On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces
Asymptotic estimates are obtained in the law of the iterated logarithm for the extreme values of a sequence of independent random variables in Banach spaces.
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1440 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507191778213888 |
|---|---|
| author | Akbash, K. S. Makarchuk, O. P. Акбаш, К. С. Макарчук, О. П. |
| author_facet | Akbash, K. S. Makarchuk, O. P. Акбаш, К. С. Макарчук, О. П. |
| author_sort | Akbash, K. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:55:13Z |
| description | Asymptotic estimates are obtained in the law of the iterated logarithm for the extreme values of a sequence of independent
random variables in Banach spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
К. С. Акбаш, О. П. Макарчук (Центральноукр. держ. пед. ун-т iм. В. Винниченка)
ПРО ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ
В БАНАХОВИХ IДЕАЛЬНИХ ПРОСТОРАХ
Asymptotic estimates are obtained in the law of the iterated logarithm for the extreme values of a sequence of independent
random variables in Banach spaces.
Отримано асимптотичнi оцiнки в законi повторного логарифма для екстремальних значень послiдовностi незалеж-
них випадкових величин у банахових просторах.
1. Вступ. Нехай \xi , \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть незалежних випадкових величин iз функцiєю
розподiлу F (x) i F має додатну похiдну F \prime (x) для всiх достатньо великих x, тобто iснує таке
число x0, що
F \prime (x) > 0 \forall x \in [x0; +\infty ]. (1)
Покладемо
zn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\xi i.
Закон повторного логарифма для схеми максимуму в одновимiрному випадку вивчався у ро-
ботах [1 – 3]. Вiдомо (див., наприклад, [1, 4]), що асимптотичнi властивостi послiдовностi (zn)
тiсно пов’язанi з асимптотикою функцiй
f(x) =
1 - F (x)
F \prime (x)
, g(x) = f(x) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl\{
1
1 - F (x)
\biggr\}
.
Так, у роботi [1] отримано такi асимптотичнi спiввiдношення для незалежних випадкових
величин майже напевно (м.н.):
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1, (2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 0, (3)
де
an = F - 1
\biggl(
1 - 1
n
\biggr)
,
F - 1(y) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
x : F (x) \geq y
\bigr\}
обернена до F (x),
при умовi, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
g\prime (x) = 0. (4)
У роботi [3] рiвнiсть (3) було уточнено до рiвностi
c\bigcirc К. С. АКБАШ, О. П. МАКАРЧУК, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3 303
304 К. С. АКБАШ, О. П. МАКАРЧУК
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= - 1.
У данiй статтi закон повторного логарифма (2), (3) поглиблено на банаховi iдеальнi про-
стори.
2. Асимптотичнi оцiнки для схеми максимуму в iдеальних банахових просторах. На-
ведемо кiлька основних означень.
Означення 1 [5, c. 1]. Частково впорядкований банахiв простiр B з нормою \| \cdot \| над полем
дiйсних чисел називається банаховою ґраткою, якщо виконуються умови:
(a) x \leq y \Rightarrow x+ z \leq y + z \forall x, y, z \in B;
(b) ax \geq 0 при a \geq 0, x \geq 0, x \in B, a \in \bfR 1;
(c) для будь-яких x, y \in B iснують точна верхня \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(x, y) i нижня \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(x, y) межi;
(d) | x| \leq | y| \Rightarrow \| x\| \leq \| y\| \forall x \in B, де | x| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(x, - x).
Важливим прикладом банахової ґратки є банахiв iдеальний простiр. Це банахiв простiр E
(класiв) вимiрних функцiй на вимiрному просторi (T,\Lambda , \mu ), де \mu — \sigma -скiнченна, \sigma -адитивна
мiра, для якої | x| \leq | y| майже скрiзь, i з того, що y належить E, випливає, що x належить E i
\| x\| \leq \| y\| . Поняття банахового iдеального простору близьке до поняття функцiйного простору
Кете з [5].
У банаховiй ґратцi поряд iз збiжнiстю за нормою можна розглядати порядкову збiжнiсть
(o-збiжнiсть).
Означення 2 [7, c. 365]. Послiдовнiсть елементiв (xn) банахової ґратки B називається
o-збiжною до елемента x:
x = o - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn,
якщо iснує така послiдовнiсть (vn) \in B, що
vn \downarrow 0, | x - xn| < vn,
тобто
v1 \geq v2 \geq . . . , \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\geq 1
vn = 0.
Для елементiв x1, x2, . . . , xn банахової ґратки B будемо вважати, що\Biggl(
n\sum
i=1
| xi| p
\Biggr) 1/p
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl(
n\sum
i=1
aixi :
n\sum
i=1
| ai| p
\prime \leq 1
\Biggr)
,
де
1
p
+
1
p\prime
= 1, p, p\prime > 1, (a1, . . . , an) \in \bfR n.
Кажуть, що банахова ґратка E є \sigma -повною, якщо для довiльної порядково обмеженої по-
слiдовностi xn \subset E у ґратцi E iснують верхня \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}n\geq 1 xn i нижня \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}n\geq 1 xn межi.
Для \sigma -повної ґратки E визначимо верхню i нижню границi обмеженої послiдовностi:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
xn = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
m
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq m
xn
\biggr)
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
xn = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
m
\biggl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\geq m
xn
\biggr)
.
Вiдомо також [7, 5], що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
xn = o - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq m
xn
\biggr)
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
xn = o - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\biggl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\geq m
xn
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ПРО ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ . . . 305
Означення 3. Нexай 1 \leq q < \infty . Банаxова ґратка B називається q-вгнутою, якщо iснує
така стала D(q) = D(q)(B), що для будь-якого n \in N i для будь-якиx елементiв (xi)
n
1 \subset B
\Biggl(
n\sum
i=1
\| xi\| q
\Biggr) 1/q
\leq D(q)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl(
n\sum
i=1
| xi| q
\Biggr) 1/q\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Операцiя
\Bigl( \sum n
i=1
| xi| q
\Bigr) 1/q
для банахового iдеального простору має звичайний поточковий
сенс.
Нехай E — банаховий iдеальний простiр iз нормою \| \cdot \| i модулем | \cdot | , X — випадковий
елемент, заданий на ймовiрнiсному просторi (\Omega , A, P ) iз значеннями в E, Xi — незалежнi ко-
пiї X. Будемо вважати, що X = \{ X(t), t \in T\} — випадковий процес, заданий на параметричнiй
множинi T, i його траєкторiї належать до E м. н.
Нехай
Zn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
Xi.
Припустимо, що
X(\omega , t) : \Omega \times T \rightarrow \bfR
зображується у виглядi
X(\omega , t) = \sigma (t) \widetilde X(\omega , t), (5)
де SX =
\bigl(
\sigma (t), t \in T
\bigr)
\in E i для всiх t \in T випадковi величини \widetilde X(\omega , t) мають однаковий
розподiл iз деякою випадковою величиною \xi , тобто
\bfP ( \widetilde X(\omega , t) < s) = \bfP (\xi < s) = F (s) \forall t \in T, s \in R.
Означення 4. Будемо говорити, що випадковий елемент X задовольняє закон повторного
логарифма для екстремальних значень, якщо м. н. виконуються рiвностi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
Zn - anSX
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= SX, (6)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
Zn - anSX
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 0. (7)
Теорема 1. Нехай X — випадковий елемент у q-вгнутому банаховому iдеальному просторi
E (1 \leq q < \infty ), який зображується у виглядi (5), Xn — його незалежнi, однаково розподiленi
копiї з абсолютно неперервною функцiєю розподiлу F (x), для якої виконується умова (1),
причому для функцiї
g(x) = f(x) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl\{
1
1 - F (x)
\biggr\}
виконується умова (4). Покладемо
\mu (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (x)
\biggr)
\forall x \in [x0; +\infty ]. (8)
Тодi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
306 К. С. АКБАШ, О. П. МАКАРЧУК
(i) якщо iснує таке t0 \in R, що функцiя \mu \prime (t) зростає на промiжку [t0; +\infty ], то викону-
ється рiвнiсть (6);
(ii) якщо iснує таке t0 \in R, що F (t0) = 0, F (t) > 0 \forall t > t0 i функцiя \mu \prime (t) спадає на
промiжку [t0; +\infty ], то виконується рiвнiсть (7).
Доведення. Використаємо такi допомiжнi твердження з роботи [6].
Лема 1. Нехай для послiдовностi (\xi n) незалежних, однаково розподiлених випадкових ве-
личин iз функцiєю розподiлу F (x) виконується умова (1). Покладемо
V1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n>n0
zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
(n0 : an \geq x0,\forall n > n0).
Якщо \mu (t) визначена формулою (8) i iснує таке t0 \in R, що функцiя \mu \prime (t) зростає на
промiжку [t0; +\infty ], то iснують додатнi сталi C3, C4 такi, що
\bfP (V1 > x) \leq C3e
- C4x \forall x \in [t\ast 0; +\infty ], (9)
де
t\ast 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x0; t0\} ,
зокрема
\bfE e\varepsilon V1 <\infty , (10)
якщо 0 < \varepsilon < C4 та iснує \gamma таке, що
F (x) = 0 \forall x \in [ - \infty ; \gamma ].
Лема 2. Нехай для послiдовностi (\xi n) незалежних, однаково розподiлених випадкових ве-
личин iз функцiєю розподiлу F (x) виконується умова (1). Покладемо
V2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n>n0
an - zn
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
.
Якщо \mu (t) визначена формулою (8), iснує t0 \in R таке, що F (t0) = 0, F (t) > 0 \forall t > t0 i
функцiя \mu \prime (t) спадає на промiжку [t0; +\infty ], то iснують такi додатнi сталi C5, C6, що
\bfP (V2 > x) \leq C5e
- C6x \forall x \in [t\ast \ast 0 ; +\infty ],
де
t\ast \ast 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x0; 3\} ,
зокрема
\bfE e\varepsilon V2 <\infty ,
якщо 0 < \varepsilon < C4.
Вiдомо [5, c. 83], що q-вгнута банахова ґратка має нижню q-оцiнку, отже, її норма \sigma -
повна i \sigma -порядково неперервна. Тому q-вгнутий банаховий iдеальний простiр має абсолютно
неперервну норму, а вiдповiдний банаховий iдеальний простiр на вимiрному просторi (T,\Lambda , \mu )
з \sigma -скiнченною мiрою \mu , який має абсолютно неперервну норму, буде сепарабельним. Для
скорочення запису будемо вважати, що \mu (T ) = 1.
В q-вгнутому банаховому iдеальному просторi норма порядково неперервна, тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ПРО ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ . . . 307
xn \downarrow 0 \Rightarrow \| xn\| \rightarrow 0,
а тому
x(t) = o - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn(t) \Rightarrow \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| x(t) - xn(t)
\bigm\| \bigm\| = 0. (11)
Для виконання рiвностей (11) достатньо перевiрити таку умову [7, с. 364]:
\mu
\Bigl(
t \in T : x(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
xn(t)
\Bigr)
= 1 (12)
й iснує такий y(t) \in E, що для n \geq 1
\mu
\bigl(
t \in T : | xn(t)| \leq y(t)
\bigr)
= 1.
Перевiримо рiвнiсть (6) (рiвнiсть (7) доводиться аналогiчно). Покладемо
Um(t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq m
Zn - an\sigma (t)
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
(m : an \geq x0,\forall n \geq m)
i покажемо, що
o - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
Um = S м. н.,
що еквiвалентно рiвностi (6).
Покажемо, що послiдовнiсть Um(t) задовольняє умову (12). Нагадаємо, що
Zn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
Xk,
i покладемо \widetilde Zn(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
\widetilde Xn(t).
Згiдно з рiвнiстю (2) для будь-якого t \in T
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\widetilde Zn(t) - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1 м. н.
Отже, для будь-якого t \in T
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
Zn(t) - an\sigma (t)
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= \sigma (t) м. н. (13)
Iз формули (13) випливає, що для будь-якого t \in T
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
Um(t) = \sigma (t) м. н.
Звiдси за теоремою Фубiнi маємо
\mu
\Bigl(
t \in T : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
Um(t) = \sigma (t)
\Bigr)
= 1 м. н.,
тобто умова (12) виконується при xn(t) = Un(t), xn(t) = \sigma (t).
Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
308 К. С. АКБАШ, О. П. МАКАРЧУК
\infty \sum
k
\bigl(
1 - F (ak)
\bigr)
=
\infty \sum
k
1 - P ( \widetilde X1 < ak) =
\infty \sum
k
1
k
= +\infty ,
то, як вiдомо з [8, c. 190],
\bfP (Zn(t) \geq an\sigma (t) н. ч.) = \bfP ( \~Zn(t) \geq an н. ч.) = 1,
де н. ч. означає нескiнченно часто.
Таким чином,
\bfP
\bigl(
Um(t) \geq 0
\bigr)
= 1 \forall t \in T,
а отже,
\mu
\bigl(
t \in T : Um(t) \geq 0
\bigr)
= 1 м. н.
Очевидно, що при k > m
\mu
\bigl(
t \in T : Uk(t) \leq U(t)
\bigr)
= 1 м. н., (14)
де
U(t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq m
Zn - an\sigma (t)
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
.
Тому залишилося довести нерiвнiсть
\bfE \| U\| q <\infty (15)
для заданого q-вгнутого банахового iдеального простору. Щоб довести (15), скористаємось
оцiнкою (10) i вiдомою оцiнкою з [9]\bigl(
\bfE \| Y (t)\| q
\bigr) 1/q \leq Dq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \bfE | Y (t)| q
\bigr) 1/q\bigm\| \bigm\| \bigm\| . (16)
Оцiнка (16) справедлива для кожного випадкового елемента Y (t) у q-вгнутому банаховому
iдеальному просторi при 1 \leq q.
Отримуємо
\bigl(
\bfE \| U\| q
\bigr) 1/q \leq Dq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \bfE | U(t)| q
\bigr) 1/q\bigm\| \bigm\| \bigm\| = Dq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl[
\bfE
\Biggl(
\sigma (t) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq m
\widetilde Zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
\Biggr) q\Biggr] 1/q\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
= Dq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sigma (t)
\Biggl(
\bfE
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq m
\widetilde Zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
\Biggr) q\Biggr) 1/q
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Оскiльки з оцiнки (10) випливає, що\Biggl(
\bfE
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq m
\widetilde Zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
\Biggr) q\Biggr) 1/q
= Cq <\infty ,
то \bigl(
\bfE \| U\| q
\bigr) 1/q \leq DqCq\| \sigma (t)\| <\infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ПРО ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ . . . 309
тобто виконується нерiвнiсть (15), а разом з нею (14) i (6). Зазначимо, що an \geq x0 при n \geq m
i вiдповiдно f(an) > 0 \forall n \geq m.
Лему 2 доведено.
Наведемо ряд розподiлiв, якi задовольняють вiдповiдну теорему.
Функцiя розподiлу
F1(x) = 1 - e - x\alpha
, x \in [0; +\infty ],
задовольняє рiвнiсть (6) при \alpha > 1 i умову (7) при \alpha < 1.
Функцiя розподiлу
F2(x) = 1 - e - \lambda x, x \in [0; +\infty ],
задовольняє рiвностi (6) i (7) одночасно при \lambda = 1.
Якщо \xi — стандартна нормальна випадкова величина з функцiєю розподiлу
\Phi (x) =
x\int
- \infty
\varphi (s) ds
та щiльнiстю
\varphi (s) =
1\surd
2\pi
e -
s2
2 ,
то
an = \Phi - 1
\biggl(
1 - 1
n
\biggr)
= (2 \mathrm{l}\mathrm{n}n)1/2 - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n+ \mathrm{l}\mathrm{n}(4\pi ) + o(1)
2(2 \mathrm{l}\mathrm{n}n)1/2
,
\psi \prime (x) =
\varphi (x)
1 - \Phi (x)
= c(x)x,
де c(x) \rightarrow 1 при x\rightarrow \infty . Оскiльки \psi \prime (x) є зростаючою, то справджується рiвнiсть (6).
Лiтература
1. de Haan L., Hordijk A. The rate of growth of sample maxima // Ann. Math. Statist. – 1972. – 43. – P. 1185 – 1196.
2. Pickands J. Sample sequences of maxima //Ann. Math. Statist. – 1967. – 38, № 5. – P. 1570 – 1574.
3. Акбаш К. С., Мацак I. К. Одне уточнення закону повторного логарифма для схеми максимуму // Укр. мат.
журн. – 2012. – 64, № 8. – С. 1132 – 1137.
4. von Mises R. La distribution de la plus grande de n valeurs // Selected Papers II. – Amer. Math.Soc., 1936. –
P. 271 – 294.
5. Lindenstraus J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. – Berlin etc.: Springer, 1979. – Vol. 2. – 243 p.
6. Акбаш К. С. Експоненцiальнi оцiнки для схеми максимуму // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 7. – С. 984 – 991.
7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 752 с.
8. Галамбош Я. И. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. – М.: Наука, 1984. – 304 c.
9. Мацак I. К., Плiчко А. М. Про максимуми незалежних випадкових елементiв у функцiйнiй банаховiй гратцi //
Теорiя ймовiрностей i мат. статистика. – 1999. – Вип. 61. – С. 105 – 116.
Одержано 27.10.17,
пiсля доопрацювання — 29.10.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1440 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:24Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/1f06f6b51df8841c1676a426286e8184.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14402019-12-05T08:55:13Z On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces Про закон повторного логарифма для схеми максимуму в банахових ідеальних просторах Akbash, K. S. Makarchuk, O. P. Акбаш, К. С. Макарчук, О. П. Asymptotic estimates are obtained in the law of the iterated logarithm for the extreme values of a sequence of independent random variables in Banach spaces. Отримано асимптотичнi оцiнки в законi повторного логарифма для екстремальних значень послiдовностi незалежних випадкових величин у банахових просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1440 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 3 (2019); 303-309 Український математичний журнал; Том 71 № 3 (2019); 303-309 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1440/424 Copyright (c) 2019 Akbash K. S.; Makarchuk O. P. |
| spellingShingle | Akbash, K. S. Makarchuk, O. P. Акбаш, К. С. Макарчук, О. П. On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces |
| title | On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces |
| title_alt | Про закон повторного логарифма для схеми максимуму
в банахових ідеальних просторах |
| title_full | On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces |
| title_fullStr | On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces |
| title_full_unstemmed | On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces |
| title_short | On the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in Banach ideal spaces |
| title_sort | on the law of the iterated logarithm for the maximum scheme in banach ideal spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1440 |
| work_keys_str_mv | AT akbashks onthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumschemeinbanachidealspaces AT makarchukop onthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumschemeinbanachidealspaces AT akbašks onthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumschemeinbanachidealspaces AT makarčukop onthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumschemeinbanachidealspaces AT akbashks prozakonpovtornogologarifmadlâshemimaksimumuvbanahovihídealʹnihprostorah AT makarchukop prozakonpovtornogologarifmadlâshemimaksimumuvbanahovihídealʹnihprostorah AT akbašks prozakonpovtornogologarifmadlâshemimaksimumuvbanahovihídealʹnihprostorah AT makarčukop prozakonpovtornogologarifmadlâshemimaksimumuvbanahovihídealʹnihprostorah |