On multidimensional Ostrowski type inequalities
Sharp Ostrowski type inequalities for multidimensional sets and functions of bounded variations are proved.
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1125 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507153186422784 |
|---|---|
| author | Kovalenko, О. V. Коваленко, О. В. Коваленко, О. В. |
| author_facet | Kovalenko, О. V. Коваленко, О. В. Коваленко, О. В. |
| author_sort | Kovalenko, О. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:40Z |
| description | Sharp Ostrowski type inequalities for multidimensional sets and functions of bounded variations are proved. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i5.1125 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i5.1125
УДК 517.5
О. В. Коваленко (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО
Sharp Ostrowski type inequalities for multidimensional sets and functions of bounded variations are proved.
Доведено точнi нерiвностi типу Островського для багатовимiрних множин i функцiй багатьох змiнних з обмеженою
варiацiєю.
1. Вступ. У 1937 р. А. Островський [1] довiв таку нерiвнiсть.
Теорема А. Нехай f : [0, 1] \rightarrow \BbbR є диференцiйовною на iнтервалi (0, 1) функцiєю, яка має
обмежену на цьому iнтервалi похiдну. Тодi для всiх x \in [0, 1]\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f(t) dt - f(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\Biggl(
1
4
+
\biggl(
x - 1
2
\biggr) 2
\Biggr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,1)
| f \prime (t)| .
Нерiвнiсть є точною.
Нерiвностi, якi оцiнюють вiдхилення значення функцiї вiд її середнього значення за допо-
могою деякої характеристики функцiї, називають нерiвностями типу Островського. Такi нерiв-
ностi мають багато застосувань, зокрема в теорiї наближень i чисельних методах, i активно
дослiджувались (див., наприклад, монографiї [2 – 4]).
Позначимо через \theta початок координат у \BbbR d, d \in \BbbN , через Bd одиничну кулю в \BbbR d з центром
у точцi \theta , а через \mu d мiру Лебега в \BbbR d.
В [5] дано означення варiацiй vp(F ) для компактних множин F \subset \BbbR d i варiацiй vp(f)
неперервних функцiй, p \in [1,\infty ]. Цi означення базуються на означеннi варiацiї Кронрода –
Вiтушкiна, яке у двовимiрному випадку дав О. C. Кронрод [6] i яке було перенесено у простiр
\BbbR d, d > 2, А. Г. Вiтушкiним [7] (див. також [8]).
В [5] доведено такi нерiвностi типу Островського.
Теорема Б. Нехай d \in \BbbN i задано неперервну функцiю f : Bd \rightarrow \BbbR . Тодi для всiх p \in [1,\infty ]\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\mu dBd
\int
Bd
f(x)dx - f(\theta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq vp(f)
2
.
Нерiвнiсть є точною. Вона перетворюється на рiвнiсть лише у випадку сталої функцiї f.
Теорема В. Нехай задано d \in \BbbN i замкнену множину F \subset Bd. Якщо \theta /\in F, то для всiх
p \in [1,\infty ]
\mu dF \leq \mu dBd
2
vp(F ).
Нерiвнiсть є точною. Якщо нерiвнiсть перетворилась на рiвнiсть, то \mu dF = 0.
c\bigcirc О. В. КОВАЛЕНКО, 2020
644 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО 645
Для множини A \subset \BbbR d через \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A позначимо її внутрiшнiсть, а через \scrC (A) — конус,
породжений множиною A, тобто
\scrC (A) :=
\bigl\{
\lambda \cdot a : \lambda \geq 0, a \in A
\bigr\}
.
Нехай Sd - 1 позначає одиничну сферу у просторi \BbbR d i \mu — сферична мiра на нiй. Метою даної
статтi є узагальнення теорем Б i В для бiльш загальних, нiж Bd, областей.
Означення 1. Позначимо через \frakA сiм’ю всiх компактних опуклих множин A \subset \BbbR d таких,
що \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A i для всiх \lambda \in
\biggl(
0,
\mu Sd - 1
2
\biggr]
точна нижня грань
C(A, \lambda ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Lambda \subset Sd - 1, \mu \Lambda =\lambda
\Lambda \cap ( - \Lambda )=\varnothing
\mu d [\scrC (\Lambda ) \cap A] (1)
досягається на деякiй множинi \Lambda (\lambda ), для якої множина \scrC (\Lambda (\lambda )) є опуклою.
В теоремi 3 дається еквiвалентне (та бiльш геометричне) означення множин iз сiм’ї \frakA .
Зазначимо, до сiм’ї \frakA , зокрема, належать кулi Bd(x, r) iз центром x \in \BbbR d i радiусом r > | x| .
Основними результатами даної статтi є такi узагальнення теорем Б i В.
Теорема 1. Нехай A \in \frakA i задано неперервну функцiю f : A \rightarrow \BbbR . Тодi для всiх p \in [1,\infty ]\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
A
f(x)dx - \mu dAf(\theta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq Cp(A)vp(f), (2)
де
Cp(A) =
\left\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\lambda \in [0,\mu Sd - 1]
\mu dA - C
\biggl(
A,
\lambda
2
\biggr)
\biggl(
(1 - 2p)\lambda
\mu Sd - 1
+ 2p
\biggr) 1
p
, p < \infty ,
\mu dA
2
, p = \infty ,
(3)
а C(A, \lambda ) означено в (1). Нерiвнiсть є точною. Вона перетворюється на рiвнiсть лише у
випадку сталої f.
Теорема 2. Нехай A \in \frakA i задано замкнену множину F \subset A. Якщо \theta /\in F, то для всiх
p \in [1,\infty ]
\mu dF \leq Cp(A)vp(F ).
Статтю побудовано таким чином. У пунктi 2 наведено позначення, якi будуть використо-
вуватись у подальшому. В пунктi 3 наведено означення варiацiй vp для компактних множин i
неперервних функцiй. Також уведено екстремальнi для нерiвностей типу Островського множи-
ни i функцiї. У пунктi 4 дослiджуються властивостi множин сiм’ї \frakA . Пункт 5 мiстить доведення
теорем 1 i 2, якi є основними результатами даної статтi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
646 О. В. КОВАЛЕНКО
2. Позначення. Скрiзь далi d позначає натуральне число, d \geq 2. Для множини F \subset \BbbR d
через \partial F, \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}F i F позначаємо її границю, внутрiшнiсть i замикання вiдповiдно.
Для x, y \in \BbbR d через xy будемо позначати вiдрiзок iз кiнцями в точках x i y, тобто xy =
=
\bigl\{
(1 - t)x + ty : t \in [0, 1]
\bigr\}
. Для c \in \BbbR , x \in \BbbR d i F \subset \BbbR d покладемо cF := \{ cx : x \in F\} i
x+ F := \{ x+ y : y \in F\} .
Для w \in \BbbR d через | w| позначимо евклiдову вiдстань вiд точки w до початку координат \theta .
Для \varepsilon > 0 i x \in \BbbR d покладемо Bd(x, \varepsilon ) :=
\bigl\{
y \in \BbbR d : | x - y| \leq \varepsilon
\bigr\}
, Bd(\varepsilon ) := Bd(\theta , \varepsilon ) i
Bd := Bd(1). Через Sd - 1(x, \varepsilon ), Sd - 1(\varepsilon ) i Sd - 1 позначимо граничнi сфери Bd(x, \varepsilon ), Bd(\varepsilon ) i
Bd вiдповiдно.
Для довiльних x \in Sd - 1 позначимо через \Pi (x) гiперплощину, яка ортогональна \theta x i мiстить
\theta . Через \Pi +(x) (\Pi - (x)) позначимо замкнений пiвпростiр, породжений гiперплощиною \Pi (x),
що мiстить (вiдповiдно не мiстить) x. Покладемо Sd - 1
\pm (x) := Sd - 1 \cap \Pi \pm (x). Для точок x, y \in
\in \BbbR d, x \not = y, позначимо через h(x, y) промiнь з початком у точцi x, що мiстить y.
Для опуклої компактної множини A \subset \BbbR d такої, що \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A, i довiльного x \in Sd - 1
покладемо \rho A(x) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}y\in A\cap h(\theta ,x) | y| . Тодi функцiя \rho A є неперервною.
Через \BbbP d - 1 будемо позначати (d - 1)-вимiрний дiйсний проективний простiр, тобто множи-
ну всiх прямих в \BbbR d, якi мiстять \theta . Вiдстань мiж двома прямими r1, r2 \in \BbbP d - 1, за означенням,
дорiвнює куту мiж r1 i r2. Мiрою вимiрної множини A \subset \BbbP d - 1 є, за означенням, сферична
мiра множини
\bigcup
l\in A
l \cap Sd - 1; за цим означенням мiри множин \BbbP d - 1 i Sd - 1 є рiвними.
Для кожного r \in \BbbP d - 1 через \Pi d - 1(r) позначаємо гiперплощину, що мiстить \theta i є ортого-
нальною до прямої r; \Pi d - 1(r) розглядається як (d - 1)-вимiрний простiр з (d - 1)-вимiрною
мiрою Лебега i евклiдовою метрикою. Для кожного \beta \in \Pi d - 1(r) через l(r, \beta ) будемо позначати
пряму, що мiстить \beta i є паралельною до r.
Через \mu k, k \in \BbbN , будемо позначати k-вимiрну мiру Лебега в \BbbR k, а через \mu — сферичну
мiру на одиничнiй сферi Sd - 1 та мiру у проективному просторi \BbbP d - 1.
3. Варiацiя множин i функцiй. У цьому пунктi ми наведемо означення варiацiї для ком-
пактних множин i неперервних функцiй зi статтi [5]. В пп. 3.2 (див. лему 2) i 3.3 (див. лему 5)
ми обчислимо варiацiї спецiальних множин i функцiй, якi будуть екстремальними у вiдповiдних
нерiвностях типу Островського.
3.1. Означення.
Означення 2. Позначимо через N(F ) число компонент зв’язностi множини F \subset \BbbR d; 0
для порожньої множини i +\infty , якщо множина компонент зв’язностi є нескiнченною.
Означення 3. Для компактної множини F \subset \BbbR d i прямої r \in \BbbP d - 1 покладемо
v(F, r) := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\beta \in \Pi d - 1(r)
N
\bigl(
F \cap l(r, \beta )
\bigr)
.
Варiацiя компактної множини означається таким чином.
Означення 4. Для компактної множини F \subset \BbbR d i p \in [1,\infty ] покладемо
vp(F ) :=
\left\{
\biggl(
1
\mu \BbbP d - 1
\int
\BbbP d - 1
vp(F, r)dr
\biggr) 1
p
, p \in [1,\infty ),
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}r\in \BbbP d - 1 v(F, r), p = \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО 647
Означення 5. Нехай задано множину E \subset \BbbR d i функцiю f : E \rightarrow \BbbR . Для t \in \BbbR множина
L(f ; t) := \{ x \in E : f(x) = t\}
називається множиною рiвня функцiї f.
Варiацiя неперервної функцiї означається таким чином.
Означення 6. Нехай задано компактну множину E \subset \BbbR d, неперервну функцiю f : E \rightarrow \BbbR
i p \in [1,\infty ]. Покладемо
vp(f) :=
\infty \int
- \infty
vp(L(f ; t)) dt.
3.2. Варiацiя деяких множин.
Лема 1. Нехай задано множину X \subset Sd - 1 таку, що
\mu X < \mu Sd - 1 (4)
i множина \scrC (X) є опуклою. Тодi iснує така точка x \in Sd - 1 , що X \subset Sd - 1
+ (x).
Доведення. З нерiвностi (4) випливає, що \scrC (X) \not = \BbbR d. Тому \theta /\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) i, отже,
\theta \in \partial \scrC (X). Таким чином, з опуклостi множини \scrC (X) випливає iснування опорної для \scrC (X)
гiперплощини, що мiстить \theta . Ця гiперплощина породжує шукану пiвсферу.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай задано опуклу компактну множину A \subset \BbbR d таку, що \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A. Нехай
також X \subset Sd - 1 з \mu Sd - 1 > \mu X > 0 така, що множина \scrC (X) є опуклою. Тодi для всiх
p \in [1,\infty )
vp
\bigl(
A \setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X)
\bigr)
= vp(A \cap \partial \scrC (X)) =
\biggl(
(1 - 2p)\mu X
\mu Sd - 1
+ 2p
\biggr) 1
p
.
Доведення. Достатньо довести, що
v
\bigl(
A \setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X), r
\bigr)
= v
\bigl(
A \cap \partial \scrC (X), r
\bigr)
=
\left\{ 1, r \cap \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) \not = \varnothing ,
2, r \cap X = \varnothing .
Дiйсно, оскiльки множина прямих r \in \BbbP d - 1, якi мiстять граничнi точки X, має нульову
мiру через опуклiсть \scrC (X), то
vp(A \setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X)) = vp(A \cap \partial \scrC (X)) =
=
\biggl(
1
\mu Sd - 1
\Bigl(
1 \cdot \mu X + 2p \cdot (\mu Sd - 1 - \mu X)
\Bigr) \biggr) 1
p
=
=
\biggl(
(1 - 2p)\mu X
\mu Sd - 1
+ 2p
\biggr) 1
p
.
Покладемо Y := A \setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X). Спочатку доведемо твердження для варiацiї множини Y.
Оскiльки Y є рiзницею двох опуклих множин, то N(Y \cap l(r, \beta )) \leq 2 для всiх r \in \BbbP d - 1 i
\beta \in \Pi d - 1(r). Оскiльки \mu dY > 0, то v(Y, r) \geq 1 для всiх r \in \BbbP d - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
648 О. В. КОВАЛЕНКО
З леми 1 випливає iснування такої x \in Sd - 1 , що X \subset Sd - 1
+ (x).
Нехай r \in \BbbP d - 1 така, що r\cap X = \varnothing , i r\cap Sd - 1 = \{ y1, y2\} . Тодi y1, y2 /\in X, а отже, iснує таке
\varepsilon > 0, що X\cap B(yi, \varepsilon ) = \varnothing , i = 1, 2. Оскiльки \scrC (X) — опукла множина з ненульовою мiрою, то
\scrC (X) \cap B(\varepsilon ) мiстить внутрiшнi точки множини \scrC (X). Тому iснує множина з додатною мiрою
точок \beta \in \Pi d - 1(r) така, що l(r, \beta ) \cap \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) \not = \varnothing i l(r, \beta ) \cap B(yi, \varepsilon ) \not = \varnothing , i = 1, 2. Тому
v(Y, r) \geq 2 i, отже, v(Y, r) = 2.
Нехай r \in \BbbP d - 1 така, що r\cap \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) \not = \varnothing i y = r\cap X. Припустимо, що iснує така множина
\beta \in \Pi d - 1(r), що N(Y \cap l(r, \beta )) \geq 2. Нехай l(r, \beta ) \cap \partial A = \{ y1, y2\} . Тодi y1, y2 \in Y. Виберемо
деяку точку z \in l(r, \beta ) \cap \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) i розглянемо двовимiрну площину \Pi 2, яка мiстить \theta , y i
z. Тодi y1, y2 \in \Pi 2. Крiм того, променi h(\theta , y) i h(\theta , z) мiстяться у множинi \scrC (X) через її
опуклiсть. Отже, весь кут, породжений променями h(\theta , y) i h(\theta , z), мiститься у \scrC (X). Але
звiдси випливає, що одна з точок y1 або y2 належить \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X). Прийшли до суперечностi, а
отже, N(Y \cap l(r, \beta )) = 1 для всiх \beta \in \Pi d - 1(r). Тому v(Y, r) = 1.
Зазначимо, що N(A\cap \partial \scrC (X)\cap l(r, \beta )) \leq 2 для всiх r \in \BbbP d - 1 i \beta \in \Pi d - 1(r) через опуклiсть
\scrC (X). Крiм того, N(A\cap \partial \scrC (X)\cap l(r, \beta )) = 2 тодi i тiльки тодi, коли N((A\setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\scrC (X))\cap l(r, \beta )) = 2.
Звiдси випливає справедливiсть твердження щодо множини A \cap \partial \scrC (X).
Лему 2 доведено.
3.3. Варiацiя деяких функцiй.
Лема 3. Нехай задано множину X \subset Sd - 1 з \mu Sd - 1 > \mu X > 0 таку, що \scrC (X) є опуклою.
Припустимо, що x \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X). Тодi для всiх y \in \scrC (X) пряма l(y) := \{ y+sx : s \in \BbbR \} перетинає
\partial \scrC (X) рiвно в однiй точцi.
Доведення. З леми 1 випливає, що множина \scrC (X) мiститься в деякому пiвпросторi. Бiльше
того, оскiльки x \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X), то довiльна пряма, паралельна вектору \theta x, перетинає гiперплощи-
ну, що породжує цей пiвпростiр. З цього випливає, що довiльна пряма l(y) перетинає \partial \scrC (X)
хоча б в однiй точцi.
Для завершення доведення леми достатньо показати, що довiльна пряма l(y), y \in \scrC (X),
мiстить промiнь, який мiститься в \scrC (X).
Якщо y \in h(\theta , x), то l(y) \supset h(\theta , x) i h(\theta , x) \subset \scrC (X).
З леми 1 випливає, що y /\in - h(\theta , x). Розглянемо двовимiрну площину \Pi 2, яка мiстить x, y
i \theta . Опукла множина \scrC (X) \cap \Pi 2 мiстить обидва променi h(\theta , x) i h(\theta , y), а тому мiстить весь
кут, який породжується цими променями. Тому \scrC (X) \supset h(y, y + x).
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай множина X \subset Sd - 1 з \mu Sd - 1 > \mu X > 0 така, що \scrC (X) є опуклою.
Припустимо, що x \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X). Тодi iснує така стала C > 0, що для всiх s > 0 i y \in
\in - sx+ \partial \scrC (X)
C \cdot s \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\in \partial \scrC (X)
| y - z| . (5)
Доведення. Нехай y \in - sx + \partial \scrC (X). Тодi z = y + sx \in \partial \scrC (X). Iснує опорна для \scrC (X)
гiперплощина \Pi = \Pi (z), що мiстить z. Бiльше того, \theta \in \Pi , оскiльки всi точки променя h(\theta , z)
знаходяться по один бiк вiд \Pi . Нехай \varepsilon > 0 таке, що B(x, \varepsilon ) \subset \scrC (X). Тодi для кута \alpha (z) мiж
гiперплощиною \Pi i променем h(\theta , x) маємо \alpha (z) \geq \alpha , де \alpha = \alpha (\varepsilon ) > 0 залежить вiд \varepsilon i не
залежить вiд z. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО 649
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
w\in \partial \scrC (X)
| y - w| \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
w\in \Pi (z)
| y - w| = s| x| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha (z) \geq s| x| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha
i нерiвнiсть (5) виконується з C = | x| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha > 0.
Лему 4 доведено.
Лема 5. Нехай виконуються умови леми 2 i точка x \in A \cap \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) така, що - x \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A.
Визначимо функцiю f : A \rightarrow \BbbR за формулою
f(t) =
\left\{
0, t \in \scrC (X) \cap A,
s, t \in [ - sx+ \partial \scrC (X)] \cap A, s \in (0, 1),
1, t \in A \setminus [ - x+ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X)].
Тодi f є неперервною i для всiх p \in [1,\infty )
vp(f) =
\biggl(
(1 - 2p)\mu X
\mu Sd - 1
+ 2p
\biggr) 1
p
. (6)
Доведення. З леми 4 випливає, що
\bigl[
- s1x + \partial \scrC (X)
\bigr]
\cap
\bigl[
- s2x + \partial \scrC (X)
\bigr]
= \varnothing для s1 \not = s2.
Крiм того, з леми 3 випливає, що - x+ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) \supset \scrC (X) i для всiх y \in
\bigl[
- x+ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X)
\bigr]
\setminus \scrC (X)
iснує таке число s \in (0, 1), що y \in - sx + \partial \scrC (X). Тому функцiя f коректно визначена. Крiм
того, якщо y1 \in - s1x+ \partial \scrC (X) i y2 \in - s2x+ \partial \scrC (X), 0 \leq s1 < s2 \leq 1, то, згiдно з лемою 4,
\bigm| \bigm| f(y1) - f(y2)
\bigm| \bigm| = | s1 - s2| \leq
1
C
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in - s1x+\partial \scrC (X)
| y2 - y| \leq 1
C
| y2 - y1| .
Тому функцiя f є неперервною.
З означення функцiї f випливає, що 0 \leq f(y) \leq 1 для всiх y \in A. Для всiх s \in (0, 1) маємо
L(f, s) =
\bigl[
- sx+ \partial \scrC (X)
\bigr]
\cap A. З леми 2 випливає, що
vp
\bigl(
L(f, s)
\bigr)
=
\biggl(
(1 - 2p)\mu X
\mu Sd - 1
+ 2p
\biggr) 1
p
, s \in (0, 1).
Дiйсно, достатньо застосувати лему 2 до множин sx + A i \partial \scrC (X), а потiм врахувати, що
vp(F ) = vp(y + F ) для довiльної компактної множини F i y \in \BbbR d. Звiдси випливає (6).
Лему 5 доведено.
4. Сiм’я множин \bffrakA . У цьому пунктi ми доведемо еквiвалентне означення сiм’ї множин \frakA .
Доведення теореми наведено в пп. 4.3.
Теорема 3. Компактна опукла множина A \subset \BbbR d з \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A належить до сiм’ї \frakA тодi i
тiльки тодi, коли виконуються такi умови:
1) iснує така точка x \in Sd - 1, що
\rho A(y) \leq \rho A( - y) для всiх y \in Sd - 1
+ (x); (7)
2) для всiх r > 0 множина \scrC
\bigl(
\{ y \in Sd - 1
+ (x) : \rho A(y) \leq r\}
\bigr)
є опуклою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
650 О. В. КОВАЛЕНКО
4.1. Допомiжнi результати.
Лема 6. Нехай x \in Sd - 1 i X \subset Sd - 1
+ (x) такi, що множина \scrC (X) є опуклою. Припустимо,
що y \in \Pi (x) \cap Sd - 1 i \varepsilon > 0 такi, що
\mu
\bigl(
X \cap Bd(y, \varepsilon )
\bigr)
= \mu
\bigl(
X \cap Bd( - y, \varepsilon )
\bigr)
= \mu
\bigl(
Sd - 1
+ (x) \cap Bd(y, \varepsilon )
\bigr)
. (8)
Тодi \mu X =
\mu Sd - 1
2
.
Доведення. З (8) випливає, що \mu d(\scrC (X)) \not = 0. Тому з опуклостi \scrC (X) випливає
\mu d
\bigl[
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (X) \cap Bd
\bigr]
= \mu d
\bigl[
\scrC (X) \cap Bd
\bigr]
= \mu d
\bigl[
\scrC (X) \cap Bd
\bigr]
.
Отже, достатньо довести, що \scrC (X)\cap Sd - 1 = Sd - 1
+ (x), оскiльки для довiльної вимiрної множини
S \subset Sd - 1 маємо \mu S =
\mu Sd - 1
\mu dBd
\mu d
\bigl[
\scrC (S) \cap Bd
\bigr]
.
Для довiльної точки z \in \BbbR d позначимо через l(z) пряму, що мiстить точку z i паралельна
прямiй, що проходить через точки y та - y. Тодi для кожної z \in Bd(\varepsilon ) \cap \Pi +(x) пряма l(z)
перетинає обидвi множини Sd - 1
+ (x) \cap Bd(y, \varepsilon ) i Sd - 1
+ (x) \cap Bd( - y, \varepsilon ).
Тому, згiдно з (8), пряма l(z) перетинає обидвi множини X \cap Bd(y, \varepsilon ) i X \cap Bd( - y, \varepsilon ).
З цього випливає, що z \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}X, а отже, z \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} \scrC (X) = \scrC (X). Iз довiльностi точки z
отримуємо Bd(\varepsilon ) \cap \Pi +(x) \subset \scrC (X) i, отже, \scrC (X) \cap Bd \supset Sd - 1
+ (x). З цього випливає, що
\scrC (X) \cap Sd - 1 = Sd - 1
+ (x).
Лему 6 доведено.
4.2. Деякi властивостi множин сiм’ї \bffrakA .
Лема 7. Нехай A \in \frakA i x \in Sd - 1 такi, що виконується умова (7). Тодi \rho A(y) = \rho A( - y)
для всiх y \in \Pi (x) \cap Sd - 1.
Доведення. Припустимо протилежне, тобто нехай \rho A(y) > \rho A( - y) для деякої y \in \Pi (x) \cap
\cap Sd - 1. Тодi з неперервностi функцiї \rho A випливає iснування такого \delta > 0, що \rho A(z) > \rho A( - z)
для всiх z \in Sd - 1 \cap Bd(y, \delta ), але це суперечить (7).
Лему 7 доведено.
Лема 8. Нехай A \in \frakA . Тодi iснує така точка x \in Sd - 1, що виконується умова (7), i для
всiх y \in Sd - 1
+ (x) \setminus \Pi (x) i z \in \Pi (x) \cap Sd - 1
+ (x) маємо \rho A(y) \leq \rho A(z).
Доведення. Для кожного
\mu Sd - 1
2
> \varepsilon > 0 покладемо \lambda \varepsilon =
\mu Sd - 1
2
- \varepsilon i розглянемо множину
\Lambda \varepsilon = \Lambda (\lambda \varepsilon ) з означення сiм’ї \frakA . З леми 1 випливає, що для кожного такого \varepsilon iснує така точка
x\varepsilon \in Sd - 1, що \Lambda \varepsilon \subset Sd - 1
+ (x\varepsilon ). Переходячи до пiдпослiдовностi, якщо потрiбно, ми можемо
припустити, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow +0 x\varepsilon = x \in Sd - 1. Далi ми доведемо, що точка x задовольняє умови
леми.
Спочатку доведемо, що виконується умова (7). Припустимо протилежне, тобто нехай y \in
\in Sd - 1
+ (x) така, що \rho A(y) > \rho A( - y). Через неперервнiсть \rho A ми можемо вибрати таке \delta >
> 0, що \rho A(z) > \rho A( - z) для всiх z \in Sd - 1
+ (x) \cap Bd(y, \delta ). Число \varepsilon > 0 може бути вибране
настiльки малим, що \mu \Lambda \varepsilon \cap Sd - 1
+ (x)\cap Bd(y, \delta ) > 0. Але тодi мiру \mu d множини \scrC (\Lambda \varepsilon )\cap A можна
зробити меншою пiсля замiни всiх точок z \in \Lambda \varepsilon \cap Sd - 1
+ (x) \cap Bd(y, \delta ) точками - z. Прийшли
до суперечностi, отже, умова (7) виконується.
Тепер припустимо, що y \in Sd - 1
+ (x) \setminus \Pi (x) i z \in \Pi (x) \cap Sd - 1
+ (x) такi, що \rho A(y) > \rho A(z).
Тодi, згiдно з лемою 7, \rho A(y) > \rho A( - z). Iснує таке \delta > 0, що для всiх w \in Sd - 1 \cap Bd(y, \delta )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО 651
i t \in Sd - 1 \cap
\bigl(
Bd(z, \delta ) \cup Bd( - z, \delta )
\bigr)
маємо \rho A(w) > \rho A(t); крiм того, \delta може бути вибране
настiльки малим, що Sd - 1
+ (x) \setminus \Pi (x) \supset Sd - 1 \cap Bd(y, \delta ).
Ми можемо вибрати \varepsilon > 0 настiльки малим, щоб виконувалися такi умови:
1) Sd - 1
+ (x\varepsilon ) \supset Sd - 1 \cap Bd(y, \delta ),
2) \mu
\bigl(
\Lambda \varepsilon \cap Bd(y, \delta )
\bigr)
> 0,
3) множина \Pi (x\varepsilon ) \cap Sd - 1 мiстить внутрiшнi точки Bd(z, \delta ).
З умови 2 випливає, що
\mu
\bigl(
\Lambda \varepsilon \cap Bd(z, \delta )
\bigr)
= \mu
\bigl(
Sd - 1
+ (x\varepsilon ) \cap Bd(z, \delta )
\bigr)
(9)
i
\mu
\bigl(
\Lambda \varepsilon \cap Bd( - z, \delta )
\bigr)
= \mu
\bigl(
Sd - 1
+ (x\varepsilon ) \cap Bd( - z, \delta )
\bigr)
. (10)
Дiйсно, у протилежному випадку мiру \mu d множини \scrC (\Lambda \varepsilon ) \cap A можна зробити меншою, замi-
нивши точки з \Lambda \varepsilon \cap Bd(y, \delta ) на точки з Sd - 1
+ (x\varepsilon ) \cap Bd(z, \delta ) i Sd - 1
+ (x\varepsilon ) \cap Bd( - z, \delta ).
Нехай z\varepsilon \in \Pi (x\varepsilon ) \cap Sd - 1 — внутрiшня точка множини Bd(z, \delta ). Тодi - z\varepsilon \in \Pi (x\varepsilon ) \cap Sd - 1
є внутрiшньою точкою Bd( - z, \delta ). Застосування леми 6 з X = \Lambda \varepsilon , y = z\varepsilon призводить до
суперечностi. Рiвностi (9) i (10) гарантують, що умови (8) можна задовольнити за рахунок
вибору радiуса кулi.
Лему 8 доведено.
4.3. Доведення теореми 3.
Лема 9. Умови теореми 3 є необхiдними.
Доведення. Позначимо через x точку, iснування якої стверджується в лемi 8. Доведемо,
що ця точка є шуканою. Зауважимо, що з неперервностi функцiї \rho A та леми 7 випливає, що
\rho A(z1) = \rho A(z2) для всiх z1, z2 \in \Pi (x) \cap Sd - 1. Покладемо R := \rho A(z), де z — довiльна точка
з \Pi (x) \cap Sd - 1.
Для всiх r > 0 покладемо X(r) :=
\bigl\{
y \in Sd - 1
+ (x) : \rho A(y) \leq r
\bigr\}
. Тодi X(r) = Sd - 1
+ (x) для
всiх r \geq R i множина \scrC (X(r)) є опуклою.
Нехай
0 < r < R. (11)
Доведемо, що множина \Lambda (\mu X(r)) з означення 1 з \lambda = \mu X(r) може бути вибрана як пiдмножина
Sd - 1
+ (x). Дiйсно, припустимо протилежне. Виберемо множину \Lambda , що задовольняє означення 1
з \lambda = \mu X(r). Тодi \Lambda \cap \Pi (x) \not = \varnothing , оскiльки \Lambda — опукла множина, i з \Lambda \subset Sd - 1
- (x) \setminus \Pi (x)
випливає, що множина - \Lambda \subset Sd - 1
+ (x) також задовольняє означення 1 через умову (7). З
неперервностi функцiї \rho A випливає, що множина \{ y \in \Lambda : \rho A(y) > r\} має додатну мiру, а
отже, \mu d
\bigl(
\scrC (\Lambda ) \cap A
\bigr)
> \mu d
\bigl(
\scrC (X(r)) \cap A
\bigr)
, що суперечить вибору множини \Lambda .
Припустимо, що виконується умова (11). Доведемо, що множина \scrC (X(r)) є опуклою. При-
пустимо протилежне. Тодi iснують
z \in Sd - 1
+ (x) \setminus X(r), (12)
m \in \BbbN , y1, . . . , ym \in X(r) i додатнi числа \eta 1, . . . , \eta m такi, що z =
\sum m
k=1
\eta kyk. З (12) випливає,
що \rho A(z) > r. Тодi iснує таке \delta > 0, що X(r) \cap B(z, 2\delta ) = \varnothing . Виберемо таке \varepsilon > 0, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
652 О. В. КОВАЛЕНКО
X(r + \varepsilon ) \cap B(z, \delta ) = \varnothing . З неперервностi функцiї \rho A випливає iснування такого \epsilon > 0, що
X(r + \varepsilon ) \supset B(yk, \epsilon ) \cap Sd - 1, k = 1, . . . ,m. Крiм того, \epsilon можна вибрати настiльки малим, щоб
m\sum
k=1
\eta kzk \in B(z, \delta ) (13)
для всiх zk \in B(yk, \epsilon ) \cap Sd - 1, k = 1, . . . ,m. Тому множина \scrC (X(r + \varepsilon )) не є опуклою. Крiм
того, якщо \Lambda \subset Sd - 1 така, що
\mu (X(r + \varepsilon )\bigtriangleup \Lambda ) = 0, (14)
то \scrC (\Lambda ) не є опуклою. Дiйсно, з рiвностi (14) випливає, що \mu
\bigl(
\Lambda \cap B(yk, \epsilon )
\bigr)
> 0, k = 1, . . . ,m,
i \mu
\bigl(
\Lambda \cap B(z, \delta )
\bigr)
= 0. Але з (13) випливає, що
\mu d
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} \scrC (\Lambda ) \cap B(z, \delta )
\bigr)
> 0.
Зазначимо, що рiвнiсть (14) виконується для кожної множини \Lambda \subset Sd - 1
+ , що задовольняє
означення 1 з \lambda = \mu X(r + \varepsilon ), тому A /\in \frakA . Прийшли до суперечностi.
Лему 9 доведено.
Лема 10. Умови теореми 3 є достатнiми.
Доведення. Для r > 0 покладемо X(r) :=
\bigl\{
y \in Sd - 1
+ (x) : \rho A(y) \leq r
\bigr\}
i \lambda (r) := \mu X(r).
Тодi для всiх r > 0 множина \Lambda (\lambda (r)) = X(r) задовольняє умови означення 1 з \lambda = \lambda (r). Якщо
\mu
\bigl\{
y \in Sd - 1
+ (x) : \rho A(y) = r
\bigr\}
= 0 для всiх r > 0, то \lambda (r) є неперервною функцiєю змiнної
r i, отже, набуває всiх значень вiд 0 до
\mu Sd - 1
2
. Тому A задовольняє означення 1 для всiх
\lambda \in
\biggl(
0,
\mu Sd - 1
2
\biggr]
, а отже, A \in \frakA .
Тепер припустимо, що \mu
\bigl\{
y \in Sd - 1
+ (x) : \rho A(y) = r
\bigr\}
> 0 для деякого r > 0. Для завершення
доведення леми достатньо побудувати множину \Lambda (l), яка задовольняє умови означення 1 з
\lambda = l для всiх l \in
\bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varrho \rightarrow r - 0 \lambda (\varrho ), \lambda (r)
\bigr)
.
Покладемо Y (r) =
\bigcup
0<\varrho <r
X(\varrho ). Тодi \mu (Y (r)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varrho \rightarrow r - 0 \lambda (\varrho ) i
\scrC (Y (r)) = \scrC
\left( \bigcup
0<\varrho <r
X(\varrho )
\right) =
\bigcup
0<\varrho <r
\scrC (X(\varrho )) .
З умови леми випливає, що всi множини \scrC (X(\varrho )), \varrho > 0, є опуклими. Крiм того, X(r1) \subset X(r2)\bigl(
а отже, \scrC (X(r1)) \subset \scrC (X(r2))
\bigr)
для всiх r1 < r2. З цього випливає, що множина \scrC (Y (r)) також
є опуклою. З побудови множини Y (r) випливає, що множина \Lambda
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varrho \rightarrow r - 0 \lambda (\varrho )
\bigr)
:= Y (r)
задовольняє умови означення 1 з \lambda = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varrho \rightarrow r - 0 \lambda (\varrho ). Крiм того, ми можемо припустити, що
Y (r) \cap \Pi (x) = \varnothing , оскiльки вiднiмання множини Sd - 1 \cap \Pi (x) (або її пiдмножини) з Y (r) не
змiнює мiри Y (r) i \scrC (Y (r)) i не впливає на опуклiсть \scrC (Y (r)).
Розглянемо деяку гiперплощину \Pi \subset \Pi +(x), паралельну гiперплощинi \Pi (x). Покладемо
Z := \scrC (Y (r)) \cap \Pi . Тодi Z — опукла множина i \mu d - 1Z \not = 0. Виберемо деяку внутрiшню
(вiдносно (d - 1)-вимiрної топологiї \Pi ) точку z \in Z. Для кожного \eta \geq 0 розглянемо множину
Z\eta , яка отримується з Z шляхом розтягування вiдносно точки z у 1 + \eta разiв. Тодi множина
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО 653
Z\eta є опуклою. Покладемо Y\eta := X(r) \cap \scrC (Z\eta ). Тодi \mu Y\eta — неперервна функцiя змiнної \eta \geq 0,
\mu Y0 = \mu Y (r) i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\eta \rightarrow \infty \mu Y\eta = \mu X(r). Крiм того, для кожного \eta \geq 0 множина \scrC (Y\eta ) є опуклою,
а множина \Lambda (\mu Y\eta ) := Y\eta задовольняє умови означення 1 з \lambda = \mu Y\eta .
Отже, для всiх l \in
\bigl[
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varrho \rightarrow r - 0 \lambda (\varrho ), \lambda (r)
\bigr)
ми побудували множину \Lambda (l), що задовольняє
умови означення 1 з \lambda = l.
Лему 10 доведено.
5. Нерiвностi типу Островського. У цьому пунктi ми доведемо основнi результати статтi —
теореми 1 i 2. Лема 14 є основним iнструментом при доведеннi цих теорем. Зазначимо, що ми
суттєво використовуємо iдеї зi статтi [5] у доведеннi результатiв цього пункту. Для повноти
викладу ми наводимо доведення всiх тверджень.
5.1. Допомiжний результат.
Лема 11. Нехай d \in \BbbN , d \geq 2, \varepsilon > 0, x \in \BbbR d, r \in \BbbP d - 1 i задано вимiрну множину
F \subset Bd(x, \varepsilon ). Для кожного A \in (0, 1) iснує \alpha = \alpha (A) \in (0, 1), яке не залежить вiд \varepsilon , x, r i
таке, що
\mu d - 1
\bigl\{
\beta \in \Pi d - 1(r) : F \cap l(r, \beta ) \not = \varnothing
\bigr\}
> A\mu d - 1Bd - 1(\varepsilon ),
як тiльки \mu dF > \alpha \mu dBd(\varepsilon ).
Доведення. Той факт, що \alpha не залежить вiд \varepsilon , випливає з того, що
\mu dF
\mu dBd(\varepsilon )
=
\mu d
\biggl(
1
\varepsilon
F
\biggr)
\mu dBd
i
\mu d - 1
\bigl\{
\beta \in \Pi d - 1(r) : F \cap l(r, \beta ) \not = \varnothing
\bigr\}
\mu d - 1Bd - 1(\varepsilon )
=
\mu d - 1
\biggl\{
\beta \in \Pi d - 1(r) :
1
\varepsilon
F \cap l(r, \beta ) \not = \varnothing
\biggr\}
\mu d - 1Bd - 1
.
Те, що \alpha не залежить вiд x i r, є очевидним. Iснування числа \alpha випливає з рiвностi
\mu dF =
\int
\Pi d - 1(r)\cap Bd(y,\varepsilon )
\mu 1
\bigl(
l(r, \beta ) \cap F
\bigr)
\mu d - 1(d\beta ), (15)
де y \in \Pi d - 1(r) вибрано так, що пряма l(r, y) мiстить x, а також рiвностi
\mu d - 1(\Pi d - 1(r) \cap Bd(y, \varepsilon )) = \mu d - 1Bd - 1.
Лему 11 доведено.
5.2. Узгодженi множини i деякi їхнi властивостi.
Означення 7. Нехай задано опуклу компактну множину A з \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A. Будемо називати
множини F,W \subset A узгодженими, якщо виконуються такi умови:
1) F є вимiрною i \theta /\in F ,
2) W є замкненою i \theta /\in W,
3) якщо x \in F i y \in A \setminus F, то xy \cap W \not = \varnothing .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
654 О. В. КОВАЛЕНКО
Означення 8. Для вимiрної множини F \subset \BbbR d позначимо через \~F множину всiх точок
x \in F таких, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\delta \rightarrow +0
\mu d(F \cap Bd(x, \delta ))
\mu dBd(\delta )
= 1.
За теоремою Лебега
\mu d \~F = \mu dF. (16)
Лема 12. Нехай задано опуклу компактну множину A з \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A й узгодженi множини
F,W \subset A. Якщо пряма r \in \BbbP d - 1 така, що v(W, r) = 0, то \~F \supset \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A\cap l(r, \beta ) або \~F \cap l(r, \beta ) =
= \varnothing для довiльного \beta \in \Pi d - 1(r).
Доведення. Припустимо, що для деякого \beta \in \Pi d - 1(r) iснують x \in \~F \cap l(r, \beta ) i y \in
\in
\bigl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A\cap l(r, \beta )
\bigr)
\setminus \~F . З означення \~F випливає, що iснують c > 0 i послiдовнiсть чисел \rho n \rightarrow 0
при n \rightarrow \infty такi, що \mu d
\bigl(
Bd(y, \rho n) \setminus F
\bigr)
\geq c\mu dBd(\rho n) для всiх n \in \BbbN . Iз (15) (де F замiнено на
Bd(y, \rho n) \setminus F ) випливає iснування такого C > 0, що
\mu d - 1\Omega 1(\rho n) > C\mu d - 1Bd - 1(\rho n) (17)
для всiх n \in \BbbN , де
\Omega 1(\rho n) =
\bigl\{
\beta \in \Pi d - 1(r) : (Bd(y, \rho n) \setminus F ) \cap l(r, \beta ) \not = \varnothing
\bigr\}
.
Оскiльки x \in \~F , то iснує таке \delta > 0, що для всiх \rho < \delta маємо \mu d(Bd(x, \rho ) \cap F ) \geq \alpha (1 - C)\times
\times \mu dBd(\rho ), де число \alpha (1 - C) визначено в лемi 11. З леми 11 випливає, що
\mu d - 1\Omega 2(\rho ) > (1 - C)\mu d - 1Bd - 1(\rho ) (18)
для всiх \rho \leq \delta , де
\Omega 2(\rho ) =
\bigl\{
\beta \in \Pi d - 1(r) : Bd(x, \rho ) \cap F \cap l(r, \beta ) \not = \varnothing
\bigr\}
.
Виберемо n настiльки великим, щоб \rho n < \delta . Тодi
\mu d - 1\Omega 1(\rho n) + \mu d - 1\Omega 2(\rho n) > \mu d - 1Bd - 1(\rho n), (19)
згiдно з (17) i (18). Крiм того, оскiльки x, y \in l(r, \beta ), то
\Omega 1(\rho n),\Omega 2(\rho n) \subset \Pi d - 1(r) \cap Bd(\beta , \rho n) (20)
i
\mu d - 1(\Pi d - 1(r) \cap Bd(\beta , \rho n)) = \mu d - 1(Bd - 1(\rho n)). (21)
Покладемо \Omega = \Omega 1(\rho n) \cap \Omega 2(\rho n). Тодi з (19) – (21) випливає, що \mu d - 1\Omega > 0. Але кожна пряма
l(r, \beta ), \beta \in \Omega , мiстить точку з W, згiдно з умовою 3 означення 7 i означеннями множин \Omega 1(\rho n),
\Omega 2(\rho n). Це суперечить умовi v(W, r) = 0 леми.
Лему 12 доведено.
Лема 13. Нехай задано опуклу компактну множину A з \theta \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A й узгодженi множини
F,W \subset A. Нехай R \subset \BbbP d - 1 така, що v(W, r) = 0 для всiх r \in R. Якщо R мiстить d прямих,
що не мiстяться в жоднiй (d - 1)-вимiрнiй гiперплощинi, то \mu d(F ) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО 655
Доведення. З огляду на (16) достатньо довести, що \~F = \varnothing . Нехай r1, . . . , rd — це прямi
з умови леми, а \rho 1, . . . , \rho d — одиничнi направляючi вектори цих прямих. Покладемо P :=
:=
\Bigl\{ \sum d
k=1
tk\rho k : tk \in ( - 1, 1), k = 1, . . . , d
\Bigr\}
, тодi P — вiдкрита в \BbbR d множина.
Розглянемо довiльну точку x \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A. Виберемо \varepsilon > 0 так, щоб tx + \varepsilon P \subset A для всiх
t \in [0, 1]. Таке \varepsilon > 0 iснує, оскiльки вiдстань до межi A є неперервною функцiєю точки з
вiдрiзка \theta x, а вiдрiзок \theta x — компактна множина. Тодi Py := y + \varepsilon P \subset A для всiх точок y з
вiдрiзка \theta x.
\bigcup
y\in \theta x
Py є вiдкритим покриттям компактної множини \theta x, а отже, iснує її скiнченне
пiдпокриття P1, P2, . . . , Pm, m \in \BbbN . З леми 12 випливає, що для кожного s = 1, . . . ,m або
Ps \subset \~F , або
Ps \cap \~F = \varnothing . (22)
Оскiльки \theta /\in \~F , то (22) виконується для кожного s = 1, . . . ,m, а отже, x /\in \~F .
Лему 13 доведено.
5.3. Основна лема.
Лема 14. Нехай A \in \frakA й задано узгодженi множини F,W \subset A. Тодi для всiх p \in [1,\infty ]
\mu dF \leq Cp(A)vp(W ), (23)
де Cp(A) визначено в (3).
Нерiвнiсть точна в тому сенсi, що для кожного \varepsilon > 0 iснують узгодженi множини F i
W, для яких
\mu dF > (Cp(A) - \varepsilon ) vp(W ).
Якщо нерiвнiсть (23) перетворюється на рiвнiсть, то \mu dF = 0.
Доведення. Якщо iснує множина R \subset \BbbP d - 1 з додатною мiрою, для якої v(W, r) = 0 для
всiх r \in R, то з леми 13 випливає, що \mu dF = 0, а отже, виконується нерiвнiсть (23).
Доведення нерiвностi (23) у випадку \bfitp < \infty . Якщо v(W, r) \geq 2 для майже всiх r \in \BbbP d - 1,
то vp(W ) \geq 2 i нерiвнiсть (23) виконується, оскiльки для p < \infty
Cp(A) \geq \mu dA - C(A, 0)
2
=
\mu dA
2
.
Нерiвнiсть є строгою, оскiльки виконується умова 1 з означення 7.
Припустимо, що iснує R \subset \BbbP d - 1, \mu R > 0, така, що v(W, r) = 1 для всiх r \in R i v(W, r) \geq 2
для майже всiх r \in \BbbP d - 1 \setminus R. Тодi
vp(W ) \geq
\biggl(
1
\mu Sd - 1
\Bigl(
1 \cdot \mu R+ 2p \cdot (\mu Sd - 1 - \mu R)
\Bigr) \biggr) 1
p
=
\biggl(
(1 - 2p)\mu R
\mu Sd - 1
+ 2p
\biggr) 1
p
. (24)
З умов 1 i 2 означення 7 випливає, що iснує таке \varepsilon > 0, що Bd(\varepsilon )\cap W = \varnothing i Bd(\varepsilon )\cap F = \varnothing .
Покладемо \Lambda :=
\bigcup
r\in R
(r \cap A). Доведемо, що
\mu d(\Lambda \cap F ) <
\mu d\Lambda
2
. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
656 О. В. КОВАЛЕНКО
Для цього, враховуючи (16), достатньо довести, що
\mu d(\Lambda \cap \~F ) <
\mu d\Lambda
2
. (26)
Розглянемо довiльну пряму r \in R. Тодi всi точки перетину r \cap \~F знаходяться по один бiк вiд
r\cap Bd(\varepsilon ). Цей факт можна довести, використавши мiркування з доведення леми 12. Позначимо
через \chi характеристичну функцiю множини \Lambda \cap \~F . Тодi \chi (x) = 0 для всiх | x| < \varepsilon i \chi (x) +
\chi ( - x) \leq 1 для всiх x \in \Lambda . З цього випливає (26).
Нарештi, використовуючи (25), можемо записати
\mu dF \leq \mu d(F \cap \Lambda ) + \mu d(A \setminus \Lambda ) < \mu dA - 1
2
\mu d\Lambda \leq \mu dA - C
\biggl(
A,
\mu R
2
\biggr)
.
Остання нерiвнiсть разом з (24) доводять (23).
Доведення нерiвностi (23) у випадку \bfitp = \infty . Якщо v(W, r) = 1 для майже всiх r \in \BbbP d - 1,
то, як i у випадку p < \infty , можна показати, що \mu dF <
\mu dA
2
, а отже, нерiвнiсть (23) виконується
i є строгою.
Якщо v(W, r) \geq 2 на множинi r \in \BbbP d - 1 з додатною мiрою, то v\infty (W ) \geq 2 i, отже,
нерiвнiсть (23) виконується. Вона є строгою, оскiльки виконується умова 1 означення 7.
Доведення точностi нерiвностi (23) у випадку \bfitp = \infty . Для довiльного \varepsilon > 0 розглянемо
множини W\varepsilon = F\varepsilon := \{ x \in A : | x| \geq \varepsilon \} . Для всiх p \in [1,\infty ] vp(W\varepsilon ) = 2, \mu dF\varepsilon \rightarrow \mu dA при
\varepsilon \rightarrow 0. Тому нерiвнiсть (23) у цьому випадку є точною.
Доведення точностi нерiвностi (23) у випадку \bfitp < \infty . Позначимо через \lambda число, на
якому досягається точна верхня грань у (3). Якщо \lambda = 0, то приклад iз випадку p = \infty
доводить точнiсть нерiвностi.
Нехай тепер \lambda > 0 i \Lambda = \Lambda
\biggl(
\lambda
2
\biggr)
— множина, що реалiзує точну нижню грань у (1),
причому множина \scrC (\Lambda ) є опуклою. Нехай x \in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (\Lambda ) \cap A є такою, що - x \in A. Покладемо
\Lambda x := - x + \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \scrC (\Lambda ) i Wx = Fx := A \setminus \Lambda x. Тодi множини Wx i Fx є узгодженими, i, згiдно з
лемою 2, маємо vp(Wx) =
\biggl(
(1 - 2p)\lambda
\mu Sd - 1
+ 2p
\biggr) 1
p
, \mu d(Fx) = \mu A - \mu \Lambda x = \mu A - \mu \Lambda +o(1), | x| \rightarrow 0.
З цього випливає точнiсть нерiвностi (23).
Лему 14 доведено.
5.4. Доведення теорем 1 i 2. Спочатку доведемо теорему 1. З означення 6 випливає, що
vp(f) = vp(f + c) для всiх c \in \BbbR . Тому можна припустити, що f(\theta ) = 0, i достатньо довести,
що \int
A
f(x)dx \leq Cp(A)vp(f). (27)
Покладемо \Gamma :=
\bigl\{
(x, t) \in A\times [0,\infty ) : f(x) \geq t
\bigr\}
i для кожного фiксованого t \in \BbbR
\BbbR d+1
t :=
\bigl\{
(x1, . . . , xd, t) \in \BbbR d+1 : x1, . . . , xd \in \BbbR
\bigr\}
.
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО БАГАТОВИМIРНI НЕРIВНОСТI ТИПУ ОСТРОВСЬКОГО 657\int
A
f(x)dx \leq \mu d+1\Gamma =
\int
t\geq 0
\mu d
\bigl(
\Gamma \cap \BbbR d+1
t
\bigr)
dt. (28)
Для всiх t > 0 розглянемо множини F := \Gamma \cap \BbbR d+1
t i
W :=
\bigl\{
(x, s) \in A\times [0,\infty ) : f(x) = s
\bigr\}
\cap \BbbR d+1
t .
Обидвi множини F i W є замкненими множинами, що не мiстять \theta , оскiльки f(\theta ) = 0. Якщо
x \in F i y \in A \setminus F, то f(x) \geq t i f(y) < t, а отже, вiдрiзок xy мiстить точку z з f(z) = t, тобто
xy \cap W \not = \varnothing . Тому виконуються всi умови леми 14, а отже,
\mu d
\bigl(
\Gamma \cap \BbbR d+1
t
\bigr)
= \mu d(F ) \leq Cp(A)vp(W ) = Cp(A)vp(L(f ; t)),
причому рiвнiсть можлива лише у випадку, коли \mu dF = 0. Враховуючи (28), отримуємо
\mu d+1\Gamma \leq Cp(A)
\int
t\geq 0
vp(L(f ; t)) dt \leq Cp(A)
\int
t\in \BbbR
vp(L(f ; t)) dt,= Cp(A)vp(f),
i нерiвнiсть (27) доведено. Крiм того, з неперервностi f випливає, що рiвнiсть у (27) може бути
лише у випадку, коли f \equiv 0. Отже, нерiвнiсть (2) доведено.
Доведемо, що нерiвнiсть (2) є точною.
Якщо p = \infty або точна верхня грань у (3) досягається при \lambda = 0, то розглянемо таку
конструкцiю екстремальних функцiй.
Для кожного \varepsilon > 0 розглянемо неперервну функцiю \varphi \varepsilon : [0,\infty ) \rightarrow \BbbR , \varphi \varepsilon (t) = 1 для t \geq \varepsilon ,
\varphi \varepsilon (0) = 0 i \varphi \varepsilon є лiнiйною на [0, \varepsilon ]. Покладемо f\varepsilon (x) = \varphi \varepsilon (| x| ), x \in A. Легко бачити, що
vp(L(f\varepsilon ; t)) = 2 для всiх t \in (0, 1] i vp(L(f\varepsilon ; t)) = 0 для всiх t /\in (0, 1]. Тому vp(f\varepsilon ) = 2. Отже,\int
A
f\varepsilon (x) dx
vp(f\varepsilon )
\rightarrow \mu dA
2
= Cp(A), \varepsilon \rightarrow 0,
i точнiсть нерiвностi (2) у цьому випадку доведено.
Нехай тепер p < \infty i точна верхня грань у (3) досягається при \lambda > 0. Нехай \Lambda = \Lambda
\biggl(
\lambda
2
\biggr)
—
множина, на якiй досягається точна нижня грань в (1) i така, що множина \scrC (\Lambda ) є опуклою. Для
доведення точностi нерiвностi (2) достатньо розглянути функцiї з леми 5 з X = \Lambda i x \rightarrow \theta .
Теорему1 доведено.
Для доведення теореми 2 достатньо застосувати лему 14 з W = F.
Лiтература
1. A. Ostrowski, Über die Absolutabweichung einer differentiierbaren Funktion von ihrem Integralmittelwert, Comment.
Math. Helv., 10, № 1, 226 – 227 (1937).
2. G. A. Anastassiou, Advanced inequalities, Vol. 11, World Sci. (2011).
3. S. S. Dragomir, E. Rassias, Th. M. Ostrowski, Type inequalities and applications in numerical integration, Kluwer
Acad. Publ., Dordrecht etc. (2002).
4. S. S. Dragomir, Operator inequalities of Ostrowski and trapezoidal type, Springer Sci. & Business Media (2011).
5. O. V. Kovalenko, Ostrowski type inequalities for sets and functions of bounded variation, J. Inequal. and Appl., 151,
№ 1 (2017).
6. А. С. Кронрод, О функциях двух переменных, Успехи мат. наук, 5, № 1, 24 – 134 (1950).
7. А. Г. Витушкин, О многомерных вариациях, Гостехтеориздат, Москва (1955).
8. Л. Д. Иванов, Вариации множеств и функций, Наука, Москва (1975).
Одержано 09.11.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1125 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:47Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/c06cfbe723861aaad8b5558a3b86d8f8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-11252022-03-26T11:01:40Z On multidimensional Ostrowski type inequalities О многомерных неравенствах типа Островского Про багатовимірні нерівності типу Островського Kovalenko, О. V. Коваленко, О. В. Коваленко, О. В. Sharp Ostrowski type inequalities for multidimensional sets and functions of bounded variations are proved. Доказаны точные неравенства типа Островского для многомерных множеств и функций многих переменных с ограниченной вариацией. 517.5 Доведено точні нерівності типу Островського для багатовимірних множин і функцій багатьох змінних з обмеженою варіацією. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-04-29 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1125 10.37863/umzh.v72i5.1125 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 5 (2020); 644–657 Український математичний журнал; Том 72 № 5 (2020); 644–657 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1125/8693 Copyright (c) 2020 Oleg Kovalenko |
| spellingShingle | Kovalenko, О. V. Коваленко, О. В. Коваленко, О. В. On multidimensional Ostrowski type inequalities |
| title | On multidimensional Ostrowski type inequalities |
| title_alt | О многомерных неравенствах типа Островского Про багатовимірні нерівності типу Островського |
| title_full | On multidimensional Ostrowski type inequalities |
| title_fullStr | On multidimensional Ostrowski type inequalities |
| title_full_unstemmed | On multidimensional Ostrowski type inequalities |
| title_short | On multidimensional Ostrowski type inequalities |
| title_sort | on multidimensional ostrowski type inequalities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1125 |
| work_keys_str_mv | AT kovalenkoov onmultidimensionalostrowskitypeinequalities AT kovalenkoov onmultidimensionalostrowskitypeinequalities AT kovalenkoov onmultidimensionalostrowskitypeinequalities AT kovalenkoov omnogomernyhneravenstvahtipaostrovskogo AT kovalenkoov omnogomernyhneravenstvahtipaostrovskogo AT kovalenkoov omnogomernyhneravenstvahtipaostrovskogo AT kovalenkoov probagatovimírnínerívnostítipuostrovsʹkogo AT kovalenkoov probagatovimírnínerívnostítipuostrovsʹkogo AT kovalenkoov probagatovimírnínerívnostítipuostrovsʹkogo |