On the asymptotic of solutions of second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities
We establish the conditions of existence for one class of monotone solutions of two-term nonautonomous differential equations of the second order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations of these solutions and their first-order derivatives as $t \uparrow \omega (\omeg...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1420 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507169285210112 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:16Z |
| description | We establish the conditions of existence for one class of monotone solutions of two-term nonautonomous differential
equations of the second order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations of these solutions and
their first-order derivatives as $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty )$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов, А. Г. Черникова (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С БЫСТРО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
We establish the conditions of existence for one class of monotone solutions of two-term nonautonomous differential
equations of the second order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations of these solutions and
their first-order derivatives as t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ).
Встановлено умови iснування одного класу розв’язкiв двочленного неавтономного диференцiального рiвняння дру-
гого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також асимптотичнi при t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ) зображення для таких
розв’язкiв та їхнiх похiдних першого порядку.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y\prime \prime = \alpha 0p(t)\varphi (y), (1.1)
где \alpha 0 \in \{ - 1, 1\} , p : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная функция, - \infty < a < \omega \leq +\infty , \varphi :
\Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ — дважды непрерывно дифференцируемая функция, такая, что
\varphi \prime (y) \not = 0 при y \in \Delta Y0 , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y) = Z0 \in \{ 0;+\infty \} , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y)\varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime 2(y)
= 1, (1.2)
Y0 равно либо нулю, либо \pm \infty , \Delta Y0 — некоторая односторонняя окрестность Y0. Не ограни-
чивая общности, будем считать, что
\Delta Y0 =
\left\{ [y0, Y0[, если \Delta Y0 — левая окрестность Y0,
]Y0, y0], если \Delta Y0 — правая окрестность Y0,
(1.3)
где y0 \in \BbbR такое, что | y0| < 1 при Y0 = 0 и y0 > 1 (y0 < - 1) при Y0 = +\infty (при Y0 = - \infty ).
Нетрудно убедиться, что из условий (1.2) следует, что
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\sim \varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime (y)
при y \rightarrow Y0 (y \in \Delta Y0), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
= \pm \infty , (1.4)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi 2(y)
\varphi \prime (y)
\int y
Y
\varphi (x) dx
= 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl[ \int y
Y
\varphi (x) dx
\biggr] 2
\varphi (y)
\int y
Y
\biggl( \int x
Y
\varphi (u) du
\biggr)
dx
= 1, (1.5)
где
Y =
\left\{
y0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y) = +\infty ,
Y0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y) = 0.
Согласно условиям (1.4), функция \varphi и ее производная первого порядка являются (см. мо-
нографию [1, c. 91, 92]) быстро меняющимися при y \rightarrow Y0.
c\bigcirc В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1 73
74 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
В силу же условий (1.5) и теоремы 3.10.8 из монографии [2, c. 178] функция \varphi и ее первая
производная принадлежат при Y0 = +\infty и Z0 = +\infty классу функций \Gamma , введенному Л. Ханом
(см., например, [2, c. 175]).
Определение 1.1. Класс \Gamma состоит из измеримых, неубывающих и непрерывных справа
функций f : [y0,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [, для каждой из которых существует измеримая функция g :
[y0,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [, дополняющая для функции f, т. е. такая, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +\infty
f (y + ug(y))
f(y)
= eu для любого u \in \BbbR .
С использованием замен переменных класс \Gamma может быть легко расширен до класса \Gamma Y0(Z0)
функций f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [, где Y0 равно либо нулю, либо \pm \infty и \Delta Y0 — односторонняя
окрестность Y0, для которых
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = Z0 \in \{ 0;+\infty \} .
Определение 1.2. Будем говорить, что функция f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ принадлежит классу
функций \Gamma Y0(Z0), если классу \Gamma принадлежат:
1) функция f0(y) =
1
f(y)
при Y0 = +\infty и Z0 = 0;
2) функция f0(y) = f( - y) при Y0 = - \infty и Z0 = +\infty ;
3) функция f0(y) = f
\biggl(
1
y
\biggr)
при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — правая окрестность нуля, и Z0 = +\infty ;
4) функция f0(y) =
1
f
\biggl(
1
y
\biggr) при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — правая окрестность нуля, и Z0 = 0;
5) функция f0(y) = f
\biggl(
- 1
y
\biggr)
при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — левая окрестность нуля, и Z0 = +\infty ;
6) функция f0(y) =
1
f
\biggl(
- 1
y
\biggr) при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — левая окрестность нуля, и Z0 = 0;
7) функция f0(y) \equiv f(y) при Y0 = +\infty и Z0 = +\infty .
Учитывая это определение, а также лемму 3.10.1 и предложение 3.10.2 из [2, c. 175], при-
ходим к выводу, что для функции f \in \Gamma Y0(Z0) имеет место предельное соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y + ug(y))
f(y)
= eu для любого u \in \BbbR , (1.6)
в котором функция g, дополняющая для f, в каждом из случаев 1 – 7 может быть выражена
через функцию g0, дополняющую для f0, следующим (соответственно) образом:
1) g(y) = - g0(y);
2) g(y) = - g0( - y);
3) g(y) = - y2g0
\biggl(
1
y
\biggr)
;
4) g(y) = y2g0
\biggl(
1
y
\biggr)
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 75
5) g(y) = y2g0
\biggl(
- 1
y
\biggr)
;
6) g(y) = - y2g0
\biggl(
- 1
y
\biggr)
;
7) g(y) = g0(y),
и справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.1. Пусть f принадлежит \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией g. Тогда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
g(y)
y
= 0
и для любой функции u : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR , удовлетворяющей условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
u(y) = u0 \in \BbbR , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y + u(y)g(y)] = Z0,
имеет место предельное соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f (y + u(y)g(y))
f(y)
= eu0 .
Допустим теперь, что функция f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ является дважды непрерывно диффе-
ренцируемой и удовлетворяет условиям
f \prime (y) \not = 0 при y \in \Delta Y0 , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = Z0 \in \{ 0;+\infty \} , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y)f \prime \prime (y)
f \prime 2(y)
= 1. (1.7)
В этом случае для каждой из указанных в определении 1.2 функций f0 : [x0,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [,
где x0 — некоторое положительное число, выполняются условия
f \prime
0(x) \not = 0 при x \in [x0,+\infty [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
f0(x) = +\infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
f0(x)f
\prime \prime
0 (x)
f \prime 2
0 (x)
= 1,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
f2
0 (x)
f \prime
0(x)
\int x
x0
f0(u) du
= 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\biggl[ \int x
x0
f0(u) du
\biggr] 2
f0(x)
\int x
x0
\biggl( \int x
x0
\varphi (v) dv
\biggr)
du
= 1.
В силу этих условий, а также следствия 3.10.5(b) из [2, c. 177] справедлива следующая
лемма.
Лемма 1.2. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [
удовлетворяет условиям (1.7), то она и ее первая производная принадлежат классу \Gamma Y0(Z0)
с дополняющей функцией g : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR , которая определяется однозначно с точностью до
эквивалентных при y \rightarrow Y0 функций. В качестве дополняющей функции может быть выбрана,
например, одна из следующих функций:\int y
Y
\biggl( \int t
Y
f(u) du
\biggr)
dt\int y
Y
f(x) dx
\sim
\int y
Y
f(x) dx
f(y)
\sim f(y)
f \prime (y)
\sim f \prime (y)
f \prime \prime (y)
при y \rightarrow Y0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
76 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
где
Y =
\left\{
y0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = +\infty ,
Y0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = 0.
Замечание 1.1. Приведенные выше леммы относятся к случаю, когда функция f : \Delta Y0 - \rightarrow
- \rightarrow ]0,+\infty [ (т. е. принимает положительные значения). В случае функции f : \Delta Y0 - \rightarrow ] - \infty , 0[
будем говорить, что она принадлежит классу \Gamma Y0(Z0), если ( - f) \in \Gamma Y0( - Z0). Тогда нетрудно
убедиться, что для нее леммы 1.1, 1.2 также остаются справедливыми.
В силу вышеизложенного в дифференциальном уравнении (1.1) функция \varphi и ее первая
производная принадлежат классу \Gamma Y0(Z0), и в качестве дополняющих для них функций может
быть выбрана одна и та же функция, например
g(y) =
\varphi (y)
\varphi \prime (y)
. (1.8)
В случае, когда \varphi (y) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma y), \sigma \not = 0, который охватывается условиями (1.2) при Y0 =
= \pm \infty , асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения (1.1) может быть
описано при некоторых (вполне естественных) ограничениях на коэффициент p результатами,
установленными в работах [3 – 7].
В случае выполнения условий (1.2) при Y0 = 0, \Delta Y0 =]0, y0] и в предположении, что
\alpha 0 = 1 и p : [a,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [, \omega = +\infty , — дважды непрерывно дифференцируемая пра-
вильно меняющаяся функция при t \rightarrow +\infty , в работе [1] были установлены асимптотические
представления для решений дифференциального уравнения (1.1), стремящихся к нулю при
t \rightarrow +\infty .
Для произвольных из возможных значений \alpha 0 \in \{ - 1; 1\} , \omega \leq +\infty , Y0 \in \{ 0;\pm \infty \} и при
выполнении условий (1.2) в работе [8] получены условия существования и асимптотические
представления при t \uparrow \omega одного класса решений уравнения (1.1), который определялся через
нелинейность \varphi . В отличие от [8] более естественным представляется исследование асимп-
тотических свойств класса решений уравнения (1.1), который изучался ранее (см., например,
работу [9]) в случае правильно меняющейся при y \rightarrow Y0 функции \varphi .
Определение 1.3. Решение дифференциального уравнения (1.1) называется P\omega (Y0, \lambda 0)-
решением, где - \infty \leq \lambda 0 \leq +\infty , если оно определено на промежутке [t0, \omega [ \subset [a, \omega [ и удовле-
творяет условиям
y(t) \in \Delta Y0 при t \in [t0, \omega [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y(t) = Y0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) = [0;\pm \infty ],
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime 2(t)
y\prime \prime (t)y(t)
= \lambda 0.
Целью настоящей работы является установление необходимых и достаточных условий су-
ществования P\omega (Y0, \lambda 0)-решений уравнения (1.1) в особом случае, когда \lambda 0 = \pm \infty , а также
асимптотических при t \uparrow \omega представлений для таких решений и их производных первого
порядка.
Из леммы 2.1 работы [9] следует утверждение об априорных асимптотических свойствах
таких решений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 77
Лемма 1.3. Для каждого P\omega (Y0,\pm \infty )-решения y : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR дифференциального урав-
нения (1.1)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)y
\prime (t)
y(t)
= 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)y
\prime \prime (t)
y\prime (t)
= 0, (1.9)
где
\pi \omega (t) =
\left\{ t, если \omega = +\infty ,
t - \omega , если \omega < +\infty .
(1.10)
2. Основные результаты. Введем необходимые для дальнейшего вспомогательные обоз-
начения, положив
\mu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\varphi \prime (y), \nu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y0, \nu 1 =
\left\{ 1, если \Delta Y0 = [y0, Y0[,
- 1, если \Delta Y0 =]Y0, y0].
Учитывая определение P\omega (Y0, \lambda 0)-решения дифференциального уравнения (1.1), заметим,
что числа \nu 0, \nu 1 и \alpha 0 определяют знаки любого P\omega (Y0, \lambda 0)-решения, его первой и второй
производных (соответственно) в некоторой левой окрестности \omega . При этом ясно, что условия
\nu 0\nu 1 < 0, если Y0 = 0, \nu 0\nu 1 > 0, если Y0 = \pm \infty ,
и
\nu 1\alpha 0 < 0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) = 0, \nu 1\alpha 0 > 0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) = \pm \infty ,
являются необходимыми для существования таких решений. Отсюда с учетом того, что при
\lambda 0 = \pm \infty согласно лемме 1.3 выполняется неравенство
\nu 0\nu 1\pi \omega (t) > 0 при t \in [a, \omega [, (2.1)
следует, что условия
Y0 = 0, если \omega < +\infty , Y0 = \pm \infty , если \omega = +\infty , (2.2)
наряду с (2.1) являются необходимыми для существования P\omega (Y0,\pm \infty )-решений дифферен-
циального уравнения (1.1).
Кроме того, справедливо следующее утверждение о необходимых условиях существования
P\omega (Y0,\pm \infty )-решений дифференциального уравнения (1.1).
Теорема 2.1. Каждое P\omega (Y0,\pm \infty )-решение дифференциального уравнения (1.1) предста-
вимо в виде
y(t) = \pi \omega (t)L(t), (2.3)
где L : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR — дважды непрерывно дифференцируемая функция, такая, что
\nu 0L(t)\pi \omega (t) > 0, L\prime (t) \not = 0 при t \in [t1, \omega [, t1 \in [t0, \omega [, (2.4)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
L(t) \in \{ 0;\pm \infty \} , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L(t) = Y0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
= 0. (2.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
78 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
При этом в случае существования конечного или равного \pm \infty предела \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
, кроме
того, выполняются условия
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
= - 1, \alpha 0L
\prime (t) > 0 при t \in [t1, \omega [ (2.6)
и имеет место асимптотическое соотношение
p(t) \sim \alpha 0L
\prime (t)
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
при t \uparrow \omega . (2.7)
Доказательство. Пусть y : [t0, \omega [ - \rightarrow \Delta Y0 — произвольное P\omega (Y0,\pm \infty )-решение диффе-
ренциального уравнения (1.1). Тогда данное решение и его производные первого и второго
порядков сохраняют знаки на некотором промежутке [t1, \omega [ \subset [t0, \omega [. Кроме того, для этого
решения согласно лемме 1.3 выполняется первое из условий (1.9). В силу этого условия y
является (см. [10, с. 15]) нормализованной правильно меняющейся функцией порядка 1 при
t \uparrow \omega и поэтому представима в виде (2.3), где L : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR — медленно меняющаяся при
t \uparrow \omega функция, удовлетворяющая первому из неравенств (2.4) и последнему из условий (2.5).
Так как имеет место представление (2.3) и согласно последнему из условий (2.5)
y\prime (t) = L(t) + \pi \omega (t)L
\prime (t) = L(t)
\biggl[
1 +
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
\biggr]
\sim L(t) при t \uparrow \omega ,
то в силу определения P\omega (Y0,\pm \infty )-решения выполняются первое и второе из условий (2.4).
Установим справедливость второго из условий (2.4). Поскольку y является решением диф-
ференциального уравнения (1.1), то
2L\prime (t) + \pi \omega (t)L
\prime \prime (t) = \alpha 0p(t)\varphi (\pi \omega (t)L(t)) при t \in [t0, \omega [. (2.8)
Рассматривая это тождество как линейное неоднородное уравнение относительно L\prime , получаем
L\prime (t) =
1
\pi 2
\omega (t)
\left[ C + \alpha 0
t\int
A
\pi \omega (\tau )p(\tau )\varphi (\pi \omega (\tau )L(\tau )) d\tau
\right] ,
где C — некоторая вещественная постоянная и
A =
\left\{
t0, если
\int \omega
t0
| \pi \omega (\tau )| p(\tau )\varphi (\pi \omega (\tau )L(\tau )) d\tau = +\infty ,
\omega , если
\int \omega
t0
| \pi \omega (\tau )| p(\tau )\varphi (\pi \omega (\tau )L(\tau )) d\tau < +\infty .
Из этого представления следует, что в случае A = t0
L\prime (t) \sim \alpha 0
\pi 2
\omega (t)
t\int
t0
\pi \omega (\tau )p(\tau )\varphi (\pi \omega (\tau )L(\tau )) d\tau при t \uparrow \omega ,
а в случае A = \omega либо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 79
L\prime (t) =
1
\pi 2
\omega (t)
[C + o(1)] при t \uparrow \omega , где C \not = 0,
либо
L\prime (t) =
\alpha 0
\pi 2
\omega (t)
t\int
\omega
\pi \omega (\tau )p(\tau )\varphi (\pi \omega (\tau )L(\tau )) d\tau .
Из каждого из этих возможных представлений ясно, что L\prime (t) отлична от нуля на некотором
промежутке [t1, \omega [, где t1 \in [t0, \omega [, т. е. выполняется второе из условий (2.4).
Допустим теперь, что для функции L существует конечный или равный \pm \infty предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
. Тогда, используя правило Лопиталя в форме Штольца, с учетом второго из
условий (2.4), первого и третьего из условий (2.5) находим
0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
= 1 + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
.
Отсюда непосредственно следует первое из условий (2.6). Учитывая это условие, из (2.8) имеем
\alpha 0p(t)\varphi (\pi \omega (t)L(t)) = L\prime
\biggl[
2 +
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
\biggr]
\sim L\prime (t) при t \uparrow \omega ,
откуда следует справедливость асимптотического соотношения (2.7) и второго из условий (2.6).
Теорема доказана.
Ниже будем говорить, что выполняются условия \scrN , если выполнены условия (2.1), (2.2) и
для некоторой дважды непрерывно дифференцируемой функции L : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR , t0 \in [a, \omega [,
удовлетворяющей условиям (2.4) – (2.6), имеет место представление
p(t) =
\alpha 0L
\prime (t)[1 + r(t)]
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
, (2.9)
где r : [t0, \omega [ : - \rightarrow ] - 1,+\infty [ — непрерывная функция, стремящаяся к нулю при t \uparrow \omega (т. е.
справедливо соотношение (2.7)).
В силу теоремы 2.1 и изложенного перед ее формулировкой, условия \scrN в случае суще-
ствования конечного или равного \pm \infty предела \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
являются необходимыми для
существования P\omega (Y0,\pm \infty )-решений дифференциального уравнения (1.1).
Далее, предполагая выполненными условия \scrN , выясним вопрос о фактическом существо-
вании P\omega (Y0,\pm \infty )-решений дифференциального уравнения (1.1) и получим асимптотические
представления при t \uparrow \omega для таких решений и их производных первого порядка. При этом
наряду с введенными ранее будем использовать следующие обозначения:
H(t) =
L2(t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
L\prime (t)\varphi (\pi \omega (t)L(t))
, q1(t) =
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\pi \omega (t)L(t)
, q2(t) =
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\pi \omega (t)L(t)
,
e1(t) = 1 +
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
, e2(t) = 2 +
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
80 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
и дополнительно предполагать, что существуют конечные или равные \pm \infty пределы
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
L(t)
L\prime (t)
H \prime (t)
| H(t)| 3/2
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
| H(t)| 1/2 = \gamma 0. (2.10)
В силу (2.5) и (2.6)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
ei(t) = 1, i = 1, 2. (2.11)
Если же учесть, что
H(t) =
L(t)
\pi \omega (t)L\prime (t)
\pi \omega (t)L(t)\varphi
\prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
,
\varphi (y)\varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime 2(y)
=
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2 + 1,
то согласно условиям (2.5), (1.2) и (1.4) будем иметь
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
H(t) = \pm \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q1(t) = 0. (2.12)
Наконец, покажем, что при указанных предположениях первый из пределов (2.10) равен нулю.
Допустим противное. Тогда
L(t)
L\prime (t)
H \prime (t)
| H(t)| 3/2
= b(t), где \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
b(t) =
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 0,
\pm \infty .
(2.13)
Разделив это соотношение на
L(t)
L\prime (t)
и затем проинтегрировав полученное соотношение от t0
до t, получим
- 2| H(t)| - 1/2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t) = C +
t\int
t0
L\prime (\tau )b(\tau ) d\tau
L(\tau )
, (2.14)
где C — некоторая вещественная постоянная. Здесь
t\int
t0
L\prime (\tau )b(\tau ) d\tau
L(\tau )
= \mathrm{l}\mathrm{n} | L(t)|
\int t
t0
L\prime (\tau )b(\tau ) d\tau
L(\tau )
\mathrm{l}\mathrm{n} | L(t)|
и согласно первому из условий (2.5) и правилу Лопиталя в форме Штольца
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\mathrm{l}\mathrm{n} | L(t)| = \pm \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\int t
t0
L\prime (\tau )b(\tau ) d\tau
L(\tau )
\mathrm{l}\mathrm{n} | L(t)|
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
b(t).
Поэтому из (2.14) с учетом второго из условий (2.13) имеем
- 2| H(t)| - 1/2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t) - \rightarrow \pm \infty при t \uparrow \omega .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 81
Однако это невозможно, так как выражение, стоящее слева, в силу первого из условий (2.12)
стремится к нулю при t \uparrow \omega . Тем самым получено противоречие. Значит,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
L(t)
L\prime (t)
H \prime (t)
| H(t)| 3/2
= 0. (2.15)
Поэтому при указанных выше предположениях следует считать, что выполнено условие (2.15).
При 0 < | \gamma 0| \leq +\infty справедливы два следующих утверждения.
Теорема 2.2. Пусть выполняются условия \scrN , (2.15) и \gamma 0 = \pm \infty . Тогда: 1) если \alpha 0\mu 0 > 0,
то дифференциальное уравнение (1.1) имеет однопараметрическое семейство P\omega (Y0,\pm \infty )-
решений, допускающих при t \uparrow \omega асимптотические представления
y(t) = \pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
o(1), (2.16)
y\prime (t) =
\bigl[
L(t) + \pi \omega (t)L
\prime (t)
\bigr] \Bigl[
1 + | H(t)| - 1/2o(1)
\Bigr]
; (2.17)
2) если \alpha 0\mu 0 < 0 и выполняются условия
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
[r(t) + 1 - e2(t)]
\left( t\int
t0
L\prime (\tau )| H(\tau )| 1/2 d\tau
L(\tau )
\right) 2 = 0, (2.18)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
| H(t)| - 1/2
\biggl(
1
2
e1(t)
e2(t)
L(t)
L\prime (t)
H \prime (t)
H(t)
- 1
\biggr) t\int
t0
L\prime (\tau )| H(\tau )| 1/2 d\tau
L(\tau )
= 0, (2.19)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\biggl(
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
| H(t)| 1/2
\biggr) - 1\biggl( e2(t) - e1(t)
e2(t)
L\prime (t)
L\prime \prime (t)
H \prime (t)
H(t)
+ 1
\biggr) t\int
t0
L\prime (\tau )| H(\tau )| 1/2 d\tau
L(\tau )
= 0,
(2.20)
то дифференциальное уравнение (1.1) имеет по крайней мере одно P\omega (Y0,\pm \infty )-решение, до-
пускающее при t \uparrow \omega асимптотические представления
y(t) = \pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\left( t\int
t0
L\prime (\tau )| H(\tau )| 1/2 d\tau
L(\tau )
\right) - 1
o(1), (2.21)
y\prime (t) =
\bigl[
L(t) + \pi \omega (t)L
\prime (t)
\bigr] \left[ 1 + | H(t)| - 1/2
\left( t\int
t0
L\prime (\tau )| H(\tau )| 1/2 d\tau
L(\tau )
\right) - 1
o(1)
\right] . (2.22)
Теорема 2.3. Пусть выполняются условия \scrN , (2.15) и 0 < | \gamma 0| < +\infty . Тогда:
1) если \alpha 0\mu 0 > 0, то дифференциальное уравнение (1.1) имеет однопараметрическое семей-
ство P\omega (Y0,\pm \infty )-решений, допускающих при t \uparrow \omega асимптотические представления (2.16),
(2.17); 2) если \alpha 0\mu 0 < 0, то при \alpha 0\nu 1\gamma 0 < 0 дифференциальное уравнение (1.1) имеет дву-
параметрическое семейство P\omega (Y0,\pm \infty )-решений, допускающих при t \uparrow \omega асимптотические
представления (2.16), (2.17), а при \alpha 0\nu 1\gamma 0 > 0 уравнение (1.1) имеет по крайней мере одно
такое решение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
82 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Доказательство теорем 2.2 и 2.3. Уравнение (1.1) с помощью замен
y(t) = \pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
y1(t),
y\prime (t) =
\bigl[
L(t) + \pi \omega (t)L
\prime (t)
\bigr]
[1 + y2(t)]
(2.23)
сведем с учетом введенных обозначений к системе дифференциальных уравнений
y\prime 1 =
L(t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))e1(t)
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
[q1(t)y1 + y2],
y\prime 2 =
L\prime (t)e2(t)
L(t)e1(t)
\biggl[
\alpha 0p(t)\varphi (Y (t, y1))
L\prime (t)e2(t)
- (1 + y2)
\biggr]
,
(2.24)
где
Y (t, y1) = \pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
y1.
Здесь в силу представления (2.9)
\alpha 0p(t)\varphi (Y (t, y1))
L\prime (t)e2(t)
=
[1 + r(t)]\varphi (Y (t, y1))
e2(t)\varphi (\pi \omega (t)L(t))
.
Разлагая при фиксированном t \in [t1, \omega [ функцию, стоящую справа, по формуле Маклорена
с остаточным членом в форме Лагранжа до членов второго порядка, получаем
[1 + r(t)]\varphi (Y (t, y1))
e2(t)\varphi (\pi \omega (t)L(t))
=
1 + r(t)
e2(t)
(1 + y1) +R(t, y1), (2.25)
где
R(t, y1) =
1 + r(t)
2e2(t)
\varphi \prime \prime
\biggl(
\pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\xi
\biggr)
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
y21, | \xi | < | y1| .
Поскольку
Y (t, \xi ) = \pi \omega (t)L(t)
\left[ 1 + 1
\pi \omega (t)L(t)\varphi
\prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\xi
\right] ,
то в силу второго из условий (2.5), третьего из условий (1.2) и второго из условий (1.4)
\varphi \prime \prime
\biggl(
\pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\xi
\biggr)
=
\varphi \prime 2
\biggl(
\pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\xi
\biggr)
\varphi
\biggl(
\pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\xi
\biggr) \bigl[
1 + d1(t, y1)
\bigr]
,
где
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
d1(t, y1) = 0 равномерно по y1 \in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 83
Согласно лемме 1.2 функции \varphi ,\varphi \prime принадлежат \Gamma Y0(Z0) c дополняющей функцией g(y) =
=
\varphi (y)
\varphi \prime (y)
. Поэтому в силу второго из условий (2.5) и предельного соотношения (1.6) последнее
асимптотическое соотношение может быть записано в виде
\varphi \prime \prime
\biggl(
\pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\xi
\biggr)
=
\varphi \prime 2(\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
e\xi
\bigl[
1 + d2(t, y1)
\bigr]
,
где
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
d2(t, y1) = 0 для любого y1 \in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
.
Отсюда следует, что
R(t, y1) =
1 + r(t)
2e2(t)
e\xi [1 + d2(t, y1)]y
2
1, | \xi | < | y1| .
В cилу этого представления и условий \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
r(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
e2(t) = 1 для любого \varepsilon > 0
существуют t1 \in [t0, \omega [ и 0 < \delta \leq 1
2
такие, что
| R(t, y1)| \leq
1
2
(1 + \varepsilon )| y1| 2 при t \in [t1, \omega [, | y1| \leq \delta . (2.26)
Выбрав произвольным образом число \varepsilon > 0, будем далее рассматривать систему уравне-
ний (2.24) на множестве
\Omega = [t1, \omega [\times D, где D =
\bigl\{
(y1, y2) \in \BbbR 2; | y1| \leq \delta , | y2| < 1
\bigr\}
.
В силу (2.25) система (2.24) на этом множестве имеет вид
y\prime 1 =
L(t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))e1(t)
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\bigl[
q1(t)y1 + y2
\bigr]
,
y\prime 2 =
L\prime (t)e2(t)
L(t)e1(t)
\biggl[
1 + r(t) - e2(t)
e2(t)
+
1 + r(t)
e2(t)
y1 - y2 +R(t, y1)
\biggr]
,
(2.27)
где функция R удовлетворяет оценке (2.26).
Чтобы асимптотически „уравнять” коэффициенты при неизвестных функциях в уравнениях
системы, применим к (2.27) дополнительное преобразование
y1(t) = v1(t), y2(t) = | H(t)| - 1/2v2(t). (2.28)
В результате получим с учетом вида функции H и знаков функций L\prime , \varphi \prime систему дифферен-
циальных уравнений
v\prime 1 = h(t)
\bigl[
c11(t)v1 + c12(t)v2
\bigr]
,
v\prime 2 = h(t)
\biggl[
f(t) + c21(t)v1 + c22(t)v2 +
e2(t)
e21(t)
R(t, v1)
\biggr]
,
(2.29)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
84 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
h(t) =
L\prime (t)e1(t)
L(t)
| H(t)| 1/2, f(t) =
1 + r(t) - e2(t)
e21
,
c11(t) = \alpha 0\mu 0q1(t)| H(t)| 1/2, c12(t) \equiv \alpha 0\mu 0, c21(t) =
1 + r(t)
e21(t)
,
c22(t) =
1
2
1
e1(t)
L(t)
L\prime (t)
H \prime (t)
| H(t)| 3/2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t) - e2(t)
e21(t)
| H(t)| - 1/2.
Для установления существования решений дифференциального уравнения (1.1) с асимпто-
тическими представлениями (2.16), (2.17) в силу замен (2.23) и (2.28) достаточно показать,
что система дифференциальных уравнений (2.29) имеет решения, стремящиеся к нулю при
t \uparrow \omega . Доказательство этого факта проведем с использованием известных результатов о су-
ществовании исчезающих в особой точке решений систем квазилинейных дифференциальных
уравнений, полученных в работах [11, 12].
В силу первых из условий (2.4), (2.5), (2.12), а также (2.11)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
t\int
t1
h(\tau ) d\tau = \pm \infty . (2.30)
Кроме того, согласно условиям (2.11), (2.12), (2.15) и (2.26) имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
f(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c12(t) = \alpha 0\mu 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c21(t) = 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c22(t) = 0
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
v1\rightarrow 0
e2(t)
e21(t)
R(t, v1)
v1
= 0 равномерно по t \in [t1, \omega [.
Осталось лишь выяснить асимптотические при t \uparrow \omega свойства коэффициента c11.
Поскольку
H \prime (t) =
\biggl(
L2(t)
L\prime (t)
\biggr) \prime
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
+
L2(t)
L\prime (t)
\bigl(
L(t) + \pi \omega (t)L
\prime (t)
\bigr) \biggl( \varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\pi \omega (t)L(t)
,
то
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\pi \omega (t)L(t)
=
H \prime (t)
L2(t)
L\prime (t)
(L(t) + \pi \omega (t)L\prime (t))
- \varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\biggl(
L2(t)
L\prime (t)
\biggr) \prime
L2(t)
L\prime (t)
(L(t) + \pi \omega (t)L\prime (t))
.
Используя это соотношение, находим
q1(t)| H(t)| 1/2 = H \prime (t)| H(t)| 1/2
L3(t)
L\prime (t)
e1(t)
\biggl(
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\biggr) 2 -
\biggl(
L2(t)
L\prime (t)
\biggr) \prime
| H(t)| 1/2
L3(t)
L\prime (t)
e1(t)
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 85
=
L(t)
L\prime (t)e1(t)
H \prime (t)
| H(t)| 3/2
-
2 - L(t)L\prime \prime (t)
L\prime 2(t)
e1(t)| H(t)| 1/2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t)
.
Здесь в силу последнего из условий (2.5) и первого из (2.6)
L(t)L\prime \prime (t)
L\prime 2(t)
=
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
L(t)
\pi \omega (t)L\prime (t)
- \rightarrow \pm \infty при t \uparrow \omega .
Поэтому
q1(t)| H(t)| 1/2 = L(t)
L\prime (t)e1(t)
H \prime (t)
| H(t)| 3/2
- 1 + o(1)
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
e1(t)| H(t)| 1/2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t)
при t \uparrow \omega .
(2.31)
При этом также заметим, что
e1(t)q1(t)| H(t)| 1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t) =
e2(t) - e1(t)
e2(t)
L(t)
L\prime (t)
H \prime (t)
| H(t)| 3/2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t)+
+
\pi \omega (t)L
\prime \prime (t)
L\prime (t)
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
| H(t)| 1/2
+
2e21(t)
e2(t)
c22(t). (2.32)
В (2.31) первое слагаемое, стоящее справа, в силу (2.15) стремится к нулю при t \uparrow \omega , а
второе имеет при t \uparrow \omega предел, равный нулю в случае \gamma 0 = \pm \infty и - \alpha 0\mu 0
\gamma 0
в случае, когда
0 < | \gamma 0| < +\infty . Поэтому рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
Предположим сначала, что \gamma 0 = \pm \infty . В этом случае \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c11(t) = 0 и предельная матрица
коэффициентов, стоящих при v1 и v2 в квадратных скобках уравнений системы (2.29), имеет
вид \Biggl(
0 \alpha 0\mu 0
1 0
\Biggr)
.
Характеристическим уравнением этой матрицы является алгебраическое уравнение
\rho 2 - \alpha 0\mu 0 = 0. (2.33)
Если \alpha 0\mu 0 > 0, то данное уравнение имеет корни \rho 1,2 = \pm 1, и тогда на основании теоре-
мы 2.2 из работы [11] система дифференциальных уравнений (2.29) имеет однопараметрическое
семейство решений (v1, v2) : [t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR 2, t\ast \in [t1, \omega [, стремящихся к нулю при t \uparrow \omega . Каждому
такому решению в силу замен (2.23), (2.28) соответствует решение y : [t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR , t\ast \in [a, \omega [,
дифференциального уравнения (1.1), допускающее при t \uparrow \omega асимптотические представления
(2.16), (2.17), причем с использованием этих представлений и условий (2.4), (2.5), (2.9), \varphi \in
\in \Gamma Y0(Z0) нетрудно также убедиться в том, что любое из них является P\omega (Y0,\pm \infty )-решением
дифференциального уравнения (1.1). Значит, справедливо первое утверждение теоремы 2.2.
Если \alpha 0\mu 0 < 0, то характеристическое уравнение (2.33) имеет чисто мнимые корни \rho 1,2 =
= \pm i (критический случай). В этом случае в системе (2.29) выполним замену независимой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
86 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
переменной, положив
x =
t\int
t0
| h(\tau )| d\tau , vi(t) = wi(x), i = 1, 2. (2.34)
В результате получим систему дифференциальных уравнений
w\prime
1 = C11(x)w1 + C12(x)w2,
w\prime
2 = F (x) + C21(x)w1 + C22(x)w2 +W (x,w1),
(2.35)
в которой
C11(x(t)) = \beta c11(t), C12(x) = \beta \alpha 0\mu 0, F (x(t)) = \beta f(t),
C21(x(t)) = \beta c21(t), C22(x(t)) = \beta c22(t), W (x(t), w1) =
\beta e2(t)
e21(t)
R(t, w1),
где \beta = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} [L(t)L\prime (t)] .
В силу (2.11) и (2.30)
x\prime (t) > 0 при t \in [t2, \omega [ и x(t) - \rightarrow +\infty при t \uparrow \omega ,
где t2 — некоторое число из промежутка [t1, \omega [. Поэтому в силу выполнения в данном случае
условий (2.18) – (2.20) с учетом (2.33) имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
x2F (x) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
xCii(x) = 0, i = 1, 2,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
x[C21(x) - 1] = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
x[C12(x) - \alpha 0\mu 0] = 0.
Кроме того, согласно неравенству (2.26) справедлива оценка
x2
\bigm| \bigm| \bigm| W\Bigl( x, w1
x
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| < e2(t(x))
2e21(t(x))
(1 + \varepsilon )w2
1 при x \in [x2,+\infty [ и
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w1
x2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \delta , x2 = x(t2),
откуда с учетом (2.11) следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
w1\rightarrow 0
x2W
\Bigl(
x,
w1
x
\Bigr)
w1
= 0 равномерно по x \in [x2,+\infty [.
Тем самым показано, что для системы дифференциальных уравнений (2.35) выполнены все
условия теоремы 2.2 из работы [12]. Согласно этой теореме система дифференциальных урав-
нений (2.35) имеет по крайней мере одно решение (w1, w2) : [x\ast ,+\infty [ - \rightarrow \BbbR 2, x\ast \in [x2,+\infty [,
удовлетворяющее асимптотическим соотношениям
wi(x) = o
\biggl(
1
x
\biggr)
, i = 1, 2, при x \rightarrow +\infty .
Этому решению системы (2.35) в силу замен (2.23), (2.28) и (2.34) соответствует решение y :
[t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR , t\ast \in [a, \omega [, дифференциального уравнения (1.1), допускающее при t \uparrow \omega асимп-
тотические представления (2.21), (2.22) и являющееся P\omega (Y0,\pm \infty )-решением уравнения (1.1).
Следовательно, справедливо второе утверждение теоремы 2.2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 87
Теперь рассмотрим случай, когда 0 < | \gamma 0| < +\infty . В этом случае из (2.31) с учетом (2.15)
следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c11(t) = - \alpha 0\mu 0
\gamma 0
.
Поэтому характеристическое уравнение предельной матрицы коэффициентов при v1 и v2, сто-
ящих в квадратных скобках системы (2.29), имеет, в отличие от (2.33), следующий вид:
\rho 2 +
\alpha 0\mu 0
\gamma 0
\rho - \alpha 0\mu 0 = 0.
Это уравнение при \alpha 0\mu 0 > 0 (т. е. когда \alpha 0\mu 0 = 1) имеет два вещественных корня различных
знаков, а при \alpha 0\mu 0 < 0 (т. е. когда \alpha 0\mu 0 = - 1) — либо два вещественных корня такого же
знака, как у \gamma 0, либо два комплексных корня с вещественной частью такого же знака, как у \gamma 0.
Кроме того, согласно условиям (2.4), (2.6) и (2.1)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}h(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}
\bigl[
L(t)L\prime (t)
\bigr]
= \alpha 0\nu 0\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} [\pi \omega (t)] = \alpha 0\nu 1 при t \in [t1, \omega [.
В силу вышеизложенного система дифференциальных уравнений (2.29) имеет на основании
теоремы 2.2 из работы [11] по крайней мере одно решение (v1, v2) : [t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR 2, t\ast \in [t1, \omega [,
стремящееся к нулю при t \uparrow \omega , причем таких решений существует однопараметрическое
семейство, если \alpha 0\mu 0 > 0, и двупараметрическое семейство, если \alpha 0\mu 0 < 0 и \alpha 0\nu 1\gamma 0 < 0.
Каждому такому решению в силу замен (2.23), (2.28) соответствует решение y : [t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR ,
t\ast \in [a, \omega [, дифференциального уравнения (1.1), допускающее при t \uparrow \omega асимптотические
представления (2.16), (2.17) и являющееся P\omega (Y0,\pm \infty )-решением уравнения (1.1). Тем самым
установлена справедливость всех утверждений теоремы 2.3.
Наконец, рассмотрим случай, когда \gamma 0 = 0. В этом случае из (2.31) с учетом условия (2.15)
следует, что
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
q1(t)H(t) = - 1 + o(1) при t \uparrow \omega .
Поэтому в силу вида функций H, q1 и q2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q2(t) = - 1. (2.36)
Следует отметить, что в силу первого из условий (2.4) и второго из (2.5) это предельное
соотношение может иметь место лишь тогда, когда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
= - 1,
т. е. когда функция
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
является правильно меняющейся функцией порядка - 1 при y \rightarrow
\rightarrow Y0. Кроме того, здесь функция, стоящая под знаком предела, не может быть тождественно
равной - 1, так как в противном случае, разделив данное тождество на y и проинтегрировав
на промежутке от y0 до y, получим
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
=
c
y
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
88 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
где c — отличная от нуля вещественная постоянная, что невозможно в силу выполнения усло-
вия (1.4).
В силу вышеизложенного случай \gamma 0 = 0 является в некотором смысле критическим при изу-
чении P\omega (Y0,\pm \infty )-решений дифференциального уравнения (1.1). Его будем далее исследовать
при предположении, что существует конечный или равный \pm \infty предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
1 + q2(t)\biggl(
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
\biggr) 2
H(t)
= \gamma 1. (2.37)
При этом заметим, что здесь отношение функций, стоящее под знаком предела, не может иметь
знак, противоположный знаку числа \alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1.
В самом деле, если
1 + q2(t)\biggl(
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
\biggr) 2
H(t)
= \gamma (t) и \alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1\gamma (t) < 0 при t \in [t1, \omega [,
где t1 — некоторое число из промежутка [t0, \omega [, то имеет место соотношение
q2(t) = - 1 +
\biggl(
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
\biggr) 2
H(t)\gamma (t),
из которого с учетом вида функций q2 и H следует, что
L(t)e1(t)
\biggl(
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\biggr) \prime
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
= - e1(t)
\pi \omega (t)
+ \pi \omega (t)L
\prime (t)e1(t)
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\gamma (t). (2.38)
В силу знаков функций \varphi , \varphi \prime , L\prime , \gamma и (2.1) второе слагаемое, стоящее в (2.38) справа, является
отрицательным при t \in [t1, \omega [. Поэтому после интегрирования (2.38) от t1 до t, получим, что
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = ec
| \pi \omega (t)L(t)|
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
t\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \pi \omega (\tau )L\prime (\tau )e1(\tau )\varphi
\prime (\pi \omega (\tau )L(\tau ))
\varphi (\pi \omega (\tau )L(\tau ))
\gamma (\tau )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau
\right) \leq
\leq ec
| \pi \omega (t)L(t)|
при t \in [t1, \omega [,
где c — некоторая вещественная постоянная. Следовательно, выполняется неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \pi \omega (t)L(t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq ec при t \in ]t1, \omega [,
что невозможно, так как здесь в силу второго из условий (2.5) и (1.4) левая часть стремится к
+\infty при t \uparrow \omega . Значит, в случае, когда функция \gamma отлична от нуля на некотором промежутке
[t1, \omega [, на этом промежутке должно выполняться неравенство \alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1\gamma (t) > 0. Отсюда, в
частности, следует, что при 0 < | \gamma 1| \leq +\infty необходимо рассматривать лишь случай, когда знак
\gamma 1 совпадает со знаком числа \alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 89
Теорема 2.4. Пусть выполняются условия \scrN , (2.15), \gamma 0 = 0 и существует отличный от
- 1 конечный или равный \pm \infty предел (2.37). Тогда дифференциальное уравнение (1.1) имеет по
крайней мере одно P\omega (Y0,\pm \infty )-решение, допускающее при t \uparrow \omega асимптотические представ-
ления
y(t) = \pi \omega (t)L(t) +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
o(1), (2.39)
y\prime (t) =
\bigl[
L(t) + \pi \omega (t)L
\prime (t)
\bigr]
+
\biggl[
1 +
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\pi \omega (t)L(t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
o(1)
\biggr]
. (2.40)
Более того, если \omega < +\infty , то при выполнении одного из условий
либо - 1 < \gamma 1 < 0, либо \gamma 1 = 0 и \alpha 0\mu 0 > 0
дифференциальное уравнение (1.1) имеет однопараметрическое семейство P\omega (Y0,\pm \infty )-реше-
ний с асимптотическими представлениями (2.39), (2.40), а если \omega = +\infty , то таких решений
существует двупараметрическое семейство в случаях, когда
либо - 1 < \gamma 1 < 0, либо \gamma 1 = 0 и \alpha 0\mu 0 < 0,
и однопараметрическое семейство в случаях, когда
либо - \infty \leq \gamma 1 < - 1, либо 0 < \gamma 1 \leq +\infty .
Доказательство. Сначала точно так же, как при доказательстве теорем 2.2, 2.3, диффе-
ренциальное уравнение (1.1) с помощью замен (2.23) сведем к системе дифференциальных
уравнений (2.27). При этом таким же образом, как в доказательстве теорем, выбираем числа
\varepsilon > 0, \delta > 0 и t1 \in [t0, \omega [. Далее, применяя к (2.27) преобразование
y1(t) = w1(t), y2(t) =
\varphi (\pi \omega (t)L(t))
\pi \omega (t)L(t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
w2(t), (2.41)
получаем систему дифференциальных уравнений
w\prime
1 = h1(t)
\bigl[
c11(t)w1 + c12(t)w2
\bigr]
,
w\prime
2(t) = h2(t)
\bigl[
f(t) + c21(t)w1 + c22(t)w2 +R(t, w1)
\bigr]
,
(2.42)
где
h1(t) =
e1(t)
\pi \omega (t)
, h2(t) =
\pi \omega (t)L
\prime (t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))e2(t)
\varphi (\pi \omega (t)L(t))e1(t)
, f(t) =
1 + r(t) - e2(t)
e2(t)
,
c11(t) = q2(t), c12(t) \equiv 1, c21(t) =
1 + r(t)
e2(t)
,
c22(t) =
e21(t)[1 + q2(t)]
e2(t)
\biggl(
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
\biggr) 2
H(t)
- \varphi (\pi \omega (t)L(t))
\pi \omega (t)L(t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))
.
В этой системе в силу условий \scrN , (1.4), (2.36), (2.37) и \gamma 0 = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
90 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
h1(t)h2(t) \not = 0, t \in [t1, \omega [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
h2(t)
h1(t)
= 0,
t\int
t1
h2(\tau ) d\tau = \pm \infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c11(t) = - 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c12(t) = 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
f(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c21(t) = 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c22(t) = \gamma 1
и функция R такова, что справедлива оценка (2.26).
Если \gamma 1 = \pm \infty , то, вынося во втором уравнении системы (2.42) первое слагаемое в
функции c22 за квадратную скобку, получаем почти треугольную систему уравнений, для
которой выполнены все условия теоремы 2.1 из работы [11]. Согласно этой теореме сис-
тема дифференциальных уравнений (2.42) имеет по крайней мере одно решение (w1, w2) :
[t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR 2, t\ast \in [t1, \omega [, стремящееся к нулю при t \uparrow \omega , причем таких решений существует
m-параметрическое семейство (m \in \{ 1; 2\} ), если среди функций
- h1(t) = - e1(t)
\pi \omega (t)
,
(2.43)
h2(t)
1 + q2(t)\biggl(
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
\biggr) 2
H(t)
=
\pi \omega (t)L
\prime (t)\varphi \prime (\pi \omega (t)L(t))e2(t)
\varphi (\pi \omega (t)L(t))e1(t)
1 + q2(t)\biggl(
\pi \omega (t)L
\prime (t)
L(t)
\biggr) 2
H(t)
имеется m отрицательных функций в некоторой левой окрестности \omega . Каждому такому ре-
шению системы (2.42) соответствует в силу замен (2.23) и (2.41) решение y : [t\ast , \omega
\bigl[
- \rightarrow \BbbR ]
\bigr]
дифференциального уравнения (1.1), допускающее при t \uparrow \omega асимптотические представления
(2.39), (2.40). Также заметим, что знак \gamma 1, как было установлено перед формулировкой тео-
ремы 2.4, совпадает со знаком числа \alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1, и при этом в силу (2.1) \nu 0\nu 1 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\pi \omega (t).
Поэтому вторая функция в (2.43) является положительной в левой окрестности \omega . Первая
же из них будет отрицательной лишь при \omega = +\infty . Значит, в силу теоремы 2.1 из [11] при
\omega = +\infty уравнение (1.1) имеет однопараметрическое семейство решений с асимптотическими
представлениями (2.39), (2.40).
Пусть теперь 0 \leq | \gamma 1| < +\infty и при этом \gamma 1 \not = - 1. В этом случае в системе (2.42) предельная
матрица коэффициентов cij(t), i, j = 1, 2, имеет вид
C2 =
\Biggl(
- 1 1
1 \gamma 1
\Biggr)
.
Поскольку \gamma 1 \not = - 1, то определитель этой матрицы отличен от нуля и сумма элементов второй
строки матрицы не равна нулю. Кроме того, сумма элементов первой строки данной матрицы
равна нулю. В силу этих и указанных выше условий на функции h1, h2, f и R в данном слу-
чае для системы дифференциальных уравнений (2.42) выполнены все условия теоремы 2.7 из
работы [11]. На основании этой теоремы система (2.42) имеет хотя бы одно решение (w1, w2) :
[t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR 2, t\ast \in [t1, \omega [, стремящееся к нулю при t \uparrow \omega , причем таких решений в слу-
чае выполнения неравенства \alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1(1 + \gamma 1) < 0 существует однопараметрическое семей-
ство при \omega < +\infty , двупараметрическое при \omega = +\infty , а в случае выполнения неравенства
\alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1(1 + \gamma 1) > 0 — однопараметрическое семейство таких решений при \omega = +\infty . В силу
замен (2.23) и (2.41) каждому такому решению системы дифференциальных уравнений (2.42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 91
соответствует решение y :
\bigl[
t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR ]
\bigr]
дифференциального уравнения (1.1), допускающее
при t \uparrow \omega асимптотические представления (2.39), (2.40). Заметим, что при \gamma 1 \not = 0 имеет место
равенство
\alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1(1 + \gamma 1) =
(1 + \gamma 1)\gamma 1
| \gamma 1|
,
справедливость которого следует из установленного перед формулировкой теоремы 2.4 нера-
венства \alpha 0\mu 0\nu 0\nu 1\gamma 1 > 0. Учитывая этот факт и указанное выше заключение о количестве
исчезающих в \omega решений системы (2.42), приходим к выводу, что справедливо утверждение
теоремы.
Замечание 2.1. Случаи \gamma 0 = 0 и \gamma 1 = - 1 требует дальнейшего исследования.
Литература
1. Marić V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. – 2000. – 1726. – 128 p.
2. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation // Encyclopedia Math. and Appl. – Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 1987. – 494 p.
3. Евтухов В. М., Дрик Н. Г. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференци-
альных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. – 1980. – 130, № 1. – С. 29 – 32.
4. Evtukhov V. M., Drik N. G. Asymptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differential equation //
Georg. Math. J. – 1996. – 3, № 2. – P. 101 – 120.
5. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с
экспоненциальной нелинейностью // Нелiнiйнi коливання. – 2002. – 5, № 3. – С. 306 – 325.
6. Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений дифференциального уравнения n-го порядка с
экспоненциальной нелинейностью // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 4. – С. 562 – 573.
7. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений двучленных неавтономных обык-
новенных дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Дифференц.
уравнения. – 2008. – 44, № 3. – С. 308 – 322.
8. Евтухов В. М., Харьков В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 9. – С. 1311 – 1323.
9. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2011. –
47, № 5. – С. 628 – 650.
10. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
11. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. –
С. 52 – 80.
12. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях неавтономных систем квазилинейных дифферен-
циальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 4. – С. 441 – 452.
Получено 29.11.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1420 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:02Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1e/ae9b683f65fc23c76e0ffb44b10b8b1e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14202019-12-05T08:54:16Z On the asymptotic of solutions of second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities Об асимптотике решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющимися нелинейностями Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. We establish the conditions of existence for one class of monotone solutions of two-term nonautonomous differential equations of the second order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations of these solutions and their first-order derivatives as $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty )$. Встановлено умови iснування одного класу розв’язкiв двочленного неавтономного диференцiального рiвняння другого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також асимптотичнi при $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty )$ зображення для таких розв’язкiв та їхнiх похiдних першого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1420 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 1 (2019); 73-91 Український математичний журнал; Том 71 № 1 (2019); 73-91 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1420/404 Copyright (c) 2019 Evtukhov V. M.; Chernikova A. G. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. On the asymptotic of solutions of second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title | On the asymptotic of solutions of second-order differential
equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_alt | Об асимптотике решений обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка с быстро меняющимися нелинейностями |
| title_full | On the asymptotic of solutions of second-order differential
equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_fullStr | On the asymptotic of solutions of second-order differential
equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_full_unstemmed | On the asymptotic of solutions of second-order differential
equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_short | On the asymptotic of solutions of second-order differential
equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_sort | on the asymptotic of solutions of second-order differential
equations with rapidly varying nonlinearities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1420 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm ontheasymptoticofsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT chernikovaag ontheasymptoticofsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm ontheasymptoticofsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT černikovaag ontheasymptoticofsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm ontheasymptoticofsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT černikovaag ontheasymptoticofsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtukhovvm obasimptotikerešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT chernikovaag obasimptotikerešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm obasimptotikerešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT černikovaag obasimptotikerešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm obasimptotikerešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT černikovaag obasimptotikerešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi |