Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error
UDC 517.5 In a Hilbert space defined as the image of the unit ball under the action of a compact operator, we solve problems of optimal recovery of elements by their first $n$ Fourier coefficients given approximately.  Similar problems are also solved for scalar products of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1107 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507151052570624 |
|---|---|
| author | Gunko, M. S. Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфінович, Н. В. |
| author_facet | Gunko, M. S. Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфінович, Н. В. |
| author_sort | Gunko, M. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:49Z |
| description | UDC 517.5
In a Hilbert space defined as the image of the unit ball under the action of a compact operator, we solve problems of optimal recovery of elements by their first $n$ Fourier coefficients given approximately.  Similar problems are also solved for scalar products of elements from two different classes. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i6.1107 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i6.1107
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, М. С. Гунько, Н. В. Парфiнович (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ
ТА ЇХНIХ СКАЛЯРНИХ ДОБУТКIВ ЗА КОЕФIЦIЄНТАМИ ФУР’Є,
ЯКI ВIДОМI З ПОХИБКОЮ
In a Hilbert space defined as the image of the unit ball under the action of a compact operator, we solve problems of
optimal recovery of elements by their first n Fourier coefficients given approximately. Similar problems are also solved for
scalar products of elements from two different classes.
На класi елементiв гiльбертового простору, який визначається, як образ одиничної кулi при дiї компактного операто-
ра, розв’язано задачi оптимального вiдновлення за вiдомими з похибкою першими n коефiцiєнтами Фур’є елементiв
класу. Аналогiчнi задачi розв’язано для скалярних добуткiв елементiв iз двох рiзних класiв.
1. Вступ. Нехай задано банахiв простiр X, клас елементiв W \subset X i деяку (iнформацiйну)
множину Y. Нехай також задано (iнформацiйне) вiдображення I : W \rightarrow \scrP 0(Y ), де \scrP 0(Y ) —
сукупнiсть непорожнiх пiдмножин множини Y. Будемо вважати, що, бажаючи отримати iнфор-
мацiю про елемент x, ми отримуємо деякий елемент множини I(x).
Довiльне вiдображення \Phi : Y \rightarrow X будемо називати методом вiдновлення елементiв мно-
жини W за заданою iнформацiєю.
Похибкою методу вiдновлення на класi W за iнформацiєю I називається величина
E(W, I,\Phi ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
y\in I(x)
\| x - \Phi (y)\| X . (1)
Величина
E(W ; I) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Phi
E(W, I,\Phi ) (2)
називається похибкою оптимального вiдновлення елементiв класу W за iнформацiєю I. При
цьому метод \Phi \ast , який реалiзує точну нижню межу у (2), називається оптимальним.
Нехай H1 i H2 — комплекснi гiльбертовi простори зi скалярними добутками \langle \cdot , \cdot \rangle H1 i \langle \cdot , \cdot \rangle H2
та вiдповiдними нормами \| \cdot \| H1 i \| \cdot \| H2 , A — компактний оператор, що дiє з H1 в H2. Через
WA позначимо образ одиничної кулi простору H1 при дiї оператора A, тобто
WA =
\bigl\{
Ah : h \in H1, \| h\| H1 \leq 1
\bigr\}
.
Ми будемо розглядати задачу вiдновлення елементiв класу WA у випадку, коли X = H2,
Y = \BbbC n, а iнформацiя про елемент x \in WA полягає у тому, що нам вiдомо з деякою похибкою
n коефiцiєнтiв Фур’є елемента x за деякою (пов’язаною з оператором A) ортонормованою
системою. Результати даної роботи доповнюють та узагальнюють результати роботи [6], якi
вiдносяться до вiдновлення функцiй.
Задачу вiдновлення лiнiйних операторiв у гiльбертових просторах, коли iнформацiю задано
точно, було розглянуто в роботi [1]. У випадку, коли iнформацiйне вiдображення I має вигляд
Ix = i(x) + B, де i — лiнiйний оператор, а B — куля деякого радiуса (яка задає похибку),
c\bigcirc В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ, 2020
736 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ . . . 737
вiдповiдну задачу вiдновлення було розглянуто у роботi [2] (див. також [3 – 5]). Iнший пiдхiд до
вивчення таких задач, який базується на стандартних принципах опуклої оптимiзацiї, викори-
стовувався у [6]. При цьому у [2] доведено, що серед оптимальних методiв вiдновлення iснує
лiнiйний, а у [6] знайдено оптимальнi методи вiдновлення у випадках, коли похибка задається
у рiвномiрнiй метрицi.
У данiй роботi ми розглянемо задачу оптимального вiдновлення за неточною iнформацiєю
про елементи класу WA при рiзних способах означення оператора I. Крiм того, ми розглянемо
задачу оптимального вiдновлення скалярних добуткiв елементiв iз двох (взагалi кажучи, рiзних)
класiв елементiв гiльбертового простору H за неточною iнформацiєю про спiвмножники. Ця
задача формулюється так.
Нехай H — гiльбертовий простiр зi скалярним добутком \langle \cdot , \cdot \rangle H , W1 i W2 — два класи
елементiв простору H. Нехай також I : H \times H \rightarrow \scrP 0(\BbbC n \times \BbbC n) — деяке iнформацiйне вi-
дображення. Довiльне вiдображення \Phi : \BbbC n \times \BbbC n \rightarrow \BbbC будемо називати методом вiдновлення
скалярного добутку. Величину
\scrE (W1,W2, I,\Phi ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W1,y\in W2
(a,b)\in I(x,y)
\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H - \Phi (a, b)
\bigm| \bigm|
будемо називати похибкою методу вiдновлення \Phi скалярного добутку на класах W1 i W2 за
iнформацiєю, що дається оператором I. Величину
\scrE (W1,W2, I) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Phi
\scrE (W1,W2, I,\Phi ) (3)
будемо називати оптимальною похибкою вiдновлення скалярного добутку на класах W1 i W2
за iнформацiєю, що дається оператором I, а метод \Phi \ast , який реалiзує iнфiмум у правiй части-
нi (3), — оптимальним методом вiдновлення.
Задачу оптимального вiдновлення бiлiнiйних функцiоналiв (зокрема, скалярних добуткiв)
за точною лiнiйною iнформацiєю про аргументи було поставлено у роботi [7]. Там же було
отримано першi результати щодо її розв’язання. З приводу подальших результатiв див. роботи
[8 – 12].
У данiй роботi ми розглянемо задачу оптимального вiдновлення скалярних добуткiв еле-
ментiв з класiв W1 i W2 за неточною iнформацiєю про першi n коефiцiєнтiв Фур’є елементiв
за деякою ортонормованою системою.
2. Загальнi оцiнки знизу похибок оптимального вiдновлення. Нехай X — банахiв прос-
тiр, Y — векторний простiр i \theta Y — нульовий елемент простору Y (нульовий елемент простору
\BbbC n будемо позначати через \theta ). Нехай також I — деяке iнформацiйне вiдображення.
Лема 1. Припустимо, що знайдеться такий елемент \~x \in W , що - \~x \in W i \theta Y \in I(\~x) \cap
\cap I( - \~x). Тодi для будь-якого методу \Phi
E(W, I,\Phi ) \geq \| \~x\| X
i, отже,
E(W ; I) \geq \| \~x\| X .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
738 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Доведення. Маємо
E(W, I,\Phi ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
a\in I(x)
\bigm\| \bigm\| x - \Phi (a)
\bigm\| \bigm\|
X
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\theta Y \in I(x)\cap I( - x)
\bigm\| \bigm\| x - \Phi (\theta Y )
\bigm\| \bigm\|
X
\geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\theta Y \in I(x)\cap I( - x)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| x - \Phi (\theta Y )
\bigm\| \bigm\|
X
,
\bigm\| \bigm\| - x - \Phi (\theta Y )
\bigm\| \bigm\|
X
\bigr\}
\geq
\geq 1
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\theta Y \in I(x)\cap I( - x)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| x - \Phi (\theta Y )
\bigm\| \bigm\|
X
+
\bigm\| \bigm\| - x - \Phi (\theta Y )
\bigm\| \bigm\|
X
\bigr\}
\geq
\geq 1
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\theta Y \in I(x)\cap I( - x)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| x - \Phi (\theta Y )
\bigm\| \bigm\|
X
+
\bigm\| \bigm\| x+\Phi (\theta Y )
\bigm\| \bigm\|
X
\bigr\}
\geq
\geq 1
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\theta Y \in I(x)\cap I( - x)
2\| x\| X \geq \| \~x\| X .
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай задано класи W1 i W2 елементiв гiльбертового простору H та довiльне
iнформацiйне вiдображення I : H \times H \rightarrow \scrP 0(\BbbC n \times \BbbC n). Припустимо, що знайдуться такi
елементи \~x \in W1 i \~y \in W2, що
- \~x \in W1 i (\theta , \theta ) \in I(\~x, \~y) \cap I( - \~x, \~y)
або
- \~y \in W2 i (\theta , \theta ) \in I(\~x, \~y) \cap I(\~x, - \~y).
Тодi для будь-якого методу вiдновлення \Phi : \BbbC n \times \BbbC n \rightarrow \BbbC
\scrE (W1,W2, I,\Phi ) \geq
\bigm| \bigm| \langle \~x, \~y\rangle H \bigm| \bigm| .
Доведення. Нехай, для визначеностi, (\theta , \theta ) \in (I(\~x, \~y) \cap I( - \~x, \~y)). Тодi для довiльного \Phi
\scrE (W1,W2, I,\Phi ) \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W1,y\in W2
(\theta ,\theta )\in (I(x,y)\cap I( - x,y))
\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H - \Phi (\theta , \theta )
\bigm| \bigm| \geq
\geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{ \bigm| \bigm| \langle \~x, \~y\rangle H - \Phi (\theta , \theta )
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \langle - \~x, \~y\rangle H - \Phi (\theta , \theta )
\bigr\}
\geq
\geq 1
2
\bigl\{ \bigm| \bigm| \langle \~x, \~y\rangle H - \Phi (\theta , \theta )
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \langle \~x, \~y\rangle H +\Phi (\theta , \theta )
\bigm| \bigm| \bigr\} \geq
\bigm| \bigm| \langle \~x, \~y\rangle H \bigm| \bigm| .
Лему 2 доведено.
3. \bfits -Числа та канонiчне зображення компактного оператора у гiльбертовому просто-
рi. Нехай H1 i H2 — гiльбертовi простори, A — компактний оператор, що дiє з H1 в H2,
A\ast — спряжений оператор. Тут ми наведемо, в потрiбному нам виглядi, твердження про кано-
нiчне зображення оператора A (див., наприклад, [13]). Оператор A\ast A : H1 \rightarrow H1 є додатним,
компактним та самоспряженим. В силу теореми Гiльберта – Шмiдта в H1 iснує ортонормована
система \{ \phi n\} власних векторiв цього оператора, якi вiдповiдають власним значенням \{ \lambda n\} ,
\lambda n \not = 0, така, що кожний елемент \xi \in H1 можна зобразити єдиним чином у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ . . . 739
\xi = \xi \prime +
\sum
k
ck\phi k, \xi \prime \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A\ast A, (4)
при цьому A\ast A\xi =
\sum
k
\lambda kck\phi k, i якщо система \{ \phi n\} нескiнченна, то \lambda n \rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
Оскiльки оператор A\ast A додатний, його ненульовi власнi значення теж додатнi. Занумеруємо
їх у порядку незростання з урахуванням кратностей: \lambda 1 \geq . . . \geq \lambda n \geq . . . . Покладемо sn =
=
\surd
\lambda n. Враховуючи, що \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A\ast A = \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A, з (4) отримуємо
A\xi =
\sum
k
ckA\phi k =
\sum
k
skck
1
sk
A\phi k =
\sum
k
skck\psi k,
де \psi k =
1
sk
A\phi k. Як неважко перевiрити, \{ \psi n\} — ортонормована система у просторi H2.
Таким чином, якщо A — компактний оператор, що дiє з H1 в H2, то в H1 i H2 iснують такi
ортонормованi системи \{ \phi n\} i \{ \psi n\} , що A\phi n = sn\psi n, будь-який \xi \in H1 можна зобразити
єдиним чином у виглядi
\xi = \xi \prime +
\sum
k
\langle \xi , \phi k\rangle H1\phi k, \xi \prime \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A,
при цьому
A\xi =
\sum
k
sk\langle \xi , \phi k\rangle H1\psi k. (5)
Як i у випадку H1 = H2, числа sn будемо називати s-числами оператора A, а рiвнiсть (5) —
канонiчним зображенням цього оператора.
4. Вiдновлення за неточно заданою iнформацiєю. В подальшому ми вважатимемо, що
для оператора A система \{ \phi k\} i, отже, система s-чисел \{ sk\} нескiнченнi. Змiни, якi потрiбно
внести у формулювання теорем i їхнi доведення у протилежному випадку, очевиднi, i ми на них
не зупиняємось. Нагадаємо, що WA =
\bigl\{
x \in H2 : x = Ah, h \in H1, \| h\| H1 \leq 1
\bigr\}
. Для x \in WA
через xk = \langle x, \psi k\rangle H2 , k \in \BbbN , позначатимемо коефiцiєнти Фур’є елемента x = Ah по системi
\{ \psi k\} , а через hk = \langle h, \phi k\rangle H1 — коефiцiєнти Фур’є елемента h по системi \{ \phi k\} . Зрозумiло, що
xk = skhk. Розглянемо задачу вiдновлення класу WA у випадку, коли iнформацiя про першi
n членiв послiдовностi \{ xk\} коефiцiєнтiв Фур’є є вiдомою з деякою похибкою, тобто замiсть
значень xk = skhk, k = 1, . . . , n, задано набiр чисел ak, якi вiдрiзняються вiд xk на малу
величину в тiй або iншiй метрицi.
Як звичайно, через lnp , n \geq 1, 1 \leq p \leq \infty , будемо позначати лiнiйний простiр векторiв
z = (z1, . . . , zn) \in \BbbC n iз вiдповiдною нормою \| \cdot \| p = \| \cdot \| lnp .
Для невiд’ємного \varepsilon через B[\varepsilon , lnp ] позначимо замкнену кулю у просторi lnp з центром у нулi
та радiусом \varepsilon . У випадку, коли n = 1, замiсть B[\varepsilon , lnp ] будемо писати B[\varepsilon ]. Крiм того, скрiзь
нижче вважаємо, що
\sum 0
k=1
дорiвнює нулю, якщо пiд знаком суми стоять числа, i дорiвнює
нульовому елементу гiльбертового простору H, якщо пiд знаком суми стоять елементи H.
4.1. Випадок \bfitI (\bfitx ) = \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon (\bfitx ) = (\bfitx 1, . . . , \bfitx \bfitn )+\bfitB [\bfitvarepsilon 1]\times . . .\times \bfitB [\bfitvarepsilon \bfitn ], \bfitvarepsilon = (\bfitvarepsilon 1, . . . , \bfitvarepsilon \bfitn ) \in
\in \BbbR \bfitn
+.
Теорема 1. Нехай A : H1 \rightarrow H2— компактний оператор i n \in \BbbN . Якщо
1 -
n\sum
k=1
\varepsilon 2k
s2k
\geq 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
740 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
то покладемо m = n. У протилежному випадку виберемо m \in \BbbZ +, m \leq n, так, щоб
1 -
m\sum
k=1
\varepsilon 2k
s2k
\geq 0 i 1 -
m\sum
k=1
\varepsilon 2k
s2k
-
\varepsilon 2m+1
s2m+1
< 0. (6)
Тодi
E(WA; In\varepsilon )
2 = s2m+1 +
m\sum
k=1
\varepsilon 2k
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
. (7)
При цьому оптимальним методом вiдновлення є метод
\Phi \ast
m(a) =
m\sum
k=1
ak
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
\psi k, a = (a1, . . . , am).
Зауваження 1. Якщо m = 0, то похибка E(WA; In\varepsilon )
2 = s21, а оптимальним методом вiд-
новлення є \Phi \ast
0(a) = \theta H2 .
Доведення. Застосовуючи нерiвнiсть опуклостi i враховуючи, що | xk - ak| \leq \varepsilon k для k =
= 1, . . . , n, для x \in WA i будь-якого m, 0 \leq m \leq n, отримуємо
\bigm\| \bigm\| x - \Phi \ast
m(a)
\bigm\| \bigm\| 2
H2
=
m\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| xk - ak
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + \infty \sum
k=m+1
| xk| 2 =
=
m\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1 - s2m+1
s2k
\biggr)
(xk - ak) +
s2m+1
s2k
xk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 + \infty \sum
k=m+1
| xk| 2 \leq
\leq
m\sum
k=1
\biggl( \biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
| xk - ak| 2 +
s2m+1
s2k
| xk| 2
\biggr)
+
\infty \sum
k=m+1
| xk| 2 \leq
\leq
m\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
| xk - ak| 2 +
m\sum
k=1
s2m+1| hk| 2 +
\infty \sum
k=m+1
s2k| hk| 2 \leq
\leq
m\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
\varepsilon 2k + s2m+1.
Таким чином, при будь-якому m \leq n має мiсце оцiнка
\bigm\| \bigm\| x - \Phi \ast
m(a)
\bigm\| \bigm\| 2
H2
\leq
m\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
\varepsilon 2k + s2m+1. (8)
Для встановлення оцiнки знизу припустимо, що число m вибрано з умови (6), i означимо
набiр невiд’ємних чисел u1, . . . , um, um+1 :
u2k =
\varepsilon 2k
s2k
, k = 1, . . . ,m, i u2m+1 = 1 -
m\sum
k=1
\varepsilon 2k
s2k
.
Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ . . . 741
\~h =
m+1\sum
k=1
uk\phi k i \~x = A\~h =
m+1\sum
k=1
skuk\psi k.
Зрозумiло, що \~x \in WA i
\| \~x\| 2H2
=
m\sum
k=1
s2ku
2
k + s2m+1u
2
m+1 =
m\sum
k=1
\varepsilon 2k + s2m+1
\Biggl(
1 -
m\sum
k=1
\varepsilon 2k
s2k
\Biggr)
=
=
m\sum
k=1
\varepsilon 2k + s2m+1 -
m\sum
k=1
\varepsilon 2k
s2m+1
s2k
.
Покажемо, що \theta \in In\varepsilon (\~x) \cap In\varepsilon ( - \~x). У випадку, коли m = n, виконання умов
| \~xk| = | skuk| \leq \varepsilon k (9)
для всiх k = 1, . . . , n є очевидним, так що \theta \in In\varepsilon (\~x) \cap In\varepsilon ( - \~x). У випадку m \leq n - 1 для
k = 1, . . . ,m умови (9) виконуються внаслiдок визначення uk i \~xk. Для k = m+ 1 на пiдставi
умови (6) маємо
| um+1| 2 \leq
\varepsilon 2m+1
s2m+1
i | \~xm+1| 2 \leq \varepsilon 2m+1.
Умову (9) виконано i в цьому випадку. Таким чином, \theta \in In\varepsilon (\~x)\cap In\varepsilon ( - \~x). Застосовуючи лему 1,
отримуємо
E(WA; In\varepsilon )
2 \geq \| \~x\| 2H2
= s2m+1 +
m\sum
k=1
\varepsilon 2k
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
.
Теорему 1 доведено.
4.2. Випадок \bfitI (\bfitx ) = \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon ,2(\bfitx ) = (\bfitx 1, . . . , \bfitx \bfitn ) + \bfitB [\bfitvarepsilon ; \bfitl \bfitn 2 ].
Теорема 2. Нехай A : H1 \rightarrow H2 — компактний оператор. Тодi якщо \varepsilon < s1, то
E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,2
\bigr)
=
\sqrt{}
s2n+1 + \varepsilon 2
\biggl(
1 -
s2n+1
s21
\biggr)
.
При цьому оптимальним методом вiдновлення є
\Phi \ast
n(a) =
n\sum
k=1
ak
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr)
\psi k.
Якщо \varepsilon \geq s1, то E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,2
\bigr)
= s1 i оптимальним методом вiдновлення є \Phi \ast
0(a) = \theta .
Доведення. Спочатку встановимо оцiнку зверху. З оцiнки (8) при m = n, враховуючи, що\sum n
k=1
\varepsilon 2k \leq \varepsilon 2, виводимо
E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,2
\bigr)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in WA
\bigm\| \bigm\| x - \Phi \ast
n(a)
\bigm\| \bigm\| 2
H2
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,...,n
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr)
\varepsilon 2 + s2n+1 =
\biggl(
1 -
s2n+1
s21
\biggr)
\varepsilon 2 + s2n+1.
Необхiдну оцiнку зверху отримано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
742 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Встановимо оцiнку знизу. Припустимо, що \varepsilon < s1.
Нехай u1 =
\varepsilon
s1
, un+1 =
\sqrt{}
1 - \varepsilon 2
s21
. Покладемо
\~u = u1\phi 1 + un+1\phi n+1 i \~x = A\~u = s1u1\psi 1 + sn+1un+1\psi n+1 = \varepsilon \psi 1 + sn+1\psi n+1
\sqrt{}
1 - \varepsilon 2
s21
.
При цьому, вочевидь, \theta \in In\varepsilon ,2(\~x) \cap In\varepsilon ,2( - \~x). Крiм того, \~x \in WA i
\| \~x\| 2H2
= \varepsilon 2 + s2n+1
\biggl(
1 - \varepsilon 2
s21
\biggr)
= \varepsilon 2
\biggl(
1 -
s2n+1
s21
\biggr)
+ s2n+1.
Використовуючи лему 1, отримуємо
E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,2
\bigr) 2 \geq \| \~x\| 2H2
= \varepsilon 2
\biggl(
1 -
s2n+1
s21
\biggr)
+ s2n+1.
Випадок \varepsilon < s1 розглянуто.
Нехай тепер \varepsilon \geq s1. Тодi для \Phi \ast
0(a) = \theta
E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,2
\bigr)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in WA
\| x - \theta \| H2 \leq s1.
Для оцiнки знизу покладемо \~u = \psi 1 i \~x = s1\psi 1, \| \~x\| H2 = s1. Зрозумiло, що \theta \in In\varepsilon ,2(\~x) \cap
\cap In\varepsilon ,2( - \~x) i за лемою 1
E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,2
\bigr)
\geq \| \~x\| H2 = s1.
Теорему 2 доведено.
4.3. Випадок \bfitI (\bfitx ) = \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon ,\infty (\bfitx ) = (\bfitx 1, . . . , \bfitx \bfitn ) + \bfitB
\bigl[
\bfitvarepsilon ; \bfitl \bfitn \infty
\bigr]
.
Теорема 3. Нехай A : H1 \rightarrow H2 — компактний оператор i число m \in \BbbZ +, m \leq n, вибрано,
як у теоремi 1. Тодi
E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,\infty
\bigr)
=
\sqrt{} s2n + \varepsilon 2
m\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
.
При цьому оптимальним методом вiдновлення є метод
\Phi \ast
m(a) =
m\sum
k=1
ak
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
\psi k.
Доведення. З теореми 1 виводимо оцiнку зверху
E
\bigl(
WA, In\varepsilon ,\infty
\bigr)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in WA
a\in In\varepsilon (x)
\bigm\| \bigm\| x - \Phi \ast
m(a)
\bigm\| \bigm\|
H2
\leq
\sqrt{} s2m+1 + \varepsilon 2
m\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
.
Для отримання оцiнки знизу достатньо в мiркуваннях, за допомогою яких встановлено оцiнку
знизу в теоремi 1, покласти \varepsilon 1 = . . . = \varepsilon n = \varepsilon .
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ . . . 743
4.4. Випадок \bfitI (\bfitx ) = \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon ,\bfitp (\bfitx ) = (\bfitx 1, . . . , \bfitx \bfitn ) + \bfitB
\bigl[
\bfitvarepsilon ; \bfitl \bfitn \bfitp
\bigr]
, \bftwo < \bfitp < \infty . Введемо такi
позначення:
c2k =
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
- 1
\left( \sum n
j=1
\Biggl(
1 -
s2n+1
s2j
\Biggr) p
p - 2
\right) 2
p
, b2k = \varepsilon 2c2k, k = 1, . . . , n.
Теорема 4. Нехай n \in \BbbN i
\Phi \ast
n(a) =
n\sum
k=1
ak
\biggl(
1 -
s2m+1
s2k
\biggr)
\psi k, a = (a1, . . . , am).
Тодi для довiльних \varepsilon > 0 i 2 < p <\infty
E
\bigl(
WA; In\varepsilon ,p
\bigr) 2 \leq s2n+1 + \varepsilon 2
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
\Biggr) p - 2
p
.
Якщо \varepsilon > 0 таке, що виконано умову
\varepsilon 2
n\sum
k=1
c2k
s2k
\leq 1, (10)
то
E
\bigl(
WA; In\varepsilon ,p
\bigr) 2
= s2n+1 + \varepsilon 2
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
\Biggr) p - 2
p
.
Доведення. При доведеннi теореми 1 для x \in WA було отримано оцiнку
\bigm\| \bigm\| x - \Phi \ast
n(a)
\bigm\| \bigm\| 2
H2
\leq
n\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr)
| xk - ak| 2 + s2n+1
n\sum
k=1
| hk| 2 +
\infty \sum
k=n+1
s2k| hk| 2.
Застосовуючи для оцiнки першого доданка нерiвнiсть Гельдера з показниками
p
p - 2
,
p
2
i
враховуючи, що
s2n+1
n\sum
k=1
| hk| 2 +
\infty \sum
k=n+1
s2k| hk| 2 \leq s2n+1,
отримуємо
\bigm\| \bigm\| x - \Phi \ast
n(a)
\bigm\| \bigm\| 2
H2
\leq
\Biggl\{
n\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
\Biggr\} p - 2
p
\Biggl\{
n\sum
k=1
| xk - ak| p
\Biggr\} 2
p
+ s2n+1 \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
744 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
\leq
\Biggl\{
n\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
\Biggr\} p - 2
p
\varepsilon 2 + s2n+1.
Для встановлення оцiнки знизу вимагатимемо, щоб \varepsilon > 0 було таким, щоб виконувалась
умова (10).
Покладемо u2k =
b2k
s2k
, k = 1, . . . , n, i u2n+1 = 1 -
\sum n
k=1
b2k
s2k
. Зауважимо, що
n\sum
k=1
(skuk)
p =
n\sum
k=1
\bigl(
b2k
\bigr) p
2 = \varepsilon p. (11)
Покладемо \~h =
\sum n+1
k=1
uk\phi k, \~x = A\~h =
\sum n+1
k=1
skuk\psi k. Зрозумiло, що \~x \in WA. Крiм того,
\| \~x\| 2H2
=
n\sum
k=1
s2ku
2
k + s2n+1u
2
n+1 =
=
n\sum
k=1
b2k + s2n+1
\Biggl(
1 -
n\sum
k=1
b2k
s2k
\Biggr)
= s2n+1 +
n\sum
k=1
b2k
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr)
=
= s2n+1 + \varepsilon 2
n\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) \biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
- 1
\Biggl( \sum n
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
\Biggr) 2
p
=
= s2n+1 + \varepsilon 2
\Biggl( \sum n
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
\Biggr) p - 2
p
.
Внаслiдок (11) \theta \in In\varepsilon ,p(\~x) \cap In\varepsilon ,p( - \~x). Застосовучи лему 1, отримуємо
E
\bigl(
WA; In\varepsilon ,p
\bigr) 2 \geq \| \~x\| 2H2
= s2n+1 + \varepsilon 2
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 -
s2n+1
s2k
\biggr) p
p - 2
\Biggr) p - 2
p
.
Теорему 4 доведено.
5. Вiдновлення скалярних добуткiв. Застосуємо тепер методи з попереднього пункту до
задачi вiдновлення скалярних добуткiв.
Нехай A : H1 \rightarrow H2 — компактний оператор iз канонiчним зображенням (5):
Ag =
\sum
k
sk\langle g, \phi k\rangle H1\psi k =
\sum
k
skgk\psi k.
Нехай також задано обмежений оператор B : H1 \rightarrow H2 вигляду
Bh =
\sum
k
qk\langle h, \phi k\rangle H1\psi k =
\sum
k
qkhk\psi k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ . . . 745
де \{ qk\} — незростаюча послiдовнiсть додатних чисел. За допомогою цих операторiв визначимо
класи
WA = \{ Ag : \| g\| H1 \leq 1\} , WB = \{ Bh : \| h\| H1 \leq 1\} .
Розглянемо задачу оптимального вiдновлення скалярного добутку \langle x, y\rangle H2 на класах WA i
WB за неточно заданими наборами перших n коефiцiєнтiв Фур’є елементiв x \in WA i y \in WB
за системою \{ \psi k\} , тобто за неточно заданими наборами чисел \{ skgk\} nk=1 i \{ qkhk\} nk=1. Будемо
розглядати цю задачу для iнформацiйних вiдображень вигляду
In\varepsilon (x, y) =
\bigl\{
(a, b) \in \BbbC n \times \BbbC n : \forall k = 1, . . . , n, | xkyk - akbk| \leq \varepsilon k
\bigr\}
i
In\varepsilon ,p(x, y) =
\Bigl\{
(a, b) \in \BbbC n \times \BbbC n :
\bigm\| \bigm\| (x1y1, . . . , xnyn) - (a1b1, . . . , anbn)
\bigm\| \bigm\|
lnp
\leq \varepsilon
\Bigr\}
.
Тут \varepsilon , \varepsilon 1, . . . , \varepsilon n — невiд’ємнi числа i 1 \leq p \leq \infty .
5.1. Iнформацiйне вiдображення \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon (\bfitx , \bfity ).
Теорема 5. Для заданого n \in \BbbN покладемо m = n, якщо
1 -
m\sum
k=1
\varepsilon k
skqk
\geq 0.
У протилежному випадку виберемо m \in \BbbZ +, m \leq n, виходячи з умов
1 -
m\sum
k=1
\varepsilon k
skqk
\geq 0 i 1 -
m\sum
k=1
\varepsilon k
skqk
- \varepsilon m+1
sm+1qm+1
< 0. (12)
Тодi
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon
\bigr)
= sm+1qm+1 +
m\sum
k=1
\varepsilon k
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
.
При цьому оптимальним методом вiдновлення є
\Phi \ast
m(a, b) =
m\sum
k=1
akbk
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
.
Доведення. Для x \in WA, y \in WB маємо
\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H2 - \Phi \ast
m(a, b)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
k=1
xkyk -
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
akbk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
xkyk -
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
akbk +
\infty \sum
k=m+1
xkyk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr) \biggl(
xkyk - akbk
\biggr)
+
m\sum
k=1
sm+1qm+1
skqk
xkyk +
\infty \sum
k=m+1
xkyk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
746 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
\leq
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
| xkyk - akbk| +
m\sum
k=1
sm+1qm+1
skqk
skqk| hkgk| + sm+1qm+1
\infty \sum
k=m+1
| hkgk| .
Використовуючи для оцiнки другого i третього доданкiв нерiвнiсть Кошi – Буняковського, про-
довжуємо оцiнку так: \bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H2 - \Phi \ast
m(a, b)
\bigm| \bigm| \leq
\leq
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
| xkyk - akbk| + sm+1qm+1
\Biggl( \infty \sum
k=1
| hk| 2
\Biggr) 1
2
\Biggl( \infty \sum
k=1
| gk| 2
\Biggr) 1
2
\leq
\leq
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
\varepsilon k + sm+1qm+1.
Таким чином, при будь-якому m справджується оцiнка
\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H2 - \Phi \ast
m(a, b)
\bigm| \bigm| \leq m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
\varepsilon k + sm+1qm+1. (13)
Для встановлення оцiнки знизу припустимо, що m вибрано з умови (12), i покладемо
uk = vk =
\sqrt{}
\varepsilon k
skqk
, k = 1, . . . ,m, i um+1 = vm+1 =
\sqrt{} 1 -
m\sum
k=1
\varepsilon k
skqk
.
Означимо елементи \~x \in WA i \~y \in WB :
\~x =
m+1\sum
k=1
skuk\psi k, \~y =
m+1\sum
k=1
qkvk\psi k.
Покажемо, що (\theta , \theta ) \in I(\~x, \~y) \cap I( - \~x, \~y). У випадку m = n виконання умов | \~xk \~yk| =
= | skqkukvk| \leq \varepsilon k при всiх k є очевидним. Отже, (\theta , \theta ) \in I(\~x, \~y) \cap I( - \~x, \~y).
Якщо ж m \leq n - 1, то при k = 1, . . . ,m нерiвностi | \~xk \~yk| \leq \varepsilon k виконуються згiдно з
означенням \~xk i \~yk. Для k = m+ 1 маємо
\bigm| \bigm| \~xm+1\~ym+1
\bigm| \bigm| = sm+1qm+1
\Biggl(
1 -
m\sum
k=1
\varepsilon k
skqk
\Biggr)
\leq sm+1qm+1
\varepsilon m+1
sm+1qm+1
= \varepsilon m+1.
Далi
\langle \~x, \~y\rangle H2 =
m\sum
k=1
skqkukvk + sm+1qm+1
\Biggl(
1 -
m\sum
k=1
\varepsilon k
skqk
\Biggr)
=
= sm+1qm+1 +
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
\varepsilon k.
Використовуючи лему 2, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ . . . 747
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon
\bigr)
\geq \langle \~x, \~y\rangle H2 = sm+1qm+1 +
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
\varepsilon k.
Необхiдну оцiнку встановлено.
Теорему 5 доведено.
5.2. Iнформацiйне вiдображення \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon ,1.
Теорема 6. Якщо \varepsilon < s1q1, то
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,1
\bigr)
= sn+1qn+1 + \varepsilon
\biggl(
1 - sn+1qn+1
s1q1
\biggr)
.
При цьому оптимальним методом вiдновлення є
\Phi \ast
n(a, b) =
n\sum
k=1
akbk
\biggl(
1 - sn+1qn+1
s1q1
\biggr)
.
Якщо ж \varepsilon \geq s1q1, то
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,1
\bigr)
= s1q1
i \Phi \ast
0(a, b) = \theta — оптимальний метод.
Доведення. З оцiнки (13), враховуючи, що
\sum n
k=1
\varepsilon k \leq \varepsilon , виводимо, що для x \in WA,
y \in WB при m = n
\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H2 - \Phi \ast
n(a, b)
\bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k=1,n
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) n\sum
k=1
\varepsilon k + sn+1qn+1 =
=
\biggl(
1 - sn+1qn+1
s1q1
\biggr)
\varepsilon + sn+1qn+1.
Це необхiдна оцiнка зверху:
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,1
\bigr)
\leq sn+1qn+1 + \varepsilon
\biggl(
1 - sn+1qn+1
s1q1
\biggr)
.
Встановимо оцiнку знизу. Припустимо спочатку, що \varepsilon < s1q1. Нехай u1 =
\sqrt{}
\varepsilon
s1q1
, un+1 =
=
\sqrt{}
1 - \varepsilon
s1q1
. Покладемо \~u = u1\phi 1 + un+1\phi n+1, \~v = u1\phi 1 + un+1\phi n+1 i
\~x = A\~u = s1\~u1\psi 1 + sn+1\~un+1\psi n+1, \~y = B\~v = q1\~u1\psi 1 + qn+1\~un+1\psi n+1.
Зрозумiло, що \~x \in WA, \~y \in WB i (\theta , \theta ) \in In\varepsilon ,1(\~x, \~y) \cap In\varepsilon ,1( - \~x, \~y). Крiм того,
\langle \~x, \~y\rangle H2 = s1q1u
2
1 + sn+1qn+1u
2
n+1 = \varepsilon +
\biggl(
1 - \varepsilon
s1q1
\biggr)
sn+1qn+1 =
= sn+1qn+1 + \varepsilon
\biggl(
1 - sn+1qn+1
s1q1
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
748 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
З огляду на лему 2 отримуємо
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,1
\bigr)
\geq sn+1qn+1 + \varepsilon
\biggl(
1 - sn+1qn+1
s1q1
\biggr)
.
Нехай тепер \varepsilon \geq s1q1. Для методу \Phi \ast
0(a, b) = \theta i будь-яких x \in WA, y \in WB одержуємо\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H2 - \theta
\bigm| \bigm| =\sum
k
skqk| hkgk| \leq s1q1\| h\| H1\| g\| H1 \leq s1q1.
Для оцiнки знизу покладемо \~x = s1\psi 1, \~y = q1\psi 1. Зрозумiло, що \theta \in In\varepsilon ,1(\~x, \~y) \cap In\varepsilon ,1( - \~x, \~y). За
лемою 2 маємо
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,1
\bigr)
\geq
\bigm| \bigm| \bigl\langle \~x, \~y\bigr\rangle
H2
\bigm| \bigm| = s1q1.
Теорему 6 доведено.
5.3. Iнформацiйне вiдображення \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon ,\infty .
Теорема 7. Для заданого n \in \BbbN число m \in \BbbZ +, m \leq n, виберемо, як у теоремi 5. Тодi
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,\infty
\bigr)
= sm+1qm+1 + \varepsilon
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
.
При цьому оптимальним методом вiдновлення є метод
\Phi \ast
m(a, b) =
m\sum
k=1
akbk
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
.
Доведення. З теореми 5 виводимо
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,\infty
\bigr)
\leq \scrE
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,\infty ,\Phi
\ast
m
\bigr)
\leq sm+1qm+1 + \varepsilon
m\sum
k=1
\biggl(
1 - sm+1qm+1
skqk
\biggr)
.
Для встановлення оцiнки знизу достатньо в мiркуваннях, за допомогою яких отримано оцiнку
знизу в теоремi 5, взяти \varepsilon 1 = . . . = \varepsilon m = \varepsilon .
Теорему 7 доведено.
5.4. Iнформацiйне вiдображення \bfitI \bfitn
\bfitvarepsilon ,\bfitp , \bfone < \bfitp < \infty . Нехай q = p/(p - 1) i
ck =
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) q - 1
\left( n\sum
j=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
sjqj
\biggr) q
\right)
1 - q
q
.
Теорема 8. Нехай \Phi \ast
n(a, b) =
\sum n
k=1
akbk
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr)
, тодi для будь-якого \varepsilon > 0
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,p
\bigr)
\leq \scrE
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,p,\Phi
\ast
n
\bigr)
\leq sn+1qn+1 + \varepsilon
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) q\Biggr) 1
q
.
Якщо \varepsilon таке, що виконується умова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
ОПТИМАЛЬНЕ ВIДНОВЛЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ ГIЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ . . . 749
\varepsilon
n\sum
k=1
(skqk)
- 1ck \leq 1, (14)
то
E(WA,WB, In\varepsilon ,p) = \scrE
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,p,\Phi
\ast
n
\bigr)
= sn+1qn+1 + \varepsilon
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) q\Biggr) 1
q
i метод \Phi \ast
n(a, b) є оптимальним.
Доведення. В ходi доведення теореми 5 було встановлено оцiнку\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H2 - \Phi \ast
n(a, b)
\bigm| \bigm| \leq n\sum
k=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr)
| xkyk - akbk| + sn+1qn+1.
Застосовуючи для оцiнки першого доданка нерiвнiсть Гельдера з показниками p i q =
p
p - 1
,
отримуємо
\bigm| \bigm| \langle x, y\rangle H2 - \Phi \ast
n(a, b)
\bigm| \bigm| \leq \Biggl( n\sum
k=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) q\Biggr) 1
q
\Biggl(
n\sum
k=1
| xkyk - akbk| p
\Biggr) 1
p
+ sn+1qn+1 \leq
\leq
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) q\Biggr) 1
q
\varepsilon + sn+1qn+1.
Перше твердження теореми доведено.
Для встановлення оцiнки знизу припустимо, що виконано умову (14). Нехай
uk = vk =
\bigl(
\varepsilon (skqk)
- 1ck
\bigr) 1/2
, k = 1, . . . , n, i un+1 = vn+1 =
\Biggl(
1 - \varepsilon
n\sum
k=1
(skqk)
- 1ck
\Biggr) 1/2
.
Означимо елементи \~x \in WA i \~y \in WB :
\~x =
n+1\sum
k=1
skuk\psi k, \~y =
n+1\sum
k=1
qkvk\psi k.
Як легко бачити,
\sum n
k=1
| \~xk\~yk| p = \varepsilon p, так що (\theta , \theta ) \in In\varepsilon ,p(\~x, \~y) \cap In\varepsilon ,p( - \~x, \~y). Крiм того,
\langle \~x, \~y\rangle H2 =
n\sum
k=1
skqkukvk = sn+1qn+1 + \varepsilon
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) q\Biggr) 1
q
.
Використовуючи лему 2, отримуємо
E
\bigl(
WA,WB, In\varepsilon ,p
\bigr)
\geq \langle \~x, \~y\rangle H2 = sn+1qn+1 + \varepsilon
\Biggl(
n\sum
k=1
\biggl(
1 - sn+1qn+1
skqk
\biggr) q\Biggr) 1
q
.
Необхiдну оцiнку знизу встановлено.
Теорему 8 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
750 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Лiтература
1. C. A. Micchelli, T. J. Rivlin, A survey of optimal recovery, Optim. Estimation in Approxim. Theory, Plenum Press,
New York (1977).
2. A. A. Melkman, C. A. Micchelli, Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data,
SIAM J. Numer. Anal., 16, № 1, 87 – 105 (1979).
3. C. A. Micchelli, T. J. Rivlin, Lectures on optimal recovery, Numer. Anal., Springer-Verlag, Berlin (1984).
4. C. A. Micchelli, Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data: a second look,
Numer. Algorithms, 5, 375 – 390 (1993).
5. L. Plaskota, Noisy information and computational complexity, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1996).
6. Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко, Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффи-
циентам Фурье, заданным с погрешностью, Мат. сб., 193, № 3, 79 – 100 (2002).
7. В. Ф. Бабенко, О наилучшем использовании линейных функционалов для аппроксимации билинейных, Исследо-
вания по соврем. пробл. суммирования и приближения функций и их прил., Днепропетровск (1979).
8. В. Ф. Бабенко, Экстремальные задачи теории приближения и несимметричные нормы: Дис. . . . д-ра физ.-мат.
наук, Днепропетровск (1987).
9. В. Ф. Бабенко, О приближенном вычислении скалярных произведений, Укр. мат. журн., 40, № 1, 15 – 21 (1988).
10. В. Ф. Бабенко, А. А. Руденко, Об оптимальном восстановлении сверток и скалярных произведений функций
из различных классов, Укр. мат. журн., 43, № 10, 1305 – 1310 (1991).
11. В. Ф. Бабенко, А. А. Руденко, Об оптимальном восстановлении билинейных функционалов в линейных норми-
рованных пространствах, Укр. мат. журн., 49, № 6, 828 – 831 (1997).
12. В. Ф. Бабенко, M. C. Гунько, А. А. Руденко, Об оптимальном восстановлении билинейных функционалов по
линейной информации, Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика, вип. 17, 11 – 17 (2012).
13. И. М. Гельфанд, Н. Я. Виленкин, Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы
пространства (обобщенные функции, вып. 4), Физматгиз, Москва (1961).
Одержано 23.10.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1107 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:45Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/3587479ad2418e508145722f5df04b0c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-11072022-03-26T11:01:49Z Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error Оптимальное восстановление элементов гильбертова пространства и их скалярных произведений по коэффициентам Фурье, известным с погрешностью. Оптимальне вiдновлення елементiв гiльбертового простору та їхнiх скалярних добуткiв за коефiцiєнтами Фур’є, якi вiдомi з похибкою Gunko, M. S. Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфінович, Н. В. UDC 517.5 In a Hilbert space defined as the image of the unit ball under the action of a compact operator, we solve problems of optimal recovery of elements by their first $n$ Fourier coefficients given approximately.&nbsp;&nbsp;Similar problems are also solved for scalar products of elements from two different classes. УДК 517.5 На классе элементов гильбертова пространства, который определяется как образ единичного шара при действии компактного оператора, решены задачи оптимального восстановления по известным с погрешностью первым $n$ коэффициентам Фурье элементов класса. Аналогичные задачи решены для скалярных произведений элементов из двух различных классов. &nbsp; УДК 517.5 На класі елементів гільбертового простору, який визначається, як образ одиничної кулі при дії компактного оператора, розв'язано задачі оптимального відновлення за відомими з похибкою першими $n$ коефіцієнтами Фур'є елементів класу. Аналогічні задачі розв'язано для скалярних добутків елементів із двох різних класів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-06-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1107 10.37863/umzh.v72i6.1107 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 6 (2020); 736-750 Український математичний журнал; Том 72 № 6 (2020); 736-750 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1107/8711 Copyright (c) 2020 Марина Гунько, Владислав Бабенко, Наталія Парфінович |
| spellingShingle | Gunko, M. S. Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Гунько, М. С. Бабенко, В. Ф. Парфінович, Н. В. Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error |
| title | Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error |
| title_alt | Оптимальное восстановление элементов гильбертова пространства и их скалярных произведений по коэффициентам Фурье, известным с погрешностью. Оптимальне вiдновлення елементiв гiльбертового простору та їхнiх скалярних добуткiв за коефiцiєнтами Фур’є, якi вiдомi з похибкою |
| title_full | Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error |
| title_fullStr | Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error |
| title_full_unstemmed | Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error |
| title_short | Optimal recovery of elements from Hilbert space and their scalar products by Fourier coefficients known with error |
| title_sort | optimal recovery of elements from hilbert space and their scalar products by fourier coefficients known with error |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1107 |
| work_keys_str_mv | AT gunkoms optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT babenkovf optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT parfinovychnv optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT gunʹkoms optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT babenkovf optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT parfinovičnv optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT gunʹkoms optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT babenkovf optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT parfínovičnv optimalrecoveryofelementsfromhilbertspaceandtheirscalarproductsbyfouriercoefficientsknownwitherror AT gunkoms optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT babenkovf optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT parfinovychnv optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT gunʹkoms optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT babenkovf optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT parfinovičnv optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT gunʹkoms optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT babenkovf optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT parfínovičnv optimalʹnoevosstanovlenieélementovgilʹbertovaprostranstvaiihskalârnyhproizvedenijpokoéfficientamfurʹeizvestnymspogrešnostʹû AT gunkoms optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT babenkovf optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT parfinovychnv optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT gunʹkoms optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT babenkovf optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT parfinovičnv optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT gunʹkoms optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT babenkovf optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû AT parfínovičnv optimalʹnevidnovlennâelementivgilʹbertovogoprostorutaíhnihskalârnihdobutkivzakoeficiêntamifurêâkividomizpohibkoû |