Piecewise-polynomial approximations for the solutions of impulsive differential equations
On the basis of V. Dzyadyk’s approximation method, we consider the problems of construction and theoretical substantiation of high-precision numerical-analytic algorithms for the piecewise polynomial approximation of the solutions of problems with pulsed action.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1429 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507177219784704 |
|---|---|
| author | Bilenko, V. I. Bozhonok, K. V. Dzyadyk, S. Yu. Біленко, В. І. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. |
| author_facet | Bilenko, V. I. Bozhonok, K. V. Dzyadyk, S. Yu. Біленко, В. І. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. |
| author_sort | Bilenko, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | On the basis of V. Dzyadyk’s approximation method, we consider the problems of construction and theoretical substantiation
of high-precision numerical-analytic algorithms for the piecewise polynomial approximation of the solutions of problems
with pulsed action. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.622; 517.5
В. I. Бiленко, К. В. Божонок (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ),
С. Ю. Дзядик (Держ. ун-т телекомунiкацiй, Київ)
КУСКОВО-ПОЛIНОМIАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
IМПУЛЬСНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
On the basis of V. Dzyadyk’s approximation method, we consider the problems of construction and theoretical substantiation
of high-precision numerical-analytic algorithms for the piecewise polynomial approximation of the solutions of problems
with pulsed action.
Розглядаються питання конструювання i теоретичного обґрунтування високоточних чисельно-аналiтичних алго-
ритмiв кусково-полiномiальної апроксимацiї розв’язкiв задач з iмпульсним впливом на основi апроксимацiйного
методу В. К. Дзядика.
1. Вступ. Постановка задачi. Математичною моделлю алгебраїчно нелiнiйної системи з iм-
пульсним впливом у загальному випадку [1 – 8] є система диференцiальних рiвнянь
A(x, u)
du
dx
= f(x, u), x \not = xi, x \in [0, H], u = (u1, . . . , ur) \in D \subset \BbbR r, (1)
де компоненти матрицi A(x, u) i вектора f(x, u) — кусково-полiномiальнi функцiї вiдповiдного
числа змiнних iз фiксованими умовами перемикання типу „interface condition”
\Delta u | x=xi = Ii(u) = u(xi + 0) - u(xi - 0).
Особливий практичний iнтерес становлять задачi з невiдомими моментами iмпульсної дiї.
В роботi розглядається питання побудови, обґрунтування та комп’ютерної реалiзацiї алго-
ритму кусково-полiномiальної апроксимацiї розв’язкiв системи диференцiальних рiвнянь ви-
гляду (1).
Цей алгоритм ґрунтується на апроксимацiйному методi В. К. Дзядика, наведеному в робо-
тах [9 – 11]. Важливими властивостями i перевагами цього алгоритму над iншими методами й
алгоритмами є його оптимальнiсть у сенсi найкращих наближень та ненасиченiсть (алгоритм
без насичення точностi [12] або алгоритм iнтелектуального моделювання [13]). Це особливо
важливо при необхiдностi уникнення явища «вибуху похибок» для iмпульсних задач [14].
Актуальнiсть таких питань обумовлена зростаючими вимогами до трьох основних харак-
теристик обчислювальних алгоритмiв: точностi, швидкодiї та iнформацiйної складностi [12].
Насамперед це потрiбно у зв’язку з необхiднiстю забезпечення високої точностi та надiйностi
математичного i комп’ютерного моделювання екстремальних динамiчних процесiв, систем i
технологiй, пов’язаних iз ризиком для життя людей.
Зокрема, iмпульснi диференцiальнi рiвняння являють собою математичнi моделi рiзних
явищ i процесiв в аерокосмонавтицi (оптимальне управлiння та безпека лiтальних апара-
тiв), ядернiй фiзицi, супрамолекулярних структурах, наноелектронних i надпровiдних систе-
мах, хiмiчнiй кiнетицi, теорiї еволюцiйних процесiв та iн. [13, 15]. Значну роль у розширеннi
можливостей апроксимацiйних методiв В. К. Дзядика вiдiграли вiдомi вiдкриття Нобелiвських
лауреатiв у галузi нанофiзики [15, 16] зi створення скануючого тунельного i скануючого атомно-
силового мiкроскопiв.
c\bigcirc В. I. БIЛЕНКО, К. В. БОЖОНОК, С. Ю. ДЗЯДИК, 2019
168 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КУСКОВО-ПОЛIНОМIАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ IМПУЛЬСНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 169
2. Алгоритм. Розглянемо iдею вказаного вище алгоритму, використавши результати ро-
бiт [11, 17, 18].
1. Зведемо аналогiчно [17 – 20] задачу (1) (у випадку одного рiвняння, матрицi A(x, u) =
= A(x) i компонент вектора f(x, u) з алгебраїчною нелiнiйнiстю вiдносно розв’язку) до еквi-
валентного iнтегрального рiвняння типу Вольтерра третього роду
A(x)u(x) = u(0) +
x\int
0
F (t, u(t)) dt, (2)
де F (x, u) — алгебраїчний многочлен двох змiнних, що знаходиться в результатi еквiвалентного
переходу (див. [17]).
2. Отриманому iнтегральному рiвнянню поставимо у вiдповiднiсть на кожному вiдрiзку
[xi, xi+1], i = 0,m, наближене iнтегро-функцiональне рiвняння
A(x)un,i(x) = un,i - 1(xi) +
x\int
xi
F (t, un,i(t)) dt+ \varepsilon N,i(x), (3)
де un,i(x) — розв’язок рiвняння, що є алгебраїчним многочленом степеня не вищого за n на
вiдрiзку [xi, xi+1], одного з виглядiв
un,i(x) =
n\sum
k=0
\alpha kix
k, un,i(x) =
n\sum
k=0
\beta kiTk
\biggl(
2(x - xi)
hi
- 1
\biggr)
, hi = xi+1 - xi, (4)
з невiдомими коефiцiєнтами \alpha ki (або \beta ki). У рiвняннi (3) \varepsilon N,i(x) — нев’язка-многочлен степеня
N, що залежить вiд степенiв многочленiв un,i(x) та F [11]:
\varepsilon N,i(x) =
N\sum
k=n+1
\tau kiTk
\biggl(
2(x - xi)
hi
- 1
\biggr)
, (5)
де Tk(z) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(k \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z) — многочлен Чебишова першого роду, \tau ki — невiдомi допомiжнi
параметри.
3. Для знаходження коефiцiєнтiв \alpha ki (або \beta ki) i \tau ki можна використати iтерацiйну схему
A(x)un,i,\nu (x) = un,i - 1,\nu (xi) +
x\int
xi
F
\bigl(
t, un,i,\nu - 1(t)
\bigr)
dt+ \varepsilon N,i,\nu (x), (6)
де \nu = 1, 2, . . . — номер кроку iтерацiйного процесу; un,i,\nu (E) i \varepsilon N,i,\nu (x) — многочлени вiдпо-
вiдного вигляду (4) i (5) з коефiцiєнтами \alpha ki (або \beta ki) i \tau ki на \nu -му кроцi iтерацiй.
Прирiвнюючи в (6) при кожному \nu = 1, 2, . . . коефiцiєнти з однаковими степенями, одер-
жуємо для \alpha k\nu (або \beta k\nu ) i \tau k\nu деяку систему (N + 1)-го лiнiйного алгебраїчного рiвняння.
3. Теоретичне обґрунтування. Перед тим як перейти до вивчення питання обґрунтування
запропонованого алгоритму, введемо необхiднi позначення.
Через C[\cdot ] i L2
p[\cdot ] будемо позначати вiдповiдно простiр неперервних функцiй i сумовних iз
квадратом при чебишовськiй вазi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
170 В. I. БIЛЕНКО, К. В. БОЖОНОК, С. Ю. ДЗЯДИК
pi(x) = 1
\Bigg/ \sqrt{}
1 -
\biggl(
2
x - xi
hi
- 1
\biggr) 2
(7)
на вiдрiзку [xi, xi+1] функцiй з загальновiдомими нормами \| \cdot \| C[xi,xi+1], \| \cdot \| L2
p[xi,xi+1]. При
дослiдженнi похибок розв’язування рiвнянь припустимо, що
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in [0,H]
A(x) \geq a\ast > 0. (8)
На основi результатiв робiт [11, 17] має мiсце таке твердження про вiдхилення наближено-
го кусково-полiномiального розв’язку \^un(x) =
\bigl\{
un,i(x), i = 0,m
\bigr\}
вiд точного розв’язку u(x)
рiвняння (1).
Теорема 1. Нехай числа H > 0 i n = 1, 2, . . . такi, що в кулi
\sigma (\rho ) =
\bigl\{
\psi \in C[0, H] : \| \psi \| C[0,H] \leq \rho
\bigr\}
iснують єдиний розв’язок u(x) рiвняння (1) i єдинi розв’язки un,i(x) рiвнянь (3) на промiжках
[xi, xi+1] такi, що
\bigm\| \bigm\| un,i(x)\bigm\| \bigm\| X \leq \rho . Тодi для кожного i = 0,m виконуються нерiвностi
\bigm\| \bigm\| u(x) - \^un(x)
\bigm\| \bigm\|
X
\leq M1m
a\ast
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
\bigm\| \bigm\| \varepsilon N,i(x)
\bigm\| \bigm\|
X[xi,xi+1]
, (9)
\| u(x) - \^un(x)\| L2
p
\leq m
a\ast
\Biggl(
1 +
h
\surd
N
n+ 1
M2
\Biggr)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
\| \varepsilon N,i(x)\| L2
p[xi,xi+1]
. (10)
При виконаннi нерiвностi
\theta n(H, p) =
1
a\ast
\Biggl(
1 - \pi h
\surd
N
2(n+ 1)
M1
\Biggr)
\geq 0 (11)
справедливою є оцiнка
\bigm\| \bigm\| u(x) - \^un(x)
\bigm\| \bigm\|
X
\leq \lambda N (X[0, H])
a\ast \theta n(H, p)
\Biggl(
1 +
h
\surd
N
n+ 1
M2
\Biggr)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
\bigl(
EN,i(u)X[xi,xi+1]
\bigr)
, (12)
де h = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i hi, M1, M2 — деякi сталi, що не залежать вiд n. Простiр X[\cdot ] є простором
C[\cdot ] неперервних функцiй або простором L2
p[\cdot ] сумовних iз квадратом при чебишовськiй вазi (7)
функцiй; En(u)X[\cdot ] — величина найкращого наближення многочленами функцiї u(x) в X[\cdot ],
\lambda N (X[\cdot ]) = 1 для простору L2
p[\cdot ] i \lambda N (X[\cdot ]) =
\surd
2N для простору C[\cdot ].
Доведення ґрунтується на результатах робiт [9 – 11]. Розглянемо спочатку похибку на iн-
тервалi [x0, x1]. Згiдно з (8) подiлимо обидвi частини рiвнянь (2) i (3) на A(x) i отримаємо
u(x) - un,0(x) =
1
A(x)
x\int
x0
F (t, y(t)) - F
\bigl(
t, un,0(t)
\bigr)
dt+
\varepsilon N,0(x)
A(x)
. (13)
З виразу (13), враховуючи вигляд A(x), f(x, u) i F (t, u(t)), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КУСКОВО-ПОЛIНОМIАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ IМПУЛЬСНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 171
u(x) - un,0(x) =
=
1
A(x)
x\int
x0
\left( S\sum
l=0
J\sum
j=0
bljt
l\mu j,n,0(t) +
r\sum
k=1
kakt
k - 1
\right) \bigl( u(t) - un,0(t)
\bigr)
dt+
\varepsilon N,0(x)
A(x)
, (14)
де
\mu j,n,0(t) =
j - 1\sum
p=0
upn,0(t)u
j - p - 1(t). (15)
Внаслiдок лiнiйностi рiвняння (15) вiдносно рiзницi u(x) - un,0(x) справджується рiвнiсть
u(x) - un,0(x) =
\varepsilon N,0(x)
A(x)
+
x\int
x0
Rn,0(x, t)
\varepsilon N,0(t)
A(t)
dt, (16)
де Rn,0(x, t) — резольвента ядра
Gn,0(x, t) =
1
A(x)
\left( S\sum
l=0
J\sum
j=0
bljt
l\mu j,n,0(t) +
r\sum
k=1
kakt
k - 1
\right) (17)
рiвняння (14).
Звiдси, на основi нерiвностi Гронуолла – Белмана [21, 22], згiдно з (8) i (14) з урахуванням
того, що u, \^un \in \sigma (\rho ), отримуємо оцiнку (9) для X[x0, x1] = C[x0, x1].
Якщо застосувати рiвнiсть (16) та нерiвнiсть Буняковського для оцiнювання резольвенти
Rn,0(x, t) згiдно з (17), то можна пересвiдчитись у справедливостi оцiнки (9) при X[x0, x1] =
= L2
p0[x0, x1]:
\bigm\| \bigm\| u(x) - un,0(x)
\bigm\| \bigm\|
L2
p
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon N,0(x)
A(x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
p0
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x\int
x0
Rn,0(x, t)
\varepsilon N,0(t)
A(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
p0
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon N,0(x)
A(x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
p
\left[ 1 +
\left(
x1\int
x0
x\int
x0
R2
n,0(x, t)
\sqrt{}
1 -
\biggl(
2
t - x0
h0
- 1
\biggr) 2
1 -
\biggl(
2
x - x0
h0
- 1
\biggr) 2 dt dx
\right)
1/2
\right] \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon N,0(x)
A(x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
p
\biggl[
1 +
H\pi
2a\ast
M1,0(h0, \rho ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(HM1,0(H, \rho )/a\ast )
\biggr]
. (18)
Таким чином, на iнтервалi [x0, x1] у просторi L2
p[x0, x1] нерiвнiсть (9) встановлено.
Далi, для простору L2
p[x0, x1] на пiдставi теореми про диференцiйовнiсть за параметром,
вимоги якої задовольняються, виконуємо замiну z = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
2
t - x0
h0
- 1
\biggr)
й iнтегруємо части-
нами iнтеграл, що мiститься у правiй частинi (14). Iз урахуванням (2) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
172 В. I. БIЛЕНКО, К. В. БОЖОНОК, С. Ю. ДЗЯДИК\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
x0
Rn,0(x, t)
\varepsilon N,0(t)
A(t)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
x0
Rn,0(x, t)
N\sum
k=n+1
\tau k0Tk
\biggl(
2
t - x0
h0
- 1
\biggr)
1
A(t)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= h0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
N\sum
k=n+1
\tau k0
n+ k
\Biggl[
Rn,0(x, h0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n+ k)z
A(h0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| arccos
\Bigl(
2
t - x0
h0
- 1
\Bigr)
\pi /2
-
-
arccos(x)\int
\pi /2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n+ k)z
\partial
\partial z
\biggl(
Rn,0(x, h0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z
A(h0 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z)
\biggr)
dz
\Biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq h0c0(h0, \rho )
N\sum
k=n+1
| \tau k0|
n+ k
\leq h0\| \tau 0\|
\surd
N
n+ 1
c0(h0, \rho ), (19)
де
\| \tau 0\| =
\Biggl(
N\sum
l=1
\tau 2l0
\Biggr)
. (20)
A0(h0, \rho ) — деяка стала, що не залежить вiд n.
Якщо тепер скористатися тим, що внаслiдок ортогональностi полiномiв Чебишова
Tk
\biggl(
2
t - x0
h0
- 1
\biggr)
на [x0, x1] iз вагою \rho 0 виконуються, аналогiчно [11], нерiвностi
\| \tau 0\| =
\left[ 2
\pi h0
xi+1\int
xi
\varepsilon 2N,0(x)dx\sqrt{}
1 -
\biggl(
2 \cdot t - x0
h0
- 1
\biggr) 2
\right]
1/2
\leq \| A(x)\| C
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon N,0(x)
A(x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
p
, (21)
то з (16) з урахуванням (17) отримаємо нерiвнiсть (9).
Далi, внаслiдок лiнiйностi i проекцiйностi полiномiальних операторiв Фур’є – Чебишова,
при виконаннi умови (11) одержимо, аналогiчно [11], оцiнку
\| \tau 0\| \leq
En(u)L2
pi
\theta n(h0, \rho )
.
Звiдси, врахувавши попередню оцiнку та нерiвнiсть (18), отримаємо (12).
Теорему на вiдрiзку [x0, x1] доведено.
На вiдрiзку [x1, x2] вираз (13) набирає вигляду
u(x) - un,1(x) =
u0 - un,0(x1)
A(x)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КУСКОВО-ПОЛIНОМIАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ IМПУЛЬСНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 173
+
1
A(x)
x\int
x1
\bigl[
F (t, u(t)) - F (t, un,1(t))
\bigr]
dt+
\varepsilon N,1(x)
A(x)
.
За допомогою мiркувань, аналогiчних попереднiм, iз використанням резольвенти на вiдрiзку
[x1, x2] отримаємо
u(x) - un,1(x) =
\varepsilon N,1(x)
A(x)
+
u0 - un,0(x1)
A(x)
+
+
x\int
x1
Rn,1(x, t)
\biggl(
\varepsilon N,1(t)
A(t)
+
u0 - un,0(x1)
A(t)
\biggr)
dt,
де Rn,1(x, t) — резольвента вiдповiдного ядра Gn,1, вигляд якого подiбний до (17).
Оцiнка (9) на даному iнтервалi матиме вигляд
\| u(x) - u1,0(x)\| L2
p
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon N,1(x)
A(x)
+
u0 - un,0(x1)
A(x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
p
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x\int
x1
Rn,1(x, t)
\biggl(
\varepsilon N,1(t)
A(t)
+
u0 - un,0(x1)
A(t)
\biggr)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2
p
\leq
\leq
\| \varepsilon N,0(x)\| L2
p
+ \| \varepsilon N,1(x)\| L2
p
a\ast
\biggl[
1 +
h1\pi
2a\ast
M1,1(h1, \rho ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(HM1,1(h1, \rho )/a\ast )
\biggr]
.
Оцiнки (10), (12) на цьому iнтервалi одержимо у виглядi\bigm\| \bigm\| u(x) - \^un(x)
\bigm\| \bigm\|
X[0,H]
\leq 2
a\ast
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
\bigl(
\| \varepsilon N,0(x)\| X[x0,x1]
, \| \varepsilon N,1(x)\| X[x1,x2]
\bigr)
,\bigm\| \bigm\| u(x) - un,1(x)
\bigm\| \bigm\|
L2
p[0,H]
\leq
\leq 2
a\ast
\Biggl(
1 +
h1
\surd
N
n+ 1
M2,1
\Biggr)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
\bigl(
\| \varepsilon N,0(x)\| L2
p[x0,x1], \| \varepsilon N,1(x)\| L2
p[x1,x2]
\bigr)
,
\bigm\| \bigm\| u(x) - un,1(x)
\bigm\| \bigm\|
X[0,H]
\leq
\biggl(
\lambda N (X[0, H])
a\ast \theta n(h1, \rho )
\biggr) \Biggl(
1 +
h1
\surd
N
n+ 1
M2,1
\Biggr)
\times
\times \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
\Bigl(
\| EN,0(u)\| X[x0,x1], \| EN,1(u)\| X[x1,x2]
\Bigr)
.
Звiдси методом iндукцiї легко переконатись у виконаннi нерiвностей (9), (10), (12) для i =
= 1, . . . ,m, якщо покласти
M1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
M1,i, M2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq m
M2,i.
Теорему доведено.
Таким чином, iз нерiвностей (9) – (12) можна зробити висновок, що алгоритм буде оптималь-
ним за порядком у сенсi найкращих наближень, ненасичуваним за точнiстю, а отже, ефектив-
ним у випадку задач з iмпульсним впливом за неповної iнформацiї щодо гладкостi початкових
функцiй.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
174 В. I. БIЛЕНКО, К. В. БОЖОНОК, С. Ю. ДЗЯДИК
4. Обчислювальний експеримент. Для реалiзацiї запропонованого алгоритму було вибра-
но такi iмпульснi диференцiальнi рiвняння.
Приклад 1:
y\prime = y, y(0) = 1,
y(\xi ) =
\surd
e, x \in [0; 1].
Наближений розв’язок можна шукати у виглядi полiномa:
y1(x) =
\left\{ C0 + C1x, якщо 0 \leq x \leq \xi ,
C2 + C3x, якщо \xi \leq x \leq 1.
Розглянемо два випадки: 1) \xi =
1
2
— фiксований момент, 2) \xi — невiдомий момент iмпульс-
ної дiї.
Наближенi рiвняння для знаходження C0, C1 i C2, C3 згiдно з алгоритмом матимуть вигляд
C0 + C1x = 1 +
x\int
0
(C0 + C1t) dt+ \tau 1T2
\biggl(
2x - \xi
\xi
\biggr)
,
C2 + C3x =
\surd
e+
x\int
\xi
(C2 + C3t) dt+ \tau 2T2
\biggl(
2x - (1 + \xi )
1 - \xi
\biggr)
,
де \tau 1, \tau 2 — невiдомi допомiжнi параметри, T2
\biggl(
2x - \xi
\xi
\biggr)
i T2
\biggl(
2x - (1 + \xi )
1 - \xi
\biggr)
— многочлени
Чебишова другого степеня, змiщенi з вiдрiзка [ - 1; 1] на вiдрiзки [0; \xi ] i [\xi ; 1] вiдповiдно.
Пiсля пiдстановки виразiв для многочленiв Чебишова у наближенi рiвняння отримуємо
системи
C0 - \tau 1 = 1,
- \xi C0 + \xi C1 + 8\tau 1 = 0,
\xi 2
2
C1 + 8\tau 1 = 0
i
(1 + \xi )C2 +
\xi 2
2
C3 -
\xi 2 + 6\xi + 1
(1 - \xi )2
\tau 2 =
\surd
e,
- C2 + C3 +
8(1 + \xi )
(1 - \xi )2
\tau 2 = 0,
C3
2
+
8
(1 - \xi )2
\tau 2 = 0
для знаходження невiдомих C0, C1, \tau 1 i C2, C3, \tau 2 у першому випадку. У другому випадку до
першої з систем додається умова для пошуку невiдомого моменту C0 + \xi C1 =
\surd
e.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КУСКОВО-ПОЛIНОМIАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ IМПУЛЬСНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 175
Рис. 1
В результатi розв’язання цих систем було отримано:
у першому випадку, коли \xi =
1
2
— фiксований момент iмпульсної дiї (рис. 1),
y1(x) =
\left\{
48/49 + (64/49)x, 0 \leq x \leq 1/2,
(16/49)e1/2 + (64/49)e1/2x, 1/2 \leq x \leq 1,
\tau 1 = - 1/49, \tau 2 = - (1/49)e1/2,
або
y1(x) =
\left\{
0,9795918367 + 1,306122449x, якщо 0 \leq x \leq 1/2,
0,5383579660 + 2,53431864x, якщо 1/2 \leq x \leq 1,
\varepsilon \approx 0,367435460;
у першому випадку, коли \xi — невiдомий момент iмпульсної дiї (рис. 2),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
176 В. I. БIЛЕНКО, К. В. БОЖОНОК, С. Ю. ДЗЯДИК
Рис. 2
y1(x) =
\left\{
0,786376715 + 1,13679471x, якщо 0 \leq x \leq \xi ,
0,237555411 + 2,38134182x, якщо \xi \leq x \leq 1,
\xi \approx 0,100815032,
\tau 1 = - 0,21362328, \tau 2 = - 0,3207470482,
\varepsilon \approx 0,5639210366.
Приклад 2:
y\prime =
1
1 + x
, y(0) = 0,
y(\xi ) = \mathrm{l}\mathrm{n}(3/2), x \in [0; 1].
За допомогою мiркувань, аналогiчних наведеним у прикладi 1, було отримано:
у першому випадку, коли \xi =
1
2
— фiксований момент iмпульсної дiї,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КУСКОВО-ПОЛIНОМIАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ IМПУЛЬСНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 177
y1(x) =
\left\{
1/80 + (4/5)x, 0 \leq x \leq 1/2,
( - 47/168) + \mathrm{l}\mathrm{n}(3/2) + (4/7)x, 1/2 \leq x \leq 1,
\tau 1 = 1/80, \tau 2 = 1/112,
або
y1(x) =
\left\{
0,125 + 0,x, якщо 0 \leq x \leq 1/2,
0,257032033 + 0,714285714x, якщо 1/2 \leq x \leq 1,
\varepsilon \approx 0,125;
у другому випадку, коли \xi — невiдомий момент iмпульсної дiї,
y1(x) =
\left\{
0,120427671 + 0,032888300x, якщо 0 \leq x \leq \xi ,
0,310383111 + 0,731045773x, якщо \xi \leq x \leq 1,
\xi \approx 0,89764485,
\tau 1 = 0,120427671, \tau 2 = 0,09325137835,
\varepsilon \approx 0,1212549162.
Проведенi обчислювальнi експерименти на тестових задачах iлюструють теоретично про-
гнозованi властивостi ненасичуваностi й оптимальностi в сенсi найкращих наближень побу-
дованого алгоритму. Зазначимо також, що вже при малих степенях многочлена алгоритм дає
достатньо високу точнiсть як для наближеного розв’язку рiвняння, так i для наближених невi-
домих моментiв iмпульсної дiї.
Лiтература
1. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Перестюк Н. А. К вопросу обоснования метода усреднения для
уравнения 2-го порядка с импульсным воздействием // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 750 – 762.
2. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects,
multivalued right-hand sides with discontinuities. – Berlin; Boston: Walter de Gruyter, 2011. – 307 p.
3. Perestyuk M. O., Chernikova O. S. Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations // Ukr.
Math. J. – 2008. – 60, № 1. – P. 91 – 107.
4. Капустян О. В., Перестюк М. О., Романюк I. В. Стiйкiсть глобальних атракторiв iмпульсних нескiнченнови-
мiрних систем // Укр. мат. журн. – 2018. – 70, № 1. – С. 29 – 39.
5. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989. – 520 p.
6. Фекета П. В., Перестюк Ю. М. Теореми про збурення для многочастотної системи з iмпульсами // Нелiнiйнi
коливання. – 2015. – 18, № 2. – С. 280 – 289.
7. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Бифуркация решений импульсной краевой задачи // Нелiнiйнi коливання. – 2008. –
11, № 1. – С. 21 – 31.
8. Schwabik S. Differential equations with interface conditions // Cas. pestov. mat. – 1980. – 105. – P. 391 – 410.
9. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1988. – 304 с.
10. Биленко В. И. О погрешности a-метода решения интегральных уравнений Вольтерра с полиномиальными
нелинейностями // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 4. – С. 537 – 543.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
178 В. I. БIЛЕНКО, К. В. БОЖОНОК, С. Ю. ДЗЯДИК
11. Бiленко В. I., Дерiєнко А. I., Кирилаха Н. Г. Кусково-полiномiальнi наближення розв’язкiв жорстких задач на
основi апроксимацiйного методу В. К. Дзядика // Журн. обчислюв. та прикл. математики. – 2013. – № 2. –
С. 68 – 77.
12. Гаврилюк И. П., Макаров В. Л. Сильно позитивные операторы и численные алгоритмы без насыщения точнос-
ти. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2004. – 500 с.
13. Гладкий С. Л., Степанов Н. А., Ясницкий Л. Н. Интеллектуальное моделирование физических проблем. – М.;
Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотичная динамика”, 2006. – 200 с.
14. Бабенко К. И. О явлении насыщения в численном анализе // Докл. АН СССР. – 1978. – 241, № 3. – С. 505 – 508.
15. Еленин Г. Г. Нанотехнологии и вычислительная математика // Мат. моделирование в нанотехнологиях и
структурах: Тр. науч. сем. – М.: МИФИ, 2001. – 116 с.
16. Физико-химия наноматериалов и супрамолекулярных структур: В 2 т. / Под ред. А. П. Шпака, П. П. Горбика. –
Киев: Наук. думка, 2007. – Т. 2. – 440 с.
17. Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б. Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно
нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2016. – 13, № 3. –
С. 7 – 27.
18. Bilenko V. I., Bozhonok K. V., Dzyadyk S. Y., Stelya O. B. Piecewise polynomial algorithms for the analysis of
processes in inhomogeneous media // Cybernet. and Systems Anal. – 2018. – 54, № 4. – P. 636 – 642.
19. Bozhonok E. V. Some existence conditions for the compact extrema of variational functionals of several variables in
Sobolev space W 1,2 // Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 190. – P. 141 – 155.
20. Дзядык С. Ю. О поведении решения неоднородных дифференциальных уравнений с точкой поворота и малым
параметром при производной // Укр. мат. журн. – 1973. – 25, № 2. – С. 657 – 662.
21. Романюк А. С. Тригонометрические и линейные поперечники классов периодических функций многих пере-
менных // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 5. – С. 670 – 681.
22. Галан В. Д., Шевчук И. О. Точна стала в нерiвностi Дзядика для похiдної вiд алгебраїчного полiнома // Укр.
мат. журн. – 2017. – 69, № 5. – С. 624 – 630.
Одержано 27.09.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1429 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:10Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2f/5cdfe5b1366f5fbea3cbdb5eb11a092f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14292019-12-05T08:54:43Z Piecewise-polynomial approximations for the solutions of impulsive differential equations Кусково-поліноміальні наближення розв’язків імпульсних диференціальних рівнянь Bilenko, V. I. Bozhonok, K. V. Dzyadyk, S. Yu. Біленко, В. І. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. On the basis of V. Dzyadyk’s approximation method, we consider the problems of construction and theoretical substantiation of high-precision numerical-analytic algorithms for the piecewise polynomial approximation of the solutions of problems with pulsed action. Розглядаються питання конструювання i теоретичного обґрунтування високоточних чисельно-аналiтичних алго- ритмiв кусково-полiномiальної апроксимацiї розв’язкiв задач з iмпульсним впливом на основi апроксимацiйного методу В. К. Дзядика. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1429 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 168-179 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 168-179 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1429/413 Copyright (c) 2019 Bilenko V. I.; Bozhonok K. V.; Dzyadyk S. Yu. |
| spellingShingle | Bilenko, V. I. Bozhonok, K. V. Dzyadyk, S. Yu. Біленко, В. І. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. Piecewise-polynomial approximations for the solutions of impulsive differential equations |
| title | Piecewise-polynomial approximations
for the solutions of impulsive differential equations |
| title_alt | Кусково-поліноміальні наближення розв’язків
імпульсних диференціальних рівнянь |
| title_full | Piecewise-polynomial approximations
for the solutions of impulsive differential equations |
| title_fullStr | Piecewise-polynomial approximations
for the solutions of impulsive differential equations |
| title_full_unstemmed | Piecewise-polynomial approximations
for the solutions of impulsive differential equations |
| title_short | Piecewise-polynomial approximations
for the solutions of impulsive differential equations |
| title_sort | piecewise-polynomial approximations
for the solutions of impulsive differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1429 |
| work_keys_str_mv | AT bilenkovi piecewisepolynomialapproximationsforthesolutionsofimpulsivedifferentialequations AT bozhonokkv piecewisepolynomialapproximationsforthesolutionsofimpulsivedifferentialequations AT dzyadyksyu piecewisepolynomialapproximationsforthesolutionsofimpulsivedifferentialequations AT bílenkoví piecewisepolynomialapproximationsforthesolutionsofimpulsivedifferentialequations AT božonokkv piecewisepolynomialapproximationsforthesolutionsofimpulsivedifferentialequations AT dzâdyksû piecewisepolynomialapproximationsforthesolutionsofimpulsivedifferentialequations AT bilenkovi kuskovopolínomíalʹnínabližennârozvâzkívímpulʹsnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT bozhonokkv kuskovopolínomíalʹnínabližennârozvâzkívímpulʹsnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT dzyadyksyu kuskovopolínomíalʹnínabližennârozvâzkívímpulʹsnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT bílenkoví kuskovopolínomíalʹnínabližennârozvâzkívímpulʹsnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT božonokkv kuskovopolínomíalʹnínabližennârozvâzkívímpulʹsnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT dzâdyksû kuskovopolínomíalʹnínabližennârozvâzkívímpulʹsnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |