On the approximation of functions by polynomials and entire functions of exponential type
We present a brief survey of works in the approximation theory of functions known to the author and connected with V. K. Dzyadyk’s scientific publications.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1439 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507189263728640 |
|---|---|
| author | Trigub, R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. |
| author_facet | Trigub, R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. |
| author_sort | Trigub, R. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:54:43Z |
| description | We present a brief survey of works in the approximation theory of functions known to the author and connected with
V. K. Dzyadyk’s scientific publications. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. М. Тригуб (Сум. гос. ун-т)
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
И ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
We present a brief survey of works in the approximation theory of functions known to the author and connected with
V. K. Dzyadyk’s scientific publications.
Наведено короткий огляд робiт з теорiї апроксимацiї функцiй, якi вiдомi автору та наближенi до наукових публiкацiй
В. К. Дзядика.
В настоящей статье излагается краткий обзор теорем теории приближений, примыкающих к
научным результатам В. К. Дзядыка (см. также в п. 4 некоторые нерешенные вопросы).
Следует отметить, что в 2019 г. исполняется 100 лет теории приближений как ветви матема-
тического анализа, если считать началом выход работы [1] Валле Пуссена, в которой собраны
теоремы П. Л. Чебышева, К. Вейерштрасса, А. А. Маркова, Л. Фейера, А. Лебега, Д. Джексона,
С. Н. Бернштейна и самого автора.
1. Наилучшее приближение класса \bfitW \bfitr (\BbbT ) периодических функций полиномами и
класса \bfitW \bfitr (\BbbR ) целыми функциями экспоненциального типа (ЦФЭТ). Это классы функций
с ограниченным единицей модулем производной f (r) (при r нецелом — производная по Вейлю,
а при r \in \BbbN — это функции, у которых f (r - 1) \in ACloc, а
\bigm| \bigm| f (r)(x)
\bigm| \bigm| \leq 1 почти всюду).
Если функция 2\pi -периодическая и принадлежит Lp(\BbbT ), \BbbT = [ - \pi , \pi ], p \in [1,+\infty ], или
C(\BbbT ), то ее ряд Фурье будем записывать в виде
\bigl(
ek = eikx, k \in \BbbZ
\bigr)
f \sim
\sum
k\in \BbbZ
\widehat fkek, \widehat fk =
1
2\pi
\int
\BbbT
f(t)e - ikt dt.
Известно, что
f(x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f (r)(x - t)br(t)dt, br(t) =
\infty \sum
k=1
cos
\Bigl(
kt - r\pi
2
\Bigr)
kr
— ядро Бернулли.
При натуральном r ядро br является периодическим интегралом от
b1(t) =
1
2
\biggl(
1 - | t|
\pi
\biggr)
sign t, | t| \leq \pi .
Г. Бор (1935 г.) отметил (без доказательства), что если r = 1 и \widehat f0 = 0, то \| f \prime \| \infty \leq \pi
2
\| f\| \infty
и неравенство является точным. Затем С. Н. Бернштейн (1935 г.) доказал, что при r \in \BbbN и\widehat f0 = 0 \| f (r)\| \infty \leq Kr\| f\| \infty , где
Kr =
4
\pi
\infty \sum
\nu =0
( - 1)\nu (r+1)
(2\nu + 1)r+1
.
c\bigcirc Р. М. ТРИГУБ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2 293
294 Р. М. ТРИГУБ
Ж. Фавар [2], цитируя статью С. Н. Бернштейна, определил наилучшее приближение в L1(\BbbT )
ядра Бернулли тригонометрическими полиномами \tau n порядка не выше n
\biggl(
\tau n =
\sum
| k| \leq n
ckek
\biggr)
:
ET
n (br)1 := min
\tau n
\int
\BbbT
\bigm| \bigm| br(t) - \tau n(t)
\bigm| \bigm| dt = \pi Kr
(n+ 1)r
.
Затем одновременно и независимо Ж. Фавар [3] и Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн [4] вывели из
этого соотношения, что
sup
f\in W r(\BbbT )
ET
n (f)\infty = sup
f\in W r(\BbbT )
min
\tau n
sup
x
\bigm| \bigm| f(x) - \tau n(x)
\bigm| \bigm| = Kr
(n+ 1)r
.
Экстремальная функция (сплайн Эйлера) для класса имеет вид
\varphi r(x) =
4
\pi
\infty \sum
k=0
sin
\Bigl(
(2k + 1)x - r\pi
2
\Bigr)
(2k + 1)r+1
.
Это r-й периодический интеграл от \varphi 0(x) = sign sinx. В [4] изучен тот же вопрос и для
класса \widetilde Wr(\BbbT )
\bigl( \bigm\| \bigm\| \widetilde f (r)
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq 1, \widetilde f — тригонометрически сопряженная к f функция
\bigr)
с другой
константой \widetilde Kr.
С. Н. Бернштейн назвал, по сути, Kr константой Бернулли при нечетном r и константой
Эйлера при четном r, так что нельзя, по мнению автора, называть Kr константой Фавара.
Статья С. Н. Бернштейна обычно не цитируется, так как в ней в доказательстве при четном r
была допущена ошибка (позже исправлена в [5, с. 171]).
Вообще, задача о наилучшем приближении класса функций (а не индивидуальных функций)
инициирована А. Н. Колмогоровым [6]. Ею успешно занимался С. М. Никольский и многие
другие математики.
На первой Всесоюзной конференции по конструктивной теории функций (Ленинград,
1959 г.) В. М. Тихомиров сообщил, что тригонометрические полиномы \tau n осуществляют наи-
лучшее приближение класса W r(\BbbT ) среди всех подпространств размерности 2n+1
\Biggl(
поперечник
Колмогорова d2n+1
\bigl(
W r(\BbbT )
\bigr)
=
Kr
(n+ 1)r
\Biggr)
.
Ж. Фавар (1937 г.) поставил задачу о наилучшем приближении класса W r(\BbbT ) при нецелом
r > 0. Ее решение существенно труднее, так как ядро Бернулли br не является ни четным, ни
нечетным. Решение при r \in (0, 1) получил В. К. Дзядык [7]. Затем этой задачей занимались
С. Б. Стечкин и Сунь Юн-шен. Завершил ее решение для любого r > 0 В. К. Дзядык, применив
новый метод с абсолютно монотонными функциями [8] (в метриках L\infty и L1).
Случай метрики Lp, p \in (1,+\infty ), особый и часто следует, как оказалось, только из случая
p = \infty .
Введем, например, семейство норм (N > 0)
\| f\| p,N = sup
x\in \BbbR
\left( x+N\int
x - N
| f(t)| pdt
\right) 1/p .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ И ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ . . . 295
Если f \in Lp(\BbbR ), то \| f\| p = limN\rightarrow \infty \| f\| p,N , а если f — 2\pi -периодическая и f \in Lp(\BbbT ), то
\| f\| p = \| f\| p,\pi . Тем самым соединяем периодический и непериодический случаи.
Теорема ([9], 1.2.7). Пусть E — линейное множество ограниченных и равномерно непре-
рывных на \BbbR функций, замкнутое относительно равномерной сходимости, а A : E \mapsto \rightarrow E —
линейный оператор и \| Af\| \infty \leq a\| f\| \infty . Если дополнительно вместе с f и f t = f(\cdot + t) \in E
при t \in \BbbR и оператор A коммутирует со сдвигом, то для любого p \in [1,+\infty ), N > 0 и f \in E
\| Af\| p,N \leq a\| f\| p,N .
Следствия. 1. Точное неравенство Бернштейна для полиномов и ЦФЭТ по Lp-норме сле-
дует из случая p = \infty для полиномов. Из неравенства Бернштейна для ЦФЭТ в L2, кстати,
следует классическая теорема Винера – Пэли (см. [9, с. 89]).
2. Теорема типа Джексона (см. в п. 2) с линейными операторами в метрике Lp следует из
случая p = \infty .
Непериодические функции на прямой приближают, согласно С. Н. Бернштейну, ЦФЭТ.
Любая ЦФЭТ, ограниченная на \BbbR , является пределом последовательности тригонометриче-
ских полиномов, сходящейся равномерно на любом отрезке \BbbR (Б. М. Левитан) (см., например,
[10 – 13], [9], 4.2.8). В следующей лемме содержится переход от периодического случая к непе-
риодическому.
Обозначим через g\sigma , \sigma > 0, ограниченную на \BbbR ЦФЭТ \leq \sigma . Если g\sigma имеет период 2\pi , то
g\sigma = \tau [\sigma ] (полином).
Положим
A\sigma (f)\infty = inf
g\sigma
sup
\BbbR
\bigm| \bigm| f(x) - g\sigma (x)
\bigm| \bigm| .
Лемма ([9], 5.5.9). Пусть W — множество ограниченных непрерывных функций на \BbbR ,
замкнутое относительно сходимости почти всюду и преобразования подобия (если f \in W, то
и f\lambda \in W при \lambda > 0, где f\lambda (x) = f(\lambda x)). Пусть еще любая функция f \in W является пределом
последовательности периодических функций из W. Если, кроме того, имеется функция \varepsilon :
W \times (0,+\infty ) \mapsto \rightarrow (0,+\infty ) с двумя свойствами: \varepsilon (f\lambda , h) = \varepsilon (f, \lambda h) (h > 0) и из того, что fm \rightarrow
\rightarrow f при m \rightarrow \infty , следует, что \varepsilon (fm, h) \rightarrow \varepsilon (f, h), то из неравенства ET
n (f)\infty \leq \varepsilon
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
,
n \in \BbbN , для 2\pi -периодических функций из W следует, что для любой функции f \in W при \sigma > 0
A\sigma (f) \leq \varepsilon
\biggl(
f ;
1
\sigma
\biggr)
.
Следствия из периодического случая: 1) A\sigma
\bigl(
W r(\BbbR )
\bigr)
\infty =
Kr
\sigma r
, \sigma > 0, r \in \BbbN ; 2) A\sigma (C\omega )\infty =
=
1
2
\omega
\Bigl( \pi
\sigma
\Bigr)
, \sigma > 0.
Непосредственное доказательство первого соотношения см. в [10], а используя теорему
В. К. Дзядыка, убеждаемся, что это соотношение справедливо при любом r > 0 (с другой
константой вместо Kr ).
Второе равенство (а здесь речь идет о наилучшем приближении класса непрерывных функ-
ций с заданной выпуклой мажорантой \omega модулей непрерывности) для периодических функций
доказано Н. П. Корнейчуком. В приведенном виде — это теорема В. К. Дзядыка (см. [14]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
296 Р. М. ТРИГУБ
Отметим еще, что после работ А. А. Маркова и С. М. Никольского критерий наилучшего
приближения в L1 принял следующий окончательный вид.
Лемма ([9], 5.2.5). Пусть E — подпространство L1 и f \in L1 \setminus E. Для того чтобы
dist (f,E) = min
g\in E
\| f - g\| L1 =
\bigm\| \bigm\| f - g\ast
\bigm\| \bigm\|
L1
,
необходимо и достаточно, чтобы существовала функция h такая, что
| h| \leq 1, h(f - g\ast ) =
\bigm| \bigm| f - g\ast
\bigm| \bigm|
почти всюду и
\int
hg = 0 для всех g \in E. Кроме того, dist(f,E) =
\int
hg. Если дополнительно
f - g\ast \not = 0 почти всюду, то h = sign (f - g\ast ).
2. Приближение функций многочленами. Перейдем к прямым и обратным теоремам
теории приближений функций тригонометрическими и алгебраическими полиномами.
С. Н. Бернштейн доказал, что для 2\pi -периодических функций из Lip \alpha при \alpha \in (0, 1) и
средних арифметических сумм Фурье (сумм Фейера \sigma n)
max
x
\bigm| \bigm| f(x) - \sigma n(x)
\bigm| \bigm| = O
\biggl(
1
n\alpha
\biggr)
,
а при \alpha = 1 — O
\biggl(
lnn
n
\biggr)
(см. [5, с. 89] или [13, с. 236]).
Д. Джексон независимо, заменив квадрат ядра Дирихле D2
n в \sigma n на D4
n с соответствую-
щей нормировкой, получил, для Lip 1 (а это главный случай) порядок приближения O
\biggl(
1
n
\biggr)
(см. [10 – 13]). Отсюда легко вывести, используя функцию типа Стеклова, общую теорему
Джексона – Стечкина с модулем гладкости \omega r любого порядка (см., например, [9]). Есть другой
метод доказательства — метод мультипликаторов Фурье (см. [9], гл. 8). Как показано в [15],
порядок приближения \omega 2
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
один и тот же при D3
n и D4
n. Автором найден точный порядок
приближения для классических методов суммирования рядов Фурье (см. [12, 16]). В случае
функций многих переменных пришлось вводить специальные модули гладкости [17].
Если функция задана на отрезке
\bigl(
например, [ - 1, 1]
\bigr)
, то после стандартной замены x = cos t
функция становится 2\pi -периодической и четной (в общем, той же гладкости), а многочлен
(алгебраический полином) pn степени не выше n после замены x = cos t становится полином
\tau n. Получаем, например, что
En(f)\infty = min
pn
max
[ - 1,1]
\bigm| \bigm| f(x) - pn(x)
\bigm| \bigm| = O
\biggl(
1
n\alpha
\biggr)
, \alpha \in (0, 1),
тогда и только тогда, когда f(cos t) \in Lip \alpha или для любых x1 и x2 из [ - 1, 1]
\bigm| \bigm| f(x1) - f(x2)
\bigm| \bigm| \leq \gamma
\Biggl(
| x1 - x2|
| x1 - x2| +
\sqrt{}
1 - x21 +
\sqrt{}
1 - x22
\Biggr) \alpha
.
Существенно более общие подобные теоремы о приближении многочленами аналитических
функций на компактах с углами получены в статье [18].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ И ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ . . . 297
С. М. Никольский (1946 г.) доказал, что для f \in W 1[ - 1, 1] найдется последовательность
многочленов pn такая, что при x \in [ - 1, 1]
\bigm| \bigm| f(x) - pn(x)
\bigm| \bigm| \leq \pi
2
\surd
1 - x2
n
+O
\biggl(
lnn
n2
\biggr)
.
Здесь важна поточечная оценка (у концов отрезка приближение почти в два раза лучше) и
наименьшая возможная константа
\pi
2
= K1.
А. Ф. Тиман (1951 г.) получил общую теорему с модулем непрерывности \omega
\bigl(
f (r);h
\bigr) \Bigl(
\delta n(x) =
=
\surd
1 - x2/n+ 1/n2
\Bigr)
:
\bigm| \bigm| f(x) - pn(x)
\bigm| \bigm| \leq c(r)
\Biggl( \surd
1 - x2
n
+
1
n2
\Biggr) r
\omega
\bigl(
f (r); \delta n(x)
\bigr)
.
В. К. Дзядык (1956 г.) доказал обратную теорему при \omega (h) = h\alpha , \alpha \in (0, 1). Для этого
понадобилось доказать неравенство для производной pn типа Маркова – Бернштейна.
Более общую прямую теорему с модулем гладкости второго порядка \omega 2 доказали незави-
симо В. К. Дзядык и Г. Фрейд (1959 г.). Третье доказательство (см. в [11], 5.2.3).
Одновременное приближение функции и ее производных появилось в статье автора (1962 г.).
Общая прямая теорема с модулем гладкости \omega r любого порядка доказана Ю. А. Брудным [19]
(см. [9, 12, 13]).
Аппроксимативную характеристику класса \gamma W r[ - 1, 1], r \in \BbbN , см. в [20].
В 60-е годы прошлого века В. К. Дзядык, используя и развивая методы суммирования
рядов Фабера и новые неравенства для производных многочленов, доказал прямые и обратные
теоремы о приближении аналитических функций в областях с кусочно-гладкой границей [12,
с. 334 – 490]. Более общие теоремы см. в [21].
В. Н. Темляков (1981 г.) опустил множитель lnn в приведенной выше теореме С. М. Ни-
кольского (1946 г.).
Теорема [22]. Для любого r \in \BbbN существует такое c(r), что для любой функции f \in
\in W r[ - 1, 1] при n \geq r - 1 существует последовательность многочленов pn такая, что при
x \in [ - 1, 1] \bigm| \bigm| f(x) - pn(x)
\bigm| \bigm| \leq Kr
\Biggl( \surd
1 - x2
n+ 1
\Biggr) r
+ c(r)
\bigl( \surd
1 - x2
\bigr) r - 1
(n+ 1)r+1
.
При этом константу Kr нельзя заменить меньшей, а c(r) \geq cer, c > 0, r \in \BbbN .
В. П. Моторный [23] иным методом доказал подобный асимптотически точный результат
при нецелом r > 0 с константой Дзядыка и множителем lnn в остаточном члене, который в
его доказательстве опустить нельзя. Есть еще подобные результаты в интегральной метрике с
весом (см., например, [9, с. 248 – 249]). (См. также подобный результат для приближения того
же класса на полуоси целыми функциями конечной полустепени [24].)
Уже изучены многие ограничения в прямых теоремах теории приближений. Например,
односторонние приближения в интегральной метрике довольно давно применены в тауберовых
теоремах с остаточным членом.
Комонотонным приближениям (функция монотонная и приближающие полиномы монотон-
ны, функция и полиномы выпуклы и т. д.) посвящено много работ (см. гл. 7 в [25]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
298 Р. М. ТРИГУБ
Очевидно, что для f \in Cr[ - 1, 1], r \in \BbbZ +,
f(x) -
r\sum
\nu =0
f (\nu )(1)
\nu !
(x - 1)\nu =
( - 1)r+1
r!
1\int
x
(y - x)rdf (r)(y) =
1\int
- 1
hr,y(x)df
(r)(y),
hr,y(x) =
(x - y)r
2(r!)
\bigl(
sign (x - y) - 1
\bigr)
.
В. К. Дзядык первый хорошо приблизил hr,y (см. [12], гл. VII, r = 0). Для комонотонных
приближений этот результат использовали De Vore и Yu (см. [26] или [25]).
Теорема [27]. Для любых x \in [ - 1, 1] и y \in ( - 1, 1), r и s \in \BbbZ + и n \geq 2r + 1 существует
многочлен степени не выше n по x такой, что\bigm| \bigm| sign (x - y) - pn,y(x)
\bigm| \bigm| \leq
\leq c(r, s)
\left( 1 - x2
1 - x2 + 1 - y2 +
1
n2
| sign x - sign y|
\right)
r\biggl(
\delta n(y)
| x - y| + \delta n(y)
\biggr) s
,
\delta n(y) =
\sqrt{}
1 - y2
n
+
1
n2
.
(При r = 0 это неравенство получил В. К. Дзядык.)
Автором изучены прямые теоремы с различными ограничениями: кусочно-односторонние
приближения; одновременная аппроксимация с производными, интерполяцией и учетом поло-
жения точки; коэффициенты многочленов положительные, целые и др. (см. обзор [28]).
3. Геометрический критерий аналитичности функций. Известно, что аналитические
(голоморфные) функции на открытом плоском множестве можно определять по-разному: \BbbC -
дифференцируемость, условие Коши – Римана, теорема Коши – Мореры, представимость в
окрестности точки степенным рядом, конформность отображения (два свойства и даже одно).
Теорема В. К. Дзядыка [29]. Рассмотрим в \BbbR 3 три графика (поверхности)
z = u(x, y), z = v(x, y), z =
\sqrt{}
u2(x, y) + v2(x, y).
Для того чтобы одна из двух функций f = u + iv и f = u - iv была аналитической
в области D при непрерывно дифференцируемых u и v, необходимо и достаточно, чтобы
площади названных трех поверхностей над любой подобластью D были одинаковыми.
Необходимость проверяется с помощью формулы площади и условий Коши – Римана. Недав-
но доказано, что равенства площадей можно проверять лишь на подобных множествах одного
размера (например, фиксированный многоугольник). Подобное усиление получено и для тео-
ремы Мореры (см. [30]).
4. Некоторые нерешенные вопросы. 1. В 1962 г. получены общие прямые теоремы о при-
ближении многочленами с целыми коэффициентами на любом отрезке вещественной прямой
длины меньше четырех (см. также [31]). Есть и критерий аппроксимации такими многочлена-
ми на множествах \BbbC (С. Я. Альпер, 1964 г.). Но вот таких теорем типа Дзядыка нет, если не
считать случай квадрата 0 \leq Re z, Im z \leq 1 [32].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ И ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ . . . 299
2. Автор впервые (1965 г.) построил линейный полиномиальный оператор f \mapsto \rightarrow \tau n такой,
что при r \in \BbbN и f \in C(\BbbT )
\bigm\| \bigm\| f - \tau n(f)
\bigm\| \bigm\|
\infty \asymp \omega r
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
, n \in \BbbN
(двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими лишь от r).
При r = 1 — это суммы Бернштейна, а при r = 2 — Рогозинского (см., например, [12]
или [25]). При r \geq 3 полиномы Бернштейна – Стечкина не подходят для этого (в [16] найден
специальный модуль гладкости для них).
Следует указать специальный модуль непрерывности \omega \ast такой, что для любой f \in C(\BbbT )
при некоторой последовательности \varepsilon n \searrow 0, не зависящей от функции,
max
x
1
n+ 1
n\sum
k=0
\bigm| \bigm| f(x) - Sn(f ;x)
\bigm| \bigm| \asymp \omega \ast (\varepsilon n).
В непериодическом случае подобных результатов с учетом положения точки
\bigl(
например, с
\delta n(x)
\bigr)
нет, если не считать замечательный результат V. Totik [33] (см. также [13]) о многочленах
Бернштейна (с модулем гладкости Дитциана – Тотика).
3. В работе [34] исследуется вопрос о росте множителя c(r) в теореме Джексона. Тот же
вопрос касается теорем А. Ф. Тимана и Ю. А. Брудного (см. п. 2), а также оценки снизу.
Литература
1. De la Vallée Poussin. Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle. – Paris: Gautier-Villars, 1919. –
363 p.
2. Favard J. Application de la formule sommatoire d’Euler a la démonstration de quelques propriètes extremales des
integrales des fonctions periodiques ou presquepérivdiques // Mat. Tidskrift København, B. H. – 1936. – 4. – P. 81 – 94.
3. Favard J. Sur les meilleurs procedes d’approximation de certaines classes des fonctions par des polynomes
trigonométriques // Bull. Sci. Math. – 1937. – 61. – P. 207 – 224, 243 – 256.
4. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых
периодических функций // Докл. АН СССР. – 1937. – 15. – С. 107 – 111.
5. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. – М.: Изд-во АН СССР, 1954. – Т. 2. – 627 с.
6. Kolmogorov A. N. Zur Grössen Ordrung des Restgriedes Fourierischer Reichen differenzierbarer Funktionen // Ann.
Math. – 1935. – 36. – S. 321 – 326.
7. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, имеющих ограниченную s-ю
производную (0 < s < 1) // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1953. – 17, № 2. – С. 135 – 162.
8. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, определяемых интегралами от
линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Мат. заметки. – 1974. – 16, № 5. – С. 691–701.
9. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. — New York etc.: Springer, 2004. –
585 р.
10. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 408 с.
11. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
12. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука, 1977. – 512 с.
13. De Vore R. A., Lorentz G. G. Constructive approximation. – New York; Berlin: Springer, 1993. – 452 p.
14. Дзядык В. К. О точной верхней грани наилучшего приближения некоторых классов непрерывных функций,
определенных на вещественной оси // Доп. АН УССР. Сер. А. – 1975. – С. 589 – 592.
15. Trigub R. M. Exact order of approximation of periodic functions by linear polynomials operators // East J. Approxim. –
2009. – 15, № 1. – P. 31 – 56.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
300 Р. М. ТРИГУБ
16. Тригуб Р. М. Точный порядок приближения периодических функций полиномами Бернштейна – Стечкина //
Мат. сб. – 2013. – 204, № 12. – С. 127 – 146.
17. Тригуб Р. М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение поли-
номами функций на торе // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1980. – 44, № 6. – С. 1378 – 1409.
18. Дзядык В. К., Алибеков Г. А. О равномерном приближении функций комплексного переменного на замкнутых
множествах с углами // Мат. сб. – 1968. – 75, № 4. – С. 502 – 557.
19. Брудный Ю. А. Приближение функций алгебраическими многочленами // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1968. –
32, № 4. – С. 780 – 787.
20. Тригуб Р. М. Характеристика классов Липшица целого порядка на отрезке по скорости полиномиальной
аппроксимации // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. – 1973. – Вып. 18. – С. 63 – 70.
21. Andrievskii V. V., Belyi V. I., Dzyadyk V. K. Conformal invariants in constructive theory of functions of complex
variable. – Athlanta: World Federation Publ., 1995. – 199 p.
22. Тригуб Р. М. Прямые теоремы о приближении алгебраическими полиномами гладких функций на отрезке //
Мат. заметки. – 1993. – 54, № 6. – С. 113 – 121.
23. Моторный В. П. Приближение интегралов дробного порядка алгебраическими полиномами // Укр. мат. журн. –
1999. – 54, № 5. – С. 603 – 613; № 7. – С. 940 – 951.
24. Товстолис А. В. Приближение гладких функций на полуоси целыми функциями конечной полустепени // Мат.
заметки. – 2001. – 69, № 6. – С. 934 – 943.
25. Dzyadyk V. K., Shevchuk I. A. Theory of uniform approximation of functions by polinomials. – Berlin; New York:
Walter de Gruyter, 2008. – 480 p.
26. De Vore R. A., Yu X. M. Pointwise estimates for monotone polynomial approximation // Constr. Approxim. – 1985. –
1, № 4. – P. 323 – 331.
27. Тригуб Р. М. Приближение индикатора интервала алгебраическими полиномами с эрмитовской интерполяцией
в двух точках // Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 1999. – 4. – С. 186 – 194.
28. Trigub R. M. Approximation of functions by polynomials with various constraints // J. Contemp. Math. Anal. –
2009. – 44, № 4. – P. 230 – 242.
29. Дзядык В. К. Геометрическое определение аналитических функций // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 1. –
С. 191 – 194.
30. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – New York etc.: Springer, 2003. – 454 p.
31. Тригуб Р. М. Приближение гладких функций и констант многочленами с целыми и натуральными коэффи-
циентами // Мат. заметки. – 2001. – 70, № 1. – С. 123 – 136.
32. Волчков Вит. В. Приближение аналитических функций многочленами с целыми коэффициентами // Мат.
заметки. – 1996. – 59, № 2. – С. 182 – 186.
33. Totik V. Approximation by Bernstein polynomials // Amer. J. Math. – 1994. – 116, № 4. – P. 995 – 1018.
34. Foucat S., Kryakin Yu., Shadrin A. On the exact constant in Jackson – Stechkin inequality for the uniform metric //
arXiv:math/0612283v1[math CA]. – 2006.
Получено 25.09.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1439 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:21Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/524340a2acd435b96aecf0fc13ca7264.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14392019-12-05T08:54:43Z On the approximation of functions by polynomials and entire functions of exponential type О приближении функций полиномами и целыми функциями экспоненциального типа Trigub, R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. We present a brief survey of works in the approximation theory of functions known to the author and connected with V. K. Dzyadyk’s scientific publications. Наведено короткий огляд робiт з теорiї апроксимацiї функцiй, якi вiдомi автору та наближенi до наукових публiкацiй В. К. Дзядика. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1439 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 2 (2019); 293-300 Український математичний журнал; Том 71 № 2 (2019); 293-300 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1439/423 Copyright (c) 2019 Trigub R. M. |
| spellingShingle | Trigub, R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. On the approximation of functions by polynomials and entire functions of exponential type |
| title | On the approximation of functions by polynomials and entire functions
of exponential type |
| title_alt | О приближении функций полиномами и целыми функциями экспоненциального типа |
| title_full | On the approximation of functions by polynomials and entire functions
of exponential type |
| title_fullStr | On the approximation of functions by polynomials and entire functions
of exponential type |
| title_full_unstemmed | On the approximation of functions by polynomials and entire functions
of exponential type |
| title_short | On the approximation of functions by polynomials and entire functions
of exponential type |
| title_sort | on the approximation of functions by polynomials and entire functions
of exponential type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1439 |
| work_keys_str_mv | AT trigubrm ontheapproximationoffunctionsbypolynomialsandentirefunctionsofexponentialtype AT trigubrm ontheapproximationoffunctionsbypolynomialsandentirefunctionsofexponentialtype AT trigubrm ontheapproximationoffunctionsbypolynomialsandentirefunctionsofexponentialtype AT trigubrm opribliženiifunkcijpolinomamiicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipa AT trigubrm opribliženiifunkcijpolinomamiicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipa AT trigubrm opribliženiifunkcijpolinomamiicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipa |