On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces. Results and unsolved problems
We present a survey of the results obtained for 2-dimensional surfaces in $E^3$ and $E^4$ and connected with the Gaussian curvature and Gaussian torsion. In this connection, we consider the Monge –Amp´ere equations, obtain the generalizations of Bernstein’s integral formula, and establish some lower...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1416 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507163858829312 |
|---|---|
| author | Aminov, Yu. A. Аминов, Ю. А. Аминов, Ю. А. |
| author_facet | Aminov, Yu. A. Аминов, Ю. А. Аминов, Ю. А. |
| author_sort | Aminov, Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:16Z |
| description | We present a survey of the results obtained for 2-dimensional surfaces in $E^3$ and $E^4$ and connected with the Gaussian
curvature and Gaussian torsion. In this connection, we consider the Monge –Amp´ere equations, obtain the generalizations
of Bernstein’s integral formula, and establish some lower estimates for the exterior diameter of surfaces in $E^3$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.772
Ю. А. Аминов (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ:
РЕЗУЛЬТАТЫ И НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
We present a survey of the results obtained for 2-dimensional surfaces in E3 and E4 and connected with the Gaussian
curvature and Gaussian torsion. In this connection, we consider the Monge – Ampére equations, obtain the generalizations
of Bernstein’s integral formula, and establish some lower estimates for the exterior diameter of surfaces in E3.
Наведено огляд результатiв щодо двовимiрних поверхонь у три- та чотиривимiрних евклiдових просторах, пов’язаних
з гауссовою кривизною та гауссовим скрутом. При цьому розглянуто рiвняння Монжа – Ампера, дано узагальнення
iнтегральної формули С. Н. Бернштейна та отримано оцiнки знизу зовнiшнього дiаметра поверхонь в E3.
1. Введение. В прошлом веке было уделено много внимания исследованиям двумерных поверх-
ностей в трех- и четырехмерном евклидовых пространствах (см., например, работы Н. В. Ефи-
мова [1], Э. Г. Позняка [4], Э. Р. Розендорна [3]). В какой-то мере это был итог развития
московской школы геометрии „в целом” двумерных поверхностей, не превзойденный в миро-
вой литературе.
Очень насыщенны информацией статьи по геометрии поверхностей Ю. Д. Бураго [27],
Э. Р. Розендорна [28], а также недавно появившаяся статья И. Х. Сабитова [46].
В настоящем обзоре мы приводим результаты, не вошедшие в указанные выше работы. При-
ведены и сравнительно новые результаты в пункте 3 (В. А. Топоногова), в пункте 4 (Ю. А. Ами-
нова), в пункте 15 (И. Х. Сабитова). Рассматривается поведение поверхностей „в целом” в
зависимости от ограничений на гауссову кривизну. Сначала мы рассматриваем поверхности,
заданные в явном виде в E4, устанавливаем простые формулы для гауссовой кривизны K и
гауссова кручения \kappa \Gamma . Несмотря на то, что в E4 для двумерной поверхности больше „свободы”
или, иначе говоря, выше произвол задания, пока неизвестно можно ли построить поверхность
в E4 с регулярной взаимно однозначной проекцией на всю плоскость (x, y) и с гауссовой
кривизной K \leq - K2
0 < 0, где K0 — постоянное число.
Напомним, что Э. Р. Розендорн в 1961 г. построил в E4 замкнутую регулярную поверхность
с гауссовой кривизной K \leq - K2
0 < 0 (см. подробное описание в [3]). Г. Я. Перельман построил
в [5] полную регулярную седловую поверхность с отделенной от нуля гауссовой кривизной и
с однозначной проекцией на плоскость (x, y), за исключением счетного неограниченного мно-
жества точек, в которых поверхность не определена. Известно также построение Д. Блануши
в [6] изометрического вложения всей плоскости Лобачевского в E6. Эта поверхность взаимно
однозначно проектируется на плоскость (x, y). Используя функции, введенные Д. Бланушем,
Э. Р. Розендорн построил в [7] изометрическое погружение плоскости Лобачевского в E5. В
этом случае поверхность имеет самопересечения и не проектируется взаимно однозначно на
плоскость (x, y). И. Х. Сабитов в [8] построил кусочно-аналитическое погружение плоскости
c\bigcirc Ю. А. АМИНОВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1 3
4 Ю. А. АМИНОВ
Лобачевского в E4 со счетным дискретным числом особых линий, где поверхность принадле-
жит классу Липшица C0,1.
Таким образом, остается открытым вопрос: можно ли вложить или погрузить изометри-
чески плоскость Лобачевского в E4 в виде регулярной поверхности?
Заметим, что в работах С. Б. Кадомцева [29], Ю. А. Аминова [30, 31], F. Xavier [32],
Л. А. Масальцева [33], Ю. А. Николаевского [34] и Д. В. Болотова [35] доказаны теоремы о
невозможности некоторых специальных изометрических погружений пространства Лобачев-
ского в евклидовы пространства. Но мы не ставим здесь перед собой задачу анализа этих
работ. Обширный обзор по изометрическим погружениям пространственных форм в римановы
и псевдоримановы пространства приведен в статье А. А. Борисенко [42]. Свойства двумерных
поверхностей в евклидовых пространствах отражены также в монографиях [41, 43].
В геометрии важную роль играют уравнения Монжа – Ампера. В данном обзоре уделено
много внимания оператору Монжа – Ампера на римановом многообразии, приведено очень
полезное обобщение интегральной формулы С. Н. Бернштейна. В частном случае, когда это
риманово многообразие является плоскостью, формулу С. Н. Бернштейна использовал Хайнц,
который дал с ее помощью аналитическое доказательство оценки Н. В. Ефимова размеров круга
или квадрата, над которыми в E3 определена поверхность z = z(x, y) с гауссовой кривизной
K \leq - K2
0 < 0.
Другое важное использование обобщенной формулы С. Н. Бернштейна — это применение ее
к оценкам внешнего диаметра поверхности в E3 в зависимости от гауссовой кривизны, которые
были получены в работах автора. Впервые такого вида оценки установлены Ю. Д. Бураго более
сложными методами с помощью приближений поверхностей многогранниками. Обобщенная
формула С. Н. Бернштейна и другие близкие родственные формулы, приведенные в обзоре,
значительно упрощают и облегчают рассмотрение указанных вопросов.
Ранее во многих работах доказывались общие теоремы о существовании решений про-
блемы Дирихле для эллиптического уравнения Монжа – Ампера, но конкретные решения не
приводились. В настоящем обзоре приведены недавно доказанные теоремы о построении поли-
номиальных решений простейшего уравнения Монжа – Ампера zxxzyy - z2xy = f(x, y) в случае,
когда f(x, y) — полином. Первоначальное исследование в случае, когда f(x, y) — квадратичный
полином, было проведено автором с группой турецких геометров и опубликовано в работе [20].
Необычное строение поверхностей z(x, y), определенных на всей плоскости (x, y), но с
особенностями в отдельных точках, в случае, когда f(x, y) \equiv 0, дает теорема И. Х. Сабито-
ва [24], которая явилась определенным итогом обсуждений в рамках украинского-российского
совместного исследования „Изометрические погружения метрик и внешне-геометрические
свойства поверхностей в пространствах постоянной кривизны” в 2012 – 2013 гг. В случае, ког-
да особые точки являются вершинами выпуклого многоугольника, теорема доказана автором
данной статьи.
Автором и В. А. Горькавым в [17] с целью построения поверхностей F 2 в E4, заданных
над замкнутыми поверхностями M2 в E3 сложного топологического вида, найдены простые
алгебраические поверхности в E3 с симметриями, названные „симметронами”. Построенная
Э. Р. Розендорном замкнутая поверхность в E4 с K < 0 имеет род 7. Поэтому было бы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 5
интересно построить в E4 поверхность с K < 0 меньшего рода с помощью „симметронов”.
Выведены формулы, выражающие гауссову кривизну поверхности F 2 в E4 через кривизну M2
и значение оператора Монжа – Ампера от функции на M2, задающей поверхность F 2. Ком-
пьютерными методами было проанализировано поведение гауссовой кривизны для конкретных
видов „симметронов” и задающих функций.
Автор благодарен И. Х. Сабитову за полезное обсуждение работы и В. А. Александрову за
информацию о работах В. А. Топоногова.
2. Гауссова кривизна двумерной поверхности в \bfitE 4, заданной в явном виде. Пусть на
плоскости с координатами x1, x2 заданы две регулярные функции u(x1, x2), v(x1, x2). Тогда
можем считать, что в E4 задана двумерная поверхность с радиусом-вектором
r(x1, x2) =
\left(
x1
x2
u(x1, x2)
v(x1, x2)
\right) .
Поскольку пространство евклидово, то метрика этой поверхности имеет вид
ds2 = (dx1)
2 + (dx2)
2 + (du)2 + (dv)2 = E(dx1)
2 + 2Fdx1dx2 +G(dx2)
2,
где E = 1 + u21 + v21, F = u1u2 + v1v2, G = 1 + u22 + v22. Здесь нижние индексы обозначают
производные по аргументам.
По известной формуле для гауссовой кривизны K через коэффициенты метрики можно
найти выражение K через первые и вторые производные функций u(x1, x2), v(x1, x2). Извест-
на знаменитая формула Фробениуса (напомним, что впервые выражение гауссовой кривизны
через коэффициенты первой квадратичной формы дал Гаусс, но в более сложном виде)
K = - 1
4W 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
E Eu Ev
F Fu Fv
G Gu Gv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| -
1
2W
\biggl\{
\partial
\partial v
Ev - Fu
W
+
\partial
\partial u
Gu - Fv
W
\biggr\}
, (1)
где u, v — координаты на поверхности, W =
\surd
EG - F 2. Но так как в общем случае F отлично
от нуля, то вычисления достаточно громоздкие, хотя и элементарные. Воспользуемся другим
подходом, записав формулу для кривизны через вторые квадратичные формы:
K =
\sum 2
\alpha =1
\bigl[
L\alpha
11L
\alpha
22 - (L\alpha
12)
2
\bigr]
EG - F 2
, (2)
где L\alpha
ij = (rijn\alpha ) — коэффициенты второй квадратичной формы по отношению к единичной
нормали n\alpha .
Напомним формулу из римановой геометрии. Внутренняя кривизна поверхности в рима-
новом пространстве M, т. е. гауссова кривизна Ki, связана с внешней кривизной Ke и кри-
визной пространства KM по площадке, касающейся поверхности, формулой Ki = Ke +KM .
В рассматриваемом случае пространство M евклидово, поэтому KM = 0 и, следовательно,
Ki = Ke.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
6 Ю. А. АМИНОВ
Пусть нормали имеют такие координаты в E4 :
n1 = (\xi 1, \xi 2, \xi 3, \xi 4),
n2 = (\eta 1, \eta 2, \eta 3, \eta 4).
Выражения для производных радиуса-вектора имеют вид
r1 =
\left(
1
0
u1
v1
\right) , r2 =
\left(
0
1
u2
v2
\right) , rij =
\left(
0
0
uij
vij
\right) .
Условия ортогональности нормалей к ri дают уравнения
\xi 1 + \xi 3u1 + \xi 4v1 = 0,
\xi 2 + \xi 3u2 + \xi 4v2 = 0.
Аналогичные уравнения имеем для \eta i. С другой стороны, запишем условие ортонормирован-
ности базиса n1, n2, использовав при этом выражения \xi 1, \xi 2 через \xi 3, \xi 4 и аналогично \eta 1, \eta 2
через \eta 3, \eta 4. В результате получим систему
\xi 23A+ 2\xi 3\xi 4B + \xi 24C = 1,
\xi 3\eta 3A+ (\xi 3\eta 4 + \xi 4\eta 3)B + \xi 4\eta 4C = 0,
\eta 23A+ 2\eta 3\eta 4B + \eta 24C = 1.
В этой системе A = 1 + u21 + u22, B = u1v1 + u2v2, C = 1 + v21 + v22. Используем также
обозначение D =
\surd
AC - B2 =
\sqrt{}
1 + | \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u| 2 + | \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} v| 2 + (u1v2 - u2v1)2.
В дальнейшем, не ограничивая общности, можно взять вектор n1 так, что \xi 4 = 0. Тогда из
системы получаем
\xi 23 =
1
A
, \eta 3A+ \eta 4B = 0, \eta 24 =
A
D2
.
Вернемся теперь к формуле (2). Имеем
L1
ij = (rijn1) = uij\xi 3 + vij\xi 4,
L2
ij = (rijn2) = uij\eta 3 + vij\eta 4.
Следовательно,
2\sum
\alpha =1
\bigl(
L\alpha
11L
\alpha
22 - (L\alpha
12)
2
\bigr)
= (u11u22 - u212)(\xi
2
3 + \eta 23) +
+ (u11v22 - 2u12v12 + u22v11)(\xi 3\xi 4 + \eta 3\eta 4) +
\bigl(
v11v22 - v212
\bigr)
(\xi 24 + \eta 24). (3)
Учитывая условие \xi 4 = 0, находим коэффициенты при вторых производных функций u и v:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 7
\xi 23 + \eta 23 =
C
D2
, \eta 3\eta 4 = - B
D2
, \eta 24 =
A
D2
.
Подставляя эти выражения в (3), получаем окончательное выражение для гауссовой кривизны
поверхности в E4 :
K =
\bigl(
u11u22 - u212
\bigr) \bigl(
1 + v21 + v22
\bigr)
D4
-
-
\bigl(
u11v22 - 2u12v12 + u22v11
\bigr) \bigl(
u1v1 + u2v2
\bigr)
D4
+
+
\bigl(
v11v22 - v212
\bigr) \bigl(
1 + u21 + u22
\bigr)
D4
, (4)
где D4 =
\bigl[
1 + u21 + u22 + v21 + v22 + (u1v2 - u2v1)
2
\bigr] 2
. Эта формула приведена в работе [16].
В частном случае формула для поверхности u = u(x1, x2) в E3 имеет вид
K =
u11u22 - u212\bigl(
1 + u21 + u22
\bigr) 2 .
Далее мы используем формулу (4) в некоторых специальных случаях задания функций u(x1, x2)
и v(x1, x2).
3. История вопроса о поверхностях отрицательной кривизны в \bfitE 3, заданных в явном
виде. Н. В. Ефимов в 1953 г. в работе [9] доказал следующую теорему.
Теорема А. Если поверхность z = f(x, y) регулярна при всех значениях x, y, то ее гаус-
сова кривизна не может оставаться меньше какого-либо отрицательного числа.
Иными словами, регулярная поверхность строго отрицательной кривизны K \leq - K0 <
< 0, где K0 — произвольная положительная постоянная, не может существовать над всей
плоскостью (x, y).
Возможно ли обобщение этой теоремы на поверхности в \bfitE 4? В частности, может ли
существовать поверхность в \bfitE 4 постоянной отрицательной кривизны \bfitK = - \bfone , проек-
тирующаяся на всю плоскость (\bfitx 1, \bfitx 2)?
Затем в статье [10] он значительно усилил результат, а именно, доказал, что если поверх-
ность задана над квадратом со стороной a, то a ограничено сверху. Справедлива следующая
теорема.
Теорема Б. Существует постоянная, которую не может превысить сторона квадрата,
если на этот квадрат однозначно проектируется кусок регулярной поверхности с гауссовой
кривизной K \leq - 1.
В качестве такой постоянной можно взять 18,9.
Теорема 2 сразу привлекла внимание геометров. Уже в 1955 г. была опубликована статья
Хайнца [11], в которой дано другое доказательство теоремы, основанное на интегральной
формуле С. Н. Бернштейна для поверхности, заданной над кругом радиуса r. Хайнц своим
методом показал, что радиус r ограничен сверху.
Формула С. Н. Бернштейна была обобщена автором настоящей статьи для функций, задан-
ных на двумерных и многомерных римановых пространствах (см. [12 – 14]).
Приведем результат, который был получен в работе [13] с помощью метода Хайнца.
Рассматривается метрика вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
8 Ю. А. АМИНОВ
ds2 = d\sigma 2 + (du)2,
где (d\sigma )2 — метрика постоянной отрицательной кривизны - a2, заданная в геодезическом круге
радиуса R, u — регулярная класса C2 функция точки этого круга. Доказана следующая теорема.
Теорема В. Пусть d\sigma 2 — метрика постоянной отрицательной кривизны - a2, а гауссова
кривизна K метрики ds2 удовлетворяет неравенству K \leq - b2, причем b > 2a. Тогда
R \leq e
\surd
3
b - 2a
.
В этой же работе рассмотрены случаи, когда полная метрика d\sigma 2 имеет переменную кри-
визну. Рассматриваются геодезические круги радиуса r и площади S(r). Доказывается, что
если
\infty \int
r1
dr\surd
S(r)
= \infty ,
то для любого K0 > 0 не может существовать полная метрика ds2 = d\sigma 2 + (du)2 с гауссовой
кривизной K \leq - K2
0 .
Можно попытаться применить эту теорему к метрикам вида ds2 = (dx1)
2+(dx2)
2+(du)2+
+ (dv)2 в случае, когда v(x1, x2) — полином определенной степени от x1, x2.
Другой подход может быть в непосредственном использовании формулы для K и в приме-
нении формул типа С. Н. Бернштейна.
В заключение этого пункта для полноты исторической картины приведем знаменитую тео-
рему Н. В. Ефимова, доказанную в 1963 г.
Теорема Н. В. Ефимова. В E3 на любой полной регулярной поверхности верхняя грань
гауссовой кривизны не меньше нуля.
Иными словами, в E3 невозможна полная регулярная поверхность с гауссовой кривизной
K \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} < 0. В качестве требования регулярности достаточно принять C2 в каждой точке
поверхности.
Полное доказательство приведено в статье [36].
Переизложение доказательства этой теоремы дано в статье Т. Клотц-Милнора [37] с посвя-
щением „многим советским геометрам, которые были так добры ко мне на Международном
конгрессе математиков в Москве (1966)”.
Здесь же приведено следующее предположение.
Предположение (Дж. Милнор). Пусть S — полная, не содержащая омбилических точек
поверхность, C2-погруженная в E3 так, что сумма квадратов главных кривизн на S строго
отграничена от нуля. Тогда либо K меняет знак, либо K \equiv 0.
Доказательство теоремы Н. В. Ефимова основано на рассмотрении отображений E2 на E2.
Этот аспект, представляющий интерес и сам по себе, подробно рассмотрен в статье В. А. Алек-
сандрова [38], где высказаны гипотезы, касающиеся многомерных отображений. Отметим так-
же статью Э. Р. Розендорна и Е. В. Шикина [39], излагающую работы Н. В. Ефимова о поверх-
ностях отрицательной кривизны в их исторической связи с предыдущим развитием геометрии.
Предположение Дж. Милнора заинтересовало В. А. Топоногова. Он в работе [48] доказал
следующее: если на произвольной поверхности \Phi класса C3 главные кривизны k1 и k2 связаны
соотношением (1 - k1d)(1 - k2d) = - 1, то поверхность \Phi есть прямой круговой цилиндр
радиуса
d
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 9
Здесь d = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} . Очевидно, на поверхности, удовлетворяющей приведенному выше урав-
нению, нет омбилических точек и k21 + k22 \geq 3/d2, т. e. выполняется условие Дж. Милнора. В
дальнейшем в работе [50] В. А. Топоноговым была получена более общая теорема в случае, ког-
да главные кривизны связаны соотношением f(k1, k2) = 0 и на поверхности нет омбилических
точек.
В общей постановке предположение Дж. Милнора, насколько известно автору, до сих пор
не доказано и не опровергнуто.
4. Комплексно-аналитическая кривая в \bfitE 4 и другие поверхности. Пусть в некото-
рой области D плоскости (x1, x2) заданы две регулярные функции u(x1, x2), v(x1, x2). Эти
две функции определяют некоторую двумерную поверхность F 2 в E4. Приведем несколько
примеров простых поверхностей в E4.
1. Введем комплексную переменную z = x1 + ix2. Пусть следующая комплексная функция
f(z) = u+ iv является комплексно-аналитической. В этом случае поверхность F 2 называется
комплексно-аналитической кривой.
Функции u и v являются сопряженными гармоническими функциями. Обозначив индекса-
ми снизу производные этих функций по их аргументам, запишем систему уравнений
u1 = v2, u2 = - v1,
u11 + u22 = 0, v11 + v22 = 0.
Найдем выражение гауссовой кривизны поверхности F 2. Имеем
u11 = v12, u12 = v22, u22 = - v12.
Используя эти соотношения, находим
u11u22 - u212 = v11v22 - v212 = - v211 - v212,
u11v22 - 2u12v12 + u22v11 = 0.
Тогда формула для гауссовой кривизны поверхности F 2 принимает вид
K =
2
\bigl(
v11v22 - v212
\bigr) \bigl(
1 + v21 + v22
\bigr) 3 =
- 2
\bigl(
v211 + v212
\bigr) \bigl(
1 + v21 + v22
\bigr) 3 .
Отсюда можно сделать заключение: гауссова кривизна комплексно-аналитической кривой всегда
неположительна: K \leq 0.
Пусть в круге D радиуса R задана комплексно-аналитическая кривая и ее гауссова кривизна
удовлетворяет неравенству K \leq - K0 < 0. Заметим, что гауссова кривизна \=K вспомогательной
поверхности \bigl\{
x1, x2, v(x1, x2)
\bigr\}
удовлетворяет неравенствам
\=K =
v11v22 - v212\bigl(
1 + v21 + v22
\bigr) 2 \leq v11v22 - v212\bigl(
1 + v21 + v22
\bigr) 3 \leq - K0
2
.
Используя оценку Хайнца, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
10 Ю. А. АМИНОВ
R \leq
\surd
3e\surd
2K0
.
Таким образом, на комплексно-аналитической кривой, заданной на всей плоскости (x1, x2),
гауссова кривизна не отделена от нуля постоянным числом.
2. Рассмотрим выражение кривизны K в случае, когда обе функции u и v гармонические,
но не обязательно сопряженные. Заменим в числителе выражения для K вторые производные
u22 = - u11, v22 = - v11. Тогда числитель примет вид
- (u211 + u212)
\bigl(
1 + v21 + v22
\bigr)
+ 2(u11v11 + u12v12)(u1v1 + u2v2) - (v211 + v212)(1 + u21 + u22) =
= - u211 - u212 - v211 - v212 - (u11v1 - v11u1)
2 - (u11v2 - v11u2)
2 -
- (u12v1 - v12u1)
2 - (u12v2 - v12u2)
2.
Следовательно, если у поверхности \bfitF 2 \subset \bfitE 4 компоненты \bfitu и \bfitv — гармонические функ-
ции, то гауссова кривизна \bfitK \leq \bfzero . Впервые это было отмечено в работе Г. Я. Перельмана [5].
3. Пусть u и v — полиномы от x1, x2 некоторой степени, например, следующего вида.
Поверхность 2a)
u =
1
2
(x21 + x22), v = 3(x21 - x22).
Тогда гауссова кривизна поверхности 2a), как легко вычислить, равна
K =
- 35\bigl(
1 + 37(x21 + x22) + (12x1x2)2
\bigr) 2 .
Поверхность 2б)
u = 3(x21 + x22), v =
1
2
(x21 - x22).
Гауссова кривизна поверхности 2б) равна
K =
35\bigl(
1 + 37(x22 + x22) + (12x1x2)2
\bigr) 2 .
Таким образом, гауссова кривизна поверхности 2а) K < 0, гауссова кривизна поверхности 2б)
K > 0. Обе поверхности имеют проекции на трехмерные пространства как положительной,
так и отрицательной кривизны.
4. Рассмотрим поверхность
u = f(x1) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x2, v = f(x1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x2.
Замечательным свойством этой поверхности является то обстоятельство, что многие ее гео-
метрические характеристики зависят только от x1. Штрихом будем обозначать производные
функции f по x1. Имеем
u1 = f \prime \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x2, u2 = - f \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x2, v1 = f \prime \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x2, v2 = f \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x2,
u11 = f \prime \prime \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x2, u12 = - f \prime \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x2, u22 = - f \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x2,
v11 = f \prime \prime \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x2, v12 = f \prime \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x2, v22 = - f \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 11
Метрика такой поверхности имеет вид ds2 = (1 + f \prime 2)(dx1)
2 + (1 + f2)(dx2)
2. Поскольку
координатные линии x1, x2 ортогональны, то с помощью этой метрики легко найти гауссову
кривизну такой поверхности:
K = - f \prime \prime f(1 + f2) + f \prime 2(1 + f \prime 2)
(1 + f2)2(1 + f \prime 2)2
.
5. Гауссово кручение поверхности в \bfitE 4, заданной в явном виде. Как известно, гауссово
кручение \kappa \Gamma определяется по формуле
\kappa \Gamma =
1
\surd
g
\bigl[
L1
1iL
2
2j - L1
2iL
2
1j
\bigr]
gij ,
где gij — коэффициенты обратного метрического тензора, g — детерминант матрицы метриче-
ского тензора. Если a и b — полуоси эллипса нормальной кривизны, то \kappa \Gamma = \pm 2ab, причем знак
зависит от того, будет ли конец вектора нормальной кривизны обходить эллипс нормальной
кривизны в положительном направлении согласно положительной ориентации в нормальной
плоскости (тогда +) или в отрицательном направлении (тогда - ). Эта величина является един-
ственным инвариантом нормальной связности поверхности, аналогичным кривизне касатель-
ной связности, т. е. гауссовой кривизне. Интеграл от \kappa \Gamma по замкнутой поверхности F 2 равен
нулю, если на поверхности существует регулярное нормальное единичное векторное поле; в
общем случае он равен 2\pi \nu , где \nu — инвариант Уитни, т. е. сумма индексов особенностей
единичного нормального векторного поля. Этот факт и даже более общий случай установлены
еще С. С. Черном в [40], а подробное изложение имеется в книге автора [41] (глава 6).
Имеем
g11 = 1 + u21 + v21, g12 = u1u2 + v1v2, g22 = 1 + u22 + v22,
g = 1 + u21 + u22 + v21 + v22 + (u1v2 - u2v1)
2.
Выражения для коэффициентов обратного метрического тензора таковы:
g11 =
1 + u22 + v22
g
, g12 = - u1u2 + v1v2
g
, g22 =
1 + u21 + v21
g
.
Напомним полученные ранее выражения для коэффициентов вторых квадратичных форм:
L1
ij = \xi 3uij + \xi 4vij ,
L2
ij = \eta 3uij + \eta 4vij .
Учитывая, что \xi 4 = 0, находим\bigl[
L1
1iL
2
2j - L1
2iL
2
1j
\bigr]
gij = \xi 3\eta 4(u1iv2j - u2iv1j)g
ij =
= \xi 3\eta 4
\bigl[
(u11v21 - u12v11)g
11 + (u11v22 - u22v11)g
12 + (u12v22 - u22v12)g
22
\bigr]
.
Ранее мы получили
\xi 23 =
1
A
, \eta 24 =
A
D2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
12 Ю. А. АМИНОВ
Для того чтобы правильно выбрать знаки при извлечении корня, рассмотрим базис в E4 из
касательных и нормальных векторов. Будем предполагать, что он имеет положительную ориен-
тацию. Тогда определитель \Delta , составленный из компонент этих векторов, будет положителен.
Таким образом,
\Delta =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 0 u1 v1
0 1 u2 v2
\xi 1 \xi 2 \xi 3 0
\eta 1 \eta 2 \eta 3 \eta 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
= \xi 3\eta 4 - \xi 2\eta 4u2 + (\xi 2\eta 3 - \eta 2\xi 3)v2 - u1\xi 1\eta 4 +
+ v1(\xi 1\eta 3 - \xi 3\eta 1) + (u1v2 - u2v1)(\xi 1\eta 2 - \xi 2\eta 1).
Используем соотношения
\xi 1 = - \xi 3u1, \eta 1 = - \eta 3u1 - \eta 4v1,
\xi 2 = - \xi 3u2, \eta 2 = - \eta 3u2 - \eta 4v2.
После подстановки этих выражений получаем
\Delta = \xi 3\eta 4
\bigl(
1 + u21 + u22 + v21 + v22 + (u1v2 - u2v1)
2
\bigr)
.
Поэтому \xi 3\eta 4 > 0. С помощью приведенных выше выражений находим \xi 3\eta 4 =
1
D
. Заметим,
что D2 = g. Итак, можем записать выражение для кручения Гаусса:
\kappa \Gamma =
1
g2
\bigl[
(u11v12 - u12v11)(1 + u22 + v22) -
- (u11v22 - u22v11)(u1u2 + v1v2) + (u12v22 - u22v12)(1 + u21 + v21)
\bigr]
.
В качестве примера снова рассмотрим комплексно-аналитическую кривую. Используя по-
лученную формулу и соотношения для первых и вторых производных функций u и v, находим
\kappa \Gamma = - 2
v11v22 - v212\bigl(
1 + v21 + v22
\bigr) 3 .
Это выражение только знаком отличается от ранее найденного выражения для гауссовой кри-
визны K. Следовательно, для комплексно-аналитической кривой справедливо соотношение
K + \kappa \Gamma = 0.
Другой интересный класс поверхностей задается уравнениями
u = \Phi x, v = \Phi y,
где \Phi (x, y) — некоторая регулярная функция. Для такой поверхности гауссова кривизна выра-
жается через третьи производные функции \Phi :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 13
K =
1
g2
\bigl[
(\Phi xxx\Phi xyy - \Phi 2
xxy)(1 + \Phi 2
xy +\Phi 2
yy) -
- (\Phi xxx\Phi yyy - \Phi xxy\Phi xyy)(\Phi xx +\Phi yy)\Phi xy + (\Phi xxy\Phi yyy - \Phi 2
xyy)(1 + \Phi 2
xx +\Phi 2
xy)
\bigr]
,
где
g = 1 + \Phi 2
xx + 2\Phi 2
xy +\Phi 2
yy + (\Phi xx\Phi yy - \Phi 2
xy)
2.
Гауссово кручение \kappa \Gamma имеет тоже же самое выражение, т. е. для такой поверхности
K = \kappa \Gamma .
Более общие поверхности в E4 с K \pm \kappa \Gamma = 0 найдены в [15].
Для уже рассмотренной поверхности u = f(x) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y, v = f(x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y в [16] установлено
выражение гауссового кручения
\kappa \Gamma =
f \prime \prime f \prime (1 + f2) + f \prime f(1 + f \prime 2)
(1 + f2)2(1 + f \prime 2)2
и с его помощью найдена поверхность с постоянным и отличным от нуля гауссовым кручением.
Доказано, что ширина полосы t1 \leq x \leq t2 на регулярной части поверхности ограничена сверху.
6. Формула С. Н. Бернштейна и ее применение в работе Хайнца. Пусть на плоскости
(x, y) в круге D радиуса R задана регулярная функция z = z(x, y) класса C2. Эта функция
определяет поверхность F 2 в E3. Будем предполагать, что центр круга совпадает с началом
координат и в круге введены полярные координаты r, \phi . Круг радиуса r с центром в начале
координат обозначим через D(r), а его граничную окружность — через \Gamma (r).
Для доказательства теоремы Н. В. Ефимова Хайнц использовал формулу С. Н. Бернштейна
d
dr
\int
\Gamma (r)
z2\phi
r
d\phi = 2
\int
D(r)
(z2xy - zxxzyy) dx dy +
\int
\Gamma (r)
z2r d\phi . (5)
Доказательство этой формулы приведем в пункте 7.
Будем предполагать, что гауссова кривизна K поверхности F 2 удовлетворяет неравенству
K \leq - K0 < 0,
где K0 — положительная постоянная. Поскольку
K =
zxxzyy - z2xy
(1 + z2x + z2y)
2
,
то для производных функции z выполняется неравенство
z2xy - zxxzyy \geq K0(1 + z2x + z2y)
2.
Введем функцию от одной переменной t
f(t) =
t\int
0
\left( \int
\Gamma (r)
z2\phi
r
d\phi
\right) dr + S(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
14 Ю. А. АМИНОВ
где S(t) — площадь круга радиуса t, т. е. \pi t2. Производная этой функции
f \prime (t) =
\int
\Gamma (t)
z2\phi
t
d\phi + 2\pi t.
Заметим, что f(0) = 0, f \prime (0) = 0. Действительно, интеграл в выражении f \prime можно записать в
виде \int
\Gamma (t)
z2s ds,
где s — длина дуги окружности \Gamma (t). Поскольку функция z(x, y) регулярна, то модуль производ-
ной zs ограничен сверху. При t \rightarrow 0 длина окружности \Gamma (t) стремится к нулю, следовательно,
этот интеграл тоже стремится к нулю. Кроме того, отметим, что f(t) \geq \pi t2.
Из формулы С. Н. Бернштейна (5) следует, что
f \prime \prime (t) = 2
\int
D(t)
(z2xy - zxxzyy) dx dy +
\int
\Gamma (t)
z2t d\phi + 2\pi \geq
\geq 2K0
\int
D(t)
(1 + z2x + z2y)
2 dx dy + 2\pi .
С другой стороны, оценим сверху функцию f(t):
f(t) =
t\int
0
\left( \int
\Gamma (r)
z2sds
\right) dr +
\int
D(t)
dx dy \leq
\int
D(t)
(1 + z2x + z2y) dx dy.
Применим неравенство Коши – Буняковского\left( \int
D(t)
(1 + z2x + z2y) dx dy
\right)
2
\leq
\left[ \int
D(t)
\bigl(
(1 + z2x + z2y)
2 dx dy
\right] \pi t2.
Поэтому
f2(t) \leq
\left[ \int
D(t)
(1 + z2x + z2y) dx dy
\right] \pi t2.
Сравнивая с неравенством для второй производной, получаем
f \prime \prime (t) \geq 2K0f
2(t)
\pi t2
.
Заметим, что f \prime (t) > 0 при t > 0. Умножим обе части неравенства на f \prime (t) и проинтегрируем
от 0 до t. Учитывая, что f(0) = f \prime (0) = 0, получаем
f \prime (t)
f
3
2 (t)
\geq 2
\surd
K0\surd
3\pi t
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 15
Предполагая, что 0 < t1 < t2, интегрируем от t1 до t2. В результате имеем
1\surd
f(t1)
- 1\surd
f(t2)
\geq 2
\surd
K0\surd
3\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}
t2
t1
.
Поскольку f(t) \geq \pi t2, находим
1
t1
\geq 2
\surd
K0\surd
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
t2
t1
.
Оценка для t2 выражается через t1 следующим образом:
1
t1
+
2
\surd
K0\surd
3
\mathrm{l}\mathrm{n} t1 \geq
2
\surd
K0\surd
3
\mathrm{l}\mathrm{n} t2.
Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства:
\theta (t1) =
1
t1
+
2
\surd
K0\surd
3
\mathrm{l}\mathrm{n} t1.
Найдем точку минимума этой функции. Имеем
\theta \prime (t1) = - 1
t2
+
2
\surd
K0\surd
3t1
= 0.
Следовательно, минимальное значение функции \theta (t1) достигается при
1
t1
=
2
\surd
K0\surd
3
. Находим
оценку для t2 :
1 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
3
2
\surd
K0
\geq \mathrm{l}\mathrm{n} t2.
Полагая t2 = R, делаем заключение: радиус R круга D, над которым может существовать
регулярная поверхность вида z = z(x, y) с гауссовой кривизной K \leq - K0, ограничен сверху,
т. е.
R \leq
\surd
3e
2
\surd
K0
.
Эта оценка Хайнца немного улучшает оценку Н. В. Ефимова.
7. Доказательство формулы С. Н. Бернштейна (5). Запишем преобразование координат
x = r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi , r =
\sqrt{}
x2 + y2,
y = r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi , \phi = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
y
x
.
Находим связь производных
zx = zrrx + z\phi \phi x = zr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi - z\phi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi
r
,
zy = urry + z\phi \phi y = zr \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi + z\phi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi
r
.
Гессиан функции z представим в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
16 Ю. А. АМИНОВ
zxxzyy - z2xy =
1
2
\biggl[
\partial
\partial x
(zxzyy - zyzxy) +
\partial
\partial y
(zyzxx - zxzxy)
\biggr]
.
Заметим, что если выполнить дифференцирование в правой части, все третьи производные
взаимно сократятся. Проинтегрируем гессиан функции z по кругу D и используем формулу
Грина. Тогда получим
J =
\int
D
(zxxzyy - z2xy) dx dy =
1
2
\left[ \int
\Gamma (r)
(zxzxy - zyzxx)dx+ (zxzyy - zyzxy)dy
\right] =
=
\int
\Gamma (r)
zx(zyxdx+ zyydy) - zy(zxxdx+ zxydy) =
\int
\Gamma (r)
(zxdzy - zydzx).
Подставим выражения производных функции z и учтем, что дифференциалы этих производных
берутся по граничной окружности при фиксированном r. В результате будем иметь
J =
1
2
\left[ \int
\Gamma (r)
\biggl\{ \biggl(
zr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi - z\phi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi
r
\biggr) \biggl(
zr\phi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi + z\phi \phi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi
r
+ zr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi - z\phi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi
r
\biggr)
-
-
\biggl(
zr \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi + z\phi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi
r
\biggr) \biggl(
zr\phi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi - z\phi \phi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi
r
- zr \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi - z\phi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi
r
\biggr) \biggr\}
d\phi
\right] =
=
1
2
\left[ \int
\Gamma (r)
\Biggl(
-
z\phi zr\phi
r
+
zrz\phi \phi
r
+ z2r +
z2\phi
r2
\Biggr)
d\phi
\right] .
Заметим, что \int
\Gamma (r)
zrz\phi \phi
r
d\phi =
\int
\Gamma (r)
\biggl(
\partial zrz\phi
r\partial \phi
-
zr\phi z\phi
r
\biggr)
d\phi = -
\int
\Gamma (r)
z\phi zr\phi
r
d\phi .
Кроме того, можно записать
- 2
z\phi zr\phi
r
+
z2\phi
r2
= - \partial
\partial r
\Biggl(
z2\phi
r
\Biggr)
.
Поскольку интегрирование проводится по окружности r = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, то производную по r можно
вынести за знак интеграла. В результате получим формулу С. Н. Бернштейна (5). Впервые эта
формула была установлена в труднодоступной работе [45].
8. Обобщение формулы С. Н. Бернштейна (5). Обобщим формулу С. Н. Бернштейна (5),
предположив, что функция z задана в некоторой области с общей римановой метрикой ds2 =
= gijdx
idxj .
1. Сначала рассмотрим интеграл по площади от дивергенции некоторого вектора. Если
векторное поле a задано своими контравариантными компонентами ai, то выражение ai,i на-
зывается дивергенцией поля a, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 17
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} a = ai,i.
Здесь запятая с индексом внизу обозначает ковариантную производную.
Дивергенцию поля a можно записать и в таком виде:
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} a =
1
\surd
g
\partial ai
\surd
g
\partial xi
,
где g = g11g22 - g212. Действительно, выражение в правой части можем записать в виде
\partial ai
\partial xi
+
ai
2g
\partial g
\partial xi
=
\partial ai
\partial xi
+ \Gamma k
kia
i = ai,i,
так как в римановой геометрии известно, что \Gamma k
ki =
\partial g
2g\partial xi
. Проинтегрируем теперь \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} a по
площади некоторой области D с границей \Gamma . В результате, применив формулу Стокса, получим\int
D
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} adS =
\int
D
1
\surd
g
\partial ai
\surd
g
\partial xi
\surd
gdx1dx2 =
=
\int
\Gamma
\surd
g( - a2dx1 + a1dx2).
Касательный вектор к кривой \Gamma имеет контравариантные компоненты dx1, dx2. Введем еди-
ничный нормальный вектор \tau к кривой \Gamma с помощью его ковариантных компонент, положив
\tau 1 = \lambda dx2, \tau 2 = - \lambda dx1.
Тогда условие ортогональности будет выполнено: dxi\nu i = 0. Найдем \lambda из условия единичности
этого вектора. Имеем
1 = \tau i\tau jg
ij = \lambda 2
\bigl[
(dx2)2g11 - 2dx1dx2g12 + (dx1)2g22
\bigr]
.
Но
g11 = g22/g, g12 = - g12/g, g22 = g11/g.
Следовательно,
\lambda =
\surd
g
ds
,
где ds — элемент длины дуги кривой \Gamma . С учетом полученных соотношений можем записать\int
D
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} a dS =
\int
\Gamma
(a\tau ) ds, (6)
т. е. интеграл по площади от дивергенции поля a выражается через интеграл по длине дуги по
границе от скалярного произведения этого поля на единичный нормальный вектор к границе.
2. В 1901 г. Риччи и Леви-Чивита в работе „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs
applications” для функции \phi (x1, . . . , xn), заданной на n-мерном римановом пространстве, опре-
делили дифференциальные инварианты этой функции как коэффициенты при \lambda n - 1, \lambda n - 2, . . . , \lambda
в уравнении
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
18 Ю. А. АМИНОВ
1
g
| \phi ,ij - \lambda gij | = 0.
Запишем это уравнение при n = 2:
1
g
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \phi ,11 - \lambda g11 \phi ,12 - \lambda g12
\phi ,21 - \lambda g21 \phi ,22 - \lambda g22
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
1
g
\bigl[
\phi ,11\phi ,22 - (\phi ,12)
2 - \lambda (\phi ,11g22 - 2\phi ,12g12 + \phi ,22g11) + \lambda 2g
\bigr]
= 0.
Заметим, что для вторых ковариантных производных функции имеет место равенство \phi ,ij =
= \phi ,ji. Коэффициент при - \lambda есть оператор Лапласа – Бельтрами
\nabla 2\phi = \phi ,ijg
ij .
Следующее выражение является обобщением оператора Монжа – Ампера (или обобщенным
гессианом):
\nabla 22\phi =
\phi ,11\phi ,22 - (\phi ,12)
2
g11g22 - (g12)2
.
Преобразуем выражение этого оператора, выделив в нем дивергентную часть:
\nabla 22\phi = \nu 1,1 + \nu 2,2 +
1
2g
\bigl[
- \phi ,1(\phi ,221 - \phi ,122) + \phi ,2(\phi ,121 - \phi ,112)
\bigr]
,
где использованы обозначения
\nu 1 =
\phi ,1\phi ,22 - \phi ,2\phi ,12
2g
,
\nu 2 =
\phi ,2\phi ,11 - \phi 1\phi ,12
2g
.
Векторное поле с компонентами \nu i обозначим через \nu . Проверку тензорного характера вели-
чин \nu i проведем ниже. Для разности третьих ковариантных производных используем формулу
римановой геометрии. В результате получим
\phi ,221 - \phi ,122 = Ri
.221\phi ,i = R1221\phi
,1,
\phi ,121 - \phi ,112 = Ri
.121\phi ,i = R2121\phi
,2.
Здесь Rijkl — тензор Римана метрики ds2. Но гауссова кривизна K метрики ds2 вычисляется
по формуле
K =
R1212
g11g22 - (g12)2
.
Итак, можем записать
\nabla 22\phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \nu +
1
2
K\nabla 1\phi , (7)
где \nabla 1\phi = | \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi | 2 — первый дифференциальный параметр Бельтрами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 19
Рассмотрим интеграл от \nabla 22z по некоторой области D. Применяя формулу (6), получаем\int
D
\nabla 22z dS =
\int
\Gamma
(\nu \tau )ds+
\int
D
1
2
K\nabla 1z dS. (8)
3. Установим теперь, что набор величин \nu i составляет тензор. Пусть введены другие коор-
динаты
ui = ui(x1, x2), i = 1, 2.
Чертой сверху будем отмечать величины, относящиеся к новым координатам. Если \nu i состав-
ляют тензор, то в новых координатах должно быть
\=\nu \alpha = \nu i
\partial u\alpha
\partial xi
.
В частности, проверим, что \=\nu 1 = \nu i
\partial u1
\partial xi
. По определению имеем
\=\nu 1 =
\=\phi ,1
\=\phi ,22 - \=\phi ,2
\=\phi ,12
\=g
.
По определению тензора получаем
\=\phi ,\alpha = \phi i
\partial xi
\partial u\alpha
, \=\phi ,\beta \gamma = \phi ,ij
\partial xi
\partial u\beta
\partial xj
\partial u\gamma
, \=g = gJ2
\biggl(
x1, x2
u1, u2
\biggr)
,
где J
\biggl(
x1, x2
u1, u2
\biggr)
— якобиан перехода от старых координат к новым. Подставляя эти выражения,
находим
\=\nu 1 =
\biggl[
\nu 1
\partial x2
\partial u2
- \nu 2
\partial x1
\partial u2
\biggr]
1
J
\biggl(
x1, x2
u1, u2
\biggr) .
Но справедливы соотношения
\partial u1
\partial x1
=
\partial x2
\partial u2
J
\biggl(
x1, x2
u1, u2
\biggr) ,
\partial u1
\partial x2
= -
\partial x1
\partial u2
J
\biggl(
x1, x2
u1, u2
\biggr) .
Поэтому
\=\nu 1 = \nu i
\partial u1
\partial xi
,
что и требовалось доказать.
4. Перейдем теперь непосредственно к доказательству обобщения формулы С. Н. Бернш-
тейна. В окрестности кривой \Gamma введем полугеодезическую систему координат x1, x2 или в
других обозначениях r, \phi , в которой метрика имеет вид ds2 = (dr)2 + G(d\phi )2. Для этого
проведем ортогонально к кривой \Gamma геодезические линии, которые будут линиями \phi = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
и затем возьмем их ортогональные траектории, т. е. линии r = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, которые обозначаются
\Gamma (r). Единичный касательный вектор \tau , ортогональный к \Gamma (r), имеет компоненты \tau 1 = 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
20 Ю. А. АМИНОВ
\tau 2 = 0. Поэтому скалярное произведение (\nu \tau ) = \nu 1. Заметим, что в этом случае \nu 1 = \nu 1, так
как g11 = 1, g12 = 0. Обратимся к формуле (8) и рассмотрим контурный интеграл, который
обозначим через A:
A =
\int
\Gamma (r)
(\nu \tau ) ds =
\int
\Gamma (r)
z1z,22 - z2z,12
2g
\surd
Gdu2.
Запишем выражения ковариантных производных функции z. Первые производные совпадают
с обычными. Для вторых производных имеем
z,22 = zu2u2 - \Gamma 1
22zu1 - \Gamma 2
22zu2 ,
z,12 = zu1u2 - \Gamma 1
12zu1 - \Gamma 2
12zu2 .
Учитывая значения символов Кристоффеля
\Gamma 1
22 = - 1
2
Gu1 , \Gamma 2
22 =
1
2G
Gu2 , \Gamma 1
12 = 0, \Gamma 2
12 =
1
2G
Gu1
и соотношения g = G, ds =
\surd
Gdu2, получаем
A =
\int
\Gamma (r)
\biggl[
zu1zu2u2
2
\surd
G
- zu1zu2Gu2
4G3/2
- zu2zu1u2
2
\surd
G
+
Gu1z2u2
4G3/2
+
Gu1z2u1
4
\surd
G
\biggr]
du2.
Используем соотношения
zu1zu2u2
2
\surd
g
- Gu2zu1zu2
4G3/2
=
\partial
\partial u2
\biggl(
zu1zu2
2
\surd
G
\biggr)
- zu2zu1u2
2
\surd
G
.
При интегрировании первого слагаемого справа по замкнутой кривой \Gamma (r) получим нуль.
Второе слагаемое справа объединим с третьим слагаемым в выражении для A. Далее можем
записать
- zu2zu1u2\surd
G
+
Gu1z2u2
4G3/2
= - \partial
\partial u1
\biggl(
z2u2
2
\surd
G
\biggr)
,
1
\rho g
=
Gu1
2G
,
zu2\surd
G
= zs,
где
1
\rho g
— геодезическая кривизна кривой \Gamma (r). Подставим эти выражения в выражение для A.
Применяя формулу (8), получаем обобщение формулы С. Н. Бернштейна (5) на произволь-
ные двумерные поверхности:
2
\int
D(r)
\nabla 22z dS = - d
dr
\int
\Gamma (r)
(zs)
2 ds+
\int
\Gamma (r)
(zr)
2
\rho g
ds+
\int
D(r)
K\nabla 1z dS. (9)
Здесь K — гауссова кривизна метрики ds2,
1
\rho g
— геодезическая кривизна кривой \Gamma (r), \nabla 1z =
= | \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} z| 2 — первый дифференциальный параметр Бельтрами функции z, или, иными словами,
квадрат модуля градиента этой функции. В первых двух интегралах справа интегрирование
проводится по длине дуги s.
Формула была получена автором в статье [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 21
9. Связь кривизн метрик \bfitd \bfitsigma 2 и \bfitd \bfits 2 = \bfitd \bfitsigma 2 + \bfitd \bfitu 2 . Пусть на n-мерном римановом
многообразии с метрикой
d\sigma 2 = aijdx
idxj
задана регулярная функция u(x1, . . . , xn). Установим связь кривизн метрик d\sigma 2 и ds2 = d\sigma 2 +
+ du2. Коэффициенты метрики ds2 обозначим через gij . Имеем
gij = aij + uiuj ,
где ui — производные функции u по координатам xi. Всегда можно выбрать координаты так,
чтобы в фиксированной точке P0 символы Кристоффеля метрики d\sigma 2 были равны нулю; в
этой точке координаты ортогональны и aij = \delta ij . Пусть Rhijk — тензор Римана метрики ds2,
\=Rhijk — тензор Римана метрики d\sigma 2. Воспользуемся формулой для тензора Римана из книги
Л. П. Эйзенхарта „Риманова геометрия”:
Rhijk =
1
2
\biggl(
\partial 2ghk
\partial xi\partial xj
+
\partial 2gij
\partial xh\partial xk
-
\partial 2ghj
\partial xi\partial xk
- \partial 2gik
\partial xj\partial xh
\biggr)
+
+glm(\Gamma ij,m\Gamma hk,l - \Gamma ik,m\Gamma hj,l).
Здесь \Gamma pl.m — символы Кристоффеля метрики ds2. Но в точке P0 \Gamma ij,k = uijuk. Далее положим
h = j, i = k. Тогда
Rhihi =
1
2
\biggl(
2
\partial 2ahi
\partial xh\partial xi
- \partial 2ahh
\partial xi\partial xi
- \partial 2aii
\partial xh\partial xh
\biggr)
+
+
1
2
\biggl(
2
\partial 2uhui
\partial xh\partial xi
-
\partial 2u2h
\partial xi\partial xi
- \partial 2u2i
\partial xh\partial xh
\biggr)
+ glm(u2ih - uiiuhh)ulum.
Первое слагаемое справа, содержащее только производные aij , составляет тензор Римана мет-
рики d\sigma 2 в точке P0. Третьи смешанные производные функции u взаимно уничтожаются.
Имеем
Rhihi = \=Rhihi + (u,hhu,ii - u2,ih)(1 - ulumglm).
Мы заменили обычные производные функции u на ковариантные, так как в точке P0 символы
Кристоффеля метрики d\sigma 2 равны нулю. Кривизна площадки, касающейся координатных линий
xh, xi, равна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
22 Ю. А. АМИНОВ
Khi =
Rhihi
ghhgii - g2hi
.
Поскольку ghhgii - g2hi = 1+ u2h + u2i , то можем записать связь кривизн площадок метрик d\sigma 2
и ds2 :
Khi =
\=Khi
1 + u2h + u2i
+
(u,hhu,ii - u2,hi)(1 - ulumglm)
1 + u2h + u2i
. (10)
Заметим, что ulumglm — квадрат модуля градиента функции u в метрике ds2. Найдем его
выражение через \nabla 1u. По определению метрики ds2 в выбранной точке
gij = \delta ij + uiuj , g = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} | gij | = 1 +
n\sum
j=1
u2j = 1 +\nabla 1u.
В то же время коэффициенты обратного метрического тензора gjk имеют вид
gjk =
1
g
(\delta jkg - ujuk).
Действительно, проверим, что выполняются соотношения для обратного метрического тензора
gijg
jk = (\delta ij + uiuj)(\delta jkg - ujuk)/g =
=
\left( \delta ij\delta jkg + uiuj\delta jkg - ujuk\delta ij - uiuk
n\sum
j=1
u2j
\right) \Bigg/ g = \delta ik.
С помощью указанных выражений для gij находим
ujukg
jk = ujuk(\delta jkg - ujuk)/g =
\left( g
\sum
j
u2j -
\sum
j
u2j
\sum
k
u2k
\right) \Bigg/ g =
=
\sum
j
u2j
g
=
\nabla 1u
g
.
Следовательно,
1 - ulumglm =
1
1 +\nabla 1u
.
С учетом этих соотношений формула (10) принимает вид
Khi =
\=Khi
1 + u2h + u2i
+
u,hhu,ii - u2,hi
(1 + u2h + u2i )(1 +\nabla 1u)
.
Рассмотрим случай n = 2. В этом случае u21 + u22 = \nabla 1u — первый дифференциальный
параметр Бельтрами. Связь гауссовых кривизн двумерных метрик \bfitd \bfitsigma 2 и \bfitd \bfits 2 = \bfitd \bfitsigma 2+\bfitd \bfitu 2
определяется формулой
K(1 +\nabla 1u)
2 = \=K(1 +\nabla 1u) +\nabla 22u. (11)
Здесь \=K — кривизна метрики d\sigma 2, K — кривизна метрики ds2. Применим эту формулу в
следующем пункте.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 23
10. Оценка размеров области с двумерной метрикой \bfitd \bfitsigma 2 с большой по модулю отри-
цательной кривизной, в которой задана метрика \bfitd \bfits 2 = \bfitd \bfitsigma 2 + (\bfitd \bfitu )2 . Пусть в некоторой
области D заданы две метрики d\sigma 2 и ds2 = d\sigma 2 + (du)2, где u — регулярная функция. Будем
предполагать, что гауссова кривизна K метрики ds2 отрицательна и ее модуль больше модуля
кривизны \=K метрики d\sigma 2. Покажем, что можно получить оценку сверху размеров области D,
аналогичную оценке Н. В. Ефимова для поверхностей z = z(x, y).
Обозначим через C(r) геодезический круг в метрике d\sigma 2 радиуса r. Будем предполагать,
что для любого r \in [0, R] граница круга C(r) имеет геодезическую кривизну
1
\rho g
\geq 0. Это
условие выполнено, если гауссова кривизна метрики d\sigma 2 неположительна или R мало. Пусть
S(r) — площадь круга C(r) и L(r) — длина окружности \Gamma (r) в метрике d\sigma 2. Определим
величину M(R), зависящую от метрики d\sigma 2 :
M(R) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0\leq r\leq R
S(r)
L(r)2
.
Число M(R) отлично от нуля, так как отношение S(r) к L2(r) при r \rightarrow 0 стремится к
1
4\pi
.
Заметим, что если K = \=K, то оценку получить нельзя. Действительно, в этом случае можно
положить u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} во всей области задания метрики d\sigma 2. Поэтому K надо „отделить” от \=K,
что мы сделаем с помощью постоянного множителя \lambda при K.
Теорема 1. Пусть существует постоянная K0 > 0 такая, что для гауссовых кривизн K
и \=K выполнено K \leq - K2
0 и существует число \lambda (0 \leq \lambda < 1) такое, что \lambda K \leq \=K.
Тогда
S(R)M(R) \leq 3e2
4(1 - \lambda )K2
0
.
Для доказательства используем метод Хайнца, видоизмененный применительно к данному
случаю. Введем функцию
f(r) =
r\int
0
\int
\Gamma (r)
u2\sigma d\sigma dr + S(r).
Здесь \sigma — длина дуги \Gamma (r) в метрике d\sigma 2, u\sigma — производная u по длине дуги этой кривой,
r — длина дуги по геодезическому радиусу. Эту функцию можно также записать в виде
f(r) =
\int
C(r)
(1 + u2\sigma ) dS.
Используем обобщенную формулу С. Н. Бернштейна (9), в которой вместо z подставим u,
а вместо K — \=K. Применим также формулу (11), связывающую кривизны K, \=K и оператор
Монжа – Ампера. Тогда получим
d
dr
\int
\Gamma (r)
u2\sigma
2
d\sigma =
\int
\Gamma (r)
u2r
2
1
\rho g
d\sigma +
\int
C(r)
\biggl[
- K(1 +\nabla 1u)
2 + \=K
\biggl(
1 +
3
2
\nabla 1u
\biggr) \biggr]
dS. (12)
Используя неравенство Коши – Буняковского, находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
24 Ю. А. АМИНОВ
f(r) \leq
\left( \int
C(r)
(1 +\nabla 1u)
2 dS
\right)
1/2
(S(r))1/2. (13)
Штрихом обозначим производную по r. Тогда
f \prime (r) =
\int
\Gamma (r)
u2\sigma d\sigma + L(r).
Для вычисления второй производной f \prime \prime (r) используем уравнение (12). Заметим также, что
производная от L(r) равна интегралу от геодезической кривизны кривой \Gamma (r). Действительно,
если мы запишем метрику d\sigma 2 в полугеодезической системе координат d\sigma 2 = dr2 +Gd\phi 2, то
L(r) =
\int
\Gamma (r)
\surd
Gd\phi , L\prime =
\int
\Gamma (r)
Gr
2G
\surd
Gd\phi =
\int
\Gamma (r)
1
\rho g
d\sigma .
По предположению геодезическая кривизна положительна, поэтому L\prime \geq 0. Оценим подынтег-
ральное выражение в последнем интеграле справа в (12), которое обозначим через A:
A = - K(1 +\nabla 1u)
2 + \=K
\biggl(
1 +
3
2
\nabla 1u
\biggr)
.
Если в рассматриваемой точке \=K \geq 0, то в этой точке
A \geq K2
0 (1 +\nabla 1u)
2.
Пусть теперь в рассматриваемой точке \=K < 0. Тогда
A = - (1 - \lambda )K(1 +\nabla 1u)
2 - \lambda K + \=K + 2( - \lambda K + \=K)\nabla 1u - \lambda K(\nabla 1u)
2 - 1
2
\=K\nabla 1u \geq
\geq (1 - \lambda )K2
0 (1 +\nabla 1u)
2,
где мы использовали условие теоремы - \lambda K + \=K \geq 0 и \=K < 0.
Имеем
f \prime \prime =
d
dr
\int
\Gamma (r)
u2\sigma d\sigma + L\prime \geq 2(1 - \lambda )K2
0
\int
C(r)
(1 +\nabla 1u)
2 dS.
Используя (13), находим
f \prime \prime (r) \geq 2(1 - \lambda )K2
0f
2(r)
S(r)
. (14)
Очевидно, f \prime (r) > 0 при r > 0, f(0) = f \prime (0) = 0. Умножая правую и левую части неравен-
ства (14) на f \prime (r) и интегрируя от 0 до r, получаем
f \prime 2(r) \geq 4(1 - \lambda )K2
0f
3(r)
3S(r)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 25
Запишем это неравенство в виде
f \prime (r)
f3/2(r)
\geq 2
\surd
1 - \lambda K0\sqrt{}
3S(r)
и проинтегрируем от r1 > 0 до r2. В результате получим
1\sqrt{}
f(r1)
- 1\sqrt{}
f(r2)
\geq
\surd
1 - \lambda K0
r2\int
r1
dr\sqrt{}
3S(r)
.
Используем теперь неравенство f(r1) \geq S(r1). Тогда
1\surd
S(r1)
\geq
\surd
1 - \lambda K0
r2\int
r1
dr\sqrt{}
3S(r)
. (15)
Заметим, что
0 <
\bigl( \sqrt{}
S(r)
\bigr) \prime
=
L(r)
2
\sqrt{}
S(r)
\leq 1
2
\sqrt{}
M(R)
.
Использовав это неравенство и оценку (15), в которой положим r2 = R, получим
1\sqrt{}
S(r1)
\geq
\surd
1 - \lambda K0
R\int
r1
\bigl( \sqrt{}
S(r))\prime dr\bigl( \sqrt{}
S(r))\prime
\sqrt{}
3S(r)
\geq
\surd
1 - \lambda K0M
1/2(R)\surd
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\sqrt{}
S(R)\sqrt{}
S(r1)
.
Следовательно,
1\sqrt{}
S(r1)
+
2
\surd
1 - \lambda K0M
1/2(R)\surd
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\sqrt{}
S(r1) \geq
2
\surd
1 - \lambda K0M
1/2(R)\surd
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\sqrt{}
S(R).
Минимум левой части достигается при
\sqrt{}
S(r1) =
\surd
3
2
\sqrt{}
M(R)(1 - \lambda )K0
. Подставив это значение
в левую часть, получим оценку на S(R), из которой следует доказываемое неравенство
S(R)M(R) \leq 3e2
4(1 - \lambda )K2
0
.
Существование такой оценки свидетельствует о том, что при заданной метрике d\sigma 2 и
заданном геодезическом круге C(R) в этой метрике число K0 не может быть сколь угодно
большим. Действительно, правая часть этого неравенства при K0 \rightarrow \infty стремится к нулю,
а левая часть имеет фиксированное, отличное от нуля значение. Оценка ухудшается, когда \lambda
приближается к 1, т. е. когда кривизна K становится близкой к \=K.
11. О проектировании на полные неограниченные многообразия. Рассмотрим теперь
вопрос о существовании метрики ds2 на полном неограниченном в метрике d\sigma 2 многообра-
зии M2. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если на многообразии M2 с метрикой d\sigma 2, полном и неограниченном в этой
метрике, гауссова кривизна которого \=K \geq 0, существует точка P0 без сопряженных и K —
гауссова кривизна метрики ds2 = d\sigma 2 + (du)2, то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}M2 K \geq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
26 Ю. А. АМИНОВ
Для доказательства построим полугеодезическую систему координат с началом в точке P0, в
которой d\sigma 2 = dr2+Gd\phi 2. Отсутствие сопряженных точек к точке P0 обеспечивает выпуклость
геодезических окружностей. Поскольку
\=K = - (
\surd
G)rr\surd
G
и \=K \geq 0, то
\surd
G увеличивается не быстрее линейной функции:
\surd
G \leq cr для достаточно
больших r. Здесь c = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Поэтому длина окружности L(r) увеличивается не быстрее
линейной функции
L(r) =
\int \surd
Gd\phi \leq 2\pi cr.
Площадь геодезических кругов S(r) для достаточно больших r
S(r) =
\int \surd
Gd\phi dr \leq \pi cr2.
Пусть \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}M2
K \leq - K2
0 < 0. Можем использовать рассмотрения из доказательства теоремы 1,
в условиях которой можно положить \lambda = 0. Используем неравенство (11), устремив r2 к
бесконечности. Тогда при больших r будем иметь
r2\int
r1
1\surd
S(r)
dr \geq
r2\int
r1
1\surd
c\pi r
dr \rightarrow \infty .
Это противоречит неравенству (15) при любом K0 \not = 0. Следовательно, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}M2 K = 0.
Теорема 2 доказана.
12. Уравнение Дарбу для квадрата длины радиуса-вектора поверхности в \bfitE 3 . Пусть
r = r(u1, u2) — радиус-вектор поверхности F 2 \subset E3. Обозначим \rho =
1
2
r2. Функция \rho удовлет-
воряет уравнению Дарбу
\nabla 22\rho - \nabla 2\rho + 1 = (2\rho - \nabla 1\rho )K. (16)
Здесь \nabla 22 — оператор Монжа – Ампера в метрике поверхности, \nabla 2 — оператор Лапласа –
Бельтрами, \nabla 1\rho — первый дифференциальный параметр Бельтрами для функции \rho или | \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} \rho | 2.
Приведем краткий вывод этого уравнения. С помощью ковариантных производных разло-
жения Гаусса записываются в простом виде
r,ij = Lijn,
где Lij — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности, n — единичный вектор
нормали. Вычислим ковариантные производные от функции \rho . Имеем
\rho i = (rri), \rho ,ij = (rirj) + (rr,ij) = gij + (rn)Lij .
Следовательно, \rho ,ij - gij = (rn)Lij . Тогда
(\rho ,11 - g11)(\rho ,22 - g22) - (\rho ,12 - g12)
2 = (rn)2(L11L22 - L2
12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 27
В развернутом виде получаем
\rho ,11\rho ,22 - \rho 2,12 - \rho ,11g22 + 2\rho ,12g12 - \rho ,22g11 + g11g22 - g212 = (rn)2(L11L22 - L2
12).
Разделим правую и левую части последнего уравнения на g11g22 - g212 и воспользуемся соот-
ношением K = (L11L22 - L2
12)/(g11g22 - g212). Заметим, что
\rho ,11g22 - 2\rho ,12g12 + \rho ,22g11
g11g22 - g212
= \rho ,ijg
ij = \nabla 2\rho .
Покажем, что опорную функцию (rn) можно выразить через функцию \rho и ее производные.
Запишем разложение r по векторам базиса r1, r2, n:
r = airi + n(rn).
Тогда
\rho k = (rrk) = ai(rirk) = aigik, \rho kg
kl = al.
Вернемся к разложению r:
r = \rho kg
klrl + (rn)n.
Умножив правую и левую части скалярно на r, получим
2\rho = \rho k\rho lg
kl + (rn)2,
т. е. (rn)2 = 2\rho - \nabla 1\rho . Это завершает вывод уравнения Дарбу (16). Из приведенного соотно-
шения следует, что \nabla 1\rho \leq 2\rho .
13. Оценка внешнего диаметра поверхности в \bfitE 3 . В 1968 г. Ю. Д. Бураго установил
оценки внешнего диаметра поверхности в E3, которые показывают, что поверхность нельзя
неограниченно сжимать в классе регулярных поверхностей. Метод доказательства был основан
на кропотливом и сложном рассмотрении многогранных метрик. Результаты были изложены
в статье Ю. Д. Бураго [18]. Приведем полученные оценки. Пусть поверхность расположена в
шаре радиуса R, S — ее площадь, L — длина границы, \chi — эйлерова характеристика, \omega + —
интеграл от гауссовой кривизны по области K \geq 0.
Теорема Ю. Д. Бураго. Существует абсолютная постоянная C такая, что если \chi = 1,
то
S \leq C(R2\omega + +RL),
а если \chi \leq 0, то
S \leq C
\bigl(
R2[\omega + - 2\pi \chi ] +RL
\bigr)
.
В книге Ю. Д. Бураго и В. А. Залгаллер „Геометрические неравенства” дано доказательство
этих неравенств, предложенное М. Громовым с использованием пространства Лобачевского.
В этой теореме важен класс регулярности погружения C2, так как Кейпер показал, что
любую двумерную метрику можно изометрически погрузить в классе C1 внутрь сферы трех-
мерного евклидова пространства сколь угодно малого диаметра [47]. Кроме того, важна и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
28 Ю. А. АМИНОВ
размерность 3 объемлющего пространства. Легко построить изометрическое и регулярное по-
гружение всей евклидовой плоскости внутрь 3-сферы из E4 сколь угодно малого радиуса.
В 1973 – 1975 гг. автором настоящей статьи было дано применение уравнения Дарбу и
обобщенного оператора Монжа – Ампера к выводу оценок для внешнего диаметра поверхности
в E3.
Сначала рассмотрим замкнутую регулярную поверхность F 2, расположенную в шаре ра-
диуса R. Обозначим
\omega + =
\int
K\geq 0
K dS, \omega - = -
\int
K\leq 0
K dS.
Теорема 3. Если замкнутая регулярная ориентируемая поверхность F 2 лежит в шаре
радиуса R, то выполняется неравенство
S \leq R2
\biggl(
\omega + +
\omega -
2
\biggr)
. (17)
Применим уравнение Дарбу, проинтегрировав по площади правую и левую части этого
уравнения, а также формулу (8). Поскольку поверхность замкнута, то эта формула не содержит
контурный интеграл. Кроме того, интеграл от \nabla 2\rho по замкнутой поверхности равен нулю. В
результате получаем
S =
\int
F 2
K
\biggl(
2\rho - 3
2
\nabla 1\rho
\biggr)
dS.
В области, где K \geq 0,
K
\biggl(
2\rho - 3
2
\nabla 1\rho
\biggr)
\leq K2\rho \leq KR2,
а в области, где K \leq 0, имеем
K
\biggl(
2\rho - 3
2
\nabla 1\rho
\biggr)
= K
\biggl(
(rn)2 - 1
2
\nabla 1\rho
\biggr)
\leq | K| R2/2.
Отсюда следует оценка (17).
Рассмотрим теперь поверхность с краем. Граничных кривых может быть несколько.
Теорема 4. Пусть регулярная ориентируемая поверхность F 2 с границей \Gamma лежит в шаре
радиуса R, а ее граница — в шаре с тем же центром радиуса R1. Тогда
S \leq R2
\biggl(
\omega + +
\omega -
2
\biggr)
+R2
1
\int
\Gamma
| k| ds. (18)
Здесь k = rss — вектор кривизны кривой \Gamma . Интегрирование проводится по длине дуги s
кривой \Gamma . Поскольку R1 \leq R, то, очевидно, имеем оценку снизу на R.
Для доказательства рассмотрим граничные интегралы. Введем полугеодезическую систему
координат r, \phi в окрестности граничной кривой \Gamma такую, что кривая \Gamma задается уравнением
r = 0. Пусть первая квадратичная форма имеет вид ds2 = dr2+Gd\phi 2. Будем считать r первой
координатой, а \phi — второй. Тогда координаты единичного нормального к \Gamma вектора \tau таковы:
\tau 1 = 1, \tau 2 = 0. Интегрирование - \nabla 2\rho по площади поверхности дает контурный интеграл
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 29
-
\int
\Gamma
(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} \rho \tau ) ds = -
\int
\Gamma
(rr1) ds, (19)
а интегрирование \nabla 22\rho по площади поверхности — контурный интеграл\int
\Gamma
(\nu \tau ) ds =
\int
\Gamma
\nu 1\tau 1 ds =
\int
\Gamma
\rho 1\rho ,22 - \rho 2\rho ,12
2G
ds. (20)
Запишем
- \rho 2\rho ,12
2G
= -
\Bigl( \rho 2\rho 1
2G
\Bigr)
,2
+
\rho ,22\rho 1
2G
.
Первое слагаемое при интегрировании по кривой \Gamma равно нулю. Поэтому интеграл (20) при-
нимает вид \int
\Gamma
\rho 1\rho ,22
G
ds =
\int
\Gamma
(rr1)(G+ (rr,22))
G
ds =
\int
\Gamma
(rr1)ds+
\int
\Gamma
(rr1)(rk) ds.
Здесь мы использовали r,22/G = rss = k. Заметим, что первый интеграл справа в общей
сумме сокращается с интегралом (19). Поэтому останется только второй интеграл, который
оценивается сверху выражением
R2
1
\int
\Gamma
| k| ds,
что и требовалось доказать.
Если кривая \Gamma лежит на сфере радиуса R1 и с центром в начале координат, учитывая, что
в этом случае (rrs) \equiv 0, в точках кривой \Gamma можем записать
(rrss) = (rrs)s - r2s = - 1.
Следовательно, контурный интеграл в неравенстве (18) справа имеет оценку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Gamma
(rr1)(rrss) ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\int
\Gamma
| (rr1)| ds \leq R1L,
где L — длина сферической кривой \Gamma .
14. Функции на поверхности в \bfitE 3 и оператор Монжа – Ампера. Пусть поверхность
F 2 \subset E3 представлена заданием декартовых координат в виде x\alpha = x\alpha (u1, u2). Функцию
\Phi на поверхности определим с помощью задания зависимости от декартовых координат x\alpha ,
которые в свою очередь зависят от криволинейных координат u1, u2. Таким образом, мы
предполагаем, что функция \Phi задана сначала в пространстве E3, а затем индуцируется на
поверхность F 2. Если функция \Phi — полином от x1, x2, x3, то такую функцию на поверхности
можно рассматривать как аналог полиномиальной функции на плоскости.
Каждая декартова координата x\alpha также рассматривается как функция на F 2. Найдем зна-
чение оператора Монжа – Ампера такой функции.
Производные функции \Phi по x\alpha будем обозначать греческой буквой внизу, а ковариантную
производную по ui — латинской буквой, причем если берутся вторые ковариантные производ-
ные, то они отмечаются запятой. Имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
30 Ю. А. АМИНОВ
\Phi i = \Phi \alpha x
\alpha
i , \Phi ,ij = \Phi \alpha \beta x
\alpha
i x
\beta
j +\Phi \alpha x
\alpha
,ij .
Найдем числитель выражения оператора Монжа – Ампера:
\Phi ,11\Phi ,22 - \Phi 2
,12 = (\Phi \alpha \beta x
\alpha
1x
\beta
1 +\Phi \alpha x
\alpha
,11)(\Phi \gamma \sigma x
\gamma
2x
\sigma
2 +\Phi \gamma x
\gamma
,22) -
- (\Phi \alpha \beta x
\alpha
1x
\beta
2 +\Phi \alpha x
\alpha
,12)(\Phi \gamma \sigma x
\gamma
1x
\sigma
2 +\Phi \gamma x
\gamma
,12) =
=
1
2
\Phi \alpha \beta x
\alpha
1x
\sigma
2 (x
\beta
1x
\gamma
2 - x\beta 2x
\gamma
1) + \Phi \alpha \Phi \gamma \sigma x
\alpha
,11x
\gamma
2x
\sigma
2+
+\Phi \gamma \Phi \alpha \beta x
\alpha
1x
\beta
1x
\gamma
,22 - \Phi \alpha \phi \gamma \sigma x
\alpha
,12x
\gamma
1x
\sigma
2 - \Phi \alpha \beta \Phi \gamma x
\alpha
1x
\beta
2x
\gamma
,12 +\Phi \alpha \Phi \gamma (x
\alpha
,11x
\gamma
,22 - x\alpha ,12x
\gamma
,12). (21)
Воспользуемся разложениями Гаусса r,ij = Lijn и введем обозначения
p\alpha \sigma =
x\alpha 1x
\sigma
2 - x\alpha 2x
\sigma
1\surd
g
, bij = \Phi \alpha \beta x
\alpha
i x
\beta
j .
Здесь g — детерминант метрического тензора поверхности. Компоненты p\alpha \sigma составляют еди-
ничный нормальный вектор поверхности n:
n = (p23, p31, p12) = (n1, n2, n3).
Разделим правую и левую части уравнения (21) на g и воспользуемся уравнением Гаусса. В
результате получим
\nabla 22\Phi = -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Phi 11 \Phi 12 \Phi 13 n1
\Phi 21 \Phi 22 \Phi 23 n2
\Phi 31 \Phi 32 \Phi 33 n3
n1 n2 n3 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
+
+
(L11b22 - 2L12b12 + L22b11)(n, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Phi )
g
+K(n, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Phi )2. (22)
Здесь \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Phi — градиент функции в E3.
Замечания. 1. В частном случае, когда \Phi =
1
2
\bigl(
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
\bigr)
, получим уравнение
Дарбу. В этом случае \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Phi = r.
2. Если поверхности F 2 и \Phi (x1, x2, x3) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} ортогональны, т. е. (\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Phi , n) = 0, то
\nabla 22\Phi = -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Phi 11 \Phi 12 \Phi 13 n1
\Phi 21 \Phi 22 \Phi 23 n2
\Phi 31 \Phi 32 \Phi 33 n3
n1 n2 n3 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
. (23)
3. Для самой простой функции на поверхности — компоненты радиуса-вектора x\alpha — выра-
жение оператора Монжа – Ампера имеет очень простой вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 31
\nabla 22x
\alpha = K(n\alpha )2, \alpha = 1, 2, 3. (24)
Поэтому в силу единичности вектора n имеем
3\sum
\alpha =1
\nabla 22x
\alpha = K.
Действительно, так как x\alpha ,ij = Lijn
\alpha , то находим
x\alpha ,11x
\alpha
,22 - (x\alpha ,12)
2 =
\bigl(
L11L22 - (L12)
2
\bigr)
(n\alpha )2.
После деления обеих частей уравнения на g11g22 - g212 получаем уравнение (24).
Рассмотрим в качестве примера применение формулы (23) для функции \Phi на обычном торе,
который в неявном виде задается уравнением
F (x, y, z) = z2 +
\bigl( \sqrt{}
x2 + y2 - a
\bigr) \bigl( \sqrt{}
x2 + y2 - b
\bigr)
= 0,
где a и b — положительные числа, причем a \not = b. Имеем
Fx =
x\sqrt{}
x2 + y2
\bigl(
2
\sqrt{}
x2 + y2 - a - b
\bigr)
, Fy =
y\sqrt{}
x2 + y2
\bigl(
2
\sqrt{}
x2 + y2 - a - b
\bigr)
, Fz = 2z.
Находим
| \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}F | 2 =
\bigl(
2
\sqrt{}
x2 + y2 - a - b
\bigr) 2
+ 4z2.
Обозначим
\sqrt{}
x2 + y2 = \lambda . Тогда уравнение тора записывается в виде z2 = - \lambda 2+\lambda (a+b) - ab.
Следовательно, на поверхности тора
| \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}F | 2 = (2\lambda - a - b)2 + 4( - \lambda 2 + \lambda (a+ b) - ab) = (a - b)2.
Положим \Phi = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
y
x
. Тогда
\Phi x = - y
x2 + y2
, \Phi y =
x
x2 + y2
, \Phi z = 0.
Следовательно,
(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}F, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\Phi ) = 0,
и мы можем воспользоваться формулой (23). Имеем
\Phi xx =
2xy
(x2 + y2)2
, \Phi xy =
y2 - x2
(x2 + y2)2
, \Phi yy =
- 2xy
(x2 + y2)2
.
Подставим эти выражения в формулу (23) и заметим, что компонента нормали n3 = 2z/| \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}F | .
Тогда
\nabla 22\Phi = - 4z2
(a - b)2(x2 + y2)2
.
Поскольку на поверхности тора z2 выражается через x, y, то имеем выражение \nabla 22\Phi в тер-
минах параметров x, y.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
32 Ю. А. АМИНОВ
15. Простейшее уравнение Монжа – Ампера на плоскости. Приведем некоторые недав-
ние результаты о простейшем уравнении Монжа – Ампера zxxzyy - z2xy = f(x, y). В известной
работе К. Йоргенса [19] было доказано, что решением этого уравнения при f(x, y) = 1, опреде-
ленным на всей плоскости (x, y), может быть только полином от x, y второй степени. Е. Калаби
и А. В. Погорелов обобщили этот результат на многомерный случай.
В то же время существуют решения уравнения zxxzyy - z2xy = - 1, определенные на всей
плоскости, не являющиеся полиномами. Общее параметрическое решение такого уравнения
дано Гурсом, а конкретный пример указан в работе Б. Е. Кантора [44]
z(x, y) = xy + x \mathrm{l}\mathrm{n}
\Bigl(
x+
\sqrt{}
x2 + e - 2y
\Bigr)
-
\sqrt{}
x2 + e - 2y.
В работах [20, 22, 23] было рассмотрено уравнение Монжа – Ампера с правой частью в виде
полинома. Естественно также искать решение в виде полинома некоторой степени. Напомним,
что каждую непрерывную функцию в правой части f(x, y) в ограниченной области можно при-
близить полиномом с неограниченной точностью. Наилучшим результатом при этом было бы
явное определение коэффициентов полинома z(x, y) через коэффициенты аппроксимирующего
полинома в случае, когда это возможно. А это возможно не всегда. Таким образом, имеется
общая проблема построения полиномиального решения для уравнения Монжа – Ампера с поли-
номиальной правой частью.
Сначала рассмотрено уравнение
zxxzyy - z2xy = b20x
2 + b11xy + b02y
2 + b00, (25)
где постоянные bij удовлетворяют неравенствам
b20 > 0, b02 > 0, 4b20b02 - b211 > 0, b00 > 0. (26)
В работе [20] показано, что решение в виде полинома нечетной степени не существует, а в виде
полинома четвертой степени существует только при условии 4b20b02 - b211 = 0.
Далее в работе [22] доказана следующая теорема.
Теорема 5. Уравнение (25) при выполнении строгих неравенств (26) не имеет решения в
виде полинома произвольной степени.
В то же время аналитическое решение, определенное во всей плоскости, существует. Если
f(x, y) = x2 + y2 + 1, то аналитическое решение имеет вид
z(x, y) =
1
3
\surd
2
(x2 + y2 + 2)3/2.
Другое решение, аналитическое во всей плоскости, кроме начала координат, имеет вид
z(x, y) =
1\surd
2
\Bigl(
(x2 + y2)3/2 +
\sqrt{}
x2 + y2
\Bigr)
.
В начале координат решение непрерывно, но не дифференцируемо.
Заметим, что существуют полиномиальные строго положительные функции f(x, y), для
которых уравнение zxxzyy - z2xy = f(x, y) имеет полиномиальное решение. Например, если
положить
z(x, y) = \alpha (x4 + y4) + a20x
2 + a11xy + a02y
2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 33
где \alpha — положительная постоянная, a20 > 0, a02 > 0, 4a20a02 - a211 > 0, то получим
zxxzyy - z2xy = (12\alpha xy)2 + 24\alpha (a02x
2 + a20y
2) + 4a20a02 - a211 = f(x, y).
Здесь правая часть f(x, y) положительна при всех значениях x, y.
В то же время для уравнения (25) можно дать полиномиальную аппроксимацию в лю-
бой ограниченной области (хотя для него, как было отмечено, полиномиальное решение не
существует). Имеет место следующая теорема.
Теорема 6. Для любого заданного \epsilon > 0 и в любой заданной ограниченной области на плос-
кости (x, y) при выполнении строгих условий (26) существует полином четвертой степени
Q\epsilon такой, что \bigm| \bigm| \nabla 22Q\epsilon - (b20x
2 + b11xy + b02y
2 + b00)
\bigm| \bigm| \leq \epsilon .
Далее в работе рассмотрены уравнения Монжа – Ампера с правой частью в виде более
общего полинома от второй до четвертой степени. Указаны случаи существования и отсут-
ствия решения z(x, y) в виде полинома четвертой степени. Решения задаются в явном виде по
коэффициентам bij . Например, если
f(x, y) = 2x4 + x2y2 + 2y4 + x2 + xy + y2 + b00,
то функция
z(x, y) =
1
6
x4 +
1
2
x2y2 +
1
6
y4 +
1
6
x2 - 1
4
xy +
1
6
y2
в том и только в том случае, когда
b00 =
1
32
- 1
42
.
Но для f(x, y) в виде общего полинома четвертой степени решение не получено, и нахождение
решения в этом случае затруднительно.
Пространство полиномов от x, y четвертой степени оператор Монжа – Ампера переводит в
себя.
Можно указать неподвижные точки оператора Монжа – Ампера, а именно, если
U =
1
42 \cdot 3
(x2 + y2)2, W = - 1
42 \cdot 3
(x2 - y2)2,
то имеют место равенства
\nabla 22U = U, \nabla 22W = W,
т. е. эти полиномы — неподвижные точки оператора Монжа – Ампера.
И. Х. Сабитовым в [24] получен неожиданный результат о самом простом уравнении Мон-
жа – Ампера, когда f(x, y) = 0. Заметим, что регулярным решением на полной плоскости
является любая регулярная цилиндрическая поверхность с однозначной проекцией на плос-
кость. И. Х. Сабитовым был поставлен вопрос: какая может быть поверхность, определенная
над всей плоскостью, но с возможными особенностями и с нулевой гауссовой кривизной, в тех
точках, где поверхность регулярна? Простейший пример — конус z =
\sqrt{}
x2 + y2 с особой точ-
кой в вершине. Существуют ли поверхности с большим числом изолированных особенностей?
Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.
Теорема И. Х. Сабитова. Пусть на плоскости (x, y) задано произвольное конечное мно-
жество точек M. Тогда уравнение zxxzyy - z2xy = 0 имеет бесконечно много решений z(x, y),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
34 Ю. А. АМИНОВ
определенных на всей плоскости и C\infty -гладких во всех точках, кроме точек заданного мно-
жества M, в которых они непрерывны, но не дифференцируемы. Более того, можно утвер-
ждать, что существуют решения, являющиеся кусочно-аналитическими с нарушением анали-
тичности только на конечном числе прямолинейных лучей.
Первое сообщение об этой теореме появилось в тезисах доклада И. Х. Сабитова на кон-
ференции „Геометрия в Одессе-2015” [25]. Затем на ту же тему в 2016 г. появилась работа
José A. Gálvez и Barbara Nelli [26].
16. Симметроны. Полезно иметь замкнутые аналитически заданные поверхности в E3
произвольного топологического типа. В работе [17] такие поверхности были построены и
было проанализировано поведение их гауссовой кривизны. Поскольку эти алгебраические по-
верхности имеют некоторые симметрии, они были названы симметронами.
Пусть в E3 введены декартовы координаты x, y, z. Пусть на плоскости z = 0 взяты
p замкнутых регулярных кривых \gamma i, не пересекающихся между собой и не лежащих одна
внутри другой. Пусть каждая кривая \gamma i задается уравнением fi(x, y) = 0 и внутри этой кривой
fi(x, y) < 0. Пусть замкнутая кривая \gamma охватывает все кривые \gamma i и задается уравнением
f(x, y) = 0, причем внутри этой кривой f(x, y) < 0. Тогда поверхность M2, заданная в
неявном виде уравнением
a(x, y, z) = z2 + f(x, y)
p\prod
i=1
fi(x, y) = 0,
замкнута, ориентируема и гомеоморфна сфере с p ручками. В работе рассмотрены конкретные
функции f и fi. Например, если положить
xi = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\pi i
p
, yi = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2\pi i
p
,
то введена поверхность, имеющая симметрии
z2 + (x2 + y2 - R2)
p\prod
i=1
\bigl[
(x - xi)
2 + (y - yi)
2 - r2
\bigr]
= 0
при r < \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
p
, r + 1 < R. Такая поверхность была названа p-симметроном.
Обычный круговой тор вращения в E3 задается уравнением
z2 +
\Bigl( \sqrt{}
x2 + y2 - R
\Bigr) \Bigl( \sqrt{}
x2 + y2 - r
\Bigr)
= 0.
Поэтому были рассмотрены поверхности, в задании которых участвуют и\sqrt{}
(x - xi)2 + (y - yi)2 - r.
Компьютерными методами изучено поведение гауссовой кривизны 2-симметрона и найдены
области на M2, в которых эта кривизна больше или меньше нуля. При этом использовалась
формула (22).
Добавлением четвертой координаты как функции \Phi (x, y, z), ограниченной на M2, строи-
лась замкнутая поверхность F 2 \subset E4. С помощью вычислений на компьютере было проанали-
зировано поведение гауссовой кривизны K поверхности F 2. Хотя цель построения состояла
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ . . . 35
в том, чтобы построить поверхность F 2 над M2 с гауссовой кривизной K < 0, но во всех
рассмотренных примерах существуют области на F 2, в которых K \geq 0. Поэтому в заключение
можно поставить следующий вопрос: существуют ли замкнутые регулярные поверхности
в \bfitE 4 с отрицательной гауссовой кривизной метрики, заданные на \bfitn -симметроне при
\bfitn \geq \bftwo ?
Литература
1. Ефимов Н. В. Поверхности с медленно изменяющейся отрицательной кривизной // Успехи мат. наук. – 1966. –
21, № 5. – С. 3 – 58.
2. Ефимов Н. В. Дифференциальные признаки гомеоморфности некоторых отображений с применением в теории
поверхностей // Мат. сб. – 1968. – 76. – С. 499 – 512.
3. Розендорн Э. Р. Слабо нерегулярные поверхности отрицательной кривизны // Успехи мат. наук. – 1968. – 21,
№ 5. – С. 59 – 116.
4. Позняк Э. Г. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства // Успехи
мат. наук. – 1973. – 28, № 4. – С. 47 – 76.
5. Перельман Г. Я. Пример полной седловой поверхности в R4 с отделенной от нуля гауссовой кривизной //
Укр. геом. сб. – 1989. – 32. – С. 99 – 102.
6. Blanuša D. Über die Einbettung hyperbolischer Räume in Euklidische Räume // Monatsh. Math. – 1955. – 59, № 3. –
S. 217 – 229.
7. Розендорн Э. Р. Реализация метрики ds2 = du2 + f2(u)dv2 в 5-мерном евклидовом пространстве // Докл.
Акад. наук АрмССР. – 1960. – 30, № 4. – С. 197 – 199.
8. Сабитов И. Х. Об изометрических погружениях плоскости Лобачевского в E4 // Сиб. мат. журн. – 1989. – 30,
№ 5.
9. Ефимов Н. В. Исследование полной поверхности отрицательной кривизны // Докл. АН СССР. – 1953. – 93,
№ 3. – С. 393 – 395.
10. Ефимов Н. В. Исследование однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны // Докл. АН СССР. –
1953. – 93, № 4. – С. 609 – 611.
11. Heinz E. Über Flächen eineindeutiger Projection auf Ebene, deren Krümungen durch Ungleichungen eingeschrenkt
sind // Math. Ann. – 1955. – 129, № 5. – S. 451 – 454.
12. Аминов Ю. А. О внешнем диаметре поверхности отрицательной кривизны // Укр. геом. сб. – 1973. – 13. –
С. 3 – 9.
13. Аминов Ю. А. О двумерных метриках отрицательной кривизны // Укр. геом. сб. – 1973. – 13. – С. 9 – 15.
14. Аминов Ю. А. Об оценках диаметра и объема подмногообразия евклидова пространства // Укр. геом. сб. –
1975. – 18. – С. 3 – 15.
15. Аминов Ю. А. Поверхности в E4 с гауссовой кривизной, совпадающей с точностью до знака с гауссовым
кручением // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 6. – С. 3 – 9.
16. Аминов Ю. А. О поверхностях в E4 со знакопостоянным гауссовым кручением // Укр. геом. сб. – 1988. – 31. –
С. 3 – 14.
17. Аминов Ю. А., Горькавый В. А. О гауссовой кривизне поверхностей в E3 и E4 // Мат. физика, анализ,
геометрия. Харьков. мат. журн. – 2001. – 8, вып. 1. – С. 3 – 16.
18. Бураго Ю. Д. Неравенства изопериметрического типа в теории поверхностей ограниченной внешней кривиз-
ны // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1968. – 10.
19. Jörgens K. Über die Lösungen der Differential gleischung rt - s2 = 1 // Math. Ann. – 1954. – 127, № 1. –
S. 180 – 184.
20. Aminov Yu., Arslan K., Bayram B., Bulca B., Murathan C., Öztürk G. On the solution of the Monge – Ampére equation
ZxxZyy - Z2
xy = f(x, y) with quadratic right side // J. Mat. Fiz., Anal., Geom. – 2011. – 7, № 3. – P. 203 – 211.
21. Sabitov I. Kh. Isometric immersions and embeddings of locally Euclidean metrics // Rev. Math. and Math. Phys. /
Ed. A. T. Fomenko. – 2009. – 13, Pt 1. – 276 p.
22. Аминов Ю. А. Об уравнении Монжа – Ампера в полиномиальной области // Докл. АН. – 2013. – 451, № 4. –
С. 367 – 368.
23. Аминов Ю. А. О полиномиальных решениях уравнения Монжа – Ампера // Мат. сб. – 2014. – 205, № 11. –
С. 3 – 38.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
36 Ю. А. АМИНОВ
24. Сабитов И. Х. Решения тривиального уравнения Монжа – Ампера с изолированными особыми точками // Сиб.
электрон. мат. изв. – 2016. – 13. – С. 740 – 743.
25. Sabitov I. Kh. Global solutions of the trivial Monge – Ampére equation with isolated singularities // Abstr. Intern.
Conf. "Geometry in Odessa-2015, May 25 – 31". – 2015. – P. 86.
26. Gálvez J. A., Nelli B. Entire solutions of the degenerate Monge – Ampére equation with a finite number of
singularities // J. Different. Equat. – 2016. – 261. – P. 6614 – 6631.
27. Бураго Ю. Д. Геометрия поверхностей в евклидовых пространствах // Итоги науки и техники. Совр. пробл.
математики. – 1989. – 48. – С. 5 – 97.
28. Розендорн Э. Р. Поверхности отрицательной кривизны // Итоги науки и техники. Совр. пробл. математики. –
1989. – 48. – С. 98 – 195.
29. Кадомцев С. Б. Невозможность некоторых специальных погружений пространства Лобачевского // Мат. сб. –
1978. – 107, № 2. – С. 175 – 198.
30. Аминов Ю. А. Изометрическое погружение областей трехмерного пространства Лобачевского в пятимерное
евклидово пространство и движение твердого тела // Мат. сб. – 1983. – 122, № 1. – С. 12 – 30.
31. Аминов Ю. А. Геометрия грассманова образа локального изометрического погружения n-мерного пространства
Лобачевского в (2n - 1)-мерное евклидово пространство // Мат. сб. – 1997. – 188, № 1.
32. Xavier F. A non-immersion theorem for hyperbolic manifolds // Comment. Math. Helv. – 1985. – 60. – P. 280 – 285.
33. Масальцев Л. А. О минимальных подмногообразиях постоянной кривизны в евклидовых пространствах // Изв.
вузов. Сер. мат. – 1998. – 9. – С. 61 – 65.
34. Nikolajevsky Y. A. A non-immersion theorem for a class of hyperbolic manifolds // Different. Geom. and Appl. –
1998. – 9, № 3. – P. 239 – 242.
35. Болотов Д. В. Об изометрическом погружении с плоской нормальной связностью пространства Лобачевского
Ln в евклидово пространство En+m // Мат. заметки. – 2007. – 82, № 1. – С. 11 – 13.
36. Ефимов Н. В. Возникновение особенностей на поверхностях отрицательной кривизны // Мат. сб. – 1964. – 64,
№ 2. – С. 286 – 320.
37. Клотц-Милнор Т. Теорема Ефимова о полных погруженных поверхностях отрицательной кривизны // Успехи
мат. наук. – 1986. – 41, № 5. – С. 3 – 57.
38. Александров В. А. О дифференциальном признаке гомеоморфности отображения, найденном Н. В. Ефимовым //
Совр. пробл. математики. – 2011. – 6, № 2. – С. 18 – 26.
39. Розендорн Э. Р., Шикин Е. В. Работы Н. В. Ефимова о поверхностях отрицательной кривизны // Совр. пробл.
математики. – 2011. – 6, № 2. – С. 49 – 56.
40. Chern S. S. On the curvatura integra in a Riemannian manifold // Ann. Math. – 1945. – 46, № 4. – P. 674 – 684.
41. Аминов Ю. А. Геометрия подмногообразий. – Киев: Наук. думка, 2002. – 467 с.
42. Борисенко А. А. Изометрические погружения пространственных форм в римановы и псевдоримановы про-
странства постоянной кривизны // Успехи мат. наук. – 2001. – 56, № 3. – С. 3 – 78.
43. Борисенко А. А. Внутренняя и внешняя геометрия подмногообразий. – М.: Экзамен, 2003. – 672 с.
44. Кантор Б. Е. К вопросу о нормальном образе полной поверхности отрицательной кривизны // Мат. сб. –
1970. – 82, № 2. – С. 220 – 223.
45. Бернштейн С. Н. Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными
второго порядка эллиптического типа // Сообщ. Харьков. мат. о-ва. Вторая сер. – 1908 – 1909. – 11. – С. 1 – 164.
46. Сабитов И. Х. Московское математическое общество и метрическая геометрия: от Петерсона до современных
исследований // Тр. Моск. мат. о-ва. – 2016. – 77, № 2. – С. 185 – 218.
47. Kuiper N. H. On C1 -isometric embeddings, I, II // Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Ser. A. 58-Indag. Math. – 1955. –
17. – P. 545 – 556, 683 – 689 (рус. пер.: О C1 -изометрических вложениях // Математика (сб. переводов). – 1957. –
1, № 2. – С. 17 – 28).
48. Топоногов В. А. Теорема единственности для поверхности, у которой главные кривизны связаны соотношением
(1 - k1d)(1 - k2d) = - 1 // Сиб. мат. журн. – 1993. – 34, № 4. – С. 197 – 199.
49. Топоногов В. А. Об условиях существования омбилических точек на выпуклой поверхности // Сиб. мат. журн. –
1995. – 36, № 4. – С. 903 – 910.
50. Топоногов В. А. Теорема единственности для выпуклых поверхностей без омбилических точек, у которых
главные кривизны связаны некоторым соотношением // Сиб. мат. журн. – 1996. – 37, № 5. – С. 1176 – 1180.
Получено 19.04.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1416 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:57Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/50/04b39cad0d979b8a5a3d30c0f70e0150.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14162019-12-05T08:54:16Z On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces. Results and unsolved problems Двумерные поверхности в трех- и четырехмерном евклидовых пространствах: результаты и нерешенные проблемы Aminov, Yu. A. Аминов, Ю. А. Аминов, Ю. А. We present a survey of the results obtained for 2-dimensional surfaces in $E^3$ and $E^4$ and connected with the Gaussian curvature and Gaussian torsion. In this connection, we consider the Monge –Amp´ere equations, obtain the generalizations of Bernstein’s integral formula, and establish some lower estimates for the exterior diameter of surfaces in $E^3$. Наведено огляд результатiв щодо двовимiрних поверхонь у три- та чотиривимiрних евклiдових просторах, пов’язаних з гауссовою кривизною та гауссовим скрутом. При цьому розглянуто рiвняння Монжа – Ампера, дано узагальнення iнтегральної формули С. Н. Бернштейна та отримано оцiнки знизу зовнiшнього дiаметра поверхонь в $E^3$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1416 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 1 (2019); 3-36 Український математичний журнал; Том 71 № 1 (2019); 3-36 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1416/400 Copyright (c) 2019 Aminov Yu. A. |
| spellingShingle | Aminov, Yu. A. Аминов, Ю. А. Аминов, Ю. А. On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces. Results and unsolved problems |
| title | On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces.
Results and unsolved problems |
| title_alt | Двумерные поверхности в трех- и четырехмерном евклидовых пространствах:
результаты и нерешенные проблемы |
| title_full | On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces.
Results and unsolved problems |
| title_fullStr | On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces.
Results and unsolved problems |
| title_full_unstemmed | On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces.
Results and unsolved problems |
| title_short | On 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional Euclidean spaces.
Results and unsolved problems |
| title_sort | on 2-dimensional surfaces in 3-dimensional and 4-dimensional euclidean spaces.
results and unsolved problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1416 |
| work_keys_str_mv | AT aminovyua on2dimensionalsurfacesin3dimensionaland4dimensionaleuclideanspacesresultsandunsolvedproblems AT aminovûa on2dimensionalsurfacesin3dimensionaland4dimensionaleuclideanspacesresultsandunsolvedproblems AT aminovûa on2dimensionalsurfacesin3dimensionaland4dimensionaleuclideanspacesresultsandunsolvedproblems AT aminovyua dvumernyepoverhnostivtrehičetyrehmernomevklidovyhprostranstvahrezulʹtatyinerešennyeproblemy AT aminovûa dvumernyepoverhnostivtrehičetyrehmernomevklidovyhprostranstvahrezulʹtatyinerešennyeproblemy AT aminovûa dvumernyepoverhnostivtrehičetyrehmernomevklidovyhprostranstvahrezulʹtatyinerešennyeproblemy |