One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two variable
We obtain a new sharp inequality of the Landau – Kolmogorov type for a periodic function of two variables that estimates the convolution of the best uniform approximations of its partial primitives by the sums of univariate functions with the help of its $L_{\infty}$ -norm and uniform norms of its m...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1428 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507175969882112 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. Ф. |
| author_facet | Babenko, V. F. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. Ф. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | We obtain a new sharp inequality of the Landau – Kolmogorov type for a periodic function of two variables that estimates
the convolution of the best uniform approximations of its partial primitives by the sums of univariate functions with the help
of its $L_{\infty}$ -norm and uniform norms of its mixed primitives. Some applications of the obtained inequality are presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко (Днепр. нац. ун-т)
ОДНО НЕРАВЕНСТВО ТИПА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА
ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
We obtain a new sharp inequality of the Landau – Kolmogorov type for a periodic function of two variables that estimates
the convolution of the best uniform approximations of its partial primitives by the sums of univariate functions with the help
of its L\infty -norm and uniform norms of its mixed primitives. Some applications of the obtained inequality are presented.
Отримано нову точну нерiвнiсть типу Ландау – Колмогорова, яка для перiодичної функцiї двох змiнних оцiнює
конволюцiю найкращих рiвномiрних наближень частинних первiсних сумами функцiй однiєї змiнної через L\infty -
норму самої функцiї i рiвномiрну норму мiшаної первiсної. Наведено також деякi застосування отриманої нерiвностi.
1. Введение. Неравенства типа Ландау – Колмогорова для производных и первообразных функ-
ций одной и многих переменных, особенно с неулучшаемыми константами, важны для многих
областей математики. В этой связи усилия многих математиков на протяжении более чем 120-ти
лет были направлены на получение таких неравенств. Для функций одной переменной извест-
но много точных неравенств типа Ландау – Колмогорова (изложение большинства известных
результатов в этом направлении, а также изложение их приложений в теории аппроксимации
можно найти в обзорах [1, 2] и в монографии [3]). Для функций многих переменных точ-
ных неравенств существует гораздо меньше. При этом достаточно общие результаты известны
только в случаях, когда L2-норма или равномерная норма „промежуточной” производной оце-
нивается через L2-нормы самой функции и „старших” производных (соответствующие ссылки
можно найти в упомянутых выше обзорах и монографии). Точные неравенства, содержащие
только равномерные нормы функции, „промежуточной” и „старших” производных, известны
только для функций двух переменных и производных невысокого порядка § (см. [4 – 6]).
С неравенствами типа Ландау – Колмогорова тесно связана задача аппроксимации одно-
го класса функций другим. Это, в частности, было показано в работах В. В. Арестова [7],
Клоца [8] и А. А. Лигуна [9]. Так, в работе [9] (см. также [10], теорема 6.1.1) А. А. Ли-
гуном для периодических функций одной переменной доказана эквивалентность трех фактов:
наличия некоторого неравенства типа Колмогорова, существования определенной оценки для
приближения класса классом и, наконец, наличия некоторого неравенства для верхних граней
полунорм на некоторых классах функций. Много интересных приложений этой связи к тео-
рии аппроксимации классов периодических функций полиномами и сплайнами представлено в
монографии [10].
В работе [11] (см. также [3], теорема 7.4.1) получено обобщение теоремы эквивалентности
Лигуна на случай неравенств типа Ландау – Колмогорова для опорных функций выпуклых мно-
жеств. В частности, доказана эквивалентность наличия некоторого неравенства для опорных
функций выпуклых множеств и определенной оценки аппроксимации одного выпуклого мно-
жества гомотетами другого. Поскольку (см., например, [13]) при некоторых дополнительных
условиях опорная функция пересечения множеств A и B равна конволюции опорных функций
множеств A и B :
SA\cap B(x) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u+v=x
\{ SA(u) + SB(v)\} ,
c\bigcirc В. Ф. БАБЕНКО, 2019
158 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОДНО НЕРАВЕНСТВО ТИПА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 159
то для получения оценок аппроксимации пересечений классов периодических функций пред-
ставляет интерес получение неравенств для конволюций опорных функций таких классов. Це-
лью данной работы и является получение таких неравенств. Точнее, мы рассматриваем классы
W 1,0
1 и W 0,1
1 функций, являющихся частными первообразными для функций из единичного
шара пространства L1(\BbbT 2), ортогональных константе по каждой переменной. Для опорной
функции пересечения таких классов мы устанавливаем оценку сверху в виде конволюции наи-
лучших равномерных приближений частных первообразных суммами функций одной перемен-
ной. Затем мы получаем неулучшаемое неравенство типа Ландау – Колмогорова, оценивающее
такую конволюцию через L\infty -норму функции и наилучшее равномерное приближение сумма-
ми функций одной переменной ее смешанной первообразной – это основной результат данной
статьи.
Структура статьи такова. В пункте 2 введены необходимые обозначения, определены классы
W 1,0
1 , W 0,1
1 и W 1,1
1 , оценены S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
и вычислены S
W 1,1
1
. Неравенство, оценивающее кон-
волюцию наилучших равномерных приближений частных первообразных суммами функций
одной переменной через L\infty -норму функции и наилучшее равномерное приближение сумма-
ми функций одной переменной ее смешанной первообразной, получено в пункте 3. Здесь же
доказана его точность. Наконец, в пункте 4 с помощью этого неравенства установлена оценка
аппроксимации класса W 1,0
1 \cap W 0,1
1 гомотетами W 1,1
1 в метрике пространства L1(\BbbT 2).
2. Классы функций двух переменных и их опорные функции. Пусть \BbbT — единичная
окружность, реализованная как отрезок [0, 2\pi ] с отождествленными концами, и \BbbT 2 = \BbbT \times \BbbT .
Если G — измеримое множество с конечной мерой, то, как обычно, для p \in [1,\infty ] через Lp(G)
будем обозначать пространство функций x : G\rightarrow \BbbR c конечной нормой
\| x\| p = \| x\| Lp(G) =
\left\{
\left( \int
G
| x(t)| pdt
\right) 1/p
, если 1 \leq p <\infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ | x(t)| : t \in G\} , если p = \infty .
Если G = \BbbT или G = \BbbT 2 , то через C(G) будем обозначать пространство непрерывных функций
x : G \rightarrow \BbbR с соответствующей нормой (для которой мы, как и для нормы в пространстве
L\infty (G), будем использовать обозначение \| x\| \infty ).
Пусть измеримая функция x : \BbbT 2 \rightarrow \BbbR суммируема в p-й степени (ограниченная при p = \infty )
и имеет следующие свойства:
x(t1, \cdot ) \in Lp(\BbbT ) \forall t1 \in \BbbT и
\int
\BbbT
x(t1, t2)dt2 = 0,
x(\cdot , t2) \in Lp(\BbbT ) \forall t2 \in \BbbT и
\int
\BbbT
x(t1, t2)dt1 = 0.
Cовокупность всех таких функций с нормой \| \cdot \| p будем обозначать через L0
p(\BbbT 2).
Как обычно, пусть
B1(s) =
1
2\pi
\sum
k\in \BbbZ ,k \not =0
eiks
ik
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
160 В. Ф. БАБЕНКО
— ядро Бернулли 1-го порядка. Для x \in L0
1(\BbbT 2) и t = (t1, t2) \in \BbbT 2 обозначим
(I1,0x)(t) :=
\int
\BbbT
B1(t1 - u)x(u, t2)du, (I0,1x)(t) :=
\int
\BbbT
B1(t2 - u)x(t1, u)du
и
(I1,1x)(t) :=
\int
\BbbT 2
B1(t1 - u1)B1(t2 - u2)x(u)du.
Через W 1,0
1 обозначим класс функций, представимых в виде
y(t) = \phi (t2) + (I1,0x)(t), x \in L0
1(\BbbT 2), \| x\| 1 \leq 1, \phi \in C(\BbbT ),
через W 0,1
1 — класс функций, представимых в виде
y(t) = \psi (t1) + (I0,1x)(t), x \in L0
1(\BbbT 2), \| x\| 1 \leq 1, \psi \in C(\BbbT ),
а через W 1,1
1 — класс функций, представимых в виде
y(t) = \phi (t2) + \psi (t1) + (I1,1x)(t), x \in L0
1(\BbbT 2), \| x\| 1 \leq 1, \phi , \psi \in C(\BbbT ).
Будем рассматривать задачу приближения класса W 1,0
1 \cap W 0,1
1 классом NW 1,1
1 в метрике
пространства L1(\BbbT 2), т. е. задачу отыскания величины
EN = E(W 1,0
1 \cap W 0,1
1 , NW 1,1
1 )1 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W 1,0
1 \cap W 0,1
1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in NW 1,1
1
\| x - u\| 1.
По теореме двойственности для наилучших приближений выпуклым множеством [12, c. 19]
будем иметь
EN = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W 1,0
1 \cap W 0,1
1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| y\| \infty \leq 1
\left( \int
\BbbT 2
x(t)y(t)dt - N \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in W 1,1
1
\int
\BbbT 2
u(t)y(t)dt
\right) .
Поскольку класс W 1,1
1 содержит все функции вида \phi (t1)+\psi (t2) \in L1(\BbbT ), внутренний супремум
можно брать только по функциям y , ортогональным константе по каждой переменной. Меняя
затем порядок супремумов, получаем
EN = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L0\infty (\BbbT 2)
\| y\| \infty \leq 1
\left( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W 1,0
1 \cap W 0,1
1
\int
\BbbT 2
x(t)y(t)dt - N \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in W 1,1
1
\int
\BbbT 2
u(t)y(t)dt
\right) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L0\infty (\BbbT 2)
\| y\| 1\infty \leq 1
\Bigl(
S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
(y) - NS
W 1,1
1
(y)
\Bigr)
. (1)
Здесь S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
и S
W 1,1
1
— опорные функции множеств W 1,0
1 \cap W 0,1
1 и W 1,1
1 соответственно.
Вычислим S
W 1,1
1
и оценим S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
. Для любого y \in L0
\infty (\BbbT 2) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОДНО НЕРАВЕНСТВО ТИПА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 161
S
W 1,1
1
(y) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in W 1,1
1
\int
\BbbT 2
u(t)y(t)dt = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in L0
1(\BbbT
2)
\| v\| 1\leq 1
\int
\BbbT 2
(I1,1v)(t)y(t)dt =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in L0
1(\BbbT
2)
\| v\| 1\leq 1
\int
\BbbT 2
v(t)(I1,1y)(t)dt = E0,0(I1,1y)\infty . (2)
Здесь и везде ниже через E0,0(z)\infty обозначено наилучшее приближение функции z функциями
вида \phi (t1) + \psi (t2) в метрике пространства L\infty (\BbbT 2).
Далее
S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
(y) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W 1,0
1 \cap W 0,1
1
\int
\BbbT 2
x(t)y(t)dt =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W 1,0
1 \cap W 0,1
1
\left( \int
\BbbT 2
x(t)y1(t)dt+
\int
\BbbT 2
x(t)y2(t)dt
\right) .
В правой части последнего выражения y1, y2 \in L0
\infty (\BbbT 2) таковы, что y1 + y2 = y . Отсюда
выводим
S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
(y) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in L0
1(\BbbT
2)
\| v\| 1\leq 1
\int
\BbbT 2
y1(t)(I1,0v)(t)dt+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in L0
1(\BbbT
2)
\| w\| 1\leq 1
\int
\BbbT 2
y2(t)(I0,1w)(t)dt =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in L0
1(\BbbT
2)
\| v\| 1\leq 1
\int
\BbbT 2
v(t)(I1,0y1)(t)dt+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in L0
1(\BbbT
2)
\| w\| 1\leq 1
\int
\BbbT 2
w(t)(I0,1y2)(t)dt =
= E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty .
Следовательно,
S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
(y) \leq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y1,y2\in L0\infty
y1+y2=y
\{ E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty \} . (3)
3. Неравенство для конволюции наилучших приближений частных первообразных
суммами функций одной переменной. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для любой функции y \in L0
\infty (\BbbT 2) имеет место неравенство
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y1+y2=y
\{ E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty \} \leq
\sqrt{}
2\| y\| \infty E0,0(I1,1y)\infty . (4)
Неравенство (4) обращается в равенство для функции \sigma (t1, t2) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t1 - t2).
Доказательство. Для функции y \in L0
\infty (\BbbT 2) положим
y2(t1, t2) = (Sh,1y)(t1, t2) =
1
2h
h\int
- h
y(t1 + u, t2)du, y1 = y - y2.
Поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
162 В. Ф. БАБЕНКО
I0,1(Sh,1y)(t1, t2) =
1
2h
[(I1,1y)(t1 + h, t2) - (I1,1y)(t1 - h, t2)],
то для произвольных функций \phi , \psi \in C(\BbbT ) будем иметь
(I0,1y2)(t1, t2) -
1
2h
\phi (t1 + h) +
1
2h
\phi (t1 - h) =
=
1
2h
[(I1,1y)(t1 + h, t2) - \phi (t1 + h) - \psi (t2)] -
- 1
2h
[(I1,1y)(t1 - h, t2) - \phi (t1 - h) - \psi (t2)] .
Следовательно, \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| (I0,1y2)(t1, t2) - 1
2h
\phi (t1 + h) +
1
2h
\phi (t1 - h)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq 1
h
\| (I1,1y)(t1, t2) - \phi (t1) - \psi (t2)\| \infty
для любых \phi (t1) и \psi (t2), так что
E0,0(I0,1y2)\infty \leq 1
h
E0,0(I1,1y)\infty .
Далее
(I1,0y1)(t1, t2) = (I1,0y)(t1, t2) -
1
2h
h\int
- h
(I1,0y)(t1 + u, t2)du =
=
h\int
- h
I1,0y(t1 + u, t2)dgh(u) = -
h\int
- h
gh(u)y(t1 + u, t2)du,
где
gh(u) =
\left\{
- 1
2
- u
2h
, если u \in [ - h, 0],
1
2
- u
2h
, если u \in (0, h].
Таким образом,
\| I1,0y1\| \infty \leq h
2
\| y\| \infty .
Суммируя полученные оценки, имеем
E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty \leq 1
h
E0,0(I1,1y)\infty +
h
2
\| y\| \infty .
Подставляя в правую часть
h =
\biggl(
2E0,0(I1,1y)\infty
\| y\| \infty
\biggr) 1/2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОДНО НЕРАВЕНСТВО ТИПА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 163
и выполняя простые вычисления, получаем
E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty \leq
\sqrt{}
2\| y\| \infty E0,0(I1,1y)\infty .
Следовательно,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y1+y2=y
\{ E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty \} \leq
\sqrt{}
2\| y\| \infty E0,0(I1,1y)\infty .
Неравенство (4) доказано.
Докажем теперь, что функция y(t1, t2) = \sigma (t1, t2) обращает неравенство (4) в равенство. Как
обычно, через \varphi r, r \in \BbbZ +, будем обозначать идеальный сплайн Эйлера порядка r (определение
и свойства эйлеровых идеальных сплайнов можно найти в [3], § 2.1). Для этого, прежде всего,
покажем, что
E0,0(I1,1\sigma )\infty = \| I1,1\sigma \| \infty = \| \varphi 2\| \infty =
\pi 2
8
и
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y1,y2\in L0\infty (\BbbT 2)
y1+y2=\sigma
\{ E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty \} = \| I1,0\sigma \| \infty = \| I0,1\sigma \| \infty = \| \varphi 1\| \infty =
\pi
2
.
Для доказательства первого соотношения рассмотрим заданный на функциях из C(\BbbT 2) функ-
ционал
F (u) :=
1
4
\{ u(0, 0) - u(0, \pi ) - u(\pi , 0) + u(\pi , \pi )\} .
Ясно, что \| F\| = 1 и F (\phi (t1)+\psi (t2)) = 0. Используя теорему двойственности для наилучшего
приближения подпространством функций вида \phi (t1) + \psi (t2), получаем
E0,0(I1,1\sigma )\infty \geq | F (I1,1\sigma )| = \| \sigma \| \infty = \| \varphi 2\| \infty .
Неравенство
E0,0(I1,1\sigma )\infty \leq | \varphi 2| \infty
очевидно. Первое соотношение доказано.
Теперь докажем второе утверждение. Для линейного нормированного пространства X рас-
смотрим X \times X . Снабдим его покоординатной линейной структурой и нормой
\| (x, y)\| = \| x\| + \| y\| .
Любой линейный функционал F \in (X \times X)\ast будет иметь вид
F ((x, y)) = F1(x) + F2(y),
где F1, F2 \in X\ast (F1(x) = F ((x, 0)), F2(y) = F ((0, y))). При этом
\| F\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \| F1\| , \| F2\| \} .
Мы хотим показать, что
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in L0
\infty (\BbbT 2)
\{ E0,0(I1,0\sigma - I1,0u)\infty + E0,0(I0,1u)\infty \} = \| \varphi 1\| \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
164 В. Ф. БАБЕНКО
Величину, стоящую в левой части, запишем в виде (смысл используемых обозначений очеви-
ден)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \phi (t1)+\psi (t2)\}
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \xi (t1)+\eta (t2)\}
\{ \| I1,0\sigma (t1, t2) - (I1,0u)(t1, t2) - \phi (t1) - \psi (t2)\| \infty +
+\| (I0,1u)(t1, t2) - \xi (t1) - \eta (t2)\| \infty \}
и будем рассматривать ее как наилучшее приближение пары (I1,0\sigma (t1, t2), 0) парами вида
((I1,0u)(t1, t2) + \phi (t1) + \psi (t2), (I0,1u)(t1, t2) + \xi (t1) + \eta (t2)) (такие пары образуют подпро-
странство в пространстве L0
\infty (\BbbT 2)\times L0
\infty (\BbbT 2)).
На пространстве L0
\infty (\BbbT 2)\times L0
\infty (\BbbT 2) определим функционал F = F1 + F2 , где
F1(u) = F2(u) =
1
4\pi
\left\{
2\pi \int
0
u(t, t)dt -
2\pi \int
0
u(t, t - \pi )dt
\right\} .
Легко проверить, что \| F1\| \leq 1 и \| F2\| \leq 1. Кроме того,
F1(\phi (t1) + \psi (t2)) = 0, F2(\xi (t1) + \eta (t2)) = 0,
так как для u(t1, t2) = \phi (t1) будет u(t1, t1) = u(t1, t1 - \pi ), а для u(t1, t2) = \psi (t2) —
2\pi \int
0
\psi (t)dt -
2\pi \int
0
\psi (t - \pi )dt = 0.
Покажем, что
F1(I1,0u) + F2(I0,1u) = 0.
Имеем
(I1,0u)(t1, t2) =
2\pi \int
0
B1(t1 - v)u(v, t2)dv,
(I1,0u)(t1, t1) =
2\pi \int
0
B1(t1 - v)u(v, t1)dv
и
2\pi \int
0
(I1,0u)(t1, t1)dt1 =
2\pi \int
0
dt1
2\pi \int
0
B1(t1 - v)u(v, t1)dv.
Далее
(I0,1u)(t1, t2) =
2\pi \int
0
B1(t2 - v)u(t1, v)dv,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОДНО НЕРАВЕНСТВО ТИПА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 165
(I0,1u)(t1, t1) =
2\pi \int
0
B1(t1 - v)u(t1, v)dv
и
2\pi \int
0
(I0,1u)(t1, t1)dt1 =
2\pi \int
0
dt1
2\pi \int
0
B1(t1 - v)u(t1, v)dv =
= -
2\pi \int
0
dv
2\pi \int
0
B1(v - t1)u(t1, v)dt1.
Следовательно,
2\pi \int
0
(I1,0u)(t1, t1)dt1 +
2\pi \int
0
(I0,1u)(t1, t1)dt1 = 0.
Продолжим:
(I1,0u)(t1, t1 - \pi ) =
2\pi \int
0
B1(t1 - v)u(v, t1 - \pi )dv,
2\pi \int
0
(I1,0u)(t1, t1 - \pi )dt1 =
2\pi \int
0
dt1
2\pi \int
0
B1(t1 - v)u(v, t1 - \pi )dv,
(I0,1u)(t1, t1 - \pi ) =
2\pi \int
0
B1(t1 - \pi - v)u(t1, v)dv,
2\pi \int
0
(I0,1u)(t1, t1)dt1 =
2\pi \int
0
dt1
2\pi \int
0
B1(t1 - \pi - v)u(t1, v)dv =
= -
2\pi \int
0
dt1
2\pi \int
0
B1(v + \pi - t1)u(t1, v)dv = -
2\pi \int
0
dw
2\pi \int
0
B1(w - t1)u(t1, w - \pi )dv.
Следовательно,
2\pi \int
0
(I1,0u)(t1, t1 - \pi )dt1 +
2\pi \int
0
(I0,1u)(t1, t1 - \pi )dt1 = 0.
Второе утверждение доказано.
Наконец,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \phi (t1)+\psi (t2)\}
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \xi (t1)+\eta (t2)\}
\{ \| I1,0\sigma (t1, t2) - (I1,0u)(t1, t2) - \phi (t1) - \psi (t2)\| \infty +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
166 В. Ф. БАБЕНКО
+\| (I0,1u)(t1, t2) - \xi (t1) - \eta (t2)\| \infty \} \geq | F1(I1,0\sigma (t1, t2))| =
= | F1(\varphi 1(t1 - t2))| =
1
4\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\pi \int
0
\varphi 1(0)dt1 -
2\pi \int
0
\varphi 1(\pi )dt1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = | \varphi 1(0)| = \| \varphi 1\| \infty .
Поскольку неравенство
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \phi (t1)+\psi (t2)\}
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \xi (t1)+\eta (t2)\}
\{ \| I1,0\sigma (t1, t2) - (I1,0u)(t1, t2) - \phi (t1) - \psi (t2)\| \infty +
+\| (I0,1u)(t1, t2) - \xi (t1) - \eta (t2)\| \infty \} \leq \| I1,0\sigma \| \infty = \| \varphi 1\| \infty
очевидно, имеем
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \phi (t1)+\psi (t2)\}
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ \xi (t1)+\eta (t2)\}
\{ \| \varphi 1(t1 - t2) - (I1,0u)(t1, t2) - \phi (t1) - \psi (t2)\| \infty +
+\| (I0,1u)(t1, t2) - \xi (t1) - \eta (t2)\| \infty \} = \| \varphi 1\| \infty .
Подставляя полученные значения в неравенство (4), получаем равенство.
Теорема 1 доказана.
4. Оценка приближения класса \bfitW 1,0
1 \cap \bfitW 0,1
1 гомотетами класса \bfitW 1,1
1 .
Теорема 2. Для любого N > 0 cправедлива оценка
E(W 1,0
1 \cap W 0,1
1 , NW 1,1
1 )1 \leq
1
2N
.
Доказательство. Используя соотношения (1) – (4), имеем
E(W 1,0
1 \cap W 0,1
1 , NW 1,1
1 )1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L0\infty (\BbbT 2)
\| y\| \infty \leq 1
\Bigl(
S
W 1,0
1 \cap W 0,1
1
(y) - NS
W 1,1
1
(y)
\Bigr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L0\infty (\BbbT 2)
\| y\| \infty \leq 1
\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y1+y2=y
\{ E0,0(I1,0y1)\infty + E0,0(I0,1y2)\infty \} +NE0,0(I1,1y)\infty
\biggr\}
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L0\infty (\BbbT 2)
\| y\| \infty \leq 1
\biggl\{ \sqrt{}
2\| y\| \infty E0,0(I1,1y)\infty +NE0,0(I1,1y)\infty
\biggr\}
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in L0\infty (\BbbT 2)
\| y\| \infty \leq 1
\biggl\{ \sqrt{}
2E0,0(I1,1y)\infty +NE0,0(I1,1y)\infty
\biggr\}
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda >0
\Bigl\{ \surd
2\lambda +N\lambda
\Bigr\}
=
1
2N
.
Теорема 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОДНО НЕРАВЕНСТВО ТИПА ЛАНДАУ – КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 167
Литература
1. Арестов В. В., Габушин В. Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв.
вузов. Математика. – 1995. – 11. – С. 44 – 66.
2. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи
// Успехи мат. наук. – 1996. – № 6. – С. 88 – 124.
3. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
4. Коновалов В. Н. Точные неравенства для норм функций, третьих частных и вторых смешанных производных //
Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 67 – 78.
5. Тимощин O. A. Точные неравенства между нормами производных второго и третьего порядков // Докл. РАН. –
1995. – 344, № 1. – С. 20 – 22.
6. Бабенко В. Ф. О точных неравенствах типа Колмогорова для функций двух переменных // Доп. НАН України. –
2000. – № 5. – С. 7 – 11.
7. Арестов В. В. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной переменной // Тр.
Мат. ин-та АН СССР. – 1975. – 138. – С. 3 – 26.
8. Клоц Б. Е. Приближение дифференцируемых функций функциями большей гладкости // Мат. заметки. – 1977. –
21, № 1. – С. 21 – 32.
9. Ligun A. A. Inequalities for upper bounds of functionals // Anal. Math. – 1976. – 2, № 1. – P. 11 – 40.
10. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. – Киев: Наук. думка, 1982.
11. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Multivariate inequalities of Kolmogorov type and their applications //
Proc. Mannheim Conf. “Multivariate Approximation and Splines”, 1997. – P. 1 – 12.
12. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
13. Тихомиров В. М. Выпуклый анализ // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундам. направ-
ления / ВИНИТИ. – 1987. – 14. – С. 5 – 101.
Получено 25.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1428 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:09Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/25/9f60d95fb4930a2ff3cfa1febea2fd25.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14282019-12-05T08:54:43Z One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two variable Одно неравенство типа Ландау – Колмогорова для периодических функций двух переменных Babenko, V. F. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. Ф. We obtain a new sharp inequality of the Landau – Kolmogorov type for a periodic function of two variables that estimates the convolution of the best uniform approximations of its partial primitives by the sums of univariate functions with the help of its $L_{\infty}$ -norm and uniform norms of its mixed primitives. Some applications of the obtained inequality are presented. Отримано нову точну нерiвнiсть типу Ландау – Колмогорова, яка для перiодичної функцiї двох змiнних оцiнює конволюцiю найкращих рiвномiрних наближень частинних первiсних сумами функцiй однiєї змiнної через $L_{\infty}$ - норму самої функцiї i рiвномiрну норму мiшаної первiсної. Наведено також деякi застосування отриманої нерiвностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1428 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 158-167 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 158-167 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1428/412 Copyright (c) 2019 Babenko V. F. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Бабенко, В. Ф. Бабенко, В. Ф. One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two variable |
| title | One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two
variable |
| title_alt | Одно неравенство типа Ландау – Колмогорова для периодических функций
двух переменных |
| title_full | One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two
variable |
| title_fullStr | One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two
variable |
| title_full_unstemmed | One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two
variable |
| title_short | One inequality of the Landau – Kolmogorov type for periodic functions of two
variable |
| title_sort | one inequality of the landau – kolmogorov type for periodic functions of two
variable |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1428 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf oneinequalityofthelandaukolmogorovtypeforperiodicfunctionsoftwovariable AT babenkovf oneinequalityofthelandaukolmogorovtypeforperiodicfunctionsoftwovariable AT babenkovf oneinequalityofthelandaukolmogorovtypeforperiodicfunctionsoftwovariable AT babenkovf odnoneravenstvotipalandaukolmogorovadlâperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh AT babenkovf odnoneravenstvotipalandaukolmogorovadlâperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh AT babenkovf odnoneravenstvotipalandaukolmogorovadlâperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh |