The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape
UDC 517.9; 519.63 The ideas of the fictitious domain method and homotopy are combined with an aim to reduce the solution of boundary-value problems for multidimensional partial differential equations (PDE) in domains of any shape to an exponentially convergent sequence of PDEs in a parallelepiped (i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1101 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507148365070336 |
|---|---|
| author | V.L. Makarov Gavrilyuk, I. P. В. Л. Макаров Гаврилюк, И. П. В. Л. Макаров Гаврилюк, І. П. |
| author_facet | V.L. Makarov Gavrilyuk, I. P. В. Л. Макаров Гаврилюк, И. П. В. Л. Макаров Гаврилюк, І. П. |
| author_sort | V.L. Makarov |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-07T12:12:35Z |
| description | UDC 517.9; 519.63
The ideas of the fictitious domain method and homotopy are combined with an aim to reduce the solution of boundary-value problems for multidimensional partial differential equations (PDE) in domains of any shape to an exponentially convergent sequence of PDEs in a parallelepiped (in a rectangle, in the 2D case). This allows us to reduce the computational costs due to the elimination of the necessity of triangulation of the domain by a grid with $N$ inner nodes (e.g., the Delaunay algorithm in the 2D case requires ${\mathcal {O}}(N \log{N})$ operations). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9; 519.63
I. П. Гаврилюк (Дуальна вища школа Гера-Айзенах, ФРН),
В. Л. Макаров (Iн-т математики НАН України, Київ)
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ
ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА ДЛЯ БАГАТОВИМIРНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ В ОБЛАСТЯХ ДОВIЛЬНОЇ ФОРМИ
The ideas of the fictitious domain method and homotopy are combined with an aim to reduce the solution of boundary-value
problems for multidimensional partial differential equations (PDE) in domains of any shape to an exponentially convergent
sequence of PDEs in a parallelepiped (in a rectangle, in the 2D case). This allows us to reduce the computational costs
due to the elimination of the necessity of triangulation of the domain by a grid with N inner nodes (e.g., the Delaunay
algorithm in the 2D case requires \scrO (N \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N) operations).
У роботi поєднано iдеї методу фiктивних областей та гомотопiї з метою звести розв’язування багатовимiрних
задач для диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними в областях довiльної форми до експоненцiйно збiжної
послiдовностi цих задач у паралелепiпедi (або в прямокутнику для двовимiрного випадку). Це, зокрема, надає
можливiсть зменшувати об’єм обчислень за рахунок того, що немає необхiдностi триангуляцiї областi сiткою з
N внутрiшнiми вузлами (наприклад, алгоритм Delaunay у двовимiрному випадку потребує для цього \scrO (N \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N)
операцiй).
Вступ. У процесi розв’язання багатовимiрного диференцiального рiвняння з частинними похiд-
ними у деякiй областi довiльної форми внаслiдок геометрiї цiєї областi можуть виникати певнi
труднощi, якi потребують свого подолання. Якщо використовувати метод скiнченних елементiв,
таку область спочатку необхiдно триангулювати, а це ускладнює весь алгоритм розв’язання.
Наприклад, застосувавши у двовимiрному випадку алгоритм Delaunay для генерацiї сiтки з N
внутрiшнiми вузлами, отримаємо додатково кiлькiсть обчислювальних операцiй, пропорцiйну
\scrO (N \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N).
У зв’язку з вказаними геометричними труднощами виник метод фiктивних областей, в
якому вихiдна область довiльної форми занурюється в паралелепiпед, що легко покривається
багатовимiрною прямокутною сiткою, яку також при потребi можна легко, навiть тривiально,
подрiбнити. Цей пiдхiд дає можливiсть використовувати регулярнi сiтки, а отже, i спецiальнi
алгоритми розв’язку (солвери) та передобумовлювачi для задач iз складною геометрiєю [1]. Ме-
тод фiктивних областей в комбiнацiї з методом скiнченних рiзниць дозволяє, зокрема, суттєво
пiдвищити степiнь автоматизацiї програмування, значно полегшує перехiд вiд однiєї прикладної
задачi до iншої. Цi фактори технологiчностi вказаного методу в поєднаннi з методом скiнченних
рiзниць є особливо цiнними для створення пакетiв прикладних програм [1].
Метод фiктивних областей для довiльної областi \Omega вперше було застосовано до задачi типу
Lu(x) \equiv -
n\sum
i,j=1
\partial
\partial xi
\biggl(
aij(x)
\partial u
\partial xj
\biggr)
+ c(x)u = f(x), x = (x1, . . . , xn) \in \Omega ,
u(x) = 0, x \in \partial \Omega ,
(1)
з умовою aij(x) = aji(x), c(x) \geq 0 та умовою елiптичностi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in \Omega
n\sum
i,j=1
aij(x)\xi i\xi j \geq \mu
n\sum
i=1
\xi 2i
c\bigcirc I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2 191
192 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
з додатною i незалежною вiд довiльного вектора \xi = (\xi 1, . . . , \xi n) сталою \mu , де область \Omega
довiльної форми було вкладено в паралелепiпед R i сформульовано iншу задачу для нової
областi R з розв’язком, що апроксимував u(x) в \Omega [2].
Нехай \Omega 1 — доповнення \Omega до R, S — спiльна межа областей \Omega та \Omega 1 . У паралелепiпедi R
було розглянуто задачу
L\varepsilon v(x) \equiv -
n\sum
i,j=1
\partial
\partial xi
\biggl(
Aij(x)
\partial v
\partial xj
\biggr)
+ C(x)v = F (x), x = (x1, . . . , xn) \in R,
v(x) = 0, x \in \partial R,
[v(x)]S = 0,
\left[ n\sum
i,j=1
Aij(x) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\nu , xi)
\partial v
\partial xj
\right]
S
= 0,
де \nu є нормаллю до межi S, [\cdot ]S позначає стрибок функцiї на S . Коефiцiєнти диференцiально-
го рiвняння з частинними похiдними визначаються як продовження коефiцiєнтiв початкового
рiвняння на паралелепiпед:
Aij(x) =
\left\{
aij(x), x \in \Omega ,
0, x \in \Omega 1, i \not = j,
\varepsilon - 2, x \in \Omega 1, i = j,
C(x) =
\left\{ c(x), x \in \Omega ,
0, x \in \Omega 1,
F (x) =
\left\{ f(x), x \in \Omega ,
0, x \in \Omega 1.
У [3] було з’ясовано, що за певних умов гладкостi розв’язку u задачi (1) має мiсце оцiнка
точностi
\| u - v\| W 1
2 (\Omega ) \leq C\varepsilon . (2)
Бiльш тонкий аналiз у [4] показав, що оптимальною за порядком степеня \varepsilon оцiнкою є
\| u - v\| C(\Omega ) \leq C\varepsilon 2. (3)
Iдею методу фiктивних областей для диференцiального рiвняння з частинними похiдними в
подальшому було розвинено в багатьох публiкацiях (див., наприклад, [1, 5 – 11]). Однiєю з
перешкод для практичної реалiзацiї описаного пiдходу є те, що коефiцiєнти нової диференцi-
альної задачi в паралелепiпедi змiнюються у дiапазонi, що стає необмеженим при \varepsilon \rightarrow 0. Цю
складнiсть було подолано в роботах [12 – 14].
Оскiльки оцiнки (2), (3) вказують нa низьку точнiсть такого пiдходу, основною метою даної
роботи є усунення цього недолiку та побудова експоненцiйно збiжного алгоритму. Ми розгля-
даємо задачу (1) в деякiй областi довiльної форми. Щоб перейти до швидко (експоненцiйно)
збiжної послiдовностi задач у канонiчнiй областi (паралелепiпедi), використаємо двi iдеї. Пер-
ша — це iдея методу фiктивних областей, коли початкова задача наближено апроксимується
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 193
деякою iншою задачею в канонiчнiй областi (паралелепiпедi чи прямокутнику). Друга — iдея
гомотопiї в сенсi алгебраїчної топологiї, що формалiзує поняття неперервної деформацiї одного
об’єкта в iнший. У розглядуваному випадку це перехiд вiд простого об’єкта (крайової задачi
в паралелепiпедi) до складнiшого (крайової задачi в областi довiльної форми) через деякий
штучно введений неперервний параметр t з подальшим застосуванням алгоритму, що отримав
назву FD-метод i був запропонований у [15].
У данiй роботi перший пункт присвячено одновимiрнiй моделi, на якiй продемонстровано
поєднання методу фiктивних областей та гомотопiї. Доведено, що послiдовнiсть розв’язкiв
задач у канонiчнiй областi експоненцiйно збiгається до розв’язку початкової задачi. Показано,
що умов узгодження в канонiчнiй областi можна позбутися, вводячи дельта-функцiї Дiрака в
правiй частинi диференцiального рiвняння, що в результатi дає певнi алгоритмiчнi переваги. У
другому пунктi запропонований нами метод проаналiзовано для диференцiального рiвняння з
частинними похiдними у L-подiбнiй областi (як приклад полiгональної областi). Доведено, що
послiдовнiсть розв’язкiв такого методу експоненцiйно збiгається до розв’язку задачi з почат-
ковою областю. Для того щоб продемонструвати можливiсть застосування вказаного методу
для ще одного класу задач — задач на власнi значення, в останньому пунктi даної роботи ми
обмежимося одновимiрною модельною задачею i також доведемо експоненцiйну збiжнiсть для
запропонованого пiдходу. Багатовимiрний випадок буде розглянуто в окремiй публiкацiї.
1. Метод фiктивних областей та гомотопiї для модельної задачi в одновимiрному ви-
падку. Продемонструємо запропонований нами пiдхiд на такiй модельнiй задачi з [3] в областi
\Omega = [0, 1/2]:
d2u(x)
dx2
= - 2, x \in \Omega = (0, 1/2), u(0) = 0, u(1/2) = 0. (4)
Її точним розв’язком є
u(x) = x(1/2 - x).
Означимо гомотопiю в такий спосiб через iншу задачу з „канонiчною” областю [0, 1]:
\partial 2u(x, t)
\partial x2
- (1 - t)u(x, t) = F (x), x \in (0, 1), u(0, t) = 0, u(1, t) = 0,
F (x) =
\left\{ - 2, x \in [0, 1/2],
0, x \in (1/2, 1],
u(1/2 + 0, t) = u(1/2 - 0, t),
(1 - t)
\partial u(1/2 - 0, t)
\partial x
=
\partial u(1/2 + 0, t)
\partial x
.
(5)
Iншими словами, ми занурюємо початкову задачу в задачу для канонiчної областi R = [0, 1],
яка залежить вiд параметра гомотопiї t таким чином, що для t = 1 отримуємо початкову задачу.
Розв’язком задачi (5) буде
u(x, t) =
\left\{ a(t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(
\surd
1 - t x) + 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(
\surd
1 - t x) - 1
t - 1
, x \in [0, 1/2],
b(t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(
\surd
1 - t(1 - x)), x \in (1/2, 1],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
194 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
де
a(t) =
( - 2t+ 4) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}2
\biggl( \surd
1 - t
2
\biggr)
- 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl( \surd
1 - t
2
\biggr)
+ 2t - 2
(2 - t)(1 - t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
\biggl( \surd
1 - t
2
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl( \surd
1 - t
2
\biggr) ,
b(t) =
2
2 - t
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl( \surd
1 - t
2
\biggr)
- 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
\biggl( \surd
1 - t
2
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl( \surd
1 - t
2
\biggr) .
(6)
При цьому точний розв’язок початкової задачi одержуємо застосуванням граничного переходу
до (6) при t\rightarrow 1, i вiн має вигляд
u(x) = u(x, 1) =
\left\{
1
2
x - x2, x \in [0, 1/2],
0, x \in [1/2, 1].
Згiдно з iдеєю гомотопiї та FD-методу шукаємо розв’язок задачi гомотопiї (5) у виглядi ряду
u(x, t) =
\infty \sum
j=0
u(j)(x)tj . (7)
Пiдставляючи (7) у (5) та прирiвнюючи коефiцiєнти з однаковими степенями t, отримуємо таку
рекурентну послiдовнiсть задач у канонiчнiй областi:
d2u(j+1)(x)
dx2
- u(j+1)(x) = - u(j)(x), x \in (0, 1),
u(j+1)(0) = 0, u(j+1)(1) = 0,
u(j+1)(1/2 + 0) = u(j+1)(1/2 - 0),
du(j+1)(1/2 - 0)
dx
=
du(j+1)(1/2 + 0)
dx
+
du(j)(1/2 - 0)
dx
,
j = 0, 1, . . . .
(8)
Покладаючи t = 1, вибираємо за наближений розв’язок рангу N початкової задачi (4) скiнченну
суму
N
u(x) =
N\sum
j=0
u(j)(x). (9)
Члени цiєї суми u(j)(x) будемо називати поправками методу. Тут u(0)(x) є розв’язком так званої
базової задачi
d2u(0)(x)
dx2
- u(0)(x) = F (x), x \in (0, 1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 195
u(0)(0) = 0, u(0)(1) = 0,
який має вигляд
u(0)(x) = u(x, 0).
Бiльш зручною з алгоритмiчної точки зору є еквiвалентна форма задач (8) з дельта-функцiєю
Дiрака:
d2u(j+1)(x)
dx2
- u(j+1)(x) = - u(j)(x) - \delta (x - 1/2)
du(j)(1/2 - 0)
dx
,
x \in (0, 1), u(j+1)(0) = 0, u(j+1)(1) = 0.
(10)
Наслiдком задачi (8) є рекурентна система рiвнянь
u(j+1)(x) =
1\int
0
G(x, \xi )u(j)(\xi ) d\xi +G(x, 1/2)
du(j)(1/2 - 0)
dx
,
du(j+1)(1/2 - 0)
dx
=
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(1/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(1)
1\int
1/2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(1 - \xi )u(j)(\xi ) d\xi +
+
1
2
du(j)(1/2 - 0)
dx
, j = 0, 1, . . . ,
де G(x, \xi ) — функцiя Грiна диференцiального оператора задачi (10), для якої одержуємо
G(x, \xi ) =
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(1)
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(1 - \xi ), x \leq \xi ,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\xi ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(1 - x), \xi \leq x,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq x\leq 1
1\int
0
G(x, \xi ) d\xi =
1
8
.
Звiдси випливає система нерiвностей
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\|
C[0,1]
\leq 1
8
\bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\|
C[0,1]
+
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du(j)(1/2 - 0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , j = 0, 1, . . . ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du(j+1)(1/2 - 0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
2
\bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\|
C[0,1]
+
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du(j)(1/2 - 0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
(11)
Введемо мажорантнi величини uj , vj за допомогою нерiвностей
\bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\|
C[0,1]
\leq uj ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du(j)(1/2 - 0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq vj
i перейдемо до мажорантної системи рiвнянь у матрично-векторнiй формi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
196 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
\vec{}wj+1 = A\vec{}wj , j = 0, 1, . . . ,
де
A =
1
2
\Biggl(
1/4 1
1 1
\Biggr)
, \vec{}wj =
\Biggl(
uj
vj
\Biggr)
,
\bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\|
C[0,1]
\leq uj ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du(j)(1/2 - 0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq vj ,
u0 =
\bigm\| \bigm\| u(0)\bigm\| \bigm\|
C[0,1]
< 0,13, v0 =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du(0)(1/2 - 0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 0,25.
Матриця A симетрична, її власними значеннями є
\lambda 1 = 5/16 + (1/16)
\surd
73 = 0,8465002341 . . . ,
\lambda 2 = 5/16 - (1/16)
\surd
73 = - 0,2215002341 . . . .
Тепер оцiнки розв’язку системи (11) можна записати у виглядi\bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\|
C[0,1]
\leq M(\lambda 1)
j ,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| du(j)(1/2 - 0)
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M(\lambda 1)
j ,
M =
\sqrt{}
u20 + v20 = 0,29.
Звiдси випливає, що запропонований нами метод збiгається зi швидкiстю, не повiльнiшою за
геометричну прогресiю iз знаменником
r = \lambda 1 = 0,8465002341 . . . ,
причому має мiсце така оцiнка абсолютної похибки методу:\bigm\| \bigm\| \bigm\| u - N
u
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C[0,1]
\leq 0,29
rN
1 - r
. (12)
Отже, ми довели таке твердження.
Теорема 1. Наближений розв’язок (9) збiгається до точного розв’язку задачi (4) не по-
вiльнiше за геометричну прогресiю iз знаменником r, причому має мiсце оцiнка (12).
2. Метод фiктивних областей та гомотопiї для полiгональної областi у двовимiрному
випадку. Нехай область D1 є полiгональною зi сторонами, паралельними координатним осям.
За розширену канонiчну область R з межею \partial R, що мiстить D1, виберемо найменший прямо-
кутник, який охоплює D1 . Не обмежуючи загальностi, будемо вважати, що D1 є L-подiбною
областю з межею \partial D1 . У загальному випадку додаються лише суто технiчнi ускладнення.
Розглянемо задачу
Lu = - \Delta u(x, y) = f(x, y), (x, y) \in D1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 197
u(x, y) = 0, (x, y) \in \partial D1.
Вона мiститься в такiй гомотопiї для t = 1:
- \Delta u(t, x, y) + (1 - t)cu(x, y) = F (x, y), (x, y) \in R,
u(t, x, y) = 0, (x, y) \in \partial R,
F (x, y) =
\left\{ f(x, y), (x, y) \in D1,
0, (x, y) \in D2 = R\setminus D1,
з умовами узгодження
u(t, 1/2 + 0, y) - u(t, 1/2 - 0, y) = 0, y \in (1/2, 1),
u(t, x, 1/2 + 0) - u(t, x, 1/2 - 0) = 0, x \in (1/2, 1),
\partial u(t, 1/2 + 0, y)
\partial x
- (1 - t)
\partial u(t, 1/2 - 0, y)
\partial x
= 0, y \in (1/2, 1),
\partial u(t, x, 1/2 + 0)
\partial y
- (1 - t)
\partial u(t, x, 1/2 - 0)
\partial y
= 0, x \in (1/2, 1).
Тут c — деяка додатна стала, яку в подальшому буде вибрано таким чином, щоб даний метод
був збiжним.
Далi аналогiчно до одновимiрного випадку для поправок u(j) з (9), якi тепер залежать вiд
двох просторових змiнних x, y, отримуємо рекурентну систему
- \Delta u(j+1)(x, y) + cu(j+1)(x, y) = cu(j)(x, y), (x, y) \in R,
u(j+1)(x, y) = 0, (x, y) \in \partial R,
u(j+1)(1/2 + 0, y) - u(j+1)(1/2 - 0, y) = 0, y \in (1/2, 1),
u(j+1)(x, 1/2 + 0) - u(j+1)(x, 1/2 - 0) = 0, x \in (1/2, 1),
\partial u(j+1)(1/2 + 0, y)
\partial x
- \partial u(j+1)(1/2 - 0, y)
\partial x
=
= - \partial u
(j)(1/2 - 0, y)
\partial x
, y \in (1/2, 1),
\partial u(j+1)(x, 1/2 + 0)
\partial y
- \partial u(j+1)(x, 1/2 - 0)
\partial y
=
= - \partial u
(j)(x, 1/2 - 0)
\partial y
, x \in (1/2, 1).
(13)
Для неї маємо iнтегральний наслiдок
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
198 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
-
\int \int
R
\Delta u(j+1)(x, y)u(j+1)(x, y) dydx+ c
\int \int
R
[u(j+1)(x, y)]2dydx =
= c
\int \int
R
u(j+1)(x, y)u(j)(x, y) dydx,
R = [0, 1]\times [0, 1], D2 = [1/2, 1]\times [1/2, 1], D1 = R\setminus D2.
Пiсля iнтегрування частинами i врахування умов узгодження з (13) отримаємо\int \int
R
\bigl[
\nabla u(j+1)(x, y)
\bigr] 2
dydx+ c
\int \int
R
\bigl[
u(j+1)(x, y)
\bigr] 2
dy dx =
=
1\int
1/2
\partial u(j)(1/2 - 0, y)
\partial x
u(j+1)(1/2, y) dy+
+
1\int
1/2
\partial u(j)(x, 1/2 - 0)
\partial y
u(j+1)(x, 1/2) dx+
+c
\int \int
R
u(j+1)(x, y)u(j)(x, y) dy dx. (14)
Перш нiж перейти до оцiнок, наведемо допомiжнi викладки
J1 =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1/2
\partial u(j)(1/2 + 0, y)
\partial x
u(j+1)(1/2, y) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1/2
1\int
1/2
\left[ x\int
1/2
\partial 2u(j)(\xi , y)
\partial \xi 2
d\xi
\right] dxu(j+1)(1/2, y) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1/2
1\int
1/2
\partial u(j)(x, y)
\partial x
dxu(j+1)(1/2, y) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1/2
1\int
1/2
\left[ x\int
1/2
\partial 2u(j)(\xi , y)
\partial \xi 2
d\xi
\right] dx 1\int
1/2
x\int
1/2
\partial u(j+1)(\xi , y)
\partial \xi
d\xi dx dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1/2
1\int
1/2
\left[ x\int
1/2
\partial 2u(j)(\xi , y)
\partial \xi 2
d\xi
\right] dx 1\int
1/2
u(j+1)(x, y) dx dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 2
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 2u(j)\partial x2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
\Biggl(
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial u(j+1)
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
+ \| u(j+1)\| D2
\Biggr)
. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 199
За аналогiєю
J2 =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1/2
\partial u(j) (x, 1/2 + 0)
\partial y
u(j+1)(x, 1/2) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 2
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 2u(j)\partial y2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
\Biggl(
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial u(j+1)
\partial y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
+
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\|
D2
\Biggr)
. (16)
Iз (15), (16) одержуємо
J1 + J2 \leq
2
3
\bigm\| \bigm\| \Delta u(j)\bigm\| \bigm\|
D2
\Biggl(
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial u(j+1)
\partial y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
+
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial u(j+1)
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
+
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\|
D2
\Biggr)
\leq
\leq 2c
3
\Bigl( \bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\|
D2
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(j - 1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
R
\Bigr) \biggl( 1
3
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j+1)
\bigm\| \bigm\|
D2
+ 2
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\|
D2
\biggr)
\leq
\leq 2c
3
\biggl(
1
2
\surd
2
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j)\bigm\| \bigm\|
D2
+
1
2\pi 2
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j - 1)
\bigm\| \bigm\|
R
\biggr) \biggl(
1
3
+
1\surd
2
\biggr) \bigm\| \bigm\| \nabla u(j+1)
\bigm\| \bigm\|
D2
\leq
\leq 2c
3
\biggl(
1
3
+
1\surd
2
\biggr) \biggl( \bigm\| \bigm\| \nabla u(j+1)
\bigm\| \bigm\| 2
D2
+
1
16
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j)\bigm\| \bigm\| 2
D2
+
1
8\pi 4
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j - 1)
\bigm\| \bigm\| 2
R
\biggr)
. (17)
Тут ми використали нерiвностi
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\|
D2
\leq 1
2
\surd
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial u(j+1)
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
,
\bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\|
D2
\leq 1
2
\surd
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial u(j)\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D2
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 2u(j)\partial x2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
D2
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 2u(j)\partial y2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
D2
\leq
\bigm\| \bigm\| \Delta u(j)\bigm\| \bigm\| 2
R
.
Враховуючи (17), iз (14) отримуємо\bigm\| \bigm\| \nabla u(j+1)
\bigm\| \bigm\| 2
R
\leq \mu (A)
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j)\bigm\| \bigm\| 2
R
+ \nu (A)
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j - 1)
\bigm\| \bigm\| 2
R
,
j = 0, 1, . . . ,
\bigm\| \bigm\| \nabla u( - 1)
\bigm\| \bigm\|
R
= 0,\bigm\| \bigm\| \nabla u(1)\bigm\| \bigm\|
R
\leq c
8
\Bigl(
1 - c
8
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \nabla u(0)\bigm\| \bigm\|
R
\leq c
7
\bigm\| \bigm\| \nabla u(0)\bigm\| \bigm\|
R
, c < 1,
\mu (A) =
\biggl[
1 - c
\biggl(
2
9
+
2
3
\surd
2
+
1
16
\biggr) \biggr] - 1\biggl( 1
72
+
1
24
\surd
2
+
1
16
\biggr)
c, (18)
\nu (A) =
\biggl[
1 - c
\biggl(
2
9
+
2
3
\surd
2
+
1
16
\biggr) \biggr] - 1\biggl( 1
3
+
1\surd
2
\biggr)
1
12\pi 4
c,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\mu (A)/c =
1
16
\biggl(
1 +
2
3
\biggl(
1
3
+
1\surd
2
\biggr) \biggr)
= 0,1058516714 . . . ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow 0
\nu (A)/c =
1
12\pi 4
\biggl(
1
3
+
1\surd
2
\biggr)
= 0,8900949783 . . . \cdot 10 - 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
200 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
З рекурентної послiдовностi нерiвностей (18) випливає оцiнка
\bigm\| \bigm\| \nabla u(j)\bigm\| \bigm\| 2
R
\leq \mu (A)
\bigm\| \bigm\| \nabla u(0)\bigm\| \bigm\| 2
R
7
\sqrt{}
\mu (A)2 + 4\nu (A)
\times
\times
\biggl\{ \biggl[
- 7
2
\mu (A) + c+
7
2
\sqrt{}
\mu (A)2 + 4\nu (A)
\biggr]
\kappa j -
-
\biggl[
- 7
2
\mu (A) + c - 7
2
\sqrt{}
\mu (A)2 + 4\nu (A)
\biggr]
( - \kappa 1)j
\biggr\}
,
\kappa =
2\nu (A)
- \mu (A) +
\sqrt{}
\mu (A)2 + 4\nu (A)
,
\kappa 1 =
2\nu (A)
\mu (A) +
\sqrt{}
\mu (A)2 + 4\nu (A)
,
i якщо c\rightarrow 0, то
| \kappa | =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu (A) +
\sqrt{}
\mu 2(A) + 4\nu (A)
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rightarrow 0,
| \kappa 1| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - \mu (A) +
\sqrt{}
\mu 2(A) + 4\nu (A)
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \rightarrow 0.
Звiдси робимо висновок, що iснує таке додатне достатньо мале c, для якого запропонований
нами метод буде експоненцiйно збiжним, тобто доведено наступне твердження.
Теорема 2. Для достатньо малого c, для якого виконується нерiвнiсть
r = r(c) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu (A) +
\sqrt{}
\mu 2(A) + 4\nu (A)
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1,
метод фiктивних областей у L-подiбнiй областi збiгається експоненцiйно, а саме, iз швидкiс-
тю геометричної прогресiї iз знаменником r, при цьому має мiсце оцiнка похибки\bigm\| \bigm\| \bigm\| \nabla (u - N
u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
D1
\leq rN+1
1 - r
\bigm\| \bigm\| \nabla u(0)\bigm\| \bigm\|
D1
.
Використовуючи дельта-функцiю Дiрака, можна запропонувати такий варiант описаного
методу:
- \Delta u(j+1)(x, y) + cu(j+1)(x, y) = F (j+1)(x, y), (x, y) \in R,
u(j+1)(x, y) = 0, (x, y) \in \partial R,
F (j+1)(x, y) = cu(j)(x, y)+
+
\partial u(j) (1/2 - 0, y)
\partial x
\delta (x - 1/2) +
\partial u(j) (x, 1/2 - 0)
\partial y
\delta (y - 1/2), (x, y) \in R,
що не мiстить умови узгодження i тому має алгоритмiчнi переваги. Для такого пiдходу iнте-
гральний наслiдок (14) не змiнюється, а всi викладки, пов’язанi з доведенням збiжностi методу
та оцiнкою його точностi, залишаються правильними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 201
3. Метод фiктивних областей та гомотопiї для спектральних задач. У цьому пунктi ми
проiлюструємо метод фiктивних областей та гомотопiї на модельнiй одновимiрнiй задачi на
власнi значення.
Розглянемо задачу
d2u(x)
dx2
+ (\lambda - q(x))u(x) = 0, x \in
\biggl(
0,
1
2
\biggr)
,
u(0) = 0, u
\biggl(
1
2
\biggr)
= 0.
(19)
Зануримо її у бiльш загальну задачу
\partial 2u(x, t)
\partial x2
+ (\lambda (t) - 1 + t - tq(x))u(x, t) = 0 \forall t \in [0, 1], x \in (0, 1) ,
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0,
з умовами узгодження
u(1/2 + 0, t) = u(1/2 - 0, t),
(1 - t)
\partial u(1/2 - 0, t)
\partial x
=
\partial u(1/2 + 0, t)
\partial x
,
яка є означенням гомотопiї. Тут q(x) — неперервна невiд’ємна функцiя на [0, 1].
Аналогiчно до випадку крайової задачi шукаємо наближений розв’язок у виглядi (9), при
цьому для поправок отримуємо таку послiдовнiсть рекурентних задач:
d2u
(j+1)
l (x)
dx2
+ [\lambda (0) - 1]u
(j+1)
l (x) = f
(j+1)
l (x), x \in (0, 1/2) ,
u
(j+1)
l (0) = 0,
f
(j+1)
l (x) = -
j\sum
p=0
\lambda (j+1 - p)u
(p)
l (x) + [q(x) - 1]u
(j)
l (x),
(20)
d2u
(j+1)
p (x)
dx2
+ [\lambda (0) - 1]u(j+1)
p (x) = f (j+1)
p (x), x \in (1/2, 1),
u(j+1)
p (1) = 0,
f (j+1)
p (x) = -
j\sum
k=0
\lambda (j+1 - k)u(k)p (x) + [q(x) - 1]u(j)p (x),
(21)
з умовами узгодження
u(j+1)
p (1/2) = u
(j+1)
l (1/2),
du
(j+1)
p (1/2)
dx
=
du
(j+1)
l (1/2)
dx
-
du
(j)
l (1/2)
dx
(22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
202 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
та умовою однозначної розв’язностi
1\int
0
u(j+1)(x)u(0)(x) dx = 0, j = 0, 1, . . . , (23)
де
u(j+1)(x) =
\left\{ u
(j+1)
l (x), x \in [0, 1/2],
u
(j+1)
p (x), x \in (1/2, 1],
j = - 1, 0, 1, . . . .
Верхньому iндексу j = 0 вiдповiдає базова задача
d2ul
(0)(x)
dx2
+ [\lambda (0) - 1]ul
(0)(x) = 0, x \in (0, 1/2),
u
(0)
l (0) = 0,
d2u
(0)
p (x)
dx2
+ [\lambda (0) - 1]u(0)p (x) = 0, x \in (1/2, 1),
u(0)p (1) = 0,
(24)
та умови узгодження
u(0)p (1/2) = u
(0)
l (1/2),
du
(0)
p (1/2)
dx
=
du
(0)
l (1/2)
dx
.
(25)
Наближений алгоритм, що пропонується, полягає в обчисленнi апроксимацiї рангу N до n-ї
власної пари (\lambda n, un) для заданого n (там, де це не викликає непорозумiнь, номер власної пари
будемо пропускати):
N
\lambda =
N\sum
j=0
\lambda (j),
N
u =
N\sum
j=0
u(j).
(26)
Рiвняння (24) мають такi розв’язки:
u
(0)
l (x) = a0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl( \sqrt{}
\lambda (0) - 1x
\Bigr)
, up
(0)(x) = b0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl( \sqrt{}
\lambda (0) - 1 (1 - x)
\Bigr)
.
Довiльнi сталi a0, b0 знаходимо з умов узгодження (25), що приводять до однорiдної системи
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl( \sqrt{}
\lambda (0) - 1
2
\Biggr)
(a0 - b0) = 0,
\sqrt{}
\lambda (0) - 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Biggl( \sqrt{}
\lambda (0) - 1
2
\Biggr)
(a0 + b0) = 0.
(27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 203
Наведена однорiдна лiнiйна алгебраїчна система буде мати нетривiальний розв’язок тодi i тiльки
тодi, коли її визначник дорiвнює нулю, тобто коли \lambda 0 є коренем рiвняння
\Delta (\lambda (0)) = 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl( \sqrt{}
\lambda (0) - 1
2
\Biggr) \sqrt{}
\lambda (0) - 1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Biggl( \sqrt{}
\lambda (0) - 1
2
\Biggr)
= 0. (28)
На основi (27), (28) знаходимо один iз розв’язкiв, який є найближчим до найменшого власного
значення початкової задачi (19):
b0 = - a0, \lambda (0) = 4\pi 2 + 1, u(0)(x) = a0 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x).
Довiльну сталу a0 знаходимо з умови нормування\bigm\| \bigm\| u(0)(x)\bigm\| \bigm\| = 1
i в результатi отримуємо
a0 =
\surd
2.
З першої з умов (22) одержимо \lambda (j+1) таким чином. Спочатку знайдемо розв’язки задач (20),
(21):
u
(j+1)
l (x) = aj+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x) +
1
2\pi
x\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (x - \xi )) f
(j+1)
l (\xi ) d\xi =
= aj+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x) - \lambda (j+1)
\surd
2
8\pi 2
\bigl[
- 2\pi x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi x) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x)
\bigr]
+
+
1
2\pi
x\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (x - \xi ))
\left\{ -
j\sum
p=1
\lambda (j+1 - p)u
(p)
l (\xi ) +
+ [q(\xi ) - 1]u
(j)
l (\xi )
\right\} d\xi ,
(29)
up
(j+1)(x) = bj+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (1 - x)) - 1
2\pi
1\int
x
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (x - \xi )) fp
(j+1)(\xi ) d\xi =
= bj+1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (1 - x)) - \lambda (j+1)
\surd
2
8\pi 2
\bigl[
2\pi (1 - x) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi x) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x)
\bigr]
-
- 1
2\pi
1\int
x
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (x - \xi ))
\Biggl\{
-
j\sum
k=1
\lambda (j+1 - k)u(k)p (\xi ) +
+ [q(\xi ) - 1]u(j)p (\xi )
\right\} d\xi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
204 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
Перша з умов узгодження (22) приводить до спiввiдношення
1/2\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi \xi )fl
(j+1)(\xi ) d\xi +
1\int
1/2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi \xi )fp
(j+1)(\xi ) d\xi = 0,
звiдки й отримуємо \lambda (j+1) :
\lambda (j+1) =
1\int
0
q(\xi )u(j)(\xi )u(0)(\xi ) d\xi . (30)
Друга умова узгодження приводить до спiввiдношення
bj+1 + aj+1 = \varphi (j+1),
(31)
\varphi (j+1) = - 1
2\pi
\left[ 1/2\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi \xi )f
(j+1)
l (\xi ) d\xi +
1\int
1/2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi \xi )fp
(j+1)(\xi ) d\xi
\right] ,
яке доповнюємо наслiдком з умови ортогональностi (23):
aj+1
1/2\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x)u
(0)
l (x) dx+
+
1/2\int
0
x\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (x - \xi ))
2\pi
f
(j+1)
l (\xi ) d\xi u
(0)
l (x) dx -
- bj+1
1\int
1/2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x)u(0)p (x) dx -
-
1\int
1/2
1\int
x
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (2\pi (x - \xi ))
2\pi
f (j+1)
p (\xi ) d\xi u(0)p (x) dx = 0
або
- bj+1 + aj+1 = \psi (j+1),
(32)
\psi (j+1) = -
1/2\int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\pi \xi ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(\pi \xi )
\pi 2
f
(j+1)
l (\xi ) d\xi -
1\int
1/2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\pi \xi ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(\pi \xi )
\pi 2
f (j+1)
p (\xi ) d\xi .
Враховуючи (31), (32), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 205
aj+1 =
1
2
\Bigl(
\varphi (j+1) + \psi (j+1)
\Bigr)
, bj+1 =
1
2
\Bigl(
\varphi (j+1) - \psi (j+1)
\Bigr)
,
| aj+1| , | bj+1| \leq | \varphi j+1| + | \psi j+1| \leq
\surd
2
\biggl(
1
4
+
1
\pi 2
\biggr) \Bigl( \bigm\| \bigm\| f (j+1)
l
\bigm\| \bigm\| + \bigm\| \bigm\| f (j+1)
p
\bigm\| \bigm\| \Bigr) . (33)
З (29) та (33) маємо такi оцiнки:\bigm\| \bigm\| u(j+1)
l
\bigm\| \bigm\| \leq 1\surd
2
\biggl[
| aj+1| +
1
4\pi
\bigm\| \bigm\| f (j+1)
l
\bigm\| \bigm\| \biggr] \leq
\leq
\Biggl(
1
4
+
1
\pi 2
+
\surd
2
8\pi
\Biggr) \bigm\| \bigm\| f (j+1)
l
\bigm\| \bigm\| + \biggl( 1
4
+
1
\pi 2
\biggr) \bigm\| \bigm\| f (j+1)
p
\bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
p
\bigm\| \bigm\| \leq 1\surd
2
\biggl[
| bj+1| +
1
4\pi
\bigm\| \bigm\| f (j+1)
p
\bigm\| \bigm\| \biggr] \leq
\leq
\Biggl(
1
4
+
1
\pi 2
+
\surd
2
8\pi
\Biggr) \bigm\| \bigm\| f (j+1)
p
\bigm\| \bigm\| + \biggl( 1
4
+
1
\pi 2
\biggr) \bigm\| \bigm\| f (j+1)
l
\bigm\| \bigm\| .
Тепер ми можемо отримати оцiнку\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| ul(j+1)
\bigm\| \bigm\| + \bigm\| \bigm\| u(j+1)
p
\bigm\| \bigm\| \leq A
\bigm\| \bigm\| f (j+1)
\bigm\| \bigm\| ,
A =
1
2
+
2
\pi 2
+
\surd
2
8\pi
< 1,1.
(34)
З огляду на (30), (34) робимо висновок, що
| \lambda (j+1)| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [0,1]
\bigm| \bigm| q(x)\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\| ,
\bigm\| \bigm\| f (j+1)
\bigm\| \bigm\| \leq
\surd
2
j\sum
p=1
\bigm| \bigm| \lambda (j+1 - p)
\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| u(p)\bigm\| \bigm\| +\surd
2 \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [0,1]
\bigm| \bigm| q(x)\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| u(j)\bigm\| \bigm\| .
Звiдси випливає рекурентна система нерiвностей
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\| \leq \rho
j\sum
p=0
\bigm\| \bigm\| u(j - p)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| u(p)\bigm\| \bigm\| ,
\rho =
\surd
2A \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [0,1]
\bigm| \bigm| q(x)\bigm| \bigm| , j = 0, 1, . . . ,
\bigm\| \bigm\| u(0)\bigm\| \bigm\| = 1.
Щоб розв’язати цю систему, перейдемо до рекурентної мажорантної системи рiвнянь
Uj+1 = \rho
\left\{
j\sum
p=0
Uj - pUp
\right\} , j = 0, 1, . . . ,
i застосуємо метод твiрних функцiй. Використовуючи позначення
f(z) =
\infty \sum
j=0
zjUj
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
206 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
i попередню систему, отримуємо рiвняння
\rho zf(z)2 - f(z) + 1 = 0.
Розв’язок цього рiвняння, який задовольняє умову f(0) = 1, визначається за формулою
f(z) =
1
2\rho z
\Bigl\{
1 -
\sqrt{}
1 - 4\rho z
\Bigr\}
. (35)
Функцiя (35) матиме дiйснi значення для будь-якого z \in [0, 1], якщо буде виконуватись нерiв-
нiсть
1 - 4\rho z \geq 0 \forall z \in [0, 1],
тобто якщо
\rho \leq 1/4.
Отже, за цiєї умови запропонований нами метод буде збiжним. Використовуючи вiдомi резуль-
тати щодо розв’язку рiвнянь та нерiвностей типу згортки [16, 17], одержуємо оцiнку
\bigm\| \bigm\| u(j+1)
\bigm\| \bigm\| \leq Uj+1 \leq
rj+1
(j + 2)
\sqrt{}
\pi (j + 1)
, r = 4
\surd
2A \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [0,1]
\bigm| \bigm| q(x)\bigm| \bigm| ,
а також спiввiдношення
\bigm| \bigm| \bigm| \lambda -
N
\lambda
\bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda -
N\sum
j=0
\lambda (j)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in [0,1]
\bigm| \bigm| q(x)\bigm| \bigm|
1 - r
rN
(N + 1)
\surd
\pi N
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u - N
u
\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| u -
N\sum
j=0
u(j)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 1
1 - r
rN+1
(N + 2)
\sqrt{}
\pi (N + 1)
.
(36)
Для того щоб оцiнки (36) були змiстовними, необхiдно, щоб виконувалась умова
r = 4
\surd
2A \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [0,1]
\bigm| \bigm| q(x)\bigm| \bigm| < 1. (37)
Таким чином, доведено таке твердження.
Теорема 3. Нехай r < 1, тодi для N \rightarrow \infty алгоритм (26) збiгається експоненцiйно,
тобто не повiльнiше за геометричну прогресiю iз знаменником r, до найменшого власного
значення i вiдповiдної власної функцiї та мають мiсце оцiнки похибки (36).
Якщо серед коренiв рiвняння (28) вибрати такий, що є найближчим до власного значення
початкової задачi \lambda n, то алгоритм експоненцiйно збiгатиметься до вiдповiдної власної пари з
цим номером.
Наведемо результати кiлькох крокiв даного методу для випадку q(x) = x. Хоча в цьому
випадку умова (37) не виконується, проте цей метод на практицi виявився збiжним, i ми
одержали такi значення:
\lambda (0) = 4\pi 2, ul
(0)(x) =
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x), up
(0)(x) = -
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
2\pi (1 - x)
\bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
МЕТОД ФIКТИВНИХ ОБЛАСТЕЙ ТА ГОМОТОПIЯ ЯК НОВА АЛЬТЕРНАТИВА . . . 207
u(0)(x) =
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x),
ul
(1)(x) = a1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x) +
\surd
2x
16\pi 2
\Bigl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x) - 2\pi (x - 2\lambda (1) - 2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi x)
\Bigr]
,
up
(1)(x) = b1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x) +
\surd
2
16\pi 2
\Bigl[
x \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\pi x) - 2\pi (x - 1)(x - 2\lambda (1) - 1) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi x)
\Bigr]
,
\lambda (1) = - 1
2
= - 0,5, a1 =
(16\pi 2 - 1)
\surd
2
16\pi 2
, b1 = a1 +
\surd
2,
\lambda (2) = - 96\pi 4 - 4\pi 2 + 15
768\pi 4
= - 0,1246727929 . . . ,
\lambda (3) = - 1
16
= - 0,0625,
\lambda (4) = - 0,032350327908 . . . ,
\lambda (5) = - 0,01571982369888400 . . . ,
\lambda (6) = - 0,007886670771005869 . . . ,
\lambda (7) = - 0,003957745287358167 . . . ,
\lambda (8) = - 0,001986600928603473 . . . ,
\lambda (9) = - 0,0009974305456536042 . . . ,
\lambda (10) = - 0,0005009155266200468 . . . ,
\lambda (11) = - 0,0002516266739425218 . . . .
Звiдси видно, що
\lambda (j+1)
\lambda (j)
\simeq 1
2
,
i, отже, метод збiгається зi швидкiстю геометричної прогресiї iз знаменником r \simeq 1
2
. В резуль-
татi отримуємо
\lambda exact -
11
\lambda =
= 39,72834902553775 . . . - 39,72860327552081 . . . = - 0,00025424998311 . . . .
Лiтература
1. П. Н. Вабищевич, Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Изд-во Моск. ун-та,
Москва (1991).
2. В. К. Саульев, О решении некоторых краевых задач на на быстродействующих вычислительных машинах
методом фиктивных областей, Сиб. мат. журн., 4, № 1, 912 – 925 (1963).
3. Г. И. Марчук, Методы вычислительной математики, Наука, Москва (1989).
4. В. Д. Копченов, Приближение решения задачи Дирихле методом фиктивных областей, Дифференц. уравне-
ния, 4, № 1, 151 – 164 (1968).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
208 I. П. ГАВРИЛЮК, В. Л. МАКАРОВ
5. В. Д. Копченов, Метод фиктивных областей для второй и третьей краевых задач, Тр. Мат. ин-та АН СССР,
131, 119 – 127 (1974).
6. В. И. Лебедев, Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов
и некоторых краевых задач математической физики, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 4, № 3,
449 – 465 (1964).
7. А. Н. Коновалов, Метод фиктивных областей в задачах кручения, Численные методы механики сплошной
среды, 4, № 2, 109 – 115 (1973).
8. К. Ю. Богачев, Обоснование метода фиктивных областей решения смешанных краевых задач для квазили-
нейных эллиптических уравнений, Вестн. Моск. ун-та, сер. 1, № 3, 16 – 23 (1996).
9. Л. А. Руховец, Замечание к методу фиктивных областей, Дифференц. уравнения, 3, № 4, 698 – 701 (1967).
10. С. А. Войцеховский, И. П. Гаврилюк, В. Л. Макаров, Cходимость разностных решений к обобщенным
решениям задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в произвольной области, Докл. АН СССР, 267, № 1,
34 – 37 (1982).
11. R. Glowinski, T. W. Pan, J. Periaux, A fictitious domain method for Dirichlet problem and applications, Comput.
Methods Appl. Mech. and Engrg., 111, № 3-4, 283 – 303 (1994).
12. G. M. Kobel’kov, Fictitious domain method and the solution of elliptic equations with highly varying coefficients,
Russ. J. Numer. Anal. and Math. Modelling, 2, Issue 6, 407 – 420 (1987).
13. М. Б. Брусникин, Об эффективных алгоритмах решения задач метода фиктивных областей в многосвязном
случае, Докл. РАН, 387, № 2, 151 – 155 (2002).
14. Н. С. Бахвалов, К. Ю. Богачев, Ж. Ф. Мэтр, Эффективный алгоритм решения жестких эллиптических задач с
приложениями к методу фиктивных областей, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 39, № 6, 919 – 931
(1999).
15. В. Л. Макаров, О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи
Штурма – Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами, Докл. АН СССР, 320, № 1, 34 – 39 (1991).
16. Б. Й. Бандирський, В. Л. Макаров, О. Л. Уханьов, FD-метод для задач Штурма – Лiувiлля. Експоненцiйна
швидкiсть збiжностi, Журн. обчислюв. та прикл. математики, 39, № 1(85), 1 – 60 (2000).
17. E. M. Reingold, Combinatorial algorithms. Theory and practice, Prentice-Hall, Inc., New Jersey (1977).
Одержано 20.10.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1101 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:42Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/24/f1d9f25ef3cf8eb16221a6c2fdc05924.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-11012020-04-07T12:12:35Z The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape Метод фиктивных областей и гомотопия как новая альтернатива для многомерных уравнений в частных производных в областях произвольной формы Метод фіктивних областей та гомотопія як нова альтернатива для багатовимірних рівнянь із частинними похідними в областях довільної форми V.L. Makarov Gavrilyuk, I. P. В. Л. Макаров Гаврилюк, И. П. В. Л. Макаров Гаврилюк, І. П. крайова задача для диференціального рівняння з частинними похідними область довільної форми паралелепіпед метод фіктивних областей гомотопія експоненційна швидкість збіжності boundary value problem for a partial differential equation domain of arbitrary shape parallelepiped the fictitious domain method homotopy exponential convergence rate UDC 517.9; 519.63 The ideas of the fictitious domain method and homotopy are combined with an aim to reduce the solution of boundary-value problems for multidimensional partial differential equations (PDE) in domains of any shape to an exponentially convergent sequence of PDEs in a parallelepiped (in a rectangle, in the 2D case). This allows us to reduce the computational costs due to the elimination of the necessity of triangulation of the domain by a grid with $N$ inner nodes (e.g., the Delaunay algorithm in the 2D case requires ${\mathcal {O}}(N \log{N})$ operations). В работе объединяются идеи метода фиктивных областей и гомотопии с целью свести решение многомерных задач для дифференциальных уравнений с частными производными (УЧП) в областях произвольной формы к экспоненциально сходящейся последовательности УЧП в параллелепипеде (в прямоугольнике для случая 2D). Это, в частности, дает возможность уменьшить количество вычислительной работы за счет того, что не будет необходимости триангуляции области сеткой с $N$ внутренними узлами (например, алгоритм Delaunay в случае 2D требует для этого ${\mathcal {O}}(N \log{N})$ операций). УДК 517.9; 519.63 У роботi поєднано iдеї методу фiктивних областей та гомотопiї з метою звести розв’язування багатовимiрних задач для диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними в областях довiльної форми до експоненцiйно збiжної послiдовностi цих задач у паралелепiпедi (або в прямокутнику для двовимiрного випадку). Це, зокрема, надає можливiсть зменшувати об’єм обчислень за рахунок того, що немає необхiдностi триангуляцiї областi сiткою з $N$ внутрiшнiми вузлами (наприклад, алгоритм Delaunay у двовимiрному випадку потребує для цього ${\mathcal {O}}(N \log{N})$&nbsp;операцiй). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-02-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1101 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 2 (2020); 191-208 Український математичний журнал; Том 72 № 2 (2020); 191-208 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1101/1560 Copyright (c) 2020 В. Л. Макаров,Іван Гаврилюк |
| spellingShingle | V.L. Makarov Gavrilyuk, I. P. В. Л. Макаров Гаврилюк, И. П. В. Л. Макаров Гаврилюк, І. П. The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape |
| title | The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape |
| title_alt | Метод фиктивных областей и гомотопия как новая альтернатива для многомерных уравнений в частных производных в областях произвольной формы Метод фіктивних областей та гомотопія як нова альтернатива для багатовимірних рівнянь із частинними похідними в областях довільної форми |
| title_full | The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape |
| title_fullStr | The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape |
| title_full_unstemmed | The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape |
| title_short | The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape |
| title_sort | fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape |
| topic_facet | крайова задача для диференціального рівняння з частинними похідними область довільної форми паралелепіпед метод фіктивних областей гомотопія експоненційна швидкість збіжності boundary value problem for a partial differential equation domain of arbitrary shape parallelepiped the fictitious domain method homotopy exponential convergence rate |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1101 |
| work_keys_str_mv | AT vlmakarov thefictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT gavrilyukip thefictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT vlmakarov thefictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT gavrilûkip thefictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT vlmakarov thefictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT gavrilûkíp thefictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT vlmakarov metodfiktivnyhoblastejigomotopiâkaknovaâalʹternativadlâmnogomernyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvoblastâhproizvolʹnojformy AT gavrilyukip metodfiktivnyhoblastejigomotopiâkaknovaâalʹternativadlâmnogomernyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvoblastâhproizvolʹnojformy AT vlmakarov metodfiktivnyhoblastejigomotopiâkaknovaâalʹternativadlâmnogomernyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvoblastâhproizvolʹnojformy AT gavrilûkip metodfiktivnyhoblastejigomotopiâkaknovaâalʹternativadlâmnogomernyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvoblastâhproizvolʹnojformy AT vlmakarov metodfiktivnyhoblastejigomotopiâkaknovaâalʹternativadlâmnogomernyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvoblastâhproizvolʹnojformy AT gavrilûkíp metodfiktivnyhoblastejigomotopiâkaknovaâalʹternativadlâmnogomernyhuravnenijvčastnyhproizvodnyhvoblastâhproizvolʹnojformy AT vlmakarov metodfíktivnihoblastejtagomotopíââknovaalʹternativadlâbagatovimírnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivoblastâhdovílʹnoíformi AT gavrilyukip metodfíktivnihoblastejtagomotopíââknovaalʹternativadlâbagatovimírnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivoblastâhdovílʹnoíformi AT vlmakarov metodfíktivnihoblastejtagomotopíââknovaalʹternativadlâbagatovimírnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivoblastâhdovílʹnoíformi AT gavrilûkip metodfíktivnihoblastejtagomotopíââknovaalʹternativadlâbagatovimírnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivoblastâhdovílʹnoíformi AT vlmakarov metodfíktivnihoblastejtagomotopíââknovaalʹternativadlâbagatovimírnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivoblastâhdovílʹnoíformi AT gavrilûkíp metodfíktivnihoblastejtagomotopíââknovaalʹternativadlâbagatovimírnihrívnânʹízčastinnimipohídnimivoblastâhdovílʹnoíformi AT vlmakarov fictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT gavrilyukip fictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT vlmakarov fictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT gavrilûkip fictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT vlmakarov fictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape AT gavrilûkíp fictitiousdomainmethodandhomotopyasanewalternativeformultidimensionalpartialdifferentialequationsindomainsofanyshape |