Approximation by interpolation trigonometric polynomials in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions
We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials with equidistant distribution of interpolation nodes $x_{(n 1)}^k = \frac{2k\pi}{2n 1}, k \in Z,$, in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of $2\pi$ -periodic functions...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1438 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507188479393792 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials
with equidistant distribution of interpolation nodes $x_{(n 1)}^k = \frac{2k\pi}{2n 1}, k \in Z,$, in metrics of the spaces $L_p$ on the classes
of $2\pi$ -periodic functions that can be represented in the form of convolutions of functions $\varphi , \varphi \bot 1$, from the unit ball of
the space $L_1$, with fixed generating kernels in the case where the modules of their Fourier coefficients $\psi (k)$ satisfy the
condition $\mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty} \psi (k + 1)/\psi (k) = 0.$. Similar estimates are also obtained on the classes of $r$-differentiable functions
$W^r_1$ for the rapidly increasing exponents of smoothness $r (r/n \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty )$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк, I. В. Соколенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ
ПОЛIНОМАМИ В МЕТРИКАХ ПРОСТОРIВ \bfitL \bfitp
НА КЛАСАХ ПЕРIОДИЧНИХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ*
We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials
with equidistant distribution of interpolation nodes x(n - 1)
k =
2k\pi
2n - 1
, k \in \BbbZ , in metrics of the spaces Lp on the classes
of 2\pi -periodic functions that can be represented in the form of convolutions of functions \varphi , \varphi \bot 1, from the unit ball of
the space L1 , with fixed generating kernels in the case where the modules of their Fourier coefficients \psi (k) satisfy the
condition \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \psi (k + 1)/\psi (k) = 0. Similar estimates are also obtained on the classes of r-differentiable functions
W r
1 for the rapidly increasing exponents of smoothness r (r/n\rightarrow \infty , n\rightarrow \infty ).
Встановлено асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами з рiвномiрним розподiлом вузлiв iнтерполяцiї x(n - 1)
k =
2k\pi
2n - 1
, k \in \BbbZ , у метриках просторiв
Lp, 1 \leq p \leq \infty , на класах 2\pi -перiодичних функцiй, якi зображуються у виглядi згорток функцiй \varphi , \varphi \bot 1,
що належать одиничнiй кулi з простору L1 iз фiксованими твiрними ядрами, у яких модулi коефiцiєнтiв Фур’є \psi (k)
задовольняють умову \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \psi (k + 1)/\psi (k) = 0. Аналогiчнi оцiнки встановлено i на класах r-диференцiйовних
функцiй W r
1 при швидко зростаючих показниках гладкостi r (r/n\rightarrow \infty , n\rightarrow \infty ).
Нехай Lp, 1 \leq p <\infty , — простiр 2\pi -перiодичних сумовних у p-му степенi на [0, 2\pi ) функцiй f
зi стандартною нормою \| f\| p =
\biggl( \int 2\pi
0
| f(t)| pdt
\biggr) 1/p
; L\infty — простiр 2\pi -перiодичних вимiрних
i суттєво обмежених функцiй f iз нормою \| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
| f(t)| ; C — простiр 2\pi -перiодичних
неперервних функцiй f, у якому норма задається рiвнiстю \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| .
Позначимо через C\psi \=\beta ,1 класи 2\pi -перiодичних функцiй f, якi зображуються у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
\pi
2\pi \int
0
\Psi \=\beta (x - t)\varphi (t)dt, a0 \in \BbbR , (1)
в якiй \varphi \bot 1, \| \varphi \| 1 \leq 1, а \Psi \=\beta (\cdot ) — ядра вигляду
\Psi \=\beta (t) =
\infty \sum
k=1
\psi (k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \pi \beta k
2
\biggr)
, \beta k \in \BbbR , \psi (k) > 0, (2)
\infty \sum
k=1
\psi (k) <\infty . (3)
Якщо послiдовностi \=\beta = \{ \beta k\} \infty k=1 є стацiонарними, тобто \beta k = \beta , k \in \BbbN , \beta \in \BbbR , то
класи C\psi \=\beta ,1 позначатимемо через C\psi \beta ,1.
Якщо \psi (k) = k - r, r > 1, то класи C\psi \=\beta ,1 i C\psi \beta ,1 позначатимемо вiдповiдно через W r
\=\beta ,1
i
W r
\beta ,1. Останнi класи є вiдомими класами Вейля – Надя. Якщо r \in \BbbN i \beta = r, то класи W r
\beta ,1 є
* Частково пiдтримано грантом H2020-MSCA-RISE-2014, номер проекту 645672 (AMMODIT: Approximation
Methods for Molecular Modelling and Diagnosis Tools).
c\bigcirc А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2 283
284 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
класами W r
1 2\pi -перiодичних функцiй, що мають абсолютно неперервнi похiднi до (r - 1)-го
порядку включно i такi, що їхня r-та похiдна належить одиничнiй кулi простору L1
\bigl(
тобто\bigm\| \bigm\| f (r)\bigm\| \bigm\|
1
\leq 1
\bigr)
.
Якщо \psi (k) = e - \alpha k
r
, \alpha > 0, r > 0, то класи C\psi \=\beta ,1 i C\psi \beta ,1 будемо позначати через C\alpha ,r\=\beta ,1
i C\alpha ,r\beta ,1
вiдповiдно. Останнi класи називають iнодi класами узагальнених iнтегралiв Пуассона.
У данiй роботi будемо розглядати класи C\psi \=\beta ,1 за умови, що послiдовнiсть \psi (k) > 0 така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\psi (k + 1)
\psi (k)
= 0. (4)
Як випливає з [1, c. 139 – 145], класи C\psi \=\beta ,1 за виконання умови (4) складаються iз функцiй, якi
допускають регулярне продовження в усю комплексну площину, тобто складаються iз цiлих
функцiй. З iншого боку, як показано в [2, c. 1703], для того, щоб функцiя f належала до
множини всiх дiйснозначних на дiйснiй осi цiлих функцiй, необхiдно i достатньо, щоб її можна
було зобразити згорткою вигляду (1), у якiй \varphi належить L1, а коефiцiєнти \psi (k) ядра \Psi \=\beta
вигляду (2) задовольняли умову (4).
Нехай f належить C. Через \~Sn - 1(f ;x) позначатимемо тригонометричний полiном порядку
n - 1, що iнтерполює f(x) у рiвномiрно розподiлених вузлах x(n - 1)
k =
2k\pi
2n - 1
, k \in \BbbZ , тобто
такий, що
\~Sn - 1
\bigl(
f ;x
(n - 1)
k
\bigr)
= f
\bigl(
x
(n - 1)
k
\bigr)
, k \in \BbbZ .
Порядковi оцiнки збiжностi iнтерполяцiйних полiномiв \~Sn - 1(f ; \cdot ) до f у метриках просто-
рiв C i Lp, що виражались у термiнах послiдовностей найкращих наближень функцiй в C i
Lp, одержано у роботах [3, 4].
Розглянемо величину
\~\scrE n
\bigl(
C\psi \=\beta ,1
\bigr)
Lp
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\psi \=\beta ,1
\| f(\cdot ) - \~Sn - 1(f ; \cdot )\| p. (5)
У данiй роботi будуть встановленi асимптотично точнi оцiнки величин (5) при n\rightarrow \infty для
довiльних 1 \leq p \leq \infty , \beta k \in \BbbR i \psi (k) таких, що задовольняють умову (4).
При p = 1 асимптотичну поведiнку величин вигляду (5) при n\rightarrow \infty в залежностi вiд тих чи
iнших обмежень на послiдовностi \psi (k) i \beta k дослiджено у роботах [5 – 8]. Зокрема, у [6, c. 994]
за виконання умови (4) для довiльних \beta k \in \BbbR встановлено асимптотичну рiвнiсть
\~\scrE n
\bigl(
C\psi \=\beta ,1
\bigr)
L1
=
16
\pi 2
\psi (n) +O(1)
\Biggl(
\psi (n)
n
+
\infty \sum
k=n+1
\psi (k)
\Biggr)
, (6)
в якiй O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Крiм того, у роботi [9, c. 279 – 280], отримано результати, з яких випливає, що за виконання
умови (4) при довiльних \beta k \in \BbbR справджується асимптотична рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ В МЕТРИКАХ. . . 285
\~\scrE n(C\psi \=\beta ,1)L\infty =
2
\pi
\psi (n) +O(1)
\infty \sum
k=n+1
\psi (k), (7)
в якiй O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Питання про асимптотичну поведiнку величин \~\scrE n
\bigl(
C\psi \=\beta ,1
\bigr)
Lp
, \beta k \in \BbbR , за виконання умови (4)
при 1 < p <\infty залишалось вiдкритим.
Основним результатом цiєї статтi є таке твердження.
Теорема 1. Нехай 1 \leq p \leq \infty , \beta k \in \BbbR , а \psi (k) > 0 задовольняє умову (3). Тодi при всiх
n \in \BbbN має мiсце оцiнка
\~\scrE n(C\psi \=\beta ,1)Lp =
21 - 1/p
\pi 1+1/p
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 2p\psi (n) +O(1)
\Biggl(
\psi (n)
n
+
\infty \sum
\nu =n+1
\psi (\nu )
\Biggr)
, (8)
в якiй O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв. Якщо,
крiм того, \psi (k) задовольняє умову (4), то оцiнка (8) є асимптотичною при n\rightarrow \infty рiвнiстю.
Доведення. Згiдно з формулою (9) роботи [6], для довiльної функцiї f iз класу C\psi \=\beta ,1 у
кожнiй точцi x \in \BbbR виконується рiвнiсть
\~\rho n(f ;x) = f(x) - \~Sn - 1(f ;x) =
=
2
\pi
\psi (n) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2n - 1
2
x
2\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr)
\varphi (t) dt+ \~rn+1(f ;x), (9)
в якiй
\~rn+1(f ;x) :=
1
\pi
2\pi \int
0
\infty \sum
\nu =n+1
\psi (\nu )
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\nu (t - x) +
\pi \beta \nu
2
\biggr)
- \=\omega \nu (x; t)
\biggr)
\varphi (t) dt. (10)
Функцiї \=\omega \nu (x; t), \nu = n, n+ 1, . . . , в (10) визначаються за допомогою формул
\=\omega m(2n - 1)+k(x; t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
m(2n - 1)t+ k(t - x) +
\pi \beta m(2n - 1)+k
2
\biggr)
,
m \in \BbbN , k = 0,\pm 1, . . . ,\pm (n - 1).
(11)
Iз (10) i (11) випливає, що для довiльних 1 \leq p \leq \infty i f \in C\psi \=\beta ,1 має мiсце оцiнка
\| \~rn+1(f ; \cdot )\| p \leq
2
\pi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2\pi \int
0
\infty \sum
\nu =n+1
\psi (\nu )| \varphi (t)| dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq 21+1/p
\pi 1 - 1/p
\infty \sum
\nu =n+1
\psi (\nu ) \leq 2
\infty \sum
\nu =n+1
\psi (\nu ). (12)
Згiдно з формулами (9) i (12), для довiльних 1 \leq p \leq \infty , \=\beta = \{ \beta k\} \infty k=1, \beta k \in \BbbR , i \psi (k) > 0, що
задовольняють умову (3), справджується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
286 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
\~\scrE n
\bigl(
C\psi \=\beta ,1
\bigr)
Lp
=
2
\pi
\psi (n)An(p) +O(1)
\infty \sum
\nu =n+1
\psi (\nu ), (13)
в якiй
An(p) = An(p; \=\beta ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| \varphi \| 1\leq 1
\varphi \bot 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
2\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr)
\varphi (t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (14)
Дослiдимо асимптотичну поведiнку величин An(p), 1 \leq p \leq \infty , при n\rightarrow \infty . З цiєю метою
встановимо iстиннiсть двосторонньої оцiнки
1
2
\bigm\| \bigm\| \Phi n,\pi \beta n(x)\bigm\| \bigm\| p \leq An(p) \leq
1
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \Phi n,\theta (x)\bigm\| \bigm\| p, n \in \BbbN , 1 \leq p \leq \infty , (15)
в якiй
\Phi n,\theta (x) := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nx - \theta
2
\biggr)
g\theta (x) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nx - \theta
2
\biggr)
h\theta (x), \theta \in \BbbR , (16)
g\theta (x) := 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x - \theta ), (17)
h\theta (x) := - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x - \theta ). (18)
Для знаходження необхiдної оцiнки зверху величини An(p) скористаємось узагальненою не-
рiвнiстю Мiнковського (див. [10, c. 395])\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2\pi \int
0
f(\cdot , u)du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
2\pi \int
0
\| f(\cdot , u)\| p du, 1 \leq p \leq \infty . (19)
Згiдно з (14) i (19)
An(p) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| \varphi \| 1\leq 1
\varphi \bot 1
2\pi \int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\varphi (t) dt \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
- x
2
+
\theta
2
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (20)
Оскiльки при будь-якому \theta \in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2n - 1
2
x \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
- x
2
+
\theta
2
\biggr)
=
1
2
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nx - \theta
2
\biggr)
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
(n - 1)x+
\theta
2
\biggr) \biggr)
=
=
1
2
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
nx - \theta
2
\biggr) \bigl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x - \theta )
\bigr)
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nx - \theta
2
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x - \theta )
\biggr)
=
1
2
\Phi n,\theta (x), (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ В МЕТРИКАХ. . . 287
то на пiдставi (20) i (21) маємо
An(p) \leq
1
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in \BbbR
\| \Phi n,\theta (x)\| p. (22)
Оцiнимо знизу величину An(p). Для цього розглянемо при кожному n \in \BbbN i достатньо
малому \delta > 0
\Bigl(
\delta <
\pi
n
\Bigr)
2\pi -перiодичну функцiю \varphi n,\delta (t) таку, що на
\biggl[
- \delta
2
, 2\pi - \delta
2
\biggr]
задається за
допомогою рiвностей
\varphi n,\delta (t) =
\left\{
1
2\delta
, t \in
\biggl(
- \delta
2
,
\delta
2
\biggr)
,
- 1
2\delta
, t \in
\biggl(
\pi
n
- \delta
2
,
\pi
n
+
\delta
2
\biggr)
,
0, t \in
\biggl[
- \delta
2
, 2\pi - \delta
2
\biggr]
\setminus
\biggl\{ \biggl(
- \delta
2
,
\delta
2
\biggr)
\cup
\biggl(
\pi
n
- \delta
2
,
\pi
n
+
\delta
2
\biggr) \biggr\}
.
(23)
Оскiльки \| \varphi n,\delta \| 1 \leq 1 i \varphi n,\delta \bot 1, то, як випливає з (14),
An(p) \geq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x
2\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr)
\varphi n,\delta (t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (24)
Беручи до уваги (23), маємо
2\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr)
\varphi n,\delta (t)dt =
1
2\delta
\delta /2\int
- \delta /2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr)
dt -
- 1
2\delta
\pi /n+\delta /2\int
\pi /n - \delta /2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
nt - x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr)
dt =
=
1
n\delta
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
- x
2
+
\pi \beta n
2
- n\delta
2
\biggr)
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
- x
2
+
\pi \beta n
2
+
n\delta
2
\biggr) \biggr)
. (25)
Iз (24) i (25) одержуємо нерiвнiсть
An(p) \geq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2n - 1
2
x
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
- x
2
+
\pi \beta n
2
- n\delta
2
\biggr)
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
- x
2
+
\pi \beta n
2
+
n\delta
2
\biggr)
n\delta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (26)
Вибираючи \delta настiльки малим, щоб \delta = o
\biggl(
1
n
\biggr)
, i переходячи до границi у правiй частинi
нерiвностi (26) при n\delta \rightarrow 0, з урахуванням формули (21), застосованої при \theta = \pi \beta n, одержуємо
An(p) \geq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2n - 1
2
x \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
- x
2
+
\pi \beta n
2
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
1
2
\| \Phi n,\pi \beta n(x)\| p. (27)
Оцiнка (15) є наслiдком формул (22) i (27).
Для знаходження асимптотичної рiвностi для величин \| \Phi n,\theta (\cdot )\| p при n \rightarrow \infty i довiльних
фiксованих \theta \in \BbbR i 1 \leq p \leq \infty скористаємось таким твердженням iз роботи [11, c. 1083].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
288 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Лема 1. Нехай 1 \leq p \leq \infty i 2\pi -перiодичнi функцiї g(x) i h(x) мають обмежену варiацiю
на [0, 2\pi ], якщо p = 1, або належать класу Гельдера KH1 =
\bigl\{
f \in C : | f(x + \delta ) - f(x)| \leq
\leq K\delta , x, \delta \in \BbbR
\bigr\}
, якщо 1 < p \leq \infty . Тодi для функцiї
\Phi (x) = g(x) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(nx+ \alpha ) + h(x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(nx+ \alpha ), \alpha \in \BbbR , n \in \BbbN ,
справджуються асимптотичнi формули
\| \Phi \| p
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
c\in \BbbR
\| \Phi (\cdot ) - c\| p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta \in \BbbR
1
2
\| \Phi (\cdot + \theta ) - \Phi (\cdot )\| p
\right\}
=
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p
(2\pi )1/p
\| r\| p +O(1)
M
n
, (28)
в яких
r(t) =
\sqrt{}
g2(x) + h2(x), (29)
M =Mp =
\left\{
\pi
V
- \pi
(g) +
\pi
V
- \pi
(h) при p = 1,
K + p - 1\| r\| 1 - pp
\pi
V
- \pi
(rp) при 1 < p <\infty ,
K при p = \infty ,
(30)
а величина O(1) є рiвномiрно обмеженою вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Покладемо в термiнах леми 1 g(x) = g\theta (x), h(x) = h\theta (x), \alpha = - \theta
2
, \Phi (x) = \Phi n,\theta (x). Тодi
згiдно з (17), (18) i (29) при будь-якому \theta \in \BbbR , 1 \leq p \leq \infty
r(x) = r\theta (x) =
\sqrt{}
g2\theta (x) + h2\theta (x) =
\sqrt{}
2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x - \theta )) = 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} x - \theta
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (31)
\pi
V
- \pi
(rp\theta ) = 2p+1, (32)
\| r\theta \| p = 2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} x - \theta
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
= 2\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p. (33)
Крiм того, згiдно з (30) – (33) при p = 1
Mp =M1 =
\pi
V
- \pi
(g\theta ) +
\pi
V
- \pi
(h\theta ) = 8, (34)
при 1 < p <\infty
Mp = K +
\pi
V
- \pi
(rp\theta )
p\| r\theta \| p - 1
p
= 1 +
4
p\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p - 1
p
, (35)
а при p = \infty
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ В МЕТРИКАХ. . . 289
Mp =M\infty = K = 1. (36)
Оскiльки при довiльних 1 < p <\infty
p\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| pp = p\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t\| pp \geq 4p
\pi /2\int
0
\biggl(
2
\pi
t
\biggr) p
dt = 2\pi
p
p+ 1
\geq \pi
i
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p \leq 2\pi ,
то з рiвностей (35) отримуємо оцiнку
Mp \leq 9, 1 < p <\infty . (37)
Застосовуючи лему 1 до функцiї \Phi (x) = \Phi n,\theta (x) i враховуючи формули (33), (34), (36) i
(37), iз (28) одержуємо рiвномiрну вiдносно всiх параметрiв оцiнку
\| \Phi n,\theta (\cdot )\| p =
21 - 1/p
\pi 1/p
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 2p +O(1)
1
n
, 1 \leq p \leq \infty , \theta \in \BbbR . (38)
Iз формул (13), (15) i (38) випливає, що за умови (3) справджується оцiнка (8).
Залишилося показати, що при виконаннi рiвностi (4) оцiнка (8) перетворюється в асимпто-
тичну при n\rightarrow \infty рiвнiсть.
Розглянемо величину
\varepsilon n = \varepsilon n(\psi ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq n
\psi (k + 1)
\psi (k)
. (39)
На пiдставi (4) i (39) величина \varepsilon n монотонно спадає до нуля, а отже, при n таких, що \varepsilon n < 1,
\infty \sum
k=n+1
\psi (k) = \psi (n)
\psi (n+ 1)
\psi (n)
+ \psi (n)
\psi (n+ 1)
\psi (n)
\psi (n+ 2)
\psi (n+ 1)
+
+\psi (n)
\psi (n+ 1)
\psi (n)
\psi (n+ 2)
\psi (n+ 1)
\psi (n+ 3)
\psi (n+ 2)
+ . . . =
= \psi (n)
\infty \sum
k=0
k\prod
j=0
\psi (n+ j + 1)
\psi (n+ j)
\leq \psi (n)
\infty \sum
k=0
k\prod
j=0
\varepsilon n+j \leq \psi (n)
\infty \sum
k=0
\varepsilon k+1
n = \psi (n)
\varepsilon n
1 - \varepsilon n
. (40)
З урахуванням спiввiдношень (40), при n таких, що \varepsilon n < 1, з (8) випливає рiвномiрна за всiма
параметрами оцiнка
\~\scrE n(C\psi \=\beta ,1)Lp = \psi (n)
\Biggl(
21 - 1/p
\pi 1+1/p
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 2p +O(1)
\biggl(
1
n
+
\varepsilon n
1 - \varepsilon n
\biggr) \Biggr)
, (41)
яка при n\rightarrow \infty є асимптотичною рiвнiстю.
Теорему 1 доведено.
При p = 1 формула (8) перетворюється у формулу (6), а при p = \infty — випливає з (7).
Наведемо наслiдок з теореми 1 у випадку, коли \psi (k) = e - \alpha k
r
, \alpha > 0, r > 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
290 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Теорема 2. Нехай r > 1, \alpha > 0, 1 \leq p \leq \infty , \beta k \in \BbbR . Тодi для всiх номерiв n таких, що
n1 - r \mathrm{l}\mathrm{n}(n+ 1) \leq \alpha r, (42)
має мiсце рiвномiрна вiдносно всiх розглядуваних параметрiв оцiнка
\~\scrE n(C\alpha ,r\=\beta ,1
)Lp = e - \alpha n
r
\Biggl(
21 - 1/p
\pi 1+1/p
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 2p +O(1)
1
n
\Biggr)
. (43)
Доведення. Для функцiї \psi (k) = e - \alpha k
r
, \alpha > 0, r > 1, величина \varepsilon n вигляду (39) оцiнюється
таким чином:
\varepsilon n = e - \alpha ((n+1)r - nr) \leq e - \alpha rn
r - 1
. (44)
На пiдставi (42)
e - \alpha rn
r - 1 \leq 1
n+ 1
. (45)
Iз (44) i (45) випливає нерiвнiсть
\varepsilon n
1 - \varepsilon n
\leq 2
n
. (46)
Формула (43) випливає iз (41) i (46).
Застосуємо також оцiнку (8) до класiв W r
\=\beta ,1
, тобто у випадку, коли \psi (k) = k - r, r > 1.
Оскiльки
\infty \sum
k=n+1
1
kr
<
1
(n+ 1)r
+
\infty \int
n+1
dt
tr
=
1
(n+ 1)r
\biggl(
1 +
n+ 1
r - 1
\biggr)
,
то, враховуючи монотонне зростання до e - 1 послiдовностi
\biggl(
1 - 1
n+ 1
\biggr) n+1
, одержуємо
nr
\infty \sum
k=n+1
1
kr
<
\biggl(
n
n+ 1
\biggr) r \biggl(
1 +
n+ 1
r - 1
\biggr)
=
\biggl(
1 - 1
n+ 1
\biggr) (n+1) r
n+1
\biggl(
1 +
n+ 1
r - 1
\biggr)
<
< e -
r
n+1
\biggl(
1 +
n+ 1
r - 1
\biggr)
. (47)
Iз (47) випливає рiвномiрна за всiма параметрами оцiнка
nr
\infty \sum
k=n+1
1
kr
= O(1)e -
r
n+1
\biggl(
1 +
n
r - 1
\biggr)
, r > 1. (48)
Як наслiдок з теореми 1 отримуємо таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ В МЕТРИКАХ. . . 291
Теорема 3. Нехай 1 \leq p \leq \infty , r > 1, \beta k \in \BbbR , n \in \BbbN . Тодi має мiсце рiвномiрна вiдносно
всiх параметрiв оцiнка
\~\scrE n(W r
\=\beta ,1)Lp =
1
nr
\Biggl(
21 - 1/p
\pi 1+1/p
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 2p +O(1)
\biggl(
1
n
+ e -
r
n+1
\biggl(
1 +
n
r - 1
\biggr) \biggr) \Biggr)
. (49)
Зазначимо, що при r \geq n+ 1 оцiнка (49) набирає вигляду
\~\scrE n(W r
\=\beta ,1)Lp =
1
nr
\Biggl(
21 - 1/p
\pi 1+1/p
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 2p +O(1)
\biggl(
1
n
+ e -
r
n+1
\biggr) \Biggr)
. (50)
У випадку, коли
r
n
\rightarrow \infty при n\rightarrow \infty , формула (50) є асимптотичною рiвнiстю.
При p = 1 i \beta k = \beta , \beta \in \BbbR , r \geq n+ 1 рiвнiсть (50) можна записати у виглядi
\~\scrE n(W r
\beta ,1)L1 =
1
nr
\biggl(
16
\pi 2
+O(1)
\biggl(
1
n
+ e -
r
n+1
\biggr) \biggr)
. (51)
Оцiнка (51) є iнтерполяцiйним аналогом результатiв робiт С. Б. Стєчкiна [12] (теорема 4)
та С. О. Теляковського [13], в яких дослiджувалась асимптотика величин
\scrE n(W r
\beta ,1)L1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta ,1
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )
\bigm\| \bigm\|
p
,
де Sn - 1(f ; \cdot ) — частинна сума Фур’є порядку n - 1 функцiї f.
Формула (51) доповнює результат В. П. Моторного [5], згiдно з яким при довiльних r \in \BbbN
виконується нерiвнiсть
\~\scrE n(W r
1 )L1 \leq 2Kr - 1 \mathrm{l}\mathrm{n}n
\pi nr
+
O(1)
nr
, (52)
де Kr — константи Фавара:
Km =
4
\pi
\infty \sum
\nu =0
( - 1)\nu (m+1)
(2\nu + 1)m+1
, m = 0, 1, . . . .
При цьому у випадку r = 2 у формулi (52) можна поставити знак рiвностi, тобто справджується
асимптотична рiвнiсть
\~\scrE n(W 2
1 )L1 =
1
n2
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n+O(1)
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
292 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Лiтература
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 1. –
427 c.
2. Степанец А. И., Сердюк А. С., Шидлич А. Л. Классификация бесконечно дифференцируемых периодических
функций // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – С. 1686 – 1708.
3. Sharapudinov I. I. On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation // Anal. Math. –
1983. – 9, № 3. – P. 223 – 234.
4. Oskolkov K. I. Inequalities of the “large sieve” type and applications to problems of trigonometric approximation //
Anal. Math. – 1986. – 12, № 2. – P. 143 – 166.
5. Моторний В. П. Приближение периодических функций интерполяционными многочленами в L1 // Укр. мат.
журн. – 1990. – 42, № 6. – С. 781 – 786.
6. Сердюк А. С. Наближення перiодичних функцiй високої гладкостi iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами в метрицi L1 // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – C. 994 – 998.
7. Сердюк А. С. Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами нескiнченно диференцiйовних
перiодичних функцiй в iнтегральнiй метрицi // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 12. – C. 1654 – 1663.
8. Сердюк А. С. Наближення перiодичних аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними тригонометричними полiно-
мами в метрицi простору L // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 5. – C. 692 – 699.
9. Сердюк А. С., Войтович В. А. Наближення класiв цiлих функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле
Пуссена // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. –
7, № 1. – C. 274 – 297.
10. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
11. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. –
2005. – 57, № 8. – С. 1079 – 1096.
12. Стечкин P. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Приближение функций поли-
номами и сплайнами: Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1980. – 145. – C. 126 – 151.
13. Теляковский С. А. О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости // Укр. мат. журн. – 1989. – 41,
№ 4. – С. 510 – 518.
Одержано 15.05.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1438 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:21Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1d/d7188b42cc900347bd15a9cf6d0c861d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14382019-12-05T08:54:43Z Approximation by interpolation trigonometric polynomials in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions Наближення інтерполяційними тригонометричними поліно- мами в метриках просторів $L_p$ на класах періодичних цілих функцій Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials with equidistant distribution of interpolation nodes $x_{(n 1)}^k = \frac{2k\pi}{2n 1}, k \in Z,$, in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of $2\pi$ -periodic functions that can be represented in the form of convolutions of functions $\varphi , \varphi \bot 1$, from the unit ball of the space $L_1$, with fixed generating kernels in the case where the modules of their Fourier coefficients $\psi (k)$ satisfy the condition $\mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty} \psi (k + 1)/\psi (k) = 0.$. Similar estimates are also obtained on the classes of $r$-differentiable functions $W^r_1$ for the rapidly increasing exponents of smoothness $r (r/n \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty )$. Встановлено асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами з рiвномiрним розподiлом вузлiв iнтерполяцiї $x_{(n 1)}^k = \frac{2k\pi}{2n 1}, k \in Z,$ у метриках просторiв $L_p, 1 \leq p \leq \infty$, на класах $2\pi$ -перiодичних функцiй, якi зображуються у виглядi згорток функцiй $\varphi , \varphi \bot 1$, що належать одиничнiй кулi з простору $L_1$ iз фiксованими твiрними ядрами, у яких модулi коефiцiєнтiв Фур’є $\psi (k)$ задовольняють умову $\mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty} \psi (k + 1)/\psi (k) = 0.$ Аналогiчнi оцiнки встановлено i на класах $r$-диференцiйовних функцiй $W^r_1$ при швидко зростаючих показниках гладкостi $r (r/n \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty )$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1438 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 283-292 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 283-292 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1438/422 Copyright (c) 2019 Serdyuk A. S.; Sokolenko I. V. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. Approximation by interpolation trigonometric polynomials in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions |
| title | Approximation by interpolation trigonometric polynomials
in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions |
| title_alt | Наближення інтерполяційними тригонометричними поліно-
мами в метриках просторів $L_p$ на класах періодичних цілих функцій |
| title_full | Approximation by interpolation trigonometric polynomials
in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions |
| title_fullStr | Approximation by interpolation trigonometric polynomials
in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions |
| title_full_unstemmed | Approximation by interpolation trigonometric polynomials
in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions |
| title_short | Approximation by interpolation trigonometric polynomials
in metrics of the spaces $L_p$ on the classes of periodic entire functions |
| title_sort | approximation by interpolation trigonometric polynomials
in metrics of the spaces $l_p$ on the classes of periodic entire functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1438 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationbyinterpolationtrigonometricpolynomialsinmetricsofthespaceslpontheclassesofperiodicentirefunctions AT sokolenkoiv approximationbyinterpolationtrigonometricpolynomialsinmetricsofthespaceslpontheclassesofperiodicentirefunctions AT serdûkas approximationbyinterpolationtrigonometricpolynomialsinmetricsofthespaceslpontheclassesofperiodicentirefunctions AT sokolenkoív approximationbyinterpolationtrigonometricpolynomialsinmetricsofthespaceslpontheclassesofperiodicentirefunctions AT serdyukas nabližennâínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomamivmetrikahprostorívlpnaklasahperíodičnihcílihfunkcíj AT sokolenkoiv nabližennâínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomamivmetrikahprostorívlpnaklasahperíodičnihcílihfunkcíj AT serdûkas nabližennâínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomamivmetrikahprostorívlpnaklasahperíodičnihcílihfunkcíj AT sokolenkoív nabližennâínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomamivmetrikahprostorívlpnaklasahperíodičnihcílihfunkcíj |