Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional equation with linear delay
We establish new properties of the solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1424 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507171912941568 |
|---|---|
| author | Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. |
| author_facet | Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. |
| author_sort | Bel’skii, D. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-20T09:00:12Z |
| description | We establish new properties of the solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.929
Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЛИНЕЙНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
We establish new properties of the solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргу-
ментом.
В данной работе рассматривается скалярное уравнение
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) + cx\prime (qt) + f(t), (1)
где \{ a, b, c\} \subset \mathrm{C}, 0 < q < 1, f \in C(0,+\infty ), которое при c = 0 изучалось в [1], а при c \not = 0 — в
[2]. В дальнейшем будет показано, что между гладкостью решения уравнения (1) и его асимп-
тотическим поведением существует принципиальная связь. Поскольку в [1,2] применялись
методы, для которых необходима достаточно высокая гладкость решений, то данная статья, не
содержащая подобных требований, является логическим продолжением начатых там исследо-
ваний и небольшим уточнением метода оценки решений уравнения (1) через фундаментальное
решение, который был разработан в статье [3].
Фундаментальное решение G(t, t0) — это единственное непрерывное решение начальной
задачи
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) + cx\prime (qt), t \geq t0 > 0, (2)
x(t) =
\left\{ 0, 0 < t < t0,
1, t = t0.
(3)
Основываясь на представлении решений уравнения (2) рядами Дирихле в [4], будем искать
решение задачи (2), (3) в виде
G(t, t0) =
n\sum
k=0
k\sum
l=0
Dk,le
q - la(qkt - t0), t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . . (4)
Так как G(t, t0) = ea(t - t0) для t \in [t0, q
- 1t0], то D0,0 = 1. Применяя метод шагов к начальной
задаче (2), (3), для коэффициентов в формуле (4) получаем рекуррентные соотношения
aDk,k - Dk,ka = 0,
aDk,l - qk - laDk,l = - bDk - 1,l - qk - l - 1acDk - 1,l, l = 0, 1, . . . , k - 1,
c\bigcirc Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1 129
130 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
и условие непрерывности функции G(t, t0) в точках t = q - kt0
Dk,k = -
k - 1\sum
l=0
Dk,l, k = 1, 2, . . . .
Теорема [3]. Если a \not = 0, то фундаментальное решение имеет вид
G(t, t0) =
n\sum
k=0
k\sum
l=0
( - 1)k - l
\left( k - l\prod
j=1
a - 1b+ qk - l - jc
1 - qj
\right) \left( l\prod
j=1
c+ ql - ja - 1b
1 - qj
\right) eq
- la(qkt - t0),
t \in
\bigl[
q - nt0, q
- n - 1t0
\bigr]
, n = 0, 1, . . . .
(5)
Рассмотрим некоторые частные случаи фундаментального решения.
Пример 1. Пусть a - 1b = - 1, c = q - 1, a < 0. Тогда для t \in [q - nt0, q
- n - 1t0], n = 0, 1, . . . ,
фундаментальное решение имеет вид
G(t, t0) = ea(t - t0) -
n\sum
k=1
q - k
\Bigl\{
eaqq
- k(qkt - t0) - eaq
- k(qkt - t0)
\Bigr\}
\leq
\leq 1 - q - n
\Bigl\{
eaqq
- n(qnt - t0) - eaq
- n(qnt - t0)
\Bigr\}
.
Аргумент в степени экспоненты в правой части последнего неравенства изменяется в пределах
0 \leq q - n (qnt - t0) \leq q - n
\bigl(
q - 1t0 - t0
\bigr)
\rightarrow +\infty , n \rightarrow +\infty ,
поэтому найдется такое число tn \in [q - nt0, q
- n - 1t0], что q - n (qntn - t0) = 1. Отсюда следует
неравенство
G (tn, t0) \leq 1 - q - n \{ eaq - ea\} \leq 1 - q
tn
t0
\{ eaq - ea\} .
Последнее неравенство означает, что асимптотическое поведение непрерывного, кусочно непре-
рывно дифференцируемого решения G(t, t0) отличается от поведения достаточно гладких ре-
шений в [2].
Пример 2. Пусть a - 1b = - 1, c = q, a < 0. Тогда для t \in [q - nt0, q
- n - 1t0], n = 0, 1, . . . ,
фундаментальное решение имеет вид
G(t, t0) = ea(t - t0) +
n\sum
k=1
\Bigl(
ea(q
kt - t0) - eq
- 1a(qkt - t0)
\Bigr)
\geq ea(q
nt - t0) - eq
- 1a(qnt - t0).
Отсюда следует, что
G
\bigl(
q - n - 1t0, t0
\bigr)
\geq ea(q
- 1t0 - t0) - eaq
- 1(q - 1t0 - t0) > 0.
Последнее неравенство означает, что при уменьшении коэффициента c по сравнению с преды-
дущим примером невозможно получить асимптотическую оценку для решения G(t, t0) мень-
шую, чем для достаточно гладких решений в [2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 131
Пример 3. Пусть a - 1b = - 1, c = 1. Тогда для t \in [q - nt0, q
- n - 1t0], n = 0, 1, . . . , фунда-
ментальное решение уравнения x\prime (t) = ax(t) - ax(qt) + x\prime (qt) имеет вид
G(t, t0) = ea(t - t0).
Указанное уравнение имеет частное решение x1(t) \equiv 1. Третий пример показывает сложнос-
ти, которые возникают при выводе аналога формулы вариации произвольных постоянных на
основе непрерывного фундаментального решения G(t, t0).
Докажем следующую лемму. В дальнейшем числа Mj — это неотрицательные постоянные.
Лемма. Если a \not = 0, то для фундаментального решения G(t, t0) выполняются оценки:
1) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, bc \not = 0, | c| > | a - 1b| , | c| = 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t
t0
\biggr)
+ 1
\biggr)
, t \geq t0;
2) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, bc \not = 0, | c| > | a - 1b| , | c| < 1 : | G(t, t0)| \leq M1, t \geq t0;
3) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, bc \not = 0, | c| > | a - 1b| , | c| > 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | c|
ln q - 1
, t \geq t0;
4) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, b \not = 0, | c| < | a - 1b| , | a - 1b| < 1 : | G(t, t0)| \leq M1, t \geq t0;
5) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, b \not = 0, | c| < | a - 1b| , | a - 1b| = 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t
t0
\biggr)
+ 1
\biggr)
, t \geq t0;
6) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, b \not = 0, | c| < | a - 1b| , | a - 1b| > 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | a - 1b|
ln q - 1
, t \geq t0;
7) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, bc \not = 0, | c| = | a - 1b| , | a - 1b| < 1 : | G(t, t0)| \leq M1, t \geq t0;
8) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, bc \not = 0, | c| = | a - 1b| , | a - 1b| > 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | a - 1b|
ln q - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t
t0
\biggr)
+ 1
\biggr)
,
t \geq t0;
9) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, bc \not = 0, | c| = | a - 1b| , | a - 1b| = 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t
t0
\biggr)
+ 1
\biggr) 2
, t \geq t0;
10) \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, bc \not = 0, | c| > | a - 1b| : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | c|
ln q - 1
, t \geq t0;
11) \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, bc \not = 0, | c| = | a - 1b| : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | a - 1b|
ln q - 1 \Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Bigl(
t
t0
\Bigr)
+ 1
\Bigr)
, t \geq t0;
12) \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, b \not = 0, | c| < | a - 1b| : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | a - 1b|
ln q - 1
, t \geq t0;
13) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, b = 0, | c| < 1 : | G(t, t0)| \leq M1, t \geq t0;
14) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, b = 0, | c| = 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
t
t0
\biggr)
+ 1
\biggr)
, t \geq t0;
15) \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, b = 0, | c| > 1 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | c|
ln q - 1
, t \geq t0;
16) \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, b = 0, c \not = 0 : | G(t, t0)| \leq M1
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | c|
ln q - 1
, t \geq t0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
132 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Доказательство. Применив формулу (5), в случае \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0 необходимо продолжить
оценку
| G(t, t0)| \leq
\left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1| ab - 1c|
1 - qj
\right) \left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1| a - 1bc - 1|
1 - qj
\right) n\sum
k=0
k\sum
l=0
| a - 1b| k - l| c| l,
если bc \not = 0, и
| G(t, t0)| \leq
\left( +\infty \prod
j=1
1
1 - qj
\right) 2
n\sum
k=0
| c| k
k\sum
l=0
q
(k - l - 1)(k - l)
2 ,
если b = 0, c \not = 0.
В случае \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, bc \not = 0 для n \geq 1 необходимо продолжить неравенство
| G(t, t0)| \leq M2| a - 1b| n
n\sum
l=0
\biggl(
| c|
| a - 1b|
\biggr) l
+M2
n - 1\sum
k=0
| a - 1b| k
k\sum
l=0
\biggl(
| c|
| a - 1b|
\biggr) l
eq
- l Re a(qkt - t0),
где
M2
df
=
\left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1| ab - 1c|
1 - qj
\right) \left( +\infty \prod
j=1
1 + qj - 1| a - 1bc - 1|
1 - qj
\right) ,
использовав оценку
eq
- l Re a(qkt - t0) \leq eRe a(1 - q)t0qk - n - l \leq Km(qk - n - l) - m = Km (qm)n - k+l ,
где 0 \leq k \leq n - 1, m \in \mathrm{N}, Km — некоторая постоянная, и выбрав m так, чтобы выполнялись
неравенства
| c|
| a - 1b|
qm < 1 и
| a - 1b|
qm
> 1.
В случае \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, b = 0, c \not = 0 для n \geq 1 аналогичным образом необходимо продолжить
оценку
| G(t, t0)| \leq M3| c| n
n\sum
l=0
q
(l - 1)l
2 +M3
n - 1\sum
k=0
| c| k
k\sum
l=0
q
(l - 1)l
2 eq
- l Re a(qkt - t0) \leq
\leq
\Biggl(
M3| c| n +M3
n - 1\sum
k=0
| c| keRe a(qkt - t0)
\Biggr)
+\infty \sum
l=0
q
(l - 1)l
2 ,
где M3
df
=
\biggl( \prod +\infty
j=1
1
1 - qj
\biggr) 2
, использовав неравенство
eRe a(qkt - t0) \leq eRe a(1 - q)t0qk - n \leq Km(qk - n) - m = Km (qm)n - k ,
где 0 \leq k \leq n - 1, и выбрав m так, чтобы выполнялось условие
| c|
qm
> 1.
Случаи \mathrm{R}\mathrm{e} a = 0, b \not = 0, c = 0 и \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, b \not = 0, c = 0 проще вышеизложенных и
оцениваются аналогично.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 133
Формула вариации произвольных постоянных для уравнения (1) имеет вид
x (t; t0, \varphi , f) = \varphi (t0)Y (t, t0) +
q - 1t0\int
t0
\bigl(
b\varphi (qs) + c\varphi \prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y (qlt, s) ds+
+
t\int
t0
\bigl(
f(s) - \varphi (t0)c
\bigl(
q - 1 - 1
\bigr)
Y \prime (qs, t0)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y (qlt, s) ds, (6)
где Y (t, t0) — непрерывное фундаментальное решение начальной задачи
x\prime (t) = ax(t) + bx(qt) +
c
q
x\prime (qt), t \geq t0 > 0,
x(t) =
\left\{ 0, 0 < t < t0,
1, t = t0.
Чтобы в этом убедиться, необходимо учесть тождества
Y \prime (t, t0) = a
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y
\bigl(
qlt, t0
\bigr)
+ b
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y (ql+1t, t0),
d
dt
\biggl(
Y (t, t0) -
c
q2
Y (qt, t0)
\biggr)
= Y \prime (t, t0) -
c
q
Y \prime (qt, t0) = aY (t, t0) + bY (qt, t0).
Тогда, дифференцируя равенство
x(t) - c
q
x(qt) = \varphi (t0)
\biggl(
Y (t, t0) -
c
q2
Y (qt, t0)
\biggr)
+ \varphi (t0)
c
q
\biggl(
1
q
- 1
\biggr)
Y (qt, t0)+
+
q - 1t0\int
t0
\bigl(
b\varphi (qs) + c\varphi \prime (qs)
\bigr)
Y (t, s) ds+
t\int
t0
\bigl(
f(s) - \varphi (t0)c
\bigl(
q - 1 - 1
\bigr)
Y \prime (qs, t0)
\bigr)
Y (t, s) ds
при t \geq q - 1t0, t \not = q - kt0, k = 1, 2, . . . , получаем
d
dt
\biggl(
x(t) - c
q
x(qt)
\biggr)
= ax(t) + bx(qt) + f(t).
На отрезке t \in
\bigl[
t0, q
- 1t0
\bigr]
выполняется равенство
x(t) = \varphi (t0)e
a(t - t0) +
t\int
t0
ea(t - s)
\bigl(
b \varphi (qs) + c\varphi \prime (qs) + f(s)
\bigr)
ds,
т. е. функция x (t; t0, \varphi , f) является непрерывным решением уравнения (1) для t \geq q - 1t0,
t \not = q - kt0, k = 1, 2, . . . , и совпадает с решением начальной задачи (1); x(t) = \varphi (t), t \in [qt0, t0],
\varphi \in C1[qt0, t0], на отрезке t \in [t0, q
- 1t0], а значит, и на всей полуоси t \geq t0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
134 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
При условии \varphi (t0) = 0 формула вариации произвольных постоянных (6) становится проще.
Его можно выполнить, если построить решение уравнения (2), которое в точке t = t0 будет
принимать значение 1. Обозначим его символом x0(t). Тогда разность y(t)
df
=x (t; t0, \varphi , f) -
- \varphi (t0)x0(t) будет решением неоднородного уравнения, которое равно нулю в точке t = t0.
Поэтому для него выполняется тождество
y(t) = x (t; t0, y, f) =
q - 1t0\int
t0
\bigl(
by(qs) + cy\prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y (qlt, s)ds+
+
t\int
t0
f(s)
+\infty \sum
l=0
\biggl(
c
q
\biggr) l
Y (qlt, s)ds. (7)
При этом x (t; t0, \varphi , f) = y(t) + \varphi (t0)x0(t). Следовательно, если решение x0(t) достаточно
гладкое, то информация о его асимптотическом поведении содержится в [2], и для получения
асимптотических оценок решения x (t; t0, \varphi , f) можно использовать равенство (7) и лемму.
Продемонстрируем это на следующем примере. Предположим, что \mathrm{R}\mathrm{e} a < 0, bc \not = 0,
| c|
q
<
< | a - 1b| , f(t) \in C1 (0,+\infty ) , f (m)(t) = O (t\alpha - m) , t \rightarrow +\infty , m = 0, 1 и \alpha =
\mathrm{l}\mathrm{n} | a - 1b|
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
. Будем
считать, что решение начальной задачи имеет необходимую для дальнейших рассуждений
гладкость. Применим формулу вариации произвольных постоянных к уравнению
x\prime \prime (t) = ax\prime (t) + bqx\prime (qt) + cqx\prime \prime (qt) + f \prime (t)
или, точнее, к уравнению
y\prime (t) = ay(t) + bqy(qt) + cqy\prime (qt) + f \prime (t). (8)
Для этого обозначим символом y0(t) решение уравнения
y\prime (t) = ay(t) + bqy(qt) + cqy\prime (qt),
которое принимает в точке t = t0 значение равное 1. Тогда разность
z(t)
df
=x\prime (t; t0, \varphi , f) - \varphi \prime (t0)y0(t)
будет решением неоднородного уравнения (8), которое равно нулю в точке t = t0. Для решения
z(t) получаем тождество
z(t) =
q - 1t0\int
t0
\bigl(
bqz(qs) + cqz\prime (qs)
\bigr) +\infty \sum
l=0
clY1
\bigl(
qlt, s
\bigr)
ds+
t\int
t0
f \prime (s)
+\infty \sum
l=0
clY1(q
lt, s) ds,
где Y1(t, t0) — непрерывное решение начальной задачи
y\prime (t) = ay(t) + bqy(qt) + cy\prime (qt), t \geq t0 > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 135
y(t) =
\left\{ 0, 0 < t < t0,
1, t = t0.
Поскольку по предположению | c| < | a - 1bq| , то согласно лемме
| Y1(t, t0)| \leq M4
\biggl(
t
t0
\biggr) ln | a - 1b|
ln q - 1 - 1
, t \geq t0.
Поэтому
| z(t)| \leq
q - 1t0\int
t0
\bigm| \bigm| bqz(qs) + cqz\prime (qs)
\bigm| \bigm| +\infty \sum
l=0
| c| lM4
\biggl(
qlt
s
\biggr) ln | a - 1bq|
ln q - 1
ds+
+
t\int
t0
| f \prime (s)|
+\infty \sum
l=0
| c| lM4
\biggl(
qlt
s
\biggr) ln | a - 1bq|
ln q - 1
ds =
=
+\infty \sum
l=0
| c| lM4
\Bigl(
qlt
\Bigr) ln | a - 1bq|
ln q - 1
\left( q - 1t0\int
t0
| bqz(qs)+
+ cqz\prime (qs)| s -
ln | a - 1bq|
ln q - 1 ds+
t\int
t0
| f \prime (s)| s -
ln | a - 1bq|
ln q - 1 ds
\right) \leq
\leq M4t
ln | a - 1bq|
ln q - 1
+\infty \sum
l=0
\biggl(
| c|
| a - 1bq|
\biggr) l
\left( q - 1t0\int
t0
| bqz(qs)+
+ cqz\prime (qs)| s -
ln | a - 1bq|
ln q - 1 ds+M5
t\int
t0
s
\alpha - 1 - ln | a - 1bq|
ln q - 1 ds
\right) =
= M4t
ln | a - 1bq|
ln q - 1
\biggl(
1 - | c|
| a - 1bq|
\biggr) - 1
\left( q
q - 1t0\int
t0
| bz(qs)+
+ cz\prime (qs)| s -
ln | a - 1bq|
ln q - 1 ds+M5 (t - t0)
\right) \leq M6t
ln | a - 1b|
ln q - 1 .
Если решение y0(t) достаточно гладкое, то согласно [2] для него выполняется оценка y0(t) =
= O
\biggl(
t
ln | a - 1b|
ln q - 1 - 1
\biggr)
, t \rightarrow +\infty , т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
136 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
x\prime (t; t0, \varphi , f) = z(t) + \varphi \prime (t0)y0(t) = O
\biggl(
t
ln | a - 1b|
ln q - 1
\biggr)
, t \rightarrow +\infty .
Запишем уравнение (1) следующим образом:
x(t) + a - 1bx(qt) = a - 1
\bigl(
x\prime (t) - cx\prime (qt) - f(t)
\bigr)
.
Определим параметр v из уравнения a - 1bqv = - 1 и выполним замену переменных x(t) =
= tvh(t):
h(t) - h(qt) = a - 1t - v
\bigl(
x\prime (t) - cx\prime (qt) - f(t)
\bigr)
.
Функция g(t)
df
= a - 1t - v (x\prime (t) - cx\prime (qt) - f(t)) ограничена. Выполним замену независимой пе-
ременной h(t) = w
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
,
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
= \tau :
w (\tau ) - w (\tau - 1) = g
\bigl(
e\tau ln q - 1\bigr)
.
Отсюда получаем оценку w
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q - 1
\biggr)
= O (\mathrm{l}\mathrm{n} t) , t \rightarrow +\infty , т. е. x(t) = O
\biggl(
t
ln | a - 1b|
ln q - 1 \mathrm{l}\mathrm{n} t
\biggr)
,
t \rightarrow +\infty .
Далее рассмотрим уравнение
x\prime (t) = - u(t)x(t) + bx(qt), t \in \mathrm{R}, (9)
где b — ненулевая комплексная постоянная, q \in (0, 1) и u — решение уравнения
u\prime (t) + q2u\prime (qt) + u2(t) - q2u2(qt) = \mu , t \in \mathrm{R}. (10)
Здесь \mu — положительная постоянная. Уравнение (9) появилось в [5], где описан класс авто-
модельных потенциалов в уравнении Шредингера и частично изучены собственные функции
операторов симметрии, называемые когерентными состояниями. Некоторые из этих когерент-
ных состояний (например, состояния Юрке – Столера) имеют практическое применение. Замена
переменных u(t) =
\sqrt{}
\mu
1 - q2
+ y(t) позволяет записать уравнение (10) в виде
y\prime (t) = - 2
\sqrt{}
\mu
1 - q2
y(t) + 2q2
\sqrt{}
\mu
1 - q2
y(qt) - q2y\prime (qt) - y2(t) + q2y2(qt). (11)
Последнее уравнение как частный случай более общих уравнений изучалось в [6], где для
него получен следующий результат: для любого \varepsilon > 0 существуют такие константы j \in \mathrm{N} и
0 < \delta < \sigma < +\infty , что для j раз непрерывно дифференцируемых решений y(t) уравнения (11),
удовлетворяющих условию | y(m)(\theta )| \leq \delta , \theta \in [qt0, t0], m = 0, j, имеет место оценка
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
| y(t)| , | y\prime (t)| , . . . , | y(j)(t)|
\Bigr\}
\leq \sigma t - 2+\varepsilon при t \in [qt0,+\infty ) .
Предположим, что y(t) — одно из таких решений. Тогда уравнение (9) примет вид
x\prime (t) = -
\biggl( \sqrt{}
\mu
1 - q2
+ y(t)
\biggr)
x(t) + bx(qt). (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО . . . 137
Для краткости обозначим a1
df
=
\sqrt{}
\mu
1 - q2
и выполним замену x(t) = tvz(t), v \in \mathrm{R}:
z\prime (t) = - a1z(t) + bqvz(qt) -
\bigl(
y(t) + vt - 1
\bigr)
z(t).
Запишем последнее уравнение в интегральной форме
z(t) = e - a1(t - t1)z (t1) + bqv
t\int
t1
e - a1(t - s)z(qs)ds -
t\int
t1
e - a1(t - s)
\bigl(
y(s) + vs - 1
\bigr)
z(s)ds.
Отсюда для t \geq t1 получаем
| z(t)| \leq | z (t1) | + | bqv|
t\int
t1
e - a1(t - s)| z(qs)| ds+
t\int
t1
e - a1(t - s)| y(s) + vs - 1| | z(s)| ds,
| z(t)| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t1]
| z(s)| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ba1 qv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t]
| z(s)| + M7
a1
t - 1
1 \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t]
| z(s)| ,
причем функция в правой части неубывающая, поэтому
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t]
| z(s)| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t1]
| z(s)| +
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ba1 qv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + M7
a1
t - 1
1
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t]
| z(s)| .
Если
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ba1 qv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 1, то для достаточно большого t1 выполняется неравенство
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t]
| z(s)| \leq
\biggl(
1 -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ba1 qv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - M7
a1
t - 1
1
\biggr) - 1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [qt1,t1]
| z(s)| ,
т. е. x(t) = O
\biggl(
t
ln | a - 1
1 b|
ln q - 1 +\varepsilon
\biggr)
, t \rightarrow +\infty , \varepsilon > 0. Обозначим f(t)
df
= - y(t)x(t) и запишем уравне-
ние (12) следующим образом:
x\prime (t) = - a1x(t) + bx(qt) + f(t).
Поскольку f(t) = O
\biggl(
t
ln | a - 1
1 b|
ln q - 1 - 2+2\varepsilon
\biggr)
, t \rightarrow +\infty , то, применяя лемму и формулу вариации
произвольных постоянных (6), получаем оценку x(t) = O
\biggl(
t
ln | a - 1
1 b|
ln q - 1
\biggr)
, t \rightarrow +\infty .
Если в уравнении (10) выполнить замену переменных u(t) = -
\sqrt{}
\mu
1 - q2
+ y(t), то можно
повторить вышеизложенные рассуждения в случае t \rightarrow - \infty и получить оценку
x(t) = O
\left( | t|
ln
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sqrt{}
1 - q2
\mu
b
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
ln q - 1
\right) , t \rightarrow - \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
138 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Указанные результаты для уравнения (9) были получены в [5] нестрогими математическими
методами.
В [5] также появляется уравнение
x\prime (t) = bx(qt),
для которого при 0 < q < 1 в [7] найдена асимптотическая формула аналитического решения,
а при q > 1 в [8] найдено счетное множество решений (сопряженного уравнения) и указан
метод для исследования их асимптотического поведения. Полученный там асимптотический
ряд уточнен в [9]. Отметим, что все решения Gn
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q
\biggr)
указанного семейства при t \rightarrow 0 стре-
мятся к 1. Последнее становится очевидным, если учесть, что решение G0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\mathrm{l}\mathrm{n} q
\biggr)
с точностью
до постоянного множителя совпадает с решением (2.11) из [10].
Литература
1. Lim Eng-Bin. Asymptotic bounds of solutions of the functional differential equation // SIAM J. Math. Anal. – 1978. –
9, № 5. – P. 915 – 920.
2. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравне-
ния с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2017. – 20, № 4. – С. 458 – 464.
3. Lehninger H., Liu Y. The functional-differential equation y\prime (t) = Ay(t) +By(qt) +Cy\prime (qt) + f(t) // Eur. J. Appl.
Math. – 1998. – 9. – P. 81 – 91.
4. Iserles A. On the generalized pantograph functional-differential equation // Eur. J. Appl. Math. – 1993. – 4. – P. 1 – 38.
5. Spiridonov V. Universal superpositions of coherent states and self-similar potentials // Phys. Rev. A. – 1995. – 52. –
P. 1909 – 1935.
6. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функци-
ональных уравнений // Нелiнiйнi коливання. – 2016. – 19, № 3. – С. 311 – 348.
7. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функци-
онального уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. –
С. 291 – 313.
8. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F \prime (x) = e\alpha x+\beta F (x - 1), I, II // Nederl. Akad. Wetensch. Proc.
Ser. A 56-Indag. Math. – 1953. – 15. – P. 449 – 464.
9. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-
функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2018. – 21,
№ 4. – С. 537 – 553.
10. Heard M. L. A family of solutions of the initial value problem for the equation x\prime (t) = ax(\lambda t), \lambda > 1 // Aequat.
Math. – 1973. – 9, № 2-3. – P. 273 – 280.
Получено 03.08.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1424 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:05Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fb/846c9d07e4b42144abea957f5ecd1bfb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14242020-04-20T09:00:12Z Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional equation with linear delay Асимптотические оценки решений дифференциально- функционального уравнения с линейным запаздыванием Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. We establish new properties of the solutions of a differential-functional equation with linearly transformed argument. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1424 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 1 (2019); 129-138 Український математичний журнал; Том 71 № 1 (2019); 129-138 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1424/408 Copyright (c) 2019 Bel’skii D. V.; Pelyukh G. P. |
| spellingShingle | Bel’skii, D. V. Pelyukh, G. P. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Бельский, Д. В. Пелюх, Г. П. Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional equation with linear delay |
| title | Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional
equation with linear delay |
| title_alt | Асимптотические оценки решений дифференциально-
функционального уравнения с линейным запаздыванием |
| title_full | Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional
equation with linear delay |
| title_fullStr | Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional
equation with linear delay |
| title_full_unstemmed | Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional
equation with linear delay |
| title_short | Asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional
equation with linear delay |
| title_sort | asymptotic estimates for the solutions of a differential-functional
equation with linear delay |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1424 |
| work_keys_str_mv | AT belskiidv asymptoticestimatesforthesolutionsofadifferentialfunctionalequationwithlineardelay AT pelyukhgp asymptoticestimatesforthesolutionsofadifferentialfunctionalequationwithlineardelay AT belʹskijdv asymptoticestimatesforthesolutionsofadifferentialfunctionalequationwithlineardelay AT pelûhgp asymptoticestimatesforthesolutionsofadifferentialfunctionalequationwithlineardelay AT belʹskijdv asymptoticestimatesforthesolutionsofadifferentialfunctionalequationwithlineardelay AT pelûhgp asymptoticestimatesforthesolutionsofadifferentialfunctionalequationwithlineardelay AT belskiidv asimptotičeskieocenkirešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnymzapazdyvaniem AT pelyukhgp asimptotičeskieocenkirešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnymzapazdyvaniem AT belʹskijdv asimptotičeskieocenkirešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnymzapazdyvaniem AT pelûhgp asimptotičeskieocenkirešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnymzapazdyvaniem AT belʹskijdv asimptotičeskieocenkirešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnymzapazdyvaniem AT pelûhgp asimptotičeskieocenkirešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnymzapazdyvaniem |