Approximating characteristics of the classes of periodic multivariate functions in the space $B_{∞,1}$
We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers for the classes $W^{r}_{p,\alpha}$ and $B^r _{p,\theta}$ in the norm of the $B_{\infty ,1} -space.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1437 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507189391654912 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers for the classes $W^{r}_{p,\alpha}$ and $B^r _{p,\theta}$ in the
norm of the $B_{\infty ,1} -space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк, В. С. Романюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
АПРОКСИМАЦIЙНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
У ПРОСТОРI \bfitB \infty ,\bfone
We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers for the classes \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha and \BbbB \bfitr
p,\theta in the
norm of the B\infty ,1 -space.
Встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел класiв \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha i \BbbB \bfitr
p,\theta за
нормою простору B\infty ,1.
1. Вступ. У цiй статтi викладено результати розв’язання задач про точнi за порядком оцiнки
колмогоровських поперечникiв i ентропiйних чисел класiв \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha i \BbbB \bfitr
p,\theta , а також найкращих
наближень класiв \BbbB \bfitr
\infty ,\theta перiодичних функцiй кiлькох змiнних у просторi B\infty ,1, норма в якому
є бiльш „сильною”, нiж L\infty -норма. Мотивацiєю до дослiдження таких апроксимацiйних харак-
теристик саме у просторi B\infty ,1 стала та обставина, що питання про їхнi порядковi значення у
просторi L\infty при d \geq 3 на даний час залишається вiдкритим (див. [1], питання 4.2, 6.3). Прина-
гiдно зазначимо, що схожу за змiстом задачу (але тiльки для класiв функцiй з однiєю змiнною)
розв’язано в [2]: встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ен-
тропiйних чисел одиничних куль з так званих двiйкових просторiв Бєсова dyadB0,\gamma
p,\theta , компактно
вкладених в експоненцiальнi простори Орлiча \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu , що надiленi нормою Люксембурга. Така
норма тiсно пов’язана з Lp-нормами при 1 \leq p < \infty .
2. Позначення, означення та допомiжнi твердження. Введемо базовi позначення й озна-
чимо функцiональнi простори та класи в них, а також вiдповiднi до проведених дослiджень
апроксимацiйнi характеристики.
Позначимо через \BbbN , \BbbR , \BbbR +, \BbbZ , \BbbZ + вiдповiдно множини натуральних, дiйсних, невiд’єм-
них дiйсних, цiлих, цiлих невiд’ємних чисел, а через Ad =
\prod d
i=1
A, d \in \BbbN , декартiв добуток
d множин A, де A — одна iз множин \BbbN , \BbbR , \BbbR +, \BbbZ , \BbbZ +.
Означимо простори та класи функцiй. Нехай \BbbR d — d-вимiрний евклiдiв простiр з елемен-
тами \bfitx = (x1, . . . , xd); \pi d :=
\prod d
j=1
[0, 2\pi ) = \{ \bfitx \in \BbbR d : xj \in [0, 2\pi ), j = 1, d\} . Через Lp(\pi d),
1 \leq p \leq \infty , позначимо простiр вимiрних 2\pi -перiодичних за кожною змiнною функцiй f зi
скiнченними нормами
\| f\| p =
\left( (2\pi ) - d
\int
\pi d
| f(\bfitx )| pd\bfitx
\right) 1
p
, 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \BbbR d
| f(\bfitx )| , p = \infty .
Для f, g \in L1(\pi d) означимо оператор згортки \ast формулою
(f \ast g)(\bfitx ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfity )g(\bfitx - \bfity )d\bfity .
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2 271
272 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Визначимо повний мiшаний p-модуль гладкостi порядку l функцiї f \in Lp(\pi d) таким
чином:
\omega l(f, \bfitt )p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| hi| \leq ti
\| \Delta l
\bfith f\| p, \bfitt = (t1, . . . , td) \in \BbbR d
+.
Тут для \bfith = (h1, . . . , hd) \in \BbbR d i l \in \BbbN
\Delta l
\bfith f(\bfitx ) := \Delta l
hd
. . .\Delta l
h1
f(x1, . . . , xd),
де
\Delta l
hj
f(\bfitx ) = \Delta hj
\Delta l - 1
hj
f(\bfitx ), \Delta 0
hj
f(\bfitx ) := f(\bfitx ),
\Delta hj
f(\bfitx ) \equiv \Delta 1
hj
f(\bfitx ) = f(x1, . . . , xj + hj , . . . , xd) - f(\bfitx ).
Вiдомо, що
\Delta l
hj
f(\bfitx ) =
l\sum
k=0
( - 1)k+lCk
l f(x1, . . . , xj + khj , . . . , xd).
Кажуть, що функцiя f \in Lp(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , належить простору B\bfitr
p,\theta , 1 \leq \theta \leq \infty ,
\bfitr = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, якщо її напiвнорма
| f | B\bfitr
p,\theta
:=
\left\{
\left( \int
\pi d
\left( d\prod
j=1
t
- rj
j \omega l(f, \bfitt )p
\right) \theta
d\prod
j=1
dtj
tj
\right)
1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
tj>0
d\prod
j=1
t
- rj
j \omega l(f, \bfitt )p , \theta = \infty ,
де l > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ ri, i = 1, d\} , є скiнченною.
Норму на лiнiйних просторах B\bfitr
p,\theta задамо формулою \| f\| B\bfitr
p,\theta
= \| f\| p + | f | B\bfitr
p,\theta
.
Простори B\bfitr
p,\theta введено в [3]. З одного боку, вони є узагальненнями вiдомих iзотропних
просторiв Бєсова [4] (у випадку \theta = \infty — просторiв Нiкольського [5]), а з iншого — належать
шкалi просторiв SB мiшаної гладкостi, введених Т. I. Амановим у [6].
Зазначимо, що для просторiв B\bfitr
p,\theta справедливими є такi вкладення по параметру \theta :
B\bfitr
p,1 \subset B\bfitr
p,\theta 1 \subset B\bfitr
p,\theta 2 \subset B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p , (1)
де 1 \leq \theta 1 < \theta 2 \leq \infty .
У [3] простори B\bfitr
p,\theta охарактеризовано в термiнах так званого декомпозицiйного норму-
вання належних їм функцiй на базi розкладу їх у ряд Фур’є за тригонометричною системою
\{ ei(\bfitk ,\bfitx )\} \bfitk \in \BbbZ d . Саме таке нормування часто використовується у доведеннi належностi тiєї чи
iншої функцiї простору B\bfitr
p,\theta або деякому класу з цього простору.
Сформулюємо результат iз [3] у вiдповiдностi з прийнятими нижче означеннями i позначен-
нями. Для вектора \bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbZ +, j = 1, d, покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
АПРОКСИМАЦIЙНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 273
\rho (\bfits ) := \{ \bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : [2sj - 1] \leq | kj | < 2sj , j = 1, d\}
i для f \in Lp(\pi d) означимо
\delta \bfits (f,\bfitx ) :=
\sum
\bfitk \in \rho (\bfits )
\widehat f(\bfitk )ei(\bfitk ,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d,
де \widehat f(\bfitk ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfitt )e - i(\bfitk ,\bfitt )d\bfitt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Позначимо
L0
p(\pi d) :=
\left\{ f \in Lp(\pi d) :
2\pi \int
0
f(\bfitx )dxj = 0, j = 1, d
\right\} .
Нехай p \in (1,\infty ). У [3] доведено, що для напiвнорми | f | B\bfitr
p,\theta
функцiї f \in B\bfitr
p,\theta \cap L0
p(\pi d)
справджуються спiввiдношення
| f | B\bfitr
p,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \BbbZ d
+
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| \delta \bfits (f, \cdot )\| \theta p
\right)
1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty , (2)
| f | B\bfitr
p,\infty \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \BbbZ d
+
2(\bfits ,\bfitr )\| \delta \bfits (f, \cdot )\| p , (3)
а також показано, що на множинi B\bfitr
p,\theta \cap L0
p(\pi d) напiвнорма | \cdot | B\bfitr
p,\theta
насправдi є нормою.
Тут i в подальшому \asymp позначає вiдношення слабкої еквiвалентностi, тобто для виразiв a
та b, що визначенi деякою сукупнiстю параметрiв, запис a \asymp b означає, що iснують такi додатнi
величини c1 та c2, якi не залежать вiд одного iстотного параметра, що c1b \leq a \leq c2b. Також
використовуємо символи \ll чи \gg для порядкових нерiвностей, тобто a \ll b (a \gg b), якщо
iснує така додатна стала C, що a \leq Cb (b \leq Ca).
Так званi порядковi (або точнi за порядком) спiввiдношення (2) i (3) при певнiй їхнiй
модифiкацiї мають мiсце i у випадках p = 1 i p = \infty . Отже, нехай Vl(u), l \in \BbbN , u \in \BbbR
позначає ядро Валле Пуссена вигляду
Vl(u) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku+ 2
2l\sum
k=l+1
2l - k
l
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku.
Багатовимiрне ядро Vl(\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d, d \geq 2, означимо формулою Vl(\bfitx ) =
\prod d
j=1
Vl(xj). На
множинi Lp(\pi d) визначимо оператор згортки \bfitV l : Lp(\pi d) - \rightarrow L1(\pi d), що дiє згiдно з формулою
\bfitV lf(\bfitx ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
f(\bfity )Vl(\bfity - \bfitx )d\bfity .
Значеннями оператора \bfitV l є так званi кратнi середнi Валле Пуссена функцiї f \in Lp(\pi d)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
274 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Vl(f ;\bfitx ) := \bfitV lf(\bfitx ),
якi у вiдомий спосiб можна подати i у виглядi тригонометричних полiномiв, що породжуються
розкладами функцiй f у ряд Фур’є за кратною тригонометричною системою.
Якщо f \in Lp(\pi d), а
As(\bfitx ) := 2d
d\prod
j=1
(V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)),
\bfits = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbZ +, j = 1, d, \bfitx = (x1, . . . , xd) \in \BbbR d (при sj = 0 вважаємо, що
V
2sj - 1(xj) = 0), то покладемо
\BbbA \bfits f(\bfitx ) = (f \ast A\bfits )(\bfitx ).
Для кожного \bfits за допомогою оператора \BbbA \bfits визначаються деякi кратнi середнi A\bfits (f,\bfitx ) :=
:= \BbbA \bfits f(\bfitx ) функцiї f \in Lp(\pi d), якi на пiдставi вiдомих властивостей оператора згортки
можна подати у виглядi тригонометричного полiнома з певними коефiцiєнтами, залежними
вiд f . Зазначимо, що розмiрнiсть таких полiномiв для всiх f \in Lp(\pi d) дорiвнює 2| \bfits | 1 . Тут
| \bfits | 1 := | s1| + . . .+ | sd| для \bfits \in \BbbZ d.
Таким чином, для f \in B\bfitr
p,\theta \cap L0
p(\pi d) справджуються спiввiдношення (див. зауваження 2.1 в
[3], а також [6])
| f | B\bfitr
p,\theta
\asymp
\left( \sum
\bfits \in \BbbZ d
+
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits (f, \cdot )\| \theta p
\right)
1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty , (4)
| f | B\bfitr
p,\infty \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfits \in \BbbZ d
+
2(\bfits ,\bfitr )\| A\bfits (f, \cdot )\| p . (5)
Зауважимо, що спiввiдношення (4), (5) справджуються i при 1 < p < \infty .
Оскiльки у результатах фiгурують також вiдомi функцiональнi простори W \bfitr
p,\bfitalpha i класи
\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , то нагадаємо також i їхнi означення. Нехай F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ), \bfitr = (r1, . . . , rd), — багатовимiрнi
аналоги ядер Бернуллi, тобто
F\bfitr (\bfitx ,\bfitalpha ) = 2d
\sum
\bfitk \in \BbbN d
d\prod
j=1
k
- rj
j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
kjxj -
\alpha j\pi
2
\Bigr)
, rj > 0, \alpha j \in \BbbR .
Позначимо через W \bfitr
p,\bfitalpha лiнiйний простiр функцiй f, якi можна записати у виглядi
f(\bfitx ) = \varphi (\cdot ) \ast F\bfitr (\cdot ,\bfitalpha ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
\varphi (\bfity )F\bfitr (\bfitx - \bfity ,\bfitalpha )d\bfity , (6)
де \varphi \in Lp(\pi d). Для f \in W \bfitr
p,\bfitalpha покладемо \| f\| W\bfitr
p,\bfitalpha
:= \| \varphi \| p. Якщо в (6) функцiя \varphi \in Lp(\pi d)
така, що \| \varphi \| p \leq 1, то вiдповiдний клас у просторi W \bfitr
p,\bfitalpha позначимо через \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha .
Детальну iнформацiю щодо самих просторiв B\bfitr
p,\theta , 1 \leq \theta < \infty , H\bfitr
p i W \bfitr
p,\bfitalpha , а також щодо
iсторiї їхнiх дослiджень з точки зору апроксимацiї можна почерпнути з монографiй [7 – 10] i
робiт [1, 3]. Нагадаємо лише, що для введених вище просторiв справджуються такi вкладення:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
АПРОКСИМАЦIЙНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 275
B\bfitr
p,p \subset W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,2, 1 < p \leq 2,
B\bfitr
p,2 \subset W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,p, 2 \leq p < \infty , (7)
W \bfitr
p,\bfitalpha \subset B\bfitr
p,\infty \equiv H\bfitr
p , 1 \leq p \leq \infty .
Зокрема, при p = \theta = 2
W \bfitr
2,\bfitalpha \subset B\bfitr
2,2 \subset W \bfitr
2,\bfitalpha .
Далi вважаємо, що координати вектора \bfitr = (r1, . . . , rd), як параметра в означених про-
сторах i класах, впорядковано так, що 0 < r1 = r2 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . . \leq rd, а також
\bfitgamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d) — вектор з координатами \gamma j =
rj
r1
, j = 1, d, i \bfitgamma \prime = (\gamma \prime 1, . . . , \gamma
\prime
d), де \gamma \prime j = \gamma j ,
при j = 1, \nu i 1 < \gamma \prime j < \gamma j при j = \nu + 1, d. Також зазначимо, що через \BbbB \bfitr
p,\theta позначається
одинична куля у просторi B\bfitr
p,\theta , а точнiше,
\BbbB \bfitr
p,\theta := \{ f \in L0
p(\pi d) : \| f\| B\bfitr
p,\theta
\leq 1\} .
Замiсть Lp(\pi d) i L0
p(\pi d) у подальшому використовуються спрощенi позначення Lp i L0
p вiдпо-
вiдно.
Тепер наведемо означення норми \| \cdot \| Bp,1 у пiдпросторах Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , функцiй f \in Lp.
Така норма схожа на декомпозицiйну норму функцiй iз просторiв Бєсова B\bfitr
p,\theta . Для тригономет-
ричних полiномiв t за кратною тригонометричною системою \{ ei(\bfitk ,\bfitx )\} \bfitk \in \BbbZ d норма \| t\| Bp,1 ,
p \in \{ 1,\infty \} , визначається формулою
\| t\| Bp,1 :=
\sum
\bfits
\| A\bfits (t, \cdot )\| p.
Аналогiчно означується норма \| f\| Bp,1 , p \in \{ 1,\infty \} , для будь-якої функцiї f \in Lp такої, що
ряд
\sum
\bfits
\| A\bfits (f, \cdot )\| p збiгається.
Отже, простори Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , фактично можна „вписати” в шкалу просторiв B\bfitr
p,\theta ,
якщо з огляду на спiввiдношення (4), (5) вважати, що \bfitr = (0, 0, . . . , 0) \in \BbbR d
+. Зазначимо, що
для f \in Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , очевидно, \| f\| p \ll \| f\| Bp,1 i \| f\| B1,1 \ll \| f\| B\infty ,1 .
Перейдемо до означень апроксимацiйних характеристик, зазначивши, що деякi з них, а
також деякi iншi, на класах \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha i \BbbB \bfitr
p,\theta у просторах B1,1 дослiджувались у роботах [11, 12].
Нехай X — банахiв простiр iз нормою \| \cdot \| X , A \subset X i для y \in X та r > 0 позначимо
BX (y, r) := \{ x \in X : \| x - y\| X \leq r\} , тобто BX (y, r)— куля в X з центром у точцi y
радiуса r.
Для k \in \BbbN величина (див., наприклад, [13])
\varepsilon k(A ,X ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \varepsilon : \exists y1, . . . , y2k \in X | A \subseteq
2k\bigcup
j=1
BX (yj , \varepsilon )
\right\}
називається ентропiйним числом множини A у просторi X .
Нехай Y — нормований простiр з нормою \| \cdot \| Y , \scrL M (Y ) — сукупнiсть пiдпросторiв у
просторi Y вимiрностi, що не перевищує M, i W — центрально-симетрична множина в Y .
Величина
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
276 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
dM (W,Y ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM\in \scrL M (Y )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in W
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in LM
\| w - u\| Y
називається колмогоровським M -поперечником множини W у просторi Y .
Поперечник dM (W,Y ) увiв у 1936 р. А. М. Колмогоров [14].
Нехай Y i Z — нормованi простори i L(Y ,Z ) — сукупнiсть лiнiйних неперервних вi-
дображень Y в Z . Величина
\lambda M (W,Y ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM\in \scrL M (Y )
\Lambda \in L(Y ,LM )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
w\in W
\| w - \Lambda w\| Y ,
де нижня грань береться по всiх пiдпросторах LM в \scrL M (Y ) вимiрностi не бiльшої нiж M i всiх
лiнiйних неперервних операторах, що дiють з Y в LM , називається лiнiйним M -поперечником
множини W у просторi Y .
Поперечник \lambda M (W,Y ) увiв у 1960 р. В. М.Тихомиров [15].
Наступну апроксимацiйну характеристику увiв Р. С. Iсмагiлов [16]. Отже, нехай Y = Lq,
1 \leq q \leq \infty , або Y = Bp,1, p \in \{ 1,\infty \} , i F \subset Y — деякий функцiональний клас. Тригоно-
метричний M -поперечник класу F у просторi Y (позначається d\top M (F ;Y )) визначається
формулою
d\top M (F ;Y ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Omega M
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t(\Omega M ;\cdot )
\| f(\cdot ) - t(\Omega M ; \cdot )\| Y ,
де
t(\Omega M ;\bfitx ) =
M\sum
j=1
cje
i(\bfitk j ,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d,
\Omega M = \{ \bfitk 1, . . . ,\bfitk M\} — набiр векторiв \bfitk j = (kj1, . . . , k
j
d), j = 1,M, цiлочислової гратки \BbbZ d,
cj — довiльнi комплекснi числа.
При доведеннi результатiв будемо використовувати такi вiдомi твердження.
Теорема А [17, 18]. Нехай r1 >
1
2
. Тодi при d \geq 1 мають мiсце оцiнки
\varepsilon M (\BbbW \bfitr
2,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp dM (\BbbW \bfitr
2,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (8)
Теорема Б [12]. Нехай 1 < p < \infty , r1 > 0. Тодi справджуються спiввiдношення
\varepsilon M (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1) \asymp dM (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (9)
Теорема В. Нехай d = 2. Тодi при r = (r1, r1), r1 >
1
2
справедливими є оцiнки
\varepsilon M (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , L\infty ) \asymp dM (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+
1
2 . (10)
Зауважимо, що оцiнку зверху для колмогоровського поперечника в (10) одержав Е. С. Бє-
лiнський [17], а знизу для ентропiйних чисел — В. М. Темляков [19].
Теорема Г [12]. Нехай 1 \leq p \leq \infty , r1 > 0, 1 \leq \theta \leq \infty . Тодi при d \geq 1 справджуються
спiввiдношення
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,\theta , B1,1) \asymp dM (\BbbB \bfitr
p,\theta , B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
АПРОКСИМАЦIЙНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 277
Лема А [20, 21]. Нехай K — компакт у сепарабельному банаховому просторi X . При-
пустимо, що для пари чисел (a, b), де a > 0, b \in \BbbR , або a = 0, b < 0, мають мiсце
оцiнки
dm(K ,X ) \ll m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b,
\varepsilon m(K ,X ) \gg m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
Тодi справедливими є спiввiдношення
\varepsilon m(K ,X ) \asymp dm(K ,X ) \asymp m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
Лема Б [8, с. 11]. Має мiсце оцiнка\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq l
2 - \alpha (\bfits ,\bfitgamma ) \asymp 2 - \alpha ll\nu - 1, \alpha > 0. (12)
3. Колмогоровськi поперечники i ентропiйнi числа класiв \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha у просторi B\infty ,1 . Пер-
ше з одержаних у цьому пунктi тверджень є поширенням теореми A на випадок 2 < p < \infty .
Теорема 1. Нехай d \geq 1, r1 >
1
2
. Тодi при 2 < p < \infty справджуються спiввiдношення
\varepsilon M (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp dM (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (13)
Доведення. Оскiльки W \bfitr
p,\bfitalpha \subset W \bfitr
2,\bfitalpha , 2 < p < \infty , то згiдно з (8) маємо
dM (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B\infty ,1) \ll dM (\BbbW \bfitr
2,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (14)
Для встановлення в (13) оцiнки знизу для ентропiйних чисел \varepsilon M (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B\infty ,1) скористає-
мося теоремою Б. З (9), беручи до уваги нерiвнiсть \| \cdot \| B1,1 \leq \| \cdot \| B\infty ,1 , отримуємо
\varepsilon M (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B\infty ,1) \geq \varepsilon M (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (15)
Тепер, маючи (14), (15), на пiдставi леми А приходимо до спiввiдношень (13).
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Порядковi значення величин dM (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , L\infty ) i \varepsilon M (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , L\infty ), 2 \leq p < \infty ,
r1 >
1
p
, при d > 2 є невiдомими (див. [1], питання 4.2, 6.3).
Зазначимо, що у двовимiрному випадку (тобто при d = 2) як наслiдок вiдомих результатiв
можна сформулювати таке твердження.
Теорема 2. Нехай d = 2. Тодi при \bfitr = (r1, r1), r1 >
1
2
, справджуються спiввiдношення
\varepsilon M (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp dM (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+
1
2 . (16)
Доведення. Оцiнка зверху для колмогоровського поперечника dM (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , B\infty ,1) з ураху-
ванням вкладення W \bfitr
\infty ,\bfitalpha \subset W \bfitr
p,\bfitalpha , 1 \leq p < \infty , випливає з (13):
dM (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , B\infty ,1) \ll dM (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+
1
2 . (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
278 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Оцiнка знизу є наслiдком теореми В, тому що
dM (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , B\infty ,1) \geq dM (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+
1
2 . (18)
Отже, поєднуючи (17), (18) з оцiнкою знизу величини \varepsilon M (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , B\infty ,1) (з теореми В випливає,
що \varepsilon M (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , B\infty ,1) \geq \varepsilon M (\BbbW \bfitr
\infty ,\bfitalpha , L\infty ) \gg M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+
1
2 ), на пiдставi леми А приходимо
до висновку щодо справедливостi (16).
Теорему 2 доведено.
4. Апроксимацiйнi характеристики класiв \BbbB \bfitr
p,\theta у просторi B\infty ,1 . Справедливим є таке
твердження.
Теорема 3. Нехай d \geq 1, 2 \leq p < \infty , r1 >
1
2
. Тодi мають мiсце спiввiдношення
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1) \asymp dM (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (19)
Доведення. Для того щоб на заключному етапi доведення застосувати лему А, зазначимо
наступне. Оцiнка зверху для поперечника dM (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1) з урахуванням вкладення B\bfitr
p,2 \subset
\subset W \bfitr
p,\bfitalpha , 2 \leq p < \infty , випливає з (8):
dM (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1) \ll
\ll dM (\BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , B\infty ,1) \leq dM (\BbbW \bfitr
2,\bfitalpha , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (20)
Оцiнка знизу для ентропiйних чисел \varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1) є наслiдком теореми Г:
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1) \geq \varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,2, B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (21)
Застосувавши лему А за умов (20) i (21), у пiдсумку отримаємо (19).
Теорему 3 доведено.
Зауваження 2. Спiвставляючи (19) з оцiнками величин dM (\BbbB \bfitr
p,2, B1,1) i \varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,2, B1,1) з
[12], можна стверджувати, що при r1 >
1
2
i 2 \leq p < \infty справджуються спiввiдношення
dM (\BbbB \bfitr
p,2, B1,1) \asymp dM (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1),
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,2, B1,1) \asymp \varepsilon M (\BbbB \bfitr
p,2, B\infty ,1).
Подальшою нашою метою є доповнення теореми 3 у випадку, коли p = \infty . Але спершу
проведемо дослiдження ще однiєї апроксимацiйної характеристики — величини найкращого
наближення класiв \BbbB \bfitr
\infty ,\theta у просторi B\infty ,1 за допомогою тригонометричних полiномiв iз гармо-
нiками, що належать схiдчастому гiперболiчному хресту.
Введемо необхiднi позначення. Нехай Q\bfitgamma \prime
n :=
\bigcup
(\bfits ,\bfitgamma \prime )<n
\rho (\bfits ) для n \in \BbbN . Множину Q\bfitgamma \prime
n
називають схiдчастим гiперболiчним хрестом. Покладемо
T (Q\bfitgamma \prime
n ) :=
\left\{ t : t(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in Q\bfitgamma \prime
n
c\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ), c\bfitk \in \BbbC , \bfitx \in \BbbR d
\right\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
АПРОКСИМАЦIЙНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 279
Якщо, як i ранiше, Y — деякий функцiональний простiр iз нормою \| \cdot \| Y , то для f \in Y
E
Q\bfitgamma \prime
n
(f)Y := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in T (Q\bfitgamma \prime
n )
\| f - t\| Y
— величина найкращого наближення функцiї f у просторi Y за допомогою полiномiв, що
належать множинi T (Q\bfitgamma \prime
n ).
Для класу F \subset Y покладемо
E
Q\bfitgamma \prime
n
(F )Y := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
E
Q\bfitgamma \prime
n
(f)Y .
У випадку, коли Y = Lq, величини E
Q\bfitgamma \prime
n
(F )q := E
Q\bfitgamma \prime
n
(F )Lq для класiв \BbbW \bfitr
p,\bfitalpha , \BbbH \bfitr
p i \BbbB \bfitr
p,\theta перi-
одичних функцiй багатьох змiнних дослiджувались у великiй кiлькостi робiт (див. монографiї
[8 – 10], а також оглядову статтю [1]).
Справедливим є таке твердження.
Теорема 4. Нехай 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi при d \geq 2
E
Q\bfitgamma \prime
n
(\BbbB \bfitr
\infty ,\theta )B\infty ,1 \asymp 2 - nr1n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
). (22)
Доведення. Нехай f \in \BbbB \bfitr
\infty ,\theta , \theta \in [1,\infty ). В якостi агрегату наближення функцiї f розгля-
немо полiном
tn(\bfitx ) =
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )<n
A\bfits (f,\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d.
Зрозумiло, що tn \in T (Q\bfitgamma \prime
n ).
Нехай \gamma (d) := \gamma 1 + . . .+ \gamma d. На пiдставi означення норми у просторi B\infty ,1 можна записати
\| f - tn\| B\infty ,1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n
A\bfits (f, \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B\infty ,1
=
=
\sum
\bfits
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\bfits \prime \in \BbbN d: (\bfits \prime ,\bfitgamma \prime )\geq n
A\bfits \prime (f, \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - \gamma (d)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\bfits \ast
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
A\bfits \prime (f, \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq
\leq
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - \gamma (d)
\| A\bfits \| 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
A\bfits \prime (f, \cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\ll
\ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - \gamma (d)
\sum
\| \bfits - \bfits \prime \| \infty \leq 1
\| A\bfits \prime (f, \cdot )\| \infty \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
\| A\bfits (f, \cdot )\| \infty =
=
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr )\| A\bfits (f, \cdot )\| \infty 2 - (\bfits ,\bfitr ) =: J. (23)
Застосувавши до виразу J нерiвнiсть Гельдера з показником \theta > 1 (чи вiдповiдну модифiкацiю
цiєї нерiвностi при \theta = 1) i взявши до уваги спiввiдношення (12), одержимо
J \leq
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
2(\bfits ,\bfitr )\theta \| A\bfits (f, \cdot )\| \theta \infty
\right) 1
\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
2 - (\bfits ,\bfitr )\theta \prime
\right) 1
\theta \prime
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
280 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
\leq \| f\| B\bfitr
\infty ,\theta
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
2 - (\bfits ,\bfitr )\theta \prime
\right) 1
\theta \prime
\leq
\left( \sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
2 - r1\theta \prime (\bfits ,\bfitgamma )
\right) 1
\theta \prime
\asymp
\asymp 2 - nr1n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
).
Аналогiчно, у випадку \theta = \infty для f \in \BbbB \bfitr
\infty ,\infty отримаємо
\| f - tn\| B\infty ,1 \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
\| A\bfits (f, \cdot )\| \infty \ll
\sum
(\bfits ,\bfitgamma \prime )\geq n - 2\gamma (d)
2 - (\bfits ,\bfitr ) \asymp 2 - nr1n\nu - 1.
Оцiнку зверху в (22) доведено.
Оцiнка знизу в (22) є очевидним наслiдком такого твердження iз [12]: при 1 \leq p \leq \infty ,
r1 > 0 i 1 \leq \theta \leq \infty
E
Q\bfitgamma \prime
n
(\BbbB \bfitr
p,\theta )B1,1 \asymp 2 - nr1n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
).
Теорему 4 доведено.
Зауваження 3. Спiвставивши (22) при d = 2 з оцiнкою величини E
Q\bfitgamma \prime
n
(\BbbB \bfitr
\infty ,\theta )\infty , \gamma \prime = (1, 1)
[22], легко дiйти висновку, що
E
Q\bfitgamma \prime
n
(\BbbB \bfitr
\infty ,\theta )\infty \asymp E
Q\bfitgamma \prime
n
(\BbbB \bfitr
\infty ,\theta )B\infty ,1 \asymp 2 - nr1n(1 - 1
\theta
).
Зазначимо також, що порядковi значення величин E
Q\bfitgamma \prime
n
(\BbbB \bfitr
\infty ,\theta )\infty при d > 2 ймовiрно ще не
встановлено.
Тепер з огляду на теорему 4 встановимо порядковi значення величин dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) i
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) i, як наслiдок, порядковi оцiнки лiнiйних та тригонометричних поперечникiв
класiв \BbbB \bfitr
\infty ,\theta у просторi B\infty ,1.
Теорема 5. Нехай 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi при d \geq 1
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (24)
Доведення. Спершу зазначимо, що оцiнки зверху поперечникiв dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) є наслiд-
ком оцiнки (22). Справдi, вибравши за заданим M число n \in \BbbN за умови M \asymp 2nn\nu - 1, згiдно
з (22) можна записати
dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \ll E
Q\bfitgamma \prime
n
(\BbbB \bfitr
\infty ,\theta )B\infty ,1 \asymp 2 - nr1n(\nu - 1)(1 - 1
\theta
) \asymp
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (25)
Оцiнка знизу для ентропiйних чисел \varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) випливає iз спiввiдношення (11):
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \geq \varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (26)
Беручи до уваги (25) i (26), на пiдставi леми А встановлюємо (24).
Теорему 5 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
АПРОКСИМАЦIЙНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ . . . 281
Зауваження 4. Спiвставляючи (24) з оцiнками вiдповiдних величин у просторi L\infty [12],
бачимо, що при d = 2, \bfitr = (r1, r1), r1 > 0, 2 \leq \theta \leq \infty справджуються спiввiдношення
dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta ,
\varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp \varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta .
Питання щодо порядкових значень величин dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) i \varepsilon M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) при d \geq 3 залиша-
ється вiдкритим.
Зазначимо, що оскiльки порядковi значення колмогоровських поперечникiв dM (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1)
досягаються на пiдпросторi T (Q\bfitgamma \prime
n ) тригонометричних полiномiв, то з огляду на теореми 4, 5
можна сформулювати вiдповiднi твердження для лiнiйного i тригонометричного поперечникiв
класiв \BbbB \bfitr
\infty ,\theta у просторi B\infty ,1.
Наслiдок 1. Нехай 1 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тодi при d \geq 1
\lambda M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp d\top M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta .
Зауваження 5. Спiвставляючи (24) з вiдповiдними оцiнками величин \lambda M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) i
d\top M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) [12], можна стверджувати, що при d = 2, \bfitr = (r1, r1), r1 > 0 i 2 \leq \theta \leq \infty
мають мiсце спiввiдношення
\lambda M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp \lambda M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta ,
d\top M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , B\infty ,1) \asymp d\top M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta .
Питання щодо порядкових значень величин \lambda M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) i d\top M (\BbbB \bfitr
\infty ,\theta , L\infty ) при d \geq 3 зали-
шається вiдкритим.
Лiтература
1. Dinh Ding, Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation // arXiv: 1601.03978 v 3 [math.NA] 21 Apr.
2017.
2. Романюк В. С. Колмогоровские поперечники и энтропийные числа в пространствах Орлича с нормой Люксем-
бурга // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 5. – С. 682 – 694.
3. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
4. Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 61.
5. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
6. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)
p,\theta B(0 \leq
\leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
7. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
8. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
9. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ., 1993.
10. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
11. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производ-
ной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –1989. – 189. – С. 138 – 168.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
282 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
12. Романюк А. С. Энтропийные числа и поперечники классов Br
p,\theta периодических функций многих переменных //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 10. – C. 1403 – 1417.
13. Höllig K. Diameters of classes of smooth functions // Quant. Approxim. – New York: Acad. Press, 1980. – P. 163 – 176.
14. Kolmoqoroff A. Über die beste Annaäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. Math. –
1936. – 37, № 2. – S. 107 – 111.
15. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений //
Успехи мат. наук. –1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
16. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. –1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
17. Белинский Э. С. Асимптотические характеристики классов функций с условиями на смешанную производную
(смешанную разность) // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. – Ярославль:
Ярослав. ун-т, 1990. – С. 22 – 37.
18. Belinsky E. S. Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed
derivative // J. Approxim. Theory. – 1998. – 93. – P. 114 – 127.
19. Temlyakov V. N. On two problems in the multivariate approximation // East J. Approxim. – 1998. – 4. – P. 505 – 514.
20. Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об оценке аппроксимативных характеристик классов функций с ограниченной
смешанной производной // Мат. заметки. – 1995. – 58, № 6. – С. 922 – 925.
21. Temlyakov V. N. An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the Kolmogorov
widths // East J. Approxim. – 1996. – 2, № 1. – P. 89 – 98.
22. Романюк А. С. Поперечники и наилучшее приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих пере-
менных // Anal. Math. – 2011. – 37. – С. 181 – 213.
Одержано 05.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1437 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:21Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3b/afbb46b31172f764d784a975a012cb3b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14372019-12-05T08:54:43Z Approximating characteristics of the classes of periodic multivariate functions in the space $B_{∞,1}$ Апроксимаційні характеристики класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі $B_{∞,1}$ Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers for the classes $W^{r}_{p,\alpha}$ and $B^r _{p,\theta}$ in the norm of the $B_{\infty ,1} -space. Встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел класiв $W^{r}_{p,\alpha}$ i $B^r _{p,\theta}$ за нормою простору $B_{\infty ,1}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1437 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 271-282 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 271-282 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1437/421 Copyright (c) 2019 Romanyuk A. S.; Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Approximating characteristics of the classes of periodic multivariate functions in the space $B_{∞,1}$ |
| title | Approximating characteristics of the classes of periodic
multivariate functions in the space $B_{∞,1}$ |
| title_alt | Апроксимаційні характеристики класів періодичних функцій
багатьох змінних у просторі $B_{∞,1}$ |
| title_full | Approximating characteristics of the classes of periodic
multivariate functions in the space $B_{∞,1}$ |
| title_fullStr | Approximating characteristics of the classes of periodic
multivariate functions in the space $B_{∞,1}$ |
| title_full_unstemmed | Approximating characteristics of the classes of periodic
multivariate functions in the space $B_{∞,1}$ |
| title_short | Approximating characteristics of the classes of periodic
multivariate functions in the space $B_{∞,1}$ |
| title_sort | approximating characteristics of the classes of periodic
multivariate functions in the space $b_{∞,1}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1437 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas approximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicmultivariatefunctionsinthespaceb1 AT romanyukvs approximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicmultivariatefunctionsinthespaceb1 AT romanûkas approximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicmultivariatefunctionsinthespaceb1 AT romanûkvs approximatingcharacteristicsoftheclassesofperiodicmultivariatefunctionsinthespaceb1 AT romanyukas aproksimacíjníharakteristikiklasívperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríb1 AT romanyukvs aproksimacíjníharakteristikiklasívperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríb1 AT romanûkas aproksimacíjníharakteristikiklasívperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríb1 AT romanûkvs aproksimacíjníharakteristikiklasívperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostoríb1 |