Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains
UDC 517.54 We establish effective upper estimates for the maximum products of the inner radii of mutually disjoint domains in the $(n,m)$-radial systems of points of the complex plane for all possible values of a certain  parameter $\gamma.$ We also obtain cond...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1106 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507150887944192 |
|---|---|
| author | Bakhtin, O. K. Denega, I. V. Бахтин, О. К. Денега, I. В. Бахтiн, О. К. Денега, І. В. |
| author_facet | Bakhtin, O. K. Denega, I. V. Бахтин, О. К. Денега, I. В. Бахтiн, О. К. Денега, І. В. |
| author_sort | Bakhtin, O. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-07T12:11:00Z |
| description | UDC 517.54
We establish effective upper estimates for the maximum products of the inner radii of mutually disjoint domains in the $(n,m)$-radial systems of points of the complex plane for all possible values of a certain  parameter $\gamma.$ We also obtain conditions under which the structure of points and domains is not important for our investigations.  |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.54
О. К. Бахтiн, I. В. Денега (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ МАКСИМУМУ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ ОБЛАСТЕЙ,
ЩО ВЗАЄМНО НЕ ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ
We establish effective upper estimates for the maximum products of the inner radii of mutually disjoint domains in the
(n,m)-radial systems of points of the complex plane for all possible values of a certain parameter \gamma . We also obtain
conditions under which the structure of points and domains is not important for our investigations.
Одержано ефективнi оцiнки зверху максимуму добуткiв внутрiшнiх радiусiв областей, що взаємно не перетина-
ються, для (n,m)-променевих систем точок комплексної площини при всiх можливих значеннях деякого параметра
\gamma . Встановлено умови, при яких структура точок i областей є неважливою.
Нехай \BbbC — комплексна площина, \BbbC = \BbbC
\bigcup
\{ \infty \} — її одноточкова компактифiкацiя, \BbbN i \BbbR —
множини натуральних i дiйсних чисел вiдповiдно, \BbbU — вiдкритий одиничний круг iз центром
у початку координат в \BbbC , \BbbR + = (0,\infty ), а r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B \subset \BbbC вiдносно
точки a \in B [1 – 20].
У геометричнiй теорiї функцiй велику роль вiдiграють специфiчнi способи вимiрювання
замкнених множин на комплекснiй площинi. Один iз таких способiв запропонував Фекете в
1923 роцi. Згiдно з теоремою Сеге, введений Фекете трансфiнiтний дiаметр дорiвнює лога-
рифмiчнiй ємностi i виражається через енергiю Вiнера з логарифмiчним ядром. В теорiї по-
тенцiалу введено поняття ємностi, енергiї Вiнера, трансфiнiтного дiаметра i сталої Чебишова
вiдносно довiльного ядра i досить добре вивчено зв’язок мiж ними.
Для компакта E його логарифмiчна ємнiсть визначається рiвностями
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}E :=
1
r(\BbbC \setminus E,\infty )
,
якщо величина r(\BbbC \setminus E,\infty ) є скiнченною, i \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}E := 0 — у протилежному випадку.
Нехай n,m \in \BbbN . Систему точок
An,m :=
\bigl\{
ak,p \in \BbbC : k = 1, n, p = 1,m
\bigr\}
будемо називати (n,m)-променевою, якщо при всiх k = 1, n i p = 1,m виконуються спiввiд-
ношення
0 < | ak,1| < . . . < | ak,m| < \infty ,
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak,1 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak,2 = . . . = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak,m =: \theta k =: \theta k(An,m),
0 = \theta 1 < \theta 2 < . . . < \theta n < \theta n+1 := 2\pi .
У випадку m = 1 (n, 1)-променеву систему точок будемо називати n-променевою i використо-
вуватимемо бiльш простi позначення:
ak,1 =: ak, k = 1, n, An,1 =: An.
На множинi (n,m)-променевих систем розглянемо такi величини:
c\bigcirc О. К. БАХТIН, I. В. ДЕНЕГА, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2 173
174 О. К. БАХТIН, I. В. ДЕНЕГА
\alpha k := \alpha k(An,m) :=
1
\pi
[\theta k+1(An,m) - \theta k(An,m)] ,
k = 1, n, \alpha n+1 := \alpha 1, \alpha 0 := \alpha n.
Величини \alpha k(An,m), k = 1, n, будемо називати кутовими параметрами системи An,m. Очевид-
но, що
n\sum
k=1
\alpha k(An,m) =
n\sum
k=1
\alpha k = 2.
Вважатимемо, що область D0 належить класу \Lambda , якщо 0 \in D0 \subset \BbbC i \BbbC \setminus
\bigl\{
D0 \cup D \star
0
\bigr\}
—
вiдкрита множина, яка має деякий перетин з одиничним колом, де D \star
0 — область, симетрична D0
вiдносно одиничного кола. Вважатимемо, що область D0 належить класу \Delta , якщо 0 \in D0 \subset \BbbC i
\BbbC \setminus
\bigl\{
D0 \cup D \star
0
\bigr\}
— деяка вiдкрита множина, D \star
0 — область, симетрична D0 вiдносно одиничного
кола. Зауважимо, що клас \Lambda є пiдкласом \Delta .
Систему неперетинних областей \{ Dk,p\} , k = 1, n, p = 1,m, будемо називати системою
областей, що взаємно не перетинаються, з додатковою умовою симетрiї, яка визначається облас-
тю D0, якщо має мiсце спiввiдношення
n\bigcup
k=1
m\bigcup
p=1
Dk,p \subset \BbbC \setminus
\bigl\{
D0 \cup D \star
0
\bigr\}
.
Очевидно, що D0, Dk,p, k = 1, n, p = 1,m, — система областей, що взаємно не перетинаються.
Проблема 1. При всiх значеннях параметра \gamma \in (0, nm] знайти оцiнку максимуму добутку
In,m(\gamma ) = r\gamma (D0, 0)
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r (Dk,p, ak,p) ,
де n,m \in \BbbN , n \geq 2, a0 = 0, An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, — (n,m)-променева система
точок, \{ Dk,p\} , k = 1, n, p = 1,m, — довiльна система областей, що взаємно не перетинаються, з
додатковою умовою симетрiї, яка визначається областю D0 \in \Delta , 0 \in D0 \subset \BbbC , ak,p \in Dk,p \subset \BbbC ,
k = 1, n, p = 1,m.
Справджується таке твердження.
Теорема 1. Нехай n,m \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in \BbbR +. Тодi для будь-якої фiксованої (n,m)-
променевої системи точок An,m = \{ ak,p\} \in \BbbC /\{ 0\} , k = 1, n, p = 1,m, та будь-якого фiксо-
ваного набору областей D0, \{ Dk,p\} , ak,p \in Dk,p \subset \BbbC , k = 1, n, p = 1,m, a0 = 0 \in D0 \subset \BbbC , де
\{ Dk,p\} — система областей, що взаємно не перетинаються, з додатковою умовою симетрiї,
яка визначається областю D0 \in \Delta , виконується нерiвнiсть
In,m(\gamma ) \leq (nm) -
\gamma
2
\left( n\prod
k=1
m\prod
p=1
r (Dk,p, ak,p)
\right) 1 - \gamma
nm
\left( n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
\right)
2\gamma
nm
. (1)
Доведення. Нехай d(E) — трансфiнiтний дiаметр компактної множини E \subset \BbbC [7]. Тодi
мають мiсце спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОЦIНКИ МАКСИМУМУ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ ОБЛАСТЕЙ . . . 175
r(D0, 0) = r
\bigl(
D+
0 ,\infty
\bigr)
=
1
d
\bigl(
\BbbC \setminus D+
0
\bigr) \leq 1
d
\Biggl(
n\bigcup
k=1
m\bigcup
p=1
D
+
k,p
\Biggr) , (2)
де D+ =
\biggl\{
z :
1
z
\in D
\biggr\}
. Згiдно з теоремою Пойа [6, с. 28], виконується нерiвнiсть
\mu E \leq \pi d2(E),
де \mu E — лебегова мiра компактної множини E. Тодi з (2) одержуємо
r(D0, 0) \leq
\left[ 1
\pi
n\sum
k=1
m\sum
p=1
\mu D
+
k,p
\right] - 1
2
. (3)
Iз теореми про мiнiмiзацiю площi [7, с. 34] випливає, що
\mu (D) \geq \pi r2(D, a).
Iз нерiвностi (3) отримуємо
r(D0, 0) \leq
1\Bigl[ \sum n
k=1
\sum m
p=1
r2
\Bigl(
D+
k,p, a
+
k,p
\Bigr) \Bigr] 1
2
.
Використовуючи конформну iнварiантнiсть функцiї Грiна, маємо
gDk,p
(z, ak,p) = gD+
k,p
\Bigl(
w+, a+k,p
\Bigr)
, w+ =
1
z
.
Таким чином,
gD+
k,p
\Bigl(
w+, a+k,p
\Bigr)
= gD+
k,p
\biggl(
1
z
,
1
ak,p
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1z - a+k,p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\Bigl(
D+
k,p, a
+
k,p
\Bigr)
+ o(1),
звiдки випливає, що
r
\Bigl(
D+
k,p, a
+
k,p
\Bigr)
=
r(Dk,p, ak,p)
| ak,p| 2
,
i приходимо до нерiвностi
r(D0, 0) \leq
\left[ n\sum
k=1
m\sum
p=1
r2(Dk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\right] - 1
2
.
Таким чином, отримуємо таку оцiнку для функцiонала In,m(\gamma ):
r\gamma (D0, 0)
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Dk,p, ak,p) \leq
\prod n
k=1
\prod m
p=1
r(Dk,p, ak,p)\biggl[ \sum n
k=1
\sum m
p=1
r2 (Dk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\biggr] \gamma
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
176 О. К. БАХТIН, I. В. ДЕНЕГА
Iз нерiвностi Кошi випливає спiввiдношення
1
nm
n\sum
k=1
m\sum
p=1
r2 (Dk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\geq
\left[ n\prod
k=1
m\prod
p=1
r2(Dk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\right] 1
nm
.
Звiдси \left[ n\sum
k=1
m\sum
p=1
r2 (Dk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\right]
\gamma
2
\geq
\left[ nm
\left[ n\prod
k=1
m\prod
p=1
r2 (Dk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\right] 1
nm
\right]
\gamma
2
=
= (nm)
\gamma
2
\left( n\prod
k=1
m\prod
p=1
r (Dk,p, ak,p)
\right)
\gamma
nm
\left( n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
\right) - 2\gamma
nm
.
Отже,
In,m(\gamma ) \leq
\sum n
k=1
\sum m
p=1
r(Dk,p, ak,p)
(nm)
\gamma
2
\Bigl( \sum n
k=1
\sum m
p=1
r(Dk,p, ak,p)
\Bigr) \gamma
nm
\Bigl( \sum n
k=1
\sum m
p=1
| ak,p|
\Bigr) - 2\gamma
nm
=
= (nm) -
\gamma
2
\left( n\prod
k=1
m\prod
p=1
r (Dk,p, ak,p)
\right) 1 - \gamma
nm
\left( n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
\right)
2\gamma
nm
.
Таким чином, ми отримали оцiнку зверху (1) для функцiонала In,m(\gamma ).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай n,m \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, nm]. Тодi для будь-якої фiксованої (n,m)-
променевої системи точок An,m = \{ ak,p\} \in \BbbC /\{ 0\} , k = 1, n, p = 1,m, та будь-якого набору
областей D0, \{ Dk,p\} , ak,p \in Dk,p \subset \BbbC , k = 1, n, p = 1,m, a0 = 0 \in D0 \subset \BbbC , де \{ Dk,p\} —
система областей, що взаємно не перетинаються, з додатковою умовою симетрiї, яка визна-
чається областю D0 \in \Delta , виконується нерiвнiсть (1).
Доведення теореми 2 аналогiчне доведенню теореми 1 лише з урахуванням умови, що
I0n,m(\gamma ) = In,m(\gamma ) (оскiльки областi в теоремi 2 не є фiксованими), де I0n,m(\gamma ) — максимум
функцiонала In,m(\gamma ).
Зауваження 1. Якщо \gamma = nm i
\prod n
k=1
\prod m
p=1
| ak,p| \leq 1, то при умовах теореми 2 має мiсце
нерiвнiсть
rnm(D0, 0)
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Dk,p, ak,p) \leq (nm) -
nm
2 .
У цьому випадку структура точок i областей є неважливою.
В роботi [1, с. 95] для фiксованого R \in \BbbR +, довiльної (n,m)-променевої системи точок
An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, i системи областей, що взаємно не перетинаються, \{ Dk,p\} ,
ak,p \in Dk,p \subset \BbbC , k = 1, n, p = 1,m, доведено нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОЦIНКИ МАКСИМУМУ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ ОБЛАСТЕЙ . . . 177
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Dk,p, ak,p) \leq 2nm
\Biggl(
n\prod
k=1
\alpha k
\Biggr) m\Biggl( n\prod
k=1
\mu k(R)
\Biggr) 1
2
MR(An,m),
де \{ \mu k(R)\} nk=1 \subset \BbbR + при заданому R — це коефiцiєнти змiщення системи An,m i \mu k(R) \leq
\leq m - 2m,
MR(An,m) :=
n\prod
k=1
m\prod
p=1
\biggl[
\chi
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| ak,p
R
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\alpha k
\biggr)
\chi
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| ak,p
R
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\alpha k - 1
\biggr) \biggr] 1
2
| ak,p| ,
\chi (t) =
1
2
\bigl(
t+ t - 1
\bigr)
, t \in \BbbR + — функцiя Жуковського.
Таким чином, iз теореми 2 одержуємо такi твердження.
Наслiдок 1. Нехай n,m \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, nm]. Тодi для довiльної фiксованої (n,m)-
променевої системи точок An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, i довiльного набору областей
D0, \{ Dk,p\} , ak,p \in Dk,p \subset \BbbC , k = 1, n, p = 1,m, a0 = 0 \in D0 \subset \BbbC , де \{ Dk,p\} — система
областей, що взаємно не перетинаються, з додатковою умовою симетрiї, яка визначається
областю D0 \in \Delta , виконується нерiвнiсть
In,m(\gamma ) \leq 4nm - \gamma (MR(An,m))1 -
\gamma
nm
nmnm - \gamma
2
\left( n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
\right)
2\gamma
nm
.
Наслiдок 2. Нехай n,m \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, nm]. Тодi для довiльної фiксованої (n,m)-
променевої системи точок An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, такої, що MR(An,m) = 1, i
довiльного набору областей D0, \{ Dk,p\} , ak,p \in Dk,p \subset \BbbC , k = 1, n, p = 1,m, a0 = 0 \in D0 \subset \BbbC ,
де \{ Dk,p\} — система областей, що взаємно не перетинаються, з додатковою умовою симетрiї,
яка визначається областю D0 \in \Delta , виконується нерiвнiсть
In,m(\gamma ) \leq 4nm - \gamma nm
\gamma
2
- nm.
Якщо m = 1, то з доведення теореми 1 випливає такий результат для n-променевої системи
точок.
Наслiдок 3. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, n]. Тодi для будь-якої фiксованої n-променевої
системи точок An = \{ ak\} nk=1 та будь-якого набору областей Dk, ak \in Dk \subset \BbbC , k = 0, n,
a0 = 0, де \{ Dk\} nk=1 — система областей, що взаємно не перетинаються, з додатковою умовою
симетрiї, яка визначається областю D0 \in \Delta , виконується нерiвнiсть
r\gamma (D0, 0)
n\prod
k=1
r(Dk, ak) \leq n - \gamma
2
\Biggl(
n\prod
k=1
r(Dk, ak)
\Biggr) 1 - \gamma
n
\Biggl(
n\prod
k=1
| ak|
\Biggr) 2\gamma
n
.
Зауваження 2. Якщо \gamma = n i
\prod n
k=1
| ak| \leq 1, то при умовах наслiдку 3 має мiсце нерiвнiсть
rn(D0, 0)
n\prod
k=1
r(Dk, ak) \leq n - n
2 .
У цьому випадку структура точок i областей є неважливою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
178 О. К. БАХТIН, I. В. ДЕНЕГА
Використовуючи нерiвнiсть [1, с. 204]
n\prod
k=1
r(Dk, ak) \leq 2n\scrL (An)
n\prod
k=1
\alpha k,
де
\scrL (An) :=
n\prod
k=1
\chi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ak+1
ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
2\alpha k
\Biggr)
| ak| , \chi (t) :=
1
2
\bigl(
t+ t - 1
\bigr)
,
доведену для будь-якої n-променевої системи точок An = \{ ak\} nk=1 i довiльної системи облас-
тей, що взаємно не перетинаються, \{ Dk\} nk=1, ak \in Dk \subset \BbbC , k = 1, n, одержуємо таке тверд-
ження.
Наслiдок 4. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, n]. Тодi для будь-якої фiксованої n-променевої
системи точок An = \{ ak\} nk=1 такої, що \scrL (An) = 1, i будь-якого набору областей Dk, ak \in
\in Dk \subset \BbbC , k = 0, n, a0 = 0, де \{ Dk\} nk=1 — система областей, що взаємно не перетинаються,
з додатковою умовою симетрiї, яка визначається областю D0 \in \Delta , виконується нерiвнiсть
r\gamma (D0, 0)
n\prod
k=1
r(Dk, ak) \leq 2n - \gamma n - \gamma
2
\Biggl(
n\prod
k=1
\alpha k
\Biggr) 1 - \gamma
n
.
У випадку, коли \alpha k =
2
n
, k = 1, n, має мiсце такий результат.
Наслiдок 5. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, n]. Тодi при всiх умовах наслiдку 4 виконується
нерiвнiсть
r\gamma (D0, 0)
n\prod
k=1
r(Dk, ak) \leq n - \gamma
2
\biggl(
4
n
\biggr) n - \gamma
.
З доведення теореми 1 для випадку, коли точки ak, k = 1, n, належать одиничному колу,
випливає таке твердження.
Наслiдок 6. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, n]. Тодi для будь-якої системи рiзних точок
An = \{ ak\} nk=1 одиничного кола та будь-якого набору областей Dk, ak \in Dk \subset \BbbC , k = 0, n,
a0 = 0, де \{ Dk\} nk=1 — система областей, що взаємно не перетинаються, з додатковою умовою
симетрiї, яка визначається областю D0 \in \Lambda , виконується нерiвнiсть
r\gamma (D0, 0)
n\prod
k=1
r(Dk, ak) \leq n - \gamma
2
\Biggl(
n\prod
k=1
r(Dk, ak)
\Biggr) 1 - \gamma
n
.
Зауваження 3. Якщо \gamma = n, то при умовах наслiдку 6 має мiсце нерiвнiсть
rn(D0, 0)
n\prod
k=1
r(Dk, ak) \leq n - n
2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОЦIНКИ МАКСИМУМУ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ ОБЛАСТЕЙ . . . 179
Проблема 2. При всiх значеннях параметра \gamma \in \BbbR + знайти оцiнку максимуму добутку
Jn,m(\gamma ) = [r (B0, 0) r (B\infty ,\infty )]\gamma
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r (Bk,p, ak,p) ,
де n,m \in \BbbN , n \geq 2, An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, — довiльна (n,m)-променева система
точок, B0, B\infty , Bk,p — довiльна система областей, що взаємно не перетинаються, таких, що
ak,p \in Bk,p \subset \BbbC при k = 1, n, p = 1,m, a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , \infty \in B\infty \subset \BbbC .
В монографiї [1, с. 146] для функцiонала Jn,m(\gamma ) було одержано результат лише при \gamma =
n2
4
i будь-яких (n,m)-рiвнопроменевих системах точок.
Теорема 3. Нехай n,m \in \BbbN , n \geq 2, \gamma >
nm+ 2
2
. Тодi для довiльної фiксованої (n,m)-
променевої системи точок An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, i довiльного набору областей,
що взаємно не перетинаються, B0, B\infty , \{ Bk,p\} , ak,p \in Bk,p \subset \BbbC , k = 1, n, p = 1,m,
a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , \infty \in B\infty \subset \BbbC , виконується нерiвнiсть
Jn,m(\gamma ) \leq (nm+ 1) -
nm+1
2
n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p| .
Доведення. Використовуючи спiввiдношення (2) i (3), одержуємо нерiвностi
r(B0, 0) \leq
\left[ r2(B\infty ,\infty ) +
n\sum
k=1
m\sum
p=1
r2(Bk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\right] - 1
2
,
r(B\infty ,\infty ) \leq
\left[ r2(B0, 0) +
n\sum
k=1
m\sum
p=1
r2(Bk,p, ak,p)
\right] - 1
2
.
Iз нерiвностi Кошi, аналогiчно доведенню теореми 1, маємо\left( r2(B\infty ,\infty ) +
n\sum
k=1
m\sum
p=1
r2(Bk,p, ak,p)
| ak,p| 4
\right) 1
2
\geq
\geq (nm+ 1)
1
2
\left[ r(B\infty ,\infty )
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Bk,p, ak,p)
| ak,p| 2
\right] 1
nm+1
.
Таким чином, з урахуванням наведених вище спiввiдношень
r(B0, 0) \leq (nm+ 1) -
1
2\times
\times
\left[ r(B\infty ,\infty )
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Bk,p, ak,p)
\right] - 1
nm+1 n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
2
nm+1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
180 О. К. БАХТIН, I. В. ДЕНЕГА
Аналогiчно
r(B\infty ,\infty ) \leq (nm+ 1) -
1
2
\left[ r(B0, 0)
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Bk,p, ak,p)
\right] - 1
nm+1
.
Далi, використовуючи нескладнi перетворення, маємо
r(B0, 0)r(B\infty ,\infty ) \leq
\leq (nm+ 1) -
nm+1
nm+2
\left[ n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Bk,p, ak,p)
\right] - 2
nm+2 n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
2
nm+2 .
Отже, остаточно отримуємо нерiвнiсть
[r(B0, 0)r(B\infty ,\infty )]\gamma
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Bk,p, ak,p) \leq
\leq (nm+ 1) - \gamma nm+1
nm+2
\left[ n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Bk,p, ak,p)
\right] 1 - 2\gamma
nm+2 n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
2\gamma
nm+2 .
Далi, згiдно з теоремою 2.3.1 (М. О. Лаврентьєва) [1],
r(B0, 0)r(B\infty ,\infty ) \leq 1,
тодi
Jn,m(\gamma ) \leq (nm+ 1) - \gamma nm+1
nm+2\Bigl[ \prod n
k=1
\prod m
p=1
r (Bk,p, ak,p)
\Bigr] 2\gamma
nm+2
- 1
n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
2\gamma
nm+2 \leq
\leq (nm+ 1) - \gamma nm+1
nm+2\Bigl(
[r (B0, 0) r (B\infty ,\infty )]\gamma
\prod n
k=1
\prod m
p=1
r (Bk,p, ak,p)
\Bigr) 2\gamma
nm+2
- 1
n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
2\gamma
nm+2 .
Звiдси
(Jn,m(\gamma ))
2\gamma
nm+2 \leq (nm+ 1) - \gamma nm+1
nm+2
n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p|
2\gamma
nm+2 .
Таким чином,
Jn,m(\gamma ) \leq (nm+ 1) -
nm+1
2
n\prod
k=1
m\prod
p=1
| ak,p| .
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОЦIНКИ МАКСИМУМУ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ ОБЛАСТЕЙ . . . 181
Зауваження 4. Якщо \gamma =
1
2
(nm+ 2) i
\prod n
k=1
\prod m
p=1
| ak,p| \leq 1, то при умовах теореми 3
має мiсце спiввiдношення
[r(B0, 0)r(B\infty ,\infty )]
1
2
(nm+2)
n\prod
k=1
m\prod
p=1
r(Bk,p, ak,p) \leq (nm+ 1) -
nm+1
2 .
У цьому випадку структура точок i областей є неважливою.
Наслiдок 7. Нехай n,m \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in \BbbR +. Тодi для довiльної фiксованої (n,m)-
променевої системи точок An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, такої, що MR(An,m) = 1, i
довiльного набору областей, що взаємно не перетинаються, B0, B\infty , \{ Bk,p\} , ak,p \in Bk,p \subset \BbbC ,
k = 1, n, p = 1,m, a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , \infty \in B\infty \subset \BbbC , виконується нерiвнiсть
Jn,m(\gamma ) \leq (nm+ 1) -
nm+1
2 .
Якщо m = 1, то з доведення теореми 3 випливає такий результат для n-променевої системи
точок.
Наслiдок 8. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in \BbbR +. Тодi для будь-якої фiксованої системи рiзних
точок An = \{ ak\} nk=1 \in \BbbC /\{ 0,\infty \} та будь-яких областей, що взаємно не перетинаються, B0,
B\infty , Bk, a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , \infty \in B\infty \subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, n, виконується нерiвнiсть
[r (B0, 0) r (B\infty ,\infty )]\gamma
n\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq (n+ 1) -
n+1
2
n\prod
k=1
| ak| .
Зауваження 5. Якщо \gamma =
n+ 2
2
i
\prod n
k=1
| ak| \leq 1, то з наслiдку 8 одержуємо нерiвнiсть
[r(B0, 0)r(B\infty ,\infty )]
n+2
2
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n+ 1) -
n+1
2 .
У цьому випадку структура точок i областей є неважливою.
Наслiдок 9. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in \BbbR +. Тодi для будь-якої системи рiзних точок
\{ ak\} nk=1 одиничного кола та будь-яких областей, що взаємно не перетинаються, B0, B\infty , Bk,
a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , \infty \in B\infty \subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, n, виконується нерiвнiсть
[r(B0, 0)r(B\infty ,\infty )]\gamma
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n+ 1) -
n+1
2 .
У 1984 р. Г. П. Бахтiна [8] розглянула задачу про максимум функцiонала
n\prod
k=0
R\alpha k(Bk, ak),
де \{ Bk\} nk=0 — довiльна система однозв’язних областей, що взаємно не перетинаються, таких,
що | ak| = 1, k = 1, n, a0 = 0 \in B0 \subset \BbbU , ak \in Bk \subset \BbbC , \alpha k \geq 0, k = 0, n, областi \{ Bk\} nk=1
симетричнi вiдносно одиничного кола (R(B, a) — конформний радiус областi B \subset \BbbC вiдносно
точки a \in B), i отримала деякi окремi результати даної проблеми.
Iз наслiдку 9 при умовi, що B0 \subset \BbbU , отримуємо такий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
182 О. К. БАХТIН, I. В. ДЕНЕГА
Наслiдок 10. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in \BbbR + i B0 \subset \BbbU . Тодi для будь-якої системи рiзних
точок \{ ak\} nk=1 одиничного кола та будь-яких областей, що взаємно не перетинаються, Bk,
ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, a0 = 0, i, крiм того, областi Bk, k = 1, n, симетричнi вiдносно
одиничного кола | ak| = 1, виконується нерiвнiсть
r2\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n+ 1) -
n+1
2 .
Справедливими також є такi твердження.
Наслiдок 11. Нехай n,m \in \BbbN , n \geq 2, \gamma >
nm+ 2
2
, R > 0. Тодi для довiльної фiксованої
(n,m)-променевої системи точок An,m = \{ ak,p\} , k = 1, n, p = 1,m, такої, що MR(An,m) =
= R, i довiльного набору областей, що взаємно не перетинаються, B0, B\infty , \{ Bk,p\} , ak,p \in
\in Bk,p \subset \BbbC , k = 1, n, p = 1,m, a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , \infty \in B\infty \subset \BbbC , виконується нерiвнiсть
Jn,m(\gamma ) \leq (nm+ 1) -
nm+1
2 R.
Наслiдок 12. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma >
n+ 2
2
, R > 0. Тодi для будь-якої фiксованої n-
променевої системи точок An = \{ ak\} nk=1 такої, що | ak| = R, k = 1, n, та будь-яких областей,
що взаємно не перетинаються, B0, B\infty , Bk, a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , \infty \in B\infty \subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC ,
k = 1, n, виконується нерiвнiсть
[r (B0, 0) r (B\infty ,\infty )]\gamma
n\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq (n+ 1) -
n+1
2 Rn.
Наслiдок 13. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma >
n+ 2
2
, R > 0 i B0 — довiльна область, що
належить вiдкритому кругу | w| < R. Тодi для будь-якої n-променевої системи точок An =
= \{ ak\} nk=1 такої, що | ak| = R, k = 1, n, та будь-яких областей, що взаємно не перетина-
ються, Bk, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, a0 = 0, i, крiм того, областi Bk, k = 1, n, симетричнi
вiдносно кола | w| = R, виконується нерiвнiсть
r2\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n+ 1) -
n+1
2 R2\gamma .
Наслiдок 13 неважко отримати iз теореми 3, якщо врахувати, що система B0, B+
0 , Bk,
k = 1, n, де B+
0 — область, симетрична областi B0 вiдносно кола радiуса R, є системою
неперетинних областей i r
\bigl(
B+
0 ,\infty
\bigr)
=
r (B0, 0)
R2
. Таким чином,
\bigl[
r(B0, 0)r
\bigl(
B+
0 ,\infty
\bigr) \bigr] \gamma
= r2\gamma (B0, 0)R
- 2\gamma ,
що й доводить наслiдок 13.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
ОЦIНКИ МАКСИМУМУ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ ОБЛАСТЕЙ . . . 183
Лiтература
1. A. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и методы в комплексном
анализе, Працi Iн-ту математики НАН України (2008).
2. V. N. Dubinin, Symmetrization method in geometric function theory of complex variables, Russian Math. Surveys,
№ 1, 1 – 79 (1994).
3. V. N. Dubinin, Condenser capacities and symmetrization in geometric function theory, Birkhäuser/Springer, Basel
(2014).
4. A. K. Bakhtin, Separating transformation and extremal problems on nonoverlapping simply connected domains, J.
Math. Sci., 234, № 1, 1 – 13 (2018).
5. A. K. Bakhtin, Extremal decomposition of the complex plane with restrictions for free poles, J. Math. Sci., 231, № 1,
1 – 15 (2018).
6. Г. Полиа, Г. Сеге, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, Москва (1962).
7. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, Москва (1966).
8. Г. П. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих областей, Современные вопросы ве-
щественного и комплексного анализа, Ин-т математики АН УССР, Киев (1984), с. 21 – 27.
9. А. Л. Таргонський, Екстремальнi задачi теорiї однолистих функцiй: дис. . . . канд. фiз.-мат. наук, Київ (2006).
10. А. К. Бахтин, А. Л. Таргонский, Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих
областей и открытых множеств, Укр. мат. журн., 63, № 7, 867 – 879 (2011).
11. I. V. Denega, A. L. Targonskii, Separating transformation in a problem on extremal decomposition of the complex
plane, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 14, № 1, 147 – 155 (2017).
12. A. L. Targonskii, About one extremal problem for the projections of points on a unit circle, J. Math. Sci., 241, № 1,
90 – 100 (2019).
13. A. Targonskii, An extremal problem for the nonoverlapping domains, J. Math. Sci., 227, № 1, 98 – 104 (2017).
14. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей, Укр. мат. журн.,
71, № 7, 979 – 985 (2019).
15. I. Denega, Estimates of the inner radii of non-overlapping domains, J. Math. Sci., 242, № 6, 787 – 795 (2019).
16. П. М. Тамразов, Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов, Изв.
АН СССР, сер. мат., 32, № 5, 1033 – 1043 (1968).
17. G. V. Kuzmina, Problems on extremal decomposition of the Riemann sphere, J. Math. Sci., 118, № 1, 4880 – 4894
(2003).
18. I. V. Denega, Generalization of some extremal problems on non-overlapping domains with free poles, Ann. Univ.
Mariae Curie-Sklodowska, 67, № 1, 11 – 22 (2013).
19. I. V. Denega, Ya. V. Zabolotnii, Estimates of products of inner radii of non-overlapping domains in the complex
plane, Complex Var. and Elliptic Equat., 62, № 11, 1611 – 1618 (2018).
20. A. L.Targonskii, I. I. Targonskaya, K. Vaschenko, About one extremal problem for open sets and partially non-
overlapping domains, J. Math. Sci., 244, № 1, 56 – 64 (2020).
Одержано 23.10.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1106 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:45Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9c/873c875029047db7d68b337151d5799c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-11062020-04-07T12:11:00Z Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains Оцінки максимума добутків внутрішніх радіусів областей, що взаємно не перетинаються Bakhtin, O. K. Denega, I. V. Бахтин, О. К. Денега, I. В. Бахтiн, О. К. Денега, І. В. внутрішній радіус області області, що не перетинаються функція Гріна (n, m)-променева система точок трансфінітний діаметр теорема про мінімізацію площі нерівність Коші inner radius of domain non-overlapping domains the Green function (n, m)-radial system of points transfinite diameter theorem on minimizing UDC 517.54 We establish effective upper estimates for the maximum products of the inner radii of mutually disjoint domains in the $(n,m)$-radial systems of points of the complex plane for all possible values of a certain&nbsp;&nbsp;parameter $\gamma.$&nbsp;We also obtain conditions under which the structure of points and domains is not important for our investigations.&nbsp; УДК 517.54 Одержано ефективні оцінки зверху максимуму добутків внутрішніх радіусів областей, що взаємно не перетинаються, для $(n,m)$-променевих систем точок комплексної площини при всіх можливих значеннях деякого параметра $\gamma.$&nbsp;Встановлено умови, при яких структура точок і областей є неважливою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-02-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1106 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 2 (2020); 173-183 Український математичний журнал; Том 72 № 2 (2020); 173-183 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1106/1557 Copyright (c) 2020 Ірина Вікторівна Денега |
| spellingShingle | Bakhtin, O. K. Denega, I. V. Бахтин, О. К. Денега, I. В. Бахтiн, О. К. Денега, І. В. Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains |
| title | Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains |
| title_alt | Оцінки максимума добутків внутрішніх радіусів областей, що взаємно не перетинаються |
| title_full | Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains |
| title_fullStr | Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains |
| title_full_unstemmed | Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains |
| title_short | Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains |
| title_sort | estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains |
| topic_facet | внутрішній радіус області області що не перетинаються функція Гріна (n m)-променева система точок трансфінітний діаметр теорема про мінімізацію площі нерівність Коші inner radius of domain non-overlapping domains the Green function (n m)-radial system of points transfinite diameter theorem on minimizing |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1106 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinok estimationofthemaximumproductofinnerradiiofmutuallydisjointdomains AT denegaiv estimationofthemaximumproductofinnerradiiofmutuallydisjointdomains AT bahtinok estimationofthemaximumproductofinnerradiiofmutuallydisjointdomains AT denegaiv estimationofthemaximumproductofinnerradiiofmutuallydisjointdomains AT bahtinok estimationofthemaximumproductofinnerradiiofmutuallydisjointdomains AT denegaív estimationofthemaximumproductofinnerradiiofmutuallydisjointdomains AT bakhtinok ocínkimaksimumadobutkívvnutríšníhradíusívoblastejŝovzaêmnoneperetinaûtʹsâ AT denegaiv ocínkimaksimumadobutkívvnutríšníhradíusívoblastejŝovzaêmnoneperetinaûtʹsâ AT bahtinok ocínkimaksimumadobutkívvnutríšníhradíusívoblastejŝovzaêmnoneperetinaûtʹsâ AT denegaiv ocínkimaksimumadobutkívvnutríšníhradíusívoblastejŝovzaêmnoneperetinaûtʹsâ AT bahtinok ocínkimaksimumadobutkívvnutríšníhradíusívoblastejŝovzaêmnoneperetinaûtʹsâ AT denegaív ocínkimaksimumadobutkívvnutríšníhradíusívoblastejŝovzaêmnoneperetinaûtʹsâ |