Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative oscillations
The relative mean integral oscillations of a nondecreasing equimeasurable rearrangement are estimated from above via the same oscillations of the original function. On the basis of this estimate, we establish a lower order-exact estimate for the rate of decrease (vanishing) of the rearrangement.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1435 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507184727588864 |
|---|---|
| author | Korenovskii, A. A. Кореновский, А. А. Кореновский, А. А. |
| author_facet | Korenovskii, A. A. Кореновский, А. А. Кореновский, А. А. |
| author_sort | Korenovskii, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | The relative mean integral oscillations of a nondecreasing equimeasurable rearrangement are estimated from above via the
same oscillations of the original function. On the basis of this estimate, we establish a lower order-exact estimate for the
rate of decrease (vanishing) of the rearrangement. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. А. Кореновский (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ
В ТЕРМИНАХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
The relative mean integral oscillations of a nondecreasing equimeasurable rearrangement are estimated from above via the
same oscillations of the original function. On the basis of this estimate, we establish a lower order-exact estimate for the
rate of decrease (vanishing) of the rearrangement.
Вiдноснi середнi iнтегральнi коливання неспадної рiвновимiрної перестановки оцiнено зверху через такi ж коли-
вання початкової функцiї. На основi цiєї оцiнки отримано точну за порядком оцiнку знизу швидкостi спадання
(зникнення) перестановки.
1. Введение. Пусть Q0 \subset \BbbR d — куб1, f \in L (Q0) — неотрицательная функция. Для куба Q \subset Q0
обозначим fQ =
1
| Q|
\int
Q
f(x) dx, где | \cdot | — мера Лебега. Средним колебанием функции f на Q
называется величина
\Omega (f ;Q) =
1
| Q|
\int
Q
| f(x) - fQ| dx.
Очевидно, \Omega (f ;Q) \leq 2fQ. Величину
\Omega (f ;Q)
fQ
естественно называть относительным2 средним
колебанием функции f на кубе Q
\biggl(
если fQ = 0, то считаем, что
\Omega (f ;Q)
fQ
= 2
\biggr)
.
Для 0 < \sigma \leq | Q0| введем в рассмотрение величину (см. [5, с. 101])
\nu (f ;\sigma ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| Q| \leq \sigma
\Omega (f ;Q)
fQ
,
где верхняя грань берется по всем кубам Q \subset Q0, мера3 которых не превышает \sigma . Ясно, что
\nu (f ;\sigma ) не убывает, \nu (f ;\sigma ) \leq \nu (f ; | Q0| ) \leq 2, 0 < \sigma \leq | Q0| . Функция \nu (f ;\sigma ) характеризует
относительные колебания функции f по „малым” кубам. Некоторые свойства функции \nu (f ;\sigma )
приведены в п. 2 (см. также [1, 2, 4, 5]).
В данной работе изучаются глобальные характеристики функции f, выраженные в терминах
относительных колебаний \nu (f ;\sigma ). Сначала напомним необходимые определения и известные
в этом направлении результаты.
Для измеримой на кубе Q0 неотрицательной функции f невозрастающей перестановкой
называется невозрастающая на (0, | Q0| ] функция f\ast , равноизмеримая с f, т. е. такая, что при
любом \lambda > 0 справедливо4
| Q0(f > \lambda )| = | \{ t \in (0, | Q0| ] : f\ast (t) > \lambda \} | .
1Всюду в работе рассматриваются кубы, стороны которых параллельны координатным осям.
2Т. е. инвариантным относительно умножения функции f на постоянный положительный множитель.
3В [5] при определении \nu (f ;\sigma ) верхняя грань берется по кубам Q \subset Q0, длина стороны которых не превышает
\sigma , но это несущественно.
4Для множества E и свойства P = P (x) через E(P ) обозначаем множество тех точек x \in E, для которых
справедливо свойство P.
c\bigcirc А. А. КОРЕНОВСКИЙ, 2019
246 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ . . . 247
Этим свойством перестановка f\ast определяется лишь с точностью до множества точек разрыва5;
для однозначности можем, например, считать, что f\ast непрерывна справа. Тогда перестановку
f\ast можно определить равенством (см. [3])
f\ast (t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| e| \geq t
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in e
f(x), t \in (0, | Q0| ] ,
где верхняя грань берется по всем измеримым подмножествам e \subset Q0, лебегова мера которых
| e| \geq t. Для f \in L (Q0) положим
f\ast \ast (t) = (f\ast )[0,t] =
1
t
t\int
0
f\ast (u) du, t \in (0, | Q0| ] .
В работах [4, 5, с. 101] была получена следующая оценка6 относительных колебаний невоз-
растающей перестановки функции по интервалам [0, t]:
1
t
t\int
0
| f\ast (u) - f\ast \ast (t)| du \leq 3 \cdot 2d \nu
\Bigl(
f ; 2d t
\Bigr)
f\ast \ast (t).
С помощью этой оценки в [4, 5, с. 104] установлено следующее ограничение на рост невозрас-
тающей перестановки при t \rightarrow 0+:
f\ast \ast (t) \leq cd fQ0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( c\prime d
| Q0| \int
2d t
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
\right) ,
где постоянные cd и c\prime d не зависят от функции f. Это неравенство означает, что
\mathrm{l}\mathrm{n}
f\ast \ast (t)
fQ0
\leq \mathrm{l}\mathrm{n} cd + c\prime d
| Q0| \int
2d t
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
. (1)
В данной работе получена аналогичная оценка снизу скорости убывания (исчезновения)
перестановки f\ast (t) при t \rightarrow | Q0| - 0. Для удобства будем рассматривать неубывающую рав-
ноизмеримую перестановку f\ast функции f, которую можно определить равенством
f\ast (t) = f\ast (| Q0| - t) , t \in (0, | Q0| ] .
Положим также
f\ast \ast (t) = (f\ast )[0,t] =
1
t
t\int
0
f\ast (u) du, t \in (0, | Q0| ] .
Тогда основные результаты данной работы можем сформулировать в виде следующих двух
теорем.
5В силу монотонности f\ast это множество не более чем счетно.
6В связи с различием в определении функции \nu (f ;\sigma ) в цитируемых работах эта оценка имеет другой вид.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
248 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
Теорема 1. Пусть неотрицательная функция f суммируема на кубе Q0. Тогда для 0 <
< t \leq 2 - d | Q0| выполняется неравенство
1
t
t\int
0
| f\ast (u) - f\ast \ast (t)| du \leq
\Bigl(
2d + 1
\Bigr)
\nu
\Bigl(
f ; 2d t
\Bigr)
f\ast \ast (t).
Теорема 2. Пусть неотрицательная функция f суммируема на кубе Q0, \nu (f ; | Q0| ) \leq
\leq 1
e (1 + 2d)
. Тогда для 0 < t \leq | Q0|
2d
выполняется неравенство
f\ast \ast (t) \geq
1
4
fQ0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
e
| Q0| \int
2d t
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
\right) . (2)
Доказательства этих теорем содержатся в п. 3. В этом же пункте приведена теорема 4,
показывающая, что оценка (2) неулучшаемая с точностью до постоянных.
В завершение заметим, что f\ast \ast (| E| ) \leq fE \leq f\ast \ast (| E| ) для любого измеримого подмножест-
ва E \subset Q0. Отсюда следует, что неравенства (1) и (2) можно объединить в виде следующей
теоремы.
Теорема 3. Пусть неотрицательная функция f суммируема на кубе Q0, \nu (f ; | Q0| ) \leq
\leq 1
e (1 + 2d)
. Тогда для любого измеримого подмножества E \subset Q0
\biggl(
| E| \leq | Q0|
2d
\biggr)
выполня-
ется неравенство
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n} fE
fQ0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c1 + c2
| Q0| \int
2d | E|
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
,
где постоянные c1 и c2 не зависят от функции f.
2. Свойства относительных средних колебаний.
Лемма 1. Если fQ > 0 на некотором кубе Q, то
\Omega (f ;Q) < 2 fQ,
причем множитель 2 в правой части, вообще говоря, нельзя уменьшить.
Доказательство. Достаточно рассмотреть нетривиальный случай \Omega (f ;Q) > 0. В этом
случае 0 < | Q (f < fQ)| < | Q| и поэтому\int
Q(f<fQ)
(fQ - f(x)) dx \leq fQ | Q (f < fQ)| < fQ | Q| . (3)
Но поскольку
\Omega (f ;Q) =
2
| Q|
\int
Q(f<fQ)
(fQ - f(x)) dx =
2
| Q|
\int
Q(f\geq fQ)
(f(x) - fQ) dx,
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ . . . 249\int
Q(f\geq fQ)
(f(x) - fQ) dx < fQ | Q| . (4)
Складывая (3) и (4), получаем
\Omega (f ;Q) =
1
| Q|
\left( \int
Q(f<fQ)
(fQ - f(x)) dx+
\int
Q(f\geq fQ)
(f(x) - fQ) dx
\right) < 2 fQ.
Для доказательства второго утверждения леммы зададим произвольное 0 < \varepsilon < 10 - 2 и
определим на Q \equiv [0, 1] функцию
f = \chi [0,\varepsilon /4) + \varepsilon 3\chi [\varepsilon /4,1].
Тогда
fQ =
\varepsilon
4
+ \varepsilon 3
\Bigl(
1 - \varepsilon
4
\Bigr)
<
\varepsilon
3
, \Omega (f ;Q) > 2 \cdot \varepsilon
4
\Bigl(
1 - \varepsilon
3
\Bigr)
,
\Omega (f ;Q)
fQ
>
\varepsilon
2
\Bigl(
1 - \varepsilon
3
\Bigr)
\varepsilon
4
+ \varepsilon 3
\Bigl(
1 - \varepsilon
4
\Bigr) =
2 - 2
3
\varepsilon
1 + \varepsilon 2(4 - \varepsilon )
> 2 - \varepsilon .
Лемма 1 доказана.
Замечание 1. Построенная при доказательстве второй части леммы 1 функция f ограни-
чена и „отделена от нуля”, т. е.
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in Q
f(x) = 1 < +\infty , \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in Q
f(x) = \varepsilon 3 > 0.
Можно показать (см. [6]), что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Q \prime \subset Q
\Omega (f ;Q \prime )
fQ \prime
= 2
1 - \varepsilon 3/2
1 + \varepsilon 3/2
< 2,
где верхняя грань справа берется по всем интервалам Q \prime \subset Q.
Зафиксируем куб Q0. В нетривиальном случае \nu (f ; | Q0| ) < 2 имеем fQ0 > 0. С другой
стороны, из леммы 1 следует, что если fQ = 0 хотя бы на каком-нибудь кубе Q \subset Q0, то
\nu (f ;\sigma ) \equiv 2 при любом 0 < \sigma \leq | Q0| . Следующая лемма уточняет этот вывод. Именно,
условие \nu (f ;\sigma ) < 2 при некотором 0 < \sigma \leq | Q0| гарантирует, что функция f положительна
почти всюду на Q0.
Лемма 2 (см. [5, с. 99]). Если | Q0(f = 0)| > 0, то \nu (f ;\sigma ) \equiv 2, 0 < \sigma \leq | Q0| .
Доказательство. Считаем, что fQ0 > 0. Зафиксируем произвольные 0 < \sigma \leq | Q0| и
0 < \delta < 1. Поскольку почти каждая точка множества A = Q0(f = 0) является его точкой
плотности, то по теореме Лебега найдется такой куб Q, что | Q| \leq \sigma , fQ > 0 и для множества
E = Q \setminus A имеет место неравенство
| E| < \delta
2
| Q| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
250 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
Тогда из неравенства\int
E(f\leq fQ)
f(x) dx \leq fQ | E (f \leq fQ)| =
| E (f \leq fQ)|
| Q|
\int
E
f(x) dx
следует, что
| E (f > fQ)|
| Q|
\int
E
f(x) dx+
\int
E(f\leq fQ)
f(x) dx \leq
\leq 1
| Q|
(| E (f > fQ)| + | E (f \leq fQ)| )
\int
E
f(x) dx =
=
| E|
| Q|
\int
E
f(x) dx \leq \delta
2
\int
E
f(x) dx.
Отсюда получаем
| Q|
2
(\Omega (f ;Q) - (2 - \delta )fQ) =
\int
E(f>fQ)
(f(x) - fQ) dx - 2 - \delta
2
\int
E
f(x) dx =
=
\int
E(f>fQ)
f(x) dx - fQ | E (f > fQ)| -
\int
E
f(x) dx+
\delta
2
\int
E
f(x) dx \geq
\geq
\int
E(f>fQ)
f(x) dx -
| E (f > fQ)|
| Q|
\int
E
f(x) dx -
-
\int
E
f(x) dx+
| E (f > fQ)|
| Q|
f(x) dx+
\int
E(f\leq fQ)
f(x) dx = 0,
т. е.
\Omega (f ;Q)
fQ
\geq 2 - \delta .
В силу произвольности \delta и \sigma отсюда следует утверждение леммы.
Следующая лемма показывает, что функция \nu (f ;\sigma ) не может быстро возрастать.
Лемма 3. Функция
\nu (f ;\sigma )
\sigma
почти убывает, т. е. существует такая постоянная cd > 0,
что для 0 < \sigma 1 < \sigma 2 \leq | Q0| выполняется неравенство
\nu (f ;\sigma 1)
\sigma 1
\geq cd
\nu (f ;\sigma 2)
\sigma 2
.
В качестве cd можно взять cd = 1/
\bigl(
22d+2 + 1
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ . . . 251
Доказательство. Сначала покажем, что для двух кубов Q \prime \subset \widetilde Q таких, что | Q \prime | = 2 - d
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Q\bigm| \bigm| \bigm| ,
выполняется неравенство \bigm| \bigm| \bigm| fQ \prime - f \widetilde Q
\bigm| \bigm| \bigm| \leq 2d\Omega
\Bigl(
f ; \widetilde Q\Bigr) . (5)
Действительно, \bigm| \bigm| \bigm| fQ \prime - f \widetilde Q
\bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
| Q \prime |
\int
Q \prime
\bigm| \bigm| \bigm| f(x) - f \widetilde Q
\bigm| \bigm| \bigm| dx \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Q\bigm| \bigm| \bigm|
| Q \prime |
1\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Q\bigm| \bigm| \bigm|
\int
\widetilde Q
\bigm| \bigm| \bigm| f(x) - f \widetilde Q
\bigm| \bigm| \bigm| dx = 2d\Omega
\Bigl(
f ; \widetilde Q\Bigr) .
Пусть теперь произвольные 0 < \sigma 1 < \sigma 2 \leq | Q0| . Выберем произвольный куб Q =
=
d\bigotimes
k=1
\Bigl[
ak, ak + \sigma
1/d
2
\Bigr]
\subset Q0, | Q| = \sigma 2. Положим7 N = 2
\Biggl( \Biggl[ \biggl(
\sigma 2
\sigma 1
\biggr) 1/d
\Biggr]
+ 1
\Biggr)
, N \geq 4, и
разобьем каждую из сторон
\Bigl[
ak, ak + \sigma
1/d
2
\Bigr]
куба Q на N отрезков равной длины
\sigma
1/d
2
N
\in
\in
\biggl[
1
4
\sigma
1/d
1 ,
1
2
\sigma
1/d
1
\biggr]
. В результате получим Nd кубов
Qi =
d\bigotimes
k=1
\biggl[
ak +
ik - 1
N
\sigma
1/d
2 , ak +
ik
N
\sigma
1/d
2
\biggr]
,
где мультииндекс i = (i1, . . . , id) , 1 \leq ik \leq N, k = 1, . . . , d. Зафиксируем произвольную пару
мультииндексов
i = (i1, . . . , id) \not = l = (l1, . . . , ld)
и построим дизъюнктивный набор кубов Q(j) следующим образом. Положим i(0) = i, Q(0) =
= Qi(0) . Если Q(j) \not = Ql, то положим
i(j+1) =
\Bigl(
i
(j)
1 + \varepsilon
(j)
1 , . . . , i
(j)
d + \varepsilon
(j)
d
\Bigr)
,
где числа \varepsilon
(j)
k \in \{ 0,\pm 1\} выбираются таким образом, чтобы сумма
d\sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| i(j+1)
k - lk
\bigm| \bigm| \bigm|
была минимальной. В результате получим конечный набор кубов
Q(0) = Qi(0) = Qi, Q
(1) = Qi(1) , . . . , Q
(m) = Qi(m) = Ql, 1 \leq m \leq N.
При этом кубы Q(j - 1) и Q(j) имеют хотя бы одну общую граничную точку и, таким образом,
найдется такой куб (вообще говоря, не единственный) \widetilde Q(j) \supset Q(j - 1) \cup Q(j), что
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Q(j)
\bigm| \bigm| \bigm| =
= 2d
\bigm| \bigm| Q(j - 1)
\bigm| \bigm| = 2d
\bigm| \bigm| Q(j)
\bigm| \bigm| , j = 1, . . . ,m. Далее рассматриваем случай m \geq 3 (при m = 1, 2
7Через [ \cdot ] обозначена функция целой части.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
252 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
рассуждения лишь упрощаются). В силу построения кубов Q(j) для любого j = 1, . . . ,m - 2
найдется такое k = 1, . . . , d, что \bigm| \bigm| \bigm| i(j+2)
k - i
(j)
k
\bigm| \bigm| \bigm| = 2.
Это означает, что при любом j = 1, . . . ,m - 2\Biggl(
j\bigcup
r=1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \widetilde Q(r)
\Biggr) \bigcap \left( m\bigcup
r=j+2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t} \widetilde Q(r)
\right) = \varnothing .
Отсюда следует, что почти каждая точка множества
E =
m\bigcup
j=1
\widetilde Q(j)
содержится в пересечении внутренностей не более чем двух различных кубов \widetilde Q(j). Поэтому\int
E
f(x) dx \geq 1
2
m\sum
j=1
\int
\widetilde Q(j)
f(x) dx. (6)
Заметим также, что в силу выбора числа N имеем8
\sigma 1
4d
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| Q(j)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \sigma 1
2d
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Q(j)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \sigma 1.
Поэтому, применяя также (5) и (6), получаем
| fQi - fQl
|
fQ
\leq 1
fQ
m\sum
j=1
\bigm| \bigm| \bigm| fQ(j - 1) - fQ(j)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
fQ
m\sum
j=1
\Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| fQ(j - 1) - f \widetilde Q(j)
\bigm| \bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \bigm| fQ(j) - f \widetilde Q(j)
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr) \leq
\leq 2d+1 1
fQ
\nu (f ;\sigma 1)
m\sum
j=1
f \widetilde Q(j) = 2d+1\nu (f ;\sigma 1)
| Q| \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Q(j)
\bigm| \bigm| \bigm|
\sum m
j=1
\int
\widetilde Q(j)
f(x) dx\int
Q
f(x) dx
\leq
8 Число
N = 2
\Biggl( \Biggl[ \biggl(
\sigma 2
\sigma 1
\biggr) 1/d
\Biggr]
+ 1
\Biggr)
\Rightarrow N
2
- 1 \leq \sigma
1/d
2
\sigma
1/d
1
\leq N
2
\Rightarrow \sigma
1/d
1
4
\leq \sigma
1/d
2
N
\equiv l
\Bigl(
Q(j)
\Bigr)
\leq \sigma
1/d
1
2
\Rightarrow
\Rightarrow \sigma
1/d
1
2
\leq l
\Bigl( \widetilde Q(j)
\Bigr)
\equiv 2l
\Bigl(
Q(j)
\Bigr)
\leq \sigma
1/d
1 \Rightarrow \sigma 1
2d
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Q(j)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \sigma 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ . . . 253
\leq 2d+1\nu (f ;\sigma 1) \cdot 2d \cdot
\sigma 2
\sigma 1
\cdot 2
\int
E
f(x) dx\int
Q
f(x) dx
\leq 22d+2\nu (f ;\sigma 1)
\sigma 2
\sigma 1
. (7)
Теперь, применяя очевидное неравенство\sum
k
ak\sum
k
bk
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k
ak
bk
, ak, bk > 0,
оцениваем
\Omega (f ;Q)
fQ
=
\sum
i
\int
Qi
| f(x) - fQ| dx\sum
l
\int
Ql
f(x) dx
=
\sum
i
1
| Qi|
\int
Qi
| f(x) - fQ| dx\sum
l
1
| Ql|
\int
Ql
f(x) dx
\leq
\leq
\sum
i
\biggl(
1
| Qi|
\int
Qi
| f(x) - fQi | dx+ | fQi - fQ|
\biggr)
\sum
l
1
| Ql|
\int
Ql
f(x) dx
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i
1
| Qi|
\int
Qi
| f(x) - fQi | dx
1
| Qi|
\int
Qi
f(x) dx
+
\sum
i
| fQi - fQ| \sum
l
1
| Ql|
\int
Ql
f(x) dx
\equiv S1 + S2.
Ясно, что S1 \leq \nu (f ;\sigma 1) , а из (7) следует, что
S2 =
\sum
i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| fQi -
1
| Q|
\sum
l
\int
Ql
f(x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum
l
1
| Ql|
\int
Ql
f(x) dx
=
\sum
i
| Qi|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| fQi -
1
| Q|
\sum
l
| Ql| fQl
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum
l
\int
Ql
f(x) dx
\leq
\leq
1
| Q|
\sum
i
\sum
l
| Qi| | Ql| | fQi - fQl
| \int
Q
f(x) dx
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i,l
| fQi - fQl
|
fQ
\leq 22d+2\nu (f ;\sigma 1)
\sigma 2
\sigma 1
.
В итоге получаем
\Omega (f ;Q)
fQ
\leq S1 + S2 \leq
\Bigl(
22d+2 + 1
\Bigr)
\nu (f ;\sigma 1)
\sigma 2
\sigma 1
.
Поскольку куб Q \subset Q0, | Q| = \sigma 2, произвольный, то доказательство леммы завершено.
3. Доказательства основных результатов. Доказательство теоремы 1 основано на ис-
пользовании следующей леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
254 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
Лемма 4. Пусть неотрицательная функция f суммируема на кубе Q0 и число 0 < \alpha \leq
\leq fQ0 . Тогда существует такой дизъюнктивный9 набор кубов \{ Qj\} j\geq 1 , Qj \subset Q0, что
\alpha > fQj \geq
\Bigl(
1 - 2d - 1\nu
\Bigl(
f ; 2d | Qj |
\Bigr) \Bigr)
\alpha , (8)
f(x) \geq \alpha почти всюду на Q0 \setminus
\left( \bigcup
j\geq 1
Qj
\right) . (9)
Доказательство. Разделим Q0 на 2d двоичных куба и пусть \widetilde Q — один из них. Если
f \widetilde Q < \alpha , то кубу \widetilde Q присваиваем очередной номер j, и это будет один из кубов Qj , его дальше
делить не будем. Если же f \widetilde Q \geq \alpha , то куб \widetilde Q подлежит дальнейшему делению, и к нему
применяем описанную процедуру отбора кубов Qj .
В результате описанной процедуры отбора получим дизъюнктивный набор кубов \{ Qj\} j\geq 1 .
Через Q \prime
j обозначим тот из кубов \widetilde Q, в результате деления которого был получен куб Qj ; при
этом, очевидно, \bigm| \bigm| Q \prime
j
\bigm| \bigm| = 2d | Qj | , fQ \prime
j
\geq \alpha . (10)
Докажем (9). Если x /\in
\bigcup
j\geq 1Qj , то найдется последовательность стягивающихся к x кубов\widetilde Q, которые подлежали дальнейшему делению, т. е. для которых f \widetilde Q \geq \alpha . В силу теоремы Лебега
о дифференцировании интегралов получаем, что f(x) \geq \alpha для почти всех x /\in
\bigcup
j\geq 1Qj .
Осталось доказать (8). Левое неравенство выполняется в силу выбора кубов Qj . Для дока-
зательства правого неравенства в (8) воспользуемся формулой (10). Тогда получим
0 \leq fQ \prime
j
- fQj = fQ \prime
j
- 1
| Qj |
\int
Qj
f(x) dx =
1
| Qj |
\int
Qj
\Bigl(
fQ \prime
j
- f(x)
\Bigr)
dx \leq
\leq 1
| Qj |
\int
Qj
\biggl(
f<fQ \prime
j
\biggr)
\Bigl(
fQ \prime
j
- f(x)
\Bigr)
dx \leq
\leq 1\bigm| \bigm| \bigm| Q \prime
j
\bigm| \bigm| \bigm|
\int
Qj
\biggl(
f<fQ \prime
j
\biggr)
\Bigl(
fQ \prime
j
- f(x)
\Bigr)
dx =
=
\bigm| \bigm| \bigm| Q \prime
j
\bigm| \bigm| \bigm|
| Qj |
1
| Qj |
\int
Qj
\biggl(
f<fQ \prime
j
\biggr)
\Bigl(
fQ \prime
j
- f(x)
\Bigr)
dx =
= 2d \cdot 1
2
\Omega
\bigl(
f ;Q \prime
j
\bigr)
\leq 2d - 1 fQ \prime
j
\nu
\bigl(
f ;
\bigm| \bigm| Q \prime
j
\bigm| \bigm| \bigr) .
Отсюда следует, что
9Набор кубов называется дизъюнктивным, если внутренности этих кубов попарно не пересекаются.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ . . . 255
fQj \geq
\Bigl(
1 - 2d - 1\nu
\bigl(
f ;
\bigm| \bigm| Q \prime
j
\bigm| \bigm| \bigr) \Bigr) fQ \prime
j
\geq
\Bigl(
1 - 2d - 1 \nu
\bigl(
f ;
\bigm| \bigm| Q \prime
j
\bigm| \bigm| \bigr) \Bigr) \alpha .
Лемма 4 доказана.
Доказательство теоремы 1. Положим \alpha = f\ast \ast (t) и в результате применения леммы 4
получим набор кубов \{ Qj\} j\geq 1 . Обозначим E =
\bigcup
j\geq 1Qj .
Тогда
t\int
0
| f\ast (u) - f\ast \ast (t)| du = 2
\int
\{ u: f\ast (u)<\alpha \}
(\alpha - f\ast (u)) du =
= 2
\int
Q0(f<\alpha )
(\alpha - f(x)) dx = 2
\int
Q0(f<\alpha )\cap E
(\alpha - f(x)) dx =
= 2
\sum
j\geq 1
\int
Q0(f<\alpha )\cap Qj
(\alpha - f(x)) dx = 2
\sum
j\geq 1
\int
Qj(f<\alpha )
(\alpha - f(x)) dx =
= 2
\sum
j\geq 1
\int
Qj(f<\alpha )
\bigl(
\alpha - fQj + fQj - f(x)
\bigr)
dx =
= 2
\sum
j\geq 1
\int
Qj(f<\alpha )
\bigl(
fQj - f(x)
\bigr)
dx+ 2
\sum
j\geq 1
\bigl(
\alpha - fQj
\bigr)
| Qj(f < \alpha )| =
= 2
\sum
j\geq 1
\int
Qj
\Bigl(
fQj
\leq f<\alpha
\Bigr)
\bigl(
fQj - f(x)
\bigr)
dx+ 2
\sum
j\geq 1
\int
Qj
\Bigl(
f<fQj
\Bigr)
\bigl(
fQj - f(x)
\bigr)
dx+
+2
\sum
j\geq 1
\bigl(
\alpha - fQj
\bigr)
| Qj(f < \alpha )| \equiv S1 + S2 + S3.
Прежде всего заметим, что S1 \leq 0. Далее, поскольку fQj < \alpha , то
1
| E|
\int
E
f(x) dx =
1
| E|
\sum
j\geq 1
\int
Qj
f(x) dx =
1
| E|
\sum
j\geq 1
| Qj | fQj \leq \alpha
1
| E|
\sum
j\geq 1
| Qj | = \alpha .
Отсюда и из определения перестановки f\ast следует
f\ast \ast (t) =
1
t
t\int
0
f\ast (u) du = \alpha \geq 1
| E|
\int
E
f(x) dx \geq 1
| E|
| E| \int
0
f\ast (u) du,
и, таким образом, в силу монотонности f\ast имеем t \geq | E| . Оценим S2 :
S2 = 2
\sum
j\geq 1
\int
Qj
\Bigl(
f<fQj
\Bigr)
\bigl(
fQj - f(x)
\bigr)
dx =
\sum
j\geq 1
\int
Qj
\bigm| \bigm| f(x) - fQj
\bigm| \bigm| =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
256 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
=
\sum
j\geq 1
\Omega (f ;Qj)
fQj
\int
Qj
f(x) dx \leq \nu (f ; t)
\sum
j\geq 1
\int
Qj
f(x) dx \leq
\leq \nu (f ; t)\alpha
\sum
j\geq 1
| Qj | = \alpha \nu (f ; t) | E| \leq \alpha \nu (f ; t) t.
Чтобы оценить S3, заметим, что из свойства (8) вытекает
\alpha - fQj \leq 2d - 1 \nu
\Bigl(
f ; 2d | Qj |
\Bigr)
\alpha \leq 2d - 1
\Bigl(
f ; 2dt
\Bigr)
\alpha .
Поэтому
S3 = 2
\sum
j\geq 1
\bigl(
\alpha - fQj
\bigr)
| Qj(f < \alpha )| \leq 2d \alpha \nu
\Bigl(
f ; 2dt
\Bigr) \sum
j\geq 1
| Qj | \leq 2d \alpha \nu
\Bigl(
f ; 2dt
\Bigr)
t.
В итоге получаем
1
t
t\int
0
| f\ast (u) - f\ast \ast (t)| du \leq \alpha
\Bigl(
\nu (f ; t) + 2d\nu
\Bigl(
f ; 2dt
\Bigr) \Bigr)
\leq
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\Bigl(
f ; 2dt
\Bigr)
\alpha .
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Сначала заметим, что
fQ0 - f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
2d
\biggr)
=
2d
| Q0|
| Q0| 2 - d\int
0
(fQ0 - f\ast (u)) du \leq
\leq 2d - 1
| Q0|
| Q0| \int
0
| fQ0 - f\ast (u)| du =
2d - 1
| Q0|
\int
Q0
| f(x) - fQ0 | dx \leq
\leq 2d - 1\nu (f ; | Q0| ) fQ0 .
Так как \nu (f ; | Q0| ) \leq 2 - d, то отсюда следует, что
f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
2d
\biggr)
\geq
\Bigl[
1 - 2d - 1\nu (f ; | Q0| )
\Bigr]
fQ0 \geq 1
2
fQ0 . (11)
Далее в доказательстве используется параметр a > 1. При этом будет показано, что оп-
тимальным является значение a = e в том смысле, что при этом значении гарантируется
наименьший множитель
\bigl(
1 + 2d
\bigr)
e перед интегралом справа в (2).
Из теоремы 1 следует, что
f\ast \ast (t) - f\ast \ast
\biggl(
t
a
\biggr)
=
a
t
t/a\int
0
(f\ast \ast (t) - f\ast (u)) du \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ . . . 257
\leq a
2
1
t
t\int
0
| f\ast (u) - f\ast \ast (t)| du \leq a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\Bigl(
f ; 2dt
\Bigr)
f\ast \ast (t).
Отсюда в свою очередь вытекает
f\ast \ast
\biggl(
t
a
\biggr)
\geq
\Bigl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\Bigl(
f ; 2dt
\Bigr) \Bigr]
f\ast \ast (t). (12)
При t = | Q0| /2d из (12) имеем
f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
a \cdot 2d
\biggr)
\geq
\Bigl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu (f ; | Q0| )
\Bigr]
f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
2d
\biggr)
.
По индукции при t = | Q0| /
\bigl(
ai \cdot 2d
\bigr)
, i \geq 0, из (12) получаем
f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
ai+1 \cdot 2d
\biggr)
\geq
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
ai
\biggr) \biggr]
f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
ai \cdot 2d
\biggr)
.
Отсюда для i \geq 0 с учетом (11) имеем
f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
ai+1 \cdot 2d
\biggr)
\geq f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
2d
\biggr) i\prod
j=0
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr]
\geq
\geq 1
2
fQ0
i\prod
j=0
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr]
.
Если
| Q0|
ai+1 \cdot 2d
\leq t \leq | Q0|
ai \cdot 2d
, i \geq 0, то
f\ast \ast (t) \geq f\ast \ast
\biggl(
| Q0|
ai+1 \cdot 2d
\biggr)
\geq 1
2
fQ0
i\prod
j=0
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr]
. (13)
При i = 0, т. е. для
| Q0|
a \cdot 2d
\leq t \leq | Q0|
2d
, получаем
f\ast \ast (t) \geq
1
4
fQ0 . (14)
Для i \geq 1 преобразуем произведение в правой части (13) к следующему виду:
i\prod
j=0
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr]
\geq 1
2
i\prod
j=1
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr]
=
=
1
2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( i\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr] \right) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
258 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
=
1
2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
i\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - a
2
(1 + 2d) \nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr)
\right) =
=
1
2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
i\sum
j=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\left( 1 +
a
2
\bigl(
1 + 2d
\bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr)
1 - a
2
(1 + 2d) \nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr)
\right)
\right) .
Поскольку знаменатель дроби в правой части не меньше
1
2
, а \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + \gamma ) \leq \gamma , то
i\prod
j=0
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr]
\geq 1
2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - a
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr) i\sum
j=1
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \right) .
Прежде чем оценивать сумму в правой части, заметим, что из неравенства
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr)
\leq \nu (f ; \tau )
\biggl(
| Q0|
aj
\leq \tau \leq | Q0|
aj - 1
, j \geq 1
\biggr)
следует, что
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr)
\leq 1
\mathrm{l}\mathrm{n} a
| Q0| a - j+1\int
| Q0| a - j
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
.
Таким образом, для
| Q0|
ai+1 \cdot 2d
\leq t \leq | Q0|
ai \cdot 2d
, i \geq 1, из (13) вытекает
- \mathrm{l}\mathrm{n} f\ast \ast (t) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n} fQ0 - \mathrm{l}\mathrm{n}
\left( i\prod
j=0
\biggl[
1 - a
2
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr) \biggr] \right) \leq
\leq 2 \mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n} fQ0 +
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
a
i\sum
j=1
\nu
\biggl(
f ;
| Q0|
aj
\biggr)
\leq
\leq 2 \mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n} fQ0 +
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr) a
\mathrm{l}\mathrm{n} a
i\sum
j=1
| Q0| a - j+1\int
| Q0| a - j
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
=
= 2 \mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n} fQ0 +
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr) a
\mathrm{l}\mathrm{n} a
| Q0| \int
| Q0| a - i
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
\leq
\leq 2 \mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n} fQ0 +
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr) a
\mathrm{l}\mathrm{n} a
| Q0| \int
2d t
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ (ИСЧЕЗНОВЕНИЯ) ФУНКЦИИ . . . 259
Поскольку наименьшее значение множителя
a
\mathrm{l}\mathrm{n} a
достигается при a = e и равно e, то
окончательно для 0 < t \leq | Q0|
e \cdot 2d
получаем
- \mathrm{l}\mathrm{n} f\ast \ast (t) \leq 2 \mathrm{l}\mathrm{n} 2 - \mathrm{l}\mathrm{n} fQ0 +
\Bigl(
1 + 2d
\Bigr)
e
| Q0| \int
2d t
\nu (f ; \tau )
d\tau
\tau
,
а из (14) следует, что эта оценка остается справедливой и при
| Q0|
e \cdot 2d
\leq t \leq | Q0|
2d
. Отсюда,
очевидно, следует (2).
Теорема 2 доказана.
Покажем, что оценка (2) неулучшаема с точностью до постоянных. Именно, справедлива
следующая теорема.
Теорема 4. Пусть положительная, неубывающая на (0, 1] функция \nu (\sigma ) \leq 2 такова, что
\nu (\sigma )
\sigma
не возрастает. Тогда для функции
f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
1\int
x
\nu (\sigma )
d\sigma
\sigma
\right) , 0 < x \leq 1,
выполняется неравенство
\nu (f ;\sigma ) \leq 2\nu (\sigma ), 0 < \sigma \leq 1.
Доказательство. Достаточно показать, что
\Omega (f ; I)
fI
\leq 2\nu (| I| )
для любого интервала I \subset (0, 1]. Зафиксируем интервал I \equiv (a, a+t) \subset (0, 1]. Тогда вследствие
монотонности функции f получим
\Omega (f ; I)
fI
=
2
t
\int
I(f<fI)
(fI - f(x)) dx
fI
=
2
t
\int
I(f<fI)
\biggl(
1 - f(x)
fI
\biggr)
dx \leq
\leq 2
t
\int
I
\biggl(
1 - f(x)
f(a+ t)
\biggr)
dx =
2
t
a+t\int
a
\left( 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
a+t\int
x
\nu (\sigma )
d\sigma
\sigma
\right) \right) dx =
=
2
t
t\int
0
\left( 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
a+t\int
a+x
\nu (\sigma )
d\sigma
\sigma
\right) \right) dx. (15)
Поскольку
\nu (\sigma )
\sigma
не возрастает, то максимальное значение внутреннего интеграла в правой
части (15) достигается при a = 0. Это означает, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
260 А. А. КОРЕНОВСКИЙ
\Omega (f ; I)
fI
\leq 2
t
t\int
0
\left( 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
t\int
x
\nu (\sigma )
d\sigma
\sigma
\right) \right) dx =
= 2
1\int
0
\left( 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
t\int
xt
\nu (\sigma )
d\sigma
\sigma
\right) \right) dx \leq
\leq 2
1\int
0
\left( 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - \nu (t)
t\int
xt
d\sigma
\sigma
\right) \right) dx =
= 2
1\int
0
\biggl(
1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- \nu (t) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
x
\biggr) \biggr)
dx = 2
1\int
0
\Bigl(
1 - x\nu (t)
\Bigr)
dx =
= 2
\biggl(
1 - 1
1 + \nu (t)
\biggr)
= 2
\nu (t)
1 + \nu (t)
\leq 2\nu (t).
Теорема 4 доказана.
4. Заключение. Из теоремы 3 можно вывести ряд известных результатов. Например,
легко видеть, что из условия сходимости интеграла
\int | Q0|
0
\nu (f ;\sigma )
d\sigma
\sigma
следует существенная
ограниченность функций f и
1
f
. Более того, можно показать, что в этом случае обе эти функции
существенно непрерывны, и получить оценки их равномерного модуля непрерывности. Можно
также получить вложения класса Гурова – Решетняка в классы Геринга и Макенхаупта, Орлича
и т. д.
Литература
1. Franciosi M. Higher inegrability results and Hölder continuity // J. Math. Anal. and Appl. – 1990. – 150, № 1. –
P. 161 – 165.
2. Franciosi M. The Gurov – Reshetnyak condition and VMO // J. Math. Anal. and Appl. – 1994. – 181, № 1. – P. 17 – 21.
3. Kolyada V. I. On the embedding of certain classes of functions of several variables // Sibirsk. Math. Zh. – 1973. –
14. – P. 776 – 790.
4. Korenovskyi A. One refinement of the Gurov – Reshetnyak inequality // Ric. Mat. – 1996. – 45, № 1. – P. 197 – 204.
5. Korenovskii A. A. Mean oscillations and equimeasurable rearrangements of functions // Lect. Notes Unione Mat. Ital. –
2007. – 4. – 189 p.
6. Korenovskyi A. The Gurov – Reshetnyak inequality on semi-axes // Ann. Mat. Pura ed Appl. – 2016. – 195, № 2. –
P. 659 – 680.
Получено 06.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1435 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:17Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d5/23cc07a6401891b37cc3375a7fcc12d5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14352019-12-05T08:54:43Z Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative oscillations Оценка скорости убывания (исчезновения) функции в терминах относи- тельных колебаний Korenovskii, A. A. Кореновский, А. А. Кореновский, А. А. The relative mean integral oscillations of a nondecreasing equimeasurable rearrangement are estimated from above via the same oscillations of the original function. On the basis of this estimate, we establish a lower order-exact estimate for the rate of decrease (vanishing) of the rearrangement. Вiдноснi середнi iнтегральнi коливання неспадної рiвновимiрної перестановки оцiнено зверху через такi ж коливання початкової функцiї. На основi цiєї оцiнки отримано точну за порядком оцiнку знизу швидкостi спадання (зникнення) перестановки. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1435 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 246-260 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 246-260 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1435/419 Copyright (c) 2019 Korenovskii A. A. |
| spellingShingle | Korenovskii, A. A. Кореновский, А. А. Кореновский, А. А. Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative oscillations |
| title | Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative
oscillations |
| title_alt | Оценка скорости убывания (исчезновения) функции в терминах относи-
тельных колебаний |
| title_full | Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative
oscillations |
| title_fullStr | Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative
oscillations |
| title_full_unstemmed | Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative
oscillations |
| title_short | Estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative
oscillations |
| title_sort | estimation of the rate of decrease (vanishing) of a function in terms of relative
oscillations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1435 |
| work_keys_str_mv | AT korenovskiiaa estimationoftherateofdecreasevanishingofafunctionintermsofrelativeoscillations AT korenovskijaa estimationoftherateofdecreasevanishingofafunctionintermsofrelativeoscillations AT korenovskijaa estimationoftherateofdecreasevanishingofafunctionintermsofrelativeoscillations AT korenovskiiaa ocenkaskorostiubyvaniâisčeznoveniâfunkciivterminahotnositelʹnyhkolebanij AT korenovskijaa ocenkaskorostiubyvaniâisčeznoveniâfunkciivterminahotnositelʹnyhkolebanij AT korenovskijaa ocenkaskorostiubyvaniâisčeznoveniâfunkciivterminahotnositelʹnyhkolebanij |