x).
Рассмотрим модель, где спин принимает значения из множества \Phi = \{ 1, 2, . . . , q\} , q \geq
\geq 2. Конфигурация \sigma на V определяется как функция x \in V \rightarrow \sigma (x) \in \Phi ; множество всех
конфигураций совпадает с \Omega = \Phi V .
Определим G\ast
k -периодическую конфигурацию \sigma (x), которая является инвариантной отно-
сительно подгруппы G\ast
k \subset Gk конечного индекса, т. е. \sigma (yx) = \sigma (x) для любых x \in Gk,
y \in G\ast
k. Для данной периодической конфигурации индекс подгруппы называется периодом
конфигурации. Пусть Gk/G
\ast
k = \{ H1, . . . ,Hr\} — фактор-группа, где G\ast
k — нормальный дели-
тель индекса r \geq 1. Конфигурацию \{ \sigma (x), x \in V \} назовем G\ast
k -слабо периодической, если
\sigma (x) = \sigma ij при x\downarrow \in Hi, x \in Hj , для всех x \in Gk, т. е. значение конфигурации в x зависит не
от x, а от номера класса принадлежности x и x\downarrow .
Гамильтониан \lambda -модели имеет вид
H(\sigma ) =
\sum
\langle x,y\rangle
x,y\in V
\lambda (\sigma (x), \sigma (y)), (1)
\lambda (i, j) =
\left\{
a, если | i - j| = 2,
b, если | i - j| = 1,
c, если i = j,
где a, b, c \in R.
Замечание 1. Если a = b = 0 и c = J, то \lambda -модель редуцируется к модели Поттса.
3. Основные состояния. В этом пункте мы изучим и опишем возможные основные состо-
яния для \lambda -модели.
Для пары конфигураций \sigma и \varphi , совпадающих почти всюду, т. е. всюду, за исключением
конечного числа точек, рассмотрим относительный гамильтониан H(\sigma , \varphi ) — различие между
энергиями конфигурации \sigma , \varphi , т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ \lambda -МОДЕЛИ 669
H(\sigma , \varphi ) =
\sum
\langle x,y\rangle
x,y\in V
(\lambda (\sigma (x), \sigma (y)) - \lambda (\varphi (x), \varphi (y))). (2)
Пусть M — множество единичных шаров с вершинами в V. Назовем сужение конфигурации
\sigma на шаре b \in M ограниченной конфигурацией \sigma b. Определим энергию конфигурации \sigma b на b
следующим образом:
U(\sigma b) =
1
2
\sum
\langle x,y\rangle
x,y\in b
\lambda (\sigma (x), \sigma (y)). (3)
Известна следующая лемма [7, 10].
Лемма 1. Относительный гамильтониан (2) имеет вид
H(\sigma , \varphi ) =
\sum
b\in M
(U(\sigma b) - U(\varphi b)).
В этой работе мы рассмотрим случай q = 3, т. е. | \Phi | = 3. Через cb обозначим центр
единичного шара b и Bt = \{ x \in S1(cb) : \varphi b(x) = t\} для всех t \in \Phi .
Пусть \varphi b(cb) = d, | Bd| = i, | Bf | = n, тогда | Bg| = k + 1 - i - n, где d \not = f, d \not = g, f \not = g,
d, f, g \in \Phi . Легко доказать следующую лемму.
Лемма 2. Для каждой конфигурации \varphi b справедливо следующее:
U(\varphi b) \in
\bigl\{
Ui,n : i = 0, 1, . . . , k + 1, n = 0, 1, . . . , k + 1 - i
\bigr\}
,
где
Ui,n =
ia+ nb+ (k + 1 - i - n)c
2
. (4)
Определение 1. Конфигурация \varphi называется основным состоянием относительно га-
мильтониана H, если
U(\varphi b) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
Ui,n : i = 0, 1, . . . , k + 1, n = 0, 1, . . . , k + 1 - i
\bigr\}
для любого b \in M.
Обозначим Ci,n = \{ \varphi b : U(\varphi b) = Ui,n\} и
A\xi ,\eta =
\Bigl\{
(a, b, c) \in R3 : U\xi ,\eta = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
Ui,n : i = 0, 1, . . . , k + 1, n = 0, 1, . . . , k + 1 - i
\bigr\} \Bigr\}
. (5)
В случае k = 2 легко видеть, что U(\sigma b) \in \{ U0,0, U0,1, U0,2, U0,3, U1,0, U1,1, U1,2, U2,0, U2,1,
U3,0\} для любого \sigma b, где
U0,0 =
3c
2
, U0,1 =
b+ 2c
2
, U0,2 =
2b+ c
2
, U0,3 =
3b
2
, U1,0 =
a+ 2c
2
,
U1,1 =
a+ b+ c
2
, U1,2 =
a+ 2b
2
, U2,0 =
2a+ c
2
, U2,1 =
2a+ b
2
, U3,0 =
3a
2
.
С помощью (5) вычислим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
670 Ф. М. МУХАМЕДОВ, М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, М. А. РАСУЛОВА
A0,0 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : c \leq b \leq a
\bigr\}
\cup
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : c \leq a \leq b
\bigr\}
,
A0,1 = A0,2 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : b = c \leq a
\bigr\}
,
A0,3 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : b \leq c \leq a
\bigr\}
\cup
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : b \leq a \leq c
\bigr\}
,
A1,0 = A2,0 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a = c \leq b
\bigr\}
,
A1,1 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a = b = c
\bigr\}
, A1,2 = A2,1 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a = b \leq c
\bigr\}
,
A3,0 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a \leq b \leq c
\bigr\}
\cup
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a \leq c \leq b
\bigr\}
и R3 =
\bigcup
i,n
Ai,n.
При k \geq 3 аналогичным образом можно вычислить Ai,n, i = 0, 1, 2, . . . , k + 1, n =
= 0, 1, . . . , k + 1 - i:
A0,0 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : c \leq b \leq a
\bigr\}
\cup
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : c \leq a \leq b
\bigr\}
,
A0,1 = A0,2 = A0,3 = . . . = A0,k =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : b = c \leq a
\bigr\}
,
A0,k+1 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : b \leq c \leq a
\bigr\}
\cup
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : b \leq a \leq c
\bigr\}
,
A1,0 = A2,0 = . . . = Ak,0 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a = c \leq b
\bigr\}
,
A1,1 = A1,2 = . . . = A1,k - 1 = A2,1 = . . . = A2,k - 2 = . . .
. . . = Ak - 1,1 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a = b = c
\bigr\}
,
A1,k = A2,k - 1 = A3,k - 2 = . . . = Ak,1 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a = b \leq c
\bigr\}
,
Ak+1,0 =
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a \leq b \leq c
\bigr\}
\cup
\bigl\{
(a, b, c) \in R3 : a \leq c \leq b
\bigr\}
и R3 =
\bigcup
i,n
Ai,n.
4. Периодические основные состояния. Этот пункт посвящен описанию периодических
основных состояний для \lambda -модели.
Пусть A \subset \{ 1, 2, . . . , k + 1\} , HA =
\Bigl\{
x \in Gk :
\sum
j\in A
wj(x) — четно
\Bigr\}
, G
(2)
k = \{ x \in Gk :
| x| — четно\} где wj(x) — число aj в слове x. Отметим, что HA является нормальным делителем
индекса 2 в Gk (см. [15]). Заметим, что при A = \{ 1, 2, . . . , k + 1\} нормальный делитель HA
совпадает с G
(2)
k .
Рассмотрим фактор-группу Gk/HA = \{ H0, H1\} , где H0 = HA, H1 = Gk \setminus HA.
HA-периодические конфигурации имеют вид
\sigma (x) =
\left\{ \sigma 1, если x \in H0,
\sigma 2, если x \in H1,
где \sigma i \in \Phi , i = 1, 2.
Теорема 1. Пусть k \geq 3 и | A| = 1. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если | \sigma 1 - \sigma 2| = 0, то соответствующие конфигурации \sigma на множестве A0,0 являются
периодическими основными состояниями;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ \lambda -МОДЕЛИ 671
2) если | \sigma 1 - \sigma 2| = 1, то соответствующие конфигурации \sigma на множестве A0,1 являются
периодическими основными состояниями;
3) если | \sigma 1 - \sigma 2| = 2, то соответствующие конфигурации \sigma на множестве A1,0 являются
периодическими основными состояниями.
Доказательство. Докажем сначала первое утверждение. Рассмотрим
\varphi (x) =
\Biggl\{
i, если x \in H0,
i, если x \in H1,
где i \in \Phi . Тогда \varphi b \in C0,0, для любого b \in M. Следовательно, U(\varphi b) = U0,0 для любого
\varphi b \in M, т. е. соответствующие конфигурации \varphi на множестве A0,0 являются периодическими
основными состояниями.
Докажем второе утверждение. Рассмотрим
\varphi (x) =
\Biggl\{
i, если x \in H0,
j, если x \in H1,
где | i - j| = 1 и i, j \in \Phi .
Возможны следующие случаи:
1) cb \in H0, тогда \varphi b(cb) = i, | Bi| = k, | Bj | = 1, следовательно, \varphi b \in C0,1;
2) cb \in H1, тогда \varphi b(cb) = j, | Bi| = 1, | Bj | = k, следовательно, \varphi b \in C0,1.
Из этих случаев следует, что U(\varphi b) = U0,1 для любого \varphi b \in M. Следовательно, на множест-
ве A0,1 периодическая конфигурация \varphi (x) является периодическим основным состоянием.
Докажем теперь третье утверждение. Рассмотрим
\varphi (x) =
\Biggl\{
i, если x \in H0,
j, если x \in H1,
где | i - j| = 2 и i, j \in \Phi .
Возможны следующие случаи:
1) cb \in H0, тогда \varphi b(cb) = i, | Bi| = k, | Bj | = 1, следовательно, \varphi b \in C1,0;
2) cb \in H1, тогда \varphi b(cb) = j, | Bi| = 1, | Bj | = k, следовательно, \varphi b \in C1,0.
Из этих случаев следует, что U(\varphi b) = U1,0 для любого \varphi b \in M. Следовательно, на множест-
ве A1,0 периодическая конфигурация \varphi (x) является периодическим основным состоянием.
Теорема 1 доказана.
Замечание 2. Периодические основные состояния, указанные в пункте 1 теоремы 1, явля-
ются трансляционно-инвариантными.
5. Слабо периодические основные состояния. В этом пункте мы изучим слабо пери-
одические основные состояния (которые не являются периодическими). Заметим, что слабо
периодические основные состояния были введены в работе [7].
HA-слабо периодические конфигурации имеют вид
\varphi (x) =
\left\{
a00, если x\downarrow \in H0, x \in H0,
a01, если x\downarrow \in H0, x \in H1,
a10, если x\downarrow \in H1, x \in H0,
a11, если x\downarrow \in H1, x \in H1,
где aij \in \Phi , i, j \in \{ 0, 1\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
672 Ф. М. МУХАМЕДОВ, М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, М. А. РАСУЛОВА
Далее, для удобства HA-слабо периодическую конфигурацию \varphi (x), x \in Gk запишем в виде
\varphi = (a00, a01, a10, a11).
Пусть \varphi 1(x) = (n, n, n,m), \varphi 2(x) = (n, n,m, n), \varphi 3(x) = (n,m, n, n), \varphi 4(x) = (m,n, n, n),
\varphi 5(x) = (n, n,m,m), \varphi 6(x) = (n,m,m, n), где n,m \in \Phi , \varphi 7(x) = (1, 2, 2, 3), \varphi 8(x) =
= (2, 1, 3, 2), \varphi 9(x) = (3, 2, 2, 1), \varphi 10(x) = (2, 3, 1, 2).
Отметим, что слабо периодические основные состояния зависят от выбора нормального
делителя.
Замечание 3. Все конфигурации на множестве A1,1 являются основными состояниями.
Поэтому \=A = R3\setminus A1,1.
Теорема 2. При k = 2 и | A| = 2 справедливы следующие утверждения:
1.1) если | n - m| = 1, то HA-слабо периодические конфигурации \varphi i(x), i = 1, 2, . . . , 10,
на множестве A0,1 являются HA-слабо периодическими основными состояниями, не являю-
щимися периодическими или трансляционно-инвариантными;
1.2) если | n - m| = 2, то HA-слабо периодические конфигурации \varphi i(x), i = 1, 2, . . . , 6, на
множестве A1,0 являются HA-слабо периодическими основными состояниями, не являющи-
мися периодическими или трансляционно-инвариантными;
2) любые HA-слабо периодические конфигурации, кроме трансляционно-инвариантных, пе-
риодических и указанных в пп. 1.1, 1.2, на множестве \=A не являются HA-слабо периодическими
основными состояниями.
Доказательство. Докажем сначала утверждение 1.1. При | n - m| = 1 рассмотрим слабо
периодическую конфигурацию \varphi 1(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 3, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 1b \in C0,0;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 2, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 1b \in C0,1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 1, | Bm| = 2, следовательно,
\varphi 1b \in C0,2;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 2, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 1b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 1, | Bm| = 2, следовательно,
\varphi 1b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,0 \cap A0,1 \cap A0,2 = A0,1 конфигурация \varphi 1(x) является слабо периоди-
ческим основным состоянием.
Остальные случаи утверждения 1.1 доказываются аналогично.
Докажем утверждение 1.2. При | n - m| = 2 рассмотрим слабо периодическую конфигура-
цию \varphi 1(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 3, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 1b \in C0,0;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 2, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 1b \in C1,0.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ \lambda -МОДЕЛИ 673
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 1, | Bm| = 2, следовательно,
\varphi 1b \in C2,0;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 2, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 1b \in C2,0;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 1, | Bm| = 2, следовательно,
\varphi 1b \in C1,0.
Значит, на множестве A0,0 \cap A1,0 \cap A2,0 = A1,0 конфигурация \varphi 1(x) является слабо периоди-
ческим основным состоянием.
Остальные случаи утверждения 1.2 доказываются аналогично.
Перейдем к доказательству утверждения 2. Рассмотрим HA-слабо периодические конфи-
гурации, кроме трансляционно-инвариантных, периодических и описанных в пп. 1.1, 1.2. Рас-
суждая аналогично, легко доказать, что они на множестве \=A не являются HA-слабо периоди-
ческими основными состояниями.
Теорема 2 доказана.
Замечание 4. При k = 2, | A| = k + 1 нормальный делитель HA совпадает с G
(2)
k . Полу-
ченные результаты в частном случае описывают результаты [22].
Теперь рассмотрим случаи k \geq 3, | A| = 1.
Теорема 3. При k \geq 3 и | A| = 1 справедливы следующие утверждения:
1.1) если | n - m| = 1, то HA-слабо периодические конфигурации \varphi i(x), i = 1, 2, . . . , 10,
на множестве A0,1 являются HA-слабо периодическими основными состояниями, не являю-
щимися периодическими или трансляционно-инвариантными;
1.2) если | n - m| = 2, то HA-слабо периодические конфигурации \varphi i(x), i = 1, 2, . . . , 6, на
множестве A1,0 являются HA-слабо периодическими основными состояниями, не являющи-
мися периодическими или трансляционно-инвариантными;
2) любые HA-слабо периодические конфигурации, кроме трансляционно-инвариантных, пе-
риодических и указанных в пп. 1.1, 1.2, на множестве \=A не являются HA-слабо периодическими
основными состояниями.
Доказательство. Докажем сначала утверждение 1.1. При | n - m| = 1 рассмотрим слабо
периодическую конфигурацию \varphi 1(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 1b \in C0,0;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 1b \in C0,1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 1b \in C0,k;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 2, | Bm| = k - 1, следовательно,
\varphi 1b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 1b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,0 \cap A0,1 \cap A0,k \cap A0,2 = A0,1 конфигурация \varphi 1(x) является слабо
периодическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 2(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
674 Ф. М. МУХАМЕДОВ, М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, М. А. РАСУЛОВА
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 2b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 2b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 2b \in C0,0;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 2b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 2b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 2b \in C0,1;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 2b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 2b(cb) = m, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 2b \in C0,k+1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 2b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 2b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 2b \in C0,0;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 2b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 2b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 2b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,0 \cap A0,1 \cap A0,k+1 = A0,1 конфигурация \varphi 2(x) является слабо перио-
дическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 3(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 3b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 3b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 3b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 3b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 3b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 3b \in C0,0.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 3b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 3b(cb) = m, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 3b \in C0,k+1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 3b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 3b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 3b \in C0,1;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 3b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 3b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 3b \in C0,0.
Значит, на множестве A0,1 \cap A0,0 \cap A0,k+1 = A0,1 конфигурация \varphi 3(x) является слабо перио-
дическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 4(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 4b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 4b(cb) = m, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 4b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 4b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 4b(cb) = m, | Bn| = 2, | Bm| = k - 1, следовательно,
\varphi 4b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 4b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 4b(cb) = n, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 4b \in C0,k.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 4b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 4b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 4b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 4b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 4b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 4b \in C0,0.
Значит, на множестве A0,1 \cap A0,2 \cap A0,k \cap A0,0 = A0,1 конфигурация \varphi 4(x) является слабо
периодическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 5(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ \lambda -МОДЕЛИ 675
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 5b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 5b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 5b \in C0,0;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 5b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 5b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 5b \in C0,1;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 5b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 5b(cb) = m, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 5b \in C0,k.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 5b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 5b(cb) = n, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 5b \in C0,k;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 5b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 5b(cb) = m, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 5b \in C0,1;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 5b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 5b(cb) = m, | Bn| = 0, | Bm| = k + 1, следовательно,
\varphi 5b \in C0,0.
Значит, на множестве A0,0 \cap A0,1 \cap A0,k = A0,1 конфигурация \varphi 5(x) является слабо периоди-
ческим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 6(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 6b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 6b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 6b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 6b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 6b(cb) = n, | Bn| = k - 1, | Bm| = 2, следовательно,
\varphi 6b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 6b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 6b(cb) = m, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 6b \in C0,k+1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 6b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 6b(cb) = m, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 6b \in C0,k+1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 6b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 6b(cb) = n, | Bn| = k - 1, | Bm| = 2, следовательно,
\varphi 6b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 6b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 6b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 6b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,1 \cap A0,2 \cap A0,k+1 = A0,1 конфигурация \varphi 6(x) является слабо перио-
дическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 7(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 7b(cb\downarrow ) = 1, тогда \varphi 7b(cb) = 1, | B1| = k, | B2| = 1, | B3| = 0, следовательно,
\varphi 7b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 7b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 7b(cb) = 1, | B1| = k - 1, | B2| = 2, | B3| = 0, следова-
тельно, \varphi 7b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 7b(cb\downarrow ) = 3, тогда \varphi 7b(cb) = 2, | B1| = k, | B2| = 0, | B3| = 1, следовательно,
\varphi 7b \in C0,k+1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 7b(cb\downarrow ) = 1, тогда \varphi 7b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = 0, | B3| = k, следовательно,
\varphi 7b \in C0,k+1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 7b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 7b(cb) = 3, | B1| = 0, | B2| = 2, | B3| = k - 1, следова-
тельно, \varphi 7b \in C0,2;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
676 Ф. М. МУХАМЕДОВ, М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, М. А. РАСУЛОВА
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 7b(cb\downarrow ) = 3, тогда \varphi 7b(cb) = 3, | B1| = 0, | B2| = 1, | B3| = k, следовательно,
\varphi 7b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,1 \cap A0,2 \cap A0,k+1 = A0,1 конфигурация \varphi 7(x) является слабо перио-
дическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 8(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 8b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 8b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = k, | B3| = 0, следовательно,
\varphi 8b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 8b(cb\downarrow ) = 3, тогда \varphi 8b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = k - 1, | B3| = 1, следова-
тельно, \varphi 8b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 8b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 8b(cb) = 3, | B1| = 0, | B2| = k + 1, | B3| = 0, следова-
тельно, \varphi 8b \in C0,k+1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 8b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 8b(cb) = 1, | B1| = 0, | B2| = k + 1, | B3| = 0, следова-
тельно, \varphi 8b \in C0,k+1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 8b(cb\downarrow ) = 1, тогда \varphi 8b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = k - 1, | B3| = 1, следова-
тельно, \varphi 8b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 8b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 8b(cb) = 2, | B1| = 0, | B2| = k, | B3| = 1, следовательно,
\varphi 8b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,1 \cap A0,2 \cap A0,k+1 = A0,1 конфигурация \varphi 8(x) является слабо перио-
дическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 9(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 9b(cb\downarrow ) = 3, тогда \varphi 9b(cb) = 3, | B1| = 0, | B2| = 1, | B3| = k, следовательно,
\varphi 9b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 9b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 9b(cb) = 3, | B1| = 0, | B2| = 2, | B3| = k - 1, следова-
тельно, \varphi 9b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 9b(cb\downarrow ) = 1, тогда \varphi 9b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = 0, | B3| = k, следовательно,
\varphi 9b \in C0,k+1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 9b(cb\downarrow ) = 3, тогда \varphi 9b(cb) = 2, | B1| = k, | B2| = 0, | B3| = 1, следовательно,
\varphi 9b \in C0,k+1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 9b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 9b(cb) = 1, | B1| = k - 1, | B2| = 2, | B3| = 0, следова-
тельно, \varphi 9b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 9b(cb\downarrow ) = 1, тогда \varphi 9b(cb) = 1, | B1| = k, | B2| = 1, | B3| = 0, следовательно,
\varphi 9b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,1 \cap A0,2 \cap A0,k+1 = A0,1 конфигурация \varphi 9(x) является слабо перио-
дическим основным состоянием.
Рассмотрим слабо периодическую конфигурацию \varphi 10(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 10b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 10b(cb) = 2, | B1| = 0, | B2| = k, | B3| = 1, следователь-
но, \varphi 10b \in C0,1;
b) cb\downarrow \in H0 и \varphi 10b(cb\downarrow ) = 1, тогда \varphi 10b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = k - 1, | B3| = 1,
следовательно, \varphi 10b \in C0,2;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ \lambda -МОДЕЛИ 677
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 10b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 10b(cb) = 1, | B1| = 0, | B2| = k + 1, | B3| = 0,
следовательно, \varphi 10b \in C0,k+1.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 10b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 10b(cb) = 3, | B1| = 0, | B2| = k + 1, | B3| = 0,
следовательно, \varphi 10b \in C0,k+1;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 10b(cb\downarrow ) = 3, тогда \varphi 10b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = k - 1, | B3| = 1,
следовательно, \varphi 10b \in C0,2;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 10b(cb\downarrow ) = 2, тогда \varphi 10b(cb) = 2, | B1| = 1, | B2| = k, | B3| = 0, следователь-
но, \varphi 10b \in C0,1.
Значит, на множестве A0,1 \cap A0,2 \cap A0,k+1 = A0,1 конфигурация \varphi 10(x) является слабо перио-
дическим основным состоянием.
Докажем утверждение 1.2. При | n - m| = 2 рассмотрим слабо периодическую конфигура-
цию \varphi 1(x).
Пусть cb \in H0. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = k + 1, | Bm| = 0, следовательно,
\varphi 1b \in C0,0;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = k, | Bm| = 1, следовательно,
\varphi 1b \in C1,0.
Пусть cb \in H1. Возможны следующие случаи:
a) cb\downarrow \in H0 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = n, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 1b \in Ck,0;
b) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = n, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 2, | Bm| = k - 1, следовательно,
\varphi 1b \in C2,0;
c) cb\downarrow \in H1 и \varphi 1b(cb\downarrow ) = m, тогда \varphi 1b(cb) = m, | Bn| = 1, | Bm| = k, следовательно,
\varphi 1b \in C1,0.
Значит, на множестве A0,0 \cap A1,0 \cap Ak,0 \cap A2,0 = A1,0 конфигурация \varphi 1(x) является слабо
периодическим основным состоянием.
Остальные случаи утверждения 1.2 доказываются аналогично.
Перейдем к доказательству утверждения 2. Рассмотрим HA-слабо периодические конфи-
гурации, кроме трансляционно-инвариантных, периодических и описанных в пп. 1.1, 1.2. Рас-
суждая аналогично, легко доказать, что они на множестве \=A не являются HA-слабо периоди-
ческими основными состояниями.
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. При k \geq 3 и | A| = k справедливы следующие утверждения:
1.1) если | n - m| = 1, то HA-слабо периодические конфигурации \varphi i(x), i = 1, 2, . . . , 10,
на множестве A0,1 являются HA-слабо периодическими основными состояниями, не являю-
щимися периодическими или трансляционно-инвариантными;
1.2) если | n - m| = 2, то HA-слабо периодические конфигурации \varphi i(x), i = 1, 2, . . . , 6, на
множестве A1,0 являются HA-слабо периодическими основными состояниями, не являющи-
мися периодическими или трансляционно-инвариантными;
2) любые HA-слабо периодические конфигурации, кроме трансляционно-инвариантных, пе-
риодических и указанных в пп. 1.1, 1.2, на множестве \=A не являются HA-слабо периодическими
основными состояниями.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
678 Ф. М. МУХАМЕДОВ, М. М. РАХМАТУЛЛАЕВ, М. А. РАСУЛОВА
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
Авторы выражают глубокую благодарность профессору У. А. Розикову за полезные советы,
которые способствовали улучшению статьи.
Литература
1. Я. Г. Синай, Теория фазовых переходов. Строгие результаты, Наука, Москва (1980).
2. H. O. Georgii, Gibbs measures and phase transitions, de Gruyter Stud. Math., 9 (1988).
3. R. A. Minlos, Introduction to mathematical statistical physics, Univ. Lect. Ser., 19 (2000).
4. U. A. Rozikov, Gibbs measures on Cayley trees, World Sci. (2013).
5. R. B. Potts, Some generalized order-disorder transformations, Proc. Cambridge Phil. Soc., 48, 106 – 109 (1952).
6. F. Y. Wu, The Potts model, Rev. Modern Phys., 54, 235 – 268 (1982).
7. У. А. Розиков, М. М. Рахматуллаев, Слабо периодические основные состояния и меры Гиббса для модели
Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 160, № 3, 507 – 516 (2009).
8. M. M. Rahmatullaev, Description of weak periodic ground states of Ising model with competing interactions on
Cayley tree, Appl. Math. and Inf. Sci., 4, № 2, 237 – 241 (2010).
9. У. А. Розиков, М. М. Рахматуллаев, Описание слабо периодических мер Гиббса модели Изинга на дереве Кэли,
Теор. и мат. физика, 156, № 2, 292 – 302 (2008).
10. Г. И. Ботиров, У. А. Розиков, Модель Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли: контурный
метод, Теор. и мат. физика, 153, № 1, 86 – 97 (2007).
11. Н. Н. Ганиходжаев, У. А. Розиков, Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных
моделей на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 111, № 1, 109 – 117 (1997).
12. У. А. Розиков, Структуры разбиений на классы смежности группового представления дерева Кэли по нор-
мальным делителям конечного индекса и их применения для описания периодических распределений Гиббса,
Теор. и мат. физика, 112, № 1, 170 – 176 (1997).
13. М. М. Рахматуллаев, Слабо периодические меры Гиббса и основные состояния для модели Поттса с конку-
рирующими взаимодействиями на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 176, № 3, 477 – 493 (2013).
14. У. А. Розиков, М. М. Рахматуллаев, О свободных энергиях модели Поттса на дереве Кэли, Теор. и мат. физика,
190, № 1, 112 – 123 (2017).
15. М. М. Рахматуллаев, Слабо периодическая мера Гиббса для ферромагнитной модели Поттса на дереве Кэли,
Сиб. мат. журн., 56, № 5, 1163 – 1170 (2015).
16. Ф. М. Мухамедовa, Ч. Пах, Х. Джамиль, Основные состояния и фазовые переходы \lambda -модели на дереве Кэли,
Теор. и мат. физика, 194, № 2, 304 – 319 (2018).
17. У. А. Розиков, Описание предельных гиббсовских мер для \lambda -моделей на решетках Бете, Сиб. мат. журн., 39,
№ 2, 427 – 435 (1998).
18. F. M. Mukhamedov, On factor associated with the unordered phase of \lambda -model on a Cayley tree, Rep. Math. Phys.,
53, 1 – 18 (2004).
19. F. Mukhamedov, U. Rozikov, F. F. Mendes, On contour arguments for the three state Potts model with competing
interactions on a semi-infinite Cayley tree, J. Math. Phys., 48, Article 013301 (2007).
20. S. Kissеl, C. Kulske, U. A. Rozikov, Hard-core and soft-core Widom – Rowlinson models on Cayley trees, J. Stat.
Mech. (2019).
21. N. N. Ganikhodjaev, F. M. Mukhamedov, J. F. F. Mendes, On the three state Potts model with competing interactions
on the Bethe lattice, J. Stat. Mech., 2006, Article 8012 (2006).
22. M. M. Rahmatullaev, M. A. Rasulova, Periodic and weakly periodic ground states for the Potts model with competing
interactions on the Cayley tree, Sib. Adv. Math. 26, № 3, 215 – 229 (2016).
Получено 12.10.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1095 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:41Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/907c7375acd12d8a05512881ea7cc439.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-10952022-03-26T11:01:40Z Weakly periodic ground states for the λ-model Слабо периодические основные состояния для λ-модели Слабо периодические основные состояния для λ-модели Mukhamedov, Farrukh M. Rahmatullaev, Muzaffar M. Rasulova, M. A. Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон For the $\lambda$-model on a Cayley tree of order $k\geq2,$ we describe a set of periodic and weakly periodic ground states that correspond to normal divisors of index 2 of the group representation of the Cayley tree. УДК 517.98 + 530.1 Для $\lambda$-моделі на дереві Келі порядку $k\geq2$ описано множину періодичних і слабко періодичних основних станів, що відповідають нормальним дільникам індексу 2 групового зображення дерева Келі. Для $\lambda$-моделі на дереві Келі порядку $k\geq2$ описано множину періодичних і слабко періодичних основних станів, що відповідають нормальним дільникам індексу 2 групового зображення дерева Келі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-04-29 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1095 10.37863/umzh.v72i5.1095 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 5 (2020); 667–678 Український математичний журнал; Том 72 № 5 (2020); 667–678 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1095/8695 Copyright (c) 2020 Muzaffar Rahmatullaev |
| spellingShingle | Mukhamedov, Farrukh M. Rahmatullaev, Muzaffar M. Rasulova, M. A. Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон Мухамедов, Фаррух Максутович Рахматуллаев, Музаффар Мухаммаджанович Расулова, Мухайе Акбаржон Weakly periodic ground states for the λ-model |
| title | Weakly periodic ground states for the λ-model |
| title_alt | Слабо периодические основные состояния для λ-модели Слабо периодические основные состояния для λ-модели |
| title_full | Weakly periodic ground states for the λ-model |
| title_fullStr | Weakly periodic ground states for the λ-model |
| title_full_unstemmed | Weakly periodic ground states for the λ-model |
| title_short | Weakly periodic ground states for the λ-model |
| title_sort | weakly periodic ground states for the λ-model |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1095 |
| work_keys_str_mv | AT mukhamedovfarrukhm weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT rahmatullaevmuzaffarm weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT rasulovama weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT muhamedovfarruhmaksutovič weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT rahmatullaevmuzaffarmuhammadžanovič weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT rasulovamuhajeakbaržon weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT muhamedovfarruhmaksutovič weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT rahmatullaevmuzaffarmuhammadžanovič weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT rasulovamuhajeakbaržon weaklyperiodicgroundstatesforthelmodel AT mukhamedovfarrukhm slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT rahmatullaevmuzaffarm slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT rasulovama slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT muhamedovfarruhmaksutovič slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT rahmatullaevmuzaffarmuhammadžanovič slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT rasulovamuhajeakbaržon slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT muhamedovfarruhmaksutovič slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT rahmatullaevmuzaffarmuhammadžanovič slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli AT rasulovamuhajeakbaržon slaboperiodičeskieosnovnyesostoâniâdlâlmodeli |