On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion of point charges in the absence of neutrality
The existence of holomorphic (in time) solutions of the nonrelativistic equations of motion of nonneutral systems of point charges that do not contain inverse powers of the velocity of light greater than three is proved by using the Cauchy theorem. The indicated equations contain time derivatives of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1423 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507171597320192 |
|---|---|
| author | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_facet | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_sort | Skrypnik, W. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:16Z |
| description | The existence of holomorphic (in time) solutions of the nonrelativistic equations of motion of nonneutral systems of point
charges that do not contain inverse powers of the velocity of light greater than three is proved by using the Cauchy theorem.
The indicated equations contain time derivatives of the accelerations of charges. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ПОСТ-ДАРВIНIВСЬКЕ НАБЛИЖЕННЯ РIВНЯНЬ РУХУ
МАКСВЕЛЛА – ЛОРЕНЦА ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ.
ВIДСУТНIСТЬ НЕЙТРАЛЬНОСТI
The existence of holomorphic (in time) solutions of the nonrelativistic equations of motion of nonneutral systems of point
charges that do not contain inverse powers of the velocity of light greater than three is proved by using the Cauchy theorem.
The indicated equations contain time derivatives of the accelerations of charges.
На основi теореми Кошi доведено iснування голоморфних за часом розв’язкiв нерелятивiстських рiвнянь руху
системи точкових зарядiв без умови нейтральностi, якi не мiстять обернених степенiв швидкостi свiтла бiльше
трьох. Зазначенi рiвняння мiстять часовi похiднi прискорень зарядiв.
1. Вступ i основний результат. Будемо розглядати наближене рiвняння руху n точкових
зарядiв e1, . . . , en третього порядку нерелятивiстської електродинамiки Максвелла – Лоренца.
Це рiвняння дозволяє випромiнення зарядiв, мiстить оберненi степенi швидкостi свiтла менше
чотирьох i має вигляд (див. [1], роздiл 75)
d
dt
\partial L(t)
\partial vj
- \partial L(t)
\partial xj
=
2
3c3
ej
n\sum
l=1
d3xl
dt3
el, j \in (n) = (1, . . . , n),
де L(t) — лагранжiан Дарвiна n нерелятивiстських точкових зарядiв, що характеризуються
координатами xj =
\bigl(
x1j , x
2
j , x
3
j
\bigr)
\in \BbbR 3 та швидкостями
dxj
dt
= \.xj = vj =
\bigl(
v1j , v
2
j , v
3
j
\bigr)
\in \BbbR 3,
залежними вiд часу t,
L = L1 - U(x(n)),
U(x(n)) =
1
2
n\sum
j \not =k=1
ekej | xk - xj | - 1,
L1 =
n\sum
j=1
mj
2
| vj | 2 +
n\sum
j \not =k=1
ekej(2c)
- 2[(vj , vk)| xk - xj | - 1+
+| xk - xj | - 3(vj , xk - xj)(vk, xk - xj)],
(xk, xk) = | xk| 2 = (x1k)
2 + (x2k)
2 + (x3k)
2,
mj — маси точкових зарядiв ej . Енергiя H = L1 + U(x(n)) є сталою для рiвняння Дарвiна,
породженого L (див. [2], роздiл 41).
Легко бачити, що
L1 =
1
2
n\sum
j,k=1
3\sum
\alpha ,\beta
Kj,\alpha ;k,\beta (x(n))v
\alpha
j v
\beta
k ,
де
Kj,\alpha ;k,\beta (x(n)) = mj\delta j,k\delta \alpha ,\beta +K \prime
j,\alpha ;k,\beta (x(n)),
c\bigcirc В. I. СКРИПНИК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1 117
118 В. I. СКРИПНИК
K \prime
j,\alpha ;k,\beta (x(n)) = (1 - \delta j,k)(2c
2) - 1ejek[\delta \alpha ,\beta | xk - xj | - 1+
+| xk - xj | - 3(x\alpha k - x\alpha j )(x
\beta
k - x\beta j )], x\alpha j , v
\alpha
j \in \BbbR ,
\delta a,b — символ Кронекера.
Рiвняння нерелятивiстської динамiки Дарвiна, як i у випадку релятивiстської динамiки,
виводяться формально з лагранжiанa для електромагнiтних потенцiалiв та швидкостей точкових
зарядiв фундаментальної моделi Максвелла – Лоренца за допомогою розкладу електромагнiтних
потенцiалiв за степенями оберненої швидкостi свiтла, яка є малим параметром. Цей лагранжiан
так само розкладається за степенями оберненої швидкостi свiтла. Його нульове наближення
збiгається з кулонiвським лагранжiаном. Доданок iз c - 1 збiгається з часовою похiдною повного
заряду системи i є нулем, а доданок iз c - 2 збiгається з лагранжiаном Дарвiна.
Математично строге виведення наближення Дарвiна, що вимагає перенормування мас за-
рядiв, запропоновано в [3, 4].
Нехтуючи доданками, що залежать вiд вищих степенiв c - 1 у спiввiдношеннi мiж iмпуль-
сами i швидкостями частинок, тобто використуючи їхнє звичайне спiввiдношення, отримуємо
наближений (апроксимований) гамiльтонiан Дарвiна, наведений в [1].
У статтях [6, 7] доведено iснування голоморфних за часом розв’язкiв рiвняння Кулона,
рiвняння, породженого апроксимованим гамiльтонiаном Дарвiна, i рiвняння Дарвiна. В цiй
статтi ми отримаємо подiбний результат для вищевказаного наближеного рiвняння руху зарядiв
третього порядку, записаного у виглядi
- \partial L
\partial x\alpha j
+
d
dt
\partial L
\partial v\alpha j
=
3\sum
\beta =1
n\sum
k=1
Kj,\alpha ;k,\beta (x(n))
d2x\beta k
dt2
- Gj,\alpha (x(n); \.x(n)) =
=
2
3c3
ej
n\sum
l=1
d3x\alpha l
dt3
el, j \in (n), (1.1)
Gj,\alpha
\bigl(
x(n); v(n)
\bigr)
=
\partial L
\partial x\alpha j
-
\Biggl(
d
dt
\partial L
\partial v\alpha j
\Biggr)
-
, x(n) = (x1, . . . , xn) \in \BbbR 3n,
де права частина останньої рiвностi у другому доданку не мiстить прискорення зарядiв.
Щоб отримати голоморфнi за часом у диску розв’язки рiвняння (1.1) чи рiвняння Дарвiна,
згiдно з теоремою iснування Кошi, необхiдно знайти гiпердиск за всiма змiнними, в якому
матриця K i функцiя G є голоморфними, та зобразити його у виглядi звичайного диференцi-
ального рiвняння з голоморфною у знайденому гiпердиску правою частиною. Таке зображення
можливе для рiвняння Дарвiна, якщо K має обернену матрицю в такому гiпердиску. Зазначе-
ний пiдхiд для розглядуваного рiвняння є бiльш складним, нiж для рiвняння Дарвiна, оскiльки
матриця Z iз матричними елементами Zj,k = ek, яка визначає його праву частину, не має
оберненої. Вона має n - 1 нульових власних значень та власне значення e\ast =
\sum n
l=1
ej , бо
Z2 = e\ast Z. Це свiдчить про те, що вона є нiльпотентною для нейтральної системи, тобто при
e\ast = 0. Ми будемо розглядати системи без умови нейтральностi i покажемо, що
Z = SZ \prime S - 1,
де Z \prime
k,l = e\ast \delta 1,l\delta 1,k, S
- 1
1,j = ej .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ПРО ПОСТ-ДАРВIНIВСЬКЕ НАБЛИЖЕННЯ РIВНЯНЬ РУХУ МАКСВЕЛЛА – ЛОРЕНЦА . . . 119
Вводячи новi змiннi x\ast = S - 1x, отримуємо рiвняння
3\sum
\beta =1
n\sum
k=1
\~Kj,\alpha ;k,\beta (x\ast (n)) \.v
\beta
\ast k - \~Gj,\alpha (x\ast (n); v\ast (n)) =
2
3c3
\biggl(
Z \prime d
3x\ast
dt3
\biggr) \alpha
j
, (1.2)
де
\~Kj,\alpha ;k,\beta (x\ast (n)) = (S - 1\^e - 1
\ast KS)j,\alpha ;k,\beta (Sx\ast (n)),
\~Gj,\alpha (x\ast (n); v\ast (n)) = (S - 1\^e - 1
\ast G)j,\alpha (Sx\ast (n);Sv\ast (n)),
Sx\ast (n) = (Sx\ast )(n), (\^e\ast y)j = eje\ast yj , (S - 1K)j,\alpha ;k,\beta =
n\sum
l=1
S - 1
j,l Kl,\alpha ;k,\beta .
Це означає, що
Sj,\alpha ;k,\beta = Sj,k\delta \alpha ,\beta , S - 1
j,\alpha ;k,\beta = S - 1
j,k \delta \alpha ,\beta .
Ми записуємо рiвняння (1.2) у формi звичайного диференцiального рiвняння, беручи до уваги,
що \biggl(
Z \prime d
3x\ast
dt3
\biggr)
k
=
d3x\ast 1
dt3
\delta 1,k,
i знаходимо гiпердиск, в якому права частина — голоморфна функцiя, що дасть змогу застосу-
вати теорему iснування Кошi.
Отриманий результат сформульовано у виглядi теореми 1.1, в якiй введено гiпердиск
Dl(r; \xi ) =
\bigl\{
xj : | xj - \xi j | 0 < r, xj , \xi j \in \BbbC , j = 1, . . . , l
\bigr\}
.
Тодi голоморфнi функцiї визначаються рiвномiрно й абсолютно збiжними степеневими розкла-
дами за степенями xj - \xi j при | xj - \xi j | 0 < r.
Якщо xj \in \BbbR d, j = 1, . . . , n, то цей гiпердиск може вiдповiдати будь-якому перенумеруван-
ню цих змiнних у порядку зростання їхнiх номерiв вiд 1 до nd.
Будемо використовувати такi позначення:
| x| 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s,j
| xsj | , xsj \in \BbbR , | Sx| 0 \leq \| S\| | x| 0.
Теорема 1.1. Нехай mj = m + \mu j , 0 \leq \mu j \leq \mu i aj , bj , b - \in \BbbR 3, j \in (n), — такi вектори,
що | aj - al| \geq r1, | bj | 0 \leq r2, | b - | 0 \leq r3. Нехай також
R = (mg1 - \mu g2 - c1g3)
3n - 3 -
-
3n - 5\sum
s=0
(3n - 3 - s)!(3n - 3)s(mg1 + \mu g2 + c1g3)
s(\mu g2 + c1g3)
3n - 3 - s,
де mg1 - \mu g2 - c1g3 > 0, c1 = (2c2r1)
- 1, i додатнi gl, l = 1, 2, 3, залежать лише вiд зарядiв.
Якщо R > 0, то iснує розв’язок рiвняння (1.2) з початковими даними x\ast j(t0) = (S - 1a)j ,
v\ast j(t0) = (S - 1b)j , \.v\ast 1(t0) = b - , t0 \geq 0, такий, що для j \in (n)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
120 В. I. СКРИПНИК
(x\ast j(t); v\ast j(t); \.v\ast 1(t)) \in D3n(r, S
- 1a)\times D3n(r;S
- 1b)\times D3(r; b - ) =
= DS(6n+3)(r; a, b, b - ). (1.3)
Тут \kappa <
1
2
\surd
3(1 +
\surd
2)
, r = \| S\| - 1\kappa r1 i x\ast j(t) — голоморфна функцiя по t у диску | t - t0| < T
для певного T.
Бiльше того, x(t) = Sx\ast (t) є таким розв’язком рiвняння (1.1), що
(xj(t); vj(t)) \in D3n(\kappa r1; a)\times D3n(\kappa r1; b) = D6n(\kappa r1; a, b), j \in (n). (1.4)
Зауваження 1.1. (1.4) випливає з (1.3) та нерiвноcтей
| (Sx)k - ak| 0 = | (S(x - S - 1a))k| 0 \leq \| S\| | x - S - 1a| 0 < \kappa r1,
| (Sv)k - bk| 0 = | (S(v - S - 1b))k| 0 \leq \| S\| | v - S - 1b| 0 < \kappa r1.
Крiм того, (1.3) приводить також до нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
j=1
ej \.vj - b -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \kappa r1.
З (1.4) випливає, що для розв’язкiв рiвняння (1.1) виконується нерiвнiсть
| xj(t) - xl(t)| 0 \geq | aj - al| 0 - | xj(t) - aj | 0 - | xl(t) - al| 0 > (1 - 2\kappa )r1.
Це означає, що зiткнень зарядiв немає для 0 \leq t - t0 < T i \kappa <
1
2
\surd
3(1 +
\surd
2)
.
Теорема 1.1 випливає з теореми Кошi [5, 8] про iснування голоморфних розв’язкiв l-вимiр-
них звичайних диференцiальних рiвнянь з голоморфним векторним полем у результатi редукцiї
рiвнянь (1.2) до них. Найпростiша версiя теореми Кошi формулюється таким чином.
Теорема 1.2. Нехай система l-вимiрних звичайних диференцiальних рiвнянь
\.xj(t) = fj(x(l)), j = 1, . . . , l, x(l) \in \BbbR l, t \geq t0, (1.5)
визначається функцiями fj , якi є голоморфними функцiями змiнних xj в Dl(r; \xi ) i рiвномiрно
обмеженi: | fj | \leq C. Тодi розв’язок xj(t) системи (1.5) з початковими даними \xi j = xj(t0) є
голоморфною функцiєю t у диску | t - t0| < T = r((n+ 1)C) - 1 i належить Dl(r; \xi ).
Ми будемо використовувати такi позначення:
(Mj,k)\alpha ,\beta = Mj,\alpha ;k,\beta = mj\delta j,k\delta \alpha ,\beta , \=e = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j
| ej | ,
\~K = \~M + \~K \prime , \~Mj,k =
n\sum
s,l=1
S - 1
j,l Ml,sSs,k = m\delta j,k +
n\sum
l=1
S - 1
j,l \mu lSl,k,
(x, y) =
n\sum
j=1
xy\ast j , | x| 2 = (x, x), (x, y)\ast = (x, y\ast ), | x| 2\ast = (x, x\ast ),
де зiрочка у верхньому iндексi позначає комплексне спряження. Якщо змiннi мають верхнi
iндекси, то скалярний добуток буде мiстити додаткову суму за ними.
Дана стаття має таку структуру. У другому пунктi рiвняння (1.2) записано у формi (1.5) i
знайдено Q = S - 1. У третьому пунктi доводено теорему 1.1 за допомогою важливих оцiнок iз
леми 3.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ПРО ПОСТ-ДАРВIНIВСЬКЕ НАБЛИЖЕННЯ РIВНЯНЬ РУХУ МАКСВЕЛЛА – ЛОРЕНЦА . . . 121
2. Звичайна форма рiвнянь руху (1.2). Щоб довести теорему 1.1, необхiдно спершу
перетворити рiвняння (1.2) у форму звичайного диференцiального рiвняння (1.5), не вказуючи
на аналiтичний характер його правої частини. Для цього покладемо
\.x\ast j = v\ast j , \.v\ast 1 = u\ast 1.
Тодi рiвняння (1.2) можна записати у виглядi
3\sum
\beta =1
n\sum
k=1
\~Kj,\alpha ;k,\beta (x\ast (n)) \.v
\beta
\ast k - \~Gj,\alpha (x\ast (n); v\ast (n)) = 0, j > 1,
3c3
2
\left[ 3\sum
\beta =1
n\sum
k=1
\~K1,\alpha ;k,\beta (x\ast (n)) \.v
\beta
\ast k - \~G1,\alpha (x\ast (n); v\ast (n))
\right] = \.u\alpha \ast 1,
тобто
3\sum
\beta =1
n\sum
k=2
\~Kj,\alpha ;k,\beta (x\ast (n)) \.v
\beta
\ast k +
3\sum
\beta =1
\~Kj,\alpha ;1,\beta (x\ast (n))u
\beta
\ast 1 - \~Gj,\alpha (x\ast (n); v\ast (n)) = 0, j > 1,
3c3
2
\left[ 3\sum
\beta =1
n\sum
k=2
\~K1,\alpha ;k,\beta (x\ast (n)) \.v
\beta
\ast k +
3\sum
\beta =1
\~K1,\alpha ;1,\beta (x\ast (n))u
\beta
\ast 1 - \~G1,\alpha (x\ast (n); v\ast (n))
\right] = \.u\alpha \ast 1.
Тепер ми повиннi перенумерувати змiннi за допомогою вiдображення
(n)\times (3) \rightarrow (3n) : (j, \alpha ) \rightarrow 3(j - 1) + \alpha ,
x\ast j \rightarrow x\prime j = x
[j]3
\ast [ j
3
]
, v\ast j \rightarrow v\prime j = v
[j]3
\ast [ j
3
]
, u\prime \beta = u\beta \ast 1,
де
[(s - 1)l + k]l = k,
\biggl[
(s - 1)l + k
l
\biggr]
= s, k \leq l, s, k, l \in \BbbZ +.
В результатi перенумерування розглядуване рiвняння руху набирає вигляду
3n\sum
k=4
\~Kj,k(x
\prime
(3n))
\.v\prime k +
3\sum
k=1
\~Kj,k(x
\prime
(3n))u
\prime
k - \~Gj(x
\prime
(3n); v
\prime
(3n)) = 0, j > 3,
3c3
2
\Biggl[
3n\sum
k=4
\~Kj,k(x
\prime
(3n))
\.v\prime k +
3\sum
k=1
\~Kj,k(x
\prime
(3n))u
\prime
k - \~Gj(x
\prime
(3n); v
\prime
(3n))
\Biggr]
= \.u\prime j , j = 1, 2, 3.
Щоб знайти звичайну форму цих рiвнянь, необхiдно визначити матрицю \~K1 з матричними
елементами \~Kj,k, j, k = 4, . . . , 3n, i припустити, що iснує обернена до неї матриця \~K - 1
1 з
елементами \~K
( - 1)
1j.k .
Отже, якщо матриця \~K1 має обернену (ми обґрунтуємо це далi), то розглядуванi рiвняння
мають звичайний вигляд
\.x\prime j = v\prime j ,
\.v\prime j = Vj
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)
\bigr)
, 3 < j \leq 3n, (2.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
122 В. I. СКРИПНИК
\.x\prime j = v\prime j ,
\.v\prime j = u\prime j ,
\.u\prime j = Vj
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)
\bigr)
, j = 1, 2, 3, (2.2)
де
Vj
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)
\bigr)
=
3n\sum
k=4
\~K
( - 1)
1j,k
\bigl(
x\prime (3n)
\bigr)
G\prime
k
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)
\bigr)
, 3 < j \leq 3n,
G\prime
j
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)
\bigr)
= -
3\sum
k=1
\~Kj,k
\bigl(
x\prime (3n)
\bigr)
u\prime k +
\~Gj
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n)
\bigr)
,
Vj
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)
\bigr)
=
=
3c3
2
\Biggl[
- G\prime
j(x
\prime
(3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)) +
3n\sum
k=4
\~Kj,k(x
\prime
(3n))Vk
\bigl(
x\prime (3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3)
\bigr) \Biggr]
, j = 1, 2, 3.
Таким чином, рiвняння (2.1), (2.2) збiгаються з (1.5) при l = 6n+ 3.
Тепер необхiдно знайти матрицю Q з e\ast =
\sum n
l=1
ej \not = 0, виходячи з рiвняння
QZ = Z \prime Q, (2.3)
яке приводить до
Z = Q - 1Z \prime Q,
якщо \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}Q \not = 0. Тут
Zk,l = el, Z \prime
k,l = e\ast \delta 1,l\delta 1,k.
З рiвнянь
(QZ)s,k = ek
n\sum
l=1
Qs,l, (Z \prime Q)s,k = e\ast Qs,k\delta 1,s,
i (2.3) випливає, що
ek
n\sum
l=1
Q1,l = e\ast Q1,k,
n\sum
l=1
Qs,l = 0, s > 1. (2.4)
Iз рiвнянь (2.4) вiдповiдно отримуємо
Q1,k = ek,
Qs,1 = 1, Qs,k = - \delta s,k, s, k > 1.
Матриця Q має вигляд
Q =
\left(
e1 e2 e3 . . . en - 1 en
1 - 1 0 . . . 0 0
1 0 - 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 0 0 . . . 0 - 1
\right)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ПРО ПОСТ-ДАРВIНIВСЬКЕ НАБЛИЖЕННЯ РIВНЯНЬ РУХУ МАКСВЕЛЛА – ЛОРЕНЦА . . . 123
В результатi
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}Q = ( - 1)n - 1e\ast . (2.5)
Щоб довести цю рiвнiсть, потрiбно розкласти її детермiнант за елементами його першого рядка:
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}Q =
n\sum
l=1
( - 1)l - 1el \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}Q\prime
l,
де Q\prime
l — така ((n - 1) \times (n - 1))-матриця, що у її l-му рядку (l > 1) та першому стовпчику
стоїть лише один ненульовий елемент — одиниця. Розкладаючи \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}Q\prime
l за елементами цього
рядка, отримуємо
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}Q\prime
l = ( - 1)l\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t} ( - In - 2) = ( - 1)l( - 1)n - 2,
де In - 2 — одинична ((n - 2)\times (n - 2))-матриця. Це i доводить (2.5).
Неважко перевiрити, що обернену до Q матрицю визначено так:
(Q - 1)j,1 = e - 1
\ast , (Q - 1)j,k = e - 1
\ast ek, k > 1, j \not = k,
(Q - 1)k,k = e - 1
\ast (ek - e\ast ), k > 1,
тобто
Q - 1 = e - 1
\ast
\left(
1 e2 e3 . . . en - 1 en
1 e2 - e\ast e3 . . . en - 1 en
1 e2 e3 - e\ast . . . en - 1 en
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 e2 e3 . . . en - 1 en - e\ast
\right)
.
3. Основнi оцiнки. У статтi [7] доведено, що компоненти матрицi K i вектора G в (1.1) —
це голоморфнi функцiї вiдповiдно в D3n(r; a) i D3n(r; a)\times D3n(r; b) = D6n(r; a, b).
Тепер можна довести, що компоненти матрицi \~K i вектора \~G в (1.2) — це голоморфнi
функцiї вiдповiдно в
D3n(\| S\| - 1r;S - 1a) = DS(3n)(r; a)
i
D3n(\| S\| - 1r;S - 1a)\times D3n(\| S\| - 1r;S - 1b) = DS(6n)(r; a, b).
При цьому ми будемо спиратись на такi твердження i лему.
Твердження 3.1. Нехай f(z1, . . . , zn), zj \in \BbbC , — голоморфна в деякому гiпердиску обме-
жена функцiя, модуль якої бiльший за нуль. Тодi функцiї f - 1,
\surd
f, f - 1/2 голоморфнi в цьому
гiпердиску.
Доведення випливає з леми Осгуда чи другої теореми Гартокса [9], оскiльки зазначено три
функцiї, голоморфнi за кожною зi змiнних zj .
Лема 3.1. Нехай xj \in DS(3n)(r; a) i r = \kappa r1, ak — тi ж, що i в теоремi 1.1. Якщо
\kappa <
1
2
\surd
3(1 +
\surd
2)
, то
\bigm| \bigm| (Sx)j - (Sx)k
\bigm| \bigm| s
0\bigm| \bigm| | (Sx)j - (Sx)k| l\ast
\bigm| \bigm| < \kappa s0\kappa
l/2
2 | ak - aj | s - l \leq \kappa s0\kappa
l/2
2 rs - l
1 , 0 < s < l, (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
124 В. I. СКРИПНИК
де \kappa 0 = 2\kappa + 1, \kappa - 1
2 = 1 - 12\kappa 2 - 2
\surd
12\kappa > 0 i
\bigm| \bigm| (Sx)j - (Sx)k
\bigm| \bigm| l
\ast — голоморфна функцiя в
гiпердиску DS(3n)(r; a), якщо l \in \BbbZ +.
Доведення. Виконуються такi нерiвностi:\bigm| \bigm| (Sx)k - (Sx)j
\bigm| \bigm|
0
\leq | (Sx)k - ak| 0 + | (Sx)j - aj | 0 + | ak - aj | =
=
\bigm| \bigm| (S(x - S - 1a))k
\bigm| \bigm|
0
+
\bigm| \bigm| (S(x - S - 1a))j
\bigm| \bigm|
0
+ | ak - aj | <
< 2\kappa r1 + | ak - aj | \leq \kappa 0| ak - aj | , \kappa 0 = 2\kappa + 1, (3.2)
i \bigm| \bigm| (Sx)k - (Sx)j
\bigm| \bigm| \leq \surd
3
\bigm| \bigm| (Sx)k - (Sx)j
\bigm| \bigm|
0
< \kappa 1| ak - aj | , \kappa 1 =
\surd
3(2\kappa + 1). (3.3)
Тут ми використали нерiвнiсть
| (Sy)k| 0 \leq \| S\| | y| 0, y \in \BbbC n.
Покладемо (Sx)k - ak + aj - (Sx)j = Sxk,j . Тодi
1
2
| Sxk,j | 2 \leq | (Sx)k - ak| 2 + | (Sx)j - aj | 2 \leq
\leq 3| (Sx)k - ak| 20 + 3| (Sx)j - aj | 20 < 6\kappa 2r21 \leq 6\kappa 2| ak - aj | 2. (3.4)
З | x| 2 = | x2| , x \in \BbbC , виводимо\bigm| \bigm| | (Sx)k - (Sx)j | 2\ast
\bigm| \bigm| \leq | ak - aj | 2 + 2| ak - aj | | Sxk,j | + | Sxk,j | 2 <
<
\bigl(
1 + 12\kappa 2 + 2
\surd
12\kappa
\bigr)
| ak - aj | 2 < 2| ak - aj | 2.
З (3.4) випливає, що\bigm| \bigm| | (Sx)k - (Sx)j | 2\ast
\bigm| \bigm| \geq | ak - aj | 2 - 2| ak - aj | | Sxk,j | - | Sxk,j | 2 \geq \kappa - 1
2 | ak - aj | 2.
Функцiя в лiвiй частинi в степенi s голоморфна у зазначеному гiпердиску завдяки твердженню
3.1. З цих нерiвностей та з
\| xj - xk| l\ast | =
\bigm| \bigm| (| xj - xk| 2\ast )l/2
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| | xj - xk| 2\ast
\bigm| \bigm| l/2
отримуємо (3.1). Останнє твердження леми випливає з твердження 3.1.
Лему 3.1 доведено.
Переходимо до оцiнювання матрицi \~K та вектора \~G.
Нехай
| K| SD = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j,k\in (n),\alpha ,\beta \in (3)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x(n)\in DS(3n)(r;a)
\bigm| \bigm| \~Kj,\alpha ;k,\beta (x(n))
\bigm| \bigm|
i
| \~K| SD \leq g1m+ g2\mu + | S| \ast | \^e - 1
\ast K \prime | SD,
де
g1 = (e - \ast )
- 1, g2 = g1| S| \ast , | S| \ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j,k\in (n)
n\sum
l=1
| S - 1
j,l \| Sl,k| , e - \ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
j
| ej | | e\ast | .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ПРО ПОСТ-ДАРВIНIВСЬКЕ НАБЛИЖЕННЯ РIВНЯНЬ РУХУ МАКСВЕЛЛА – ЛОРЕНЦА . . . 125
Враховуючи те, що чисельник у другому доданку у виразi для K \prime менший за | (Sx)j -
- (Sx)k| 20, i застосовуючи (3.1) при s = 0, l = 1 та s = 2, l = 3 вiдповiдно для першого i
другого доданкiв у виразi для K \prime , отримуємо нерiвнiсть
| \^e - 1
\ast K \prime | SD < (2c2r1)
- 1\kappa \ast \=e\ast = c1\kappa \ast \=e\ast ,
де
\kappa \ast =
\surd
\kappa 2(1 + (1 + 2\kappa )2\kappa 2), \=e\ast = \=e| e\ast | - 1.
Наслiдок 3.1. | \~K| SD < mg1 + \mu g2 + c1g3, g3 = \=e\ast | S| \ast .\kappa \ast .
Нерiвностi з леми 3.1 приводять до такої леми.
Лема 3.2. Нехай
| \~G| SD = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\in (n),\alpha \in (3)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,v)(n)\in DS(6n)(r;a,b)
\bigm| \bigm| \~Gj,\alpha (x(n); v(n))
\bigm| \bigm| =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\in (3n)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x\prime ,v\prime )(3n)\in DS(6n)(r;a,b)
\bigm| \bigm| \~Gj(x
\prime
(3n); v
\prime
(3n))
\bigm| \bigm| ,
де змiннi зi штрихами вiдповiдають перенумерованим початковим змiнним. Тодi
| \~G| SD < (n - 1)\| S - 1\| \=e\ast r - 2
1
\bigl[
\eta 0 + c - 2\eta 1(\kappa r1 + r2)
2
\bigr]
= c2,
де
\eta 0 = \kappa 0\kappa
3/2
2 , \eta 1 = \kappa 0\kappa
3/2
2
\Bigl(
9 + 5
\surd
3\kappa 1\kappa
- 1
0 + 15\kappa 21\kappa 2
\Bigr)
.
Доведення. З означення випливає, що\bigm| \bigm| \~Gj,\alpha (x(n); v(n))
\bigm| \bigm| \leq \| S - 1\| | \^e - 1
\ast G| SD.
Для доведення леми потрiбно оцiнити Gj,\alpha (Sx(n);Sv(n)) для x, v \in DS(6n)(r; a, b). Виконаємо
це для першого доданка у виразi для Gj,\alpha з комплексними змiнними. Для комплексних змiнних
ми повиннi замiнити | .| , (., .) на | .| \ast , (., .)\ast . Тодi
\partial L
\partial xj
= ej
n\sum
k=1,k \not =j
ek
\biggl\{
xj - xk
| xj - xk| 3\ast
[1 - (2c2) - 1(vj , vk)\ast ] -
- 3(2c2) - 1| xk - xj | - 5
\ast (xj - xk)(vj , xk - xj)\ast (vk, xk - xj)\ast -
- (2c2) - 1| xk - xj | - 3
\ast [vj(vk, xk - xj)\ast + vk(vj , xk - xj)\ast ]
\biggr\}
.
Для оцiнювання другого i третього доданкiв у правiй частинi потрiбно застосувати нерiвнiсть
для b з теореми 1.1. Тодi\bigm| \bigm| (Sv)k\bigm| \bigm| 0 = \bigm| \bigm| (Sv)k - bk + bk
\bigm| \bigm|
0
\leq | (Sv)k - bk| 0 + r2 =
\bigm| \bigm| (S(v - S - 1b)k
\bigm| \bigm|
0
+ r2 \leq
\leq \| S\| | v - S - 1b| 0 + r2 < r + r2, (3.5)\bigm| \bigm| ((Sv)j , (Sv)k)\ast \bigm| \bigm| \leq | (Sv)j\| (Sv)k| < 3(r + r2)
2. (3.6)
З нерiвностей (3.5), (3.6) та (3.3) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
126 В. I. СКРИПНИК\bigm| \bigm| ((Sv)k, (Sx)j - (Sx)k)\ast
\bigm| \bigm| \leq | (Sv)k\| (Sx)j - (Sx)k| <
\surd
3\kappa 1(r + r2)| aj - ak| . (3.7)
З (3.1) та останнiх нерiвностей випливає, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e - 1
j
\partial L
\partial xj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0
< (n - 1)\=e\ast \kappa 0\kappa
3/2
2 r - 2
1
\Bigl[
1 + (2c2) - 1(3 + 9\kappa 21\kappa 2 + 2
\surd
3\kappa 1\kappa
- 1
0 )(\kappa r1 + r2)
2
\Bigr]
. (3.8)
Крiм того,
\partial L
\partial vj
= mjvj + (2c2) - 1ej
n\sum
k=1,k \not =j
ek\{ vk| xk - xj | - 1+
+| xk - xj | - 3(xk - xj)(vk, xk - xj)\} ,\biggl(
d
dt
\partial L
\partial vj
\biggr)
-
= (2c2) - 1ej
n\sum
k=1,k \not =j
ek\{ | xk - xj | - 3[vk(vj - vk, xk - xj)+
+(vk - vj)(vk, xk - xj) + (xk - xj)(vk, vk(t) - vj(t))]+
+3| xk - xj | - 5(xj - xk)(vj - vk, xj - xk)(vk, xk - xj)\} .
З (3.1) та (3.5) – (3.7) для x = Sx\prime , v = Sv\prime , x\prime , v\prime \in DS(6n)(r; a, b), отримуємо\bigm| \bigm| (vj - vk, xk - xj)\ast
\bigm| \bigm| < 2
\surd
3\kappa 1(r + r2)| aj - ak| ,
1
\| xj - xk| 3\ast |
< \kappa
3/2
2 | ak - aj | - 3,
| vk| 0 < r + r2, | vj - vk| 0 < 2(r + r2),\bigm| \bigm| (vk, vk - vj)\ast
\bigm| \bigm| \leq | (vk, vk)\ast | + | (vk, vj)\ast | < 6(r + r2)
2,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e - 1
j
\biggl(
d
dt
\partial L
\partial vj
\biggr)
-
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0
< 3(n - 1)c - 2\=e\ast (\kappa r1 + r2)
2r - 2
1 \kappa
3/2
2 \kappa 0
\Bigl[ \surd
3\kappa 1\kappa
- 1
0 + 2 + 2\kappa 21\kappa 2
\Bigr]
. (3.9)
Додаючи правi частини (3.8) i (3.9), завершуємо доведення леми 3.2.
Доведення теореми 1.1. Функцiї G\prime
j ,
\~Gj i \~Kj,l голоморфнi у гiпердиску з теореми 1.1.
Для доведення теореми потрiбно показати, що векторне поле у правiй частинi (2.1), (2.2) —
голоморфна функцiя у цьому гiпердиску. Для цього, в свою чергу, потрiбно показати, що
\~K
( - 1)
1j,k — голоморфна функцiя в гiпердиску DS(3n)(r; a). При цьому врахуємо, що
\~K1j,l = \~Kj,l, j, l = 4, . . . , 3n.
Тодi
\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t} \~K1 =
\sum
\sigma \in \pi 0
(3n\setminus 3)
( - 1)| \sigma |
3n\prod
j=4
\~Kj,\sigma j =
=
3n\prod
l=4
\~Kl,l +
3n - 5\sum
s=0
\sum
jk \not =jl \not =1,2,3
s\prod
l=1
\~Kjl,jl
\sum
\sigma \in \pi \prime
(3n)\setminus j(s)\cup (3)
( - 1)| \sigma |
3n - 3 - s\prod
k=1
\~Kj\prime k,\sigma j
\prime
k
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
ПРО ПОСТ-ДАРВIНIВСЬКЕ НАБЛИЖЕННЯ РIВНЯНЬ РУХУ МАКСВЕЛЛА – ЛОРЕНЦА . . . 127
де \cup jk\cup j\prime k = (3n - 3), \pi 0
(3n) — множина перестановок у множинi (3n), \pi \prime
(3n)\setminus j(s)
= \pi \prime
(3n)\setminus (j1,...,js)
— множина перестановок, якi змiнюють всi елементи множини (3n)\setminus j(s), i | \sigma | — число iнверсiй,
тобто число таких пар (\sigma j\prime ;\sigma j) у множинi (\sigma j, j \in (3n)), що j\prime < j i \sigma j\prime > \sigma j [10]. Беручи
до уваги нерiвностi на DS(3n)(r; a)
| \~Kj,k| \leq \mu g2 + | \~K \prime | SD, j \not = k,
| \~Kj,j | \geq mg1 - \mu g2 - | \~K \prime | SD > 0, | \~Kj,j | \leq mg1 + \mu g2 + | \~K \prime | SD
i наслiдок 3.1, отримуємо оцiнку для DS(3n)(r; a):\bigm| \bigm| \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t} \~K1
\bigm| \bigm| > (mg1 - \mu g2 - c1g3)
3n - 3 -
-
3n - 5\sum
s=0
(3n - 3 - s)!(3n - 3)s(mg1 + \mu g2 + c1g3)
s(\mu g2 + c1g3)
3n - 3 - s = R.
Тут ми використали те, що \sum
jk \not =jl \not =1,2,3
1 \leq (3n - 3)s.
Вiдомо, що
K
( - 1)
1j,k (x\prime (3n)) = ( - 1)j+k(\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t} \~K1)
- 1(\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}K -
1j,k)(x
\prime
(3n)),
де K -
1j,k — матриця \~K1 без j -го стовпчика та k-го рядка.
Якщо R > 0, то функцiя \~K
( - 1)
1j,k голоморфна в DS(3n)(r; a) згiдно з твердженням 3.1. Ми
також маємо \bigm| \bigm| \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}K -
1j,k(x
\prime
(3n))
\bigm| \bigm| \leq (3n - 4)!| \~K| 3n - 4
SD , x\prime (3n) \in DS(3n)(r; a).
В результатi \bigm| \bigm| \~K( - 1)
1
\bigm| \bigm|
SD
\leq (3n - 4)!R - 1(mg1 + \mu g2 + c1g3)
3n - 4 = c3, l = 1.
Нехай
| V | \prime SD = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\in (3n\setminus 3)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\prime
(3)
\in D3(r;b - )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x\prime ,v\prime )(3n)\in DS(6n)(r;a,b)
\bigm| \bigm| Vj(x
\prime
(3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3))
\bigm| \bigm| ,
| V | \prime \prime SD = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\in (3)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\prime
(3)
\in D3(r;b - )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x\prime ,v\prime )(3n)\in DS(6n)(r;a,b)
\bigm| \bigm| Vj(x
\prime
(3n); v
\prime
(3n);u
\prime
(3))
\bigm| \bigm| .
З умови теореми 1.1 i наслiдку 3.1 випливає, що
| G\prime | SD < 3(mg1 + \mu g2 + c1g3)(r + r3) + | \~G| SD \leq c4 + c2.
Тодi
| V | \prime SD \leq (3n - 3)
\bigm| \bigm| \~K( - 1)
1
\bigm| \bigm|
SD
| G\prime | SD \leq (3n - 3)| c3(c4 + c2) = c\prime ,
| V | \prime \prime SD \leq 3c3
2
\Bigl[
(3n - 3)| \~K| SD| V | \prime SD + | G\prime | SD
\Bigr]
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
128 В. I. СКРИПНИК
\leq 3c3
2
\Bigl[
(3n - 3)2| \~K| SD
\bigm| \bigm| \~K( - 1)
1
\bigm| \bigm|
SD
+ 1
\Bigr]
| G\prime | SD <
<
3c3
2
\bigl[
(3n - 3)2(mg1 + \mu g2 + c1g3)c3 + 1
\bigr]
(c4 + c2) = c\prime \prime .
Отже, якщо R > 0, то векторне поле f у правiй частинi (2.1), (2.2) — це голоморфна обмежена
функцiя в DS(6n+3)(r; a, b, b - ), що є аналогом Dl(r; \xi ) з теореми 1.2 при
C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(c\prime , c\prime \prime , r + r2, r + r3).
Теорема 1.1 випливає з теореми 1.2 при
T = r((6n+ 4)C) - 1.
Лiтература
1. Landau L., Lifshitz Е. The classical theory of fields. – Pergamon Press, 1959.
2. Wittaker E. T. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. – Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1927.
3. Kunze M., Spohn H. Slow motion of charges interacting through the Maxwell field // Commun. Math. Phys. – 2000. –
212, № 2. – P. 437 – 467.
4. Spohn H. Dynamics of charged particles and their radiation field. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.
5. Siegel C., Moser J. Lectures on celestial mechanics. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1971.
6. Skrypnik W. On holomorphic solutions of Hamiltonian equations of motion of point charges // Ukr. Math. J. – 2011. –
63, № 2. – P. 270 – 280.
7. Skrypnik W. On holomorphic solutions of Darwin equation of motion of point charges // Ukr. Math. J. – 2013. – 65,
№ 4. – P. 546 – 564.
8. Koddington E., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. – Krieger Publ. Co., 1984.
9. Bochner S., Martin W. T. Several complex variables. – Princeton, 1948.
10. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – 416 с.
Одержано 06.06.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1423 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:04Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/0b858e4523454d12c9dd78e75e88bd02.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14232019-12-05T08:54:16Z On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion of point charges in the absence of neutrality Про пост-дарвінівське наближення рівнянь руху Максвелла – Лоренца точкових зарядів. Відсутність нейтральності Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. The existence of holomorphic (in time) solutions of the nonrelativistic equations of motion of nonneutral systems of point charges that do not contain inverse powers of the velocity of light greater than three is proved by using the Cauchy theorem. The indicated equations contain time derivatives of the accelerations of charges. На основi теореми Кошi доведено iснування голоморфних за часом розв’язкiв нерелятивiстських рiвнянь руху системи точкових зарядiв без умови нейтральностi, якi не мiстять обернених степенiв швидкостi свiтла бiльше трьох. Зазначенi рiвняння мiстять часовi похiднi прискорень зарядiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1423 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 1 (2019); 117-128 Український математичний журнал; Том 71 № 1 (2019); 117-128 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1423/407 Copyright (c) 2019 Skrypnik W. I. |
| spellingShingle | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion of point charges in the absence of neutrality |
| title | On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion
of point charges in the absence of neutrality |
| title_alt | Про пост-дарвінівське наближення рівнянь руху Максвелла – Лоренца
точкових зарядів. Відсутність нейтральності |
| title_full | On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion
of point charges in the absence of neutrality |
| title_fullStr | On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion
of point charges in the absence of neutrality |
| title_full_unstemmed | On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion
of point charges in the absence of neutrality |
| title_short | On the post-Darwin approximation of the Maxwell – Lorentz equations of motion
of point charges in the absence of neutrality |
| title_sort | on the post-darwin approximation of the maxwell – lorentz equations of motion
of point charges in the absence of neutrality |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1423 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikwi onthepostdarwinapproximationofthemaxwelllorentzequationsofmotionofpointchargesintheabsenceofneutrality AT skripnikví onthepostdarwinapproximationofthemaxwelllorentzequationsofmotionofpointchargesintheabsenceofneutrality AT skrypnikwi propostdarvínívsʹkenabližennârívnânʹruhumaksvellalorencatočkovihzarâdívvídsutnístʹnejtralʹností AT skripnikví propostdarvínívsʹkenabližennârívnânʹruhumaksvellalorencatočkovihzarâdívvídsutnístʹnejtralʹností |