On the joint approximation of a function and its derivatives in the mean
We consider some properties of functions integrable on a segment. Some estimates for the approximations of function and its derivatives are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1436 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507188124975104 |
|---|---|
| author | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторна, О. В. Моторний, В. П. |
| author_facet | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторна, О. В. Моторний, В. П. |
| author_sort | Motornaya, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | We consider some properties of functions integrable on a segment. Some estimates for the approximations of function and
its derivatives are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. В. Моторна (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
В. П. Моторний (Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ПРО СУМIСНЕ НАБЛИЖЕННЯ У СЕРЕДНЬОМУ ФУНКЦIЇ ТА ЇЇ ПОХIДНИХ
We consider some properties of functions integrable on a segment. Some estimates for the approximations of function and
its derivatives are obtained.
Розглянуто деякi властивостi iнтегровних на сегментi функцiй. Отримано оцiнки для наближень функцiї та її
похiдних.
Позначимо через Lp
[a;b], p \geq 1, простiр функцiй f, що заданi i вимiрнi на сегментi [a; b] зi
скiнченною нормою
\| f\| Lp
[a;b]
=
\left\{
b\int
a
| f(x)| pdx
\right\}
1/p
.
Нехай \omega (f ; t)p — iнтегральний модуль неперервностi функцiї f \in Lp
[a;b].
Для довiльного модуля неперервностi \omega (t) позначимо через H\omega
p клас функцiй f \in Lp
[ - 1;1],
для яких при всiх t \in (0, 1) виконується нерiвнiсть \omega (f ; t)p \leq \omega (t). Через W rH\omega
p (1 \leq p <\infty ,
r — натуральне число) позначимо клас функцiй f, що мають на сегментi [ - 1; 1] абсолютно
неперервну похiдну f (r - 1) таку, що f (r) належить H\omega
p . У випадку, коли \omega (t) = t\alpha , 0 < \alpha \leq 1,
клас W rH\omega
p будемо позначати через Hr+\alpha
p .
Покладемо g(x, n) =
\surd
1 - x2 + 1/n, x \in [ - 1; 1], n — натуральне число.
У 1962 р. Р. М. Тригуб [1] довiв таку теорему.
Теорема A. Якщо функцiя f має на [ - 1; 1] r неперервних похiдних i \omega (t) = \omega (f (r); t) —
модуль неперервностi похiдної f (r), то для кожного n iснує такий алгебраїчний многочлен
Pn(x) степеня не вищого за n, що для всiх x \in [ - 1; 1] i всiх k = 0, 1, . . . , r справедливою є
оцiнка \bigm| \bigm| f (k)(x) - P (k)
n (x)
\bigm| \bigm| \leq Cr (g(x, n)/n)
r - k \omega (g(x, n)/n) ,
де Cr залежить вiд r.
Тут i далi через Cr будемо позначати додатнi величини, що залежать вiд r, взагалi кажучи,
рiзнi в рiзних мiсцях, а через C — рiзнi абсолютнi додатнi сталi.
С. О. Теляковський [2] доповнив теорему А, довiвши таку теорему.
Теорема B. Нехай функцiя f має на [ - 1; 1] r неперервних похiдних i \omega (t) = \omega (f (r); t) —
модуль неперервностi f (r) . Якщо для алгебраїчного многочлена Pn(x) степеня не вищого за n
виконується нерiвнiсть \bigm| \bigm| f(x) - Pn(x)
\bigm| \bigm| \leq C (g(x, n)/n)r \omega (g(x, n)/n) ,
де C — деяка стала, то для всiх k = 0, 1, . . . , r має мiсце оцiнка\bigm| \bigm| f (k)(x) - P (k)
n (x)
\bigm| \bigm| \leq Cr (g(x, n)/n)
r - k \omega (g(x, n)/n) ,
де Cr — деяка додатна величина.
c\bigcirc О. В. МОТОРНА, В. П. МОТОРНИЙ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2 261
262 О. В. МОТОРНА, В. П. МОТОРНИЙ
Задачу про сумiсне наближення функцiї й її похiдних алгебраїчними многочленами у про-
сторi Lp
[ - 1;1], p \geq 1, розв’язано в роботi [3] для класiв Лебедя – Потапова i в роботi [4] для класiв
Hr+\alpha
p . Класи Потапова введено в роботах [5, 6]. У данiй роботi задачу про сумiсне наближення
функцiї i її похiдних алгебраїчними многочленами у просторi Lp
[ - 1;1], p \geq 1, розглянуто для
класiв W rH\omega
p . Основний результат цiєї роботи базується на такому твердженнi.
Теорема C [7]. Нехай функцiя f(x) належить W rH\omega
p , 1 \leq p < \infty . Тодi для кожного
натурального числа n \geq r знайдеться алгебраїчний многочлен степеня не вищого за n, що
задовольняє нерiвностi \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) - Pn(x)
\omega (g(x, n)/n)gr(x, n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq Cr
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n
nr
,
де величина Cr залежить лише вiд r.
У випадку, коли \omega (t) = t\alpha , \alpha \in (0, 1), цей результат одержано у [8] (див. також [9]).
Зауваження 1. Вiдомо [10], що якщо функцiя \omega (t) є модулем неперервностi, то функцiя
\omega \star (t) = t \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0\leq x\leq t
\omega (x)
x
теж є модулем неперервностi,
\omega \star (t)
t
не зростає i виконуються нерiвностi
\omega \star (t) \leq \omega (t) \leq 2\omega \star (t). (1)
Завдяки нерiвностям (1) модулi неперервностi \omega (t) i \omega \star (t) мають один i той же порядок
прямування до нуля. Тому у задачах, у яких необхiдно знайти порядок прямування до нуля
деякої величини, що залежить вiд порядку прямування до нуля модуля неперервностi \omega (t),
можна вважати, що
\omega (t)
t
не зростає. Отже, в теоремi C i далi можна вважати, що
\omega (t)
t
не
зростає.
Одним iз основних результатiв цiєї статтi є теорема, що узагальнює теорему C.
Теорема 1. Нехай r — натуральне число, функцiя f(x) належить W rH\omega
p , 1 \leq p < \infty ,
де \omega (t) — довiльний модуль неперервностi. Тодi для кожного натурального числа n \geq r
знайдеться алгебраїчний многочлен Pr,n(f ;x) степеня не вищого за n такий, що для всiх
k = 0, 1, . . . , r виконуються нерiвностi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k)(x) - P
(k)
r,n (f ;x)
\omega (g(x, n)/n)gr - k(x, n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq Cr
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n
nr - k
,
де величина Cr залежить лише вiд r.
Теорему 1 сформульовано в роботi [11] i наведено схему її доведення. Щоб довести цю
теорему, розглянемо допомiжнi твердження.
Лема 1 (див. [12], теорема 4). Для будь-якого алгебраїчного многочлена Pn(x) степеня не
вищого за n виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P
(k)
n (x)
gr - k(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq Crn
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)
gr(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
, (2)
де r — довiльне число, \omega (t) — довiльний модуль неперервностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ПРО СУМIСНЕ НАБЛИЖЕННЯ У СЕРЕДНЬОМУ ФУНКЦIЇ ТА ЇЇ ПОХIДНИХ 263
Лема 2 (див. [12], теорема 3). Для будь-якого алгебраїчного многочлена Pn(x) степеня не
вищого за n i будь-яких p, p\prime , що задовольняють нерiвностi 1 \leq p \leq p\prime \leq \infty , виконується
нерiвнiсть \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)
\delta r+1/p\prime (x, n)\omega (\delta (x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp\prime
[a;b]
\leq
\leq Cr
\biggl(
2n
b - a
\biggr) 1/p - 1/p\prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)\delta
- 1/p(x, n)
\delta r(x, n)\omega (\delta (x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[a;b]
, (3)
де r — довiльне число, \delta (x, n) =
2
\sqrt{}
(b - x)(x - a)
b - a
+
1
n
, x \in (a; b), \omega (t) — довiльний модуль
неперервностi.
Покладемо в (3) an = - 1 + 1/n2, bn = 1 - 1/n2, p\prime = \infty i замiсть r вiзьмемо r - 1. Тодi
\delta (x, n) =
\sqrt{}
(1 - 1/n2)2 - x2
1 - 1/n2
+
1
n
, якщо | x| \leq 1 - 1/n2. Оскiльки виконуються нерiвностi
0, 4g(x, n) \leq \delta (x, n) \leq g(x, n),
якщо | x| \leq 1 - 1/n2, то з нерiвностi (3) випливає, що
| Pn(x)|
gr - 1(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\leq Crn
1/p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)g
1 - 1/p(x, n)
gr(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[an;bn]
. (4)
Завдяки нерiвностям g(x, n) \leq 2
\surd
1 - x2, якщо | x| \leq 1 - 1/n2, i 1/g(x, n) < n, якщо x \in
\in ( - 1; 1), маємо
| Pn(x)|
gr - 1(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\leq Crn
2/p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)
\surd
1 - x2
gr(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[an;bn]
. (5)
Позначимо через M(\omega , r) величину\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)
\surd
1 - x2
gr(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
.
Iз (4), (5), якщо x \in [ - 1 + 1/n2; 1 - 1/n2], одержуємо
| Pn(x)|
gr - 1(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\leq Crn
2/pM(\omega , r). (6)
Iз леми роботи [12] випливає виконання нерiвностi (6) для всiх x \in [ - 1; 1].
Лема 3. Для будь-якого алгебраїчного многочлена Pn(x) степеня не вищого за n викону-
ється нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)g
1 - r(x, n)
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq Cr
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)g
- r(x, n)
\surd
1 - x2
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
, (7)
де r — довiльне число, \omega (t) — довiльний модуль неперервностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
264 О. В. МОТОРНА, В. П. МОТОРНИЙ
Доведення. Оскiльки для x \in [an; bn], де an =
\bigl[
- 1 + 1/n2, bn = 1 - 1/n2
\bigr]
, виконується
нерiвнiсть
\surd
1 - x2 + 1/n \leq 2
\surd
1 - x2, то\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)g
1 - r(x, n)
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[an;bn]
\leq 2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Pn(x)
\surd
1 - x2
gr(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[an;bn]
\leq 2M(\omega , r). (8)
Щоб оцiнити iнтеграл, що вiдповiдає сегментам
\bigl[
- 1; - 1 + 1/n2
\bigr]
,
\bigl[
1; 1 - n2
\bigr]
, використаємо
нерiвнiсть (6):
1\int
1 - 1/n2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Pn(x)
gr - 1(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p dt \leq
\leq Crn
2Mp(\omega , r)
1\int
1 - 1/n2
dt = CrM
p(\omega , r). (9)
Аналогiчно можна оцiнити iнтеграл по сегменту [ - 1; - 1 + 1/n2]. З нерiвностей (8), (9) ви-
пливає (7).
Лема 4. Для будь-якого модуля неперервностi \omega (t), будь-якого додатного числа r i будь-
яких u, y \in [ - \pi ;\pi ] має мiсце нерiвнiсть
\phi (y, u) \equiv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| \leq
\leq Cr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| + 1/n
\bigr) 1 - r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
(1 + n| u| )(r+1)p
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)
\bigm| \bigm| . (10)
Доведення. Функцiю \phi (y, u) запишемо у виглядi
\phi (y, u) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| + 1/n
\bigr) 1 - r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
\times R1 \times R2,
де
R1 =
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| + 1/n
\bigr) (r - 1)p\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)
\bigm| \bigm| p| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| \bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) rp ,
R2 =
\omega p
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| /n+ 1/n2
\bigr)
\omega p
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) .
Оцiнимо R1. Нехай спочатку
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)
\bigm| \bigm| \leq | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| . Тодi R1 можна записати у виглядi
R1 =
\Biggl( \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)
\bigm| \bigm| + 1/n
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\Biggr) (r - 1)p\biggl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\biggr) p - 1 | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)
\bigm| \bigm| .
Оскiльки кожен дрiб не перевищує одиницi, то R1 \leq
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)
\bigm| \bigm| . Нехай тепер
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| > | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| . Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ПРО СУМIСНЕ НАБЛИЖЕННЯ У СЕРЕДНЬОМУ ФУНКЦIЇ ТА ЇЇ ПОХIДНИХ 265
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\leq | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| + 1/n
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\leq
\leq | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n+ | u|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
= 1 +
| u|
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\leq 1 + n| u| .
Отже,
R1 \leq (1 + n| u| )rp
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)
\bigm| \bigm| . (11)
Оцiнимо R2. З напiвадитивностi модуля неперервностi випливає, що
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| /n+ 1/n2
\bigr)
\leq \omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr)
+ \omega (| u| /n).
Якщо | u| \leq 1/n, то \omega (| u| /n) \leq \omega (1/n2) \leq \omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr)
. У протилежному випадку
\omega (| u| /n) = \omega
\bigl(
n| u| /n2
\bigr)
\leq (1 + n| u| )\omega (1/n2) \leq (1 + n| u| )\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr)
.
Таким чином,
R2 \leq (1 + n| u| )p. (12)
Iз оцiнок (11), (12) одержуємо (10).
Наступна лема узагальнює лему 1 з роботи [5].
Лема 5. Нехай похiдна f \prime (x) абсолютно неперервної функцiї належить Lp
[ - 1;1] i викону-
ється нерiвнiсть \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f \prime (x)\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) r - 1
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq \psi (n), (13)
де \psi (n) — довiльна додатна функцiя натурального аргументу. Тодi iснує алгебраїчний много-
член Pn(x) степеня не вищого за (n - 1)(k - 2) такий, що виконується нерiвнiсть
S \equiv
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) - Pn(x)\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq Ar
\psi (n)
n
, (14)
де r \geq 0, а величина Ar не залежить вiд f i n.
Доведення. Нехай K(t) =
1
\gamma n
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt/2
n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t/2
\biggr\} 2k+4
, де \gamma n вибрано так, що
\int \pi
- \pi
K(t) dt = 1.
Вiдомо, що K(t) — тригонометричний полiном степеня (r+ 2)(n - 1) i для нього виконується
нерiвнiсть
\pi \int
- \pi
| t| \alpha K(t)dt \leq C
n\alpha
, 0 < \alpha < 2r + 3. (15)
Покладемо Pn(x) =
\int \pi
- \pi
f
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr)
K(t) dt, де x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y. Зобразимо лiву частину нерiв-
ностi (14) iнтегралом i виконаємо в ньому пiдстановку x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
266 О. В. МОТОРНА, В. П. МОТОРНИЙ
S =
\left\{ 1
2
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\pi \int
- \pi
K(t)
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr) \bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| dy
\right\}
1/p
.
Застосуємо нерiвнiсть Мiнковського
S \leq
\pi \int
\pi
K(t)
\left\{ 1
2
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr) \bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| dy
\right\}
1/p
dt.
Внутрiшнiй iнтеграл позначимо через S1 i перетворимо його спочатку за допомогою формули
Ньютона – Лейбнiца:
t\int
0
f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + u)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u) du = f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y) - f
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr)
,
де t > 0, а потiм знову застосуємо нерiвнiсть Мiнковського:
S1 \equiv
\left\{ 1
2
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + u)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| dy
\right\}
1/p
\leq
\leq
t\int
0
\left\{ 1
2
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + u)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| 1/p\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dy
\right\}
1/p
du.
Функцiя, що знаходиться пiд знаком внутрiшнього iнтеграла, дорiвнює\bigm| \bigm| f \prime \bigl( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + u)
\bigr) \bigm| \bigm| p\phi (y, u).
Використовуючи оцiнку (10) функцiї \phi (y, u) й умови (13) i враховуючи, що iнтеграл вiд
перiодичної функцiї по перiоду є сталою величиною, одержуємо
t\int
0
\left\{
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + u)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| dy
\right\}
1/p
du \leq
\leq Cr
t\int
0
\left\{
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + u)
\bigr)
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| 1/p\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| + 1/n
\bigr) r - 1
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + u)| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dy
\right\}
1/p
(1 + nu)(r+1)du =
=
t\int
0
\left\{
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y)| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y)| 1/p\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r - 1
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dy
\right\}
1/p
(1 + nu)(r+1)du =
= Cr
t\int
0
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f \prime (x)
\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) 1 - r
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
(1 + nu)(r+1)du \leq
\leq Crt(1 + nt)(r+1)\psi (n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ПРО СУМIСНЕ НАБЛИЖЕННЯ У СЕРЕДНЬОМУ ФУНКЦIЇ ТА ЇЇ ПОХIДНИХ 267
Аналогiчнi мiркування мають мiсце i для t < 0. Використовуючи нерiвнiсть (15), одержуємо
оцiнку (14).
У наступнiй лемi розглянемо властивостi похiдної полiнома
Pn(f, x) =
\pi \int
- \pi
f
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr)
K(t) dt, (16)
де x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y.
Лема 6. Якщо функцiя f(x) належить W rH\omega
p , 1 \leq p <\infty , то
d
dx
Pn(f, x) =
1\surd
1 - x2
\pi \int
- \pi
f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)K(t) dt. (17)
Доведення. Якщо r \geq 2, то пiдiнтегральна функцiя в (16) неперервна за обома змiнними i
має неперервну похiдну по x. Тому можна диференцiювати пiд знаком iнтеграла i справджу-
ється рiвнiсть (17). Якщо r = 1, то функцiя f \prime (x) може бути розривною. В цьому випадку
Pn(f, x) запишемо у виглядi
Pn(f, x) =
\pi \int
- \pi
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)K(u - y) du
i ще раз застосуємо теорему про диференцiювання пiд знаком iнтеграла:
d
dx
Pn(f, x) =
1\surd
1 - x2
\pi \int
- \pi
f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)K \prime (u - y) du =
=
1\surd
1 - x2
\left( f(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u)K(u - y)| \pi - \pi +
\pi \int
- \pi
f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}uK(u - y) du
\right) =
=
1\surd
1 - x2
\pi \int
- \pi
f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)K(t) dt.
Лема 7. Нехай похiдна f \prime (x) абсолютно неперервної функцiї належить Lp
[ - 1;1], 1 \leq p <
<\infty , i виконується нерiвнiсть (13). Тодi для алгебраїчного многочлена
Pn(f, x) =
\pi \int
- \pi
f
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr)
K(t) dt,
де x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y, має мiсце нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P
(k)
n (f, x)\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) r - k
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq Cr
\psi (n)
nr - k
. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
268 О. В. МОТОРНА, В. П. МОТОРНИЙ
Доведення. Розглянемо спочатку випадок k = 1. За лемою 3 маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P \prime
n(f, x)
\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) 1 - r
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P \prime
n(f, x)
\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) - r\surd
1 - x2
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (19)
Норму, що знаходиться у правiй частинi нерiвностi (19), зобразимо iнтегралом i позначимо
через T, а для похiдної P \prime
n(f, x) використаємо формулу (17):
T =
\left\{
1\int
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int \pi
- \pi
f \prime
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)K(t)dt
\sqrt{}
1 - x2
\surd
1 - x2
\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dx
\right\}
1/p
,
де x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y. Виконаємо у зовнiшньому iнтегралi пiдстановку x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y i застосуємо нерiвнiсть
Мiнковського:
\pi \int
- \pi
\left\{
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| dy
\right\}
1/p
K(t) dt.
Функцiя, що знаходиться пiд знаком внутрiшнього iнтеграла, дорiвнює
\bigm| \bigm| f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y+ t))
\bigm| \bigm| p\phi (y, t).
Використаємо оцiнку (10) функцiї \phi (y, t) :\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t))
(| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)| + 1/n)r - 1\omega (| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)| /n+ 1/n2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p\times
\times (1 + n| t| )(r+1)p| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)| . (20)
Використовуючи оцiнку (20) i умову (13), одержуємо\left\{
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t)) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| + 1/n
\bigr) r - 1
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y| dy
\right\}
1/p
\leq
\leq
\left\{
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(y + t))| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)| 1/p\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)| + 1/n
\bigr) r - 1
\omega
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y + t)| /n+ 1/n2
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dy
\right\}
1/p
Cr(1 + n| t| )(r+1). (21)
Iз (21) i нерiвностi (15) випливає твердження леми 7 при k = 1. Для довiльного k у вiдповiд-
ностi з нерiвнiстю [2] одержимо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P
(k)
n (x)
gr - k(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq Crn
k - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P \prime
n(x)
gr - 1(x, n)\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
ПРО СУМIСНЕ НАБЛИЖЕННЯ У СЕРЕДНЬОМУ ФУНКЦIЇ ТА ЇЇ ПОХIДНИХ 269
\leq Crn
k - 1\psi (n)
nr - 1
\leq Cr
\psi (n)
nr - k
.
Теорему 1 будемо доводити методом математичної iндукцiї. Нехай r = 1, функцiя f(x)
належить W 1H\omega
p , 1 \leq p < \infty , алгебраїчний многочлен Qn(f ;x) степеня не вищого за n,
iснування якого встановлює теорема C, такий, що задовольняє нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f \prime (x) - Q\prime
n(f ;x)
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq C\psi (n),
де \psi (n) = C \mathrm{l}\mathrm{n}1/p n.
Отже, для функцiї f(x) - Qn(f ;x) виконується умова (13). Тодi за лемою 5 iснує алгебра-
їчний многочлен Pn(f - Qn;x) степеня не вищого за (n - 1)(k - 2) такий, що виконується
нерiвнiсть \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x) - Qn(f ;x) - Pn(f - Qn;x)\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr)
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq A1
\psi (n)
n
, (22)
де величина A1 не залежить вiд f i n.
Покажемо, що для многочлена P1,n(x) = Qn(f ;x) + Pn(f - Qn;x) справджується твер-
дження теореми 1. Вiдхилення многочлена P1,n(x) вiд функцiї f випливає з нерiвностi (22), а
вiдхилення многочлена P \prime
1,n(x) вiд похiдної f \prime (x) — з леми 7 за умови, що r = k = 1:\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f \prime (x) - P \prime
r,n(f ;x)
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f \prime (x) - Q\prime
n(f ;x)
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P \prime
n(f - Qn;x)
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq C1 \mathrm{l}\mathrm{n}
1/p n.
Нехай теорема 1 є справедливою для натурального числа r \geq 1 i функцiя f(x) нале-
жить W 1+rH\omega
p . Тодi f \prime (x) належить W rH\omega
p i за припущенням iснує алгебраїчний многочлен
Pr,n(f
\prime , x) степеня не вищого за n такий, що для всiх k = 0, 1, . . . , r виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k+1)(x) - P
(k)
r,n (f \prime ;x)
\omega (g(x, n)/n)gr - k(x, n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq Cr
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n
nr - k
. (23)
Iз нерiвностi (23) при k = 0 випливає виконання умови (13) для функцiї f(x) -
\int x
0
Pr,n(f
\prime ; t) dt :\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f \prime (x) - Pr,n(f
\prime ;x)
\omega (g(x, n)/n)gr(x, n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq Cr
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n
nr
.
Тодi за лемою 5 iснує алгебраїчний многочлен Pn(x) степеня не вищого за (n - 1)(k - 2) такий,
що виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
f(x) -
\int x
0
Pr,n(f
\prime ; t) dt - Pn(x)\bigl( \surd
1 - x2 + 1/n
\bigr) r+1
\omega
\bigl( \surd
1 - x2/n+ 1/n2
\bigr)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp
[ - 1;1]
\leq A1
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n
nr+1
, (24)
де величина Ar не залежить вiд f i n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
270 О. В. МОТОРНА, В. П. МОТОРНИЙ
Покажемо, що для многочлена
Pr+1,n(f, x) =
x\int
0
Pr,n(f
\prime ; t) dt+ Pn(x)
справджується твердження теореми 1. Вiдхилення многочлена Pr+1,n(f ;x) вiд функцiї f(x)
випливає з нерiвностi (24), а вiдхилення многочлена P
(k)
r+1,n(f ;x) вiд похiдної f (k)(x) — з
леми 7 i нерiвностей\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k)(x) - P
(k)
r+1,n(f ;x)
\omega (g(x, n)/n) gr+1 - k(x, n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k)(x) - P
(k - 1)
r,n (f \prime ;x) - P
(k)
n (x)
\omega (g(x, n)/n) gr+1 - k(x, n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f (k)(x) - P
(k - 1)
r,n (f \prime ;x)
\omega (g(x, n)/n)gr+1 - k(x, n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P (k)
n (x)gk - r - 1(x, n)
\omega (g(x, n)/n)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq Cr
\mathrm{l}\mathrm{n}1/p n
nr+1 - k
.
Лiтература
1. Тригуб Р. М. Приближение функций многочленами с целыми коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. –
1962. – 26. – C. 261 – 280.
2. Теляковский С. А. Две теоремы о приближении функций алгебраическими многочленами // Мат. сб. – 0000. –
70, № 2. – С. 252 – 265.
3. Ковальчук Р. Н., Филозоф Л. И. Совместное приближение функции и ее производных в метрике Lp // Иссле-
дования по теории приближенных функций и их приложения. – Киев, 1978. – C. 89 – 104.
4. Ходак Л. Б. О совместном приближении функций и их производных алгебраическими многочленами в метрике
Lp, 1 \leq p < \infty // Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их
приложения. – Днепропетровск, 1979. – C. 27 – 31.
5. Потапов М. К. О теоремах типа Джексона в метрике Lp // Докл. АН СССР. – 1956. – 111, № 6. – C. 1185 – 1188.
6. Потапов М. К. Некоторые неравенства для полиномов и их производных // Вестн. Моск. ун-та. – 1960. –
№ 2. – C. 10 – 19.
7. Моторний В. П., Клименко М. С. Наближення функцiй алгебраїчними многочленами в середньому // Вiсн.
Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 2012. – Вип. 17. – С. 106 – 117.
8. Моторный В. П. Некоторые вопросы приближения функций алгебраическими полиномами в интегральной
метрике // Докл. АН СССР. Сер. мат. – 1967. – 172, № 3. – C. 537 – 540.
9. Моторный В. П. Приближение функций алгебраическими полиномами в метрике Lp // Изв. АН СССР. Cер.
мат. – 1971. – 35, № 4. – C. 874 – 899.
10. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
11. Моторний В. П. Про наближення у середньому функцiї та її похiдних // Вiсн. Днiпр. ун-ту. Математика. –
2018. – Вип. 23. – С. 56 – 61.
12. Лебедь Г. К. Неравенства для многочленов и их производных // Докл. АН СССР. – 1957. – 117, № 4. –
C. 570 – 572.
Одержано 10.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1436 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:20Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/36/a94b1dbf04b381f26779131f017a7136.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14362019-12-05T08:54:43Z On the joint approximation of a function and its derivatives in the mean Про сумісне наближення у середньому функції та її похідних Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторна, О. В. Моторний, В. П. We consider some properties of functions integrable on a segment. Some estimates for the approximations of function and its derivatives are obtained. Розглянуто деякi властивостi iнтегровних на сегментi функцiй. Отримано оцiнки для наближень функцiї та її похiдних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1436 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 261-270 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 261-270 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1436/420 Copyright (c) 2019 Motornaya O. V.; Motornyi V. P. |
| spellingShingle | Motornaya, O. V. Motornyi, V. P. Моторна, О. В. Моторний, В. П. On the joint approximation of a function and its derivatives in the mean |
| title | On the joint approximation of a function and its derivatives
in the mean |
| title_alt | Про сумісне наближення у середньому функції та її
похідних |
| title_full | On the joint approximation of a function and its derivatives
in the mean |
| title_fullStr | On the joint approximation of a function and its derivatives
in the mean |
| title_full_unstemmed | On the joint approximation of a function and its derivatives
in the mean |
| title_short | On the joint approximation of a function and its derivatives
in the mean |
| title_sort | on the joint approximation of a function and its derivatives
in the mean |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1436 |
| work_keys_str_mv | AT motornayaov onthejointapproximationofafunctionanditsderivativesinthemean AT motornyivp onthejointapproximationofafunctionanditsderivativesinthemean AT motornaov onthejointapproximationofafunctionanditsderivativesinthemean AT motornijvp onthejointapproximationofafunctionanditsderivativesinthemean AT motornayaov prosumísnenabližennâuserednʹomufunkcíítaíípohídnih AT motornyivp prosumísnenabližennâuserednʹomufunkcíítaíípohídnih AT motornaov prosumísnenabližennâuserednʹomufunkcíítaíípohídnih AT motornijvp prosumísnenabližennâuserednʹomufunkcíítaíípohídnih |