Generalization of Abel and Dirichlet signs
УДК 517.382+517.52 We obtain vector analogues of Abel and Dirichlet signs.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1141 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507156440154112 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-07-06T14:03:34Z |
| description | УДК 517.382+517.52
We obtain vector analogues of Abel and Dirichlet signs. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i4.1141 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i4.1141
УДК 517.382+517.52
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
УЗАГАЛЬНЕННЯ ОЗНАК АБЕЛЯ I ДIРIХЛЕ
We obtain vector analogues of Abel and Dirichlet signs.
Отримано векторнi аналоги ознак Абеля i Дiрiхле.
1. Ознаки Абеля та Дiрiхле. Важливими в математичному аналiзi є такi твердження.
Теорема 1 (ознака Абеля). Нехай: 1) функцiя f : [a,+\infty ) \rightarrow \BbbR iнтегровна на [a,+\infty );
2) функцiя g : [a,+\infty ) \rightarrow \BbbR монотонна й обмежена. Тодi невласний iнтеграл
+\infty \int
a
f(t)g(t) dt (1)
збiгається.
Теорема 2 (ознака Дiрiхле). Нехай: 1) функцiя f : [a,+\infty ) \rightarrow \BbbR iнтегровна на вiдрiзках
[a, b], b > a, i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}b>a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int b
a
f(t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < +\infty ; 2) функцiя g : [a,+\infty ) \rightarrow \BbbR монотонно прямує до 0
при t \rightarrow +\infty . Тодi невласний iнтеграл (1) збiгається.
Теорема 3 (ознака Абеля). Нехай: 1) числовий ряд
\sum \infty
n=1
an збiгається; 2) числова послi-
довнiсть (bn)n\geq 1 монотонна й обмежена. Тодi числовий ряд
\infty \sum
n=1
anbn. (2)
збiгається.
Теорема 4 (ознака Дiрiхле). Нехай: 1) частиннi суми числового ряду
\sum \infty
n=1
an обмеженi
в сукупностi; 2) числова послiдовнiсть (bn)n\geq 1 монотонна i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty bn = 0. Тодi числовий ряд
(2) збiгається.
У перших двох ознаках i далi a — довiльний елемент множини дiйсних чисел \BbbR .
Обґрунтування наведених ознак можна знайти, наприклад, в [1].
2. Основний об’єкт дослiджень. Метою статтi є отримання загальних тверджень про
збiжнiсть векторних невласних iнтегралiв i рядiв, окремими випадками яких є ознаки Абеля
i Дiрiхле. У цих твердженнях розглядаються функцiї зi значеннями в банахових просторах,
що не є упорядкованими просторами. Це не дозволяє використовувати умову монотонностi
функцiй, яка в ознаках Абеля i Дiрiхле є суттєвою. Замiсть таких функцiй у статтi використано
функцiї обмеженої варiацiї, що розширило множину застосовностi тверджень типу теорем iз
попереднього пункту.
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4 527
528 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
3. Основнi позначення, означення та допомiжнi результати. Нехай \BbbC — множина всiх
комплексних чисел, X, Y i Z — банаховi простори над полем дiйсних або комплексних чисел з
нормами \| \cdot \| X , \| \cdot \| Y i \| \cdot \| Z вiдповiдно i L(X,Y ) — банаховий простiр лiнiйних неперервних
операторiв A : X \rightarrow Y з нормою \| A\| L(X,Y ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\| x\| X=1 \| Ax\| Y .
Упорядковану пару (X,Y ) банахових просторiв X i Y будемо називати правильною, якщо
для довiльних елементiв x \in X i y \in Y визначено правило дiї вектора x на вектор y (добуток
векторiв), що позначатимемо через xy, i кожний добуток xy є елементом деякого банахового
простору \frakL , що залежить вiд X, Y та операцiї добутку векторiв.
Очевидно, що пара (X,Y ) є правильною, якщо виконується хоча б одна з таких вимог:
1) X — множина \BbbR або \BbbC , а Y — дiйсний або комплексний лiнiйний простiр вiдповiдно (у
цьому випадку визначено добуток xy вектора y на число x);
2) X — банаховий простiр L(Y,Z) (у цьому випадку вираз xy є результатом дiї оператора
x \in L(Y,Z) на вектор y \in Y );
3) x i y — лiнiйнi неперервнi оператори, для яких множина значень оператора y \in Y,
Y = L(Y1, X1), є пiдмножиною областi визначення оператора x \in X, X = L(X1, Z), де X1 i
Y1 — банаховi простори; у цьому випадку вираз xy є добутком операторiв y i x;
4) X = Y = H, де H — гiльбертiв простiр i добуток xy є скалярним добутком векторiв x
та y;
5) X = Y = \BbbR 3 i добуток xy є векторним добутком векторiв x та y.
Список таких вимог можна було б продовжити.
Очевидно, що, наприклад, (\BbbR ,\BbbR ), (\BbbR ,\BbbC ), (\BbbC ,\BbbC ), (\BbbC ,\BbbR ), (\BbbR , X), (\BbbC , X) (тут X — ком-
плексний банаховий простiр), (\BbbR , L(X,Y )), (\BbbC , L(X,Y )) (тут L(X,Y ) — комплексний бана-
ховий простiр) i (L(X,Y ), L(Z,X)) є правильними парами банахових просторiв.
Поняття правильної пари просторiв нам потрiбне для того, щоб дослiдити збiжнiсть якомога
ширшого класу невласних iнтегралiв та рядiв.
У подальшому для довiльної правильної пари (X,Y ) наведемо ознаки збiжностi невласного
iнтеграла
+\infty \int
a
x(t)y(t) dt (3)
i ряду
\infty \sum
n=1
xnyn (4)
у випадку, коли x(t) \in X, y(t) \in Y для всiх t \in [a,+\infty ) i xn \in X, yn \in Y для всiх n \in \BbbN , де
\BbbN — множина всiх натуральних чисел.
При дослiдженнi збiжностi (3) i (4) будемо використовувати допомiжнi результати, що
наводяться далi.
Розглянемо довiльнi вiдрiзок [a, b] i число m \in \BbbN . Розбиттям вiдрiзка [a, b] називається
множина Tm = \{ t0, t1, . . . , tm\} , для якої a = t0 < t1 < t2 < . . . < tm - 1 < tm = b. Дiаметром
цього розбиття називається число \lambda = \lambda (Tm) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i\Delta ti, де \Delta ti = ti - ti - 1.
Функцiя y : [a,+\infty ) \rightarrow Y називається функцiєю з обмеженою змiною на вiдрiзку [a, b],
якщо iснує така стала C, що, яке б не було розбиття Tm вiдрiзка [a, b], виконано нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ОЗНАК АБЕЛЯ I ДIРIХЛЕ 529\sum m
i=1
\| y(ti) - y(ti - 1)\| Y \leq C. Точна верхня грань таких сум по рiзних розбиттях вiдрiзка [a, b]
називається повною змiною функцiї y на вiдрiзку [a, b] i позначається V (y, [a, b]). Функцiя y
називається функцiєю з обмеженою змiною на [a,+\infty ), якщо величини V (y, [a, b]), b > a,
обмеженi в сукупностi. При цьому \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}b\rightarrow +\infty V (y, [a, b]) називається повною змiною функцiї y
на [a,+\infty ) i позначається V (y, [a,+\infty )).
Лема 1. Нехай y : [a,+\infty ) \rightarrow Y — функцiя з обмеженою змiною на [a,+\infty ). Тодi: 1) для
кожної збiжної послiдовностi (\xi k)k\geq 1 чисел з iнтервалу (a, b), b > a, для якої \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \xi k = b,
послiдовнiсть (y(\xi k))k\geq 1 є збiжною; 2) якщо \alpha , \beta \in (a, b), \alpha < \beta i \alpha \rightarrow b, то V (y, [\alpha , \beta ]) \rightarrow 0.
Доведення. Припустимо, що послiдовнiсть (y(\xi k))k\geq 1 розбiжна. Iснують пiдпослiдовностi
(\eta k)k\geq 1 i (\mu k)k\geq 1 послiдовностi (\xi k)k\geq 1 i число \varepsilon > 0, для яких \eta k < \mu k < \eta k+1, k \in \BbbN , i
\| y(\eta k) - y(\mu k)\| Y \geq \varepsilon , k \in \BbbN , що суперечить обмеженiй змiнi функцiї y на [a,+\infty ).
Отже, припущення, що послiдовнiсть (y(\xi k))k\geq 1 розбiжна, є хибним.
Припустимо, що V (y, [\alpha , \beta ]) \not \rightarrow 0 при \alpha \rightarrow b. Iснують число \delta > 0 i послiдовностi (\alpha n)n\geq 1,
(\beta n)n\geq 1, для яких \alpha n < \beta n < \alpha n+1 < b, n \in \BbbN , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \alpha n = b i V (y, [\alpha n, \beta n]) \geq \delta , n \in \BbbN , що
суперечить обмеженiй змiнi функцiї y : [a,+\infty ) \rightarrow Y на [a,+\infty ).
Отже, припущення, що V (y, [\alpha , \beta ]) \not \rightarrow 0 при \alpha \rightarrow b, є хибним.
Лему 1 доведено.
Далi наведемо означення iнтегровної на [a,+\infty ) функцiї x : [a,+\infty ) \rightarrow X . Зафiксуємо до-
вiльне число b > a i розглянемо довiльне розбиття Tm вiдрiзка [a, b]. Також розглянемо довiльну
залежну вiд Tm множину \Xi m = \{ \xi 1, \xi 2, . . . , \xi m\} , де \xi i \in [ti - 1, ti], i = 1,m.
Функцiю x називають iнтегровною на вiдрiзку [a, b], якщо iснує вектор A \in X , для якого
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\lambda \rightarrow 0
\sum m
i=1
(\Delta ti)x(\xi i) = A. Тут границя не залежить вiд вибору множин Tm i \Xi m.
Границю \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\lambda \rightarrow 0
\sum m
i=1
(\Delta ti)x(\xi i) називають iнтегралом Рiмана вiд функцiї x(t) по вiдрiзку
[a, b] i позначають через
b\int
a
x(t) dt. (5)
Функцiю x : [a,+\infty ) \rightarrow X називають iнтегровною на [a,+\infty ), якщо ця функцiя iнтегровна
на кожному вiдрiзку [a, b], b > a, й iснує границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}b\rightarrow +\infty
\int b
a
x(t) dt. Тодi невласний iнтеграл
+\infty \int
a
x(t) dt (6)
називають збiжним.
Очевидно, що iнтегровна на [a,+\infty ) функцiя x : [a,+\infty ) \rightarrow X є iнтегровною на кожному
вiдрiзку [c, d] i кожному промiжку [c,+\infty ), де c > a.
Зазначимо, що iнтегровна на вiдрiзку [a, b] функцiя x є обмеженою на цьому вiдрiзку. Ця
властивiсть iнтегровних на [a, b] функцiй зi значеннями в банаховому просторi X випливає з
означення iнтеграла (5) i встановлюється так само, як i у випадку функцiй зi значеннями в \BbbR
(див. [1, с. 96, 97]).
Для подальшого важливим є таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
530 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Лема 2. Нехай функцiя x : [a,+\infty ) \rightarrow X iнтегровна на [a,+\infty ). Тодi для кожного числа
b > a
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k) -
ti\int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
= 0. (7)
Тут t0, . . . , tm — точки розбиття Tm вiдрiзка [a, b], а \xi 1, . . . , \xi m — точки множини \Xi m.
Доведення. Зафiксуємо довiльне число b > a. На пiдставi iнтегровностi функцiї x на [a, b]
iснує число M > 0, для якого
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [a,b]
\| x(t)\| X \leq M. (8)
Розглянемо довiльне число \varepsilon > 0. Завдяки (8) iснує таке розбиття Tp = \{ \tau 0, \tau 1, . . . , \tau p\} вiдрiзка
[a, b], що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\nu =1,p
(\tau \nu - \tau \nu - 1) < \varepsilon (9)
i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in [\tau \nu - 1,\tau \nu +1]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\tau \int
a
x(t) dt -
\tau \nu \int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon , \nu = 1, p - 1. (10)
Iз iнтегровностi функцiї x на вiдрiзках [a, \tau \nu ], \nu = 1, p - 1, та спiввiдношення (8) випливає,
що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
a<tk<\tau \nu
(\Delta tk)x(\xi k) -
\tau \nu \int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
= 0, \nu = 1, p - 1.
Тому iснує таке число \lambda \varepsilon \in (0, \varepsilon ), що виконуватимуться нерiвностi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
a<tk<\tau \nu
(\Delta tk)x(\xi k) -
\tau \nu \int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
< \varepsilon , \nu = 1, p - 1,
якщо 0 < \lambda < \lambda \varepsilon .
Отже, завдяки (10)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\nu =1,p - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \in [\tau \nu - 1,\tau \nu +1]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
a<tk<\tau \nu
(\Delta tk)x(\xi k) -
\tau \int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
< 2\varepsilon , (11)
якщо \lambda \in (0, \lambda \varepsilon ).
Позначимо через \tau \nu (i) найближчу точку множини \{ \tau 1, \tau 2, . . . , \tau p\} до ti, для якої ti \leq \tau \nu (i).
Очевидно, що
\tau \nu (i) - 1 < ti \leq \tau \nu (i). (12)
Оскiльки на пiдставi (8), (9), (11) i (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ОЗНАК АБЕЛЯ I ДIРIХЛЕ 531\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k) -
ti\int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
a<tk<\tau \nu (i)
(\Delta tk)x(\xi k) -
ti\int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k) -
\sum
a<tk<\tau \nu (i)
(\Delta tk)x(\xi k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
< 2\varepsilon +M\varepsilon ,
якщо \lambda \in (0, \lambda \varepsilon ), то завдяки довiльностi вибору числа \varepsilon справджується твердження леми.
Лему 2 доведено.
Iнтегровнiсть функцiї x(t)y(t) на промiжку [a,+\infty ) та вiдповiдно збiжнiсть невласного
iнтеграла (3) визначаються так само, як i для (6).
Оскiльки збiжнiсть iнтеграла (3) визначається з використанням iнтегралiв
b\int
a
x(t)y(t) dt, b > a, (13)
то розглянемо їх. Зазначимо, що, як i у випадку iнтеграла (5),
b\int
a
x(t)y(t) dt = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
m\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi i)
i границя не залежить вiд вибору множин Tm i \Xi m.
Важливим є таке твердження.
Лема 3. Нехай: 1) пара (X,Y ) банахових просторiв X i Y є правильною; 2) функцiя x :
[a,+\infty ) \rightarrow X iнтегровна на [a,+\infty ); 3) функцiя y : [a,+\infty ) \rightarrow Y є функцiєю з обмеженою
змiною на кожному вiдрiзку [a, b], b > a. Тодi функцiя x(t)y(t) є iнтегровною на кожному
вiдрiзку [a, b], b > a, i виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
b\int
a
x(t)y(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
b\int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
\| y(b - 0)\| Y + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\leq s\leq b
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s\int
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
V (y, [a, b]). (14)
Доведення. Зафiксуємо довiльне число b > a. Використаємо довiльнi розбиття Tm вiдрiзка
[a, b], множину \Xi m i iнтегральну суму
m\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi i) (15)
для функцiї x(t)y(t) на вiдрiзку [a, b].
Покажемо, що iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
m\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi i). (16)
За допомогою перетворення Абеля (див. [1, с. 305, 306]) запишемо суму (15) у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
532 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
m\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi i) =
m\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi m) -
m - 1\sum
i=1
i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k)\Delta y(\xi i), (17)
де \Delta y(\xi i) = y(\xi i+1) - y(\xi i). Оскiльки обидва доданки у правiй частинi рiвностi (17) можуть
бути розбiжними при \lambda \rightarrow 0 (це можливо у випадку розривної в точцi b функцiї y(t)), то
запишемо цю рiвнiсть так, щоб вiдповiднi доданки були збiжними при \lambda \rightarrow 0. Очевидно, що
m\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi i) =
= (\Delta tm)x(\xi m)y(\xi m) +
m - 1\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi m - 1) -
m - 2\sum
i=1
i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k)\Delta y(\xi i). (18)
Покажемо, що права частина цiєї рiвностi має границю при \lambda \rightarrow 0.
Очевидно, що на пiдставi обмеженостi функцiй x(t) i y(t) на вiдрiзку [a, b]
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
(\Delta tm)x(\xi m)y(\xi m) = 0.
Також очевидно, що завдяки iнтегровностi функцiї x(t) на [a, b] та твердженню леми 1 для
другого доданка правої частини (18) справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
m - 1\sum
i=1
(\Delta ti)x(\xi i)y(\xi m - 1) =
b\int
a
x(t) dt y(b - 0).
Покажемо, що третiй доданок у правiй частинi рiвностi (18) при \lambda \rightarrow 0 також є збiжним,
тобто iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
m - 2\sum
i=1
i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k)\Delta y(\xi i). (19)
Запишемо
\sum m - 2
i=1
\sum i
k=1
(\Delta tk)x(\xi k)\Delta y(\xi i) у виглядi
m - 2\sum
i=1
i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k)\Delta y(\xi i) =
=
m - 2\sum
i=1
\left( i\sum
k=1
(\Delta tk)x(\xi k) -
ti\int
a
x(t) dt
\right) \Delta y(\xi i) +
m - 2\sum
i=1
ti\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi i). (20)
У правiй частинi рiвностi (20) перший доданок прямує до 0 при \lambda \rightarrow 0, оскiльки за лемою 2
справджується спiввiдношення (7) i V (y, [a, b]) < +\infty за умовою 3 леми 3.
Покажемо, що другий доданок у правiй частинi рiвностi (20) також збiгається при \lambda \rightarrow 0,
тобто iснує границя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ОЗНАК АБЕЛЯ I ДIРIХЛЕ 533
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow 0
m - 2\sum
i=1
ti\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi i). (21)
Використаємо критерiй Кошi [2, с. 78]. Розглянемо довiльнi розбиття
T \prime
m1
= \{ t\prime 0, t\prime 1, . . . , t\prime m1
\} i T \prime \prime
m2
= \{ t\prime \prime 0, t\prime \prime 1, . . . , t\prime \prime m2
\}
вiдрiзка [a, b] i множини
\Xi \prime
m1
= \{ \xi \prime 1, \xi \prime 2, . . . , \xi \prime m1
\} i \Xi \prime \prime
m2
= \{ \xi \prime \prime 1 , \xi \prime \prime 2 , . . . , \xi \prime \prime m2
\} ,
де \xi \prime i i \xi \prime \prime i — довiльнi точки вiдрiзкiв [t\prime i - 1, t
\prime
i] i [t\prime \prime i - 1, t
\prime \prime
i ] вiдповiдно. Нехай
\lambda \prime = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i
\bigm| \bigm| t\prime i - t\prime i - 1
\bigm| \bigm| i \lambda \prime \prime = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i
\bigm| \bigm| t\prime \prime i - t\prime \prime i - 1
\bigm| \bigm| .
Покажемо, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \prime \rightarrow 0, \lambda \prime \prime \rightarrow 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m1 - 2\sum
i=1
t\prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime i) -
m2 - 2\sum
i=1
t\prime \prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime \prime i )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
= 0. (22)
Тодi за критерiєм Кошi буде iснувати границя (21).
Використаємо множину \Xi m3 = \Xi \prime
m1
\cup \Xi \prime \prime
m2
, де m3 — число елементiв цiєї множини. Еле-
менти множини \Xi m3 будемо позначати через \eta l, де l = 1,m3.
Визначимо вiдображення D\prime
m3
:
\bigl(
\Xi \prime
m3
\setminus \{ \eta m3\}
\bigr)
\rightarrow T \prime
m1
i D\prime \prime
m3
:
\bigl(
\Xi \prime \prime
m3
\setminus \{ \eta m3\}
\bigr)
\rightarrow T \prime \prime
m2
за
допомогою рiвностей
D\prime
m3
\eta l = t\prime i (23)
i
D\prime \prime
m3
\eta l = t\prime \prime i , (24)
де t\prime i — такий елемент множини T \prime
m1
, що вiдрiзок [t\prime i - 1, t
\prime
i] мiстить точку \eta l, i, аналогiчно, t\prime \prime i —
такий елемент множини T \prime \prime
m2
, що вiдрiзок [t\prime \prime i - 1, t
\prime \prime
i ] мiстить точку \eta l.
Очевидно, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \prime \rightarrow 0, \lambda \prime \prime \rightarrow 0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l=1,m3 - 1
\bigm| \bigm| D\prime
m3
\eta l - D\prime \prime
m3
\eta l
\bigm| \bigm| = 0. (25)
Розглянемо випадок
\xi \prime m1 - 1 = \xi \prime \prime m2 - 1. (26)
Завдяки (23) i (24) справджуються рiвностi
m1 - 2\sum
i=1
t\prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime i) =
\sum
l\in
\Bigl\{
l : D\prime
m3
\eta l\leq t\prime m1 - 2
\Bigr\}
D\prime
m3
\eta l\int
a
x(t) dt\Delta y(\eta l) (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
534 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
i
m2 - 2\sum
i=1
t\prime \prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime \prime i ) =
\sum
l\in
\Bigl\{
l : D\prime \prime
m3
\eta l\leq t\prime \prime m2 - 2
\Bigr\}
D\prime \prime
m3
\eta l\int
a
x(t) dt\Delta y(\eta l). (28)
Зазначимо, що \bigl\{
l : D\prime
m3
\eta l \leq t\prime m1 - 2
\bigr\}
=
\bigl\{
l : D\prime \prime
m3
\eta l \leq t\prime \prime m2 - 2
\bigr\}
.
Тому завдяки (8), (27) i (28)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m1 - 2\sum
i=1
t\prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime i) -
m2 - 2\sum
i=1
t\prime \prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime \prime i )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
l\in
\Bigl\{
l : D\prime
m3
\eta l\leq t\prime m1 - 2
\Bigr\}
D\prime
m3
\eta l\int
D\prime \prime
m3
\eta l
x(t) dt\Delta y(\eta l)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
\leq
m3 - 2\sum
l=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
D\prime
m3
\eta l\int
D\prime \prime
m3
\eta l
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
\| \Delta y(\eta l)\| Y \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l=1,m3 - 1
\bigm| \bigm| D\prime
m3
\eta l - D\prime \prime
m3
\eta l
\bigm| \bigm| MV (y, [a, b]).
Звiдси на пiдставi (25) у випадку виконання (26) випливає (22).
Далi розглянемо випадок
\xi \prime m1 - 1 \not = \xi \prime \prime m2 - 1. (29)
Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що \xi \prime m1 - 1 > \xi \prime \prime m2 - 1. У цьому випадку позначимо
через l0 натуральне число, для якого \eta l0 = \xi \prime \prime m2 - 1 < \eta l0+1 \leq \xi \prime m1 - 1. Тодi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m1 - 2\sum
i=1
t\prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime i) -
m2 - 2\sum
i=1
t\prime \prime i\int
a
x(t) dt\Delta y(\xi \prime \prime i )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
l\in
\Bigl\{
l : D\prime
m3
\eta l\leq t\prime m1 - 2
\Bigr\}
D\prime
m3
\eta l\int
a
x(t) dt\Delta y(\eta l) -
\sum
l\in
\Bigl\{
l : D\prime
m3
\eta l\leq t\prime m1 - 2
\Bigr\}
D\prime \prime
m3
\eta l\int
a
x(t) dt\Delta y(\eta l)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l0\sum
l=1
D\prime
m3
\eta l\int
D\prime \prime
m3
\eta l
x(t) dt\Delta y(\eta l)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m3 - 1\sum
l=l0
D\prime
m3
\eta l\int
a
x(t) dt\Delta y(\eta l)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
.
Аналогiчно, як i у випадку виконання рiвностi (26),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \prime \rightarrow 0, \lambda \prime \prime \rightarrow 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l0\sum
l=1
D\prime
m3
\eta l\int
D\prime \prime
m3
\eta l
x(t) dt\Delta y(\eta l)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ОЗНАК АБЕЛЯ I ДIРIХЛЕ 535
Також справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \prime \rightarrow 0, \lambda \prime \prime \rightarrow 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m3 - 1\sum
l=l0
D\prime
m3
\eta l\int
a
x(t) dt\Delta y(\eta l)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
= 0,
оскiльки \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m3 - 1\sum
l=l0
D\prime
m3
\eta l\int
a
x(t) dt\Delta y(\eta l)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
\leq (b - a)MV (y, [D\prime
m3
\eta l0 , \eta m3 - 1])
i на пiдставi леми 1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\lambda \prime \rightarrow 0, \lambda \prime \prime \rightarrow 0 V (y, [D\prime
m3
\eta l0 , \eta m3 - 1]) = 0.
Отже, спiввiдношення (22) справджується й у випадку виконання нерiвностi (29).
Таким чином, границя (19), а отже, i границя (16) iснують. Це означає, що функцiя x(t)y(t)
iнтегровна на кожному вiдрiзку [a, b], b > a.
Нерiвнiсть (14) випливає iз спiввiдношення (17), означень iнтегралiв (5) i (13), означення
повної змiни функцiї на вiдрiзку та леми 1.
Лему 3 доведено.
4. Аналоги ознак Абеля i Дiрiхле для невласного iнтеграла (3). Справджуються такi
твердження.
Теорема 5. Нехай: 1) пара (X,Y ) банахових просторiв X i Y є правильною; 2) функцiя x :
[a,+\infty ) \rightarrow X iнтегровна на [a,+\infty ); 3) функцiя y : [a,+\infty ) \rightarrow Y є функцiєю з обмеженою
змiною на [a,+\infty ). Тодi невласний iнтеграл (3) збiгається.
Теорема 6. Нехай: 1) пара (X,Y ) банахових просторiв X i Y є правильною; 2) функцiя x :
[a,+\infty ) \rightarrow X iнтегровна на вiдрiзках [a, b], b > a, i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}b>a
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \int b
a
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
< +\infty ; 3) функцiя y :
[a,+\infty ) \rightarrow Y є функцiєю з обмеженою змiною на [a,+\infty ) i прямує до 0 при t \rightarrow +\infty . Тодi
невласний iнтеграл (3) збiгається.
Очевидно, що теореми 1 i 2 є окремими випадками теорем 5 i 6 вiдповiдно.
Доведення теореми 6. За лемою 3 та умовами теореми функцiя x(t)y(t) iнтегровна на
кожному вiдрiзку [a, b], b > a. Покажемо, що iснує границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}b\rightarrow +\infty
\int b
a
x(t)y(t) dt, тобто
невласний iнтеграл
\int +\infty
a
x(t)y(t) dt збiгається.
Для збiжностi цього iнтеграла достатньо показати (за критерiєм Кошi), що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow +\infty , d\rightarrow +\infty
d\int
c
x(t)y(t) dt = 0. (30)
Використовуючи нерiвнiсть (14), отримуємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\int
c
x(t)y(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\int
c
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
\| y(d - 0)\| Y + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c\leq s\leq d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s\int
c
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
V (y, [c, d]).
Оскiльки на пiдставi умови 2 теореми iснує таке число L > 0, що для всiх \alpha , \beta \in [a,+\infty )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
536 В. Ю. СЛЮСАРЧУК\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\beta \int
\alpha
x(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
\leq L,
то \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\int
c
x(t)y(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\frakL
\leq L\| y(d - 0)\| Y + LV (y, [c, d]).
Звiдси випливає спiввiдношення (30), оскiльки за умовою 3 теореми \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}d\rightarrow +\infty \| y(d - 0)\| Y = 0
i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}c\rightarrow +\infty , d\rightarrow +\infty V (y, [c, d]) = 0.
Теорему 6 доведено.
Доведення теореми 5. Завдяки умовi 3 теореми 5 функцiю y : [a,+\infty ) \rightarrow Y можна записати
у виглядi
y(t) = C + z(t), t \geq a, (31)
де C \in Y i z : [a,+\infty ) \rightarrow Y — функцiя з обмеженою змiною на [a,+\infty ), що прямує до
0 при t \rightarrow +\infty (таке зображення єдине), i V (y, [a,+\infty )) = V (z, [a,+\infty )). На пiдставi (31)
x(t)y(t) = x(t)C + x(t)z(t). Тому
+\infty \int
a
x(t)y(t) dt =
+\infty \int
a
x(t)C dt+
+\infty \int
a
x(t)z(t) dt.
Тут iнтеграл
\int +\infty
a
x(t)C dt збiгається завдяки умовi 1 теореми 5, а iнтеграл
\int +\infty
a
x(t)z(t) dt
— завдяки теоремi 6. Отже, iнтеграл (3) є збiжним.
Теорему 5 доведено.
Зауваження 1. Твердження теорем 5 i 6 не змiняться, якщо в умовах цих теорем x(t) i y(t)
помiняти мiсцями.
Зауваження 2. У випадку X = Y = \BbbR теореми 5 i 6 рiвносильнi теоремам 1 i 2 вiдповiд-
но, оскiльки функцiя y(t) обмеженої змiни на [a,+\infty ) є рiзницею y1(t) - y2(t) обмежених i
монотонних на [a,+\infty ) функцiй y1(t) i y2(t) [3], для яких \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty y1(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty y2(t) = 0,
якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty y(t) = 0, i
+\infty \int
a
x(t)y(t) dt =
+\infty \int
a
x(t)y1(t) dt -
+\infty \int
a
x(t)y2(t) dt.
Наведемо приклади невласних iнтегралiв, до дослiдження збiжностi яких застосовнi теоре-
ми 5 i 6.
Приклад 1. Розглянемо iнтеграл
+\infty \int
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
t
(A+ g(t)B) dt, (32)
де A i B — лiнiйнi неперервнi оператори, що дiють у банаховому просторi E, i g — функцiя
обмеженої змiни на [1,+\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ОЗНАК АБЕЛЯ I ДIРIХЛЕ 537
Оскiльки невласний iнтеграл
\int +\infty
1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
t
dt збiгається за теоремою 2 (див. [1]) i функцiя
G(t) = A+ g(t)B є функцiєю обмеженої змiни на [1,+\infty ), то на пiдставi теореми 5 невласний
iнтеграл (32) збiгається.
Приклад 2. Розглянемо майже перiодичну функцiю
F (t) =
\sum
n
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ i\lambda nt\} An, (33)
де \lambda n \in \BbbR i An \in L(E,E). Вважаємо, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t\int
0
F (s) ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
< +\infty .
Це спiввiдношення виконується, якщо, наприклад, число доданкiв у правiй частинi (33) скiн-
ченне i \lambda n \not = 0 для всiх n.
Також розглянемо функцiю G(t) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\surd
t
t2
I, де I — одиничний елемент алгебри L(E,E).
Легко перевiрити, що G(t) — функцiя обмеженої змiни на [1,+\infty ) i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty G(t) = O.
На пiдставi теореми 6 невласний iнтеграл
\int +\infty
1
F (t)G(t) dt збiгається.
5. Аналоги ознак Абеля i Дiрiхле для ряду (4). Справджуються такi твердження.
Теорема 7. Нехай: 1) пара (X,Y ) банахових просторiв X i Y є правильною; 2) ряди\sum \infty
n=1
xn i
\sum \infty
n=2
\| yn - yn - 1\| Y , де xn \in X, yn \in Y, n \in \BbbN , збiгаються. Тодi ряд (4) збiга-
ється.
Теорема 8. Нехай: 1) пара (X,Y ) банахових просторiв X i Y є правильною; 2) для ряду\sum \infty
n=1
xn, де xn \in X, n \in \BbbN , частиннi суми обмеженi в сукупностi, тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}m\geq 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
n=1
xn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
< +\infty ; 3) ряд
\sum \infty
n=2
\| yn - yn - 1\| Y , де yn \in Y, n \in \BbbN , збiгається i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty yn = 0. Тодi ряд (4) збiгається.
Очевидно, що теореми 7 i 8 узагальнюють теореми 3 i 4 вiдповiдно.
Теореми 7 i 8 — це окремi випадки теорем 5 i 6 вiдповiдно. Справдi, розглянемо функцiї u :
[1,+\infty ) \rightarrow X i v : [1,+\infty ) \rightarrow Y, що визначаються рiвностями
u(t) = x[t] i v(t) = y[t], t \geq 1,
де [t] — цiла частина числа t.
Ряд
\infty \sum
n=1
xnyn (34)
i невласний iнтеграл
+\infty \int
1
x[t]y[t] dt (35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
538 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
одночасно збiгаються або розбiгаються. Справдi, якщо ряд (34) збiгається, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k, l\rightarrow \infty
l\sum
n=k
xnyn = 0 (36)
i, отже, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty xnyn = 0. Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c, d\rightarrow +\infty
d\int
c
x[t]y[t] dt = 0. (37)
Звiдси випливає збiжнiсть iнтеграла (35). Якщо збiгається iнтеграл (35), то виконуються спiв-
вiдношення (37), а отже, i спiввiдношення \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}c, d\rightarrow +\infty
\int [d]
[c]
x[t]y[t] dt = 0, що рiвносильне (36).
Тому збiгається ряд (34).
З умов теорем 7 i 8, очевидних рiвностей
V (v, [1,+\infty )) =
\infty \sum
n=2
\| yn - yn - 1\| Y ,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\int
1
u(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
n=1
xn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
та з того, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}b\rightarrow +\infty
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int b
[b]
u(t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
= 0 внаслiдок збiжностi ряду
\sum \infty
n=1
xn, випливає, що
функцiї u(t) = x[t] i v(t) = y[t] задовольняють умови теорем 5 i 6 вiдповiдно. Тому теореми 7 i
8 випливають iз теорем 5 i 6.
Зауваження 3. У випадку числових рядiв теореми 7 i 8 розглянуто в [4].
Зауваження 4. Твердження теорем 7 i 8 не змiняться, якщо в умовах цих теорем xn i yn
помiняти мiсцями.
Наведемо приклади рядiв, до дослiдження збiжностi яких застосовнi теореми 7 i 8.
Приклад 3. Нехай A : E \rightarrow E — лiнiйний неперервний оператор, \sigma (A) — його спектр,
an, n \in \BbbN , — довiльнi числа, для яких
\sum \infty
n=1
| an+1 - an| < +\infty , i u — ненульовий елемент
банахового простору E. Розглянемо ряд
\infty \sum
n=1
n - Aanu. (38)
Будемо вважати, що ряд
\sum \infty
n=1
n - A збiгається (у [5] показано, що цей ряд збiгається лише у
випадку \sigma (A) \subset \{ \lambda \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda > 1\} ). За теоремою 7 ряд (38) збiгається.
Приклад 4. Нехай \omega 1, \omega 2, . . . , \omega p — довiльнi додатнi числа, A1, A2, . . . , Ap — лiнiйнi не-
перервнi оператори, що дiють у банаховому просторi E, i bn, n \in \BbbN , — числа, для яких\sum \infty
n=1
| bn+1 - bn| < +\infty i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty bn = 0. Розглянемо ряд
\infty \sum
n=1
bn
\Biggl(
p\sum
k=1
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega kn)Ak
\Biggr)
. (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ОЗНАК АБЕЛЯ I ДIРIХЛЕ 539
Оскiльки
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega k + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\omega k + . . .+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}m\omega k =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
m+ 1
2
\omega k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
m\omega k
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\omega k
2
(див. [6]), то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m\geq 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
n=1
\Biggl(
p\sum
k=1
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega kn)Ak
\Biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
< +\infty .
Тому завдяки теоремi 8 та вимогам до чисел bn, n \in \BbbN , ряд (39) збiгається.
Лiтература
1. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, Наука, Москва (1968).
2. А. Я. Дороговцев, Математический анализ. Краткий курс в современном изложении, Факт, Киев (2004).
3. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Наука, Москва (1974).
4. В. Ю. Слюсарчук, Загальнi теореми про збiжнiсть числових рядiв, Вид-во Рiвнен. техн. ун-ту, Рiвне (2001).
5. В. Ю. Слюсарчук, Умови збiжностi операторного ряду
\sum \infty
n=1
n - A , Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту, Математика,
вип. 485, 113 – 117 (2009).
6. Г. Б. Двайт, Таблицы интегралов и другие математические формулы, Наука, Москва (1973).
Одержано 22.11.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1141 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:50Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/86/fca0d50d2c308813ac9d9e7f3b7ee186.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-11412020-07-06T14:03:34Z Generalization of Abel and Dirichlet signs Узагальнення ознак Абеля і Діріхле Узагальнення ознак Абеля і Діріхле Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. УДК 517.382+517.52 We obtain vector analogues of Abel and Dirichlet signs. УДК 517.382+517.52&lt;br&gt; Получены векторные аналоги признаков Абеля и Дирихле. УДК 517.382+517.52 Отримано векторні аналоги ознак Абеля і Діріхле. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1141 10.37863/umzh.v72i4.1141 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 4 (2020); 527-539 Український математичний журнал; Том 72 № 4 (2020); 527-539 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1141/8705 Copyright (c) 2020 Василь Юхимович Слюсарчук |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Слюсарчук, В. Ю. Generalization of Abel and Dirichlet signs |
| title | Generalization of Abel and Dirichlet signs |
| title_alt | Узагальнення ознак Абеля і Діріхле Узагальнення ознак Абеля і Діріхле |
| title_full | Generalization of Abel and Dirichlet signs |
| title_fullStr | Generalization of Abel and Dirichlet signs |
| title_full_unstemmed | Generalization of Abel and Dirichlet signs |
| title_short | Generalization of Abel and Dirichlet signs |
| title_sort | generalization of abel and dirichlet signs |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1141 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu generalizationofabelanddirichletsigns AT slûsarčukvû generalizationofabelanddirichletsigns AT slûsarčukvû generalizationofabelanddirichletsigns AT slyusarchukvyu uzagalʹnennâoznakabelâídíríhle AT slûsarčukvû uzagalʹnennâoznakabelâídíríhle AT slûsarčukvû uzagalʹnennâoznakabelâídíríhle |