Multidimensional associated fractions with independent variables and multiple power series
We establish the conditions of existence and uniqueness of a multidimensional associated fraction with independent variables corresponding to a given formal multiple power series and deduce explicit relations for the coefficients of this fraction. The relationship between the multidimensional associ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1442 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507195875000320 |
|---|---|
| author | Bodnar, D. I. Dmytryshyn, R. I. Боднар, Д. І. Дмитришин, Р. І. |
| author_facet | Bodnar, D. I. Dmytryshyn, R. I. Боднар, Д. І. Дмитришин, Р. І. |
| author_sort | Bodnar, D. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:55:13Z |
| description | We establish the conditions of existence and uniqueness of a multidimensional associated fraction with independent variables
corresponding to a given formal multiple power series and deduce explicit relations for the coefficients of this fraction.
The relationship between the multidimensional associated fraction and the multidimensional $J$ -fraction with independent
variables is demonstrated. The convergence of the multidimensional associated fraction with independent variables is
investigated in some domains of the space $C^N$. The expansions of some functions into the corresponding two-dimensional
associated fraction with independent variables are constructed and the efficiency of approaching of the obtained expansions
by approximants is shown. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.524
Д. I. Боднар (Тернопiл. нац. економ. ун-т),
Р. I. Дмитришин (Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ)
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ
З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ
We establish the conditions of existence and uniqueness of a multidimensional associated fraction with independent variables
corresponding to a given formal multiple power series and deduce explicit relations for the coefficients of this fraction.
The relationship between the multidimensional associated fraction and the multidimensional J -fraction with independent
variables is demonstrated. The convergence of the multidimensional associated fraction with independent variables is
investigated in some domains of the space \BbbC N . The expansions of some functions into the corresponding two-dimensional
associated fraction with independent variables are constructed and the efficiency of approaching of the obtained expansions
by approximants is shown.
Встановлено умови iснування й єдиностi багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними, вiдповiд-
ного до заданого формального кратного степеневого ряду, знайдено явнi формули обчислення коефiцiєнтiв такого
дробу i показано його зв’язок iз багатовимiрним J -дробом iз нерiвнозначними змiнними. Дослiджено збiжнiсть
багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними в деяких областях простору \BbbC N . Побудовано
розвинення деяких функцiй у вiдповiдний двовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнними i показано
ефективнiсть наближення пiдхiдними дробами отриманих розкладiв.
1. Вступ. При наближеннi аналiтичних функцiй багатьох змiнних, якi зображенi формальними
кратними степеневими рядами, гiллястими ланцюговими дробами використовується принцип
вiдповiдностi. Загальну теорiю вiдповiдностi розроблено i викладено у монографiї
[1, с. 148–160].
Принцип вiдповiдностi тiсно пов’язує аналiтичну теорiю неперервних дробiв iз таблицями
Паде, якi введено у статтi [2]. Дослiдженню збiжностi апроксимацiй Паде присвячено роботи
А. О. Гончара, О. I. Аптєкарєва, В. I. Буслаєва, С. П. Суєтiна, О. А. Пекарського, Є. М. Нiкi-
шина, Є. А. Рахманова, В. М. Русака, Є. О. Ровби та iн. В. К. Дзядик [3] запропонував метод
узагальнених моментних зображень для побудови i вивчення рацiональних апроксимацiй Паде
аналiтичних i спецiальних функцiй. Цей метод А. П. Голуб застосував для побудови i дослiджен-
ня сумiсних апроксимацiй Паде, апроксимацiй Паде – Чебишова, Паде – Ермiта i двоточкових
апроксимацiй Паде [4].
У цiй статтi дослiджуються питання вiдповiдностi гiллястих ланцюгових дробiв iз нерiвно-
значними змiнними, якi за своєю структурою є багатовимiрним аналогом кратних степеневих
рядiв. Дроби такого виду введено в роботi [5] у зв’язку iз дослiдженням збiжностi гiллястих
ланцюгових дробiв iз додатними елементами для встановлення аналога критерiю Зейделя збiж-
ностi неперервних дробiв. У випадку двох гiлок розгалуження у статтi [6] встановлено оцiнку
наближення функцiї такими дробами при виконаннi умов типу Слешинського – Прiнгсгейма,
а в [7] застосовано такi дроби до задач iнтерполяцiї функцiй двох змiнних. Подальше дослi-
дження у випадку фiксованих значень змiнних — гiллястих ланцюгових дробiв спецiального
вигляду — отримало продовження у роботах Т. М. Антонової, О. Є. Баран, М. М. Бубняк, в
яких дослiджено властивостi та збiжнiсть таких дробiв.
У статтi [8] запропоновано алгоритм побудови багатовимiрного C -дробу, вiдповiдного до
формального кратного степеневого ряду. Цей алгоритм застосовано у роботi [9] при побудовi
c\bigcirc Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3 325
326 Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН
вiдповiдного i приєднаного гiллястих ланцюгових дробiв iз нерiвнозначними змiнними до фор-
мального кратного степеневого ряду. Вiдповiднiсть двовимiрних приєднаних дробiв iз нерiвно-
значними змiнними дослiджено у статтi [10], де побудовано алгоритм розвинення формального
подвiйного степеневого ряду у вiдповiдний двовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними
змiнними i показано його зв’язок iз двовимiрним J -дробом iз нерiвнозначними змiнними. При
цьому використано рiзнi пiдходи до побудови згаданих вище алгоритмiв, i, як наслiдок, рiзнi
умови їхнього iснування та структур побудованих дробiв.
Метою даної статтi є вивчення вiдповiдностi багатовимiрних приєднаних дробiв iз нерiвно-
значними змiнними
1 +
N\sum
i1=1
ai(1)zi1
1 + bi(1)zi1 +
i1\sum
i2=1
( - 1)\delta i1,i2ai(2)zi1zi2
1 + bi(2)zi2 +
i2\sum
i3=1
( - 1)\delta i2,i3ai(3)zi2zi3
1 + bi(3)zi3 +
. . . , (1)
де N — фiксоване натуральне число, ai(k), bi(k), i(k) \in \scrI k, k \geq 1, — комплекснi числа,
\scrI k =
\bigl\{
i(k) : i(k) = (i1, i2, . . . , ik), 1 \leq ip \leq ip - 1, 1 \leq p \leq k, i0 = N
\bigr\}
,
ai(k) \not = 0 для всiх i(k) \in \scrI k, k \geq 1, \delta i,j — символ Кронекера, \bfz = (z1, z2, . . . , zN ) \in \BbbC N , з
метою побудови алгоритму розвинення формального кратного степеневого ряду
L(\bfz ) =
\sum
| m(N)| \geq 0
cm(N)\bfz
m(N), (2)
де cm(N) — комплекснi числа, m(N) = (m1,m2, . . . ,mN ), mp \in \BbbZ +, 1 \leq p \leq N, | m(N)| =
= m1 + m2 + . . . + mN , 0(N) = (0, 0, . . . , 0), c0(N) = 1, \bfz m(N) = zm1
1 zm2
2 . . . zmN
N , \bfz \in \BbbC N ,
у вiдповiдний багатовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнними для наближення
аналiтичних функцiй багатьох змiнних, якi зображенi кратними степеневими рядами. Крiм цьо-
го, продовжено дослiдження збiжностi багатовимiрних приєднаних дробiв iз нерiвнозначними
змiнними, розпочате в роботi [15].
2. Вiдповiднiсть багатовимiрних приєднаних дробiв iз нерiвнозначними змiнними. Не-
хай \scrL — множина всiх формальних кратних степеневих рядiв вигляду (2). Очевидно, що ця
множина утворює кiльце з одиницею вiдносно операцiй додавання i множення рядiв. Зада-
мо вiдображення \lambda : \scrL \rightarrow \BbbZ + \cup \{ \infty \} за таким правилом: \lambda (L(\bfz )) = \infty , якщо L(\bfz ) \equiv 0;
\lambda (L(\bfz )) = n, якщо L(\bfz ) \not \equiv 0, де n — найменший степiнь однорiдних полiномiв, для яких
cm(N) \not = 0, тобто n = | m(N)| .
Розглянемо послiдовнiсть рацiональних функцiй fn(\bfz ) = Pmn(\bfz )/Qln(\bfz ), n \geq 1, де Pmn(\bfz )
i Qln(\bfz ) — полiноми степеня mn i ln вiдповiдно, \bfz \in \BbbC N , причому Qln(0, 0, . . . , 0) \not = 0.
Послiдовнiсть \{ fn(\bfz )\} вiдповiдна до ряду (2) в точцi \bfz = (0, 0, . . . , 0), якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\lambda
\bigl(
L(\bfz ) - L
\bigl(
fn(\bfz )
\bigr) \bigr)
= +\infty ,
де L(fn(\bfz )) — розвинення функцiї fn(\bfz ) у ряд Тейлора в точцi \bfz = (0, 0, . . . , 0). Порядок
вiдповiдностi fn(\bfz ) визначається формулою \nu n = \lambda
\bigl(
L(\bfz ) - L(fn(\bfz ))
\bigr)
. Це означає, що розви-
нення fn(\bfz ) у формальний кратний степеневий ряд збiгається з L(\bfz ) за всiма однорiдними
полiномами до степеня \nu n - 1 включно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ 327
Нехай
gn(\bfz ) = 1 +
N\sum
i1=1
ai(1)zi1
1 + bi(1)zi1 +
i1\sum
i2=1
( - 1)\delta i1,i2ai(2)zi1zi2
1 + bi(2)zi2 +
. . .
+
in - 1\sum
in=1
( - 1)\delta in - 1,inai(n)zin - 1zin
1 + bi(n)zin
— n-й пiдхiдний дрiб багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1),
n \geq 1. Вiдповiднiсть багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1) до
формального кратного степеневого ряду (2) означає, що послiдовнiсть \{ gn(\bfz )\} є вiдповiдною
до L(\bfz ).
Теорема 1. Для багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1) iснує
єдиний формальний кратний степеневий ряд вигляду (2), до якого цей дрiб буде вiдповiдним.
Порядок вiдповiдностi n-го пiдхiдного дробу gn(\bfz ) дорiвнює \nu n = 2n + 1, n \geq 1, i, отже,
розвинення gn(\bfz ) у ряд Тейлора в точцi \bfz = (0, 0, . . . , 0) має вигляд
L(gn(\bfz )) =
2n\sum
| m(N)| =0
cm(N)\bfz
m(N) +
\sum
| m(N)| \geq 2n+1
\gamma
(n)
m(N)\bfz
m(N), n \geq 1,
де \gamma
(n)
m(N) \in \BbbC , | m(N)| \geq 2n+ 1, n \geq 1, \bfz \in \BbbC N .
Доведення можна провести за схемою доведення теореми 1 [11].
3. Алгоритм побудови вiдповiдного багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнознач-
ними змiнними. Побудуємо та дослiдимо алгоритм розвинення формального кратного сте-
пеневого ряду (2) у вiдповiдний багатовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнни-
ми (1).
Нехай e0 = ei(0) = (0, 0, . . . , 0), er = (\delta r,1, \delta r,2, . . . , \delta r,N ) — мультиiндекс, \delta r,s — символ
Кронекера, 1 \leq r, s \leq N. Введемо множини мультиiндексiв
\scrE k =
\bigl\{
ei(k) : ei(k) = ei1,i2,...,ik = ei1 + ei2 + . . .+ eik , i(k) \in \scrI k
\bigr\}
, k \geq 1,
i вiдображення \varphi : \scrI k \rightarrow \scrE k таке, що \varphi (i(k)) = ei(k) для всiх i(k) \in \scrI k, k \geq 1. Можна показати,
що вiдображення \varphi є бiєктивним.
Позначимо pei(k) = ai(k), qei(k) = bi(k), ei(k) \in \scrE k, i(k) \in \scrI k, k \geq 1. Тодi багатовимiрний
приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнними (1) можна записати так:
1 +
N\sum
i1=1
pei(1)zi1
1 + qei(1)zi1 +
i1\sum
i2=1
( - 1)\delta i1,i2pei(2)zi1zi2
1 + qei(2)zi2 +
i2\sum
i3=1
( - 1)\delta i2,i3pei(3)zi2zi3
1 + qei(3)zi3 +
. . . . (3)
Формальний кратний степеневий ряд (2) за умови, що cm(N) \not = 0, | m(N)| = 1, запишемо у
виглядi
L(\bfz ) = 1 + Pe0(z1) +
N\sum
i1=2
cei(1)zi1Rei(1)(\bfz ),
де
Pe0(z1) =
\infty \sum
n=1
cne1z
n
1 , Rei(1)(\bfz ) =
\sum
| m(N)| \geq 0
mi=0, i1+1\leq i\leq N
cm(N)+ei(1)
cei(1)
\bfz m(N).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
328 Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН
Нехай
Hei(1)(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
cei(1) c2ei(1) . . . cnei(1)
c2ei(1) c3ei(1) . . . c(n+1)ei(1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cnei(1) c(n+1)ei(1) . . . c(2n - 1)ei(1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\not = 0, n \geq 1, (4)
при i1 = 1 (зауважимо, що He1(n) — визначник Ганкеля, пов’язаний iз формальним степеневим
рядом Pe0(z1)). Тодi згiдно з теоремою 7.14 [1, с. 244 – 248] iснують числа pne1 , qne1 , n \geq 1,
такi, що pne1 \not = 0, n \geq 1, i
1 +
\infty \sum
n=1
cne1z
n
1 \sim 1 +
pe1z1
1 + qe1z1 -
p2e1z
2
1
1 + q2e1z1 -
p3e1z
2
1
1 + q3e1z1 -
. . . = 1 + Fe0(z1),
де символ \sim означає вiдповiднiсть мiж формальним степеневим рядом i неперервним дробом.
Коефiцiєнти pne1 i qne1 , n \geq 1, обчислюються за формулами
pnei(1) =
Hei(1)(n)Hei(1)(n - 2)\bigl(
Hei(1)(n - 1)
\bigr) 2 , qnei(1) =
\chi ei(1)(n - 1)
Hei(1)(n - 1)
-
\chi ei(1)(n)
Hei(1)(n)
, n \geq 1, (5)
де Hei(1)( - 1) = Hei(1)(0) = 1, \chi ei(1)(0) = 0, \chi ei(1)(1) = c2ei(1) ,
\chi ei(1)(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
cei(1) c2ei(1) . . . c(n - 1)ei(1) c(n+1)ei(1)
c2ei(1) c3ei(1) . . . cnei(1) c(n+2)ei(1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cnei(1) c(n+1)ei(1) . . . c(2n - 2)ei(1) c2nei(1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, (6)
при i1 = 1.
Таким чином, можемо записати
L(\bfz ) \sim 1 + Fe0(z1) +
N\sum
i1=2
cei(1)zi1Rei(1)(\bfz ).
Нехай i1 — довiльне натуральне число, причому 2 \leq i1 \leq N, i Hei(1)(n) \not = 0, n \geq 1, де
Hei(1)(n), n \geq 1, визначаються формулами (4). Тодi згiдно з теоремою 7.14 [1, с. 244 – 248]
iснують числа p\prime nei(1) , q
\prime
nei(1)
, n \geq 1, такi, що p\prime nei(1) \not = 0, n \geq 1, i
\infty \sum
n=1
cnei(1)z
n
i1 \sim
p\prime ei(1)zi1
1 + q\prime ei(1)zi1 -
p\prime 2ei(1)z
2
i1
1 + q\prime 2ei(1)zi1 -
p\prime 3ei(1)z
2
i1
1 + q\prime 3ei(1)zi1 -
. . . .
Коефiцiєнти p\prime nei(1) , q
\prime
nei(1)
, n \geq 1, обчислюються за формулами
p\prime nei(1) =
Hei(1)(n)Hei(1)(n - 2)\bigl(
Hei(1)(n - 1)
\bigr) 2 , q\prime nei(1) =
\chi ei(1)(n - 1)
Hei(1)(n - 1)
-
\chi ei(1)(n)
Hei(1)(n)
, n \geq 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ 329
де Hei(1)( - 1) = Hei(1)(0) = 1, \chi ei(1)(0) = 0, \chi ei(1)(1) = c2ei(1) , а Hei(1)(n) i \chi ei(1)(n) визнача-
ються вiдповiдно формулами (4) i (6).
Позначимо через
R\prime
ei(1)
(\bfz ) =
\sum
| m(N)| \geq 0
mi=0, i1+1\leq i\leq N
c
ei(1)
m(N)\bfz
m(N) (7)
формальний кратний степеневий ряд, обернений до Rei(1)(\bfz ). Коефiцiєнти формального крат-
ного степеневого ряду (7) однозначно визначаються за допомогою рекурентних формул
c
ei(1)
m(N) = -
| m(N)| \sum
| r(N)| =1
c
ei(1)
m(N) - r(N)
cr(N)+ei(1)
cei(1)
, mi = 0, i1 + 1 \leq i \leq N, | m(N)| \geq 1,
де c
ei(1)
0(N) = 1, причому c
ei(1)
m(N) = 0, якщо iснує iндекс i, 1 \leq i \leq N, такий, що mi < 0.
Формальний кратний степеневий ряд (7) за умов, що c
ei(1)
ei(2) \not = 0, 1 \leq i2 \leq i1, i
c
ei(k)
neik+1
= 0, 1 \leq ik+1 \leq ik - 1, n \geq 1, (8)
при k = 1 можна записати у виглядi
R\prime
ei(1)
(\bfz ) = 1 + c
ei(1)
ei(1)zi1 + zi1Pei(1)(z1) +
i1\sum
i2=2
c
ei(1)
ei(2)zi1zi2Rei(2)(\bfz ),
де
Pei(1)(z1) =
\infty \sum
n=1
c
ei(1)
ei(1)+ne1z
n
1 , Rei(2)(\bfz ) =
\sum
| m(N)| \geq 0
mi=0, i2+1\geq i\leq N
c
ei(1)
m(N)+ei(2)
c
ei(1)
ei(2)
\bfz m(N).
Тодi Rei(1)(\bfz ) запишемо у виглядi
Rei(1)(\bfz ) =
\Biggl(
1 + c
ei(1)
ei(1)zi1 + zi1Pei(1)(z1) +
i1\sum
i2=2
c
ei(1)
ei(2)zi1zi2Rei(2)(\bfz )
\Biggr) - 1
.
Оскiльки cei(1) = p\prime ei(1) , c
ei(1)
ei(1) = - c2ei(1)/cei(1) = q\prime ei(1) , то покладемо pei(1) = p\prime ei(1) i qei(1) = q\prime ei(1) .
Таким чином,
L(\bfz ) \sim 1 + Fe0(z1) +
N\sum
i1=2
pei(1)zi1
1 + qei(1)zi1 + zi1Pei(1)(z1) +
i1\sum
i2=2
c
ei(1)
ei(2)zi1zi2Rei(2)(\bfz ).
Далi, нехай i1 — довiльне натуральне число, причому 2 \leq i1 \leq N, i
H
ei(k)
eik,ik+1
(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
c
ei(k)
eik,ik+1
c
ei(k)
eik+2eik+1
. . . c
ei(k)
eik+neik+1
c
ei(k)
eik+2eik+1
c
ei(k)
eik+3eik+1
. . . c
ei(k)
eik+(n+1)eik+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
ei(k)
eik+neik+1
c
ei(k)
eik+(n+1)eik+1
. . . c
ei(k)
eik+(2n - 1)eik+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\not = 0, n \geq 1, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
330 Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН
при k = 1, i2 = 1. Тодi згiдно з теоремою 7.14 [1, с. 244 – 248] iснують числа pei(1)+ne1 i
qei(1)+ne1 , n \geq 1, такi, що pei(1)+ne1 \not = 0, n \geq 1, i
\infty \sum
n=1
c
ei(1)
ei(1)+ne1z
n
1 \sim
pei(1)+e1z1
1 + qei(1)+e1z1 -
pei(1)+2e1z
2
1
1 + qei(1)+2e1z1 -
pei(1)+3e1z
2
1
1 + qei(1)+3e1z1 -
. . . = Fei(1)(z1).
Коефiцiєнти pei(1)+ne1 i qei(1)+ne1 , n \geq 1, обчислюються за формулами
pei(k)+neik+1
=
H
ei(k)
eik,ik+1
(n)H
ei(k)
eik,ik+1
(n - 2)\bigl(
H
ei(k)
eik,ik+1
(n - 1)
\bigr) 2 , qei(k)+neik+1
=
\chi
ei(k)
eik,ik+1
(n - 1)
H
ei(k)
eik,ik+1
(n - 1)
-
\chi
ei(k)
eik,ik+1
(n)
H
ei(k)
eik,ik+1
(n)
,
(10)
де n \geq 1, H
ei(k)
eik,ik+1
( - 1) = H
ei(k)
eik,ik+1
(0) = 1, \chi
ei(k)
eik,ik+1
(0) = 0, \chi
ei(k)
eik,ik+1
(1) = c
ei(k)
eik+2eik+1
,
\chi
ei(k)
eik,ik+1
(n) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
c
ei(k)
eik,ik+1
c
ei(k)
eik+2eik+1
. . . c
ei(k)
eik+(n - 1)eik+1
c
ei(k)
eik+(n+1)eik+1
c
ei(k)
eik+2eik+1
c
ei(k)
eik+3eik+1
. . . c
ei(k)
eik+neik+1
c
ei(k)
eik+(n+2)eik+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
ei(k)
eik+neik+1
c
ei(k)
eik+(n+1)eik+1
. . . c
ei(k)
eik+(2n - 2)eik+1
c
ei(k)
eik+2neik+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, (11)
при k = 1, i2 = 1.
Таким чином,
L(\bfz ) \sim 1 + Fe0(z1) +
N\sum
i1=2
pei(1)zi1
1 + qei(1)zi1 + zi1Fei(1)(z1) +
i1\sum
i2=2
c
ei(1)
ei(2)zi1zi2Rei(2)(\bfz ).
Нехай i2 — довiльне натуральне число, причому 2 \leq i2 \leq i1 - 1, i H
ei(1)
ei(2) (n) \not = 0, n \geq 1,
де H
ei(1)
ei(2) (n), n \geq 1, визначаються формулами (9) при k = 1. Тодi згiдно з теоремою 7.14
[1, с. 244 – 248] iснують числа p\prime ei(1)+nei2
i q\prime ei(1)+nei2
, n \geq 1, такi, що p\prime ei(1)+nei2
\not = 0, n \geq 1, i
\infty \sum
n=1
c
ei(1)
ei(1)+nei2
zni2 \sim
p\prime ei(2)zi2
1 + q\prime ei(2)zi2 -
p\prime ei(1)+2ei2
z2i2
1 + q\prime ei(1)+2ei2
zi2 -
p\prime ei(1)+3ei2
z2i2
1 + q\prime ei(1)+3ei2
zi2 -
. . . .
Коефiцiєнти p\prime ei(1)+nei2
i q\prime ei(1)+nei2
, n \geq 1, обчислюються за формулами
p\prime ei(1)+nei2
=
H
ei(1)
ei(2) (n)H
ei(1)
ei(2) (n - 2)\bigl(
H
ei(1)
ei(1) (n - 1)
\bigr) 2 , q\prime ei(1)+nei2
=
\chi
ei(1)
ei(2)(n - 1)
H
ei(1)
ei(2) (n - 1)
-
\chi
ei(1)
ei(2)(n)
H
ei(1)
ei(2) (n)
, n \geq 1,
де H
ei(1)
ei(2) ( - 1) = H
ei(1)
ei(2) (0) = 1, \chi
ei(1)
ei(2)(0) = 0, \chi
ei(1)
ei(2)(1) = c
ei(1)
2ei2
, а H
ei(1)
ei(2) (n) i \chi
ei(1)
ei(2)(n) визнача-
ються вiдповiдно формулами (9) i (11) при k = 1.
Позначимо через
R\prime
ei(2)
(\bfz ) =
\sum
| m(N)| \geq 0
mi=0, i2+1\leq i\leq N
c
ei(2)
m(N)\bfz
m(N) (12)
формальний кратний степеневий ряд, обернений до Rei(2)(\bfz ). Коефiцiєнти формального крат-
ного степеневого ряду (12) однозначно визначаються за допомогою рекурентних формул
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ 331
c
ei(k)
m(N) = -
| m(N)| \sum
| r(N)| =1
c
ei(k)
m(N) - r(N)
c
ei(k - 1)
r(N)+eik - 1,ik
c
ei(k - 1)
eik - 1,ik
, mi = 0, ik + 1 \leq i \leq N, | m(N)| \geq 1, (13)
де c
ei(k)
0(N) = 1, причому c
ei(k)
m(N) = 0, якщо iснує iндекс i, 1 \leq i \leq N, такий, що mi < 0, при
k = 2. Формальний кратний степеневий ряд (12) за умов (8) при k = 2 i за умов c
ei(2)
ei2,i3
\not = 0,
1 \leq i3 \leq i2, запишемо у виглядi
R\prime
ei(2)
(\bfz ) = 1 + c
ei(2)
ei2
zi2 + zi2Pei(2)(z1) +
i2\sum
i3=2
c
ei(2)
ei2,i3
zi2zi3Rei(3)(\bfz ),
де
Pei(2)(z1) =
\infty \sum
n=1
c
ei(2)
ei2+ne1z
n
1 , Rei(3)(\bfz ) =
\sum
| m(N)| \geq 0
mi=0, i3+1\geq i\leq N
c
ei(2)
m(N)+ei2,i3
c
ei(2)
ei2,i3
\bfz m(N).
Тодi Rei(2)(\bfz ) можна записати так:
Rei(2)(\bfz ) =
\Biggl(
1 + c
ei(2)
ei2
zi2 + zi2Pei(2)(z1) +
i2\sum
i3=2
c
ei(2)
ei2,i3
zi2zi3Rei(3)(\bfz )
\Biggr) - 1
.
Оскiльки
c
ei(1)
ei(2) = p\prime ei(2) , c
ei(2)
ei2
= -
c
ei(1)
ei2+ei(2)
c
ei(1)
ei(2)
= q\prime ei(2) ,
c
ei(1)
2ei(1)
= -
c
ei(1)
ei(1)c2ei(1) + c3ei2
cei(1)
= -
c3ei(1)cei(1) -
\bigl(
c2ei(1)
\bigr) 2\bigl(
cei(1)
\bigr) 2 = - p\prime 2ei(1) ,
c
2ei(1)
ei(1) = -
c
ei(1)
3ei(1)
c
ei(1)
2ei(1)
= -
c
ei(1)
2ei(1)
c2ei(1) + c
ei(1)
ei(1)c3ei(1) + c4ei(1)
c
ei(1)
ei(1)c2ei(1) + c3ei(1)
=
=
c2ei(1)
cei(1)
-
c4ei(1)cei(1) - c3ei(1)c2ei(1)
c3ei(1)cei(1) -
\bigl(
c2ei(1)
\bigr) 2 = q\prime 2ei(1) ,
то покладемо pei(2) = p\prime ei(2) , p2ei(1) = p\prime 2ei(1) , qei(2) = q\prime ei(2) i q2ei(1) = q\prime 2ei(1) .
Таким чином,
L(\bfz ) \sim 1 + Fe0(z1)+
+
N\sum
i1=2
pei(1)zi1
1 + qei(1)zi1 + zi1Fei(1)(z1) +
i1\sum
i2=2
( - 1)\delta i1,i2pei(2)zi1zi2
1 + qei(2)zi2 + zi2Pei(2)(z1) +
i2\sum
i3=2
c
ei(2)
ei2,i3
zi2zi3Rei(3)(\bfz ).
Обчислюючи далi коефiцiєнти c
ei(k)
m(N), mj = 0, ik+1 \leq j \leq N, | m(N)| \geq 1, ir \not = 1, 1 \leq r \leq
\leq k, ei(k) \in \scrE k, k \geq 3, за допомогою рекурентних формул (13) i продовжуючи процес iтерацiї,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
332 Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН
за умов (4) при 1 \leq i1 \leq N, (9) при 1 \leq ik+1 \leq ik, k \geq 1, ei(k) \in \scrE k i (8) при ei(k) \in \scrE k, k \geq 1,
для формального кратного степеневого ряду (2) отримуємо багатовимiрний приєднаний дрiб iз
нерiвнозначними змiнними (3), де pei(k) , qei(k) , ei(k) \in \scrE k, k \geq 1, визначаються формулами (5)
i (10).
Таким чином, побудовано рекурентний алгоритм обчислення коефiцiєнтiв багатовимiрного
приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (3), вiдповiдного до заданого формального
кратного степеневого ряду (2). Вiдповiднiсть багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнознач-
ними змiнними (3) до формального кратного степеневого ряду (2) можна довести за схемою,
запропонованою в роботi [12].
Отже, справджується така теорема.
Теорема 2. Багатовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнними (1) є вiдповiд-
ним до заданого формального кратного степеневого ряду (2) тодi i лише тодi, коли викону-
ються умови (4) при 1 \leq i1 \leq N, (9) при 1 \leq ik+1 \leq ik, ei(k) \in \scrE k, k \geq 1, i (8) при ei(k) \in \scrE k,
k \geq 1.
4. Вiдповiднiсть багатовимiрних \bfitJ -дробiв iз нерiвнозначними змiнними. У багатови-
мiрному приєднаному дробi з нерiвнозначними змiнними (2) покладемо zi = 1/\xi i, 1 \leq i \leq N,
знехтуємо першим членом, що дорiвнює 1, i проведемо перетворення еквiвалентностi (див.
[13, с. 29 – 33]), поклавши \rho i(k) = \xi ik , i(k) \in \scrI k, k \geq 1. В результатi отримаємо багатовимiрний
J -дрiб iз нерiвнозначними змiнними
N\sum
i1=1
ai(1)
bi(1) + \xi i1 +
i1\sum
i2=1
( - 1)\delta i1,i2ai(2)
bi(2) + \xi i2 +
i2\sum
i3=1
( - 1)\delta i2,i3ai(3)
bi(3) + \xi i3 +
. . . , (14)
де ai(k), bi(k), i(k) \in \scrI k, k \geq 1, — комплекснi числа, причому ai(k) \not = 0, i(k) \in \scrI k, k \geq 1,
\bfitxi = (\xi 1, \xi 2, . . . , \xi N ) \in \BbbC N .
Послiдовнiсть рацiональних функцiй
\bigl\{
fn(\bfitxi )
\bigr\}
, де \bfitxi \in \BbbC N , є вiдповiдною до формального
кратного ряду Лорана
L\ast (\bfitxi ) =
\sum
| m(N)| \geq 0
cm(N)
\bfitxi m(N)
, (15)
де cm(N) \in \BbbC , | m(N)| \geq 0, \bfitxi \in \BbbC N , у точцi \bfitxi = (\infty ,\infty , . . . ,\infty ), якщо послiдовнiсть\bigl\{
fn(1/z1, 1/z2, . . . , 1/zN )
\bigr\}
є вiдповiдною до формального кратного степеневого ряду в точцi
\bfz = (0, 0, . . . , 0), отриманого iз (15) замiною \xi i на 1/zi, 1 \leq i \leq N.
Нехай
g\ast n(\bfitxi ) =
N\sum
i1=1
ai(1)
bi(1) + \xi i1 +
i1\sum
i2=1
( - 1)\delta i1,i2ai(2)
bi(2) + \xi i2 +
. . .
+
in - 1\sum
in=1
( - 1)\delta in - 1,inai(n)
bi(n) + \xi in
— n-й пiдхiдний дрiб багатовимiрного J -дробу з нерiвнозначними змiнними (14), n \geq 1. Вiдпо-
вiднiсть багатовимiрного J -дробу з нерiвнозначними змiнними (14) до формального кратного
ряду Лорана (15) означає, що послiдовнiсть \{ g\ast n(\bfitxi )\} є вiдповiдною до L\ast (\bfitxi ).
Теорема 3. Нехай gn(\bfz ) i g\ast n(\bfitxi ) — n-тi пiдхiднi дроби вiдповiдно багатовимiрного при-
єднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1) i багатовимiрного J -дробу з нерiвнозначними
змiнними (14), де zi = 1/\xi i, 1 \leq i \leq N, i багатовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнознач-
ними змiнними (1) є вiдповiдним до формального кратного степеневого ряду (2) в точцi
\bfz = (0, 0, . . . , 0). Тодi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ 333
(А) Для будь-якого натурального n справедлива рiвнiсть gn(\bfz ) = 1 + g\ast n(\bfitxi ).
(Б) Формальне розвинення n-го пiдхiдного дробу g\ast n(\bfitxi ) у ряд Лорана в точцi \bfitxi = (\infty ,\infty , . . .
. . . ,\infty ) має вигляд
g\ast n(\bfitxi ) =
2n\sum
| m(N)| =0
cm(N)
\bfitxi m(N)
+
\sum
| m(N)| \geq 2n+1
\gamma
(n)
m(N)
\bfitxi m(N)
, n \geq 1,
де \gamma
(n)
m(N) \in \BbbC , | m(N)| \geq 2n+ 1, \bfitxi \in \BbbC N , i, отже, багатовимiрний J -дрiб iз нерiвнозначни-
ми змiнними (14) є вiдповiдним у точцi \bfitxi = (\infty ,\infty , . . . ,\infty ) до формального кратного ряду
Лорана (15).
Доведення є простим застосуванням теореми 2.
5. Збiжнiсть багатовимiрних приєднаних дробiв iз нерiвнозначними змiнними. Дослi-
димо збiжнiсть побудованого багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними.
Нехай l(N) = (l1, l2, . . . , lN ).
Теорема 4. Нехай для багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1)
виконуються такi умови:
ai(1) = - r2i(1), ( - 1)\delta ik,ik+1ai(k+1) = - r2i(k+1),
bi(k) = idi(k), di(k) \geq 0, i(k) \in \scrI k, k \geq 1,
(16)
N\sum
i1=1
(\mathrm{I}\mathrm{m} ri(1))
2
li1(1 - gi(1))
\leq (1 - \varepsilon )gi(0),
ik - 1\sum
ik=1
(\mathrm{I}\mathrm{m} ri(k))
2
lik(1 - gi(k))
\leq (1 - \varepsilon )lik - 1
gi(k - 1), i(k) \in \scrI k, k \geq 2,
(17)
де lk, 1 \leq k \leq N, — деякi додатнi числа, \varepsilon — стала така, що 0 < \varepsilon < 1, а \{ gi(k)\} —
послiдовнiсть таких дiйсних чисел, що
gi(0) \geq 0, 0 \leq gi(k) \leq 1 - \varepsilon , i(k) \in \scrI k, k \geq 1. (18)
Тодi:
(A) Для всiх \bfz iз множини
Rl(N),d,\varepsilon =
\bigl\{
\bfz : \mathrm{R}\mathrm{e}(d - i/zk) \geq lk, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(d - i/zk)| < \pi /(2(1 + \varepsilon )), 1 \leq k \leq N
\bigr\}
, (19)
де d = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}i(k)\in \scrI k, k\geq 1 di(k), послiдовностi парних i непарних пiдхiдних дробiв багатовимiрного
приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1) збiгаються до скiнченних значень p(\bfz ) i
q(\bfz ) вiдповiдно. Обидвi послiдовностi парних i непарних пiдхiдних дробiв збiгаються рiвно-
мiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi Int(Rl(N),d,\varepsilon ), причому p(\bfz ) i q(\bfz ) будуть
голоморфними функцiями в областi Int(Rl(N),d,\varepsilon ).
(Б) Для кожного \bfz \in Int(Rl(N),d,\varepsilon ) багатовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними
змiнними (1) збiгається до скiнченного значення g(\bfz ), якщо розбiгається ряд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
334 Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН
\infty \sum
k=1
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i(k)\in \scrI k
| ri(k)| 2
\biggr) - 1
. (20)
Збiжнiсть буде рiвномiрною на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi Int(Rl(N),d,\varepsilon ), а g(\bfz ) —
голоморфною функцiєю в областi Int(Rl(N),d,\varepsilon ).
Доведення є простим застосуванням теореми 3 [14].
Теорема 5. Нехай для багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1)
виконуються умови (16) i умови
(\mathrm{I}\mathrm{m}(ri(1)))
2 \leq (1 - \varepsilon )li1gi(0)(1 - gi(1)), 1 \leq i1 \leq N, (21)
(\mathrm{I}\mathrm{m}(ri(k)))
2 \leq (1 - \varepsilon )lik - 1
likgi(k - 1)(1 - gi(k)), i(k) \in \scrI k, k \geq 2, (22)
де lk, 1 \leq k \leq N, — деякi додатнi числа, \varepsilon — стала така, що 0 < \varepsilon < 1, а \{ gi(k)\} —
послiдовнiсть таких дiйсних чисел, що виконуються умови (18). Тодi:
(A) Для всiх \bfz iз множини
Ql(N),d,\varepsilon =
\biggl\{
\bfz :
N\sum
k=1
lk
\mathrm{R}\mathrm{e}(d - i/zk)
\leq 1, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(d - i/zk)| <
\pi
2(1 + \varepsilon )
, 1 \leq k \leq N
\biggr\}
, (23)
де d = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}i(k)\in \scrI k, k\geq 1 di(k), послiдовностi парних i непарних пiдхiдних дробiв багатовимiрного
приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1) збiгаються до скiнченних значень p(\bfz ) i
q(\bfz ) вiдповiдно. Обидвi послiдовностi парних i непарних пiдхiдних дробiв збiгаються рiвно-
мiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi Int(Ql(N),d,\varepsilon ), причому p(\bfz ) i q(\bfz ) будуть
голоморфними функцiями в областi Int(Ql(N),d,\varepsilon ).
(Б) Для кожного \bfz \in Int(Ql(N),d,\varepsilon ) багатовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними
змiнними (1) збiгається до скiнченного значення g(\bfz ), якщо розбiгається ряд (20). Збiжнiсть
буде рiвномiрною на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi Int(Ql(N),d,\varepsilon ), а g(\bfz ) — голоморф-
ною функцiєю в областi Int(Ql(N),d,\varepsilon ).
Доведення. Враховуючи умови (16) i замiнюючи zk на 1/\xi k, 1 \leq k \leq N, та застосову-
ючи еквiвалентнi перетворення \rho i(k) = 1/(1 + idi(k)/\xi ik), i(k) \in \scrI k, k \geq 1, багатовимiрний
приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнними (1) зводимо до вигляду
1 + i
N\sum
i1=1
ci(1)(\bfitxi )
1 +
i1\sum
i2=1
ci(2)(\bfitxi )
1 +
i2\sum
i3=1
ci(3)(\bfitxi )
1 +
. . . , (24)
де
ci(1)(\bfitxi ) =
r2i(1)
di(1) - i\xi i1
, 1 \leq i1 \leq N,
ci(k)(\bfitxi ) =
r2i(k)
(di(k - 1) - i\xi ik - 1
)(di(k) - i\xi ik)
, i(k) \in \scrI k, k \geq 2,
а \bfitxi належить множинi
Pl(N),d,\varepsilon =
\biggl\{
\bfitxi : \mathrm{R}\mathrm{e}(d - i\xi k) \geq lk, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(d - i\xi k)| <
\pi
2(1 + \varepsilon )
, 1 \leq k \leq N
\biggr\}
, (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ 335
d = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
i(k)\in \scrI k, k\geq 1
di(k).
Покладемо 1/(di(k) - i\xi ik) = ui(k)e
i\varphi i(k) , i(k) \in \scrI k, k \geq 1, i виберемо pi(0) = gi(0), pi(k) =
= gi(k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(k)), i(k) \in \scrI k, k \geq 1. Тодi з умов (21), (23) маємо
N\sum
i1=1
| ci(1)(\bfz )| - \mathrm{R}\mathrm{e}(ci(1)(\bfz )e
- i\varphi i(1))
(1 - gi(1)) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(1))
\leq 2(1 - \varepsilon )gi(0),
звiдки безпосередньо отримуємо
N\sum
i1=1
| ci(1)(\bfitxi )| - \mathrm{R}\mathrm{e}(ci(1)(\bfitxi )e
- i\varphi i(1))
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(1)) - pi(1)
\leq 2(1 - \varepsilon )pi(0).
Iз умов (22), (23) для будь-якого мультиiндексу i(k) \in \scrI k, k \geq 1, одержуємо
ik\sum
ik+1=1
| ci(k+1)(\bfz )| - \mathrm{R}\mathrm{e}(ci(k+1)(\bfz )e
- i(\varphi i(k)+\varphi i(k+1)))
(1 - gi(k+1)) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(k+1))
\leq 2(1 - \varepsilon )ui(k)likgi(k). (26)
На пiдставi умов (18) можемо записати
0 \leq pi(k) \leq (1 - \varepsilon ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi i(k), i(k) \in \scrI k, k \geq 1. (27)
Тому для кожного \bfitxi \in Pl(N),d,\varepsilon i для будь-якого мультиiндексу i(k) \in \scrI k, k \geq 1, маємо
ui(k)lik =
lik
| di(k) - i\xi ik |
\leq lik
| d - i\xi ik |
< \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(d - i\xi ik)) \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(k)). (28)
Застосовуючи (28) до (26), отримуємо
ik\sum
ik+1=1
| ci(k+1)(\bfitxi )| - \mathrm{R}\mathrm{e}(ci(k+1)(\bfitxi )e
- i(\varphi i(k)+\varphi i(k+1)))
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(k+1)) - pi(k+1)
\leq 2(1 - \varepsilon )pi(k), i(k) \in \scrI k, k \geq 1.
Отже, елементи гiллястого ланцюгового дробу (9) задовольняють умови теореми 1 [16] з
\varphi i(0) = 0 тодi i лише тодi, коли \bfitxi \in Pl(N),d,\varepsilon .
Нехай
fn(\bfitxi ) = 1 + i
N\sum
i1=1
ci(1)(\bfitxi )
1 +
i1\sum
i2=1
ci(2)(\bfitxi )
1 +
i2\sum
i3=1
ci(3)(\bfitxi )
1 +
. . .
+
in - 1\sum
in=1
ci(n)(\bfitxi )
1
— n-й пiдхiдний дрiб гiллястого ланцюгового дробу (24), n \geq 1. Iз твердження (Б) теореми 1
[16] випливає, що послiдовностi парних i непарних пiдхiдних дробiв гiллястого ланцюгового
дробу (24) збiгаються до скiнченних значень для всiх \bfitxi \in Pl(N),d,\varepsilon i, крiм того, на пiдставi
твердження (А) цiєї теореми робимо висновок, що при n \geq 2 значення залишкiв
Q
(n)
i(1)(\bfitxi ) = 1 +
i1\sum
i2=1
ci(2)(\bfitxi )
1 +
i2\sum
i3=1
ci(3)(\bfitxi )
1 +
. . .
+
in - 1\sum
in=1
ci(n)(\bfz )
1
, 1 \leq i1 \leq N,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
336 Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН
розмiщенi у вiдповiдних пiвплощинах
Vi(1)(\varphi i(1), pi(1)) =
\bigl\{
w : \mathrm{R}\mathrm{e}(we - i\varphi i(1)) \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(1)) - pi(1)
\bigr\}
, 1 \leq i1 \leq N. (29)
Iз нерiвностей (27) випливає, що в областi Int(Pl(N),d,\varepsilon ) всi Q(n)
i(1)(\bfitxi ) \not \equiv 0. Очевидно, що
fn(\bfitxi ) = 1 + i
N\sum
ik=1
ci(k)(\bfitxi )
Q
(n)
i(1)(\bfitxi )
, n \geq 1,
— голоморфнi функцiї в Int(Pl(N),d,\varepsilon ).
Нехай
Pl(N),d,\sigma ,\varepsilon =
\Biggl\{
\bfitxi :
N\sum
k=1
lk
\mathrm{R}\mathrm{e}(d - i\xi k)
< \sigma , | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(d - i\xi k)| <
\sigma \pi
2(1 + \varepsilon )
, 1 \leq k \leq N
\Biggr\}
, 0 < \sigma < 1,
(30)
— область, що мiститься в Int(Pl(N),d,\varepsilon ), i C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq i1\leq N | a2i(1)| . Оскiльки | \varphi i(1)| < \pi /(2(1+\varepsilon )),
1 \leq i1 \leq N, то з умов (27), (29) для довiльного \bfitxi \in Pl(N),d,\sigma ,\varepsilon \subseteq Int(Pl(N),d,\varepsilon ) при n \geq 1 маємо
\bigm| \bigm| fn(\bfitxi )\bigm| \bigm| \leq 1 +
N\sum
i1=1
| ci(k)(\bfitxi )|
\mathrm{R}\mathrm{e}(Q
(n)
i(1)(\bfitxi )e
- i\varphi i(1))
\leq
\leq 1 +
N\sum
i1=1
| r2i(1)|
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi i(1)) - pi(k))| di(1) - i\xi i1 |
\leq 1 +
\sigma C
\varepsilon l
= M(Ql(N),d,\sigma ,\varepsilon ),
де стала M(Pl(N),d,\sigma ,\varepsilon ) залежить лише вiд областi (30), тобто послiдовнiсть \{ fn(\bfitxi )\} рiвномiрно
обмежена в областi Pl(N),d,\sigma ,\varepsilon .
Нехай K — довiльна компактна пiдмножина областi \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(Pl(N),d,\varepsilon ). Покриємо K областями
вигляду (20). Iз цього покриття виберемо скiнченне пiдпокриття Pl(N),d,\sigma r,\varepsilon r , 1 \leq r \leq k. Нехай
M(K) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq r\leq k
M(Pl(N),d,\sigma k,\varepsilon k).
Тодi для довiльного \bfitxi \in K при n \geq 1 маємо | fn(\bfitxi )| \leq M(K), тобто послiдовнiсть \{ fn(\bfitxi )\}
рiвномiрно обмежена на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(Pl(N),d,\varepsilon ).
Iз теореми 2.17 [13] випливає, що послiдовностi парних i непарних пiдхiдних дробiв гiл-
лястого ланцюгового дробу (24) рiвномiрно збiгаються до голоморфних функцiй на кожнiй
компактнiй пiдмножинi областi \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(Pl(N),d,\varepsilon ). Iз твердження (В) теореми 1 [16] i теореми 2.17
[13] випливає, що для кожного \bfitxi \in Pl(N),d,\varepsilon гiллястий ланцюговий дрiб (24) збiгається до
скiнченного значення f(\bfitxi ), якщо розбiгається ряд (20). Збiжнiсть буде рiвномiрною на кож-
нiй компактнiй пiдмножинi областi Int(Pl(N),d,\varepsilon ), а f(\bfitxi ) — голоморфною функцiєю в областi
Int(Pl(N),d,\varepsilon ).
Насамкiнець iз (25) при \xi k = 1/zk, 1 \leq k \leq N, отримуємо (23), а на пiдставi принципу
еквiвалентностi гiллястих ланцюгових дробiв (1) i (24) (див. [13, с. 29 – 33]) робимо висновок
про справедливiсть тверджень (А) i (Б) теореми 5.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ 337
Теорема 6. Нехай для багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними (1)
виконуються умови (16), причому всi ri(k) — додатнi дiйснi сталi. Тодi:
(A) Послiдовностi парних i непарних пiдхiдних дробiв багатовимiрного приєднаного дробу
з нерiвнозначними змiнними (1) збiгаються до голоморфних функцiй в областi
Rd,\varepsilon =
\biggl\{
\bfz :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\biggl( d - i
zk
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \pi
2(1 + \varepsilon )
, 1 \leq k \leq N
\biggr\}
,
де d = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}i(k)\in \scrI k, k\geq 1 di(k), \varepsilon — стала така, що 0 < \varepsilon < 1, причому збiжнiсть буде рiвномiрною
на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi Rd,\varepsilon .
(Б) Багатовимiрний приєднаний дрiб з нерiвнозначними змiнними (1) збiгається до голо-
морфної функцiї в областi Rd,\varepsilon , якщо розбiгається ряд (20), причому збiжнiсть буде рiвно-
мiрною на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi Rd,\varepsilon .
Доведення. Якщо всi ri(k) > 0, то умови (17) виконуються при кожному lk > 0, 1 \leq k \leq N.
Нехай K — довiльна компактна пiдмножина областi Rd,\varepsilon . Тодi правильними є такi включення:
K \subseteq Int(Rl(N),d,\varepsilon ) \subseteq Rd,\varepsilon для деяких досить малих lk, 1 \leq k \leq N, для яких Int(Rl(N),d,\varepsilon ) —
внутрiшнiсть множини (19). Тому теорема 6 є наслiдком теореми 4.
6. Деякi приклади. Розглянемо приклади наближення деяких функцiй двох змiнних, якi
зображенi формальними подвiйними степеневими рядами, вiдповiдними до двовимiрних при-
єднаних дробiв iз нерiвнозначними змiнними.
Натуральний логарифм. Функцiя f(\bfz ) = 1 + \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + z1 + z2(1 + z1)/(1 + z2 \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + z1))),
де \bfz = (z1, z2) \in \BbbC 2, розвивається в точцi \bfz = (0, 0) у формальний подвiйний степеневий ряд
вигляду
1 -
\infty \sum
k=1
( - z1)
k
k
-
\infty \sum
l=1
( - z2)
l
l
\left( \Biggl( 1 - \infty \sum
k=1
( - z1)
k
k
\Biggr) l
-
\Biggl(
-
\infty \sum
k=1
( - z1)
k
k
\Biggr) l
\right) ,
де (a)n = a(a + 1)(a + 3) . . . (a + n - 1), n \geq 1, (a)0 = 1. Застосовуючи побудований вище
алгоритм, отримуємо вiдповiдний двовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнними
вигляду (3), де
N = 2, pe2 = pe1+le2 = 1, qke1+le2 = 1/2, k \geq 0, l \geq 0, k + l \geq 1;
p(l+2)e2 = (l + 1)2/(4(2l + 1)(2l + 3)), p(k+2)e1+le2 = (k + 1)2/(4(2k + 1)(2k + 3)),
k \geq 0, l \geq 0, \bfz \in \BbbC 2.
Результати обчислення абсолютних похибок \Delta fn(\bfz ) =
\bigm| \bigm| fn(\bfz ) - f(\bfz )
\bigm| \bigm| для рiзних значень z1, z2
наведено у табл. 1. Аналiзуючи результати обчислень, робимо висновок, що абсолютна похибка
\Delta fn(\bfz ) наближення функцiї f(\bfz ) iз ростом iндексу n зменшується, i в точках, близьких до нуля,
якiсть наближення є найкращою.
Тригонометрична функцiя. Функцiя g(\bfz ) = 1 + \mathrm{t}\mathrm{g} z1 + \mathrm{t}\mathrm{g}(z2/(1 + z2 \mathrm{t}\mathrm{g} z1)), де \bfz \in \BbbC 2,
розвивається в точцi \bfz = (0, 0) у формальний подвiйний степеневий ряд вигляду
1 +
\infty \sum
k=1
ckz
2k - 1
1 +
\infty \sum
r=1
cr
\Biggl(
z2
\infty \sum
l=0
\Biggl(
- z2
\infty \sum
k=1
ckz
2k - 1
1
\Biggr) l\Biggr) 2r - 1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
338 Д. I. БОДНАР, Р. I. ДМИТРИШИН
Таблиця 1
n \Delta fn(0,4, - 0,4) \Delta fn( - 0,2, 0,8) \Delta fn(0,8, 0,8) \Delta fn(6, 8) \Delta fn(15, 20)
1 1,1714 \cdot 10 - 1 1,0763 \cdot 10 - 1 1,2061 \cdot 10 - 1 7,6010 \cdot 10 - 1 5,0703 \cdot 10 - 1
2 4,8753 \cdot 10 - 3 4,3776 \cdot 10 - 3 4,9540 \cdot 10 - 3 8,3500 \cdot 10 - 3 2,3040 \cdot 10 - 1
3 1,4026 \cdot 10 - 4 1,3688 \cdot 10 - 4 1,3881 \cdot 10 - 4 3,8222 \cdot 10 - 3 1,0632 \cdot 10 - 1
4 3,5854 \cdot 10 - 6 4,0252 \cdot 10 - 6 3,4175 \cdot 10 - 6 9,0748 \cdot 10 - 4 4,0929 \cdot 10 - 2
5 8,7864 \cdot 10 - 8 1,1625 \cdot 10 - 7 7,9006 \cdot 10 - 8 1,8643 \cdot 10 - 4 1,5223 \cdot 10 - 2
6 2,1174 \cdot 10 - 9 3,3329 \cdot 10 - 9 1,7660 \cdot 10 - 9 3,7761 \cdot 10 - 5 5,5847 \cdot 10 - 3
7 5,0653 \cdot 10 - 11 9,5217 \cdot 10 - 11 3,8733 \cdot 10 - 11 7,6573 \cdot 10 - 6 2,0353 \cdot 10 - 3
8 1,2074 \cdot 10 - 12 2,7143 \cdot 10 - 12 8,4022 \cdot 10 - 13 1,5561 \cdot 10 - 6 7,3915 \cdot 10 - 4
9 2,8644 \cdot 10 - 14 7,7049 \cdot 10 - 14 1,8208 \cdot 10 - 14 3,1670 \cdot 10 - 7 2,6786 \cdot 10 - 4
10 6,6613 \cdot 10 - 16 1,9984 \cdot 10 - 15 4,4409 \cdot 10 - 16 6,4506 \cdot 10 - 8 9,6937 \cdot 10 - 5
Таблиця 2
n \Delta gn(\pi /6, - \pi /6) \Delta gn(\pi /3, \pi /3) \Delta gn(2\pi /3, 2\pi /3) \Delta gn(5\pi /6, 5\pi /6)
1 3,5511 \cdot 10 - 1 2,8012 \cdot 10 - 2 6,9445 1,3402
2 1,0611 \cdot 10 - 1 1,3307 \cdot 10 - 1 1,2423 2,9480 \cdot 10 - 1
3 1,2434 \cdot 10 - 2 1,7728 \cdot 10 - 2 5,5323 \cdot 10 - 1 1,2795 \cdot 10 - 3
4 5,9337 \cdot 10 - 4 1,0681 \cdot 10 - 3 2,9342 \cdot 10 - 1 1,7465 \cdot 10 - 3
5 1,5187 \cdot 10 - 5 3,4537 \cdot 10 - 5 6,6839 \cdot 10 - 2 8,8210 \cdot 10 - 5
6 2,4335 \cdot 10 - 7 6,9166 \cdot 10 - 7 7,3559 \cdot 10 - 3 2,2807 \cdot 10 - 6
7 2,6767 \cdot 10 - 9 9,4743 \cdot 10 - 9 4,8018 \cdot 10 - 4 3,8244 \cdot 10 - 8
8 2,1507 \cdot 10 - 11 9,4765 \cdot 10 - 11 2,1565 \cdot 10 - 5 4,5873 \cdot 10 - 10
9 1,3201 \cdot 10 - 13 7,2431 \cdot 10 - 13 7,2038 \cdot 10 - 7 4,1629 \cdot 10 - 12
10 5,5511 \cdot 10 - 16 4,4409 \cdot 10 - 15 1,8746 \cdot 10 - 8 2,9310 \cdot 10 - 14
де
cn =
B2n( - 4)n(1 - 4n)
(2n)!
, Bn =
- 1
n+ 1
n\sum
k=1
\biggl(
k + 1
n+ 1
\biggr)
Bn - k, n \geq 1, B0 = 1.
Застосовуючи побудований вище алгоритм, отримуємо вiдповiдний двовимiрний приєднаний
дрiб iз нерiвнозначними змiнними вигляду (3), де N = 2, pe2 = pe1+le2 = 1, qke1+le2 = 0,
k \geq 0, l \geq 0, k + l \geq 1; p(l+2)e2 = ((2l + 1)(2l + 3)) - 1, p(k+2)e1+le2 = ((2k + 1)(2k + 3)) - 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
БАГАТОВИМIРНI ПРИЄДНАНI ДРОБИ З НЕРIВНОЗНАЧНИМИ ЗМIННИМИ I КРАТНI СТЕПЕНЕВI РЯДИ 339
k \geq 0, l \geq 0, \bfz \in \BbbC 2. Результати обчислення абсолютних похибок \Delta gn(\bfz ) =
\bigm| \bigm| gn(\bfz ) - g(\bfz )
\bigm| \bigm| для
рiзних значень z1, z2 наведено у табл. 2. Як i в попередньому прикладi, абсолютна похибка
\Delta n(\bfz ) наближення функцiї g(\bfz ) iз ростом iндексу n зменшується, i в точках, близьких до нуля,
якiсть наближення є найкращою.
Лiтература
1. Jones W. B., Thron W. J. Continued fractions: analytic theory and applications // Encycl. Math. and Appl. – London
etc.: Addison-Wesley, 1980. – Vol. 11. – xxviii + 428 p.
2. Frobenius G. Über Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen // J. reine und angew. Math. –
1881. – 90. – S. 1 – 17.
3. Дзядык В. К. Об обобщении проблемы моментов // Докл. АН УССР. – 1981. – № 6. – С. 8 – 12.
4. Голуб А. П. Метод узагальнених моментних зображень в теорiї рацiональної апроксимацiї. Огляд // Укр. мат.
журн. – 2003. – 55, № 3. – С. 307 – 359.
5. Боднар Д. И. Исследование сходимости одного класса ветвящихся цепных дробей // Цепные дроби и их
применения. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. – С. 41 – 44.
6. Кучмiнська Х. Й. Вiдповiдний i приєднаний гiллястi ланцюговi дроби для подвiйного степеневого ряду // Доп.
АН УРСР. – 1978. – № 7. – С. 614 – 617.
7. Siemaszko W. Branched continued fractions for double power series // J. Comput. and Appl. Math. – 1980. – 6, № 2. –
P. 121 – 125.
8. Боднар Д. I. Багатовимiрнi C -дроби // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 1996. – 39, № 3. – С. 39 – 46.
9. Баран О. Є. Наближення функцiй багатьох змiнних гiллястими ланцюговими дробами з нерiвнозначними
змiнними: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Львiв, 2014. – 166 с.
10. Дмитришин Р. I. Приєднанi гiллястi ланцюговi дроби з двома нерiвнозначними змiнними // Укр. мат. журн. –
2014. – 66, № 9. – С. 1175 – 1184.
11. Dmytryshyn R. I. The multidimensional g-fraction with nonequivalent variables corresponding to the formal multiple
power series // Карпат. мат. публ. – 2009. – 1, № 2. – C. 145 – 151.
12. Дмитришин Р. I. Багатовимiрне узагальнення g-алгоритму Бауера // Карпат. мат. публ. – 2012. – 4, № 2. –
C. 247 – 260.
13. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. – Киев: Наук. думка, 1986. – 176 с.
14. Дмитришин Р. I. Про деякi областi збiжностi багатовимiрного J -дробу з нерiвнозначними змiнними // Мат.
вiсн. НТШ. – 2011. – 8. – С. 69 – 77.
15. Dmytryshyn R. I. Convergence of some branched continued fractions with independent variables // Mat. Stud. –
2017. – 47, № 2. – P. 150 – 159.
16. Антонова Т. М. Багатовимiрне узагальнення теореми про параболiчнi областi збiжностi неперервних дробiв //
Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 1999. – 42, № 4. – С. 7 – 12.
Одержано 13.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1442 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:28Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f7/b85462f99ce529ff4ed073d6a7ef8af7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14422019-12-05T08:55:13Z Multidimensional associated fractions with independent variables and multiple power series Багатовимірні приєднані дроби з нерівнозначними змінними і кратні степеневі ряди Bodnar, D. I. Dmytryshyn, R. I. Боднар, Д. І. Дмитришин, Р. І. We establish the conditions of existence and uniqueness of a multidimensional associated fraction with independent variables corresponding to a given formal multiple power series and deduce explicit relations for the coefficients of this fraction. The relationship between the multidimensional associated fraction and the multidimensional $J$ -fraction with independent variables is demonstrated. The convergence of the multidimensional associated fraction with independent variables is investigated in some domains of the space $C^N$. The expansions of some functions into the corresponding two-dimensional associated fraction with independent variables are constructed and the efficiency of approaching of the obtained expansions by approximants is shown. Встановлено умови iснування й єдиностi багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними, вiдповiдного до заданого формального кратного степеневого ряду, знайдено явнi формули обчислення коефiцiєнтiв такого дробу i показано його зв’язок iз багатовимiрним $J$ -дробом iз нерiвнозначними змiнними. Дослiджено збiжнiсть багатовимiрного приєднаного дробу з нерiвнозначними змiнними в деяких областях простору $C^N$. Побудовано розвинення деяких функцiй у вiдповiдний двовимiрний приєднаний дрiб iз нерiвнозначними змiнними i показано ефективнiсть наближення пiдхiдними дробами отриманих розкладiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1442 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 3 (2019); 325-349 Український математичний журнал; Том 71 № 3 (2019); 325-349 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1442/426 Copyright (c) 2019 Bodnar D. I.; Dmytryshyn R. I. |
| spellingShingle | Bodnar, D. I. Dmytryshyn, R. I. Боднар, Д. І. Дмитришин, Р. І. Multidimensional associated fractions with independent variables and multiple power series |
| title | Multidimensional associated fractions with independent variables
and multiple power series |
| title_alt | Багатовимірні приєднані дроби з нерівнозначними змінними
і кратні степеневі ряди |
| title_full | Multidimensional associated fractions with independent variables
and multiple power series |
| title_fullStr | Multidimensional associated fractions with independent variables
and multiple power series |
| title_full_unstemmed | Multidimensional associated fractions with independent variables
and multiple power series |
| title_short | Multidimensional associated fractions with independent variables
and multiple power series |
| title_sort | multidimensional associated fractions with independent variables
and multiple power series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1442 |
| work_keys_str_mv | AT bodnardi multidimensionalassociatedfractionswithindependentvariablesandmultiplepowerseries AT dmytryshynri multidimensionalassociatedfractionswithindependentvariablesandmultiplepowerseries AT bodnardí multidimensionalassociatedfractionswithindependentvariablesandmultiplepowerseries AT dmitrišinrí multidimensionalassociatedfractionswithindependentvariablesandmultiplepowerseries AT bodnardi bagatovimírnípriêdnanídrobiznerívnoznačnimizmínnimiíkratnístepenevírâdi AT dmytryshynri bagatovimírnípriêdnanídrobiznerívnoznačnimizmínnimiíkratnístepenevírâdi AT bodnardí bagatovimírnípriêdnanídrobiznerívnoznačnimizmínnimiíkratnístepenevírâdi AT dmitrišinrí bagatovimírnípriêdnanídrobiznerívnoznačnimizmínnimiíkratnístepenevírâdi |