On the solvability of the main inverse problem of stochastic differential systems
Using the quasi-inversion method we obtain necessary and sufficient conditions for the solvability of the main (according to Galiullin’s classification) inverse problem in the class of first-order Itˆo stochastic differential systems with random perturbations from the class of processes with indepen...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1425 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507173178572800 |
|---|---|
| author | Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. |
| author_facet | Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. |
| author_sort | Ibraeva, G. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:16Z |
| description | Using the quasi-inversion method we obtain necessary and sufficient conditions for the solvability of the main (according
to Galiullin’s classification) inverse problem in the class of first-order Itˆo stochastic differential systems with random
perturbations from the class of processes with independent increments, with diffusion degenerate in a part of variables and
with given properties, depending on a part of variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.5:519.216
М. И. Тлеубергенов, Г. Т. Ибраева
(Ин-т математики и мат. моделирования М-ва образования и науки Республики Казахстан, Алматы)
О РАЗРЕШИМОСТИ ОСНОВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Using the quasi-inversion method we obtain necessary and sufficient conditions for the solvability of the main (according
to Galiullin’s classification) inverse problem in the class of first-order Itô stochastic differential systems with random
perturbations from the class of processes with independent increments, with diffusion degenerate in a part of variables and
with given properties, depending on a part of variables.
Методом квазiобернення отримано необхiднi та достатнi умовi розв’язностi основної за класифiкацiєю А. С. Галiул-
лiна оберненої задачi у класi стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто першого порядку з випадковими збуреннями
iз класу процесiв iз незалежними приростами, з вироджуваною вiдносно частини змiнних дифузiєю й заданими
властивостями, що залежать вiд частини змiнних.
Введение. Теория обратных задач дифференциальных систем и общие методы их решения
достаточно полно разработаны в [1 – 7] для детерминированных систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (ОДУ). Так, в работе [1] построено множество ОДУ по заданной
интегральной кривой. Впоследствии эта работа оказалась основополагающей в становлении и
развитии теории обратных задач динамики систем, описываемых ОДУ. В работах [2 – 7] изло-
жены постановка, классификация обратных задач дифференциальных систем и их решение в
классе ОДУ. Также в классе ОДУ в работах [8 – 10] рассмотрены обратные задачи динамики
систем автоматического управления. Следует отметить, что один из общих методов решения
обратных задач динамики в классе ОДУ — метод квазиобращения, позволяющий получить
необходимые и достаточные условия разрешимости, предложен в работе [3]. Обобщению и
развитию методов решения обратных задач в классе дифференциальных уравнений в частных
производных посвящены работы [11 – 13].
В работах [14 – 16] обратные задачи динамики рассматриваются при дополнительном предпо-
ложении о наличии случайных возмущений из класса винеровских процессов и, в частности,
методом квазиобращения решены: 1) основная обратная задача динамики, в которой надо по-
строить множество стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито,
имеющих заданное интегральное многообразие; 2) задача восстановления уравнений движе-
ния, в которой надо построить множество управляющих параметров, входящих в заданную
систему стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито, по заданно-
му интегральному многообразию и 3) задача замыкания уравнений движения, в которой надо
построить множество замыкающих стохастических дифференциальных уравнений второго по-
рядка типа Ито по заданной системе уравнений и заданному интегральному многообразию.
В работах [17, 18] рассматривается одна из обратных задач — задача построения множе-
ства стохастических дифференциальных уравнений Ито первого порядка с вырождающейся
диффузией по заданному интегральному многообразию в предположении, что: 1) заданное ин-
тегральное многообразие зависит от всех переменных и 2) случайные возмущения принадлежат
классу независимых винеровских процессов (как частный случай процессов с независимыми
приращениями). В [17] поставленная задача решается методом квазиобращения [3, c. 12, 13], а
в [18] — методом разделения [3, c. 21].
c\bigcirc М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ, Г. Т. ИБРАЕВА, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1 139
140 М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ, Г. Т. ИБРАЕВА
В настоящей работе в отличие от [17, 18] предполагается, что, во-первых, заданное интеграль-
ное многообразие зависит лишь от части переменных и, во-вторых, случайные возмущения
допускаются из более общего класса, а именно из класса процессов с независимыми прираще-
ниями.
1. Постановка общей задачи построения стохастических дифференциальных систем с
вырождающейся по части переменных диффузией и с заданными свойствами, зависящи-
ми от части переменных, и ее решение. Пусть задано множество
\Lambda (t) : \lambda (y, t) = 0, где \lambda \in Rm. (1)
Требуется построить уравнение движения в классе стохастических дифференциальных урав-
нений Ито первого порядка вида
\.y = f1(y, z, t),
\.z = f2(y, z, t) + \sigma (y, z, t) \.\xi 0 +
\int
c(x, t) \.P 0(t, dx)
(2)
так, чтобы множество (1) было интегральным многообразием уравнения (2).
Здесь y \in Rl, z \in Rp, l + p = n; \sigma (y, z, t) — матрица размерности (p \times k); c(x, t) \in Rp;
\xi 0 \in Rk — векторный винеровский процесс; P 0 — пуассоновский процесс; P 0(t, dx) — число
скачков процесса P 0 в интервале [0, t], попадающих на множество dx, где x =
\bigl(
yT , zT
\bigr) T
.
Будем говорить, что некоторая функция g(y, z, t) из класса K, (g \in K), если g непрерывна
по t, липшицева по y и z во всем пространстве Rn \ni x и удовлетворяет условию линейного
роста по x \| g(x, t) \| \leq M(1+ \| x \| ) с некоторой константой M.
Предположим, что:
(i) вектор-функция \lambda имеет все свои непрерывные вторые производные (включая и сме-
шанные);
(ii) искомые множества вектор-функций \{ f1\} , \{ f2\} и множество матриц \{ \sigma \} принадле-
жат классу K.
И так как вектор-функции f1, f2 и (p \times k)-матрица \sigma предполагаются из класса K,
то это, следуя [19], обеспечивает в Rn существование и единственность с точностью до
стохастической эквивалентности решения
\bigl(
y(t)T , z(t)T
\bigr) T
уравнения (2) с начальным условием\bigl(
y(t0)
T , z(t0)
T
\bigr) T
=
\bigl(
yT0 , z
T
0
\bigr) T
, являющегося с вероятностью 1 строго марковским процессом.
Поставленная задача:
1) в случае отсутствия случайных возмущений (\sigma \equiv 0) достаточно полно исследована в
работах [2 – 7];
2) обобщает рассмотренную в [14] задачу построения стохастических дифференциальных
уравнений Ито второго порядка
\"x = f(x, \.x, t) + \sigma (x, \.x, t) \.\xi (2\prime )
по заданному множеству
\Lambda (t) : \lambda (x, \.x, t) = 0, где \lambda \in Rm, \lambda = \lambda (x, \.x, t) \in C121
x \.xt , (1\prime )
так, чтобы множество (1\prime ) было интегральным многообразием уравнения (2\prime ) со случайными
возмущениями из класса винеровских процессов;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОСНОВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ . . . 141
3) со случайными возмущениями из класса винеровских процессов исследована методом
квазиобращения в [17] и методом разделения в [18]; при этом заданные интегральные много-
образия в [17, 18] зависят от всех переменных.
В данной работе стохастическая основная обратная задача — задача построения стохастиче-
ского дифференциального уравнения первого порядка типа Ито по заданным свойствам движе-
ния — решается методом квазиобращения. В терминах коэффициентов получены необходимые
и достаточные условия существования заданного интегрального многообразия у построенного
множества стохастических дифференциальных уравнений.
Для решения поставленной задачи используется метод квазиобращения [4, 5], основанный
на следующей лемме.
Лемма 1 [4, с. 12, 13]. Совокупность всех решений линейной системы
Hv = g, H = (h\mu k), v = (vk), g = (g\mu ) \mu = 1,m, k = 1, n, m \leq n, (3)
где ранг матрицы H равен m, определяется выражением
v = sv\tau + v\nu . (4)
Здесь s — произвольная скалярная величина,
v\tau = [HC] = [h1 . . . hmcm+1 . . . cn - 1] =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
e1 . . . en
h11 . . . h1n
. . . . . . . . .
hm1 . . . hmn
cm+1,1 . . . cm+1,n
. . . . . . . . .
cn - 1,1 . . . cn - 1,n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
— векторное произведение векторов h\mu = (h\mu k) и произвольных векторов c\rho = (c\rho k), \rho =
= m+ 1, n - 1, ek — единичные орты пространства Rn, v\tau = (v\tau k) , где
v\tau k =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
0 . . . 1 . . . 0
h11 . . . h1k . . . h1n
. . . . . . . . . . . . . . .
hm1 . . . hmk . . . hmn
cm+1,1 . . . cm+1,n . . . cm+1,n
. . . . . . . . . . . . . . .
cn - 1,1 . . . cn - 1,k . . . cn - 1,n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, v\nu = H+g,
H+ = HT
\bigl(
HHT
\bigr) - 1
, HT — матрица, транспонированная к H.
Для решения поставленной задачи построения множества систем уравнений вида (2) по
заданному интегральному многообразию (1) продифференцируем вектор-функцию \lambda = \lambda (y, t)
по правилу Ито дифференцирования сложной функции в случае процесса с независимыми
приращениями [19, c. 201]:
\"\lambda = M1 +
\partial \lambda
\partial y
\partial f1
\partial z
f2 +
\partial \lambda
\partial y
\partial f1
\partial z
\sigma \.\xi 0 + S3, (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
142 М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ, Г. Т. ИБРАЕВА
где
M1 =
\partial 2\lambda
\partial t2
+
\partial \lambda
\partial y
\partial f1
\partial t
+ 2
\partial 2\lambda
\partial y\partial t
f1 + fT
1
\partial 2\lambda
\partial y\partial y
f1 +
\partial \lambda
\partial y
\partial f1
\partial y
f1 + S1 + S2,
S1 =
1
2
\partial \lambda
\partial y
\partial 2f1
\partial z\partial z
: \sigma \sigma T ,
S2 =
\int \biggl\{
\partial \lambda
\partial y
\biggl[
f1(y, z + c(x, t), t) - f1(y, z, t) +
\partial f1
\partial z
c(x, t)
\biggr] \biggr\}
dx,
S3 =
\int
\partial \lambda
\partial y
[f1(y, z + c(x, t), t) - f1(y, z, t)] \.P 0(t, dx),
а под
\partial 2f1
\partial z\partial z
: D, следуя [19], понимается вектор, элементами которого являются следы произве-
дений матриц вторых производных соответствующих элементов f1\mu (y, z, t) вектора f1(y, z, t)
по компонентам z на матрицу D
\partial 2f1
\partial z\partial z
: D =
\left[
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl(
\partial 2f11
\partial z\partial z
D
\biggr)
...
\mathrm{t}\mathrm{r}
\biggl(
\partial 2f1m
\partial z\partial z
D
\biggr)
\right] .
Далее, вводятся произвольные типа Н. П. Еругина [1]: m-мерные вектор-функции A1(\lambda , \.\lambda , y, z, t),
A2(\lambda , \.\lambda , y, z, t) и (m \times k)-матрица B(\lambda , \.\lambda , y, z, t), имеющие свойство A1(0, 0, y, z, t) \equiv 0,
A2(0, 0, y, z, t) \equiv 0, B(0, 0, y, z, t) \equiv 0 :
\"\lambda = A1(\lambda , \.\lambda , y, z, t) +B(\lambda , \.\lambda , y, z, t) \.\xi 0 +
\int
A2(\lambda , \.\lambda , x, t) \.P
0(t, dx). (6)
Сравнивая уравнения (5) и (6), получаем соотношения
\partial \lambda
\partial y
\partial f1
\partial z
f2 = A1 - M1, (7)
\partial \lambda
\partial y
\partial f1
\partial z
\sigma = B, (8)
c\ast (x, t) = A2, (9)
где c\ast (x, t) =
\partial \lambda
\partial y
[f(y, z + c(x, t), t) - f1(y, z, t)] .
Теперь предположим, что наряду с условиями (i) и (ii) выполняется также условие
(iii) множество искомых вектор-функций \{ f1\} линейно по z и имеет вид
f1 = \alpha (y, t) + \beta (t)z, (10)
где \alpha (y, t) — произвольно заданная вектор-функция из класса K, \alpha \in K, а \beta (t) — произвольно
заданная непрерывная по t матрица порядка (l \times p).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
О РАЗРЕШИМОСТИ ОСНОВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ . . . 143
Из условия (iii) следует, что в формуле (5) S1 \equiv 0, S2 \equiv 0, а S3 принимает вид
S3 =
\int
\partial \lambda
\partial y
\beta (t)c(x, t)P 0(t, dx).
Тогда, используя обозначения
\widetilde G =
\partial \lambda
\partial y
\beta , \widetilde M1 =
\partial 2\lambda
\partial t2
+
\partial \lambda
\partial y
\biggl(
\partial \alpha
\partial t
+
\partial \beta
\partial t
z
\biggr)
+
+2
\partial 2\lambda
\partial y\partial t
(\alpha + \beta z) +
\bigl(
\alpha T + zT\beta T
\bigr) \partial 2\lambda
\partial y\partial y
(\alpha + \beta z) +
\partial \lambda
\partial y
\partial f1
\partial y
(\alpha + \beta z),
соотношения (7) – (9) записываем в виде
\widetilde Gf2 = A1 - \widetilde M1, (11)\widetilde G\sigma = B, (12)\widetilde Gc = A2. (13)
Из соотношений (11) – (13) методом квазиобращения определяем множества \{ f2(y, z, t)\} ,
\{ \sigma (y, z, t)\} , \{ c(x, t)\} по произвольно заданной линейной по z вектор-функции f1 (10)
из класса K.
Действительно, из соотношений (11) – (13) по формуле (4) имеем
f2 = s1
\bigl[ \widetilde G \widetilde C\bigr]
+
\bigl( \widetilde G\bigr) + \widetilde A1, (14)
\sigma i = s2i
\bigl[ \widetilde G\widetilde \widetilde C\bigr]
+
\bigl( \widetilde G\bigr) +
Bi, (15)
c = s3
\bigl[ \widetilde G \widetilde C\bigr]
+
\bigl( \widetilde G\bigr) +
A2, (16)
где \widetilde A1 = A1 - \widetilde M1, \sigma i = (\sigma 1i, \sigma 2i, . . . , \sigma ni)
T — i-й столбец матрицы \sigma = (\sigma \nu j), \nu = 1, n,
j = 1, k; Bi = (B1i, B2i, . . . , Bmi)
T — i-й столбец матрицы B = (B\mu l), \mu = 1,m, l = 1, k, а
матрицы \widetilde C и \widetilde \widetilde C имеют соответственно вид
\widetilde C =
\left[
\widetilde cm+1,1 . . . \widetilde cm+1,p
. . . . . . . . .\widetilde cp - 1,1 . . . \widetilde cp - 1,p
\right] , \widetilde \widetilde C =
\left[
\widetilde \widetilde cm+1,1 . . . \widetilde \widetilde cm+1,k
. . . . . . . . .\widetilde \widetilde ck - 1,1 . . . \widetilde \widetilde ck - 1,k
\right] .
Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть выполнены условия (i) — (iii). Тогда для того чтобы дифференциальное
уравнение типа Ито (2) имело заданное интегральное многообразие (1), необходимо и доста-
точно, чтобы множества вектор-функций \{ f2(y, z, t)\} , \{ c(x, t)\} и столбцы \sigma i множества
матриц \{ \sigma (y, z, t)\} имели соответственно вид (14) – (16).
2. Скалярный случай общей задачи (стохастическая задача Еругина на плоскости с вы-
рождающейся диффузией). Пусть интегральная кривая задана в виде
\Lambda (t) : \eta (y, t) = 0, где \eta \in R1, \eta \in C22
yt . (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
144 М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ, Г. Т. ИБРАЕВА
По этой кривой требуется построить систему уравнений вида
\.y = g1(y, z, t),
\.z = g2(y, z, t) + \gamma (y, z, t) \.\zeta 0 +
\int
c1(x, t, \mu ) \.P
0(t, dx),
(18)
где \zeta 0 = \zeta 0(t, \omega ) — скалярный винеровский процесс, а P 0 — скалярный пуассоновский про-
цесс [19].
Задача заключается в определении на плоскости (y, z) скалярных функций g1, g2, \gamma и c1 по
заданной скалярной функции \eta так, чтобы множество (17) было интегральным многообразием
уравнения (18).
Пусть для системы двух скалярных уравнений (18) выполнены условия (i) — (iii) и соответ-
ственно функция g1 имеет вид g1 = \alpha 1(y, t) + \beta 1(t)z.
Дифференцируя сложную функцию \eta = \eta (y, t) по правилу стохастического дифференци-
рования Ито [13, c. 201] в случае процесса с независимыми приращениями получаем
\"\eta = m1 +
\partial \eta
\partial y
\beta 1g2 +
\partial \eta
\partial y
\beta 1\gamma \.\zeta 0 +
\int
c\ast 1(x, t) \.P
0(t, dx), (19)
где
c\ast 1 =
\partial \eta
\partial y
\beta 1c1, m1 =
\partial 2\eta
\partial t2
+
\partial 2\eta
\partial t\partial y
(\alpha 1 + \beta 1z)+
+
\partial 2\eta
\partial y2
(\alpha 1 + \beta 1z)
2 +
\partial \eta
\partial y
\biggl(
\partial \alpha 1
\partial t
+
\partial \beta 1
\partial t
z
\biggr)
+
\partial \eta
\partial y
\partial \alpha 1
\partial y
(\alpha 1 + \beta 1z).
Далее, следуя методу Еругина [1], введем скалярные функции a1 = a1(\eta , \.\eta , y, z, t), a2 =
= a2(\eta , \.\eta , y, z, t) и b = b(\eta , \.\eta , y, z, t) такие, что a1(0, 0, y, z, t) \equiv a2(0, 0, y, z, t) \equiv b(0, 0, y, z, t) \equiv
\equiv 0 и справедливо равенство
\"\eta = a1 + b \.\zeta 0 +
\int
a2(\eta , \.\eta , x, t) \.P
0(t, dx). (20)
Из (19) и (20) следуют соотношения
\partial \eta
\partial y
\beta 1g2 = a1 - m1,
\partial \eta
\partial y
\beta 1\gamma = b,
\partial \eta
\partial y
\beta 1c = a2.
(21)
Обозначим \widetilde a = a1 - m1 и предположим, что
\biggl(
\partial \eta
\partial y
\beta 1
\biggr) - 1
\not = 0. Тогда из (21) следует
решение стохастической задачи Еругина с вырождающейся диффузией на плоскости в виде
соотношений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 1
g2 =
\biggl(
\partial \eta
\partial y
\beta 1
\biggr) - 1 \widetilde a,
\gamma =
\biggl(
\partial \eta
\partial y
\beta 1
\biggr) - 1
b,
c =
\biggl(
\partial \eta
\partial y
\beta 1
\biggr) - 1
a2.
Таким образом, в основной обратной задаче динамики при наличии случайных возмуще-
ний из класса процессов с независимыми приращениями в общем, а также скалярном случаях
построены множества стохастических дифференциальных уравнений Ито первого порядка с
вырождающейся по части переменных диффузией, имеющих заданное интегральное многооб-
разие, которое зависит лишь от части переменных.
Литература
1. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную инте-
гральную кривую // Прикл. математика и механика. – 1952. – 10, вып. 6. – С. 659 – 670.
2. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики. – М.: Наука, 1986. – 224 с.
3. Галиуллин А. С. Построение поля сил по заданному семейству траекторий // Дифференц. уравнения. – 1981. –
17, № 8. – С. 1487 – 1489.
4. Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Уравнения программных движений. – М., 1986. – 88 с.
5. Мухарлямов Р. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем //
Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 3. – С. 343 – 353.
6. Мухарлямов Р. Г. Моделирование процессов управления, устойчивость и стабилизация систем с программными
связями // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2015. – № 1. – С. 15 – 28.
7. Mukharlyamov R. G., Amabili M., Garziera R., Riabova K. Stability of non-linear vibrations of doubly cured shallow
shells // Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. Сер. Математика. Информатика. Физика. – 2016. – № 2. – С. 53 – 63.
8. Жуматов С. С. Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности програм-
много многообразия // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 4. – С. 558 – 565.
9. Жуматов С. С. Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления //
Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 6. – С. 784 – 790.
10. Жуматов С. С. Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными
связями // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 418 – 424.
11. Budochkina S. A., Savchin V. M. An operator equation with the second time derivative and Hamilton-admissible
equations // Dokl. Math. – 2016. – 94, № 2. – P. 487 – 489.
12. Savchin V. M., Budochkina S. A. Nonclassical Hamilton’s actions and the numerical performance of variational
methods for some dissipative problems // Springer, Cham, Commun. Comput. and Inform. Sci. – 2016. – 678. –
P. 624 – 634.
13. Savchin V. M., Budochkina S. A. Invariance of functionals and related Euler – Lagrange equations // Russian Math. –
2017. – 61, № 2. – P. 49 – 54.
14. Тлеубергенов М. И. Об обратной задаче динамики при наличии случайных возмущений // Изв. МН-АН РК.
Сер. физ.-мат. – 1998. – № 3. – С. 55 – 61.
15. Tleubergenov M. I. An inverse problem for stochastic differential systems // Different. Equat. – 2001. – 37, № 5. –
P. 751 – 753.
16. Тлеубергенов М. И. Об обратной стохастической задаче замыкания // Докл. МН-АН РК. – 1999. – № 1. –
С. 53 – 60.
17. Ибраева Г. Т., Тлеубергенов М. И. Об основной обратной задаче дифференциальных систем с вырождающейся
по части переменных диффузией // Мат. журн. – 2004. – 4, № 4(14). – С. 86 – 92.
18. Ibraeva G. T., Tleubergenov M. I. Main inverse problem for differential systems with degenerate diffusion // Ukr.
Math. J. – 2013. – 65, № 5. – P. 787 – 792.
19. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. – М.: Наука,
1990. – 632 с.
Получено 05.05.16,
после доработки — 29.05.18
|
| id | umjimathkievua-article-1425 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:06Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4e/df767eeee5d576f4b61c254bbb5f4e4e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14252019-12-05T08:54:16Z On the solvability of the main inverse problem of stochastic differential systems О разрешимости основной обратной задачи стохастических дифференциальных систем Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Using the quasi-inversion method we obtain necessary and sufficient conditions for the solvability of the main (according to Galiullin’s classification) inverse problem in the class of first-order Itˆo stochastic differential systems with random perturbations from the class of processes with independent increments, with diffusion degenerate in a part of variables and with given properties, depending on a part of variables. Методом квазiобернення отримано необхiднi та достатнi умовi розв’язностi основної за класифiкацiєю А. С. Галiуллiна оберненої задачi у класi стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто першого порядку з випадковими збуреннями iз класу процесiв iз незалежними приростами, з вироджуваною вiдносно частини змiнних дифузiєю й заданими властивостями, що залежать вiд частини змiнних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1425 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 1 (2019); 139-145 Український математичний журнал; Том 71 № 1 (2019); 139-145 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1425/409 Copyright (c) 2019 Ibraeva G. T.; Tleubergenov M. I. |
| spellingShingle | Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. On the solvability of the main inverse problem of stochastic differential systems |
| title | On the solvability of the main inverse problem of stochastic
differential systems |
| title_alt | О разрешимости основной обратной задачи
стохастических дифференциальных систем |
| title_full | On the solvability of the main inverse problem of stochastic
differential systems |
| title_fullStr | On the solvability of the main inverse problem of stochastic
differential systems |
| title_full_unstemmed | On the solvability of the main inverse problem of stochastic
differential systems |
| title_short | On the solvability of the main inverse problem of stochastic
differential systems |
| title_sort | on the solvability of the main inverse problem of stochastic
differential systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1425 |
| work_keys_str_mv | AT ibraevagt onthesolvabilityofthemaininverseproblemofstochasticdifferentialsystems AT tleubergenovmi onthesolvabilityofthemaininverseproblemofstochasticdifferentialsystems AT ibraevagt onthesolvabilityofthemaininverseproblemofstochasticdifferentialsystems AT tleubergenovmi onthesolvabilityofthemaininverseproblemofstochasticdifferentialsystems AT ibraevagt onthesolvabilityofthemaininverseproblemofstochasticdifferentialsystems AT tleubergenovmi onthesolvabilityofthemaininverseproblemofstochasticdifferentialsystems AT ibraevagt orazrešimostiosnovnojobratnojzadačistohastičeskihdifferencialʹnyhsistem AT tleubergenovmi orazrešimostiosnovnojobratnojzadačistohastičeskihdifferencialʹnyhsistem AT ibraevagt orazrešimostiosnovnojobratnojzadačistohastičeskihdifferencialʹnyhsistem AT tleubergenovmi orazrešimostiosnovnojobratnojzadačistohastičeskihdifferencialʹnyhsistem AT ibraevagt orazrešimostiosnovnojobratnojzadačistohastičeskihdifferencialʹnyhsistem AT tleubergenovmi orazrešimostiosnovnojobratnojzadačistohastičeskihdifferencialʹnyhsistem |