Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions
Under the conditions that a continuous $2\pi$-periodic function $f$ on the real axis changes its sign at $2s$ points $y_i\colon {-\pi}\le y_{2s}<y_{2s-1}<\ldots <y_1<\pi,$ $s\in\Bbb N,$ the other points $y_i,$ $i\in\Bbb Z,$ are defined by periodicity, and...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1127 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507157146894336 |
|---|---|
| author | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. Дзюбенко, Г. А. |
| author_facet | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. Дзюбенко, Г. А. |
| author_sort | Dzyubenko, G. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:41Z |
| description | Under the conditions that a continuous $2\pi$-periodic function $f$ on the real axis changes its sign at $2s$ points $y_i\colon {-\pi}\le y_{2s}<y_{2s-1}<\ldots <y_1<\pi,$ $s\in\Bbb N,$ the other points $y_i,$ $i\in\Bbb Z,$ are defined by periodicity, and natural $n>N(k,y_i)$, where $N(k,y_i)$ is a constant that depends only on $k\in \Bbb N$ and $\min _{i=1,\ldots ,2s}\{y_i-y_{i+1}\}$, we find a trigonometric polynomial $P_n$ of order $\le n$ such that the signs of $P_n$ and $f$ are the same everywhere with the possible exception for small neighborhoods of the points $y_i\colon  (y_i-\pi/n,y_i+\pi/n),$ $ P_n(y_i)=0,$ $i\in\Bbb Z,$ and $\|f-P_n\|\le c(k,s)\,\omega_k(f,\pi/n),$ where $c(k,s)$ is a constant that depends only on $k$ and $s$; $\omega_k(f,\cdot)$ is the $k$th modulus of smoothness of $f,$ and $\|\cdot\|$ is the max-norm. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i5.1127 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i5.1127
УДК 517.5
Г. А. Дзюбенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКА СТЄЧКIНА ДЛЯ МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
Under the conditions that a continuous 2\pi -periodic function f on the real axis changes its sign at 2s points yi : - \pi \leq
\leq y2s < y2s - 1 < . . . < y1 < \pi , s \in \BbbN , the other points yi, i \in \BbbZ , are defined by periodicity, and natural n > N(k, yi),
where N(k, yi) is a constant that depends only on k \in \BbbN and \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s\{ yi - yi+1\} , we find a trigonometric
polynomial Pn of order \leq n such that the signs of Pn and f are the same everywhere with the possible exception for
small neighborhoods of the points yi : (yi - \pi /n, yi + \pi /n), Pn(yi) = 0, i \in \BbbZ , and \| f - Pn\| \leq c(k, s)\omega k(f, \pi /n),
where c(k, s) is a constant that depends only on k and s; \omega k(f, \cdot ) is the k th modulus of smoothness of f, and \| \cdot \| is the
max-norm.
Якщо неперервна на дiйснiй осi 2\pi -перiодична функцiя f змiнює свiй знак у 2s, s \in \BbbN , точках yi : - \pi \leq y2s <
< y2s - 1 < . . . < y1 < \pi , а для iнших i \in \BbbZ точки yi визначаються перiодично, то для кожного натурального n,
бiльшого за деяку сталу N(k, yi), що залежить тiльки вiд k \in \BbbN i \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s\{ yi - yi+1\} , знайдено тригономет-
ричний полiном Pn порядку не вищого за n такий, що Pn має скрiзь той самий знак, що i f, за винятком, можливо,
маленьких околiв точок yi : (yi - \pi /n, yi + \pi /n), Pn(yi) = 0, i \in \BbbZ , i
\| f - Pn\| \leq c(k, s)\omega k(f, \pi /n),
де c(k, s) — стала, що залежить тiльки вiд k i s, \omega k(f, \cdot ) — модуль гладкостi k-го порядку функцiї f i \| \cdot \| —
max-норма.
1. Вступ. Нехай C := C\BbbR — простiр неперервних 2\pi -перiодичних функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR iз рiв-
номiрною нормою \| f\| := \| f\| \BbbR = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in \BbbR
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm| i \BbbT n — простiр тригонометричних полiномiв
Pn(x) = a0 +
\sum n
j=1
(aj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jx+ bj \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} jx) порядку не вищого за n, n \in \BbbN , з aj , bj \in \BbbR .
Вiдомим є таке твердження.
Якщо функцiя f належить до C, то для кожних натуральних n i k знайдеться полiном
Pn \in \BbbT n такий, що
\| f - Pn\| \leq c(k)\omega k (f, \pi /n) , (1.1)
де c(k) — стала, яка залежить лише вiд k, i \omega k (f, \cdot ) — модуль гладкостi k-го порядку функцiї f.
Ця класична рiвномiрна оцiнка наближення неперервних функцiй полiномами (без обме-
жень) належить Джексону (при k = 1), Зигмунду (при k = 2), Ахiєзеру (при k = 2) i Стєчкiну
(при k \geq 3) (детальнiше див., наприклад, [1, с. 204 – 212]).
У 1968 р. Lorentz i Zeller [2] отримали дзвоноподiбний аналог цiєї оцiнки при k = 1, тобто
для наближення дзвоноподiбних (парних i незростаючих на [0, \pi ]) функцiй iз C дзвоноподiб-
ними полiномами з \BbbT n, i тим започаткували пошук iнших її аналогiв, з iншими обмеженнями
на форму функцiї i полiномiв, такими як кускова позитивнiсть, кускова монотоннiсть тощо.
Нехай на [ - \pi , \pi ) є 2s, s \in \BbbN , точки
yi : - \pi \leq y2s < y2s - 1 < . . . < y1 < \pi
є фiксованими, а для решти i \in \BbbZ точки yi визначаються рiвнiстю yi = yi+2s + 2\pi (тобто
y0 = y2s + 2\pi , . . . , y2s+1 = y1 - 2\pi , . . .) i Y := Y2s = \{ yi\} i\in \BbbZ .
c\bigcirc Г. А. ДЗЮБЕНКО, 2020
628 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ОЦIНКА СТЄЧКIНА ДЛЯ МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 629
Через \Delta (0)(Y ) позначимо множину всiх f \in C, якi невiд’ємнi на [y1, y0], недодатнi на
[y2, y1], невiд’ємнi на [y3, y2] i т. д. Отже,
f \in \Delta (0)(Y ) \leftrightarrow f(x)\Pi (x) \geq 0, x \in \BbbR , де \Pi (x) := \Pi (x, Y ) :=
2s\prod
i=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
1
2
(x - yi)
(\Pi (x) > 0, x \in (y1, y0), \Pi \in \BbbT s). Функцiї з \Delta (0)(Y ) називають кусково-позитивними, або
копозитивними (мiж собою), а наближення їх полiномами теж з \Delta (0)(Y ) — копозитивним, або
знакозберiгаючим наближенням.
У статтi [3] доведено наступне.
Якщо функцiя f належить до множини \Delta (0)(Y ), то для кожного n \in \BbbN , що бiльше за
деяку сталу N(Y ), яка залежить лише вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s \{ yi - yi+1\} , знайдеться полiном Pn \in \BbbT n
такий, що
Pn \in \Delta (0)(Y ),
\| f - Pn\| \leq c(s)\omega 3(f, \pi /n), (1.2)
де c(s) — стала, яка залежить лише вiд s.
Ранiше М. Г. Плєшаков i П. А. Попов [4] довели те саме, тiльки з \omega 1 замiсть \omega 3 в (1.2),
а П. А. Попов [5] довiв, що оцiнка (1.2) стає хибною, якщо \omega 3 замiнити на \omega k з k > 3,
побудувавши функцiю f \in \Delta (0)(Y2) таку, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}Pn\in \BbbT n\cap \Delta (0)(Y2)
\| f - Pn\|
\omega 4(f, \pi /n)
= \infty . (1.3)
Однак з 1998 р. з комонотонного наближення на вiдрiзку алгебраїчними многочленами (де
(1.2) тiльки з \omega 2 замiсть \omega 3 встановлено у [6], а (1.3) тiльки з \omega 3, \BbbP n i \Delta (1) замiсть \omega 4, \BbbT n i \Delta (0)
— у [7]) вiдомо, що якщо для многочленiв послабити умову комонотонностi в маленьких околах
точок змiни монотонностi функцiї, то можна збiльшити порядок комонотонного наближення
на одиницю (див. [8]) i не бiльше нiж на одиницю (див. [9]).
I дiйсно, саме у комонотонному i коопуклому наближеннях алгебраїчними многочлена-
ми (див. [8] i [10] вiдповiдно) i тригонометричними полiномами (див. [11] i [12] вiдповiдно)
порядки наближень було збiльшено на одиницю у кожному випадку.
Слiд зазначити, що отримання оцiнок як у чисто, так i у майже формозберiгаючих набли-
женнях алгебраїчними многочленами i тригонометричними полiномами вiдрiзняється технiчно
i частково iдейно. Це пов’язано з необхiднiстю в тригонометричному випадку „боротися” з
алгебраїчними доданками, що виникають пiсля iнтегрувань ядер, якi формують контрольованi
похiднi наближаючих полiномiв.
Досить несподiваним виявилось те, що у копозитивному наближеннi на вiдрiзку, при
послабленнi умови зберiгання знака для многочлена у маленьких околах точок змiни знака
функцiї, можна покращити наближення не на один порядок, а як завгодно (див. [13]), тобто так
само, як i при наближеннi без обмежень (1.1).
У цiй статтi ми поширюємо це твердження з алгебраїчного на тригонометричний випадок,
а саме, доводимо таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
630 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Теорема 1. Якщо функцiя f належить до множини \Delta (0)(Y ), то для кожного n \in \BbbN ,
що бiльше за деяку сталу N(k, Y ), яка залежить лише вiд k \in \BbbN i \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s\{ yi - yi+1\} ,
знайдеться полiном Pn \in \BbbT n такий, що
Pn(x)\Pi (x) \geq 0, x \in \BbbR \setminus
\bigcup
i\in \BbbZ
(yi - \pi /n, yi + \pi /n), (1.4)
Pn(yi) = 0, i \in \BbbZ , i
\| f - Pn\| \leq c(k, s)\omega k(f, \pi /n), (1.5)
де c(k, s) — стала, яка залежить лише вiд k i s.
Зауважимо, що з нерiвностi Уiтнi [14]
\bigm\| \bigm\| f - f(yi)
\bigm\| \bigm\| \leq 3\omega k(f, k\pi ) (0 iнтерполює f, а сталу 3
отримано в роботi [15]) випливає, що в теоремi 1 сталi N(k, Y ) i c(k, s) можна замiнити на 1
i C(k, Y ) вiдповiдно. Зробити обидвi сталi незалежними вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s\{ yi - yi+1\} одночасно
(а залежними лише вiд s) швидше за все теж можливо (на вiдмiну вiд „чисто” формозберiга-
ючого наближення), але ми не будемо придiляти цьому увагу, щоб не обтяжувати доведення
випадками, коли вiдстань мiж сусiднiми точками yi менша за крок розбиття.
Доведення теореми 1 не складне i подiбне до доведення її алгебраїчного аналога [13]
(теорема 1.1) (навiть простiше, оскiльки в алгебраїчному випадку встановлено поточкову, а
не рiвномiрну оцiнку). Це теж досить несподiвано, оскiльки, як вже зазначалося, перенесення
результатiв з алгебраїчного випадку на тригонометричний у формозберiгаючому наближеннi —
складна задача. Це доведення ґрунтується на „виправленнi” полiнома Стєчкiна наближення без
обмежень, що задовольняє оцiнку (1.1).
(Щодо копозитивного i комонотонного наближень диференцiйовних перiодичних функцiй
див. [16] i [17, 18] вiдповiдно, а коопукле наближення таких функцiй ще не дослiджено.)
2. Допомiжнi факти. Нехай \varphi (t) — k-мажоранта, тобто неперервна i неспадна на [0,\infty )
функцiя така, що \varphi (0) = 0 i t - k\varphi (t) не зростає при t > 0, а \Phi k — множина всiх \varphi . Вiдомо (див.,
наприклад, [19], теорема 2.1), що для будь-якого k-го модуля неперервностi \omega k(g, t) функцiї
g \in C iснує \varphi \in \Phi k така, що
\omega k(g, t) \leq \varphi (t) \leq 2k \omega k(g, t), t \geq 0. (2.1)
Нехай n \in \BbbN ,
\widetilde Jn,l(x) := \biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(nx/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x/2)
\biggr) 2l
\Bigg/ \pi \int
- \pi
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(nx/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x/2)
\biggr) 2l
dx
— парне i невiд’ємне ядро типу Джексона, l \in \BbbN ,
\sigma n(x) := \sigma n,l(f, x) = ( - 1)k+1
\pi \int
- \pi
\widetilde Jn,l(t) k\sum
i=1
( - 1)k - i
\biggl(
k
i
\biggr)
f(x+ it)dt
— полiном з \BbbT l(n - 1), запропонований Стєчкiним [20] для доведення (1.1),
h := hn = \pi /n, xj := xj,n = - j h, Ij := Ij,n = [xj , xj - 1], j \in \BbbZ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ОЦIНКА СТЄЧКIНА ДЛЯ МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 631
Для фiксованих Y = \{ yi\} i\in \BbbZ , n та m = 10 \vee 30 позначимо
Oi,m := Oi(Y, n,m) := (xj+m+1, xj - m), якщо yi \in [xj , xj - 1) =: [xji , xji - 1),
Om := O(Y, n,m) :=
\bigcup
i\in \BbbZ
Oi,m.
Будемо писати j \in H(Y, n,m), якщо xj \subset \BbbR \setminus Om. Нехай
Hm := \{ j : j \in H(Y, n,m), | j| \leq n\} .
Вiзьмемо NY \in \BbbN достатньо великим, щоб
Oi,30 \cap Oi - 1,30 = \varnothing
для всiх n \geq NY i всiх i = 1, . . . , 2s (отже, NY залежить лише вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s \{ yi - yi+1\} ).
Далi n > NY . Позначимо
\chi (x, a) :=
\left\{ 0, якщо x \leq a,
1, якщо x > a,
a \in \BbbR , \chi j(x) := \chi (x, xj),
\Gamma j(x) := \Gamma j,n(x) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left\{ 1,
1
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} x - (xj + h/2)
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right\} , j \in \BbbZ , n \in \BbbN ,
i зауважимо, що (детальнiше див. [21]) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
j=1 - n
\Gamma 2
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 6. (2.2)
Для кожних j \in \BbbZ i b \in \BbbN вiзьмемо строго додатний полiном
Jj(x) := Jj,n(x) =
\left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
n(x - xj)
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
x - xj
2
\right)
2b
+
\left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
n(x - xj - 1)
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
x - xj - 1
2
\right)
2b
\in \BbbT b(n - 1)
(суму двох „сусiднiх” ядер типу Джексона) i для j \in H10 позначимо функцiю
tj(x) := tj,n(x, b, Y ) =
\int x
xj - \pi
Jj(u)\Pi (u)du\int xj+\pi
xj - \pi
Jj(u)\Pi (u)du
.
Далi ci = ci(s, b) > 0, i = 1, . . . , 9, — сталi, якi можуть залежати лише вiд s i b.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
632 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Лема 1 ([22], лема 1). Якщо j \in H10 i b \geq s+ 2, то
t\prime j(x)\Pi (x)\Pi (xj) \geq 0, x \in \BbbR , (2.3)
| \chi j(x) - tj(x)| \leq c1 (\Gamma j(x))
2b - 2s - 1 , x \in [xj - \pi , xj + \pi ], (2.4)
\bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \leq c2
1
h
(\Gamma j(x))
2b - 2s , x \in \BbbR , (2.5)
\bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \geq c3
1
h
(\Gamma j(x))
2b+2s , x \in \BbbR \setminus O10, (2.6)
\bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \geq c3
1
h
(\Gamma j(x))
2b+2s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - yi
xj - yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in Oi,10, i \in \BbbZ . (2.7)
Зауважимо, що лема 1 доводиться за допомогою нерiвностей
1
c4h
\Gamma 2b
j (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \leq c4
h
\Gamma 2b
j (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 22s\Gamma - 2s
j (x), x \in \BbbR , j \in Hm, m \geq 10,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
xj+\pi \int
x
\Gamma b
j(u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c5 h\Gamma
b - 1
j (x), b \in \BbbN , x \in [xj , xj + 2\pi ],
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
xj - \pi \int
x
\Gamma b
j(u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c5 h\Gamma
b - 1
j (x), b \in \BbbN , x \in [xj - 2\pi , xj ],
аналоги яких доведено в [23] (лема 5.3) i [21] вiдповiдно.
3. Доведення теореми 1. Для спрощення викладу без втрати загальностi будемо вважати,
що y1 = x30 (тобто точки з Y далекi вiд - \pi i \pi ).
Зафiксуємо b = 2ks+ 2 i покладемо
\scrT i(x) := t\prime ji,n (x, b, (Y \setminus \{ yi\} ) \cup \{ xji+10\} ) , i = 1, . . . , 2s,
де ji позначає iндекс j, для якого yi \in Ij (якщо таких iндексiв два, то нехай ji — менший iз
них).
Лема 2 (0-зберiгаюче наближення). Якщо функцiя f належить до C i f(yi) = 0, i \in \BbbZ ,
то полiном
\scrQ n(x) := \scrQ n(x, f, Y ) = \sigma n,b(f, x) -
2s\sum
i=1
\sigma n,b(f, yi)
\scrT i(yi)
\scrT i(x) \in \BbbT b(n - 1)
задовольняє нерiвнiсть
\| f - \scrQ n\| \leq c6 \varphi (h), (3.1)
i \scrQ n(yi) = 0, i \in \BbbZ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ОЦIНКА СТЄЧКIНА ДЛЯ МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 633
Доведення. Для кожного i = 1, . . . , 2s, згiдно з (1.1), для \sigma n i (2.6) виконується\bigm| \bigm| \sigma n,b(f, yi)\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| f(yi) - \sigma n(yi)
\bigm| \bigm| \leq c(k)\varphi (h)
i \bigm| \bigm| \scrT i(yi)\bigm| \bigm| \geq c3
h
(\Gamma ji(yi))
2b+2s =
c3
h
,
тому з урахуванням (2.5) i (2.2) знаходимо (3.1):
\bigm| \bigm| f(x) - \scrQ n(x)
\bigm| \bigm| \leq c(k)\varphi (h) +
2s\sum
i=1
c(k)\varphi (h)
c3
hc2
1
h
(\Gamma ji(x))
2b - 2s \leq
\leq c7\varphi (h)
\left( 1 +
n\sum
j=1 - n
(\Gamma j(x))
2ks+2 - 2s
\right) \leq c6\varphi (h), x \in \BbbR .
Лему 2 доведено.
Зауважимо, що якщо f належить до множини \Delta (0)(Y ), то з (3.1) випливає нерiвнiсть
\scrQ n(x)\Pi (x) =
\bigl(
f(x) +\scrQ n(x) - f(x)
\bigr)
\Pi (x) \geq - c6 \varphi (h) | \Pi (x)| , x \in \BbbR . (3.2)
Лема 3 („виправляючий” полiном). Полiном
\scrU n(x) := \scrU n(x, Y ) = h\varphi (h)
\sum
j\in H10
t\prime j,n(x, b, Y ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Pi (xj) \in \BbbT b(n - 1)
задовольняє нерiвностi
\scrU n(x)\Pi (x) \geq 0, x \in \BbbR , (3.3)
\| \scrU n\| \leq c8 \varphi (h), (3.4)
| \scrU n(x)| \geq c9 \varphi (h), x \in \BbbR \setminus O10. (3.5)
Доведення. З (2.3) випливає (3.3). Нерiвнiсть (3.4) є наслiдком (2.5) i (2.2), а саме, для x \in \BbbR
отримуємо
| \scrU n(x)| \leq c10 \varphi (h)
\sum
j\in H10
(\Gamma j(x))
2ks+2 - 2s \leq c10 \varphi (h)
n\sum
j=1 - n
\Gamma 2
j (x) \leq c8 \varphi (h).
Аналогiчно з (2.6) знаходимо (3.5) для кожного фiксованого x\ast \in \BbbR \setminus O10.
Лему 3 доведено.
З лем 2 i 3 випливає, що полiном
Pn(x) := \scrQ n(x) +
c6
c9
\scrU n(x) \in \BbbT (2ks+2)(n - 1) (3.6)
задовольняє нерiвностi (1.4) i (1.5). Дiйсно, оцiнка (1.5) з c(k, s) = c6+c8c6/c9 випливає з (3.6),
(3.1), (3.4) i (2.1), а нерiвнiсть (1.4) — з (3.6), (3.2), (3.5) i (3.3).
Теорему 1 доведено (N(k, Y ) = (2ks+ 2)N(Y )).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
634 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Лiтература
1. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).
2. G. G. Lorentz, K. L. Zeller, Degree of approximation by monotone polynomials I, J. Approxim. Theory, 1, 501 – 504
(1968).
3. G. A. Dzyubenko, J. Gilewicz, Copositive approximation of periodic functions, Acta Math. Hungar., 120, № 4,
301 – 314 (2006).
4. М. Г. Плешаков, П. А. Попов, Знакосохраняющее приближение периодических функций, Укр. мат. журн., 55,
№ 8, 1087 – 1098 (2003).
5. П. А. Попов, Один контрприклад у знакозберiгаючому наближеннi перiодичних функцiй, Проблеми теорiї
наближення функцiй: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 2, № 2, 176 – 185 (2005).
6. Г. А. Дзюбенко, Поточечная оценка комонотонного приближения, Укр. мат. журн., 46, № 11, 1467 – 1472
(1994).
7. X. Wu, S. P. Zhou, A counterexample in comonotone approximation in Lp space, Colloq. Math., 64, 265 – 274 (1993).
8. D. Leviatan, I. A. Shevchuk, Nearly comonotone approximation, J. Approxim. Theory, 95, 53 – 81 (1998).
9. R. A. DeVore, D. Leviatan, I. A. Shevchuk, Approximation of monotone functions: A counter example, Proc. Curves
and Surfaces with Applications in CAGD (Chamonix-Mont-Blanc, 1996), Vanderbilt Univ. Press, Nashville, TN
(1997), p. 95 – 102.
10. D. Leviatan, I. A. Shevchuk, Coconvex polynomial approximation, J. Approxim. Theory, 121, № 1, 100 – 118 (2003).
11. G. A. Dzyubenko, Nearly comonotone approximation of periodic functions, Anal. Theory and Appl., 33, № 1, 74 – 92
(2017).
12. Г. А. Дзюбенко, Майже коопукле наближення неперервних перiодичних функцiй, Укр. мат. журн., 71, № 3,
353 – 367 (2019).
13. Г. А. Дзюбенко, Поточкова оцiнка майже копозитивного наближення неперервних функцiй алгебраїчними
многочленами, Укр. мат. журн., 69, № 5, 641 – 649 (2017).
14. H. Whitney, On functions with bouded n-th differences, J. Math. Pures et Appl., 36, № 9, 67 – 95 (1957).
15. J. Gilewicz, Yu. V. Kryakin, I. A. Shevchuk, Boundedness by 3 of the Whitney interpolation constant, J. Approxim.
Theory, 119, 271 – 290 (2002).
16. М. Г. Плешаков, П. А. Попов, Второе неравенство Джексона в знакосохраняющем приближении периодиче-
ских функций, Укр. мат. журн., 56, № 1, 123 – 128 (2004).
17. Г. А. Дзюбенко, Комонотонне наближення двiчi диференцiйовних перiодичних функцiй, Укр. мат. журн., 61,
№ 4, 1435 – 1451 (2009).
18. Г. А. Дзюбенко, Порядки комонотонного наближення перiодичних функцiй, Теорiя функцiй та сумiжнi питання:
Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 10, № 1, 110 – 125 (2013).
19. И. А. Шевчук, Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций, Наук. думка, Киев
(1992).
20. С. Б. Стечкин, О порядке наилучших приближений непрерывных функций, Изв. АН СССР, сер. мат., 15, № 3,
219 – 242 (1951).
21. M. G. Pleshakov, Comonotone Jackson’s inequality, J. Approxim. Theory, 99, 409 – 421 (1999).
22. Г. А. Дзюбенко, М. Г. Плешаков, Комонотонное приближение периодических функций, Мат. заметки, 83,
вып. 2, 199 – 209 (2008).
23. G. A. Dzyubenko, J. Gilewicz, I. A. Shevchuk, Piecewise monotone pointwise approximation, Constr. Approxim.,
14, 311 – 348 (1998).
Одержано 14.11.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1127 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:51Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7a/99b3116bd7f3335228f58a2e1abde87a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-11272022-03-26T11:01:41Z Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions Оцінка Стєчкіна для майже копозитивного наближення періодичних функцій Оцінка Стєчкіна для майже копозитивного наближення періодичних функцій Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. Дзюбенко, Г. А. Under the conditions that a continuous $2\pi$-periodic function $f$ on the real axis changes its sign at $2s$ points $y_i\colon {-\pi}\le y_{2s}&lt;y_{2s-1}&lt;\ldots &lt;y_1&lt;\pi,$ $s\in\Bbb N,$ the other points $y_i,$ $i\in\Bbb Z,$ are defined by periodicity, and natural $n&gt;N(k,y_i)$, where $N(k,y_i)$ is a constant that depends only on $k\in \Bbb N$ and $\min _{i=1,\ldots ,2s}\{y_i-y_{i+1}\}$, we find a trigonometric polynomial $P_n$ of order $\le n$ such that the signs of $P_n$ and $f$ are the same everywhere with the possible exception for small neighborhoods of the points $y_i\colon&nbsp; (y_i-\pi/n,y_i+\pi/n),$ $ P_n(y_i)=0,$ $i\in\Bbb Z,$ and $\|f-P_n\|\le c(k,s)\,\omega_k(f,\pi/n),$ where $c(k,s)$ is a constant that depends only on $k$ and $s$; $\omega_k(f,\cdot)$ is the $k$th modulus of smoothness of $f,$ and $\|\cdot\|$ is the max-norm. Якщо неперервна на дійсній осі $2\pi$-періодична функція $f$змінює свій знак у $2s,\ s\in\Bbb N,$ точках $y_i: -\pi\le y_{2s}&lt;y_{2s-1}&lt;...&lt;y_1&lt;\pi,$ а для інших $i\in\Bbb Z,$ точки $y_i$ визначаються періодично, то для кожного натурального $n\ge$ деякої сталої $N(k,y_i),$ що залежить тільки від $k\in \Bbb N$ і $\min\limits_{i=1,...,2s}\{y_i-y_{i+1}\},$ знайдено тригонометричний поліном $P_n$ порядку $\le 10n$ такий,що: $P_n$ має скрізь той самий знак, що і $f,$ за винятком, можливо, маленьких околів точок $y_i:\(y_i-\pi/n,y_i+\pi/n),\ P_n(y_i)=0,\ i\in\Bbb Z,$ і$$\|f-P_n\|\le c(k,s)\,\omega_k(f,\pi/n),$$де $c(k,s)$ -- стала, що залежить тільки від $k$ і $s,\ \omega_k(f,\cdot)$ -- модуль гладкості $k$-го порядку функції $f$ і $\|\cdot\|$ -- max-норма. УДК 517.5 Якщо неперервна на дійсній осі $2\pi$-періодична функція $f$ змінює свій знак у $2s,$ $s\in\mathbb N,$ точках $y_i\colon -\pi\le y_{2s}&lt;y_{2s-1}&lt;\ldots &lt;y_1&lt;\pi,$ а для інших $i\in\mathbb Z$ точки $y_i$ визначаються періодично, то для кожного натурального $n,$ більшого за деяку сталу $N(k,y_i),$ що залежить тільки від $k\in \mathbb N$ і $\min _{i=1,\ldots ,2s}\{y_i-y_{i+1}\},$ знайдено тригонометричний поліном $P_n$ порядку не вищого за $n$ такий, що $P_n$ має скрізь той самий знак, що і $f,$ за винятком, можливо, маленьких околів точок $y_i\colon (y_i-\pi/n,y_i+\pi/n),$ $P_n(y_i)=0,\ i\in\mathbb Z,$ і $\|f-P_n\|\le c(k,s)\,\omega_k(f,\pi/n),$ де $c(k,s)$ — стала, що залежить тільки від $k$ і $s,$ $\omega_k(f,\cdot)$ — модуль гладкості $k$-го порядку функції $f$ і $\|\cdot\|$ — max-норма. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-04-29 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1127 10.37863/umzh.v72i5.1127 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 5 (2020); 628–634 Український математичний журнал; Том 72 № 5 (2020); 628–634 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1127/8691 Copyright (c) 2020 Dzyubenko G.A. |
| spellingShingle | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. Дзюбенко, Г. А. Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions |
| title | Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions |
| title_alt | Оцінка Стєчкіна для майже копозитивного наближення періодичних функцій Оцінка Стєчкіна для майже копозитивного наближення періодичних функцій |
| title_full | Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions |
| title_fullStr | Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions |
| title_full_unstemmed | Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions |
| title_short | Stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions |
| title_sort | stechkin-type estimate for nearly copositive approximation of periodic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1127 |
| work_keys_str_mv | AT dzyubenkoga stechkintypeestimatefornearlycopositiveapproximationofperiodicfunctions AT dzûbenkoga stechkintypeestimatefornearlycopositiveapproximationofperiodicfunctions AT dzûbenkoga stechkintypeestimatefornearlycopositiveapproximationofperiodicfunctions AT dzyubenkoga ocínkastêčkínadlâmajžekopozitivnogonabližennâperíodičnihfunkcíj AT dzûbenkoga ocínkastêčkínadlâmajžekopozitivnogonabližennâperíodičnihfunkcíj AT dzûbenkoga ocínkastêčkínadlâmajžekopozitivnogonabližennâperíodičnihfunkcíj |