The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions on the highest derivative
For given $r \in \bfN , p, \alpha , \beta , \mu > 0$, we solve the extreme problems $$\int^b_ax^q_{\pm} (t)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,$$ in the set of pairs $(x, I)$ of functions $x \in L^r_{\infty}$ and intervals $I = [a, b] \subset R$ satisfying the inequ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1445 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507196719104000 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:55:13Z |
| description | For given $r \in \bfN , p, \alpha , \beta , \mu > 0$, we solve the extreme problems
$$\int^b_ax^q_{\pm} (t)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,$$
in the set of pairs $(x, I)$ of functions $x \in L^r_{\infty}$ and intervals $I = [a, b] \subset R$ satisfying the inequalities $\beta \leq x(r)(t) \leq \alpha$ for almost all $t \in R$ , the conditions $L(x_{\pm})p \leq L\bigl(( \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}) \bigr)_p$, and the corresponding condition $\mu\Bigl(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{+}\Bigr) \leq \mu$ or
$\mu \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x \Bigr) \leq \mu$, where
$$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \| x\| L_{p[a,b]} : a, b \in R , | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$
$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{\pm} := \{ t \in [a, b] : x_{\pm} (t) > 0\} , \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}$ is the nonsymmetric $(2\pi /\lambda)$-periodic Euler spline of order $r$. As a
consequence, we solve the same problems for the intermediate derivatives $x(k)_{\pm} , k = 1,..., r_1,$ with $q \geq 1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепр. нац. ун-т)
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА
ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
НА СТАРШУЮ ПРОИЗВОДНУЮ
For given r \in \bfN , p, \alpha , \beta , \mu > 0, we solve the extreme problems
b\int
a
xq
\pm (t)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,
in the set of pairs (x, I) of functions x \in Lr
\infty and intervals I = [a, b] \subset \bfR satisfying the inequalities - \beta \leq x(r)(t) \leq \alpha
for almost all t \in \bfR , the conditions L(x\pm )p \leq L
\bigl( \bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\bigr)
\pm
\bigr)
p
, and the corresponding condition \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x+
\Bigr)
\leq \mu or
\mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x -
\Bigr)
\leq \mu , where
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| x\| Lp[a,b]
: a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Bigr\}
,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x\pm := \{ t \in [a, b] : x\pm (t) > 0\} , and \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r is the nonsymmetric (2\pi /\lambda )-periodic Euler spline of order r. As a
consequence, we solve the same problems for the intermediate derivatives x
(k)
\pm , k = 1, . . . , r - 1, with q \geq 1.
Для заданих r \in \bfN , p, \alpha , \beta , \mu > 0 розв’язано екстремальнi задачi
b\int
a
xq
\pm (t)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,
на класi пар (x, I) функцiй x \in Lr
\infty i вiдрiзкiв I = [a, b] \subset \bfR , для яких виконуються нерiвностi - \beta \leq
\leq x(r)(t) \leq \alpha майже для всiх t \in \bfR , умови L
\bigl(
x\pm )p \leq L
\bigl( \bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\bigr)
\pm
\bigr)
p
та вiдповiдна умова \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x+
\Bigr)
\leq \mu або
\mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x -
\Bigr)
\leq \mu , де
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| x\| Lp[a,b]
: a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Bigr\}
,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x\pm := \{ t \in [a, b] : x\pm (t) > 0\} , \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r — несиметричний (2\pi /\lambda )-перiодичний сплайн Ейлера порядку r. Як
наслiдок розв’язано тi ж самi екстремальнi задачi для промiжних похiдних x
(k)
\pm , k = 1, . . . , r - 1, при q \geq 1.
1. Введение. Будем рассматривать пространства Lp, 0 < p \leq \infty , всех измеримых функций x :
\bfR \rightarrow \bfR таких, что \| x\| p < \infty , где
\| x\| p :=
\left\{
\biggl( \int +\infty
- \infty
| x (t)| p dt
\biggr) 1/p
, если 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in R
| x (t)| , если p = \infty .
Для r \in \bfN и p, s \in (0,\infty ] через Lr
p,s обозначим пространство всех функций x \in Lp,
имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r - 1)-го порядка включительно,
причем x(r) \in Ls. Будем писать Lr
\infty вместо Lr
\infty ,\infty .
Известно (см., например, [1, с. 47]), что задача нахождения точной константы C в неравен-
стве типа Колмогорова – Надя
c\bigcirc В. А. КОФАНОВ, 2019
368 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ . . . 369
\| x(k)\| q \leq C \| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
s
(1.1)
на классе функций x \in Lr
p,s, где \alpha =
r - k + 1/q - 1/s
r + 1/p - 1/s
, а параметры q, p, s \geq 1, r \in \bfN ,
k \in \bfN 0 := \bfN
\bigcup
\{ 0\} , k < r, удовлетворяют условию \alpha \leq (r - k)/r, равносильна экстремальной
задаче
\| x(k)\| q \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} (1.2)
на классе функций x \in Lr
p,s, удовлетворяющих ограничениям
\| x(r)\| s \leq Ar, \| x\| p \leq A0, (1.3)
где A0, Ar — заданные положительные числа.
Несмотря на большое количество работ по этой тематике (см. библиографию в работах [1 –
3]), точная константа C в неравенстве (1.1) известна для всех k, r \in \bfN , k < r, лишь в немногих
случаях. Поэтому представляет интерес следующая модификация задачи (1.2) с ограничениями
(1.3), рассмотренная Б. Бояновым и Н. Найденовым [4]. Для произвольного отрезка [a, b] \subset \bfR
ими решена задача
b\int
a
\Phi (| x(k)(t)| )dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, k = 1, . . . , r - 1,
на классе функций x \in Lr
\infty , удовлетворяющих условиям (1.3) с p = s = \infty , где \Phi — непрерывно
дифференцируемая функция на [0,\infty ), положительная на (0,\infty ) и такая, что \Phi (t)/t не убывает
и \Phi (0) = 0.
Через W обозначим класс непрерывных, неотрицательных и выпуклых функций \Phi , опре-
деленных на [0,\infty ) и таких, что \Phi (0) = 0. Для p > 0 положим [5]
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( b\int
a
| x (t)| p dt
\right) 1/p
: a, b \in \bfR , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\right\} . (1.4)
В работе [6] решена следующая модификация задачи Боянова – Найденова:
b\int
a
\Phi (| x(t)| p)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, p > 0, (1.5)
на классе функций x \in Lr
\infty , удовлетворяющих ограничениям
\| x(r)\| \infty \leq Ar, L(x)p \leq A0. (1.6)
Как следствие получено решение задачи
b\int
a
\Phi (| x(k)(t)| )dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, k = 1, . . . , r - 1, (1.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
370 В. А. КОФАНОВ
на классе всех функций x \in Lr
\infty , удовлетворяющих условиям (1.6). Результаты работы [6]
обобщены в [7].
Точные неравенства вида (1.1) с несимметричными ограничениями на старшую производ-
ную и родственные экстремальные задачи с такими ограничениями рассматривались в работах
[8 – 11].
Пусть r \in \bfN , \alpha , \beta > 0. Символом \varphi \alpha ,\beta
r (t) обозначим r-й 2\pi -периодический интеграл с
нулевым средним значением на периоде от 2\pi -периодической функции \varphi \alpha ,\beta
0 (t), определенной
на [0, 2\pi ] следующим образом:
\varphi \alpha ,\beta
0 (t) :=
\left\{ \alpha , если t \in [0, 2\pi \beta /(\alpha + \beta )],
- \beta , если t \in [2\pi \beta /(\alpha + \beta ), 2\pi ],
и для \lambda > 0 положим \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (t) := \lambda - r\varphi \alpha ,\beta
r (\lambda t). Пусть далее
W r
\infty ,\alpha ,\beta :=
\Bigl\{
x \in Lr
\infty :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \alpha - 1x
(r)
+ + \beta - 1x
(r)
-
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq 1
\Bigr\}
.
Рассмотрим класс
Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ) :=
\Biggl\{
x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta : L(x\pm )p \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
p
\Biggr\}
,
где x\pm (t) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x\pm (t), 0\} .
В настоящей работе решена задача (теорема 1)
b\int
a
\Phi (xp\pm (t))dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, p > 0, (1.8)
на классе пар (x, I) функций x \in Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ) и отрезков I = [a, b], для которых выполнено
соответствующее условие
\mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x\pm
\Bigr)
\leq \mu , \mu > 0,
и задача (теорема 2)
b\int
a
\Phi (x
(k)
\pm (t))dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, \Phi \in W, k = 1, . . . , r - 1, (1.9)
на классе пар (x, I) функций x \in Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ) и отрезков I = [a, b], удовлетворяющих соот-
ветствующему условию
\mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x
(k)
\pm
\Bigr)
\leq \mu , \mu > 0,
где \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x := \{ t \in [a, b] : | x(t)| > 0\} .
Отметим, что задачи (1.8) и (1.9) в симметричном случае (т. е. при \alpha = \beta ) решены в
работе [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ . . . 371
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1 [11]. Пусть r \in \bfN ; p, \alpha , \beta > 0. Если для функции x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta число \lambda > 0
выбрано так, что
L(x\pm )p \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
p
,
где величина L(x)p определена равенством (1.4), то
\| x\pm \| \infty \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
.
Лемма 2 [11]. Пусть k, r \in \bfN , k < r; p, \alpha , \beta > 0. Если для функции x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta число
\lambda > 0 выбрано так, что
L(x\pm )p \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
p
,
то для любого q \geq 1
L(x
(k)
\pm )q \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r - k
\Bigr)
\pm
\biggr)
q
.
Следствие 1. Пусть r \in \bfN ; \alpha , \beta > 0. Если функция x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta удовлетворяет условию
L(x)p < \infty с некоторым p > 0 и | x(t)| > 0 для t \in (a, b), причем a = - \infty или b = +\infty , то
x(t) \rightarrow 0, если t \rightarrow - \infty или t \rightarrow +\infty .
В условиях следствия 1 будем полагать x( - \infty ) = 0 или x(+\infty ) = 0.
Для суммируемой на отрезке [a, b] функции x cимволом r(x, t) обозначим перестановку
функции | x| (см., например, [13], § 1.3). При этом условимся, что r(x, t) = 0 для t > b - a.
Лемма 3. Пусть r \in \bfN ; p > 0, \alpha , \beta > 0 и для функции x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta число \lambda > 0 выбрано
так, что выполнены условия
L(x\pm )p \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
p
, (2.1)
где величина L(x)p определена равенством (1.4).
Если интервал (конечный или бесконечный) (a\pm , b\pm ) \subset \bfR и отрезок [A\pm , B\pm ] \subset \bfR таковы,
что
x\pm (a\pm ) = x\pm (b\pm ) = 0, x\pm (t) > 0, t \in (a\pm , b\pm ), (2.2)
и \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
(A\pm ) =
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
(B\pm ) = 0,
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
(t) > 0, t \in (A\pm , B\pm ), (2.3)
то для любого \xi > 0 и любой функции \Phi \in W выполнены неравенства
a\pm +\xi \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
A\pm +\xi \int
A\pm
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t)
\biggr)
dt (2.4)
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
372 В. А. КОФАНОВ
b\pm \int
b\pm - \xi
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
B\pm \int
B\pm - \xi
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t)
\biggr)
dt, (2.5)
где x\pm - сужение функции x\pm на (a\pm , b\pm ), а
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
- сужение
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
на [A\pm , B\pm ], причем
за пределами этих промежутков функции x\pm и
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
полагаем равными нулю.
Кроме того, если
b\pm - a\pm \leq B\pm - A\pm , (2.6)
то для любого отрезка [\alpha \pm , \beta \pm ] \subset [A\pm , B\pm ], для которого
\beta \pm - \alpha \pm = b\pm - a\pm , (2.7)
имеет место неравенство
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
\beta \pm \int
\alpha \pm
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t)
\biggr)
dt, \Phi \in W. (2.8)
Доказательство. Зафиксируем функцию x и промежутки (a\pm , b\pm ) и [A\pm , B\pm ], удовле-
творяющие условиям леммы 3. Докажем неравенство (2.4) (неравенство (2.5) доказывается
аналогично).
Сначала докажем неравенство
\xi \int
0
rp(x\pm , t) dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi \pm , t) dt, \xi > 0, (2.9)
где для краткости положено \varphi \pm :=
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
. Убедимся прежде всего в том, что разность
\delta \pm (t) := r(x\pm , t) - r(\varphi \pm , t) меняет знак на [0,\infty ) не более одного раза (с минуса на плюс).
Чтобы доказать этот факт, заметим, что
\delta \pm (0) \leq \| x\pm \| \infty - \| (\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r )\pm \| \infty \leq 0 (2.10)
согласно леммe 1. В силу этого неравенства и соотношений (2.2), (2.3) для любого z\pm \in
\in (0, \| x\pm \| \infty ) существуют такие точки
t\pm i \in (a\pm , b\pm ), i = 1, . . . ,m, m \geq 2, y\pm j \in (A\pm , B\pm ), j = 1, 2,
что
z\pm = x\pm (t
\pm
i ) = \varphi \pm (y
\pm
j ), \varphi \prime
\pm (y
\pm
1 ) > 0, \varphi \prime
\pm (y
\pm
2 ) < 0. (2.11)
При этом | x\prime \pm (t\pm i )| \not = 0, i = 1, . . . ,m, для почти всех z\pm \in
\bigl(
0, \| x\pm \| \infty
\bigr)
, причем среди точек t\pm i
имеется хотя бы по одной точке t\pm i1 и t\pm i2 , для которых
x\prime \pm
\bigl(
t\pm i1
\bigr)
> 0, x\prime \pm (t
\pm
i2
) < 0. (2.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ . . . 373
В силу включения x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta и неравенства (2.10) выполнены условия теоремы сравнения
Хермандера [8] (см. также [1, с. 96]). Согласно этой теореме, для точек t\pm i и y\pm j , удовлетворя-
ющих условиям (2.11) и (2.12), выполнены неравенства\bigm| \bigm| x\prime \pm \bigl( t\pm i1\bigr) \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \varphi \prime
\pm (y
\pm
1 )
\bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| x\prime \pm (t\pm i2)\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \varphi \prime
\pm (y
\pm
2 )
\bigm| \bigm| .
Поэтому если точки \theta \pm 1 , \theta
\pm
2 > 0 выбраны так, что
z\pm = r
\bigl(
x\pm , \theta
\pm
1
\bigr)
= r
\bigl(
\varphi \pm , \theta
\pm
2
\bigr)
,
то по теореме о производной перестановки (см., например, [13], предложение 1.3.2)
| r\prime (x\pm , \theta \pm 1 )| =
\Biggl[
m\sum
i=1
| x\prime \pm (t\pm i )|
- 1
\Biggr] - 1
\leq
\left[ 2\sum
j=1
| \varphi \prime
\pm (y
\pm
j )|
- 1
\right] - 1
= | r\prime (\varphi \pm , \theta
\pm
2 )| .
Отсюда следует, что разность \delta \pm (t) := r(x\pm , t) - r(\varphi \pm , t) меняет знак на [0,\infty ) не более одного
раза (с минуса на плюс). То же самое справедливо и для разности
\delta \pm p (t) := rp(x\pm , t) - rp(\varphi \pm , t).
Рассмотрим интеграл
I\pm p (\xi ) :=
\xi \int
0
\delta \pm p (t)dt, \xi \geq 0.
Ясно, что I\pm p (0) = 0, и в силу условия (2.1) для \xi \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ b\pm - a\pm , B\pm - A\pm \} имеем
I\pm p (\xi ) \leq L(x\pm )p - L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
p
\leq 0.
Кроме того, производная (I\pm p )\prime (t) = \delta \pm (t) меняет знак на [0,\infty ) не более одного раза (с минуса
на плюс). Следовательно, I\pm p (\xi ) \leq 0 для всех \xi \geq 0. Неравенство (2.9) доказано. Из него в
силу теоремы Харди – Литлвуда – Полиа (см., например, [13], теорема 1.3.11) следует, что
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
B\pm \int
A\pm
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t)
\biggr)
dt, \Phi \in W. (2.13)
Докажем теперь неравенство (2.4). Переходя к сдвигам функций x и
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
, можем считать,
что
a\pm = A\pm = 0. (2.14)
Тогда из теоремы сравнения Хермандера следует, что разность \Delta \pm (t) := x\pm (t) - \varphi \pm (t) меняет
знак на [0,\infty ) не более одного раза (с минуса на плюс). Вследствие монотонного возрастания
функций f(t) = tp и \Phi \in W то же самое справедливо и для разности
\Delta \pm
\Phi (t) := \Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
- \Phi
\bigl(
\varphi p
\pm (t)
\bigr)
, t > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
374 В. А. КОФАНОВ
Положим
I\pm \Phi (\xi ) :=
\xi \int
0
\Delta \pm
\Phi (t)dt, \xi \geq 0.
Ясно, что I\pm \Phi (0) = 0. Учитывая также неравенство (2.13) и предположение (2.14), имеем
I\pm \Phi (\xi ) \leq
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt -
B\pm \int
A\pm
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t)
\biggr)
dt \leq 0
для \xi \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ b\pm - a\pm , B\pm - A\pm \} . Кроме того, производная (I\pm \Phi )\prime (t) = \Delta \pm
\Phi (t) меняет знак на
[0,\infty ) не более одного раза (с минуса на плюс). Следовательно, I\pm \Phi (\xi ) \leq 0 для всех \xi \geq 0.
В силу предположения (2.14) это равносильно неравенству (2.4).
Осталось доказать неравенство (2.8) при выполнении условий (2.6), (2.7). Пусть последние
два условия выполнены. Тогда, переходя, если нужно, к сдвигу функции x, можно считать, что
a\pm = \alpha \pm , b\pm = \beta \pm . (2.15)
Поэтому из теоремы сравнения Хермандера (ее условия, как было отмечено, выполнены) вы-
текают неравенства
x\pm (t) \leq
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
(t), t \in [a\pm , b\pm ].
Отсюда в силу предположения (2.15) непосредственно следует неравенство (2.8).
Лемма 3 доказана.
В ходе доказательства леммы 3 было получено неравенство (2.13). Полагая в нем \Phi (t) =
= tq/p, где q \geq p, учитывая условия (2.2), (2.3) и определение (1.4) величины L(x)q, приходим
к такому следствию.
Следствие 2. В условиях леммы 3 для любой функции \Phi \in W имеет место неравенство
b\pm \int
a\pm
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt \leq
B\pm \int
A\pm
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t)
\biggr)
dt =
2\pi /\lambda \int
0
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t)
\biggr)
dt.
В частности, для любого q \geq p
L(x\pm )q \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
q
.
Положим
d\pm r := \mu
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[0, 2\pi /\lambda ]
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
, (2.16)
где множество \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a, b]x\pm определено равенством (1.8). Отметим, что d+r +d - r = 2\pi /\lambda , причем
d+r = d - r для нечетных r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ . . . 375
Лемма 4. Пусть r \in \bfN ; p, \alpha , \beta > 0 и для функции x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta число \lambda > 0 выбрано так,
что выполнены условия
L(x\pm )p \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
p
, (2.17)
где величина L(x)p определена равенством (1.4). Если отрезок [a, b] \subset \bfR удовлетворяет
условию
\delta + := \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x+
\Bigr)
\leq d+r (2.18)
или условию
\delta - := \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x -
\Bigr)
\leq d - r , (2.19)
то для любой функции \Phi \in W имеет место неравенство
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
m++\Theta +
2\int
m+ - \Theta +
1
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt (2.20)
или соответственно
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp - (t)
\bigr)
dt \leq
m - +\Theta -
2\int
m - - \Theta -
1
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
-
(t)
\biggr)
dt, (2.21)
где m\pm — точки локального максимума функции (\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (t))\pm , а числа \Theta \pm
1 , \Theta
\pm
2 > 0 таковы, что
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (m
\pm - \Theta \pm
1 ) = \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (m
\pm +\Theta \pm
2 ), (2.22)
причем
\Theta \pm
1 +\Theta \pm
2 = \delta \pm . (2.23)
Отметим, что \Theta \pm
1 = \Theta \pm
2 для четных r.
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta и отрезок [a, b], удовлетворяющие
условиям леммы 4. Докажем неравенство (2.20) при выполнении условия (2.18) (неравен-
ство (2.21) при выполнении условия (2.19) доказывается аналогично). Будем считать, что
x+(a) > 0, x+(b) > 0 (2.24)
(если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, доказательство неравенства (2.20)
только упрощается).
Если функция x не имеет нулей на (a, b), то согласно следствию 1 из леммы 2 существует
такой интервал (c, d) (конечный или бесконечный), что (a, b) \subset (c, d), причем
x+(c) = x+(d) = 0, x+(t) > 0, t \in (c, d).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
376 В. А. КОФАНОВ
Через x+ обозначим сужение x+ на (c, d), а через \varphi + — сужение (\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r )+ на [0, 2\pi /\lambda ]. Тогда,
повторяя рассуждения из доказательства неравенства (2.9), получаем
\xi \int
0
rp(x+, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi +, t)dt, \xi > 0.
Отсюда в силу теоремы Харди – Литлвуда – Полиа (см., например, [13], теорема 1.3.11) следует,
что
\xi \int
0
\Phi (rp(x+, t)) dt \leq
\xi \int
0
\Phi
\bigl(
rp(\varphi +, t)
\bigr)
dt, \Phi \in W, \xi > 0.
Поэтому
b\int
a
\Phi
\bigl(
(xp+(t)
\bigr)
dt =
b - a\int
0
\Phi (rp(x+, t)) dt \leq
b - a\int
0
\Phi
\bigl(
rp(\varphi +(t)
\bigr)
dt.
Теперь неравенство (2.20) в случае, когда x не имеет нулей на (a, b), следует из очевидного
равенства
b - a\int
0
\Phi
\bigl(
rp(\varphi +(t)
\bigr)
dt =
m++\Theta +
2\int
m+ - \Theta +
1
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt,
где m+ — точка локального максимума сплайна (\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (t))+, а \Theta +
1 ,\Theta
+
2 > 0 удовлетворяют
условиям (2.22) и (2.23), причем \delta + = b - a.
Пусть теперь x имеет нули на (a, b). Положим
a\prime := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t \in (a, b) : x+(t) = 0\} , b\prime := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ t \in (a, b) : x+(t) = 0\} .
Тогда в силу (2.24) носитель \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x+ имеет вид
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x+ = (a, a\prime )
\bigcup
(b\prime , b)
\bigcup \bigcup
k
(ak, bk), (2.25)
где (ak, bk) \subset (a\prime , b\prime ), причем
x+(ak) = x+(bk) = 0, x+(t) > 0, t \in (ak, bk)
(не исключено, что множество таких интервалов (ak, bk) пусто). В силу соотношения (2.18),
предположения (2.24) и определения чисел a\prime и b\prime имеем
\delta + = (a\prime - a) + (b - b\prime ) +
\sum
k
(bk - ak) \leq d+r . (2.26)
Пусть A+ и B+ — два соседних нуля сплайна \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r , причем (\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r )+(t) > 0 для t \in (A+, B+).
В силу следствия 1 существуют интервалы (\alpha \prime , a\prime ), (b\prime , \beta \prime ) (конечные или бесконечные), для
которых
x+(\alpha
\prime ) = x+(a
\prime ) = 0, x+(t) > 0, t \in (\alpha \prime , a\prime ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ . . . 377
и
x+(b
\prime ) = x+(\beta
\prime ) = 0, x+(t) > 0, t \in (b\prime , \beta \prime ).
Применяя к интервалам (\alpha \prime , a\prime ), (b\prime , \beta \prime ) и отрезку [A+, B+] неравенства (2.4) и (2.5), получаем
b\int
b\prime
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
A++\xi \int
A+
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt, \xi = b - b\prime , (2.27)
и
a\prime \int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
B+\int
B+ - \eta
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt, \eta = a\prime - a, (2.28)
\Bigl(
в силу (2.26) вместо x+ в неравенстве (2.4) можно писать x+, а вместо
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
+
-
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
+
\Bigr)
.
В силу (2.26) существуют попарно непересекающиеся интервалы (\alpha k, \beta k) такие, что
(\alpha k, \beta k) \subset (A+ + \xi , B+ - \eta ), \beta k - \alpha k = bk - ak.
Для них в силу соотношения (2.8) выполнено неравенство
bk\int
ak
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
\beta k\int
\alpha k
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt. (2.29)
Суммируя оценки (2.27) – (2.29) и учитывая (2.25), имеем
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt =
a\prime \int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt+
b\int
b\prime
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt+
\sum
k
bk\int
ak
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
\leq
A++\xi \int
A+
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt+
B+\int
B+ - \eta
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt+
\sum
k
\beta k\int
\alpha k
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt.
Поскольку \beta k - \alpha k = bk - ak, то в силу (2.26) \xi + \eta +
\sum
k
(\beta k - \alpha k) = \delta +. Поэтому сумма
интегралов в правой части полученной оценки не превышает
\delta +\int
0
r
\biggl(
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
, t
\biggr) \biggr)
dt =
m++\Theta +
2\int
m+ - \Theta +
1
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt,
где
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
+
— сужение
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
+
на [A+, B+], m
+ — точка локального максимума функции
(\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (t))+, а \Theta +
1 , \Theta +
2 > 0 удовлетворяют соотношениям (2.22) и (2.23). Неравенство (2.20)
доказано.
Лемма 4 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
378 В. А. КОФАНОВ
Следствие 3. Если в условиях леммы 4 выполнено условие \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x+
\Bigr)
\leq d+r , то имеет
место неравенство
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
2\pi /\lambda \int
0
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt, (2.30)
а при выполнении условия \mu
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x -
\Bigr)
\leq d - r — неравенство
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp - (t)
\bigr)
dt \leq
2\pi /\lambda \int
0
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
-
(t)
\biggr)
dt.
3. Основные результаты. Пусть r \in \bfN ; p, \alpha , \beta , \lambda > 0. Напомним, что
Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ) :=
\Biggl\{
x \in W r
\infty ,\alpha ,\beta : L(x\pm )p \leq L
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
p
\Biggr\}
, (3.1)
где величина L(x)p определена равенством (1.4). Зафиксируем число \mu > 0 и введем множество
пар (x, I) функций x и отрезков I = [a, b] равенством
L\pm
r (p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ) :=
\bigl\{
(x, I) : x \in Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x\pm \leq \mu
\bigr\}
. (3.2)
Напомним, что
d\pm r := \mu
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[0, 2\pi /\lambda ]
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\biggr)
. (3.3)
Ясно, что d+r + d - r = 2\pi /\lambda , причем d+r = d - r для нечетных r. Представим число \mu одним из
способов (через d+r или d - r )
\mu = n\pm d
\pm
r +\Theta \pm
1 +\Theta \pm
2 , n\pm \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \pm
1 , \Theta
\pm
2 , \Theta
\pm
1 +\Theta \pm
2 \in [0, d\pm r ), (3.4)
причем \Theta \pm
1 = \Theta \pm
2 для четных r.
Заметим, что если числа \tau \pm \in \bfR и отрезок [A,B] таковы, что
B - A = n\pm
2\pi
\lambda
+\Theta \pm
1 +\Theta \pm
2 , (3.5)
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
(A+\Theta \pm
1 + \tau \pm ) =
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
(B - \Theta \pm
2 + \tau \pm ) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr)
\pm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
, (3.6)
то
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (\cdot + \tau \pm ), [A,B]
\Bigr)
\in L\pm
r (p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ).
Теорема 1. Пусть r \in \bfN ; p, \alpha , \beta , \lambda , \mu > 0. Тогда для любой функции \Phi \in W
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp\pm (t)
\bigr)
dt : (x, I) \in L\pm
r (p, \alpha , \beta , \lambda , \mu )
\right\} =
B\int
A
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
\pm
(t+ \tau \pm )
\biggr)
dt,
где множества L\pm
r (p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ), числа \tau \pm и отрезок [A,B] определены соотношениями (3.1) –
(3.6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ . . . 379
Доказательство. Зафиксируем пару (x, I) \in L\pm
r (p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ). Докажем теорему для x+
(для x - доказательство аналогично). Во-первых, докажем неравенство
I :=
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq
B\int
A
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t+ \tau +)
\biggr)
dt := I(\mu ). (3.7)
Рассмотрим сначала случай, когда \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a, b]x+ = \mu . Поскольку для \mu справедливо представле-
ние (3.4), то отрезок [a, b] представим в виде
[a, b] =
n+\bigcup
k=1
[\alpha k, \beta k]
\bigcup
[\alpha , \beta ],
причем интервалы (\alpha k, \beta k), (\alpha , \beta ) попарно не пересекаются и
\mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[\alpha k, \beta k]
x+
\bigr)
= d+r , \mu
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[\alpha ,\beta ]x+
\bigr)
= \Theta +
1 +\Theta +
2 .
Тогда
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt =
n+\sum
k=1
\beta k\int
\alpha k
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt+
\beta \int
\alpha
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt.
Применяя для оценки интегралов в правой части последнего равенства неравенство (2.30) и
неравенство (2.20), получаем
b\int
a
\Phi
\bigl(
xp+(t)
\bigr)
dt \leq n+
2\pi /\lambda \int
0
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt+
m++\Theta +
2\int
m+ - \Theta +
1
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t)
\biggr)
dt =
=
B\int
A
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) p
+
(t+ \tau +)
\biggr)
dt,
где m+ - точка максимума сплайна \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r , а последнее равенство в этой цепочке вытекает из
(3.5) и (3.6). Итак, неравенство (3.7) доказано в случае, когда \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a, b]x+ = \mu . Пусть теперь
\mu 1 := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a, b]x+ < \mu +. Заметим, что число \mu однозначно представимо в виде (3.4) (через d+r )
и, следовательно, этим числом однозначно (с точностью до сдвига) определяются отрезок [A,B]
и число \tau +. Поэтому интеграл I(\mu ) в правой части (3.7) однозначно определяется числом \mu .
При этом, очевидно, что I(\mu ) строго возрастает как функция от \mu . Следовательно, повторив
рассуждения из предыдущего случая, для интеграла I в левой части (3.7) получим оценку
I \leq I(\mu 1) < I(\mu ).
Таким образом, неравенство (3.7) полностью доказано. Осталось заметить, что для функ-
ции x(\cdot ) = \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (\cdot + \tau +) и отрезка [A,B], которые определены соотношениями (3.5), (3.6),
неравенство (3.7) обращается в равенство.
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
380 В. А. КОФАНОВ
Пусть k, r \in \bfN , k < r; p, \alpha , \beta , \lambda > 0. В силу леммы 2, если x \in Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ) (это
множество определено равенством (3.1)), то x(k) \in Lr - k(q, \alpha , \beta , \lambda ) для любого q \geq 1.
Зафиксируем число \mu > 0 и введем множество пар (x, I) функций x и отрезков I = [a, b]
равенством
L\pm
r,k(p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ) :=
\bigl\{
(x, I) : x \in Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[a,b]x
(k)
\pm \leq \mu
\bigr\}
. (3.8)
Представим число \mu одним из способов (через d+r - k или d - r - k )
\mu = n\pm d
\pm
r - k +\Theta \pm
1 +\Theta \pm
2 , n\pm \in \bfN
\bigcup
\{ 0\} , \Theta \pm
1 , \Theta
\pm
2 , \Theta
\pm
1 +\Theta \pm
2 \in [0, d\pm r - k), (3.9)
причем \Theta \pm
1 = \Theta \pm
2 для четных r - k, а величины d\pm r определены соотношением (3.3).
Выберем далее числа \tau \pm \in \bfR и отрезок [A, B] так, чтобы
B - A = n\pm
2\pi
\lambda
+\Theta \pm
1 +\Theta \pm
2 , (3.10)
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r - k
\Bigr)
\pm
(A+\Theta \pm
1 + \tau \pm ) =
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r - k
\Bigr)
\pm
(B - \Theta \pm
2 + \tau \pm ) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r - k
\Bigr)
\pm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
. (3.11)
Тогда
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r (\cdot + \tau \pm ), [A,B]
\Bigr)
\in L\pm
r,k(p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ).
Теорема 2. Пусть k, r \in \bfN , k < r; p, \alpha , \beta , \lambda , \mu > 0. Тогда для любой функции \Phi \in W
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Phi
\Bigl(
x
(k)
\pm (t)
\Bigr)
dt : (x, I) \in L\pm
r,k(p, \alpha , \beta , \lambda , \mu )
\right\} =
B\int
A
\Phi
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r - k
\Bigr)
\pm
(t+ \tau \pm )
\biggr)
dt,
где множества L\pm
r,k(p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ), числа \tau \pm и отрезок [A,B] определены соотношениями (3.1)
и (3.8) – (3.11).
Доказательство. В силу леммы 2 имеет место импликация
x \in Lr(p, \alpha , \beta , \lambda ) \Rightarrow x(k) \in Lr - k(1, \alpha , \beta , \lambda ).
Отсюда следует, что
(x, I) \in L\pm
r,k(p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ) \Rightarrow (x(k), I) \in L\pm
r - k(1, \alpha , \beta , \lambda , \mu ).
Поэтому, применяя теорему 1 к классу L\pm
r - k(1, \alpha , \beta , \lambda , \mu ), получаем утверждение теоремы 2.
Теорема 2 доказана.
Полагая \Phi (t) = tq/p в теореме 1 и \Phi (t) = tq в теореме 2, получаем такое следствие.
Следствие 4. Пусть r \in \bfN ; p, \alpha , \beta , \lambda , \mu > 0. Тогда для любого q \geq p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
xq\pm (t)dt : (x, I) \in L\pm
r (p, \alpha , \beta , \lambda , \mu )
\right\} =
B\int
A
\Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r
\Bigr) q
\pm
(t+ \tau \pm )dt,
где множества L\pm
r (p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ), числа \tau \pm и отрезок [A,B] определены соотношениями (3.1) –
(3.6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ЗАДАЧА БОЯНОВА – НАЙДЕНОВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ . . . 381
Кроме того, для любого k \in \bfN , k < r, и произвольного q \geq 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
b\int
a
\Bigl(
x
(k)
\pm (t)
\Bigr) q
dt : (x, I) \in L\pm
r,k(p, \alpha , \beta , \lambda , \mu )
\right\} =
B\int
A
\biggl( \Bigl(
\varphi \alpha ,\beta
\lambda ,r - k
\Bigr) q
\pm
(t+ \tau \pm )
\biggr)
dt,
где множества L\pm
r,k(p, \alpha , \beta , \lambda , \mu ), числа \tau \pm и отрезок [A,B] определены соотношениями (3.1)
и (3.8) – (3.11).
Литература
1. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
2. Бабенко В. Ф. Исследования Днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических
функций и их приложениям // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 5 – 29.
3. Kwong M. K., Zettl A. Norm inequalities for derivatives and differences. – Berlin: Springer-Verlag, 1992. – 150 p.
4. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos // J.
Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
5. Pinkus A., Shisha O. Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation // J. Approxim. Theory. –
1982. – 35, № 2. – P. 148 – 168.
6. Кофанов В. А. О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 6. – С. 765 – 776.
7. Кофанов В. А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной
функцией сравнения // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 969 – 984.
8. H\"\mathrm{o}rmander L. A new proof and generalization of inequality of Bohr // Math. Scand. – 1954. – 2. – P. 33 – 45.
9. Бабенко В. Ф. Несимметричные экстремальные задачи теории приближения // Докл. АН. СССР. – 1983. – 269,
№ 3. – С. 521 – 524.
10. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities of Kolmogorov type and some their applications in
approximation theory // Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. II. Suppl. – 1998. – 52. – P. 223 – 237.
11. Кофанов В. А. Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими
производными // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 5. – С. 636 – 648.
12. Каменева В. В., Кофанов В. А. Задача Боянова – Найденова для положительных (отрицательных) частей диф-
ференцируемых функций на оси // Вiсн. Днiпр. ун-ту. Сер. Математика. – 2018. – Вип. 23. – С. 25 – 36.
13. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 304 с.
Получено 09.08.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1445 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:28Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/55/2542c8739e4c77eba6fd2726c4acb455.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14452019-12-05T08:55:13Z The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions on the highest derivative Задача Боянова – Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую производную Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. For given $r \in \bfN , p, \alpha , \beta , \mu > 0$, we solve the extreme problems $$\int^b_ax^q_{\pm} (t)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,$$ in the set of pairs $(x, I)$ of functions $x \in L^r_{\infty}$ and intervals $I = [a, b] \subset R$ satisfying the inequalities $\beta \leq x(r)(t) \leq \alpha$ for almost all $t \in R$ , the conditions $L(x_{\pm})p \leq L\bigl(( \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}) \bigr)_p$, and the corresponding condition $\mu\Bigl(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{+}\Bigr) \leq \mu$ or $\mu \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x \Bigr) \leq \mu$, where $$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \Bigl\{ \| x\| L_{p[a,b]} : a, b \in R , | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$ $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{\pm} := \{ t \in [a, b] : x_{\pm} (t) > 0\} , \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}$ is the nonsymmetric $(2\pi /\lambda)$-periodic Euler spline of order $r$. As a consequence, we solve the same problems for the intermediate derivatives $x(k)_{\pm} , k = 1,..., r_1,$ with $q \geq 1$. Для заданих $r \in N , p, \alpha , \beta , \mu > 0$ розв’язано екстремальнi задачi $$\int^b_ax^q_{\pm} (t)dt \rightarrow \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, q \geq p,$$ на класi пар $(x, I)$ функцiй $x \in L^r_{\infty}$ i вiдрiзкiв $I = [a, b] \subset R$ , для яких виконуються нерiвностi $\beta \leq x(r)(t) \leq \alpha$ майже для всiх $t \in R$, умови $L(x_{\pm})p \leq L\bigl(( \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}) \bigr)_p$ та вiдповiдна умова $\mu\Bigl(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{+}\Bigr) \leq \mu$ або $\mu \Bigl( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x \Bigr) \leq \mu$, де $$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \Bigl\{ \| x\| L_{p[a,b]} : a, b \in R , | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$ $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \mathrm{p}_{[a,b]}x_{\pm} := \{ t \in [a, b] : x_{\pm} (t) > 0\} , \varphi^{\alpha ,\beta}_{\lambda ,r}$ — несиметричний $(2\pi /\lambda)$-перiодичний сплайн Ейлера порядку $r$. Як наслiдок розв’язано тi ж самi екстремальнi задачi для промiжних похiдних $x(k)_{\pm} , k = 1,..., r_1,$ при $q \geq 1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1445 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 3 (2019); 368-381 Український математичний журнал; Том 71 № 3 (2019); 368-381 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1445/429 Copyright (c) 2019 Kofanov V. A. |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions on the highest derivative |
| title | The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions
on the highest derivative |
| title_alt | Задача Боянова – Найденова для функций с несимметричными ограничениями
на старшую производную |
| title_full | The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions
on the highest derivative |
| title_fullStr | The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions
on the highest derivative |
| title_full_unstemmed | The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions
on the highest derivative |
| title_short | The Bojanov – Naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions
on the highest derivative |
| title_sort | bojanov – naidenov problem for functions with nonsymmetric restrictions
on the highest derivative |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1445 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva thebojanovnaidenovproblemforfunctionswithnonsymmetricrestrictionsonthehighestderivative AT kofanovva thebojanovnaidenovproblemforfunctionswithnonsymmetricrestrictionsonthehighestderivative AT kofanovva thebojanovnaidenovproblemforfunctionswithnonsymmetricrestrictionsonthehighestderivative AT kofanovva zadačaboânovanajdenovadlâfunkcijsnesimmetričnymiograničeniâminastaršuûproizvodnuû AT kofanovva zadačaboânovanajdenovadlâfunkcijsnesimmetričnymiograničeniâminastaršuûproizvodnuû AT kofanovva zadačaboânovanajdenovadlâfunkcijsnesimmetričnymiograničeniâminastaršuûproizvodnuû AT kofanovva bojanovnaidenovproblemforfunctionswithnonsymmetricrestrictionsonthehighestderivative AT kofanovva bojanovnaidenovproblemforfunctionswithnonsymmetricrestrictionsonthehighestderivative AT kofanovva bojanovnaidenovproblemforfunctionswithnonsymmetricrestrictionsonthehighestderivative |