Almost coconvex approximation of continuous periodic functions
If a $2\pi$ -periodic function $f$ continuous on the real axis changes its convexity at $2s, s \in N$, points $y_i : \pi \leq y_{2s} < y_{2s-1} < . . . < y_1 < \pi$ , and, for all other $i \in Z$, $y_i$ are periodically defined, then, for every natural $n \geq N_{y_...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1444 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507197857857536 |
|---|---|
| author | Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_facet | Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_sort | Dzyubenko, H. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:55:13Z |
| description | If a $2\pi$ -periodic function $f$ continuous on the real axis changes its convexity at $2s, s \in N$, points $y_i : \pi \leq y_{2s} < y_{2s-1} < . . . < y_1 < \pi$ , and, for all other $i \in Z$, $y_i$ are periodically defined, then, for every natural $n \geq N_{y_i}}$, we determine a trigonometric polynomial $P_n$ of order cn such that $P_n$ has the same convexity as $f$ everywhere except, possibly, small neighborhoods of the points $y_i : (y_i \p_i /n, y_i + \pi /n)$, and
$\| f P_n\| \leq c(s) \omega 4(f, \pi /n)$,,
where $N_{y_i}}$ is a constant depending only on $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}_{i = 1,...,2s}\{ y_i y_{i+1}\} , c$ and $c(s)$ are constants depending only on $s, \omega 4(f, \cdot )$ is the fourth modulus of smoothness of the function $f$, and $\| \cdot \|$ is the max-norm. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Г. А. Дзюбенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ
НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
If a 2\pi -periodic function f continuous on the real axis changes its convexity at 2s, s \in \BbbN , points yi : - \pi \leq y2s <
< y2s - 1 < . . . < y1 < \pi and, for all other i \in \BbbZ , yi are periodically defined, then, for every natural n \geq Nyi , we
determine a trigonometric polynomial Pn of order cn such that Pn has the same convexity as f everywhere except,
possibly, small neighborhoods of the points yi : (yi - \pi /n, yi + \pi /n), and
\| f - Pn\| \leq c(s)\omega 4(f, \pi /n),
where Nyi is a constant depending only on \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s\{ yi - yi+1\} , c and c(s) are constants depending only on s,
\omega 4(f, \cdot ) is the fourth modulus of smoothness of the function f, and \| \cdot \| is the max-norm.
У випадку, коли неперервна на дiйснiй осi 2\pi -перiодична функцiя f змiнює свою опуклiсть у 2s, s \in \BbbN , точках
перегину yi : - \pi \leq y2s < y2s - 1 < . . . < y1 < \pi , а для iнших i \in \BbbZ yi визначенi перiодично, для кожного
натурального n \geq Nyi знайдено тригонометричний полiном Pn порядку cn такий, що Pn змiнює свою опуклiсть
так само, як f, скрiзь, за винятком, можливо, маленьких околiв yi : (yi - \pi /n, yi + \pi /n) i
\| f - Pn\| \leq c(s)\omega 4(f, \pi /n),
де Nyi — стала, що залежить лише вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s\{ yi - yi+1\} , c i c(s) — сталi, що залежать лише вiд s, \omega 4(f, \cdot ) —
четвертий модуль гладкостi функцiї f i \| \cdot \| — рiвномiрна норма.
1. Вступ. Нехай C — простiр неперервних 2\pi -перiодичних функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR iз рiвномiрною
нормою \| f\| = \| f\| \BbbR = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in \BbbR
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm| i \BbbT n — простiр тригонометричних полiномiв Pn(x) =
= a0 +
\sum n
j=1
(aj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jx+ bj \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} jx) порядку не вищого за n \in \BbbN з aj , bj \in \BbbR .
Нагадаємо класичну оцiнку похибки наближення функцiй iз C полiномами з \BbbT n (отриману
Д. Джексоном [1] для k = 1, А. Зигмундом [2] та М. I. Ахiєзером [3] для k = 2 i С. Б. Стєчкiним
[4] для k \geq 3): якщо f \in C, то для кожного натурального n \geq k - 1, k \in \BbbN , знайдеться
полiном Pn \in \BbbT n такий, що
\| f - Pn\| \leq c(k)\omega k(f, \pi /n), (1.1)
де c(k) — додатна стала, що залежить лише вiд k, а \omega k(f, \cdot ) — k-й модуль гладкостi функцiї f.
(Детальнiше див., наприклад, [5], роздiл 4.)
У 1968 роцi Г. Лоренц i К. Целлер [6] для k = 1 отримали дзвоноподiбний аналог нерiвнос-
тi (1.1), тобто коли дзвоноподiбнi
\bigl(
парнi i незростаючi на [0, \pi ]
\bigr)
2\pi -перiодичнi функцiї з C
наближуються дзвоноподiбними полiномами з \BbbT n .
У статтях [7, 8] було доведено коопуклi (див. означення нижче) аналоги нерiвностi (1.1)
для k = 2 i k = 3 вiдповiдно. Бiльш того, в [9] використано мiркування з робiт [10, 11], щоб
показати, що для k > 3 такого коопуклого аналога не iснує.
Проте, як вiдомо з коопуклого наближення алгебраїчними многочленами на вiдрiзку [12],
якщо для наближаючих многочленiв дозволити деяке послаблення умови коопуклостi в малень-
ких околах точок перегину функцiї , то можна отримати додатковий порядок наближення i,
на думку автора, не бiльше нiж один, хоча вiдповiдного контрприкладу ще не побудовано (всi
порядки такого наближення див. у [13, 14]).
c\bigcirc Г. А. ДЗЮБЕНКО, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3 353
354 Г. А. ДЗЮБЕНКО
У цiй статтi ми доведемо теорему 1.1 — тригонометричний аналог алгебраїчного результату
з [12]. Це так зване майже коопукле наближення. Щоб його записати, наведемо необхiднi
позначення.
Нехай s \in \BbbN i на [ - \pi , \pi ) зафiксовано 2s точок yi :
- \pi \leq y2s < y2s - 1 < . . . < y1 < \pi ,
а для iнших i \in \BbbZ точки yi визначено перiодично рiвнiстю yi = yi+2s + 2\pi (тобто y0 =
= y2s + 2\pi , . . . , y2s+1 = y1 - 2\pi , . . .). Нехай Y := \{ yi\} i\in \BbbZ , а \Delta (2)(Y ) — множина всiх функцiй
f \in C, що опуклi донизу на [y1, y0], догори на [y2, y1], донизу на [y3, y2] тощо. Функцiї з
\Delta (2)(Y ) називаються коопуклими (мiж собою). Крiм того, якщо f двiчi диференцiйовна, то f
належить \Delta (2)(Y ) тодi i тiльки тодi, коли
f \prime \prime (x)\Pi (x) \geq 0, x \in \BbbR , де \Pi (x) := \Pi (x, Y ) :=
2s\prod
i=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
x - yi
2
.
Теорема 1.1. Якщо функцiя f належить \Delta (2)(Y ), то iснує стала NY , яка залежить лише
вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s \{ yi - yi+1\} , така, що для кожного натурального n \geq NY знайдеться полiном
Pn \in \BbbT cn, для якого виконуються нерiвностi
P \prime \prime
n (x)\Pi (x) \geq 0, x \in \BbbR \setminus \cup
i\in \BbbZ
(yi - \pi /n, yi + \pi /n) , (1.2)
\| f - Pn\| \leq c(s)\omega 4(f, \pi /n), (1.3)
де c i c(s) — додатнi сталi, якi залежать лише вiд s.
Наступна теорема є простим наслiдком теореми 1.1 i нерiвностi Уiтнi [15] \| f - f(0)\| \leq
\leq 3\omega 4(f, 4\pi ).
Теорема 1.2. Якщо функцiя f належить \Delta (2)(Y ), то для кожного n \in \BbbN знайдеться
полiном Pn \in \BbbT n такий, що
P \prime
n(x)\Pi (x) \geq 0, x \in \BbbR \setminus \cup
i\in \BbbZ
(yi - c/n, yi + c/n) , (1.4)
\| f - Pn\| \leq CY \omega 4(f, \pi /n), (1.5)
де c — стала, яка залежить лише вiд s, а CY — стала, яка залежить лише вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s\{ yi -
- yi+1\} .
Зауваження 1.1. З огляду на контрприклади Д. Левiатана i I. О. Шевчука, зокрема з [16]
для майже комонотонного наближення на вiдрiзку, автор вважає, що \omega 4 в (1.3) i (1.5) неможливо
лише замiнити на \omega k з k > 4, а сталi NY i CY у теоремах 1.1 i 1.2 — на сталi, незалежнi вiд
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s \{ yi - yi+1\} (а залежнi, наприклад, вiд s). Обидва припущення не розглядаються в
цiй статтi. Крiм того, ми не акцентуємо увагу на сталiй c в обох теоремах, тобто не намагаємося
зробити її абсолютною або/i найменшою з можливих.
Iсторiя (майже) копозитивного та комонотонного наближень неперервних перiодичних функ-
цiй мiститься в [17, 18], а їхнi алгебраїчнi випадки — у статтях [19] та [20] вiдповiдно.
Доведення теореми 1.1 має спiльнi моменти з доведенням алгебраїчного поточкового анало-
га [12] (теореми 1 i 2), однак вiдрiзняється деталями i принциповими моментами, пов’язаними
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 355
з необхiднiстю „боротьби” з алгебраїчними доданками при означеннi наближаючого триго-
нометричного полiнома, як при майже комонотонному наближеннi [18] (теорема 1.1). Бiльш
детально, ми доводимо теорему 1.1 через промiжне наближення кубiчним сплайном, який нам
потрiбен у явному виглядi. Вiн записується у виглядi суми зрiзаних степеневих функцiй, i iнте-
грали вiд тригонометричного ядра (їхнi лiнiйнi комбiнацiї), що наближають цi функцiї, мають
природнi алгебраїчнi доданки. Цi доданки записуються явно i знищують один одного в цiло-
му при пiдрахунку всiєї суми по перiоду (завдяки пiдiбраному розбиттю); залишається лише
шуканий тригонометричний полiном.
2. Допомiжнi факти. \bfone o. Нехай
h := hn := \pi /n, xj := xj,n := - j h, Ij := Ij,n := [xj , xj - 1], n \in \BbbN , j \in \BbbZ ,
m \in \{ 1, 2, 3, 10, 20, 30\} .
Для фiксованих Y = \{ yi\} i\in \BbbZ i n позначимо
Oi,m := Oi(Y, n,m) := (xj+m+1, xj - m), якщо yi \in [xj , xj - 1) =: [xji , xji - 1),
Om := O(Y, n,m) :=
\bigcup
i\in \BbbZ
Oi,m.
Будемо писати j \in H(Y, n,m), якщо xj \subset \BbbR \setminus Om. Нехай
Hm :=
\bigl\{
j : j \in H(Y, n,m), | j| \leq n
\bigr\}
.
Виберемо NY \in \BbbN достатньо великим, щоб
Oi,30 \cap Oi - 1,30 = \varnothing (2.1)
для всiх n \geq NY i всiх i = 1, . . . , 2s
\bigl(
отже, NY залежить лише вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,2s \{ yi - yi+1\}
\bigr)
.
Далi n > NY . Позначимо
\chi (x, a) :=
\left\{ 0, якщо x \leq a,
1, якщо x > a,
a \in \BbbR , \chi j(x) := \chi (x, xj), (x - xj)+ := (x - xj)\chi j(x),
\Gamma j(x) := \Gamma j,n(x) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\left\{ 1,
1
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} x - (xj + h/2)
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right\} , j \in \BbbZ , n \in \BbbN ,
i зауважимо, що (детальнiше див. [23]) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
j=1 - n
\Gamma 2
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < 6. (2.2)
Для кожних j \in \BbbZ i b \in \BbbN вiзьмемо строго додатний полiном (суму двох „сусiднiх” ядер
типу Джексона)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
356 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Jj(x) := Jj,n(x) :=
\left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
n(x - xj)
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
x - xj
2
\right)
2b
+
\left( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
n(x - xj - 1)
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
x - xj - 1
2
\right)
2b
\in \BbbT (n - 1)b, n \in \BbbN , (2.3)
i для j \in H10 позначимо функцiю
tj(x) := tj,n(x, b, Y ) :=
\int x
xj - \pi
Jj(u)\Pi (u)du\int xj+\pi
xj - \pi
Jj(u)\Pi (u)du
. (2.4)
Далi ci = ci(b) > 0, i = 1, . . . , 8, — сталi, якi можуть залежати лише вiд s i b.
Лема 2.1 ([22], лема 1). Якщо j \in H10 i b \geq s+ 2, то
t\prime j(x)\Pi (x)\Pi (xj) \geq 0, x \in \BbbR , (2.5)\bigm| \bigm| \chi j(x) - tj(x)
\bigm| \bigm| \leq c1 (\Gamma j(x))
2b - 2s - 1 , x \in [xj - \pi , xj + \pi ], (2.6)\bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \leq c2
1
h
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b - 2s
, x \in \BbbR , (2.7)
\bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \geq c3
1
h
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b+2s
, x \in \BbbR \setminus O10, (2.8)
\bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \geq c3
1
h
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b+2s
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - yi
xj - yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in Oi,10, i \in \BbbZ . (2.9)
Зауважимо, що лема 2.1 доводиться за допомогою нерiвностей
1
c4h
\Gamma 2b
j (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| t\prime j(x)\bigm| \bigm| \leq c4
h
\Gamma 2b
j (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
(2.10)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 22s\Gamma - 2s
j (x), x \in \BbbR , j \in Hm, m \geq 10,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
xj+\pi \int
x
\Gamma b
j(u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c5 h\Gamma
b - 1
j (x), b \in \BbbN , x \in [xj , xj + 2\pi ],
(2.11)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
xj - \pi \int
x
\Gamma b
j(u)du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c5 h\Gamma
b - 1
j (x), b \in \BbbN , x \in [xj - 2\pi , xj ],
аналоги яких доведено у [21] (лема 5.3) i [23] вiдповiдно.
Для кожного j \in H20 позначимо
\tau j(x) := \tau j,n(x, b, tj) := \alpha
x\int
xj - \pi
tj+10(u)du+ (1 - \alpha )
x\int
xj - \pi
tj - 10(u)du, (2.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 357
де \alpha = \alpha (j) \in [0, 1] вибрано з умови \tau j(xj + \pi ) = \pi . Зауважимо, що нерiвностi 0 \leq \alpha \leq 1
випливають з оцiнки (2.6) i вибору iндексiв j \pm 10 (достатньо далеких вiд j ) при (достатньо
великих) b \geq s + 2 (що робить ядро „крутiшим”, детальнiше див. аналогiчний випадок у
[7, с. 923] або доведення рiвностей (3.1) далi).
Функцiї tj i \tau j на \BbbR можуть бути зображенi у виглядi
tj(x) =
1
2\pi
x+ \^Rj(x), j \in H10, (2.13)
\tau j(x) =
1
4\pi
x2 +
\pi - xj
2\pi
x+ \~Rj(x), j \in H20, (2.14)
де \^Rj i \~Rj — деякi полiноми з \BbbT c6n (аналогiчнi випадки див. у [23] i [7] вiдповiдно).
Позначимо
\widetilde tj(x) := \widetilde tj,n(x, b) := \=tj(x) +
2s\sum
i=1
\chi j(yi) - \=tj(yi)
\^tji(yi)
\^tji(x), j \in H10,
де функцiя \=tj(x) := tj,n(x,\=b,\varnothing ) означена в (2.4) з \Pi (x) :\equiv 1 i \=b = b+ 3, а
\^tji(x) :=
\bigl(
\=tji+10(x) - \u tji - 10(x)
\bigr) \Pi (x, Yi)
\Pi (xji , Yi)
— тригонометричний полiном, в якому ji позначає iндекс j такий, що yi \in [xj , xj - 1), i =
= 1, . . . , 2s, функцiя \u tj(x) := tj,n(x,\=b, \u Yi) означена в (2.4) з \u Yi := \{ yi - \pi \nu \} \nu \in \BbbZ i
Yi :=
\bigl(
Y \setminus \{ yi + 2\pi \nu \} \nu \in \BbbZ
\bigr)
\cup \{ y\ast i + 2\pi \nu \} \nu \in \BbbZ ,
де y\ast i — лiвий кiнець iнтервалу Oi,20, якщо i непарне, i правий, якщо i парне;
\widetilde \tau j(x) := \widetilde \tau j,n(x, b) := \tau j,n(x, b, \=tj) +
2s\sum
i=1
(yi - xj)+ - \tau j,n(yi, b, \=tj)
\^tji(yi)
\^tji(x), j \in H20.
Лема 2.2 ([18], леми 2.2 i 2.3). Для кожних j \in H10 i b \geq 3s + 2 функцiя \widetilde tj задовольняє
(2.6), (2.13) i до того ж
\bigm| \bigm| \chi j(x) - \widetilde tj(x)\bigm| \bigm| \leq c7
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2b - 2s - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - yi
xj - yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in Oi,10, i = 1, . . . , 2s (2.15)
\bigl(
зокрема, \chi j(yi) - \widetilde tj(yi) = 0
\bigr)
.
Для кожних j \in H20 i b \geq 3s+ 2 функцiя \widetilde \tau j задовольняє (2.14) i до того ж\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \widetilde \tau j(x)\bigm| \bigm| \leq c8h
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2(b - s - 1)
, x \in [xj - \pi , xj + \pi ], (2.16)\bigm| \bigm| (x - xj)+ - \widetilde \tau j(x)\bigm| \bigm| \leq c8h
\bigl(
\Gamma j(x)
\bigr) 2(b - s - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x - yi
xj - yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in Oi,10, i = 1, . . . , 2s (2.17)
\bigl(
зокрема, (yi - xj)+ - \widetilde \tau j(yi) = 0
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
358 Г. А. ДЗЮБЕНКО
\bftwo o. Оскiльки ми доводимо теорему 1.1 через промiжне наближення сплайном (кусково-
полiномiальною функцiєю), тобто \| f - S + S - Pn\| \leq \| f - S\| + \| S - Pn\| , далi опишемо цей
сплайн S . При цьому без спецiальних посилань будемо використовувати нерiвнiсть Уiтнi [15]\bigm| \bigm| f(x) - L3(x, xj , f)
\bigm| \bigm| \leq 3\omega 4
\bigl(
f, \pi /n, [xj+1, xj - 4]
\bigr)
, x \in [xj+1, xj - 4], j \in \BbbZ ,
де Lk — многочлен Лагранжа степеня не вищого за k, що iнтерполює f в xj , xj - 1, . . . , xj - k.
Далi c > 0 позначатимуть абсолютнi сталi або сталi, що залежать лише вiд s. Вони можуть
бути рiзними, навiть якщо знаходяться в одному рядку.
Зафiксуємо j \in \BbbZ . Нехай
\Psi 3(x, xj) := (x - xj)+(x - xj - 1)(x - xj - 2),
dj := xj - 1,
a\nu := aj,\nu := xj \vee xj - 1 \vee xj - 2, \widetilde h\nu := - h \vee 0 \vee h, \widehat h\nu := 2h2 \vee - h2 \vee 2h2,
якщо \nu = 1 \vee 2 \vee 3 вiдповiдно. Далi \nu набуває значень лише з \{ 1, 2, 3\} .
Введемо три функцiї \Psi j,\nu \in C, що збiгаються з \Psi 3(x, xj) майже скрiзь:
\Psi j,\nu (x) := \Psi 3(x, xj)\chi (x, a\nu ) = (x - a\nu )
3
+ + 3\widetilde h\nu (x - a\nu )
2
+ + \widehat h\nu (x - a\nu )+,
тобто
\Psi j,\nu (x) = \Psi 3(x, xj), x \in \BbbR \setminus [xj , a\nu ] ,\bigm| \bigm| \Psi j,\nu (x) - \Psi 3(x, xj)
\bigm| \bigm| \leq c h3, x \in [xj , a\nu ],
(2.18)
i
\Psi j,\nu (x) =
x\int
dj - \pi
\left( 6
t\int
dj - \pi
\Bigl(
(u - a\nu )+ + \widetilde h\nu \chi (u, a\nu )\Bigr) du+ \widehat h\nu \chi (t, a\nu )
\right) dt, (2.19)
а для \nu 1, \nu 2 \in \{ 1, 2, 3\} справджується рiвнiсть
\Psi \prime \prime
j,\nu 1
(x) - \Psi \prime \prime
j - 1,\nu 2
(x)
3h
=
6(x - dj) - 6(x - dj - 1)
3h
= 2, x \in
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a\nu 1 , a\nu 2\} ,\infty
\bigr)
. (2.20)
Без втрати загальностi будемо вважати, що y1 = x30 (тобто точки з Y далекi вiд - \pi i \pi ), а
також нагадаємо, що H3 \subset H2 \subset H1 .
Конструкцiя майже коопуклого кубiчного сплайна
Позначимо двi подiленi рiзницi f :
Fj := [xj , xj - 1, xj - 2, f ], j = 2 - n, . . . , n,
\Phi j := [xj+1, xj , xj - 1, xj - 2, xj - 3, f ], j = 3 - n, . . . , n - 1\Bigl(
зауважимо, що \Phi j \cdot 4h =
Fj+1 - Fj
3h
- Fj - Fj - 1
3h
, j \in \BbbZ , i Fj\Pi (xj) \geq 0, j \in H1, f \in \Delta (2)(Y )
\Bigr)
.
Введемо новi функцiї \Psi j(x), j = 3 - n, . . . , n - 1. Для кожного j \in H2 покладемо
(d.0) \Psi j(x) := \Psi j,2(x), якщо \Phi j \Pi (xj) \leq 0,
а у протилежному випадку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 359
(d.1)
(d.2)
(d.3)
\Psi j(x) :=
\left\{
\Psi j,1(x), якщо | Fj+1| > | Fj | \geq | Fj - 1| ,
\Psi j,3(x), якщо | Fj+1| \leq | Fj | < | Fj - 1| ,
\alpha j \Psi j,1(x) + (1 - \alpha j)\Psi j,3(x), якщо | Fj+1| > | Fj | < | Fj - 1| ,
де \alpha j :=
Fj+1
Fj+1 + Fj - 1
\in (0, 1). Для iнших j = 3 - n, . . . , n - 1 таких, що j /\in H2 (тобто для j :
xj \in Oi,2, i = 1, . . . , 2s), покладемо
(d.4) \Psi j(x) :=
\Biggl\{
\Psi j,2(x), якщо \Phi j \Pi (xj , \~Yi) \leq 0,
\Psi j,1(x) у протилежному випадку,
де
\~Yi :=
\bigl(
Y \setminus \{ yi\}
\bigr)
\cup \{ xji+5\} .
Нехай
(d.5) \Psi n(x) := \Psi 3(x, xn), \Psi 2 - n(x) :\equiv 0.
Зауваження 2.1. В обох „дивних” випадках в (d.4) достатньо взяти \Psi j(x) = \Psi j,2(x), щоб
отримати майже коопуклiсть з f сплайна S, означеного нижче, проте означення (d.4) бiльш
зручне для перевiрки майже копозитивностi полiнома P \prime \prime
n далi.
Покажемо, що кубiчний сплайн
S(x) = L3(x, xn, f) + 4h
n - 1\sum
j=3 - n
\Phi j \Psi j(x), (2.21)
або, еквiвалентно,
S(x) = L1(x, xn, f) + Fn
\biggl(
(x - xn)(x - xn - 1) -
\Psi n(x) - \Psi n - 1(x)
3h
\biggr)
+
+
n - 1\sum
j=3 - n
Fj Aj(x) + F2
\Psi 3(x)
3h
, (2.22)
де
Aj(x) := Aj(x) - Aj(x) :=
\Psi j+1(x) - \Psi j(x)
3h
- \Psi j(x) - \Psi j - 1(x)
3h
,
(продовжений перiодично з [ - \pi , \pi ]) майже коопуклий з f, тобто\bigl(
S\prime (xj+) - S\prime (xj - )
\bigr)
\Pi (xj) \geq 0, j \in H3, (2.23)
S\prime \prime (x)\Pi (x) \geq 0, x \in (xj , xj - 1), j \in H3, (2.24)
i задовольняє нерiвнiсть
\| f - S\| = \| f - S\| [ - \pi ,\pi ] \leq c \omega 4(f, h) (2.25)
(на суми в (2.21) i (2.22) зручно дивитися починаючи з останнього доданка, детальнiше про
такi зображення див. [24] (пропозицiя 1)).
За допомогою (2.21) i (2.22) перевiримо (2.23) i (2.24). Запишемо множину [ - \pi , \pi ] \cap
\cap
\bigl(
\cup j\in H3 Ij
\bigr)
як об’єднання промiжкiв [a\mu , b\mu ], \mu = 1, . . . , 2s + 1, b\mu +1 < a\mu , що не пере-
тинаються. Нехай j = j(\mu ) i j = j(\mu ) позначають iндекси j такi, що xj = a\mu i xj = b\mu
вiдповiдно. Для кожного \mu = 1, . . . , 2s+ 1 покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
360 Г. А. ДЗЮБЕНКО
G\mu :=
\bigl(
dj+1, dj
\bigr]
, G :=
2s+1
\cup
\mu =1
G\mu .
Без втрати загальностi перевiримо (2.24) i (2.23) лише для одного промiжку G\mu , тобто зафiк-
суємо \mu , i нехай воно буде таким, що \Pi (x) > 0, x \in G\mu . Для зручностi, нехай n > j i j > 3 - n.
Випадки n = j i j = 3 - n доводяться аналогiчно з урахуванням (d.5). Нехай
H\mu :=
\bigl\{
j + 1, . . . , j
\bigr\}
, H\mu \subset H2.
З (2.21) i (d.0) – (d.3) випливає, що функцiя S\prime в точках a\nu , визначених окремо для кожної \Psi j
з j \in H\mu , задовольняє нерiвнiсть
S\prime (a\nu - ) \leq S\prime (a\nu +),
тобто (2.23) справджується.
Оскiльки Fj \geq 0 для j \in
\bigl\{
j + 2, . . . , j - 1
\bigr\}
=: H\mu \subset H1, то, зокрема, з нерiвностей
Fj+1 \leq Fj \geq Fj - 1 випливає, що
\Phi j \Pi (xj) \leq 0, j \in H\mu . (2.26)
Взявши це до уваги, зазначимо, що в H\mu немає жодного j, для якого, у вiдповiдностi з (d.0) –
(d.4), було б введено означення
\Psi j = \Psi j,3 i \Psi j - 1 = \Psi j - 1,1,
як i означення
\Psi j+1 = \Psi j+1,3, \Psi j = \alpha j \Psi j,1 + (1 - \alpha j)\Psi j,3 i \Psi j - 1 = \Psi j - 1,1.
Iншими словами,
a\nu (визначена для \Psi j) \leq a\nu (визначеної для \Psi j - 1). (2.27)
Звiдси i з (2.20) випливає, що
A\prime \prime
j (x) = 0, x /\in
\bigl[
aj+1, aj - 1
\bigr]
, (2.28)
де aj := a1 i aj := a3, якщо має мiсце (d.3), iнакше aj = aj позначають a\nu , що визначенi для
\Psi j за (d.0) – (d.2) або за (d.4)
\bigl(
якщо aj+1 = aj - 1, то
\bigl[
aj+1, aj - 1
\bigr]
:= \varnothing
\bigr)
.
Використавши рiвнiсть Aj+1 = Aj , видiлимо з (2.22) чотири доданки, що мiстять функ-
цiю \Psi j :
- Fj+1Aj(x) + Fj Aj(x) - Fj Aj(x) + Fj - 1Aj(x). (2.29)
Взявши до уваги (2.26) – (2.29), зафiксуємо j \in H\mu i покажемо, що
(c.0)
(c.1)
(c.2)
(c.3)
S\prime \prime (x) \geq 0,
\left\{
x \in (a1, a3), якщо (d.0),
x \in (a1, a2), якщо (d.1),
x \in (a2, a3), якщо (d.2),
x \in (a1, a3), якщо (d.3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 361
Лише цi три точки a1, a2 i a3 будемо використовувати далi.
Почнемо з випадку (c.1). Опишемо його на (a1, a2). Функцiя \Psi j+1 може бути означена
лише за (d.0), або (d.4), або (d.1), тодi як \Psi j - 1 є будь-якою з чотирьох за (d.0) – (d.4). Однак
\Psi \prime \prime
j+1 = 6(x - a1), \Psi
\prime \prime
j = 6(x - a2) i \Psi \prime \prime
j - 1 = 0. Тому, згiдно з (2.20),
Fj+1 \cdot 2 - Fj+1 \cdot 2 + Fj \cdot 2 - Fj
6(x - a2)
xj - 3 - xj
+ Fj - 1
6(x - a2)
xj - 3 - xj
\geq 0, x \in (a1, a2),
оскiльки Fj \geq Fj - 1.
У випадку (c.2) \Psi j+1 є будь-якою з чотирьох можливих (за (d.0) – (d.4)), тодi як \Psi j - 1
означується лише за (d.0), або (d.4), або (d.2), проте завжди
A\prime \prime
j (x) = 2 +
6(x - a2)
xj - 2 - xj+1
i A\prime \prime
j (x) = 0 для x \in (a2, a3),
де в першiй рiвностi ми використали (2.20). Отже,
Fj+1 \cdot 2 - Fj+1
\biggl(
2 +
6(x - a2)
xj - 2 - xj+1
\biggr)
+ Fj
\biggl(
2 +
6(x - a2)
xj - 2 - xj+1
\biggr)
\geq 0, x \in (a2, a3),
оскiльки Fj+1 \leq Fj .
У випадку (c.3) \Psi j+1 i \Psi j - 1 визначаються за (d.0), або (d.4), або (d.1) i (d.0), або (d.4), або
(d.2) вiдповiдно, проте завжди \Psi \prime \prime
j+1(x) = 6(x - a1), \Psi
\prime \prime
j (x) = \alpha j \cdot 6(x - a2) i \Psi \prime \prime
j - 1(x) = 0 для
x \in (a1, a3). Записуємо
Fj+1 \cdot 2 - Fj+1
6(x - a1) - \alpha j \cdot 6(x - a2)
3h
+ Fj
6(x - a1) - \alpha j \cdot 6(x - a2)
3h
-
- Fj
\alpha j \cdot 6(x - a2)
3h
+ Fj - 1
\alpha j \cdot 6(x - a2)
3h
= Fj
\biggl(
2 +
(1 - \alpha j) \cdot 6(x - a2)
3h
- \alpha j \cdot 6(x - a2)
3h
\biggr)
+
+Fj - 1
\alpha j \cdot 2(x - a2)
h
- Fj+1
(1 - \alpha j)2(x - a2)
h
=: B1(x) +B2(x).
Таким чином, B2(x) = 0 завдяки вибору \alpha j , тодi як B1(x) \geq 0 для будь-якої \alpha j \in [0, 1].
Дiйсно, як в (2.20), записуємо
B1(x) = Fj
\biggl(
2 - (1 - \alpha j)
6(x - a1) - 6(x - a2) - 6(x - a1)
3h
-
- \alpha j
6(x - a2) - 6(x - a3) + 6(x - a3)
3h
\biggr)
=
= Fj
\biggl(
2 - (1 - \alpha j) \cdot 2 + (1 - \alpha j)
2(x - a1)
h
- \alpha j \cdot 2 - \alpha j
2(x - a3)
h
\biggr)
\geq 0, x \in (a1, a3).
В останньому випадку (c.0) обидвi \Psi j\pm 1 можуть бути будь-якими з чотирьох можливих,
однак достатньо перевiрити лише коли \Psi j+1 = \Psi j+1,2 i \Psi j - 1 = \Psi j - 1,2, оскiльки для iнших
означень невiд’ємнiсть S\prime \prime на (a1, a2) \cup (a2, a3) гарантується щойно розглянутими трьома ви-
падками, а саме, на (a1, a2) — (c.2) або (c.3) i на (a2, a3) — (c.1) або (c.3). Отже, для x \in (a1, a3)
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
362 Г. А. ДЗЮБЕНКО
A
\prime \prime
j (x) =
6(x - a1) - 6(x - a2)+
3h
i A\prime \prime
j (x) =
6(x - a2)+
3h
,
що разом з (2.20) обумовлює нерiвнiсть
Fj+1 \cdot 2 - Fj+1A
\prime \prime
j (x) + Fj A
\prime \prime
j (x) - Fj A
\prime \prime
j (x) + Fj - 1A
\prime \prime
j (x) \geq 0.
Нерiвнiсть S\prime \prime (x) \geq 0 у випадках (c.0) – (c.3) доведено. Насамкiнець зауважимо, що оскiльки
промiжки з (c.0) – (c.3) покривають весь промiжок G\mu , коли j пробiгає множину H\mu , то
S\prime \prime (x) =
\sum
j\in H\mu
Fj A
\prime \prime
j (x) \geq 0, x \in G\mu \setminus \{ xj : j \in H\mu \} , (2.30)
що i приводить до (2.24).
Щоб довести (2.25), нам потрiбна нерiвнiсть
| \Phi j | \leq c
\omega 4(f, h)
h4
(2.31)
(див., наприклад, [25, с. 54]), спiввiдношення (2.18) i технiчний сплайн s(x) = L3(x, xn, t) +
+ 4h
\sum n - 1
j=3 - n
\Phi j\Psi 3(x, xj), що iнтерполює f у кожнiй точцi xj без обмежень послiдовними
кубiчними параболами (див. [24], пропозицiя 1).
Тепер нехай x \in [xj\ast +1, xj\ast - 3], тодi з (2.21), (2.18) i (2.31) випливає оцiнка\bigm| \bigm| f(x) - S(x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| f(x) - s(x) + s(x) + S(x)
\bigm| \bigm| \leq
\leq c \omega 4(f, h) + 4h
n - 1\sum
j=3 - n
| \Phi j |
\bigm| \bigm| \Psi 3(x, xj) - \Psi j(x)
\bigm| \bigm| =
= c \omega 4(f, h) +
min\{ n - 1,j\ast +3\} \sum
j=max\{ 3 - n,j\ast - 3\}
| \Phi j | 4h
\bigm| \bigm| \Psi 3(x, xj) - \Psi j(x)
\bigm| \bigm| \leq c \omega 4(f, h),
i тому (2.25) справджується.
3. Доведення теореми 1.1. Позначимо числа
b1 := s+ 2, b2 := 3(s+ 1),
c9 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
6((2\pi )2b2 \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ c1(b2), c7(b2)\} + c8(b2) + 2)
3c3(b1)
, 2
\biggr\}
, n1 := 2 [c9 + 1]n, h1 := hn1 ,
c10 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
c5(b2)
\biggl(
c8(b2)
2c9
+ c1(b2)
\biggr)
, 10
\biggr\}
, n2 := 2
\bigl[
c10 + 1
\bigr]
n1, h2 := hn2
([\cdot ] — цiла частина). Зафiксуємо j = 3 - n, . . . , n - 1. Для кожної точки a\nu , \nu = 1, 2, 3, нехай j\nu
позначає такий iндекс, що xj\nu := xj\nu ,n1 = a\nu , а j\ast \nu — такий, що xj\ast \nu := xj\ast \nu ,n2 = xj\nu (= xj\nu ,n1).
Нехай j \in H3. Для кожного j\nu , \nu = 1, 2, 3, вiзьмемо
\widetilde \tau j\ast \nu (x) = \widetilde \tau j\ast \nu ,n2(x, b2), \widetilde tj\ast \nu (x) = \widetilde tj\ast \nu ,n2(x, b2)
i покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 363
\varphi j,\nu (x) := 6
x\int
dj - \pi
\Bigl( \widetilde \tau j\ast \nu (u) + \widetilde h\nu \bigl( \alpha \nu \widetilde t(j\nu +1)\ast (u) + (1 - \alpha \nu )\widetilde t(j\nu - 1)\ast (u)
\bigr) \Bigr)
du, \nu = 1, 3,
\varphi j,2(x) := 6
x\int
dj - \pi
\biggl( \widetilde \tau j\ast 2 (u) - 1
12
h2
\Bigl(
\alpha 2t
\prime
(j2+5)\ast (u) + (1 - \alpha 2)t
\prime
(j2 - 5)\ast (u)
\Bigr) \biggr)
du,
де \alpha \nu \in [0, 1], \nu = 1, 2, 3, можна вибрати так, що
\varphi j,\nu (dj + \pi ) = 3(\pi + h)(\pi - h), \nu = 1, 3,
\varphi j,2(dj + \pi ) = 3\pi 2 - \pi h2/2.
(3.1)
Дiйсно, наприклад, використовуючи (2.16), (2.6) \widetilde tj\ast \nu i (2.11), ми для фiксованого j, \nu = 3 i
\alpha 3 = 1 отримуємо оцiнку
\varphi j,3(dj + \pi ) = 6
dj+\pi \int
dj - \pi
\Bigl[ \widetilde \tau j\ast 3 (u) - (u - a3)+ + h
\bigl( \widetilde t(j3+1)\ast (u) - \chi (u, xj3+1)
\bigr)
+
+h
\bigl(
\chi (u, xj3+1) - \chi (u, a3)
\bigr) \Bigr]
du+ 6
dj+\pi \int
dj - \pi
\bigl(
(u - a3)+ + h\chi (u, a3)
\bigr)
du \geq
\geq 3(\pi 2 - h2) + 6hh1 -
- 6
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
dj+\pi \int
dj - \pi
\bigl[ \widetilde \tau j\ast 3 (u) - (u - a3)+ + h
\bigl( \widetilde t(j3+1)\ast (u) - \chi (u, xj3+1)
\bigr) \bigr]
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq
\geq 3(\pi 2 - h2) + 6hh1 -
- 6c8(b2)h2
dj+\pi \int
dj - \pi
\Gamma
2(b2 - s - 1)
j\ast 3 ,n2
(u)du - 6c1(b2)h
dj+\pi \int
dj - \pi
\Gamma 2b2 - 2s - 1
(j3+1)\ast ,n2
(u)du \geq
\geq 3(\pi 2 - h2) + 6hh1 - 6c5(b2)
\bigl(
c8(b2)h
2
2 + c1(b2)hh2
\bigr)
> 3(\pi 2 - h2),
тодi як для \alpha 3 = 0 (знову завдяки тому, що h1 >> h2), аналогiчно, виконується протилежна
нерiвнiсть \varphi j,3(dj + \pi ) < 3(\pi 2 - h2). Отже, (3.1) доведено для \nu = 3 (для \nu = 1, 2 доведення
проводиться аналогiчно).
Тепер вiзьмемо
tj\ast \nu (x) = tj\ast \nu ,n2(x, b2, Y ), tj\nu (x) = tj\nu ,n1(x, b1, Y )
i покладемо
\psi j,\nu (x) :=
x\int
dj - \pi
\Bigl[
\varphi j,\nu (u) + \^h\nu
\bigl(
\beta \nu t(j\nu +1)\ast (u) + tj\nu (u) + (1 - \beta \nu )t(j\nu - 1)\ast (u)
\bigr) \Bigr]
du,
де \^h\nu := h2 \vee - h2/4 \vee h2, \nu = 1, 2, 3, вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
364 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Лема 3.1. Якщо j \in H2, то \beta \nu \in [0, 1], \nu = 1, 2, 3, можна вибрати так, що
\psi j,\nu (dj + \pi ) = (\pi + h)\pi (\pi - h), (3.2)
i тодi функцiї \psi j,\nu задовольнятимуть нерiвностi\Bigl(
\psi \prime \prime
j,\nu (x) - \Psi \prime \prime
j,\nu (x)
\Bigr)
\Pi (x)\Pi (xj) \geq 0,\Bigl(
\psi \prime \prime
j,2(x) - \Psi \prime \prime
j,2(x)
\Bigr)
\Pi (x)\Pi (xj) \leq 0,
\nu = 1, 3, x \in [ - \pi , \pi ], (3.3)
| \Psi j,\nu (x) - \psi j,\nu (x)| \leq c h3j,n \Gamma
6
j,n(x), \nu = 1, 2, 3, x \in [ - \pi , \pi ]. (3.4)
Крiм того,
\psi j,\nu (x) =
1
8\pi
x4 +
\pi - dj
2\pi
x3 +
5d2j - 6dj\pi - h2
4\pi
x2 +
(\pi - dj)(5d
2
j - 2\pi 2 - h2)
2\pi
x+
+Qj(\nu )(x), \nu = 1, 2, 3, (3.5)
де Qj(\nu ) — деякi полiноми з \BbbT cn2 .
Доведення спiввiдношень (3.2) – (3.4) аналогiчне доведенню (3.1) (або див. доведення ле-
ми 6 iз [18]) з урахуванням значень n1, n2 i нерiвностей \Gamma (j\nu \pm 1)\ast ,n2
(x) < \Gamma j\nu \pm 1,n1(x) <
< 2\pi \Gamma j\nu ,n1(x) < 2\pi \Gamma j,n(x), x \in \BbbR . Доведемо лише (3.5) з \nu = 1 для визначеностi. З огляду
на (2.13) i (2.14) запишемо
\widetilde tj\ast 1 (x) = 1
2\pi
x+ \^Rj\ast 1
(x), \widetilde \tau j\ast 1 (x) = 1
4\pi
x2 +
\pi - xj
2\pi
x+ \~Rj\ast 1
(x),
\^rj\ast 1 (x) :=
\^Rj\ast 1
(x) - \^Rj\ast 1 ,0
, \~rj\ast 1 (x) :=
\~Rj\ast 1
(x) - \~Rj\ast 1 ,0
,
де \^Rj\ast 1 ,0
i \~Rj\ast 1 ,0
— вiльнi члени полiномiв \^Rj\ast 1
, \~Rj\ast 1
\in \BbbT cn вiдповiдно. Тодi
\varphi j,1(x) =
\biggl(
1
2\pi
x3 +
3(\pi - xj)
2\pi
x2 + 6 \~Rj\ast 1 ,0
x
\biggr)
-
\bigl(
. . . (dj - \pi )
\bigr)
-
- 6h
\biggl(
1
4\pi
x2 +
\Bigl(
\alpha 1
\^R(j1+1)\ast ,0 + (1 - \alpha 1) \^R(j1 - 1)\ast ,0
\Bigr)
x
\biggr)
+ 6h
\bigl(
. . . (dj - \pi )
\bigr)
+
+6
x\int
dj - \pi
\bigl(
\~rj\ast 1 (u) - h
\bigl(
\alpha 1\^r(j1+1)\ast (u) + (1 - \alpha 1)\^r(j1 - 1)\ast (u)
\bigr) \bigr)
du =
=
1
2\pi
x3 +
3(\pi - dj)
2\pi
x2 + 6Ax -
-
\biggl(
1
2\pi
(dj - \pi )3 +
3(\pi - dj)
2\pi
(dj - \pi )2 + 6A(dj - \pi )
\biggr)
+ qj1(x),
де
A := \~Rj\ast 1 ,0
- h
\Bigl(
\alpha \^R(j1+1)\ast ,0 + (1 - \alpha ) \^R(j1 - 1)\ast ,0
\Bigr)
i полiном qj1 з \BbbT cn не має вiльного члена. Звiдси i з (3.1) знаходимо значення A:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 365
3(\pi 2 - h2) =
1
2\pi
\bigl(
(dj + \pi )3 - (dj - \pi )3
\bigr)
+
3(\pi - dj)
2\pi
\bigl(
(dj + \pi )2 - (dj - \pi )2
\bigr)
+ 12\pi A\Rightarrow
\Rightarrow A =
5d2j - 6dj\pi - 3h2
12\pi
.
Отже,
\varphi j,1(x) =
1
2\pi
x3 +
3(\pi - dj)
2\pi
x2+
+
5d2j - 6dj\pi - 3h2
2\pi
x+
(\pi - dj)(3d
2
j - 2dj\pi - 2\pi 2 - 3h2)
2\pi
+ qj1(x),
звiдки з урахуванням (2.13) i (3.2) аналогiчно знаходимо (3.5).
Лему 3.1 доведено.
Конструкцiя майже коопуклого тригонометричного полiнома
Для j = 3 - n, n - 1 введемо функцiї \psi j . Якщо j \in H2, то покладемо
\psi j(x) := \psi j,2(x), якщо \Phi j \Pi (xj) \leq 0,
а у протилежному випадку
\psi j(x) :=
\left\{
\psi j,1(x), якщо | Fj+1| > | Fj | \geq | Fj - 1| ,
\psi j,3(x), якщо | Fj+1| \leq | Fj | < | Fj - 1| ,
\alpha j \psi j,1(x) + (1 - \alpha j)\psi j,3(x), якщо | Fj+1| > | Fj | < | Fj - 1| .
Якщо j /\in H2 (тобто j : xj \in Oi,2, i = 1, . . . , 2s), то нехай
\psi j(x) :=
\left\{ \psi j,2(x), якщо \Phi j \Pi (xj , \~Yi) \leq 0,
\psi j,1(x) у протилежному випадку.
Тепер позначимо
Pn(x) := L3(x, xn, f) + 4h
n - 1\sum
j=3 - n
\Phi j \psi j(x). (3.6)
Включення Pn \in \BbbT cn перевiряється аналогiчно вiдповiдним арифметичним пiдрахункам у
[18], тобто всi алгебраїчнi доданки з (3.5), включаючи L3, разом iз вiдповiдними подiленими
рiзницями в сумi (3.6) дорiвнюють нулю.
Перевiримо (1.2). При цьому будемо використовувати лему 3.1 у двох сенсах: у „звичай-
ному” для j \in H2 = H(n, Y, 2), а якщо j /\in H2, то у сенсi, що j \in H(n, \~Yi, 2). Отже, з (3.3),
(2.19), (2.21), (2.22) i (2.30) випливає, що
P \prime \prime
n (x)\Pi (x) =
\left( L\prime \prime
3(x, xn, f) + 4h
n - 1\sum
j=3 - n
\Phi j
\bigl(
\psi \prime \prime
j (x) - \Psi \prime \prime
j (x)
\bigr)
+ 4h
n - 1\sum
j=3 - n
\Phi j\Psi
\prime \prime
j (x)
\right) \Pi (x) =
= 4h
\sum
j\in H2
1
\Pi 2(xj)
\Phi j\Pi (xj)
\bigl(
\psi \prime \prime
j,\nu (x) - \Psi \prime \prime
j,\nu (x)
\bigr)
\Pi (x)\Pi (xj)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
366 Г. А. ДЗЮБЕНКО
+4h
2s\sum
i=1
\sum
j:xj\in Oi,1
1
\Pi 2(xj , \~Yi)
\Phi j\Pi (xj , \~Yi)
\bigl(
\psi \prime \prime
j,2\vee 1(x) - \Psi \prime \prime
j,2\vee 1(x)
\bigr)
\Pi (x, Y )\Pi (xj , \~Yi)+
+
\left( Fn
\biggl(
2 -
\Psi \prime \prime
n(x) - \Psi \prime \prime
n - 1(x)
3h
\biggr)
+
n - 1\sum
j=3 - n
Fj A
\prime \prime
j (x) + F2
\Psi \prime \prime
3(x)
3h
\right) \Pi (x) =:
=: A(x) +B(x) + C(x),
A(x) \geq 0, x \in \BbbR ,
B(x) \geq 0, x \in \BbbR \setminus \cup
i\in \BbbZ
(xji+5, yi),
C(x) \geq 0, x \in G на всiх перiодах,
що приводить до (1.2). Щоб довести (1.3), скористаємося (2.25), (2.31), (3.4) i (2.2), а саме,
\| f - Pn\| = \| f - S + S - Pn\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f - S +
n - 1\sum
j=3 - n
\Phi j \cdot 4h
\bigl(
\Psi j(\cdot ) - \psi j(\cdot )
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
[ - \pi ,\pi ]
\leq
\leq c \omega 4(f, h) + c
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n - 1\sum
j=3 - n
\omega 4(f, h)\Gamma
6
j (\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
[ - \pi ,\pi ]
\leq c \omega 4(f, h).
Теорему 1.1 доведено.
Лiтература
1. Jackson D. Über die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen
Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung: Thesis. – Gottingen, 1911.
2. Zygmund A. Smooth functions // Duke Math. J. – 1945. – 12, № 1. – P. 47 – 76.
3. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965.
4. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1951. –
15, № 3. – С. 219 – 242.
5. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука, 1977. – 512 с.
6. Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of approximation by monotone polynomials. I // J. Approxim. Theory. – 1968. –
1. – P. 501 – 504.
7. Попов П. А. Аналог нерiвностi Джексона для коопуклого наближення перiодичних функцiй // Укр. мат. журн. –
2001. – 53, № 7. – C. 919 – 928.
8. Залiзко В. Д. Коопукле наближення перiодичних функцiй // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 1. – C. 29 – 42.
9. Залiзко В. Д. Контрприклад для коопуклого наближення перiодичних функцiй // Наук. зап.: Зб. наук. статей
Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. – 2006. – № 6. – C. 91 – 96.
10. Шведов А. С. Порядки коприближений функций алгебраическими многочленами // Мат. заметки. – 1981. – 29,
№ 1. – C. 117 – 130.
11. DeVore R. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. Approximation of monotone functions: a counter example // Curves and
Surfaces with Applications in CAGD (Chamonix-Mont-Blanc, 1996). – Nashville, TN: Vanderbilt Univ. Press, 1997. –
P. 95 – 102.
12. Dzyubenko G. A., Gilewicz J. Nearly coconvex pointwise approximation by cubic splines and polynomials // East J.
Approxim. – 2006. – 12, № 4. – P. 417 – 439.
13. Dzyubenko G. A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. New phenomena in coconvex approximation // Anal. Math. – 2006. –
32. – P. 113 – 121.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
МАЙЖЕ КООПУКЛЕ НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ 367
14. Dzyubenko G. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. Pointwise estimates of coconvex approximation // Jaen J. Approxim. –
2014. – 6, № 2. – P. 261 – 295.
15. Whitney H. On functions with bouded n-th differences // J. Math. Pures et Appl. – 1957. – 36, № 9. – P. 67 – 95.
16. Leviatan D., Shevchuk I. A. Nearly comonotone approximation. II // Acta Sci. Math. (Szeged.) – 2000. – 66. –
P. 115 – 135.
17. Dzyubenko G. A., Gilewicz J. Copositive approximation of periodic functions // Acta Math. Hung. – 2006. – 120,
№ 4. – P. 301 – 314.
18. Dzyubenko G. A. Nearly comonotone approximation of periodic functions // Anal. Theory Appl. – 2017. – 33, № 1. –
P. 74 – 92.
19. Дзюбенко Г. А. Поточкова оцiнка майже копозитивного наближення неперервних функцiй алгебраїчними
многочленами // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 5. – C. 641 – 649.
20. Leviatan D., Shevchuk I. A. Nearly comonotone approximation // J. Approxim. Theory. – 1998. – 95. – P. 53 – 81.
21. Dzyubenko G. A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. Piecewise monotone pointwise approximation // Constr. Approxim. –
1998. – 14. – P. 311 – 348.
22. Дзюбенко Г. А., Плешаков М. Г. Комонотонное приближение периодических функций // Мат. заметки. – 2008. –
83, вып. 2. – C. 199 – 209.
23. Pleshakov M. G. Comonotone Jackson’s Inequality // J. Approxim. Theory. – 1999. – 99. – P. 409 – 421.
24. Dzyubenko G. A., Gilewicz J. Nearly coconvex pointwise approximation // East J. Approxim. – 2000. – 6. – P. 357 – 383.
25. Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наук. думка,
1992. – 225 с.
Одержано 15.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1444 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:30Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3e/042772cdd91408c346d46917464ccd3e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14442019-12-05T08:55:13Z Almost coconvex approximation of continuous periodic functions Майже коопукле наближення неперервних періодичних функцій Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. If a $2\pi$ -periodic function $f$ continuous on the real axis changes its convexity at $2s, s \in N$, points $y_i : \pi \leq y_{2s} < y_{2s-1} < . . . < y_1 < \pi$ , and, for all other $i \in Z$, $y_i$ are periodically defined, then, for every natural $n \geq N_{y_i}}$, we determine a trigonometric polynomial $P_n$ of order cn such that $P_n$ has the same convexity as $f$ everywhere except, possibly, small neighborhoods of the points $y_i : (y_i \p_i /n, y_i + \pi /n)$, and $\| f P_n\| \leq c(s) \omega 4(f, \pi /n)$,, where $N_{y_i}}$ is a constant depending only on $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}_{i = 1,...,2s}\{ y_i y_{i+1}\} , c$ and $c(s)$ are constants depending only on $s, \omega 4(f, \cdot )$ is the fourth modulus of smoothness of the function $f$, and $\| \cdot \|$ is the max-norm. У випадку, коли неперервна на дiйснiй осi $2\pi$ -перiодична функцiя $f$ змiнює свою опуклiсть у $2s,\; s \in N$, точках перегину $y_i : \pi \leq y_{2s} < y_{2s-1} < . . . < y_1 < \pi$ , а для iнших $i \in Z$ $y_i$ визначенi перiодично, для кожного натурального $n \geq N_{y_i}}$ знайдено тригонометричний полiном $P_n$ порядку $cn$ такий, що $P_n$ змiнює свою опуклiсть так само, як $f$, скрiзь, за винятком, можливо, маленьких околiв $y_i : (y_i \p_i /n, y_i + \pi /n)$ i $\| f P_n\| \leq c(s) \omega 4(f, \pi /n)$, де $N_{y_i}}$ — стала, що залежить лише вiд $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}_{i = 1,...,2s}\{ y_i y_{i+1}\} , c$ i $c(s)$ — сталi, що залежать лише вiд $s, \omega 4(f, \cdot )$ — четвертий модуль гладкостi функцiї $f$ i $\| \cdot \|$ — рiвномiрна норма. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1444 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 3 (2019); 353-367 Український математичний журнал; Том 71 № 3 (2019); 353-367 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1444/428 Copyright (c) 2019 Dzyubenko H. A. |
| spellingShingle | Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. Almost coconvex approximation of continuous periodic functions |
| title | Almost coconvex approximation of continuous periodic functions |
| title_alt | Майже коопукле наближення неперервних періодичних функцій |
| title_full | Almost coconvex approximation of continuous periodic functions |
| title_fullStr | Almost coconvex approximation of continuous periodic functions |
| title_full_unstemmed | Almost coconvex approximation of continuous periodic functions |
| title_short | Almost coconvex approximation of continuous periodic functions |
| title_sort | almost coconvex approximation of continuous periodic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1444 |
| work_keys_str_mv | AT dzyubenkoha almostcoconvexapproximationofcontinuousperiodicfunctions AT dzûbenkoga almostcoconvexapproximationofcontinuousperiodicfunctions AT dzyubenkoha majžekoopuklenabližennâneperervnihperíodičnihfunkcíj AT dzûbenkoga majžekoopuklenabližennâneperervnihperíodičnihfunkcíj |