Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system
We prove that, for any $0 < \delta < 1$, there exists a measurable set $E_{\delta} \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (E_{\delta }) > 1 \delta $, such that for any function $f \in C[0, 1]$, one can find a function $\widetilde f \in C[0, 1]$ that coincides with...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1432 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507183854125056 |
|---|---|
| author | Grigoryan, M. G. Krotov, V. G. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. |
| author_facet | Grigoryan, M. G. Krotov, V. G. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. |
| author_sort | Grigoryan, M. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | We prove that, for any $0 < \delta < 1$, there exists a measurable set $E_{\delta} \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (E_{\delta }) > 1 \delta $, such that for any function
$f \in C[0, 1]$, one can find a function $\widetilde f \in C[0, 1]$ that coincides with f on E\delta , and the Fourier – Faber – Schauder series
for the function $\widetilde f$ unconditionally converges in $C[0, 1]$. Moreover, the moduli of the nonzero Fourier – Faber – Schauder
coefficients of the function $\widetilde f$ coincide with the elements of a given sequence $\{ b_n\}$ satisfying the condition
$$b_n \downarrow 0,\; \sum^{\infty }_{n=1} frac{b_n}{n} = +\infty .$$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.2
Г. М. Григорян (Ереван. гос. ун-т, Армения),
В. Г. Кротов (Белорус. гос. ун-т, Минск, Беларусь)
КВАЗИБЕЗУСЛОВНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ ФАБЕРА – ШАУДЕРА
We prove that, for any 0 < \delta < 1, there exists a measurable set E\delta \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (E\delta ) > 1 - \delta , such that for any function
f \in C[0, 1], one can find a function \widetilde f \in C[0, 1] that coincides with f on E\delta , and the Fourier – Faber – Schauder series
for the function \widetilde f unconditionally converges in C[0, 1]. Moreover, the moduli of the nonzero Fourier – Faber – Schauder
coefficients of the function \widetilde f coincide with the elements of a given sequence \{ bn\} satisfying the condition
bn \downarrow 0,
\infty \sum
n=1
bn
n
= +\infty .
Доведено, що для будь-якого 0 < \delta < 1 iснує така вимiрна множина E\delta \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (E\delta ) > 1 - \delta , що для будь-якої
функцiї f \in C[0, 1] можна знайти функцiю \widetilde f \in C[0, 1], яка збiгається з f на E\delta , i ряд Фур’є – Фабера – Шаудера
для \widetilde f збiгається безумовно в C[0, 1]. При цьому модулi ненульових коефiцiєнтiв Фур’є – Фабера – Шаудера функцiї\widetilde f збiгаються з елементами заданої послiдовностi \{ bn\} , що задовольняє умову
bn \downarrow 0,
\infty \sum
n=1
bn
n
= +\infty .
1. Основные результаты. 1.1. Определения. Система \{ fn\} \subset X элементов банахова про-
странства X называется базисом, если для любого элемента f \in X существует единственный
ряд по этой системе, сходящийся к f по норме в X, кроме того, базис называется безусловным,
если любая его перестановка также является базисом (см., например, [1], глава 1, § 4).
Мы рассматриваем пространство C[0, 1] непрерывных функций на [0, 1], снабженное обыч-
ной чебышевской нормой
f = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [0,1]
| f(x)| .
В этом пространстве базисом (причем, исторически первым) является система Фабера – Шаудера
\{ \varphi n\} \infty n=0, введенная впервые Г. Фабером [2] и переоткрытая позже Ю. Шаудером [3].
Введем обозначения
\Delta
(i)
k =
\biggl[
i - 1
2k
,
i
2k
\biggr)
, k = 0, 1, . . . , i = 1, . . . , 2k,
причем промежуток \Delta
(2k)
k замкнут и справа. Такие промежутки обычно называют двоичными.
Мы будем использовать для них также нумерацию с одним индексом, полагая \Delta n = \Delta
(i)
k , если
n \geq 2 представлено в виде n = 2k+ i, где k \geq 0 и 1 \leq i \leq 2k. Пусть xn = x
(i)
k = (2i - 1)2 - k - 1
— середина интервала \Delta n и, кроме того, \scrD — множество всех таких интервалов.
Система функций Фабера – Шаудера определяется на [0, 1] следующим образом (см., напри-
мер, [1], глава 6, § 1): \varphi 0(x) \equiv 1, \varphi 1(x) = x, а если 2 \leq n = 2k + i (k \geq 0, 1 \leq i \leq 2k ), то
\varphi n \in C[0, 1] и
\varphi n(x) = \varphi
(i)
k (x) =
\left\{
1 при x = xn,
линейна на каждом из интервалов \Delta
(2i - 1)
k+1 , \Delta
(2i)
k+1,
0 при x /\in \Delta
(i)
k .
(1)
c\bigcirc М. Г. ГРИГОРЯН, В. Г. КРОТОВ, 2019
210 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КВАЗИБЕЗУСЛОВНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ ФАБЕРА – ШАУДЕРА 211
Базисное разложение по системе \{ \varphi n\} \infty n=0 (ряд Фурье – Фабера – Шаудера) функции f \in
\in C[0, 1] имеет вид (см., например, [1], глава 6, § 1)
f
C
=
\infty \sum
n=0
An(f)\varphi n,
где
A0(f) = f(0), A1(f) = f(1) - f(0),
а при n \geq 2
An(f) = A
(i)
k (f) = f
\biggl(
2i - 1
2k+1
\biggr)
- 1
2
\biggl[
f
\biggl(
i - 1
2k
\biggr)
+ f
\biggl(
i
2k
\biggr) \biggr]
. (2)
1.2. Свойство квазибезусловной базисности. Как отмечалось выше, система \{ \varphi n\} \infty n=0
является базисом в C[0, 1], однако не является безусловным базисом. Более того, в пространстве
C[0, 1] вообще нет безусловных базисов [4] (см. также [1], глава 6, § 1).
Целью настоящей работы является доказательство того, что система Фабера – Шаудера име-
ет свойство, подобное безусловной базисности, если пренебречь некоторым универсальным
множеством сколь угодно малой меры. Чтобы перейти к точным формулировкам, нам понадо-
бится ряд обозначений и терминов.
Спектром Фабера – Шаудера функции f \in C[0, 1] будем называть множество
\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(f) = \{ n : An(f) \not = 0\} .
Меру Лебега множества E \subset [0, 1] будем обозначать через \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E), \scrB — класс убывающих
последовательностей \{ bn\} , удовлетворяющих условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
bn = 0,
\infty \sum
n=1
bn
n
= +\infty . (3)
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 1. Для любой последовательности \{ bn\} \in \scrB существует такая последователь-
ность знаков \{ \lambda n = \pm 1\} , что для любого 0 < \delta < 1 можно построить измеримое множество
E\delta \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E\delta ) > 1 - \delta , такое, что для любой функции f \in C[0, 1] можно найти функцию\widetilde f \in C[0, 1] со следующими свойствами:
1) f(x) = \widetilde f(x) для всех x \in E\delta ,
2) An( \widetilde f) = \lambda nbn для всех n \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}( \widetilde f),
3) ряд Фурье – Фабера – Шаудера
\sum \infty
n=0
An( \widetilde f)\varphi n функции \widetilde f сходится безусловно в C[0, 1],
4)
\sum \infty
n=0
| An( \widetilde f)| \varphi n \leq 4 \| f\| .
Непосредственно из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.
Теорема 2. Для любого 0 < \delta < 1 существует такое измеримое множество E\delta \subset [0, 1],
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E\delta ) > 1 - \delta , что для любой функции f \in C[0, 1] можно найти функцию \widetilde f \in C[0, 1],
которая совпадает с f на E\delta , и ряд Фурье – Фабера – Шаудера функции \widetilde f сходится безусловно
в C[0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
212 М. Г. ГРИГОРЯН, В. Г. КРОТОВ
Принципиальным здесь является то, что для каждого 0 < \delta < 1 множество E\delta универсально
— оно не зависит от функции f. Свойство системы Фабера – Шаудера, сформулированное в
теореме 2, мы называем свойством квазибезусловной базисности.
Теорема 2 справедлива не для любого базиса в пространстве C[0, 1]. Она неверна, напри-
мер, для системы Франклина — в работе [7] показано, что для любого множества E \subset [0, 1]
положительной лебеговой меры с точкой плотности x0 можно построить такую непрерывную
функцию f0 \in C[0, 1], что для любой ограниченной измеримой функции g, совпадающей с f0
на множестве E, ряд Фурье – Франклина не сходится абсолютно в точке x0.
Интересно было бы выяснить, существует ли ортонормированный базис в пространстве
C[0, 1], для которого справедливо утверждение теоремы 2?
Кроме того, в пространстве L1[0, 1] также нет безусловного базиса [4] (см. также [1],
глава 6, § 1). Нам неизвестно, существует ли базис в L1[0, 1] со свойством квазибезусловной
базисности.
Утверждения типа теоремы 2 восходят к Н. Н. Лузину [8], доказавшему, что любая из-
меримая функция является непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой
меры (C -свойство Лузина). Важное и глубокое усиление C -свойства Лузина было обнаруже-
но Д. Е. Меньшовым [9], установившим, что 2\pi -периодическую измеримую функцию можно
исправить на множестве сколь угодно малой меры так, чтобы тригонометрический ряд Фурье
исправленной функции сходился равномерно.
В дальнейшем задачи исправления до непрерывной функции, имеющей дополнительные
«хорошие» свойства ряда Фурье по той или иной системе функций, изучались многими авто-
рами (см., например, обзор [10]). Отметим еще работы [11 – 13], в которых рассматривались
близкие вопросы о сходимости рядов по системе Фабера – Шаудера. В частности, в [13] дока-
зано, что любую измеримую на [0, 1] функцию можно исправить на множестве сколь угодно
малой меры таким образом, чтобы ряд Фурье – Фабера – Шаудера исправленной функции схо-
дился к ней абсолютно и равномерно.
2. Доказательства. 2.1. Вспомогательные утверждения. Обозначим через \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f носи-
тель функции f (множество точек, в которых ее значения отличны от нуля).
Лемма 1. Пусть заданы последовательность \{ bn\} \in \scrB , числа \gamma \in \BbbR , \varepsilon , \delta > 0, номер
m \in \BbbN и интервал \Delta \subset [0, 1]. Тогда существует конечное множество \omega \subset \BbbN со свойствами:
1) \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \geq m,
2)
\sum
n\in \omega
bn\varphi n(x) \leq | \gamma | при всех x \in [0, 1],
3) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}
\Bigl( \sum
n\in \omega
bn\varphi n
\Bigr)
\subset \Delta ,
4) \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\Bigl\{
x \in \Delta :
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma \Bigl( \sum
n\in \omega
bn\varphi n(x)
\Bigr)
- \gamma
\bigm| \bigm| \bigm| > \delta
\Bigr\}
< \varepsilon .
Это утверждение приведено в [5] (лемма 1) (см. также [6], лемма 3.2).
Пусть заданы k \in \BbbN и набор действительных чисел \gamma 1, . . . , \gamma 2k . Эти параметры задают
ступенчатую функцию вида
s(x) =
2k\sum
i=1
\gamma i\chi \Delta
(i)
k
(x) = \gamma i при x \in \Delta
(i)
k , i = 1, . . . , 2k. (4)
Здесь \chi \Delta — характеристическая функция множества \Delta \subset [0, 1].
Следующее утверждение подобно лемме 2 из работы авторов [5], но отличается от послед-
ней рядом деталей.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КВАЗИБЕЗУСЛОВНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ ФАБЕРА – ШАУДЕРА 213
Лемма 2. Пусть \{ bn\} \in \scrB , \varepsilon > 0, m \in \BbbN . Кроме того, пусть еще задана ступенчатая
функция s вида (4). Тогда существуют конечное множество \omega \subset \BbbN и набор знаков \lambda n = \pm 1,
n \in \omega , определяющие полином
p =
\sum
n\in \omega
\lambda nbn\varphi n (5)
по системе Фабера – Шаудера, а также измеримое множество E \subset [0, 1] и функция g \in
\in C[0, 1] со свойствами:
1) \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \geq m,
2) \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E) > 1 - \varepsilon ,
3) g(x) = s(x) при всех x \in E,
4) g = s = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq i\leq 2k | \gamma i| ,
5) \| g - p\| \leq \varepsilon .
Доказательство. Для каждого i = 1, . . . , 2k применим лемму 2 с параметрами \gamma i, \varepsilon 2
- k,
\varepsilon , m и \Delta
(i)
k , определив множество индексов \omega i \subset \BbbN таким образом, чтобы \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega i > m и
выполнялись условия
pi(x) \equiv
\sum
n\in \omega i
bn\varphi n(x) \leq | \gamma i| , x \in [0, 1],
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} pi \subset \Delta
(i)
k , (6)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\Bigl\{
x \in \Delta
(i)
k : \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma ipi(x) - \gamma i > \varepsilon
\Bigr\}
< \varepsilon 2 - k. (7)
Отметим, что из (6) и определения системы Фабера – Шаудера (1) следует, что множества
\omega i = \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c} pi попарно не пересекаются. Поэтому если мы положим
\omega =
2k\bigcup
i=1
\omega i, \lambda n = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma i при всех n \in \omega i, i = 1, . . . , 2k,
то будет определен полином (5), причем
p =
2k\sum
i=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma ipi. (8)
Обозначим также
E =
2k\bigcup
i=1
Ei, Ei =
\Bigl\{
x \in \Delta
(i)
k : | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma ipi(x) - \gamma i| \leq \varepsilon
\Bigr\}
,
g =
2k\sum
i=1
gi, gi(x) =
\left\{
\gamma i, x \in Ei,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma ipi(x), x \in \Delta
(i)
k \setminus Ei,
0, x \in [0, 1] \setminus \Delta (i)
k ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
214 М. Г. ГРИГОРЯН, В. Г. КРОТОВ
и покажем, что найденные p, E и g удовлетворяют нужным условиям, кроме непрерывности
функции g.
Свойство 1 очевидно, свойство 2 вытекает из (7):
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E) =
2k\sum
i=1
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(Ei) >
2k\sum
i=1
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\Bigl(
\Delta
(i)
k
\Bigr)
- \varepsilon 2 - k
\Bigr)
= 1 - \varepsilon ,
свойства 3 и 4 выполнены по определению g (см. также (8)). Наконец, свойство 5 следует из
определений g и E :
\| g - p\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq 2k
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \Delta (i)
k
| gi(x) - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma ipi(x)| \leq \varepsilon .
Осталось подправить функцию g так, чтобы она, сохраняя уже полученные свойства, стала
непрерывной. Это можно сделать следующим образом.
Для каждого i = 1, . . . , 2k множество \Delta
(i)
k \setminus Ei является объединением конечного числа
отрезков \Delta \subset \Delta
(i)
k , только на концах каждого из которых функция g может быть разрыв-
ной. Для устранения этих разрывов рассмотрим отдельно различные случаи расположения \Delta
относительно \Delta
(i)
k .
Пусть \Delta = [\alpha , \beta ] лежит строго внутри \Delta
(i)
k , тогда p(\alpha ) = p(\beta ) = \gamma i - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma i\varepsilon . Возьмем
такой интервал (\alpha \prime , \beta \prime ) \subset \Delta
(i)
k , чтобы \Delta \subset (\alpha \prime , \beta \prime ) и его длина была достаточно близка к длине
\Delta . Переопределим теперь функцию g на [\alpha \prime , \alpha ] , полагая g (\alpha \prime ) = \gamma i, g(\alpha ) = \gamma i - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \gamma i\varepsilon , и
линейно интерполируем ее на (\alpha \prime , \alpha ) . Аналогично переопределим g на (\beta , \beta \prime ) .
Подобным образом следует корректировать функцию g и в случае, когда один из концов
\Delta совпадает с концом \Delta
(i)
k . В таком случае коррекция должна проводиться только на малом
отрезке, прилегающем к \Delta изнутри \Delta
(i)
k . В другом конце \Delta функция g непрерывна, так как
совпадает в некоторой окрестности этого конца с непрерывной функцией p.
Лемма 2 доказана.
2.2. Доказательство теоремы 1. Множество всех ступенчатых функций вида (4), прини-
мающих рациональные значения \gamma i \in \BbbQ , счетно. Занумеруем их в последовательность \{ Sj\} \infty j=1
и с помощью леммы 2 построим последовательности измеримых множеств \{ Ej\} \infty j=1, функций
\{ gj\} \infty j=1 \subset C[0, 1] и полиномов \{ pj\} \infty j=1 вида
pj =
\sum
n\in \omega j
\lambda nbn\varphi n, \lambda n \pm 1, (9)
где \omega j \subset \BbbN — конечные множества, причем
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega j+1 > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\omega j , j \in \BbbN . (10)
При этом выполняются следующие условия:
gj(x) = Sj(x) при x \in Ej , (11)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(Ej) > 1 - 4 - 8(j+2), (12)
\| gj\| = \| Sj\| , (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КВАЗИБЕЗУСЛОВНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ ФАБЕРА – ШАУДЕРА 215
\| gj - pj\| < 4 - 8(j+2), (14)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n\in \omega j
bn\varphi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 2\| Sj\| . (15)
Построив такие последовательности, для любого \delta \in (0, 1) введем множество
E\delta =
\infty \bigcap
j=N
Ej , где N = [ - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 \delta ] + 1, (16)
тогда из (12) и (16) вытекает неравенство \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E\delta ) > 1 - \delta .
Пусть теперь задана произвольная функция f \in C[0, 1], отличная от тождественного нуля.
Обозначим через \scrS класс функций, представимых в виде суммы непрерывной функции и
ступенчатой функции вида (4), и перейдем к построению функции \widetilde f из теоремы 1, использовав
индуктивный процесс.
Из последовательности \{ Sj\} можно выделить подпоследовательность \{ Sjl\} таким образом,
чтобы j1 > N и выполнялись следующие условия:
f
C
=
\infty \sum
l=1
Sjl , (17)
\| Sjl\| < \| f\| 4 - 8(l+2) при l \geq 2. (18)
Из (17) и (18) следует, в частности, что
\| f - Sj1\| <
1
2
\| f\| , \| Sj1\| <
3
2
\| f\| . (19)
Введем обозначения
G1 = gj1 , \Omega 1 = \omega j1 , P1 = pj1 =
\sum
n\in \Omega 1
\lambda nbn\varphi n. (20)
Используя соотношения (11), (15), (19) и (20), получаем
G1(x) = Sj1(x) при x \in Ej1 ,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n\in \Omega 1
bn\varphi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 2\| Sj1\| < 3\| f\| . (21)
Предположим, что уже определены номера j1 = \nu 1 < . . . < \nu m - 1, функции Gl \in \scrS и
полиномы
Pl =
\sum
n\in \Omega l
\lambda nbn\varphi n, \lambda n = \pm 1, (22)
удовлетворяющие следующим условиям при l = 1, . . . ,m - 1:
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Omega l > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\Omega l - 1, (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
216 М. Г. ГРИГОРЯН, В. Г. КРОТОВ
Gl(x) = Sjl(x) при x \in E\delta , (24)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n\in \Omega l
bn\varphi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 4 - 8l\| f\| , l \geq 2, (25)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l\sum
k=1
[Pk - Gk]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 4 - 8(l+1)\| f\| , (26)
\| Gl\| < 4 - 3l\| f\| , l \geq 2. (27)
Покажем, как определить номер \nu m, функцию fm и полином Pm, чтобы условия (23) – (27)
выполнялись и при l = m.
Число \nu m > \nu m - 1 выберем настолько большим, чтобы выполнялись условие (23) при l = m
и неравенство \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| S\nu m -
\Biggl[
Sjm -
m - 1\sum
k=1
[Pk - Gk]
\Biggr] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 4 - 8(m+2)\| f\| . (28)
Поскольку из (18) и (26) следует, что\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Sjm -
m - 1\sum
k=1
[Pk - Gk]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 4 - 8(m+1)\| f\| ,
то, учитывая (28), получаем неравенство
\| S\nu m\| < 4 - 8m+2 \| f\| . (29)
Покажем, что полином
Pm = p\nu m =
\sum
n\in \Omega m
\lambda nbn\varphi n, где \Omega m = \omega \nu m
(см. (9)), и функция
Gm = Sjm + [g\nu m - S\nu m ] (30)
имеют нужные свойства (ясно, что Gm \in \scrS ).
Действительно, в силу соотношений (15) и (29)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
n\in \Omega m
bn\varphi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 4\| S\nu m\| < 4 - 8m\| f\| .
Кроме того, в силу (11) и (30)
Gm(x) = Sjm(x) при x \in E\nu m .
Далее, используя последовательно неравенства (28) и (14) (см. также (30)), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КВАЗИБЕЗУСЛОВНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ ФАБЕРА – ШАУДЕРА 217\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
k=1
[Pk - Gk]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m - 1\sum
k=1
[Pk - Gk] + [Pm - Gm]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| S\nu m -
\Biggl[
Sjm -
m - 1\sum
k=1
[Pk - Gk]
\Biggr] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| + \| p\nu m - g\nu m\| < 4 - 8m - 9\| f\| .
Наконец, из (30) выводим
\| Gm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| S\nu m -
\Biggl[
Sjm -
m - 1\sum
k=1
[Pk - Gk]
\Biggr] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+\| g\nu m\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m - 1\sum
k=1
[Pk - Gk]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 4 - 8m+3\| f\| .
Таким образом, индуктивное построение последовательностей \nu l, Gl и Pl завершено, при
этом для всех l \in \BbbN выполняются условия (23) – (27).
Определим теперь искомую функцию \widetilde f следующим образом:
\widetilde f C
=
\infty \sum
l=1
Pl (31)
(см. (22)) и покажем, что она удовлетворяет всем требованиям теоремы 1.
Из неравенств (25) следует, что ряд (31) сходится равномерно, поэтому ряд
\infty \sum
l=1
\sum
n\in \Omega l
\lambda nbn\varphi n
(с раскрытыми скобками) является рядом Фурье – Фабера – Шаудера функции \widetilde f, так как в силу
(23) \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}Pl > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}Pl - 1.
Кроме того, в силу неравенств (25) ряд
\infty \sum
l=1
\left( \sum
n\in \Omega l
bn\varphi n
\right)
сходится равномерно, поэтому этот ряд с раскрытыми скобками также сходится равномерно.
Это означает равномерную сходимость ряда
\infty \sum
n=0
\bigm| \bigm| \bigm| An
\Bigl( \widetilde f\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \varphi n,
т. е. ряд Фурье – Фабера – Шаудера функции \widetilde f сходится безусловно в C[0, 1].
Учитывая соотношения (21) и (25), получаем неравенства\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
n=0
\bigm| \bigm| \bigm| An
\Bigl( \widetilde f\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \varphi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n\in \Omega 1
bn\varphi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\infty \sum
l=2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n\in \Omega l
bn\varphi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 3\| f\| + \| f\| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
218 М. Г. ГРИГОРЯН, В. Г. КРОТОВ
и утверждение 4 теоремы 1 доказано.
Докажем, наконец, что функции f и \widetilde f совпадают на множестве E\delta (см. (16)). Из неравенств
(26) следует, что ряд
\infty \sum
l=1
[Pk(x) - Gk(x)]
сходится к нулю равномерно на [0, 1], поэтому
\widetilde f(x) = \infty \sum
l=1
Gl(x) =
\infty \sum
l=1
Sjl(x) = f(x)
при x \in E\delta , так как для таких x справедливы равенства (24) (см. также (17)).
Теорема 1 доказана.
3. Заключительные замечания. Отметим, что условие расходимости ряда в (3) суще-
ственно для справедливости теоремы 1 — без него она теряет силу. Это следует из работы [5]
(теорема 2).
Роль условия (3) в доказательствах состоит в том, что из него следует условие
\infty \sum
n=0
bn\varphi n(x) = +\infty почти всюду на [0, 1]
(см. доказательство леммы 1 в работе [5]), которое затем используется для вывода леммы 1.
Поэтому теорема 1 сохранит силу, если условие \{ bn\} \in \scrB (см. (3)) заменить в ней на следующее:
bn \geq 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
bn = 0,
\infty \sum
n=0
bn\varphi n(x) = +\infty почти всюду.
Наконец, выбор знаков \lambda n = \pm 1 в формулировке теоремы 1 можно исключить, потре-
бовав, однако, чтобы в последовательности \{ bn\} было достаточно много положительных и
отрицательных чисел. Именно, рассмотрим условие
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
bn = 0,
\infty \sum
n=0
b\pm n\varphi n(x) = \pm \infty почти всюду, (32)
в котором использовано стандартное обозначение b+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ b, 0\} , b - = b - b+ для положи-
тельной и отрицательной частей числа b.
Теорема 3. Пусть последовательность \{ bn\} \subset \BbbR удовлетворяет условию (32). Тогда для
любого \delta > 0 существует измеримое множество E\delta \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(E\delta ) > 1 - \delta , такое, что для
любой функции f \in C[0, 1] можно найти функцию \widetilde f \in C[0, 1] со следующими свойствами:
1) f(x) = \widetilde f(x) для всех x \in E\delta ,
2) An( \widetilde f) = bn для всех n \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}( \widetilde f),
3) ряд Фурье – Фабера – Шаудера
\sum \infty
n=0
An( \widetilde f)\varphi n функции \widetilde f сходится безусловно в C[0, 1],
4)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum \infty
n=0
\bigm| \bigm| \bigm| An
\Bigl( \widetilde f\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \Phi n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 4\| f\| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
КВАЗИБЕЗУСЛОВНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ ФАБЕРА – ШАУДЕРА 219
Литература
1. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Изд-во АФЦ, 1999. – 560 с.
2. Faber G. Über die Orthogonalenfunctionen des Herrn Haar // Jahresber. Deutsch. Math. Verien. – 1910. – 19. –
S. 104 – 112.
3. Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Functionalraumen // Math. Z. – 1927. – 26. – S. 47 – 65.
4. Karlin S. Bases in Banach spaces // Duke Math. J. – 1948. – 15, № 4. – P. 971 – 985.
5. Григорян М. Г., Кротов В. Г. Теорема исправления Лузина и коэффициенты разложений Фурье по системе
Фабера – Шаудера // Мат. заметки. – 2013. – 93, № 3. – С. 172 – 178.
6. Кротов В. Г. Представление измеримых функций рядами по системе Фабера – Шаудера и универсальные
ряды // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1977. – 41, № 1. – С. 215 – 229.
7. Галоян Л. Н., Григорян М. Г., Кобелян А. Х. О сходимости рядов Фурье по классическим системам // Мат. сб. –
2015. – 206, № 7. – С. 55 – 94.
8. Лузин Н. Н. К основной теореме интегрального исчисления // Мат. сб. – 1912. – 28, № 2. – С. 266 – 294.
9. Menchoff D. Sur la convergence uniforme des series de Fourier // Мат. сб. – 1942. – 53, № 1. – С. 67 – 96.
10. Ульянов П. Л. О работах Н. Н. Лузина по метрической теории функций // Успехи мат. наук. – 1985. – 40, № 3. –
С. 15 – 70.
11. Кротов В. Г. Об универсальных рядах Фурье по системе Фабера – Шаудера // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. –
1975. – № 4. – С. 53 – 58.
12. Григорян М. Г., Саргсян А. А. Нелинейная аппроксимация непрерывных функций по системе Фабера –
Шаудера // Мат. сб. – 2008. – 199, № 5. – С. 3 – 26.
13. Grigoryan M. G., Sargsyan A. A. Unconditional C -strong property of Faber – Schauder system // J. Math. Anal. and
Appl. – 2009. – 352, № 2. – P. 718 – 723.
14. Grigoryan T. M. On the unconditional convergence of series with respect to the Faber – Schauder system // Anal.
Math. – 2013. – 39, № 1. – P. 56 – 67.
Получено 06.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1432 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:16Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fc/8b7222f23e863f4780c3c33edf63f2fc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14322019-12-05T08:54:43Z Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system Квазибезусловная базисность системы Фабера – Шаудера Grigoryan, M. G. Krotov, V. G. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. We prove that, for any $0 < \delta < 1$, there exists a measurable set $E_{\delta} \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (E_{\delta }) > 1 \delta $, such that for any function $f \in C[0, 1]$, one can find a function $\widetilde f \in C[0, 1]$ that coincides with f on E\delta , and the Fourier – Faber – Schauder series for the function $\widetilde f$ unconditionally converges in $C[0, 1]$. Moreover, the moduli of the nonzero Fourier – Faber – Schauder coefficients of the function $\widetilde f$ coincide with the elements of a given sequence $\{ b_n\}$ satisfying the condition $$b_n \downarrow 0,\; \sum^{\infty }_{n=1} frac{b_n}{n} = +\infty .$$ Доведено, що для будь-якого $0 < \delta < 1$ iснує така вимiрна множина $E_{\delta} \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (E_{\delta }) > 1 \delta $, що для будь-якої функцiї $f \in C[0, 1]$ можна знайти функцiю $\widetilde f \in C[0, 1]$, яка збiгається з $f$ на $E_{\delta}$ , i ряд Фур’є – Фабера –Шаудера для $\widetilde f$ збiгається безумовно в $C[0, 1]$. При цьому модулi ненульових коефiцiєнтiв Фур’є – Фабера –Шаудера функцiї $\widetilde f$ збiгаються з елементами заданої послiдовностi $\{ b_n\} $, що задовольняє умову $$b_n \downarrow 0,\; \sum^{\infty }_{n=1} frac{b_n}{n} = +\infty .$$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1432 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 210-219 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 210-219 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1432/416 Copyright (c) 2019 Grigoryan M. G.; Krotov V. G. |
| spellingShingle | Grigoryan, M. G. Krotov, V. G. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. Григорян, М. Г. Кротов, В. Г. Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system |
| title | Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system |
| title_alt | Квазибезусловная базисность системы Фабера – Шаудера |
| title_full | Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system |
| title_fullStr | Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system |
| title_full_unstemmed | Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system |
| title_short | Quasiunconditional basis property of the Faber – Schauder system |
| title_sort | quasiunconditional basis property of the faber – schauder system |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1432 |
| work_keys_str_mv | AT grigoryanmg quasiunconditionalbasispropertyofthefaberschaudersystem AT krotovvg quasiunconditionalbasispropertyofthefaberschaudersystem AT grigorânmg quasiunconditionalbasispropertyofthefaberschaudersystem AT krotovvg quasiunconditionalbasispropertyofthefaberschaudersystem AT grigorânmg quasiunconditionalbasispropertyofthefaberschaudersystem AT krotovvg quasiunconditionalbasispropertyofthefaberschaudersystem AT grigoryanmg kvazibezuslovnaâbazisnostʹsistemyfaberašaudera AT krotovvg kvazibezuslovnaâbazisnostʹsistemyfaberašaudera AT grigorânmg kvazibezuslovnaâbazisnostʹsistemyfaberašaudera AT krotovvg kvazibezuslovnaâbazisnostʹsistemyfaberašaudera AT grigorânmg kvazibezuslovnaâbazisnostʹsistemyfaberašaudera AT krotovvg kvazibezuslovnaâbazisnostʹsistemyfaberašaudera |