On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$
The upper and lower estimates for the Kolmogorov, linear, Bernstein, Gelfand, projective, and Fourier widths are obtained in the space $L_{2,x}(0, 1)$ for the classes of functions $W^r_2 (\Omega^{(\nu )}_{m,x}; \Psi )$, where $r \in Z+, m \in N, \nu \geq 0,$ and $\\Omega^{(\nu )}_{m,x}$ and $\Ps...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1430 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507179764678656 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | The upper and lower estimates for the Kolmogorov, linear, Bernstein, Gelfand, projective, and Fourier widths are obtained
in the space $L_{2,x}(0, 1)$ for the classes of functions $W^r_2 (\Omega^{(\nu )}_{m,x}; \Psi )$, where $r \in Z+, m \in N, \nu \geq 0,$ and $\\Omega^{(\nu )}_{m,x}$ and $\Psi$
are the mth order generalized modulus of continuity and the majorant, respectively. The upper and lower estimates for
the suprema of Fourier – Bessel coefficients were also found on these classes. We also present the conditions for majorants
under which it is possible to find the exact values of indicated widths and the suprema of Fourier – Bessel coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Ун-т им. А. Нобеля, Днепр)
ОБ ОЦЕНКАХ ЗНАЧЕНИЙ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ,
ОПРЕДЕЛЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЕННЫХ МОДУЛЕЙ
НЕПРЕРЫВНОСТИ И МАЖОРАНТ, В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ \bfitL \bftwo ,\bfitx (\bfzero , \bfone )
The upper and lower estimates for the Kolmogorov, linear, Bernstein, Gelfand, projective, and Fourier widths are obtained
in the space L2,x(0, 1) for the classes of functions W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), where r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \nu \geq 0, and \Omega
(\nu )
m,x and \Psi
are the mth order generalized modulus of continuity and the majorant, respectively. The upper and lower estimates for
the suprema of Fourier – Bessel coefficients were also found on these classes. We also present the conditions for majorants
under which it is possible to find the exact values of indicated widths and the suprema of Fourier – Bessel coefficients.
Для класiв функцiй W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), де r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \nu \geq 0, а \Omega
(\nu )
m,x i \Psi — вiдповiдно узагальнений модуль
неперервностi m-го порядку та мажоранта, отримано оцiнки зверху i знизу колмогоровського, лiнiйного, берн-
штейнiвського, гельфандiвського, проекцiйного поперечникiв та поперечника Фур’є у просторi L2,x(0, 1). Також
знайдено оцiнки зверху та знизу верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя на цих класах. Вказано умови для ма-
жорант, при виконаннi яких обчислюються точнi значення зазначених поперечникiв та верхнiх меж коефiцiєнтiв
Фур’є – Бесселя.
1. Введение. Вопросы нахождения оценок значений различных поперечников функциональ-
ных классов продолжают занимать одно из ведущих мест в современной теории аппроксима-
ции. Особый интерес вызывают те случаи, когда удается вычислить точные значения попереч-
ников. По понятным причинам наибольшее количество окончательных результатов получено
для различных гильбертовых пространств как в периодическом, так и в непериодическом слу-
чаях (см., например, [1 – 20] и [21 – 25] соответственно). При этом достаточно много внимания
уделено классам функций, определенным с помощью различных характеристик гладкости и
мажорант [4 – 20], когда в определениях классов требуется, чтобы для любого их элемента
рассматриваемые характеристики гладкости не превышали мажорант в каждой точке некото-
рого множества ненулевой меры. Например, независимо от рассматриваемого в каждой из
работ [4 – 6, 8 – 16] конкретного случая для получения точных значений поперечников на ма-
жоранты пришлось налагать достаточно жесткие дополнительные условия. Доказательство то-
го, что множества мажорант, удовлетворяющих указанным условиям, не пусты, потребовало
определенных усилий. Однако, как выяснилось в [19], в периодическом случае для мажо-
рант существует не настолько обременительное условие, при выполнении которого удается
вычислить точные значения различных поперечников в пространстве L2([0, 2\pi ]). Перечень ма-
жорант, удовлетворяющих ему, оказался достаточно широким. Следует отметить, что работу
[19] в определенном смысле можно рассматривать как одно из возможных распространений
результата Ю. И. Григоряна [26] (см. теорему 2 и следствие 1 из нее) на более общий случай.
Данная статья является дальнейшим распространением указанного результата из [26] на
непериодический случай, когда экстремальные задачи оптимизационного содержания решают-
ся в весовом пространстве L2,x(0, 1).
2. Необходимые понятия и определения. Символом L2,x(0, 1) обозначим множество
функций f : (0, 1) \rightarrow \BbbR , для каждой из которых функция
\surd
xf(x) суммируема с квадратом
на интервале (0, 1). Линейное множество функций L2,x(0, 1) становится полным гильберто-
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2 179
180 С. Б. ВАКАРЧУК
вым пространством с введением в нем скалярного произведения (f, g) :=
\int 1
0
xf(x)g(x)dx,
где f, g \in L2,x(0, 1), и нормы \| f\| 2,x := \| f\| L2,x(0,1) =
\sqrt{}
(f, f). Определим в L2,x(0, 1) орто-
нормированную систему, построенную с помощью функций Бесселя первого рода. Для этого
рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения для уравнения Бесселя (см.,
например, [27], гл.V, § 23, пп. 5, 7):
- (xu(1)(x))(1) +
\nu 2
x
u(x) = \mu xu(x), 0 < x < 1, (1)
u(x) = O(x\xi ) при x \rightarrow 0+, u(1) = 0, (2)
где \nu \geq 0, \xi = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\nu , 1). Полагают, что функция u является дважды непрерывно диффе-
ренцируемой на множестве (0, 1). При этом краевая задача (1), (2) имеет собственные зна-
чения \mu 1,\nu < \mu 2,\nu < . . . < \mu k,\nu < . . . , являющиеся квадратами положительных корней
\eta 1,\nu < \eta 2,\nu < . . . < \eta k,\nu < . . . уравнения J\nu (x) = 0, где
J\nu (x) =
\infty \sum
k=0
( - 1)k
(x/2)2k+\nu
\Gamma (k + \nu + 1)\Gamma (k + 1)
— функция Бесселя первого рода с индексом \nu . Имеет место асимптотическое выражение для
функции J\nu (x), а именно J\nu (x) =
\sqrt{}
2/(\pi x) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x - \pi \nu /2 - \pi /4) + O(x - 3/2) при x \rightarrow \infty , из
которого следует приближенная формула для корней J\nu (x): \eta k,\nu \approx 3\pi /4+\pi \nu /2+k\pi [27] (гл.V,
§ 23, п. 4).
Система собственных функций \{ J\nu (\eta k,\nu x)\} k\in \BbbN задачи (1), (2) является ортогональной и
полной в пространстве L2,x(0, 1) и \| J\nu (\eta k,\nu (\cdot ))\| 22,x = (J
(1)
\nu (\eta k,\nu ))
2/2. Очевидно, что система
функций \{ \widehat J\nu (\eta k,\nu x)\} k\in \BbbN , где \widehat J\nu (\eta k,\nu x) := J\nu (\eta k,\nu x)/\| J\nu (\eta k,\nu (\cdot ))\| 2,x, будет ортонормирован-
ной и полной в L2,x(0, 1).
Для произвольной функции f \in L2,x(0, 1) запишем
f(x) =
\infty \sum
k=1
ck,\nu (f) \widehat J\nu (\eta k,\nu x), (3)
где равенство понимается в смысле сходимости в метрике пространства L2,x(0, 1). Напомним,
что ряд (3) называют рядом Фурье – Бесселя, а величины ck,\nu (f), k \in \BbbN , — коэффициентами
Фурье – Бесселя функции f. Здесь
ck,\nu (f) =
1\int
0
xf(x) \widehat J\nu (\eta k,\nu x)dx. (4)
На интервале (0, 1) рассмотрим дифференциальный оператор Бесселя с индексом \nu \geq 0
[24]:
D\nu :=
d2
dx2
+
1
x
d
dx
- \nu 2
x2
. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОБ ОЦЕНКАХ ЗНАЧЕНИЙ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 181
Далее полагаем D0
\nu f \equiv f, Dr
\nu f := D\nu (D
r - 1
\nu f), r \in \BbbN . Через Lr
2,x(D\nu ; (0, 1)), r \in \BbbN , обозначим
множество функций f \in L2,x(0, 1), которые имеют абсолютно непрерывные производные до
(2r - 1)-го порядка включительно и для которых Dr
\nu f \in L2,x(0, 1). В случае r = 0 полагаем
L0
2,x(D\nu ; (0, 1)) \equiv L2,x(0, 1).
Для изучения скорости сходимости рядов Фурье – Бесселя в пространстве L2,x(0, 1) в работе
[24] была введена одна обобщенная характеристика гладкости \Omega
(\nu )
m,x, m \in \BbbN , \nu \geq 0, следующим
образом. Пусть
T\nu (x, y; t) :=
\infty \sum
k=1
\widehat J\nu (\eta k,\nu x) \widehat J(\eta k,\nu y)tk, 0 < t < 1, \nu \geq 0,
а сходимость ряда понимается в смысле метрики пространства L2,xy((0, 1) \times (0, 1)), которое
является двумерным аналогом пространства L2,x(0, 1). В L2,x(0, 1) рассмотрим оператор обоб-
щенного сдвига
Fh,\nu f(x) :=
1\int
0
tf(t)T\nu (x, t; 1 - h)dt, 0 < h < 1, \nu \geq 0,
который имеет следующие свойства: данный оператор является линейным и однородным,
\| Fh,\nu f\| 2,x \leq \| f\| 2,x, \| Fh,\nu f - f\| 2,x \rightarrow 0 при h \rightarrow 0+,
Fh,\nu
\widehat J\nu (\eta k,\nu x) = (1 - h)k \widehat J\nu (\eta k,\nu x), k \in \BbbN .
Следуя [24], для произвольной функции f \in L2,x(0, 1) запишем обобщенные конечные
разности первого и высших порядков:
\Delta 1
h,\nu f(x) := Fh,\nu f(x) - f(x) = (Fh,\nu - \BbbI )f(x),
\Delta m
h,\nu f(x) := \Delta 1
h,\nu (\Delta
m - 1
h,\nu f(x)) = (Fh,\nu - \BbbI )mf(x) =
=
m\sum
k=0
( - 1)m - k
\Bigl( m
k
\Bigr)
F k
h,\nu f(x), m = 2, 3, . . . ,
где F 0
h,\nu f(x) \equiv f(x); F k
h,\nu f(x) := Fh,\nu (F
k - 1
h,\nu f(x)), k \in \BbbN ; \BbbI — единичный оператор в про-
странстве L2,x(0, 1). Тогда под обобщенным модулем непрерывности m-го порядка понимают
следующую характеристику гладкости в пространстве L2,x(0, 1):
\Omega (\nu )
m,x(f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| \Delta m
h,\nu f\| 2,x : 0 < h \leq t\} , 0 < t < 1. (6)
Учитывая указанные выше свойства оператора обобщенного сдвига Fh,\nu и определение
(6), запишем ряд свойств, которыe имеет величина \Omega
(\nu )
m,x : \Omega (\nu )
m,x(f, t) \rightarrow 0 при t \rightarrow 0+;
\Omega
(\nu )
m,x(f, t) является неубывающей функцией от t; если f1, f2 \in L2,x(0, 1), то \Omega
(\nu )
m,x(f1+ f2, t) \leq
\leq \Omega
(\nu )
m,x(f1, t) + \Omega
(\nu )
m,x(f2, t); \Omega
(\nu )
m,x(f, t) \leq 2m\| f\| 2,x.
Из (3), а также из определения обобщенной конечной разности m-го порядка и из свойств
оператора обобщенного сдвига для произвольной функции f \in L2,x(0, 1) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
182 С. Б. ВАКАРЧУК
\Delta m
h,\nu f(x) =
\infty \sum
k=1
((1 - h)k - 1)mck,\nu (f) \widehat J\nu (\eta k,\nu x), (7)
где равенство понимается в смысле сходимости в метрике пространства L2,x(0, 1). Учитывая,
что \{ \widehat J\nu (\eta k,\nu x)\} k\in \BbbN — ортонормированная система функций в L2,x(0, 1), из (6), (7) получаем
\Omega (\nu )
m,x(f, t) =
\Biggl\{ \infty \sum
k=1
(1 - (1 - t)k)2mc2k,\nu (f)
\Biggr\} 1/2
, 0 < t < 1. (8)
Пусть \Psi (t), 0 \leq t \leq 1, является непрерывной возрастающей функцией, такой, что \Psi (0) = 0.
Всюду далее будем называть ее мажорантой. Рассмотрим классы функций
W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ) := \{ f \in Lr
2,x(D\nu ; (0, 1)) : \Omega (\nu )
m,x(D
r
\nu f, t) \leq \Psi (t) \forall t \in (0, 1)\} ,
где \nu \geq 0, m \in \BbbN , r \in \BbbZ +. В случае, когда r = 0, полагаем W2(\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ) := W 0
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ).
3. Основные результаты. Пусть \scrT n,\nu := \{ qn,\nu (x) =
\sum n
k=1 ak
\widehat J\nu (\eta k,\nu x) : ak \in \BbbR , k =
= 1, n\} , где n \in \BbbN , \nu \geq 0, — подпространство полиномов размерности n. Для произвольной
функции f \in L2,x(0, 1) через En,\nu (f)2,x, n \in \BbbN , \nu \geq 0, обозначим ее наилучшее приближение
элементами подпространства \scrT n,\nu в L2,x(0, 1), т. е. En,\nu (f)2,x := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - qn,\nu \| 2,x : qn,\nu \in \scrT n,\nu \} .
Используя, например, теорему Теплера [28] (гл. 4, § 1) и (3), записываем
En,\nu (f)2,x = \| f - \BbbS n,\nu (f)\| 2,x =
\Biggl\{ \infty \sum
k=n+1
c2k,\nu (f)
\Biggr\} 1/2
, (9)
где \BbbS n,\nu (f, x) :=
\sum n
k=1 ck,\nu (f)
\widehat J\nu (\eta k,\nu x) — частная сумма n-го порядка ряда Фурье – Бесселя
(3). Для произвольного множества \frakM \subset L2,x(0, 1) полагаем En,\nu (\frakM )2,x := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ En,\nu (f)2,x :
f \in \frakM \} .
Пусть X — банахово пространство; \BbbB — единичный шар в X; \frakM \subset X — выпуклое
центрально-симметричное множество; \scrL n \subset X — n-мерное линейное подпространство; \scrL n \subset
X — подпространство коразмерности n; \Lambda : X \rightarrow \scrL n — линейный непрерывный оператор,
отображающий X в \scrL n; \Lambda
\bot : X \rightarrow \scrL n — непрерывный оператор линейного проектирования;
\{ uj\} nk=1 \subset X — ортонормированная система функций. Величины
dn(\frakM , X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - g\| X : g \in \scrL n\} : f \in \frakM \} : \scrL n \subset X\} ,
dn(\frakM , X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f\| X : f \in \frakM \cap \scrL n\} : \scrL n \subset X\} ,
bn(\frakM , X) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrL n+1 \subset \frakM \} : \scrL n+1 \subset X\} ,
\delta n(\frakM , X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - \Lambda f\| X : f \in \frakM \} : \Lambda X \subset \scrL n\} : \scrL n \subset X\} ,
\Pi n(\frakM , X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - \Lambda \bot f\| X : f \in \frakM \} : \Lambda \bot X \subset \scrL n\} : \scrL n \subset X\} ,
\varphi n(\frakM , X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{ \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
n\sum
j=1
(f, uj)uj
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
: f \in \frakM
\right\} : \{ uj\} nj=1 \subset X
\right\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОБ ОЦЕНКАХ ЗНАЧЕНИЙ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 183
называют соответственно колмогоровским, гельфандовским, бернштейновским, линейным, про-
екционным поперечниками и поперечником Фурье множества \frakM в X (см., например, [29 – 31]).
Если X — гильбертово пространство, то между указанными аппроксимативными характерис-
тиками имеют место следующие соотношения:
bn(\frakM , X) \leq dn(\frakM , X) \leq dn(\frakM , X) = \Pi n(\frakM , X) = \delta n(\frakM , X) = \varphi n(\frakM , X). (10)
Теорема 1. Пусть n, m \in \BbbN , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0 и функция \Psi является мажорантой. Тогда
имеют место неравенства
1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
\leq pn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) \leq
\leq En,\nu (W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ))2,x \leq 1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
, (11)
где pn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) — любой из поперечников, указанных выше.
Следствие 1. Пусть n, m \in \BbbN , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0 и мажоранта \Psi удовлетворяет условию
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
. (12)
Тогда справедливы равенства
pn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) = En,\nu (W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ))2,x =
1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
, (13)
где pn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) — любой из рассмотренных ранее поперечников.
При выполнении условия (12), в частности, имеем
dn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) =
1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
.
Сравним это результат с теоремой 6, полученной В. А. Абиловым, Ф. В. Абиловой и М. К. Ке-
римовым в работе [24]. Для удобства воспользуемся системой обозначений, принятых в данной
статье. Из доказательства теоремы 6 из [24] (см. получение оценки снизу для dn) следует, что
в ней, по сути, рассматриваются не классы функций W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \nu \geq 0,
а более широкие классы W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi , t) := \{ f \in Lr
2,x(D\nu ; (0, 1)) : \Omega (\nu )
m,x(Dr
\nu f, t) \leq \Psi (t)\} , где
t \in (0, 1) — фиксированное значение, r \in \BbbZ +, m \in \BbbN , \nu \geq 0. Иными словами, для каждой
функции f \in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi , t) выполнение неравенства \Omega
(\nu )
m,x(Dr
\nu f, t) \leq \Psi (t) требуется лишь
в произвольно выбранной фиксированной точке t \in (0, 1), а не в каждой точке интервала
(0, 1), как это имеет место в рассматриваемом здесь случае для любого элемента из класса
W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ). За счет этого авторам [24] при вычислении точного значения колмогоровского
поперечника
dn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi , t), L2,x(0, 1)) =
\Psi (t)
\eta 2rn+1,\nu (1 - (1 - t)n+1)m
не пришлось налагать дополнительных условий на мажоранту \Psi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
184 С. Б. ВАКАРЧУК
Важная роль в теории рядов Фурье принадлежит получению оценок коэффициентов
Фурье на различных классах функций. Это позволяет сформулировать наиболее важные при-
знаки сходимости и некоторые свойства рядов Фурье как в периодическом, так и в непериоди-
ческом случаях. Для рядов Фурье – Бесселя указанные вопросы рассматривались, например, в
монографии [32] (гл. IX, § 4, 7, 8). Сформулированные далее утверждения можно рассматривать
как дальнейшее развитие данной тематики для классов функций W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), m \in \BbbN , r \in \BbbZ +,
\nu \geq 0.
Теорема 2. Пусть m \in \BbbN , n = 2, 3, . . . , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0 и функция \Psi является мажоран-
той. Тогда имеют место следующие неравенства:
1
\eta 2rn,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n)m
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x;\Psi )
cn,\nu (f) \leq
1
\eta 2rn,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n)m
. (14)
Следствие 2. Если m \in \BbbN , r \in \BbbZ +, \nu \geq 0 и мажоранта \Psi для любого k \in \BbbN удовлетво-
ряет условию
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)k)m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)k)m
, (15)
то для всех n = 2, 3, . . . справедливы равенства
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x;\Psi )
cn,\nu (f) =
1
\eta 2rn,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n)m
. (16)
В качестве одного из возможных приложений, например следствия 2, отметим, что для
произвольной функции f \in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), где m, r \in \BbbN , \nu \geq 0, из [31] (гл. IX, § 4) следует, что
ее ряд Фурье – Бесселя (3) будет сходиться абсолютно и равномерно на множестве (0, 1).
Покажем далее, что существует семейство мажорант, для каждой из которых выполнено
условие (15), а значит и (12). Пусть, например, \Psi \beta ;a,m(t) := (at - 1)m\beta (t), где a \in (1,\infty )
— произвольное число, \beta — любая непрерывная неубывающая на [0, 1] функция такая, что
\beta (0) > 0, m \in \BbbN . Поскольку для 0 \leq b \leq 1 справедлива формула 1 - bn = (1 - b)(1 + b+ . . .
. . .+ bn - 2 + bn - 1) (см., например, [33], гл. III, § 4, п. 1), то
(1 - (1 - t)k)m = tm\varphi m
k (t), 0 \leq t \leq 1,
где
\varphi k(t) :=
\left\{ 1, если k = 1; 2 - t, если k = 2;
k - 1\sum
j=0
(1 - t)j , если k = 3, 4, . . .
\right\} .
С учетом этого можно убедиться в справедливости соотношения
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi \beta ;a,m(t)
(1 - (1 - t)k)m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi \beta ;a,m(t)
(1 - (1 - t)k)m
=
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} a
k
\biggr) m
\beta (0), k \in \BbbN .
Тогда из следствий 1, 2 на основании равенств (13) и (16) получаем соответственно
pn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi \beta ;a,m), L2,x(0, 1)) = En,\nu (W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi \beta ;a,m))2,x =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} a
n+ 1
\biggr) m \beta (0)
\eta 2rn+1,\nu
, n \in \BbbN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОБ ОЦЕНКАХ ЗНАЧЕНИЙ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 185
и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x;\Psi \beta ;a,m)
cn,\nu (f) =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} a
n
\biggr) m \beta (0)
\eta 2rn,\nu
для всех n = 2, 3, . . . . Здесь pn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi \beta ;a,m), L2,x(0, 1)) — любой из указанных ранее
поперечников.
4. Доказательство теоремы 1. Пусть r \in \BbbN . В работе [24] было показано, что для
произвольной функции f \in Lr
2,x(0, 1) имеют место равенства
ck,\nu (f) = ( - 1)r
1
\eta 2rk,\nu
ck,\nu (D
r
\nu f), k \in \BbbN . (17)
Используя формулы (8), (17), получаем
\Omega (\nu )
m,x(D
r
\nu f, t) =
\Biggl\{ \infty \sum
k=1
(1 - (1 - t)k)2mc2k,\nu (D
r
\nu f)
\Biggr\} 1/2
=
=
\Biggl\{ \infty \sum
k=1
(1 - (1 - t)k)2m\eta 4rk,\nu c
2
k,\nu (f)
\Biggr\} 1/2
, 0 < t < 1. (18)
Исходя из (9), (17) и того факта, что \{ \eta k,\nu \} k\in \BbbN — возрастающая последовательность положи-
тельных чисел, для любой функции f \in Lr
2,x(D\nu ; (0, 1)) записываем
En,\nu (f)2,x =
\Biggl\{ \infty \sum
k=n+1
c2k,\nu (D
r
\nu f)
\eta 4rk,\nu
\Biggr\} 1/2
\leq 1
\eta 2rn+1,\nu
En,\nu (D
r
\nu f)2,x. (19)
Рассмотрим произвольную функцию f \in Lr
2,x(0, 1). Если f не является полиномом, т. е. f \not \in
\not \in \scrT m,\nu , где m \in \BbbN — любое число, то согласно (9) получаем E2
n,\nu (D
r
\nu f)2,x =
\sum \infty
k=n+1
c2k,\nu (D
r
\nu f).
Если же f является полиномом, т. е. при некотором натуральном числе m > n имеем f(x) =
=
\sum m
k=1
ck,\nu (f) \widehat J\nu (\eta k,\nu x), то из (17) следует, что функция Dr
\nu f также будет элементом подпро-
странства \scrT m,\nu и в этом случае E2
n,\nu (D
r
\nu f)2,x =
\sum m
k=n+1
c2k,\nu (D
r
\nu f). Рассмотрим произвольное
значение i \in \BbbZ + и величину E2
n,\nu (D
r
\nu f)2,x представим следующим образом:
E2
n,\nu (D
r
\nu f)2,x =
n+i+1\sum
k=n+1
c2k,\nu (D
r
\nu f) + \sigma
(\nu )
i,f,r. (20)
Из (20) следует, что для каждого i существует единственное число \sigma
(\nu )
i,f,r \geq 0, зависящее от
i, f, r и от рассматриваемой ортонормированной системы бесселевых функций. При этом если
f \in Lr
2,x(0, 1) не является полиномом, то \{ \sigma (\nu )
i,f,r\} i\in \BbbZ + — невозрастающая последовательность
положительных чисел, такая, что \sigma
(\nu )
i,f,r \rightarrow 0 при i \rightarrow \infty . Если же f \in \scrT m,\nu , где m > n
и cm,\nu (f) \not = 0, то невозрастающая последовательность неотрицательных чисел \{ \sigma (\nu )
i,f,r\} i\in \BbbZ +
будет иметь нулевые элементы \sigma
(\nu )
i,f,r = 0 для всех i \in \BbbZ +, удовлетворяющих соотношению
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
186 С. Б. ВАКАРЧУК
m - n - 1 \leq i. В ходе дальнейших рассуждений два указанных случая разделять не будем,
поскольку каждый из них не влияет на общий ход доказательства.
Далее произвольным образом построим числовую последовательность \{ vi\} i\in \BbbZ + так, чтобы
ее элементы удовлетворяли таким требованиям: vi \in (0, 1/(n+ i+ 1)], i \in \BbbZ +; последователь-
ность является убывающей и vi \rightarrow 0 при i \rightarrow \infty . Учитывая изложенное и (18), получаем
n+i+1\sum
k=n+1
c2k,\nu (D
r
\nu f) \leq
1
(1 - (1 - vi)n+1)2m
n+i+1\sum
k=n+1
(1 - (1 - vi)
k)2mc2k,\nu (D
r
\nu f) \leq
\leq
\Biggl(
\Omega
(\nu )
m,x(Dr
\nu f, vi)
(1 - (1 - vi)n+1)m
\Biggr) 2
. (21)
Тогда с учетом (19) – (21) для f \in Lr
2,x(0, 1) имеем
E2
n,\nu (f)2,x \leq 1
\eta 4rn+1,\nu
\left\{
\Biggl(
\Omega
(\nu )
m,x(Dr
\nu f, vi)
(1 - (1 - vi)n+1)m
\Biggr) 2
+ \sigma
(\nu )
i,f,r
\right\} .
Переходя в правой части последнего неравенства к верхнему пределу при i \rightarrow \infty и используя
определение класса функций W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), получаем
En,\nu (f)2,x \leq 1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
i\rightarrow \infty
\Psi (vi)
(1 - (1 - vi)n+1)m
\leq 1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
. (22)
Исходя из определения колмогоровского поперечника, которое в рассматриваемом случае
имеет вид
dn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - g\| 2,x : g \in \scrL n\} : f \in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi )\} : \scrL n \subset L2,x(0, 1)\} ,
и используя соотношения (10), (22), записываем оценки сверху для указанных ранее попереч-
ников
pn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) \leq dn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) \leq En,\nu (W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ))2,x \leq
\leq 1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
. (23)
Перейдем к установлению оценок снизу изучаемых экстремальных характеристик класса
W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ). С этой целью воспользуемся бернштейновским поперечником, который в рас-
сматриваемом здесь случае имеет вид
bn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \scrL n+1 \subset W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi )\} : \scrL n+1 \subset L2,x(0, 1)
\bigr\}
. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОБ ОЦЕНКАХ ЗНАЧЕНИЙ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 187
Пусть qn+1,\nu (x) =
\sum n+1
k=1 \alpha k
\widehat J\nu (\eta k,\nu x), где \alpha k \in \BbbR , k = 1, n+ 1, — любой полином из
подпространства \scrT n+1,\nu . Исходя из (24), в L2,x(0, 1) рассмотрим множество функций
\scrB n+1(\widetilde \varepsilon n+1,\nu ) := \widetilde \varepsilon n+1,\nu \BbbB \cap \scrT n+1,\nu = \{ qn+1,\nu \in \scrT n+1,\nu : \| qn+1,\nu \| 2,x \leq \widetilde \varepsilon n+1,\nu \} ,
где
\widetilde \varepsilon n+1,\nu :=
1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
, (25)
и покажем, что оно принадлежит классу W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ).
Пусть 0 < u < 1. Для произвольного полинома qn+1,\nu \in \scrB n+1(\widetilde \varepsilon n+1,\nu ), исходя из (18) и
(25), записываем
\Omega (\nu )
m,x(D
r
\nu qn+1,\nu ;u) =
\Biggl\{
n+1\sum
k=1
(1 - (1 - u)k)2m\eta 4rk,\nu c
2
k,\nu (qn+1,\nu )
\Biggr\} 1/2
\leq
\leq (1 - (1 - u)n+1)m\eta 2rn+1,\nu \| qn+1,\nu \| 2,x \leq (1 - (1 - u)n+1)m\eta 2rn+1,\nu \widetilde \varepsilon n+1,\nu =
= (1 - (1 - u)n+1)m \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
. (26)
Полагая в правой части соотношения (26) t = u, получаем \Omega
(\nu )
m,x(Dr
\nu qn+1,\nu ;u) \leq \Psi (u) для
любого u \in (0, 1). Следовательно, \scrB n+1(\widetilde \varepsilon n+1,\nu ) \subset W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ).
Исходя из (24), (25), имеем
bn(W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ), L2,x(0, 1)) \geq bn(\scrB n+1(\widetilde \varepsilon n+1,\nu ), L2,x(0, 1)) \geq
\geq 1
\eta 2rn+1,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n+1)m
. (27)
Требуемое соотношение (11) следует из формул (23) и (27) в случае r \in \BbbN . Рассужде-
ния, когда r = 0, не приводим по той причине, что они практически полностью повторяют
приведенные выше, но без привлечения формул (17) и (19).
Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2. Для коэффициентов Фурье – Бесселя (4) при n = 2, 3, . . . из
соотношения (9) имеем
cn,\nu (f) \leq En - 1,\nu (f)2,x. (28)
Используя (11), где n заменено на n - 1, и соотношение (28), для n = 2, 3, . . . получаем оценки
сверху
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x;\Psi )
cn,\nu (f) \leq En - 1,\nu (W
r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ))2,x \leq 1
\eta 2rn,\nu
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0+
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n)m
. (29)
Чтобы установить оценку снизу, рассмотрим функцию f1,\nu (x) := \widetilde \varepsilon n,\nu \widehat J\nu (\eta n,\nu x), где вели-
чина \widetilde \varepsilon n,\nu определяется формулой (25) после замены в ней n на n - 1. Поскольку f1,\nu \in \scrT n,\nu
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
188 С. Б. ВАКАРЧУК
и \| f1,\nu \| 2,x = \widetilde \varepsilon n,\nu , то очевидно, что функция f1,\nu является элементом множества \scrB n,\nu (\widetilde \varepsilon n,\nu ) =
= \widetilde \varepsilon n,\nu \BbbB \cap \scrT n,\nu . Используя соответствующую часть доказательства теоремы 1, несложно убе-
диться в том, что \scrB n,\nu (\widetilde \varepsilon n,\nu ) \subset W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x; \Psi ). Следовательно, для n = 2, 3, . . . имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
2 (\Omega
(\nu )
m,x;\Psi )
cn,\nu (f) \geq cn,\nu (f1,\nu ) = \widetilde \varepsilon n,\nu =
1
\eta 2rn,\nu
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0<t<1
\Psi (t)
(1 - (1 - t)n)m
. (30)
Тогда неравенства (14) следуют из соотношений (29), (30).
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Kolmogorov A. N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann. Math. –
1936. – 37. – S. 107 – 110.
2. Tikhomirov V. M. Diameters of sets in function spaces and the theory of best approximations // Russ. Math. Surv. –
1960. – 15, № 3. – P. 75 – 111.
3. Ismagilov R. S. Diameters of set in normed linear spaces and the approximation of functions by trigonometric
polynomials // Russ. Math. Surv. – 1974. – 29, № 3. – P. 169 – 186.
4. Taikov L. V. Inequalities containing best approximations and the modulus of continuity of functions in L2 // Math.
Notes. – 1976. – 20, № 3. – P. 797 – 800.
5. Taikov L. V. Best approximation of differentiable functions in the metric of the space L2 // Math. Notes. – 1977. –
22, № 4. – P. 789 – 794.
6. Taikov L. V. Structural and constructive characteristics of functions in L2 // Math. Notes. – 1979. – 25, № 2. –
P. 113 – 116.
7. Vakarchuk S. B. K -functionals and exact values of n-widths for several classes from L2 // Math. Notes. – 1999. –
66, № 4. – P. 404 – 408.
8. Vakarchuk S. B. On best polynomial approximations in L2 // Math. Notes. – 2001. – 70, № 3-4. – P. 300 – 310.
9. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities and exact values of widths of classes of functions in the space Sp,
1 \leq p <\infty // Ukr. Math. J. – 2004. – 56, № 5. – P. 718 – 729.
10. Vakarchuk S. B., Schitov A. N. Best polynomial approximations in L2 and widths of certain classes of functions //
Ukr. Math. J. – 2004. – 56, № 11. – P. 1738 – 1748.
11. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities and widths of functions classes in L2 // Math. Notes. – 2006. – 80, № 1-2. –
P. 11 – 18.
12. Vakarchuk S. B., Zabutnaya V. I. A sharp inequality of Jackson – Stechkin type in L2 and the widths of functional
classes // Math. Notes. – 2009. – 86, № 3. – P. 306 – 313.
13. Shabozov M. Sh. Widths of classes of periodic differentiable functions in the space L2[0, 2\pi ] // Math. Notes. – 2010. –
87, № 3-4. – P. 575 – 581.
14. Shabozov M. Sh., Yusupov G. A. Exact constants of Jackson-type inequalities and exact value of the widths of some
classes of functions in L2 // Sib. Math. J. – 2011. – 52, № 6. – P. 1124 – 1136.
15. Шабозов М. Ш., Вакарчук С. Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрически-
ми полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 // Anal. Math. – 2012. –
38, № 2. – P. 147 – 159.
16. Vakarchuk S. B. Generalized smothness characteristics in Jackson-type inequalities and widths of classes of functions
in L2 // Math. Notes. – 2015. – 98, № 3-4. – P. 572 – 588.
17. Vacarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. II // Ukr. Math. J. – 2017. – 68, № 8. – P. 1165 – 1183.
18. Vacarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. III // Ukr. Math. J. – 2017. – 68, № 10. – P. 1495 – 1518.
19. Vakarchuk S. B. Widths of some classes of functions difined by the generalized moduli of continuity \omega \gamma in the space
L2 // J. Math. Sci. – 2017. – 227, № 1. – P. 105 – 115.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОБ ОЦЕНКАХ ЗНАЧЕНИЙ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ . . . 189
20. Vakarchuk S. B. Best polynomial approximations and widths of classes of functions in the space L2 // Math. Notes. –
2018. – 103, № 1-2. – P. 308 – 312.
21. Abilov V. A., Abilova F. V. Approximation of functions by Fourier – Bessel sums // Russ. Math. – 2001. – 45, № 8. –
P. 1 – 7.
22. Vakarchuk S. B. Mean approximation of functions on the real axis by algebraic polynomials with Chebyshev – Hermite
weight and widths of function classes // Math. Notes. – 2014. – 95, № 5-6. – P. 599 – 614.
23. Vakarchuk S. B., Shvachko A. V. On the best approximation in the mean by algebraic polynomials with weight and
exact values of widths for the classes of functions // Ukr. Math. J. – 2014. – 65, № 12. – P. 1774 – 1792.
24. Abilov V. A., Abilova F. V., Kerimov M. K. Sharp estimates for the convergence rate of Fourier – Bessel series //
Comput. Math. and Math. Phys. – 2015. – 55, № 6. – P. 907 – 916.
25. Тухлиев К. Среднеквадратическое приближение функций рядами Фурье – Бесселя и значения поперечников
некоторых функциональных классов // Чебышев. сб. – 2017. – 17, № 4. – С. 141 – 156.
26. Григорян Ю. И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах // Успехи мат. наук. –
1975. – 30, №3. – С. 161 – 162.
27. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – 3-е изд. – М.: Наука, 1976. – 528 с.
28. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. – Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1977. – 184 с.
29. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1976. – 304 с.
30. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ., 1993. – 272 p.
31. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – New York: Springer-Verlag, 1985. – 290 p.
32. Толстов Г. П. Ряды Фурье. – 3-е изд. – М.: Наука, 1980. – 382 с.
33. Сачков В. Н. Ведение в комбинаторные методы дискретной математики. – М.: Наука, 1982. – 384 с.
Получено 15.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1430 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:12Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/49/b107bac56f13789b372f91d1fa37c949.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14302019-12-05T08:54:43Z On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$ Об оценках значений поперечников классов функций, определенных с помощью обобщенных модулей непрерывности и мажорант, в весовом пространстве $L_{2x} (0,1)$ Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. The upper and lower estimates for the Kolmogorov, linear, Bernstein, Gelfand, projective, and Fourier widths are obtained in the space $L_{2,x}(0, 1)$ for the classes of functions $W^r_2 (\Omega^{(\nu )}_{m,x}; \Psi )$, where $r \in Z+, m \in N, \nu \geq 0,$ and $\\Omega^{(\nu )}_{m,x}$ and $\Psi$ are the mth order generalized modulus of continuity and the majorant, respectively. The upper and lower estimates for the suprema of Fourier – Bessel coefficients were also found on these classes. We also present the conditions for majorants under which it is possible to find the exact values of indicated widths and the suprema of Fourier – Bessel coefficients. Для класiв функцiй $W^r_2 (\Omega^{(\nu )}_{m,x}; \Psi )$, де $r \in Z+, m \in N, \nu \geq 0,$ а $\Omega^{(\nu )}_{m,x}$ i $\Psi$ — вiдповiдно узагальнений модуль неперервностi $m$-го порядку та мажоранта, отримано оцiнки зверху i знизу колмогоровського, лiнiйного, бернштейнiвського, гельфандiвського, проекцiйного поперечникiв та поперечника Фур’є у просторi $L_{2,x}(0, 1)$. Також знайдено оцiнки зверху та знизу верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя на цих класах. Вказано умови для ма- жорант, при виконаннi яких обчислюються точнi значення зазначених поперечникiв та верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1430 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 179-189 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 179-189 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1430/414 Copyright (c) 2019 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$ |
| title | On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized
moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$ |
| title_alt | Об оценках значений поперечников классов функций, определенных с
помощью обобщенных модулей непрерывности и мажорант, в весовом пространстве $L_{2x} (0,1)$
|
| title_full | On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized
moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$ |
| title_fullStr | On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized
moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$ |
| title_full_unstemmed | On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized
moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$ |
| title_short | On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized
moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2x} (0,1)$ |
| title_sort | on the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized
moduli of continuity and majorants in the weighted space $l_{2x} (0,1)$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1430 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb ontheestimatesofwidthsoftheclassesoffunctionsdefinedbythegeneralizedmoduliofcontinuityandmajorantsintheweightedspacel2x01 AT vakarčuksb ontheestimatesofwidthsoftheclassesoffunctionsdefinedbythegeneralizedmoduliofcontinuityandmajorantsintheweightedspacel2x01 AT vakarčuksb ontheestimatesofwidthsoftheclassesoffunctionsdefinedbythegeneralizedmoduliofcontinuityandmajorantsintheweightedspacel2x01 AT vakarchuksb obocenkahznačenijpoperečnikovklassovfunkcijopredelennyhspomoŝʹûobobŝennyhmodulejnepreryvnostiimažorantvvesovomprostranstvel2x01 AT vakarčuksb obocenkahznačenijpoperečnikovklassovfunkcijopredelennyhspomoŝʹûobobŝennyhmodulejnepreryvnostiimažorantvvesovomprostranstvel2x01 AT vakarčuksb obocenkahznačenijpoperečnikovklassovfunkcijopredelennyhspomoŝʹûobobŝennyhmodulejnepreryvnostiimažorantvvesovomprostranstvel2x01 |