On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups
UDC 512.542 Let $H$ be a subgroup of a finite group $G.$ If $G$ contains a maximal subgroup $M$ such that $H$ is a maximal subgroup in $M,$ then $H$ is called a $2$-maximal subgroup of $G.$ A subgroup $U$ of $G$ is said to be a strictly $2$-maximal subgroup in $G$ if $U$ is a $2$-maximal subgroup of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1115 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507151279063040 |
|---|---|
| author | Monakhov, V. S. Konovalova , M. N. Монахов , V. S. Коновалова , М. М. Монахов , В. С. Коновалова , М. М. |
| author_facet | Monakhov, V. S. Konovalova , M. N. Монахов , V. S. Коновалова , М. М. Монахов , В. С. Коновалова , М. М. |
| author_sort | Monakhov, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:21Z |
| description | UDC 512.542
Let $H$ be a subgroup of a finite group $G.$ If $G$ contains a maximal subgroup $M$ such that $H$ is a maximal subgroup in $M,$ then $H$ is called a $2$-maximal subgroup of $G.$ A subgroup $U$ of $G$ is said to be a strictly $2$-maximal subgroup in $G$ if $U$ is a $2$-maximal subgroup of $G$ and $U$ is not a 2-maximal subgroup in any proper subgroup of $G.$ We investigate the finite groups with $\mathfrak X$-subnormal strictly $2$-maximal subgroups for arbitrary subgroup-closed formation $\mathfrak X.$ In such a group, any proper subgroup has a nilpotent $\mathfrak X$-residual.We study in more detail the case where $\mathfrak X= \mathfrak A_1\mathfrak F$ for a subgroup-closed formation $\mathfrak F$ and the case where $\mathfrak X$ is a soluble saturated formation.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i1.1115 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i1.1115
УДК 512.542
В. С. Монахов, М. М. Коновалова (Гомел. держ. ун-т iм. Ф. Скорини, Бiлорусь)
ПРО ГРУПИ З ФОРМАЦIЙНО СУБНОРМАЛЬНИМИ
СТРОГО \bftwo -МАКСИМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ
Let H be a subgroup of a finite group G. If G contains a maximal subgroup M such that H is a maximal subgroup in
M, then H is called a 2-maximal subgroup of G. A subgroup U of G is said to be a strictly 2-maximal subgroup in G
if U is a 2-maximal subgroup of G and U is not a 2-maximal subgroup in any proper subgroup of G. We investigate the
finite groups with X-subnormal strictly 2-maximal subgroups for arbitrary subgroup-closed formation X. In such a group,
any proper subgroup has a nilpotent X-residual. We study in more detail the case where X = \frakA 1\frakF for a subgroup-closed
formation \frakF and the case where X is a soluble saturated formation.
Нехай H — пiдгрупа скiнченної групи G. Якщо iснує максимальна в G пiдгрупа M така, що H є максимальною
пiдгрупою в M, то H називається 2-максимальною пiдгрупою групи G. Пiдгрупу U групи G називають строго
2-максимальною пiдгрупою в G, якщо U є 2-максимальною пiдгрупою в G i U не є 2-максимальною пiдгрупою
в жоднiй власнiй пiдгрупi групи G. Дослiджуються скiнченнi групи з X-субнормальними строго 2-максимальними
пiдгрупами для довiльної спадкової формацiї X. У такiй групi всi власнi пiдгрупи мають нiльпотентнi X-корадикали.
Бiльш детально вивчено випадки, коли X = \frakA 1\frakF для деякої спадкової формацiї \frakF або коли X — розв’язна насичена
формацiя.
1. Вступ. Усi групи, що розглядаються, вважаємо скiнченними. Термiнологiя, що використову-
ється, вiдповiдає [1, 2]. Запис M < G (M\lessdot G) означає, що M — власна (максимальна) пiдгрупа
групи G.
Нехай H — пiдгрупа групи G. Якщо iснує максимальна в групi G пiдгрупа M така, що
H є максимальною пiдгрупою в M, то H називається 2-максимальною пiдгрупою групи G.
Нехай n — натуральне число. Якщо iснує ланцюжок пiдгруп
H = H0 \lessdot H1 \lessdot . . .\lessdot Hn - 1 \lessdot Hn = G, (1)
то пiдгрупа H називається n-максимальною пiдгрупою групи G.
У знакозмiннiй групi A4 степеня 4 одинична пiдгрупа 1 є 2-максимальною пiдгрупою в
ланцюжку пiдгруп 1 \lessdot Z3 \lessdot A4 i 3-максимальною пiдгрупою в ланцюжку 1 \lessdot Z2 \lessdot E4 \lessdot A4.
Тут Zm i E4 — циклiчна й елементарна абелева пiдгрупи порядку m \in \{ 2, 3\} i 4 вiдповiдно.
Для будь-якого натурального числа n \geq 3 iснує група, в якiй деяка 2-максимальна пiдгрупа є
n-максимальною пiдгрупою [3] (приклад 3).
Пiдгрупу U групи G називають строго 2-максимальною пiдгрупою в G, якщо U є 2-мак-
симальною пiдгрупою в G i U не є 2-максимальною пiдгрупою в жоднiй власнiй пiдгрупi
групи G. Iншими словами, строго 2-максимальна пiдгрупа — це така пiдгрупа групи G, яка
є 2-максимальною у будь-якому ланцюжку пiдгруп групи G. Аналогiчно визначається строго
n-максимальна пiдгрупа [4].
У надрозв’язнiй групi кожна 2-максимальна пiдгрупа є строго 2-максимальною. Це ви-
пливає з класичної теореми Хупперта: група надрозв’язна тодi i тiльки тодi, коли кожна її
максимальна пiдгрупа має простий iндекс [5] (теорема 6). У не надрозв’язнiй групi A4 всi
пiдгрупи порядку 2 строго 2-максимальнi, а одинична пiдгрупа 2-максимальна, але не є строго
2-максимальною пiдгрупою. У групi S4 пiдгрупи порядку 3 i 4 строго 2-максимальнi, а пiдгрупа
c\bigcirc В. С. МОНАХОВ, М. М. КОНОВАЛОВА, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1 107
108 В. С. МОНАХОВ, М. М. КОНОВАЛОВА
порядку 2 з S3 є 2-максимальною пiдгрупою в S4, але не є строго 2-максимальною пiдгрупою
в S4. Тут An i Sn — знакозмiнна i симетрична групи степеня n вiдповiдно.
Групи з обмеженнями на 2-максимальнi пiдгрупи дослiджувались у багатьох роботах (див.,
наприклад, [3 – 8]). Зокрема, вiдомо, що у групi, в якiй кожна 2-максимальна пiдгрупа субнор-
мальна, всi власнi пiдгрупи нiльпотентнi [6].
Формацiйним узагальненням субнормальностi є поняття \frakF -субнормальностi. Нехай \frakF —
формацiя, G — група. Пiдгрупа H групи G називається \frakF -субнормальною в G, якщо або
H = G, або iснує ланцюжок пiдгруп (1) такий, що Hi/(Hi - 1)Hi \in \frakF для всiх i. Тут YX =
=
\bigcap
x\in X Y x — ядро пiдгрупи Y у групi X. У випадку, коли H — максимальна пiдгрупа i
\frakF -субнормальна в G, говорять, що H \frakF -нормальна в G.
Введемо такi позначення: \frakA , \frakN , U i S — формацiї всiх абелевих, нiльпотентних, над-
розв’язних i розв’язних груп вiдповiдно; \scrA — формацiя всiх розв’язних груп з абелевими
силовськими пiдгрупами; \frakA 1 — формацiя всiх абелевих груп з елементарними абелевими си-
ловськими пiдгрупами; wU — формацiя всiх груп з U-субнормальними силовськими пiдгру-
пами; vU — формацiя всiх груп, у яких кожна примарна циклiчна пiдгрупа U-субнормальна.
Формацiї wU i vU детально вивченi у роботах [3, 9 – 11].
У розв’язнiй групi будь-яка субнормальна пiдгрупа \frakA 1-субнормальна [9]. Оскiльки при
X \subseteq Y будь-яка X-субнормальна пiдгрупа буде Y-субнормальною, то у розв’язнiй групi кожна
субнормальна пiдгрупа \frakF -субнормальна для будь-якої формацiї \frakF , що мiстить \frakA 1. Навпаки,
субнормальнiсть пiдгрупи у розв’язнiй групi випливає з її \frakF -субнормальностi при \frakF \subseteq \frakN .
Далi, у розв’язнiй групi U-субнормальнiсть пiдгрупи H рiвносильна iснуванню ланцюжка
пiдгруп (1), у якому всi iндекси | Hi1 : Hi| — простi числа [9]. У роботах [3 – 7] вивчено
групи з U-субнормальними 2-максимальними пiдгрупами. Для довiльних розв’язних спадкових
формацiй \frakF групи з \frakF -субнормальними 2-максимальними пiдгрупами вивчались у статтi [8].
У цiй статтi умова \frakF -субнормальностi накладається не на всi 2-максимальнi пiдгрупи, а ли-
ше на строго 2-максимальнi. Для довiльної спадкової формацiї \frakF в теоремi 1 встановлено, що
в групi G з \frakF -субнормальними строго 2-максимальними пiдгрупами всi власнi пiдгрупи мають
нiльпотентнi \frakF -корадикали. Звiдси випливає, що G \in \frakN \scrA при \frakF = \scrA i | \pi (G)| > 2 (наслi-
док 1). У теоремi 2 стверджується, що \frakA 1\frakF -субнормальнiсть строго 2-максимальних пiдгруп у
розв’язнiй групi G рiвносильна тому, що всi власнi пiдгрупи мають нiльпотентнi \frakF -корадикали
i \Phi (G\frakF ) = 1. Звiдси випливає нiльпотентнiсть комутанта групи G при \frakA 1\frakF = \frakA 1\frakA i | \pi (G)| > 3,
а також при \frakA 1\frakF = \frakA 1\scrA i | \pi (G)| > 2 (наслiдки 3 i 4). Вибiр формацiї \frakA 1\frakA пов’язаний з
тим, що вона мiститься у багатьох формацiях розв’язних груп i при X \subseteq Y будь-яка X-суб-
нормальна пiдгрупа буде Y-субнормальною. Тому з теореми 2 можна виводити iнформацiю
про групи з X-субнормальними строго 2-максимальними пiдгрупами для конкретних спадко-
вих розв’язних формацiй X. Теорема 3 i її наслiдки встановлюють критерiї \frakF -субнормальностi
строго 2-максимальних пiдгруп для багатьох насичених спадкових формацiй, у тому числi
для \frakN , U, wU i vU.
2. Властивостi строго 2-максимальних пiдгруп.
Лема 1. Якщо H — 2-максимальна пiдгрупа групи G, H \lessdot M \lessdot G, а iндекси | G : M |
i | M : H| — простi числа, то H є строго 2-максимальною пiдгрупою групи G. Зокрема, в
надрозв’язнiй групi всi 2-максимальнi пiдгрупи строго 2-максимальнi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ПРО ГРУПИ З ФОРМАЦIЙНО СУБНОРМАЛЬНИМИ СТРОГО 2-МАКСИМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 109
Доведення. Нехай H — 2-максимальна пiдгрупа групи G, H \lessdot M \lessdot G, й iндекси | G : M |
i | M : H| — простi числа. Припустимо, що H не є строго 2-максимальною пiдгрупою групи G.
За означенням iснує пiдгрупа K в групi G така, що H < K < G i H 2-максимальна в K. Тому
iснує пiдгрупа L така, що H \lessdot L\lessdot K < G. За лемою про iндекси
| G : H| = | G : K| | K : L| | L : H| , | G : K| \not = 1, | K : L| \not = 1, | L : H| \not = 1,
тому | G : H| дiлиться на три простих числа, суперечнiсть. Отже, припущення є хибним i
H — строго 2-максимальна пiдгрупа групи G.
Нехай H \lessdot M \lessdot G i G — надрозв’язна група. За теоремою Хупперта [5] (теорема 6)
iндекс | G : H| дiлиться точно на два простих числа, необов’язково рiзних. Якщо H < X\lessdot G, то
| X : H| — просте число i H — максимальна пiдгрупа у X. Оскiльки X — довiльна максимальна
пiдгрупа групи G, що мiстить H, то H є строго 2-максимальною пiдгрупою групи G.
Лема 2. Нехай H — (строго) 2-максимальна пiдгрупа групи G. Тодi справедливi такi
твердження:
(1) Hx — (строго) 2-максимальна пiдгрупа групи G для будь-якого x \in G;
(2) якщо N — нормальна в G пiдгрупа i N \leq H, то H/N — (строго) 2-максимальна
пiдгрупа групи G/N ;
(3) якщо N — абелева мiнiмальна нормальна в G пiдгрупа, що не мiститься в H, то HN —
максимальна пiдгрупа групи G.
Доведення. Твердження 1 i 2 доводяться простою перевiркою. Доведемо твердження 3.
Нехай N — абелева мiнiмальна нормальна в G пiдгрупа, що не мiститься в H, i H \lessdot M \lessdot G.
Якщо HN = G, то H — максимальна в G пiдгрупа, суперечнiсть. Тому HN < G. Якщо
N \leq M, то HN = M — максимальна пiдгрупа групи G. Припустимо, що N не мiститься в M.
Тодi
G = MN, M \cap N = H \cap N = 1.
Нехай HN \leq V \lessdot G. За тотожнiстю Дедекiнда V = (V \cap M)N. Оскiльки
H \leq V \cap M \leq M, H \lessdot M,
то або V \cap M = M, або H = V \cap M. Якщо V \cap M = M, то M \leq V i G = MN \leq V, що
неможливо. Тому H = V \cap M i V = (V \cap M)N = HN — максимальна пiдгрупа групи G.
Лема 3. Нехай H — 2-максимальна пiдгрупа групи G, H \lessdot M \lessdot G. Якщо H не є строго
2-максимальною пiдгрупою групи G, то iснує строго 2-максимальна пiдгрупа U групи G,
U \lessdot W \lessdot G, така, що H = M \cap U = M \cap W.
Доведення. Оскiльки 2-максимальна пiдгрупа H за умовою не є строго 2-максимальною
пiдгрупою групи G, то iснує власна пiдгрупа V групи G, в якiй H є 2-максимальною. Тому
iснує ланцюжок пiдгруп
H = V0 \lessdot V1 \lessdot V2 = V \leq . . . \leq Vt = W \lessdot G, t \geq 2, Vi \lessdot Vi+1 для будь-якого i. (2)
Серед усiх таких ланцюжкiв виберемо ланцюжок найбiльшої довжини. Нехай (2) — ланцюжок
максимальної довжини i U — максимальна в W пiдгрупа, що мiстить V при V \not = W i U = V1
при V = W. Пiдгрупа U 2-максимальна в G. Якщо U не є строго 2-максимальною в G, то
можна побудувати новий ланцюжок бiльшої довжини, нiж довжина (2), суперечнiсть. Отже,
U — строго 2-максимальна пiдгрупа групи G. Крiм того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
110 В. С. МОНАХОВ, М. М. КОНОВАЛОВА
H \leq M \cap U \leq M \cap W \leq M.
Оскiльки M не мiститься в W, то M \cap W < M. Оскiльки H максимальна в M, то H =
= M \cap U = M \cap W.
Нам знадобляться наступнi загальнi властивостi \frakF -субнормальних пiдгруп.
Лема 4. Нехай \frakF — спадкова формацiя, H i K — пiдгрупи групи G, N — нормальна в G
пiдгрупа. Тодi справедливi такi твердження:
(1) якщо K \frakF -субнормальна в H, а H \frakF -субнормальна в G, то K \frakF -субнормальна в G [12]
(6.1.6 (1));
(2) якщо H \frakF -субнормальна в G, то H \cap K \frakF -субнормальна в K [12] (6.1.7 (2));
(3) якщо H \leq K \leq G \in \frakF , то H \frakF -субнормальна в K [12] (6.1.7 (1)).
Лема 5 ([8], лема 9). 1. Нехай \frakF — спадкова формацiя. Тодi i тiльки тодi в групi G всi
максимальнi пiдгрупи \frakA 1\frakF -нормальнi, коли G \in \frakN \frakF .
2. Якщо група G \in \frakN \frakF , то всi її власнi пiдгрупи \frakA 1\frakF -субнормальнi.
Неодноразово будемо використовувати таку лему.
Лема 6 ([13], 24.2; 24.3). Якщо \frakF — насичена формацiя, G — розв’язна мiнiмальна не \frakF -
група, то справедливi такi твердження:
(1) G\frakF є p-групою для деякого p \in \pi (G);
(2) G\frakF /\Phi (G\frakF ) — головний фактор групи G;
(3) G\frakF \Phi (G) = F (G).
Лема 7. Якщо G — розв’язна мiнiмальна не метанiльпотентна група, то G/F (G) — група
Шмiдта.
Доведення. Клас усiх метанiльпотентних груп є насиченою спадковою формацiєю [13,
c. 36] i збiгається з добутком \frakN \frakN = \frakN 2. Нехай спочатку \Phi (G) = 1. Згiдно з лемою 6 (3)
пiдгрупа G\frakN 2
= F (G). Оскiльки G\frakN 2
— p-група для деякого p \in \pi (G) за лемою 6 (1), то
F (G) = Op(G). Оскiльки G /\in \frakN 2, то G/F (G) /\in \frakN .
Нехай U/F (G) — власна пiдгрупа в G/F (G). Тодi U метанiльпотентна i U/F (U) нiльпо-
тентна. Оскiльки G розв’язна, Op(G) = F (G) \leq U, то
CG(F (G)) = Z(F (G)), Op\prime (U) = 1,
Op(G) = F (G) \leq F (U) = Op(U).
Нехай H/F (G) = F (G/F (G)). Тодi H/F (G) є p\prime -пiдгрупою i
H \cap Op(U) = Op(G) = F (G).
Оскiльки G/H нiльпотентна, то UH/H \simeq U/U \cap H i U/Op(U) нiльпотентна. Тому
U/U \cap H \cap Op(U) = U/F (G)
нiльпотентна. Отже, всi власнi в G/F (G) пiдгрупи нiльпотентнi i G/F (G) — група Шмiдта.
Нехай \Phi (G) \not = 1. Згiдно з лемою 6 (3) пiдгрупа F (G) = G\frakN 2
\Phi (G). Оскiльки \frakN 2 — насичена
формацiя, то G/\Phi (G) /\in \frakN 2 i G/\Phi (G) — мiнiмальна не \frakN 2-група. За умовою група G розв’язна,
тому F (G/\Phi (G)) = F (G)/\Phi (G) за [1] (4.21), i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ПРО ГРУПИ З ФОРМАЦIЙНО СУБНОРМАЛЬНИМИ СТРОГО 2-МАКСИМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 111
G/F (G) \simeq (G/\Phi (G))/(F (G)/\Phi (G)) =
= (G/\Phi (G))/(F (G/\Phi (G)).
Оскiльки \Phi (G/\Phi (G)) = 1, то за доведеним (G/\Phi (G))/F (G/\Phi (G)) — група Шмiдта, а отже,
G/F (G) — група Шмiдта.
Приклад. У простiй групi PSL(2, 5) усi власнi пiдгрупи метанiльпотентнi та навiть мета-
белевi. Тому умова розв’язностi групи в лемi 7 не є зайвою.
3. Випадок спадкової формацiї.
Лема 8. Нехай \frakF — спадкова формацiя i у групi G всi максимальнi пiдгрупи \frakF -нормальнi.
Тодi G/\Phi (G) \in \frakF . Якщо \frakF насичена, то G \in \frakF .
Доведення. Нехай у групi G всi максимальнi пiдгрупи \frakF -нормальнi, тобто G/MG \in \frakF для
всiх M \lessdot G. Оскiльки \frakF — формацiя, то
G/
\bigcap
M\lessdot G
MG \in \frakF .
Але
\bigcap
M\lessdot GMG = \Phi (G), отже, G/\Phi (G) \in \frakF . Якщо \frakF насичена, то G \in \frakF .
Лема 9. Якщо X — розв’язна спадкова формацiя i в групi G всi строго 2-максимальнi
пiдгрупи X-субнормальнi, то G розв’язна.
Доведення. При X \subseteq Y кожна X-субнормальна пiдгрупа є Y-субнормальною. Тому можна
вважати, що X = S. Нехай M\lessdot G i H\lessdot M. За лемою 3 iснує строго 2-максимальна пiдгрупа U
така, що H = M \cap U. За умовою U S-субнормальна в G. За лемою 4 (2) пiдгрупа H S-
нормальна в M. Оскiльки M i H довiльнi, то за лемою 8 усi максимальнi пiдгрупи групи G
розв’язнi. Тому G — мiнiмальна нерозв’язна група i фактор-група G/\Phi (G) — проста група.
Якщо \Phi (G) \not = 1, то за iндукцiєю G/\Phi (G) розв’язна, а отже, G розв’язна. Таким чином,
\Phi (G) = 1 i G — проста група. Нехай K — строго 2-максимальна пiдгрупа групи G. За умовою
K S-субнормальна у G, отже, iснує максимальна в G пiдгрупа L така, що K \leq L i G/LG \in S.
Але LG = 1, тому G розв’язна.
Теорема 1. Нехай \frakF — спадкова формацiя i у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи
\frakF -субнормальнi. Тодi справедливi такi твердження:
(1) M/\Phi (M) \in \frakF для кожної максимальної пiдгрупи M групи G; зокрема, група G \in \frakN \frakF
або G є мiнiмальною не \frakN \frakF -групою;
(2) якщо \frakF насичена, то всi власнi пiдгрупи групи G належать \frakF i кожна 2-максимальна
пiдгрупа групи G \frakF -субнормальна в G.
Доведення. 1. Нехай M — максимальна пiдгрупа в G i H — максимальна пiдгрупа в M.
Тодi H є 2-максимальною пiдгрупою групи G. Якщо H строго 2-максимальна, то за умовою
H \frakF -субнормальна в G. Тепер H \frakF -нормальна в M за лемою 4 (2). Якщо H не є строго
2-максимальною, то за лемою 3 iснує строго 2-максимальна пiдгрупа U така, що H = U \cap M.
За умовою U \frakF -субнормальна в G. За лемою 4 (2) пiдгрупа H \frakF -нормальна в M. Таким
чином, усi максимальнi в M пiдгрупи \frakF -нормальнi. За лемою 8 фактор-група M/\Phi (M) \in \frakF .
Оскiльки M — довiльна максимальна пiдгрупа в G i формацiя \frakF спадкова, то G \in \frakN \frakF або G є
мiнiмальною не \frakN \frakF -групою.
2. Якщо \frakF насичена, то всi власнi пiдгрупи групи G належать \frakF . Нехай H — довiльна
2-максимальна в G пiдгрупа, H\lessdot M\lessdot G. Якщо H — строго 2-максимальна, то за умовою H \frakF -
субнормальна в G. Нехай H — не строго 2-максимальна. За лемою 3 iснує строго 2-максимальна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
112 В. С. МОНАХОВ, М. М. КОНОВАЛОВА
пiдгрупа U така, що H = U \cap M. За умовою U \frakF -субнормальна в G. Оскiльки U \in \frakF , то H
\frakF -субнормальна в U за лемою 4 (3). За лемою 4 (1) пiдгрупа H \frakF -субнормальна в G. Отже, у
випадку, коли формацiя \frakF насичена, кожна 2-максимальна пiдгрупа \frakF -субнормальна.
Наслiдок 1. Нехай у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \scrA -субнормальнi. Тодi G \in
\in \frakN \scrA або група G має такi властивостi:
(1) G = P \leftthreetimes Q;
(2) P = G\frakN \scrA — силовська p-пiдгрупа;
(3) Q — силовська q-пiдгрупа i 1 \not = Q\prime \leq CG(\Phi (P ));
(4) QG — силовська q-пiдгрупа в \Phi (G) i Q/QG — мiнiмальна неабелева група.
Зокрема, якщо | \pi (G)| > 2, то G \in \frakN \scrA .
Доведення. Нехай G /\in \frakN \scrA . За теоремою 1 (1) група G є мiнiмальною не \frakN \scrA -групою.
Згiдно з лемою 5 [8] вона має властивостi 1 – 4. Зокрема, якщо | \pi (G)| > 2, то G \in \frakN \scrA .
Теорема 2. Нехай \frakF — спадкова формацiя. Якщо у групi G всi строго 2-максимальнi пiд-
групи \frakA 1\frakF -субнормальнi, то кожна власна пiдгрупа має нiльпотентний \frakF -корадикал. Нав-
паки, якщо у розв’язнiй групi G кожна власна пiдгрупа має нiльпотентний \frakF -корадикал
i \Phi (G\frakA 1\frakF ) = 1, то всi 2-максимальнi пiдгрупи \frakA 1\frakF -субнормальнi.
Доведення. Нехай всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakA 1\frakF -субнормальнi, M — максимальна
пiдгрупа групи G, а H — максимальна пiдгрупа в M. Якщо H — строго 2-максимальна
пiдгрупа групи G, то за умовою вона \frakA 1\frakF -субнормальна в G. За лемою 4 (2) пiдгрупа H
\frakA 1\frakF -нормальна в M. Якщо H не є строго 2-максимальною, то за лемою 3 iснує строго 2-
максимальна пiдгрупа U така, що H = U \cap M. За умовою U \frakA 1\frakF -субнормальна в G. За
лемою 4 (2) пiдгрупа H \frakA 1\frakF -нормальна в M. Таким чином, усi максимальнi в M пiдгрупи
\frakA 1\frakF -нормальнi. За лемою 5 (1) пiдгрупа M \in \frakN \frakF . Оскiльки M — довiльна в G пiдгрупа,
то або G \in \frakN \frakF , або G є мiнiмальною не \frakN \frakF -групою. У будь-якому випадку всi власнi в G
пiдгрупи мають нiльпотентнi \frakF -корадикали.
Обернене твердження можна отримати з теореми 2 роботи [8]. Ми наведемо тут безпосе-
реднє доведення. Нехай G — розв’язна група, \Phi (G\frakA 1\frakF ) = 1 i всi власнi пiдгрупи мають нiль-
потентнi \frakF -корадикали. Нехай H — довiльна 2-максимальна пiдгрупа групи G. Якщо G \in \frakN \frakF ,
то за лемою 5 (2) пiдгрупа H \frakA 1\frakF -субнормальна в G. Нехай тепер G не належить \frakN \frakF . Тодi
G є мiнiмальною не \frakN \frakF -групою. За лемою 6 (1) пiдгрупа P = G\frakN \frakF є p-пiдгрупою для деякого
p \in \pi (G) i P — мiнiмальна нормальна в G пiдгрупа, оскiльки
\Phi (P ) = \Phi (G\frakN \frakF ) \leq \Phi (G\frakA 1\frakF ) = 1.
Якщо HP = G, то H — максимальна в G пiдгрупа, оскiльки P — мiнiмальна нормальна пiд-
група, суперечнiсть. Отже, HP < G, HP \in \frakN \frakF i H \frakA 1\frakF -субнормальна в HP за лемою 5 (2).
Оскiльки HP/P < G/P \in \frakN \frakF , то HP/P \frakA 1\frakF -субнормальна в G/P знову за лемою 5 (2).
Тепер HP \frakA 1\frakF -субнормальна в G i H \frakA 1\frakF -субнормальна в G за лемою 4 (1).
Наслiдок 2. Нехай \frakF — розв’язна спадкова формацiя. Якщо в групi G всi строго 2-макси-
мальнi пiдгрупи \frakA 1\frakF -субнормальнi, то група G розв’язна i або \frakF -корадикал групи G нiльпо-
тентний, або G/F (G) є мiнiмальною не \frakF -групою.
Доведення. За лемою 9 група G розв’язна. Згiдно з теоремою 2, всi власнi пiдгрупи групи G
мають нiльпотентнi \frakF -корадикали. Якщо \frakF -корадикал групи G не нiльпотентний, то група G
є мiнiмальною не \frakN \frakF -групою i згiдно з лемою 3 [8] фактор-група G/F (G) буде мiнiмальною
не \frakF -групою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ПРО ГРУПИ З ФОРМАЦIЙНО СУБНОРМАЛЬНИМИ СТРОГО 2-МАКСИМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 113
Наслiдок 3. Якщо в групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakA 1\frakA -субнормальнi i
| \pi (G)| > 3, то комутант групи G нiльпотентний.
Доведення. Нехай комутант групи G не нiльпотентний. Застосовуючи теорему 2 при
\frakF = \frakA , переконуємося, що G є мiнiмальною не \frakN \frakA -групою. За лемою 9 група G розв’язна, а
згiдно з лемою 3 [8] фактор-група G/F (G) є мiнiмальною не \frakA -групою. Будова мiнiмальних
неабелевих груп вiдома, зокрема їхнiй порядок дiлиться не бiльш нiж на два рiзних простих
числа, тому | \pi (G/F (G))| \leq 2. Пiдгрупа F (G) = G\frakN \frakA \Phi (G) за лемою 6 (3) i | \pi (G\frakN \frakA )| = 1
за лемою 6 (1). Оскiльки \pi (G/\Phi (G)) = \pi (G), то | \pi (G)| \leq 3, суперечнiсть з умовою. Тому
припущення є хибним i комутант групи G нiльпотентний.
Зауваження 1. Будову групи G з \frakA 1\frakA -субнормальними строго 2-максимальними пiдгрупа-
ми можна записати детальнiше. Згiдно з наслiдками 2 i 3 вони або належать \frakN \frakA , або | \pi (G)| \leq 3
i фактор-група по пiдгрупi Фiттiнга є мiнiмальною неабелевою групою. Будова останнiх є вi-
домою (див., наприклад, [13], § 26).
Наслiдок 4. Якщо у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakA 1\scrA -субнормальнi i
| \pi (G)| > 2, то G \in \frakN \scrA .
Доведення. Нехай G /\in \frakN \scrA . Застосовуючи теорему 2 при \frakF = \scrA , переконуємося, що G є
мiнiмальною не \frakN \scrA -групою. За лемою 9 група G розв’язна, а згiдно з лемою 5 [8] | \pi (G)| = 2,
суперечнiсть з умовою. Тому припущення є хибним i G \in \frakN \scrA .
Зауваження 2. Будову групи G з \frakA 1\scrA -субнормальними строго 2-максимальними пiдгрупа-
ми можна записати детальнiше. Згiдно з наслiдками 2 i 4 вони або належать \frakN \scrA , або | \pi (G)| \leq 2
i фактор-група по пiдгрупi Фiттiнга є мiнiмальною не \scrA -групою. Будова останнiх є вiдомою
(див. [8], лема 5). Цi властивостi перераховано у наслiдку 1.
4. Розв’язна i насичена формацiя.
Теорема 3. Нехай \frakH — розв’язна спадкова насичена формацiя така, що в кожнiй розв’язнiй
мiнiмальнiй не \frakH -групi \frakH -корадикал є силовською пiдгрупою. Тодi еквiвалентнi такi тверд-
ження:
(1) у групi G всi 2-максимальнi пiдгрупи \frakH -субнормальнi;
(2) у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakH -субнормальнi;
(3) група G розв’язна, \Phi (G\frakH ) = 1 i всi власнi пiдгрупи з G належать \frakH .
Доведення. Очевидно, що з першого твердження випливає друге. Доведемо, що з дру-
гого твердження випливає третє. Нехай у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakH -
субнормальнi. За лемою 9 група G розв’язна, а за теоремою 1 (2) всi власнi в G пiдгрупи
належать \frakH . Якщо G \in \frakH , то G\frakH = 1, \Phi (G\frakH ) = 1, тобто група G з пункту 3 теореми. Не-
хай G не належить \frakH . За умовою P = G\frakH є силовською p-пiдгрупою для деякого p \in \pi (G).
Нехай H — p\prime -холлова пiдгрупа в G. Припустимо, що \Phi (P ) \not = 1. Тодi H — власна пiдгрупа
у \Phi (P )H i \Phi (P )H — максимальна в G пiдгрупа. Це випливає з того, що P/\Phi (P ) — мiнiмальна
нормальна у G/\Phi (P ) пiдгрупа за лемою 6 (2). Нехай K — максимальна в \Phi (P )H пiдгрупа, що
мiстить H. Тодi K — 2-максимальна в G пiдгрупа i за лемою 3 iснує строго 2-максимальна
пiдгрупа U така, що K = U \cap \Phi (P )H, тому H \leq U. За умовою U \frakH -субнормальна в G.
Тому iснує максимальна в G пiдгрупа V така, що H \leq U \leq V i G/VG \in \frakH . Тепер P \leq V i
G = PH \leq V, суперечнiсть. Тому припущення є хибним i \Phi (G\frakH ) = 1.
Тепер доведемо, що з третього твердження випливає перше. Нехай група G розв’язна, всi
власнi пiдгрупи з G належать \frakH i \Phi (G\frakH ) = 1. Якщо G \in \frakH , то всi її пiдгрупи \frakH -субнормальнi
за лемою 4 (3). Нехай G не мiститься в \frakH , P = G\frakH . Згiдно з лемою 6 (2) пiдгрупа P буде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
114 В. С. МОНАХОВ, М. М. КОНОВАЛОВА
мiнiмальною нормальною в G пiдгрупою. Нехай H — довiльна 2-максимальна в G пiдгрупа.
Якщо G = HP, то H — максимальна в G пiдгрупа, суперечнiсть. Отже, HP — власна в G
пiдгрупа. Нехай HP \leq M, M — максимальна в G пiдгрупа. Пiдгрупа H \frakH -субнормальна в M,
оскiльки M \in \frakH . Оскiльки P \leq M, то
P \in MG, G/MG \simeq (G/P )/(MG/P ) \in \frakH ,
отже, M \frakH -субнормальна в G. За лемою 4 (1) пiдгрупа H \frakH -субнормальна в G.
Теорему доведено.
Розглянемо застосування теореми 3 до формацiй \frakN , U, wU i vU. Зрозумiло, що
\frakN \subset U \subset wU \subset vU.
Для кожної з цих формацiй запишемо наслiдки з теореми 3.
Наслiдок 5 [14]. Нехай G — не нiльпотентна група. Тодi еквiвалентнi такi умови:
(1) кожна 2-максимальна пiдгрупа субнормальна в G;
(2) кожна строго 2-максимальна пiдгрупа субнормальна в G;
(3) G — група Шмiдта з абелевими силовськими пiдгрупами.
Доведення. Мiнiмальна не \frakN -група є групою Шмiдта i її \frakN -корадикал збiгається з нормаль-
ною силовською пiдгрупою [13] (§ 26). Для групи Шмiдта G умова \Phi (G\frakN ) = 1 рiвносильна
тому, що G\frakN абелева [13] (§ 26). Крiм того, у розв’язних групах \frakN -субнормальнiсть пiдгру-
пи H у групi G рiвносильна [9] (лема 1.11) субнормальностi H в G. Залишилося застосувати
теорему 3 при \frakH = \frakN .
Наслiдок 6. Нехай G — не надрозв’язна група. Тодi еквiвалентнi такi умови:
(1) кожна 2-максимальна пiдгрупа U-субнормальна в G;
(2) кожна строго 2-максимальна пiдгрупа U-субнормальна в G;
(3) G — мiнiмальна не надрозв’язна група i \Phi (GU) = 1.
Доведення. Мiнiмальна не надрозв’язна група розв’язна i її U-корадикал є нормальною
силовською пiдгрупою [9] (лема 2.1). Залишилося застосувати теорему 3 при \frakH = U.
Наслiдок 7. Нехай група G /\in wU. Тодi еквiвалентнi такi умови:
(1) кожна 2-максимальна пiдгрупа wU-субнормальна в G;
(2) кожна строго 2-максимальна пiдгрупа wU-субнормальна в G;
(3) G — бiпримарна мiнiмальна не надрозв’язна група i \Phi (GwU) = 1.
Доведення. Клас wU є насиченою спадковою формацiєю [10] (2.7). Мiнiмальна не wU-
група є бiпримарною мiнiмальною не надрозв’язною групою [10] (2.9). Тому вона розв’язна i
її wU-корадикал є нормальною силовською пiдгрупою. Залишилося застосувати теорему 3 при
\frakH = wU.
Наслiдок 8. Нехай група G /\in vU. Тодi еквiвалентнi такi умови:
(1) кожна 2-максимальна пiдгрупа vU-субнормальна в G;
(2) кожна строго 2-максимальна пiдгрупа vU-субнормальна в G;
(3) G — бiпримарна мiнiмальна не надрозв’язна група, в якiй не нормальна силовська пiд-
група циклiчна i \Phi (GvU) = 1.
Доведення. Клас vU є спадковою насиченою формацiєю [3] (теорема В (2)). Мiнiмальна не
vU-група є бiпримарною мiнiмальною не надрозв’язною групою, в якiй не нормальна силовська
пiдгрупа циклiчна [3] (теорема В (4)). Тому вона розв’язна i її vU-корадикал є нормальною
силовською пiдгрупою. Залишилося застосувати теорему 3 при \frakH = vU.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ПРО ГРУПИ З ФОРМАЦIЙНО СУБНОРМАЛЬНИМИ СТРОГО 2-МАКСИМАЛЬНИМИ ПIДГРУПАМИ 115
Наслiдок 9. Якщо в групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakN \scrA -субнормальнi i | \pi (G)| >
> 2, то G \in \frakN \scrA .
Доведення. Формацiя \frakN \scrA розв’язна, насичена i згiдно з лемою 5 [8] задовольняє умови
теореми 3. За цiєю теоремою всi власнi пiдгрупи групи G належать \frakN \scrA . Якщо G є мiнiмальною
не \frakN \scrA -групою, то | \pi (G)| = 2 за лемою 5 [8], суперечнiсть з умовою. Тому G \in \frakN \scrA .
Зауваження 3. Теорема 3 непридатна для формацiї \frakF , у якої \frakF -корадикал деякої мiнi-
мальної не \frakF -групи не є силовською пiдгрупою. Прикладом такої формацiї є формацiя \frakN 2
всiх метанiльпотентних груп. Симетрична група S4 степеня 4 є мiнiмальною не \frakN 2-групою
i (S4)
\frakN 2 \sim = E4 не є силовською в S4 пiдгрупою. Група S4 також є мiнiмальною не \frakN \frakA -групою
i (S4)
\frakN \frakA \sim = E4.
Теорема 4. Нехай \frakH — розв’язна спадкова насичена формацiя, G — група i \Phi (G\frakH ) = 1.
Тодi еквiвалентнi такi твердження:
(1) у групi G всi 2-максимальнi пiдгрупи \frakH -субнормальнi;
(2) у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakH -субнормальнi;
(3) група G розв’язна i всi власнi пiдгрупи з G належать \frakH .
Доведення. Оскiльки кожна строго 2-максимальна пiдгрупа є 2-максимальною, то з пер-
шого твердження випливає друге. Доведемо, що з другого твердження випливає третє. Нехай
у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakH -субнормальнi. За лемою 9 група G розв’язна,
а за теоремою 1 (2) всi власнi в G пiдгрупи належать \frakH .
Доведемо, що з третього твердження випливає перше. Нехай група G розв’язна, всi власнi
пiдгрупи з G належать \frakH i \Phi (G\frakH ) = 1. Якщо G \in \frakH , то всi її пiдгрупи \frakH -субнормальнi за
лемою 4 (3). Нехай G не мiститься в \frakH i P = G\frakH . Згiдно з лемою 6 (2) пiдгрупа P є мiнiмальною
нормальною пiдгрупою групи G. Нехай U — довiльна 2-максимальна в G пiдгрупа. За ле-
мою 2 (2), (3) або P \leq U, або PU — максимальна в G пiдгрупа. У будь-якому випадку PU \not = G.
Нехай PU \leq M, M — максимальна в G пiдгрупа. Пiдгрупа U \frakH -субнормальна в M за
лемою 4 (3), оскiльки M \in \frakH . Оскiльки P \leq M, то P \leq MG i
G/MG \simeq (G/P )/(MG/P ) \in \frakH .
Отже, M \frakH -нормальна в G. За лемою 4 (1) пiдгрупа U \frakH -субнормальна в G.
Наслiдок 10. Нехай G — група i \Phi (G\frakN 2
) = 1. Тодi еквiвалентнi такi твердження:
(1) у групi G всi 2-максимальнi пiдгрупи \frakN 2-субнормальнi;
(2) у групi G всi строго 2-максимальнi пiдгрупи \frakN 2-субнормальнi;
(3) група G розв’язна i або G метанiльпотентна, або G/F (G) — група Шмiдта.
Зокрема, якщо | G/F (G)| > 2, то G метанiльпотентна.
Доведення. Достатньо застосувати теорему 4 при \frakH = \frakN 2 i лему 7.
Лiтература
1. В. С. Монахов, Введение в теорию конечных групп и их классов, Вышэйш. шк., Минск (2006).
2. K. Doerk, T. Hawkes, Finite soluble groups, Walter de Gruyter, Berlin, New York (1992).
3. V. S. Monakhov, V. N. Kniahina, Finite groups with \BbbP -subnormal subgroups, Ric. Mat., 62, № 1, 307 – 322 (2013).
4. M. Asaad, Finite groups some of whose n-maximal subgroups are normal, Acta Math. Hungar., 54, № 1-2, 9 – 27
(1989).
5. B. Huppert, Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen, Math. Z., 60, 409 – 434 (1954).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
116 В. С. МОНАХОВ, М. М. КОНОВАЛОВА
6. Ю. В. Луценко, А. Н. Скиба, Конечные группы с субнормальными вторыми или третьими максимальными
подгруппами, Мат. заметки, 91, № 5, 730 – 740 (2012).
7. V. A. Kovaleva, A. N. Skiba, Finite soluble groups with all n-maximal subgroups \frakF -subnormal, J. Group Theory, 17,
№ 1, 273 – 290 (2014).
8. В. С. Монахов, О группах с формационно субнормальными 2-максимальными подгруппами, Мат. заметки, 105,
№ 2, 69 – 277 (2019).
9. В. С. Монахов, Конечные группы с абнормальными и U-субнормальными подгруппами, Сиб. мат. журн., 57,
№ 2, 447 – 462 (2016).
10. А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, В. Н. Тютянов, О конечных группах сверхразрешимого типа, Сиб. мат. журн.,
51, № 6, 1270 – 1281 (2010).
11. В. И. Мурашко, Свойства класса конечных групп с \BbbP -субнормальными циклическими примарными подгруппами,
Докл. НAН Беларуси, 58, № 1, 5 – 8 (2014).
12. A. Ballester-Bolinches, L. M. Ezquerro, Classes of finite groups, Springer-Verlag, Dordrecht (2006).
13. Л. А. Шеметков, Формации конечных групп, Наука, Москва (1978).
14. Ю. В. Горбатова, М. Н. Коновалова, Конечные группы с субнормальными строго 2-максимальными или строго
3-максимальными подгруппами, Вестн. Омск. ун-та, 24, № 3, 4 – 12 (2019).
Одержано 01.11.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1115 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:45Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/cdc1f3c0afbf81f6b00b7a82b5a42fd7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-11152025-03-31T08:49:21Z On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups Про групи з формаційно субнормальними строго 2-максимальними підгрупами Monakhov, V. S. Konovalova , M. N. Монахов , V. S. Коновалова , М. М. Монахов , В. С. Коновалова , М. М. UDC 512.542 Let $H$ be a subgroup of a finite group $G.$ If $G$ contains a maximal subgroup $M$ such that $H$ is a maximal subgroup in $M,$ then $H$ is called a $2$-maximal subgroup of $G.$ A subgroup $U$ of $G$ is said to be a strictly $2$-maximal subgroup in $G$ if $U$ is a $2$-maximal subgroup of $G$ and $U$ is not a 2-maximal subgroup in any proper subgroup of $G.$ We investigate the finite groups with $\mathfrak X$-subnormal strictly $2$-maximal subgroups for arbitrary subgroup-closed formation $\mathfrak X.$ In such a group, any proper subgroup has a nilpotent $\mathfrak X$-residual.We study in more detail the case where $\mathfrak X= \mathfrak A_1\mathfrak F$ for a subgroup-closed formation $\mathfrak F$ and the case where $\mathfrak X$ is a soluble saturated formation. &nbsp; UDC 512.542 Нехай $H$ - пiдгрупа скінченної групи $G.$ Якщо iснує максимальна в $G$ пiдгрупа $M$ така, що $H$ є максимальною пiдгрупою в $M,$ то $H$ називається 2-максимальною пiдгрупою групи $G.$&nbsp; Пiдгрупу $U$ групи $G$ називають строго 2-максимальною пiдгрупою в $G,$ якщо $U$ є 2-максимальною пiдгрупою в $G$ i $U$ не є 2-максимальною пiдгрупою в жоднiй власнiй пiдгрупi групи $G.$Дослiджуються скінченнi групи з $\mathfrak X$-субнормальними строго 2-максимальними пiдгрупами для довiльної спадкової формацiї $\mathfrak X.$ У такiй групi всi власнi пiдгрупи мають нiльпотентнi $\mathfrak X$-корадикали. Бiльш детально вивчено випадки, коли $\mathfrak X= \mathfrak A_1\mathfrak F$ для деякої спадкової формацiї $\mathfrak F$ або коли $\mathfrak X$~--- розв'язна насичена формацiя. &nbsp; &nbsp; УДК 512.542 Нехай $H$~--- пiдгрупа скінченної групи $G.$ Якщо iснує максимальна в $G$ пiдгрупа $M$ така, що $H$ є максимальною пiдгрупою в $M,$ то $H$ називається 2-максимальною пiдгрупою групи $G.$ Пiдгрупу $U$ групи $G$ називають строго 2-максимальною пiдгрупою в $G,$ якщо $U$ є 2-максимальною пiдгрупою в $G$ i $U$ не є 2-максимальною пiдгрупою в жоднiй власнiй пiдгрупi групи $G.$Дослiджуються скінченнi групи з $\mathfrak X$-субнормальними строго 2-максимальними пiдгрупами для довiльної спадкової формацiї $\mathfrak X.$ У такiй групi всi власнi пiдгрупи мають нiльпотентнi $\mathfrak X$-корадикали. Бiльш детально вивчено випадки, коли $\mathfrak X= \mathfrak A_1\mathfrak F$ для деякої спадкової формацiї $\mathfrak F$ або коли $\mathfrak X$ -розв'язна насичена формацiя. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-01-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1115 10.37863/umzh.v73i1.1115 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 1 (2021); 107 - 116 Український математичний журнал; Том 73 № 1 (2021); 107 - 116 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1115/8907 Copyright (c) 2021 Victor Monakhov |
| spellingShingle | Monakhov, V. S. Konovalova , M. N. Монахов , V. S. Коновалова , М. М. Монахов , В. С. Коновалова , М. М. On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups |
| title | On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups |
| title_alt | On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups Про групи з формаційно субнормальними строго 2-максимальними підгрупами |
| title_full | On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups |
| title_fullStr | On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups |
| title_full_unstemmed | On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups |
| title_short | On groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups |
| title_sort | on groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1115 |
| work_keys_str_mv | AT monakhovvs ongroupswithformationalsubnormalstrictly2maximalsubgroups AT konovalovamn ongroupswithformationalsubnormalstrictly2maximalsubgroups AT monahovvs ongroupswithformationalsubnormalstrictly2maximalsubgroups AT konovalovamm ongroupswithformationalsubnormalstrictly2maximalsubgroups AT monahovvs ongroupswithformationalsubnormalstrictly2maximalsubgroups AT konovalovamm ongroupswithformationalsubnormalstrictly2maximalsubgroups AT monakhovvs progrupizformacíjnosubnormalʹnimistrogo2maksimalʹnimipídgrupami AT konovalovamn progrupizformacíjnosubnormalʹnimistrogo2maksimalʹnimipídgrupami AT monahovvs progrupizformacíjnosubnormalʹnimistrogo2maksimalʹnimipídgrupami AT konovalovamm progrupizformacíjnosubnormalʹnimistrogo2maksimalʹnimipídgrupami AT monahovvs progrupizformacíjnosubnormalʹnimistrogo2maksimalʹnimipídgrupami AT konovalovamm progrupizformacíjnosubnormalʹnimistrogo2maksimalʹnimipídgrupami |