Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space
Under certain conditions imposed on the coefficients of the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space, we prove the correctness of the solution of a nonlocal boundary-value problem.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1418 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507163633385472 |
|---|---|
| author | Dzhamalov, S. Z. Джамалов, С. З. Джамалов, С. З. |
| author_facet | Dzhamalov, S. Z. Джамалов, С. З. Джамалов, С. З. |
| author_sort | Dzhamalov, S. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:16Z |
| description | Under certain conditions imposed on the coefficients of the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second
order in the space, we prove the correctness of the solution of a nonlocal boundary-value problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:04:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.6
С. З. Джамалов (Ин-т математики АН Республики Узбекистан, Ташкент)
О КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
С ПОСТОЯННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ПРОСТРАНСТВЕ
Under certain conditions imposed on the coefficients of the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second
order in the space, we prove the correctness of the solution of a nonlocal boundary-value problem.
Доведено коректнiсть розв’язку однiєї нелокальної крайової задачi при деяких обмеженнях на коефiцiєнти нелiнiй-
ного рiвняння мiшаного типу другого роду другого порядку в просторi.
1. Введение и постановка задачи. Пусть \Omega — ограниченная односвязная область в пространст-
ве \BbbR n, n \in \BbbN , с гладкой границей \partial \Omega . Введем обозначения Q = \Omega \times (0, T ), S = \partial \Omega \times (0, T ).
В цилиндрической области Q рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение второго
порядка
Lu = K(x, t)utt -
\bigl(
aij(x)uxj
\bigr)
xi
+ \alpha (x, t)ut + c(x, t)u+ \beta (t)| ut| \rho ut = f(x, t), (1)
где x = (x1, x2, . . . , xn), 0 < \rho \leq 2
n - 2
при n \geq 3, \rho — произвольное положительное ко-
нечное число при n = 1, 2. Здесь и всюду ниже по повторяющимся индексам предполагается
суммирование от 1 до n. Будем также предполагать, что все функции, встречающиеся в ста-
тье, вещественнозначные и достаточно гладкие, т. е. K(x, t), \alpha (x, t), c(x, t) \in C1(Q) \cap C(Q),
aij(x) \in C1(\Omega ) \cap C(\Omega ), \beta (t) \in C1[0, T ]. Предположим, что aij(x) = aji(x), x \in \Omega , \xi \in \BbbR n,
| \xi | 2 =
\sum n
i=1
\xi 2i . Кроме того, пусть выполнено одно из условий:
(a) aij(x)\xi i\xi j \geq a0| \xi | 2, где a0 — положительная постоянная;
(b) aij(x)\xi i\xi j \leq a1| \xi | 2, где a1 — отрицательная постоянная.
Замечание 1. В дальнейшем для простоты будем рассматривать случай (a) (случай (b)
рассматривается аналогично).
Пусть K(x, 0) \leq 0 \leq K(x, T ) при x \in \Omega . Уравнение (1) относится к уравнениям сме-
шанного типа второго рода, так как на знак функции K(x, t) по переменной t внутри области
Q не накладываем никаких ограничений, т. е. функция K(x, t) внутри области может менять
знак [2, 7, 15].
Для того чтобы более точно сформулировать рассматриваемую задачу, а также найти спо-
собы ее решения, мы должны ввести несколько функциональных пространств, неравенств и
необходимых лемм.
Через W 2
2 (Q) обозначим пространство Соболева со скалярным произведением
(u, v)22 =
\int
Q
(uv + uxvx + utvt + uttvtt + uxtvxt + uxxvxx) dx dt
и нормой
c\bigcirc С. З. ДЖАМАЛОВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1 47
48 С. З. ДЖАМАЛОВ
\| u\| 22 =
\int
Q
\bigl(
u2 + u2t + u2x + u2xx + u2xt + u2tt
\bigr)
dx dt,
где символы ut, uxi и uxixj обозначают производные,
vxux =
n\sum
i=1
vxiuxi , (\nabla u)2 = u2x =
n\sum
i=1
u2
xi
, vxxuxx =
n\sum
i,j=1
vxixjuxixj ,
u2xx =
n\sum
i,j=1
u2
xixj
, u2tx =
n\sum
i=1
u2
txi
;
через W 0
2 (Q) = L2(Q) — пространство квадратично суммируемых функций; через Lp(Q),
2 < p < \infty , — банахово пространство, состоящее из всех определенных и измеримых (по
Лебегу) на Q функций, имеющих конечную норму
\| u\| Lp(Q) =
\left( \int
Q
| u| pdxdt
\right)
1/p
;
через Lp,\beta (Q) — весовое банахово пространство, состоящее из всех определенных и измеримых
(по Лебегу) на Q функций с весом \beta (t) \geq 0, имеющих конечную норму
\| u\| Lp,\beta (Q) =
\left( \int
Q
\beta (t)| u| pdxdt
\right)
1/p
.
При установлении различных априорных оценок мы часто используем неравенство Гельде-
ра \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
Q
uvdxdt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left( \int
Q
| u| pdxdt
\right)
1/p\left( \int
Q
| v| qdxdt
\right)
1/q
\forall u \in Lp(Q) \forall v \in Lq(Q),
1
p
+
1
q
= 1,
и неравенство Юнга
u \cdot v \leq \sigma pu2p
2p
+
v2q
2q\sigma q
\forall u, v \geq 0 \forall \sigma > 0, p, q > 1,
1
p
+
1
q
= 1.
При p = q = 1 получим неравенства Коши с \sigma [12, с. 33].
Лемма Вишика. Пусть дана конечная система нелинейных уравнений
A(\vec{}c ) = \vec{}h, \vec{}c = (c1, . . . , cm) , \vec{}h = (h1, . . . , hm) ,
где A(\vec{}c ) =
\bigl(
A1(\vec{}c
\bigr)
, . . . , Am
\bigl(
\vec{}c )
\bigr)
— непрерывная вектор-функция, - \infty < cj < \infty . Если для
достаточно больших | \vec{}c | выполнено неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
О КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 49\bigl(
A(\vec{}c ),\vec{}c
\bigr)
\geq \tau 2| \vec{}c | 1+\delta , \delta > 0,
то система нелинейных уравнений имеет, по крайней мере, одно решение (см. [3; 15, с. 13]).
При исследовании нелинейных уравнений важным этапом является обоснование предель-
ного перехода в нелинейных членах. В некоторых случаях такое обоснование предоставляет
следующая лемма.
Лемма 1. Пусть Q — ограниченная область в \BbbR n
x\times \BbbR t, g\mu и g — такие функции из Lq(Q),
1 < q < +\infty , что \| g\mu \| \leq c, g\mu \rightarrow g почти всюду в Q. Тогда g\mu \rightarrow g слабо в Q.
Доказательство этой леммы см. в работе [16, c. 25, 26].
Определение 1. Пусть V — рефлексивное пространство Банаха, а V \ast — сопряженное
пространство к V. Любой оператор A :V \rightarrow V \ast , имеющий свойство
\bigl(
A(u) - A(\vargamma ), u - \vargamma
\bigr)
\geq 0
\forall u, \vargamma \in V, называется монотонным [16, c. 168].
Рассмотрим следующую нелокальную задачу:
Найти обобщенное решение уравнения (1) из пространства Соболева W 2
2 (Q) такое, что ut
принадлежит Lp,\beta (Q), p = \rho + 2 (2 < p < \infty , если n = 1, 2; 2 < p < 4, если n \geq 3), и
удовлетворяет краевым условиям
u(x, 0) = \gamma u(x, T ), (2)
u| S = 0, (3)
где \gamma — некоторое постоянное число, отличное от нуля, величина которого будет уточнена
ниже.
Впервые нелокальные краевые задачи (2), (3) для линейного уравнения (1) смешанного типа
второго рода второго порядка, когда \gamma — постоянное число, отличное от нуля, и \beta (t) = 0, были
исследованы в работах [5 – 7, 9, 17] в различных пространствах функциональными методами.
Отметим, что в работах [6, 7] в более общем случае для линейного уравнения (1), ко-
гда K(x, 0) \leq 0 \leq K(x, T ), \gamma — постоянное число, отличное от нуля, и \beta (t) = 0, доказана
однозначная разрешимость и изучена гладкость обобщенного решения задачи (2), (3) в про-
странствах Соболева W \ell
2(Q), 2 \leq \ell \in \BbbN . Одним из первых нелинейные уравнения смешанного
типа изучал Н. А. Ларькин. Он предложил постановку локальных краевых задач для этого
уравнения и исследовал их разрешимость [13]; позднее эти исследования для нелинейных
уравнений были продолжены в [4, 14, 15].
Целью настоящей работы является изучение корректности нелокальной краевой задачи (2),
(3) для уравнения (1) в случае, когда \beta (t) \geq 0, в пространстве W = W 2
2 (Q)\cap Lp,\beta (Q), p = \rho +2.
Перейдем к рассмотрению поставленной задачи.
Обозначим через CL класс функций из пространства W = W 2
2 (Q) \cap Lp,\beta (Q), p = \rho + 2,
удовлетворяющих условиям (2), (3).
Определение 2. Назовем функцию u(x, t) обобщенным решением задачи (1) – (3), если u
принадлежит CL и удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в области Q.
В дальнейшем нам будет необходима следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
50 С. З. ДЖАМАЛОВ
Теорема 1. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (1) и,
кроме того, 2\alpha (x, t) - Kt(x, t) + \lambda K(x, t) \geq \delta 1 > 0, \lambda c(x, t) - ct(x, t) \geq \delta 2 > 0 при (x, t) \in Q,
c(x, 0) \leq c(x, T ) при x \in \Omega , где \lambda = - 2
T
\mathrm{l}\mathrm{n} | \gamma | > 0 при | \gamma | < 1 в случае (a). Тогда для любого
обобщенного решения задачи (1) – (3) и функции f(x, t) \in L2(Q) имеет место неравенство
\| u\| 21 + \| ut\| pLp,\beta
\leq c1\| f\| 20. (4)
Здесь и далее через ci обозначены положительные, вообще говоря, разные постоянные.
Доказательство. Для любой функции u \in CL после интегрирования тождества
2
\int
Q
(Lu - f) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda t)utdxdt = 0 (5)
легко получить тождество
2
\int
Q
Lu \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda t)utdxdt =
=
\int
Q
e - \lambda t
\bigl\{
(2\alpha - Kt + \lambda K)u2t + \lambda aij uxiuxj + (\lambda c - ct)u
2
\bigr\}
dxdt+
+
\int
Q
e - \lambda t\beta (t)| ut| \rho +2dxdt+
+
\int
\partial Q
e - \lambda t
\bigl\{
Ku 2
t \nu 0 - 2aijuxi ut \nu i + aijuxiuxj \nu 0 + cu2 \nu 0
\bigr\}
ds, (6)
где \nu =
\bigl(
\nu 0 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\nu , t), \nu i = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\nu , xi)
\bigr)
, \nu — единичный вектор внешней нормали к \partial Q.
Условия теоремы 1 обеспечивают неотрицательность интеграла по области Q. Пусть u \in CL
удовлетворяет краевым условиям (2), (3), тогда граничные интегралы aijuxi \cdot ut\nu i равны нулю
на \partial Q, так как \nu i = 0 на основаниях области Q и u(x, t) = 0 на S. Поскольку выражение\bigl[
Ku 2
t + ai,juxiuxj + cu2
\bigr]
\nu 0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda t) положительно на основаниях области Q, а на боковой
границе S равно нулю, т. е. относительно функций K(x, t) и c(x, t) требуется выполнение
условий K(x, 0) \leq 0 \leq K(x, T ), c(x, 0) \leq c(x, T ) и \gamma 2 = e - \lambda T , учитывая изложенное выше,
получаем положительность граничного интеграла:
J =
\int
\partial Q
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda t)
\bigl\{
Ku2t \nu 0 - 2aijuxiut\nu i + aijuxiuxj\nu 0 + cu2\nu 0
\bigr\}
ds =
=
\int
\partial Q
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda t)
\bigl\{
Ku2t + aijuxiuxj + cu2
\bigr\}
\nu 0 ds - 2
\int
\partial Q
aijuxiut\nu i ds =
=
\int
\Omega
\Bigl[
K(x, T )e - \lambda Tu2t (x, T ) - K(x, 0)u2t (x, 0)
\Bigr]
dx+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
О КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 51
+
\bigl[
e - \lambda T - \gamma 2
\bigr] \int
\Omega
aijuxi(x, T )uxj (x, T ) dx+
+
\int
\Omega
\bigl[
c(x, T ) - c(x, 0)
\bigr]
e - \lambda T u2(x, T )dx =
=
\int
\Omega
\bigl[
K(x, T )e - \lambda Tu2t (x, T ) - K(x, 0)u2t (x, 0)
\bigr]
dx+
+
\int
\Omega
\bigl[
c(x, T ) - c(x, 0)
\bigr]
e - \lambda Tu2(x, T )dx \geq 0.
Теперь, опуская неотрицательные граничные интегралы из тождества (6), имеем
2
\int
Q
Lue - \lambda tut dx dt \geq
\int
Q
e - \lambda t
\bigl\{
(2\alpha - Kt + \lambda K)u2t + \lambda ai,juxiuxj + (\lambda c - ct)u
2
\bigr\}
dx dt+
+
\int
Q
e - \lambda t\beta (t)| ut| p dx dt. (7)
Применяя неравенство Коши с \sigma [12, с. 33] к неравенству (7), получаем первую оценку (4).
Теорема 1 доказана.
2. Уравнение составного типа. Рассмотрим в области Q семейство уравнений
L\varepsilon u\varepsilon = - \varepsilon
\partial
\partial t
\Delta u\varepsilon + Lu\varepsilon = f(x, t), (8)
где \Delta u =
\partial 2u
\partial t2
+
\sum n
i=1
\partial 2u
\partial x2i
— оператор Лапласа в пространстве, \varepsilon — достаточно малое по-
ложительное число. Отметим, что уравнения вида (8) относятся к классу так называемых
уравнений составного типа. Ниже используем уравнение составного типа (8) в качестве „\varepsilon -
регуляризирующего” уравнения для уравнения (1) [2, 15].
Нелокальная краевая задача:
Dq
tu\varepsilon (x, 0) = \gamma Dq
tu\varepsilon (x, T ), q = 0, 1, 2, (9)
u\varepsilon | S = 0, (10)
где Dq
t =
\partial q
\partial tq
, q = 1, 2, D0
t = u, \gamma — постоянная, не равная 0, причем | \gamma | < 1 в случае (a).
Обозначим через CL\varepsilon класс функций из пространства W = W 2
2 (Q) \cap Lp,\beta (Q), p = \rho + 2,
удовлетворяющих соответствующим условиям (9), (10), такой, что
\partial
\partial t
\Delta u\varepsilon \in L2(Q).
Определение 3. Назовем функцию u\varepsilon (x, t) регулярным решением задачи (8) – (10), если
u\varepsilon (x, t) \in CL\varepsilon такое, что
| u\varepsilon t| \rho /2u\varepsilon t \in L2,\beta (Q),
\partial
\partial t
\Bigl(
| u\varepsilon t| \rho /2u\varepsilon t
\Bigr)
\in L2,\beta (Q),
\partial
\partial xi
\Bigl(
| u\varepsilon t| \rho /2u\varepsilon t
\Bigr)
\in L2,\beta (Q) \forall i = 1, n,
и удовлетворяет уравнению (8) почти всюду в области Q.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
52 С. З. ДЖАМАЛОВ
Теорема 2. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (8)
и, кроме того, всюду в области выполнены условия 2\alpha (x, t) - | Kt(x, t)| + \lambda K(x, t) \geq \delta 1 > 0,
\lambda c(x, t) - ct(x, t) \geq \delta 2 > 0 при (x, t) \in Q, c(x, 0) = c(x, T ), \alpha (x, 0) = \alpha (x, T ) при x \in \Omega , где
\lambda = - 2
T
\mathrm{l}\mathrm{n} | \gamma | > 0 при | \gamma | < 1 в случае (a), \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} | Kxi | \leq \delta \ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \delta 1, \lambda \} , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} | \beta t(t)| \leq \delta 0 =
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \delta \ast , \delta 1\} , | \gamma | \rho \beta (T ) = \beta (0). Тогда для любой функции f(x, t), ft(x, t) \in L2(Q), такой, что
f(x, 0) = \gamma f(x, T ), существует единственное регулярное решение задачи (8) – (10), и для нее
справедливы следующие оценки:
\varepsilon
\Bigl(
\| u\varepsilon tt\| 20 + \lambda \| \nabla u\varepsilon t\| 20
\Bigr)
+ \| u\varepsilon \| 21 + \| u\varepsilon t\| PLp,\beta (Q) \leq c2\| f\| 20,
(11)
\varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial t
\Delta u\varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
0
+ \varepsilon \lambda \| \nabla u\varepsilon t\| 20 + \| u\varepsilon \| 22 +
\rho + 1
(0, 5\rho + 1)2
\times
\times
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial t
\Bigl(
| u\varepsilon t| \rho /2u\varepsilon t
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
L2,\beta (Q)
+ a0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \nabla \Bigl( | u\varepsilon t| \rho /2u\varepsilon t\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
L2,\beta (Q)
\Biggr)
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| | u\varepsilon t| \rho /2u\varepsilon t\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
L2,\beta (Q)
\leq c3
\bigl[
\| f\| 20 + \| ft\| 20
\bigr]
.
Замечание 2. В формулировке теоремы 2 относительно функции 0 \leq \beta (t) на границе
отрезка [0, T ] можно потребовать выполнения равносильного условия \beta (T ) = \beta (0) = 0.
Доказательство. Доказательство первого из неравенств (11) проводится так же, как и
доказательство теоремы 1. Разрешимость задачи (8) – (10) докажем методом Галеркина. Пусть
\phi j(x, t) — собственные функции следующей задачи:
\Delta \phi j =
\partial 2\phi j
\partial t2
+
n\sum
i=1
\partial 2\phi j
\partial x2i
= - \mu 2
j\phi j ,
Dp
t \phi j | t=0 = Dp
t \phi j | t=T , p = 0, 1, (12)
\phi j | S = 0.
Из общей теории линейных самосопряженных эллиптических операторов известно, что все соб-
ственные функции задачи (12) образуют базис в пространстве W 2
2 (Q) и различным собствен-
ным значениям соответствуют различные собственные функции. Отметим, что все собственные
функции \phi j(x, t) линейно независимы, а линейные комбинации плотны в W = W 2
2 (Q)\cap Lp(Q),
p = \rho + 2 [1; 15, с. 213; 16, с. 53]. Теперь с помощью этих последовательностей функций по-
строим решение вспомогательной задачи
\ell \omega j = e
- \lambda t
2
\partial \omega j
\partial t
= \phi j ,
\omega j(x, 0) = \gamma \omega j(x, T ),
(13)
где \gamma — постоянная, не равная нулю, причем | \gamma | < 1 в случае (a). Очевидно, что задача (13)
однозначно разрешима и ее решение имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
О КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 53
\ell - 1\phi j = \omega j =
t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
\lambda \tau
2
\biggr)
\phi j d\tau +
1
\gamma - 1
T\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
\lambda t
2
\biggr)
\phi j dt.
Ясно, что функции \omega j(x, t) линейно независимы. Действительно, если
\sum N
j=1
cj\omega j = 0 для
произвольной последовательности функций \omega 1, \omega 2, . . . , \omega N , то, действуя на эту сумму опера-
тором \ell , получаем
\sum N
j=1
cj\ell \omega j =
\sum N
j=1
cj\phi j = 0. Отсюда следует, что для всех j = 1, N
коэффициенты cj = 0. Отметим, что из построения функций \phi j(x, t) вытекают следующие
условия на функции \omega j(x, t) \in W :
Dq
t \omega j | t=0 = \gamma Dq
t \omega j | t=T , q = 0, 1, 2,
\omega j | S = 0.
(14)
Теперь приближенное решение задачи (8) – (10) ищем в виде w = uN\varepsilon =
\sum N
j=1
cj\omega j , где
коэффициенты cj , j = 1, N, определяются как решение нелинейной алгебраической системы\int
Q
L\varepsilon u
N
\varepsilon \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \lambda t
2
\biggr)
\phi j dx dt =
\int
Q
f \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \lambda t
2
\biggr)
\phi j dx dt. (15)
Разрешимость нелинейной алгебраической системы (15) следует из полученных ниже апри-
орных оценок с применением леммы Вишика [3; 15, с. 13] для приближенных решений зада-
чи (8) – (10). Умножая каждое уравнение из (15) на 2cj , суммируя по j от 1 до N и учитывая
задачи (12), (13), из (15) получаем тождество\int
Q
L\varepsilon w \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda t)wt dx dt =
\int
Q
f \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda t)wt dx dt. (16)
Отсюда в силу условия теоремы 2 интегрированием тождества (16) получим для приближенного
решения задачи (8) – (10) первую априорную оценку из (11), т. е.
\varepsilon
\Bigl( \bigm\| \bigm\| uN\varepsilon tt\bigm\| \bigm\| 20 + \lambda
\bigm\| \bigm\| \nabla uN\varepsilon t
\bigm\| \bigm\| 2
0
\Bigr)
+
\bigm\| \bigm\| uN\varepsilon \bigm\| \bigm\| 21 + \bigm\| \bigm\| uN\varepsilon t\bigm\| \bigm\| PLp,\beta (Q)
\leq c4\| f\| 20. (17)
Отсюда в силу монотонности оператора | ut| \rho ut и неравенства (17) следует однозначная разре-
шимость нелинейной алгебраической системы (15) [3; 15, с. 13, 213]. Докажем теперь вторую
априорную оценку из (11). Благодаря задаче (12), (13), из тождества (15) получим
- 1
\mu 2
j
\int
Q
L\varepsilon w \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \lambda t
2
\biggr)
\Delta \ell \omega j dx dt = - 1
\mu 2
j
\int
Q
f \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \lambda t
2
\biggr)
\Delta \ell \omega j dx dt, (18)
где
\Delta \ell w = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \lambda t
2
\biggr) \biggl[
\partial \Delta w
\partial t
- \lambda wtt +
\lambda 2
4
wt
\biggr]
.
Умножая каждое уравнение из (18) на 2\mu 2
jcj , суммируя по j от 1 до N и учитывая условия (14),
из (18) получаем тождество
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
54 С. З. ДЖАМАЛОВ
2
\int
Q
(L\varepsilon - f)we - \lambda t
\biggl[
\partial \Delta w
\partial t
- \lambda wtt +
\lambda 2
4
wt
\biggr]
dx dt = 0. (19)
Интегрируя (19), с учетом условия теоремы 2 и краевых условий (14) имеем неравенство
m
\Bigl(
\| ft\| 20 + \| f\| 20
\Bigr)
\geq \varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta w
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
0
+
\int
Q
e - \lambda t
\bigl\{
(2\alpha +Kt + \lambda K )w 2
tt+
+(2\alpha - Kt + \lambda K)a0w
2
tx + \lambda a0w
2
xt + \lambda a0w
2
xx
\bigr\}
dx dt+
+
\int
\partial Q
e - \lambda t
\bigl\{
K(w 2
tt + w 2
tx) + \alpha wtwtt + (aijwxi)xj (wxixj + wtt)+
+2 cw
\bigl(
wtt + wxixj
\bigr) \bigr\}
\nu 0 ds+
+
\int
\partial Q
e - \lambda t
\bigl\{
Kwttwtxi + 2\alpha wtwtxi + (aij wxi)xjtwtt
\bigr\}
\nu i ds+
+2(\rho + 1)
\left[ \int
Q
e - \lambda t\beta (t)
\bigl\{
a0| wt| \rho (\nabla wt)
2 + | wt| \rho w2
tt
\bigr\}
dx dt
\right] +
+2
\int
Q
\beta te
- \lambda t| wt| \rho wtwtt dx dt -
- 2
\int
\partial Q
e - \lambda t\beta
\bigl[
| wt| \rho wtwtt\nu 0 - | wt| \rho wt\nabla wt\nu i
\bigr]
ds =
7\sum
i=1
Ji, (20)
где J1 — интеграл по области, J2 и J3 — интегралы по границе (для линейных членов), J4
и J5 — интегралы по области с нелинейными членами, J6 и J7 — интегралы по границе
(для нелинейных членов). Учитывая условия теоремы 2 и используя неравенство Коши с \sigma ,
убеждаемся, что интеграл по области J1 допускает оценку
J1 = \varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta w
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
0
+ \varepsilon \lambda a0 \| wtx\| 20 + c5
\int
Q
e - \lambda t
\bigl[
w2
tt + w2
tx + w2
xx
\bigr]
dx dt \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
\Bigl( \widehat N\Bigr) . (21)
Символом \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl( \widehat N\bigr) здесь и далее обозначена постоянная, не зависящая от N. Учитывая
краевые условия (14) и условия теоремы 2, получаем, что граничные интегралы по границе
для линейных членов таковы: J2 \geq 0, J3 = 0, а граничные интегралы J6 и J7 по границе для
нелинейных членов равны нулю.
Члены из формулы (20), не являющиеся билинейными, можно записать в виде
J4 =
2(\rho + 1)
(0, 5\rho + 1)2
\int
Q
e - \lambda t\beta (t)
\Biggl[ \biggl\{
\partial
\partial t
\Bigl(
| wt| \rho /2wt
\Bigr) \biggr\} 2
+
\biggl\{
a0
\Bigl(
\nabla (| wt| \rho /2wt)
\Bigr) 2\biggr\} 2
\Biggr]
dx dt. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
О КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 55
Из представления (22) видно, что интеграл с нелинейными членами положительно определен,
т. е. J4 > 0. Осталось оценить интеграл по области J5 для нелинейного члена, т. е.
J5 = 2
\int
Q
\beta te
- \lambda t| wt| \rho wtwtt dx dt. (23)
В силу неравенства Гельдера имеем
J4 \geq - 2 \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
| \beta t| \| | wt| \rho \| Ln(Q)\| wt\| Lq(Q)\| wtt\| L2(Q), (24)
где q (как и в теореме вложения Соболева) определяется из равенства
1
n
+
1
q
+
1
2
= 1. Поскольку
из 0 \leq \rho \leq 2
n - 2
следует \rho n \leq q, то в силу первой из оценок (11) имеем
\| | wt| \rho \| Ln(Q) \leq \| wt\| \rho L2(Q) \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} (\| f\| L2(Q)). (25)
Итак,
J5 \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} (\| f\| 0) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
| \beta t| \| wt\| Lq(Q)\| wtt\| L2(Q). (26)
При выполнении условий теоремы на \rho имеем вложения W 1
2 (Q) \subset Lq(Q) [16, с. 31]. Теперь,
выбирая \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} ( \| f\| 0) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} | \beta t(t)| < \delta 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \delta , \lambda \} и применяя неравенство Коши с \sigma к (26),
получаем
J5 \geq - \delta 0
2
\| wt\| W 1
2 (Q) -
\delta 0
2
\| wtt\| L2(Q). (27)
Следовательно, из (17) – (27) вытекает вторая априорная оценка для приближенного решения
задачи (8) – (10):
\varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial t
\Delta uN\varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
0
+ \varepsilon \lambda a0
\bigm\| \bigm\| uN\varepsilon txi
\bigm\| \bigm\| 2
0
+
\bigm\| \bigm\| uN\varepsilon \bigm\| \bigm\| 22 + \rho + 1
(0, 5\rho + 1)2
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial t
\Bigl( \bigm| \bigm| uN\varepsilon t \bigm| \bigm| \rho /2uN\varepsilon t\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
L2,\beta (Q)
+
+ a0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \nabla \Bigl( \bigm| \bigm| uN\varepsilon t \bigm| \bigm| \rho /2uN\varepsilon t\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2
L2,\beta (Q)
\Biggr)
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| uN\varepsilon t \bigm| \bigm| \rho /2uN\varepsilon t\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2L2,\beta (Q)
\leq c6
\Bigl[
\| f\| 20 + \| ft\| 20
\Bigr]
. (28)
Итак, мы получили необходимые первую (17) и вторую (28) априорные оценки для прибли-
женного решения задачи (8) – (10).
Теперь с помощью этих оценок докажем разрешимость задачи (8) – (10). Согласно известной
теореме о слабой компактности [12; 15, с. 220; 16, с. 56], из ограниченной последовательности\bigl\{
w = uN\varepsilon
\bigr\}
, \varepsilon > 0, можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность функций
\bigl\{
uNk
\varepsilon
\bigr\}
такую, что при Nk \rightarrow \infty имеем
uNk
\varepsilon (x, t) \rightarrow u\varepsilon (x, t) слабо в W 2
2 (Q),
\partial
\partial t
\Delta uNk
\varepsilon \rightarrow \partial
\partial t
\Delta u\varepsilon слабо в L2(Q),
\partial
\partial t
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| uNk
\varepsilon t
\bigm| \bigm| \bigm| \rho /2uNk
\varepsilon t
\biggr)
\rightarrow \Im 1,
\partial
\partial xi
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| uNk
\varepsilon t
\bigm| \bigm| \bigm| \rho /2uNk
\varepsilon t
\biggr)
\rightarrow \Im 2 \forall i = 1, n слабо в L2,\beta (Q),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
56 С. З. ДЖАМАЛОВ\bigm| \bigm| \bigm| uNk
\varepsilon t
\bigm| \bigm| \bigm| \rho /2uNk
\varepsilon t \rightarrow \Im 3 слабо в L2,\beta (Q),
\bigm| \bigm| \bigm| uNk
\varepsilon t
\bigm| \bigm| \bigm| \rho uNk
\varepsilon t \rightarrow \Psi слабо в Lq,\beta (Q),
где
1
p
+
1
q
= 1.
Согласно лемме 1.3 о предельном переходе (см. лемму 1.3 из [16, с. 25 – 27, 56]), в нели-
нейном члене имеем
\partial
\partial t
(| u\varepsilon t| \rho u\varepsilon t) = \Im 1,
\partial
\partial xi
(| u\varepsilon t| \rho u\varepsilon t) = \Im 2, | u\varepsilon t| \rho /2u\varepsilon t = \Im 3, | u\varepsilon t| \rho u\varepsilon t = \Psi .
Поскольку последовательность базис-функции \{ \varphi j(x, t)\} плотна в пространстве W =
= W 2
2 (Q) \cap Lp,\beta (Q), p = \rho + 2, и удовлетворяет условиям (9), (10), то тождество (15) вы-
полняется и для произвольной функции \vargamma (x, t) \in W, удовлетворяющей условиям (9), (10),
т. е. \int
Q
L\varepsilon u
N
\varepsilon \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \lambda t
2
\biggr)
\vargamma (x, t) dx dt =
\int
Q
f \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \lambda t
2
\biggr)
\vargamma (x, t) dx dt. (15\prime )
Теперь, используя лемму 1.3 (см. [16, с. 26]), мы можем осуществить предельный переход в
тождестве (15\prime ) при Nk \rightarrow \infty . Отсюда следует, что последовательность функций \{ u\varepsilon (x, t)\}
является единственным регулярным решением задачи (8) – (10). Тем самым теорема 2 доказана
(см. [15, c. 214] (формула 1.28), [16, c. 26] (формула 1.48)).
3. Разрешимость нелокальной краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного
типа второго рода второго порядка. Метод „\varepsilon -регуляризации”. Перейдем к доказательству
однозначной разрешимости задачи (1) – (3). Для этого используем уравнение составного типа (8)
в качестве „\varepsilon -регуляризирующего” уравнения для уравнения (1) [2, 15].
Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда обобщенное решение задачи
(1) – (3) из W = W 2
2 (Q) \cap Lp,\beta (Q), p = \rho + 2, существует и единственно.
Доказательство. Сначала докажем единственность обобщенного решения задачи (1) – (3)
из указанного пространства методом от противного. Пусть существуют два различных решения
\zeta (x, t), \vargamma (x, t) задачи (1) – (3).
Тогда функция u(x, t) = \zeta (x, t) - \vargamma (x, t) удовлетворяет однородному нелинейному уравне-
нию
Lu = K(x, t)utt - \Delta xu+ \alpha (x, t)ut + c (x, t)u+ \beta (t) [| \zeta t| \rho \zeta t - | \vargamma t| \rho \vargamma t] = 0
с краевыми условиями (2), (3). Непосредственно из теоремы 1 следует неравенство
\| u\| 2W 1
2 (Q) +
\int
Q
e - \lambda t\beta (t)
\bigl[
| \zeta t| \rho \zeta t - | \vargamma t| \rho \vargamma t
\bigr]
(\zeta t - \vargamma t) dx dt \leq 0. (29)
Учитывая монотонность оператора | ut| \rho ut [16, с. 53] и неравенство 0 \leq \beta (t), получаем\int
Q
e - \lambda t
\bigl[
| \zeta t| \rho \zeta t - | \vargamma t| \rho \vargamma t
\bigr]
(\zeta t - \vargamma t) dx dt \geq 0. (30)
В силу (30) из (29) следует, что \| u\| 2
W 1
2 (Q)
\leq 0, и, значит, u(x, t) = 0. Отсюда следует един-
ственность решения задачи (1) – (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
О КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 57
Теперь докажем существование обобщенного решения задачи (1) – (3). Для этого рассмот-
рим в области уравнение (8) с краевыми условиями (9), (10) при \varepsilon > 0. Поскольку выполнены
все условия теорем 2, 3, то существует единственное обобщенное решение задачи (8) – (10) при
\varepsilon > 0 и для него справедливы первая и вторая оценки. Отсюда следует, что из множества функ-
ций \{ u\varepsilon (x, t)\} при \varepsilon > 0 можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность функций в
W такую, что
u\varepsilon j (x, t) \rightarrow u\varepsilon (x, t) слабо в W 2
2 (Q),
\partial
\partial t
\Delta u\varepsilon j \rightarrow
\partial
\partial t
\Delta u слабо в L2(Q),\bigm| \bigm| ut\varepsilon j \bigm| \bigm| \rho ut\varepsilon j \rightarrow | ut| \rho ut слабо в Lq,\beta (Q),
(31)
где
1
p
+
1
q
= 1 при \varepsilon j \rightarrow 0.
Покажем, что предельная функция u(x, t) \in CL удовлетворяет уравнению (1) почти всюду.
Действительно, так как справедливо (31), а последовательность
\biggl\{
\partial \Delta u\varepsilon j (x, t)
\partial t
\biggr\}
равномерно
ограничена в L2(Q), то имеем
Lu - f = Lu - Lu\varepsilon j + \varepsilon j
\partial \Delta u\varepsilon j
\partial t
+ \beta (t)
\bigl[ \bigm| \bigm| ut\varepsilon j \bigm| \bigm| \rho ut - | ut| \rho ut
\bigr]
=
= L (u - u\varepsilon j ) + \varepsilon j
\partial \Delta u \varepsilon j
\partial t
+ \beta (t)
\bigl[ \bigm| \bigm| ut\varepsilon j \bigm| \bigm| \rho ut - | ut| \rho ut
\bigr]
. (32)
Из равенства (32), используя лемму 1.3 (о предельном переходе в нелинейных членах) из [16,
с. 26] и переходя к пределу при \varepsilon j \rightarrow 0, получаем единственное обобщенное решение зада-
чи (1) – (3).
Таким образом, теорема 3 доказана.
Замечание 3. Как мы видели, в постановке задачи (1) – (3) знак квадратичной формы су-
щественной роли не играет, хотя в случае (a) в класс уравнений (1) входят параболические
уравнения, а в случае (b) — обратно-параболические уравнения; тем не менее, для задачи (1) –
(3) в случаях (a) и (b) получены аналогичные результаты лишь для разных значений \gamma , т. е. в
случае (a) | \gamma | < 1, а случае (b) | \gamma | > 1.
Возникает вопрос: существенны ли ограничения на \gamma при постановке задачи? В связи с
этим рассмотрим следующие примеры.
Примеры. В прямоугольнике Q = (0, \ell )\times (0, T ) рассмотрим модельную задачу
\Pi 1u = ut - uxx = 0,
u(x, 0) = \gamma \cdot u(x, T ), (33)
u(0, t) = u(\ell , t) = 0.
Решая задачу (33) методом Фурье, находим \gamma k = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda kT ) > 1, \lambda k =
2\pi k
\ell
, k = 0, 1, 2, . . . .
Нетрудно проверить, что все условия теоремы 1 выполнены, но, несмотря на это, функции uk =
= Cke
- \lambda kt \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda kx (где Ck — произвольные постоянные) являются нетривиальными решениями
этой краевой задачи.
Точно так же рассмотрим задачу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
58 С. З. ДЖАМАЛОВ
\Pi 2u = ut + uxx = 0,
u(x, 0) = \gamma \cdot u(x, T ), (34)
u(0, t) = u(\ell , t) = 0.
Решая задачу (34) методом Фурье, убеждаемся, что функции uk = Cke
\lambda kt \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda kx с произволь-
ными Ck являются нетривиальными решениями этой задачи. В этом случае \gamma k = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \lambda kT ) <
< 1.
Итак, мы видели, что ограничения на \gamma в случаях (a) и (b) существенны. При невыполнении
этих условий, как показано, единственность задачи нарушается.
Автор благодарит профессора Р. Р. Ашурова за ряд замечаний, которые способствовали
улучшению данной статьи.
Литература
1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка,
1965. – 798 c.
2. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. – Новосибирск: Новосиб.
гос. ун-т, 1983. – 84 c.
3. Вишик М. И. Решение системы квазилинейных уравнений, имеющих дивергентную форму, при периодических
граничных условиях // Докл. АН СССР. – 1961. – 137, № 3. – C. 502 – 505.
4. Глазатов С. Н. Краевые задачи для одного класса нелинейных вырождающихся гиперболических уравнений. –
Новосибирск, 1984. – 21 c. – (Препринт / СО АН СССР. Ин-т математики, № 50).
5. Глазатов С. Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольнике // Сиб. мат.
журн. – 1985. – 26, № 6. – C. 162 – 164.
6. Джамалов С. З. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго рода второго
порядка // Узб. мат. журн. – 2014. – 1, № 1. – С. 5 – 14.
7. Djamalov S. Z. On the correctness of a nonlocal problem for the second order mixed type equations of the second
kind in a rectangle // IIUM J. – 2016. – 17, № 2. – P. 95 – 104.
8. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1988. – 304 с.
9. Каратопраклиева М. Г. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения смешанного типа // Дифференц.
уравнения. – 1991. – 27, № 1. – С. 68 – 79.
10. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. – Новосибирск:
Новосиб. гос. ун-т, 1990. – 130 c.
11. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. – Л.: Ленинград.
гос. ун-т, 1990. – 204 c.
12. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 407 c.
13. Ларькин Н. А. Об одном классе нелинейных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. – 1978. – 19, № 6. –
С. 1308 – 1314.
14. Ларькин Н. А. О разрешимости в целом краевых задач для одного класса квазилинейных гиперболических
уравнений // Сиб. мат. журн. – 1981. – 22, № 1. – С. 111 – 119.
15. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. – Новосибирск: Наука,
1983. – 267 с.
16. Лионс Ж. -Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 580 c.
17. Терехов А. Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений переменного типа // Неклассические уравнения
математической физики. – Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985. – С. 148 – 159.
18. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. –
543 с.
Получено 10.03.17,
после доработки — 02.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1418 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:04:57Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a9/b4dcb746927cc9450b08cc3587ce63a9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14182019-12-05T08:54:16Z Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space О корректности одной нелокальной краевой задачи с постоянным коэффициентом для нелинейного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в пространстве Dzhamalov, S. Z. Джамалов, С. З. Джамалов, С. З. Under certain conditions imposed on the coefficients of the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space, we prove the correctness of the solution of a nonlocal boundary-value problem. Доведено коректнiсть розв’язку однiєї нелокальної крайової задачi при деяких обмеженнях на коефiцiєнти нелiнiйного рiвняння мiшаного типу другого роду другого порядку в просторi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1418 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 1 (2019); 47-58 Український математичний журнал; Том 71 № 1 (2019); 47-58 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1418/402 Copyright (c) 2019 Dzhamalov S. Z. |
| spellingShingle | Dzhamalov, S. Z. Джамалов, С. З. Джамалов, С. З. Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space |
| title | Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient
for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space |
| title_alt | О корректности одной нелокальной краевой задачи с постоянным
коэффициентом для нелинейного уравнения смешанного типа второго рода второго
порядка в пространстве |
| title_full | Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient
for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space |
| title_fullStr | Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient
for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space |
| title_full_unstemmed | Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient
for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space |
| title_short | Correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient
for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space |
| title_sort | correctness of one nonlocal boundary-value problem with constant coefficient
for the nonlinear mixed-type equation of the second kind of the second order in the space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1418 |
| work_keys_str_mv | AT dzhamalovsz correctnessofonenonlocalboundaryvalueproblemwithconstantcoefficientforthenonlinearmixedtypeequationofthesecondkindofthesecondorderinthespace AT džamalovsz correctnessofonenonlocalboundaryvalueproblemwithconstantcoefficientforthenonlinearmixedtypeequationofthesecondkindofthesecondorderinthespace AT džamalovsz correctnessofonenonlocalboundaryvalueproblemwithconstantcoefficientforthenonlinearmixedtypeequationofthesecondkindofthesecondorderinthespace AT dzhamalovsz okorrektnostiodnojnelokalʹnojkraevojzadačispostoânnymkoéfficientomdlânelinejnogouravneniâsmešannogotipavtorogorodavtorogoporâdkavprostranstve AT džamalovsz okorrektnostiodnojnelokalʹnojkraevojzadačispostoânnymkoéfficientomdlânelinejnogouravneniâsmešannogotipavtorogorodavtorogoporâdkavprostranstve AT džamalovsz okorrektnostiodnojnelokalʹnojkraevojzadačispostoânnymkoéfficientomdlânelinejnogouravneniâsmešannogotipavtorogorodavtorogoporâdkavprostranstve |