Geometric properties of metric spaces
We study some problems of geometrization of arbitrary metric spaces. In particular, we studied the concept of straight and flat placement of points in this space. In a certain way, we continue the investigations of Kagan devoted to the detailed analysis of the notion of straightforwardness based on...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1446 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507200850493440 |
|---|---|
| author | Kuzmich, V. I. Кузьмич, В. І. |
| author_facet | Kuzmich, V. I. Кузьмич, В. І. |
| author_sort | Kuzmich, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:55:13Z |
| description | We study some problems of geometrization of arbitrary metric spaces. In particular, we studied the concept of straight and
flat placement of points in this space. In a certain way, we continue the investigations of Kagan devoted to the detailed
analysis of the notion of straightforwardness based on four groups of postulates. The results of our work are based on the
notion of angular characteristics of three points of the space proposed by Alexandrov. We establish the conditions under
which the set of points of an arbitrary metric space satisfies all five postulates of the first group of Kagan’s placement
postulates. The relationship between rectilinear and flat placements of points of the metric space is investigated. Examples
of placements of this kind based on linear functions in some classical spaces are presented. The results of the paper
are obtained without using the property of completeness of the space and can be used for the discrete computation and
structuring of specific metric spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.124.4
В. I. Кузьмич (Херсон. держ. ун-т)
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ
We study some problems of geometrization of arbitrary metric spaces. In particular, we studied the concept of straight and
flat placement of points in this space. In a certain way, we continue the investigations of Kagan devoted to the detailed
analysis of the notion of straightforwardness based on four groups of postulates. The results of our work are based on the
notion of angular characteristics of three points of the space proposed by Alexandrov. We establish the conditions under
which the set of points of an arbitrary metric space satisfies all five postulates of the first group of Kagan’s placement
postulates. The relationship between rectilinear and flat placements of points of the metric space is investigated. Examples
of placements of this kind based on linear functions in some classical spaces are presented. The results of the paper
are obtained without using the property of completeness of the space and can be used for the discrete computation and
structuring of specific metric spaces.
Статтю присвячено окремим питанням геометризацiї довiльного метричного простору. Зокрема, вивчаються поняття
прямолiнiйного та плоского розмiщення точок цього простору. У статтi продовжено дослiдження В. Ф. Кагана, який
детально вивчив поняття прямолiнiйностi на основi чотирьох груп постулатiв. Отриманi у статтi результати спира-
ються на поняття кутової характеристики трьох точок простору, як це свого часу пропонував О. Д. Александров.
Встановлено умови для того, щоб множина точок довiльного метричного простору задовольняла всi п’ять постула-
тiв першої групи постулатiв розмiщення В. Ф. Кагана. Вивчено взаємовiдношення мiж прямолiнiйним та плоским
розмiщеннями точок метричного простору. Наведено приклади такого розмiщення на основi лiнiйних функцiй у
окремих класичних просторах. Результати отримано без використання повноти простору, i їх можна застосувати
для дискретних обчислень та структуризацiї конкретних метричних просторiв.
1. Вступ. Дану роботу присвячено питанням „геометризацiї” довiльного метричного просто-
ру, тобто введенню у цих просторах понять, аналогiчних класичним основним геометричним
поняттям: лiнiї, прямої лiнiї, кута, площини. Особливiсть роботи полягає у вiдмовi вiд поняття
граничного переходу при розглядi цих питань, а отже, i вiд поняття повноти простору, що з
необхiднiстю виникають при спробах побудувати повний аналог геометрiї Евклiда у довiль-
ному метричному просторi. Такий пiдхiд, на думку автора, дає можливiсть використовувати
отриманi результати у скiнченних метричних просторах.
Поняття метричного простору є одним iз центральних понять математики. Поряд з метрич-
ними просторами також активно вивчаються їхнi спецiальнi класи i модифiкацiї, що мають
застосування у рiзних областях сучасної математики. У зв’язку з цим вiдмiтимо ультраметричнi
або неархiмедовi простори (наприклад, в [1] розглядається ультраметрика на вiльних групах),
а також розмитi метричнi простори (див., наприклад, [2], де будується розмита метризацiя
простору ймовiрнiсних мiр).
У довiльному метричному просторi (X, \rho ) єдиною його числовою характеристикою є вiд-
стань \rho (x, y) мiж довiльними елементами (точками) x i y простору. Цим частково можна
пояснити значнi проблеми при спробах провести його геометризацiю, оскiльки введення ана-
логiв основних геометричних понять геометрiї Евклiда — прямої лiнiї, кута, площини — з
необхiднiстю вимагає властивостi повноти простору.
На думку автора, у довiльному метричному просторi в окремих випадках (наприклад, у
випадку простору зi скiнченною або зчисленною кiлькiстю точок), не намагаючись створити
повний аналог геометрiї Евклiда, можна ввести поняття кута, паралельностi, перпендикуляр-
ностi без вимоги повноти цього простору. Аналогiчним чином В. Ф. Каган розглядав поняття
c\bigcirc В. I. КУЗЬМИЧ, 2019
382 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 383
„прямолiнiйного розмiщення” точок метричного простору та „прямолiнiйного образу”. За озна-
ку цих понять та властивостей можна взяти одну з числових характеристик плоского кута у
геометрiї Евклiда, як це пропонував О. Д. Александров [3, с. 36]. У цьому випадку можна ввести
поняття „плоского розмiщення” точок довiльного метричного простору, як аналога площини у
геометрiї Евклiда.
В. Ф. Каган у роботi [4, с. 260 – 297] побудував аксiоматичну теорiю евклiдової прямої
лiнiї, запропонувавши чотири групи постулатiв: I1 - 5 — постулати розмiщення, II1 - 3 — посту-
лати структури, III1 - 7 — постулати конгруентностi, IV1 — постулат Архiмеда, IV2 — постулат
Кантора. У роботi [5, с. 29] автор запропонував для вивчення прямолiнiйностi у довiльному
метричному просторi ввести поняття кута, утвореного трьома точками простору, як упорядко-
ваної трiйки цих точок, та кутової характеристики. Ця характеристика базується на формулi
косинусiв. У роботах [6, с. 11, 12; 7, с. 42, 43], використовуючи поняття кута та кутової характе-
ристики, автор увiв поняття плоского розмiщення точок довiльного метричного простору, для
визначення якого використовувалась рiвнiсть нулю аналога визначника матрицi Грама системи
одиничних векторiв.
У данiй роботi наведено доведення деяких тверджень, анонсованих у роботi [6], введено
поняття прямолiнiйної впорядкованостi точок метричного простору та встановлено, що при
виконаннi умови прямолiнiйної впорядкованостi точок деякої множини довiльного метричного
простору для неї виконуються постулати I1 - 5, розглянутi В. Ф. Каганом.
Поняття прямолiнiйного розмiщення точок метричного простору детально вивчалось у ро-
ботi [4]. У формi, в якiй це поняття буде розглядатись у данiй роботi, воно зустрiчається у
роботi [8, с. 527].
Метою даної статтi є створення iнструментарiю для побудови у метричному просторi звич-
них геометричних об’єктiв i понять евклiдової та неевклiдової геометрiй, що дасть можливiсть
провести структуризацiю цього простору.
2. Попереднi вiдомостi. Наступнi означення введено у попереднiх роботах автора. Наве-
демо їх, з незначними модифiкацiями, для кращого розумiння подальших мiркувань.
У подальшому всi точки простору будемо вважати рiзними, тобто будемо розглядати лише
додатнi значення метрики простору. Сукупнiсть трьох точок a, b, c простору будемо називати
трикутником i позначатимемо \vartriangle (a, b, c). При цьому самi точки будемо називати вершинами, а
пари точок (a, b), (b, c), (a, c) — сторонами трикутника.
Означення 1. Нехай a, b, c — довiльнi точки метричного простору (X, \rho ). Впорядковану
трiйку (a, b, c) цих точок будемо називати кутом iз вершиною в точцi b i позначатимемо
\angle (a, b, c). При цьому пари точок (a, b) i (b, c) будемо називати сторонами кута (див. [5,
с. 28]).
Означення 2. Нехай a, b, c — довiльнi точки метричного простору (X, \rho ). Характеристи-
кою кута \angle (a, b, c), або кутовою характеристикою, будемо називати дiйсне число \varphi (a, b, c),
що знаходиться за формулою
\varphi (a, b, c) =
\rho
2
(a, b) + \rho 2(b, c) - \rho 2(a, c)
2\rho (a, b)\rho (b, c)
(1)
(див. [3, с. 36; 5, с. 29]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
384 В. I. КУЗЬМИЧ
Метричний простiр (X, \rho ), в якому введено поняття кута за означенням 1, i його характе-
ристику за означенням 2 будемо називати метричним простором iз кутовою характеристикою i
позначатимемо \Pi .
Означення 3. Будемо казати, що точки a, b, c простору \Pi прямолiнiйно розмiщенi, якщо
хоча б для однiєї з цих точок (наприклад, для точки b) виконується рiвнiсть
\varphi 2(a, b, c) = 1. (2)
(див. [5, с. 29]).
Означення 4. Будемо казати, що множина точок простору \Pi прямолiнiйно розмiщена,
якщо будь-якi три точки цiєї множини прямолiнiйно розмiщенi (див. [7, с. 527]).
Рiвнiсть (2) рiвносильна рiвностi \varphi (a, b, c) = \pm 1, до того ж при виконаннi рiвностi
\varphi (a, b, c) = - 1 природно казати, що точка b „лежить мiж” точками a i c (або є внутрiшньою
для них), а кут \angle (a, b, c) називати „розгорнутим”. При виконаннi рiвностi \varphi (b, a, c) = 1 природ-
но казати, що точка a „лежить поза” точками b i c (або є крайньою для них), а кут \angle (b, a, c)
називати „нульовим”.
З рiвностi (1) легко отримати, що рiвнiсть \varphi (a, b, c) = - 1 еквiвалентна рiвностi \rho (a, c) =
= \rho (a, b) + \rho (b, c), а рiвнiсть \varphi (a, b, c) = 1 — сукупностi двох рiвностей\Biggl[
\rho (a, b) = \rho (a, c) + \rho (b, c),
\rho (b, c) = \rho (a, c) + \rho (a, b).
Використовуючи рiвнiсть (1), можна, по аналогiї з геометрiєю Евклiда, дати означення
„прямого” кута \angle (a, b, c) у просторi \Pi .
Означення 5. Якщо для точок a, b, c простору \Pi виконується рiвнiсть \varphi (a, b, c) = 0,
то кут \angle (a, b, c) будемо називати прямим.
Нехай задано метричний простiр (X, \rho ) i три довiльнi точки x1, x2, x3 цього простору. Для
зручностi будемо використовувати позначення \rho (xi, xj) = \rho ij ,
\rho 2ij + \rho 2jk - \rho 2ik
2\rho ij\rho jk
= \varphi ijk, i, j, k = 1, 2, 3.
Використовуючи рiвнiсть (1), легко довести, що для довiльних трьох точок xi, xj , xk прос-
тору \Pi виконуються нерiвностi - 1 \leq \varphi ijk \leq 1.
Наведемо приклад прямолiнiйної розмiщеностi нескiнченної множини точок у метричному
просторi C[0;1].
Приклад 1. Розглянемо множину функцiй y = kx на вiдрiзку [0; 1], як пiдмножину прос-
тору C[0;1] неперервних на вiдрiзку [0; 1] функцiй.
Покажемо, що будь-якi три рiзнi точки y1 = k1x, y2 = k2x, y3 = k3x цiєї множини
розмiщенi прямолiнiйно. За означенням 4 це буде означати прямолiнiйне розмiщення всiєї
множини.
Нехай, для визначеностi, виконуються нерiвностi k1 < k2 < k3. При цьому припущеннi зна-
йдемо вiдстанi мiж точками y1, y2, y3 за метрикою простору C[0;1] : \rho (f, g) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in [0;1]
\bigm| \bigm| f(x) -
- g(x)
\bigm| \bigm| . Матимемо \rho 12 = k2 - k1, \rho 13 = k3 - k1, \rho 23 = k3 - k2. Оскiльки виконується рiвнiсть
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23, то це означає, що точки y1, y2, y3 розмiщенi прямолiнiйно. З довiльностi
вибору цих точок i випливає прямолiнiйнiсть розмiщення всiєї множини функцiй y = kx у
просторi C[0;1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 385
3. Основнi результати. Наведемо формулювання отриманих результатiв (з їх доведенням
можна ознайомитись у пунктi 4 даної статтi).
Спочатку встановимо спiввiдношення мiж трьома кутами одного трикутника у метричному
просторi.
Теорема 1. Для довiльних точок x1, x2, x3 простору \Pi виконується рiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 \varphi 213 - \varphi 123
\varphi 213 1 \varphi 132
- \varphi 123 \varphi 132 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 1 - 2\varphi 213\varphi 123\varphi 132 - \varphi 2
213 - \varphi 2
123 - \varphi 2
132 = 0. (3)
Доведення теореми 1 наведено у пiдпунктi 4.1.
Можна розглянути деякi частиннi випадки рiвностi (3).
Теорема 2. З трьох прямолiнiйно розмiщених точок простору \Pi одна, i лише одна, зна-
ходиться мiж двома iншими, а кожна з цих двох точок лежить поза двома iншими.
Доведення теореми 2 наведено у пiдпунктi 4.2.
Лема 1. Якщо чотири точки прямолiнiйно розмiщенi у просторi \Pi , то двi з них лежать
мiж двома iншими.
Доведення леми 1 наведено у пiдпунктi 4.3.
Зауважимо, що вказанi у формулюваннi леми 1 точки визначаються неоднозначно. З iншого
боку, справедливим є таке твердження.
Лема 2. Нехай точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно розмiщенi у просторi \Pi , до того ж
точки x2 i x4 лежать мiж точками x1 i x3, а точка x1 лежить поза точками x2 i x4. Якщо
точка x4 лежить мiж точками x1 i x3, то вона лежить або мiж точками x1 i x2, або мiж
точками x2 i x3.
Доведення леми 2 наведено у пiдпунктi 4.4.
Тепер знайдемо умови для того, щоб множина точок довiльного метричного простору за-
довольняла всi п’ять постулатiв першої групи постулатiв розмiщення В. Ф. Кагана. Покажемо,
що у просторi \Pi для множини прямолiнiйно розмiщених точок виконуються постулати розмi-
щення I1 - 4 роботи [4]. Цi постулати, з несуттєвими змiнами у формулюваннi та у позначеннях
роботи [4], мають такий вигляд.
I1. Якщо точка b лежить мiж точками a i c, то вона лежить також мiж c i a (див. [4,
с. 260]).
Виконання цього постулату для простору \Pi випливає з властивостi симетричностi рiвнос-
тi (1): \varphi (a, b, c) = \varphi (c, b, a).
I2. Iз будь-яких трьох точок a, b, c принаймнi одна лежить мiж двома iншими (див. [4,
с. 260]).
Цей постулат є простим наслiдком теореми 2.
I3. Якщо точка b лежить мiж точками a i c, то точка c не лежить мiж точками a i b
(див. [4, с. 260]).
Цей постулат теж випливає з теореми 2.
I4. Якщо точка b лежить мiж точками a i c, а точка d — мiж точками a i b, то точка d
лежить мiж точками a i c (див. [4, с. 260]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
386 В. I. КУЗЬМИЧ
Цей постулат виконується у довiльному метричному просторi. Дiйсно, нехай точка b лежить
мiж точками a i c. Це означає, що виконується рiвнiсть \rho (a, c) = \rho (a, b) + \rho (b, c). Якщо точка
d лежить мiж точками a i b, то це означає, що виконується рiвнiсть \rho (a, b) = \rho (a, d) + \rho (d, b).
Пiдставивши цю рiвнiсть у праву частину попередньої рiвностi, отримаємо \rho (a, c) = \rho (a, b) +
+\rho (b, c) = \rho (a, d)+\rho (d, b)+\rho (b, c). Iз нерiвностi трикутника матимемо \rho (d, b)+\rho (b, c) \geq \rho (d, c).
Таким чином, буде виконуватись нерiвнiсть \rho (a, c) \geq \rho (a, d)+\rho (d, c). А це, внаслiдок нерiвностi
трикутника, можливо лише у випадку виконання рiвностi \rho (a, c) = \rho (a, d)+ \rho (d, c). Отже, точ-
ка d лежить мiж точками a i c.
Лема 2 означає, що для чотирьох точок простору \Pi , якi задовольняють умови леми, вико-
нується такий постулат.
I5. Якщо на прямiй точка b лежить мiж точками a i c, а точка d, вiдмiнна вiд b, також
лежить мiж точками a i c, то має мiсце принаймнi одне з двох розмiщень: точка d лежить
мiж точками a i b, або точка d лежить мiж точками b i c (див. [4, с. 260]).
Оскiльки В. Ф. Каган не видiлив окремо множину точок метричного простору, що задоволь-
няють постулати розмiщення I1 - 5, а, приєднавши до них постулати структури II1 - 3, видiлив
множину LII точок, що задовольняють цi двi групи постулатiв [4, с. 265], то природно дати такi
означення.
Означення 6. Нехай точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно розмiщенi у просторi \Pi , а точки
x2 i x4 лежать мiж точками x1 i x3. Якщо точка x1 лежить поза точками x2 i x4, то точки
x1, x2, x3, x4 будемо називати прямолiнiйно впорядкованими, а точку x1 — крайньою для цих
точок.
Для довiльної прямолiнiйно розмiщеної множини точок простору \Pi природно ввести озна-
чення її прямолiнiйної впорядкованостi.
Означення 7. Якщо будь-якi чотири точки прямолiнiйно розмiщеної множини точок про-
стору \Pi є прямолiнiйно впорядкованими, то таку множину будемо називати прямолiнiйно
впорядкованою i позначати LI.
Пiдсумовуючи отриманi вище результати, можна зробити висновок, що у множинi LI ви-
конуються всi постулати I1 - 5 розмiщення, розглянутi В. Ф. Каганом.
Встановимо аналiтичний критерiй прямолiнiйної впорядкованостi чотирьох точок прос-
тору \Pi .
Лема 3. Для того щоб точки x1, x2, x3, x4 простору \Pi були прямолiнiйно впорядкованi,
необхiдно i достатньо, щоб хоча б для однiєї з них (наприклад, для точки x1) виконувалась
рiвнiсть
\varphi 213\varphi 214\varphi 314 = 1. (4)
Доведення леми 3 наведено у пiдпунктi 4.5.
Можна встановити умову, коли з чотирьох прямолiнiйно впорядкованих точок двi точки є
крайнiми.
Лема 4. Нехай точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно впорядкованi у просторi \Pi , а точки x2
i x4 лежать мiж точками x1 i x3. Якщо точка x1 є крайньою, то точка x3 теж є крайньою
для точок x1, x2, x3, x4.
Доведення леми 4 наведено у пiдпунктi 4.6.
Слiд зазначити, що не завжди з прямолiнiйної розмiщеностi точок випливає, що серед них
є крайня точка. Про це свiдчить такий приклад.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 387
Приклад 2. Розглянемо метричний простiр R2
0 впорядкованих груп iз двох дiйсних чи-
сел a(a1, a2), вiдстань мiж елементами a(a1, a2) i b(b1, b2) якого визначається за формулою
\rho (a, b) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl(
| a1 - b1| , | a2 - b2|
\bigr)
.
У просторi R2
0 вiзьмемо чотири точки: a(1, 0), b(0, 1), c( - 1, 0), d(0, - 1). Знайдемо вiдстанi
мiж цими точками за метрикою простору: \rho (a, b) = 1, \rho (a, c) = 2, \rho (a, d) = 1, \rho (b, c) = 1,
\rho (b, d) = 2, \rho (c, d) = 1.
Iз отриманих значень випливає, що будь-якi три з цих точок прямолiнiйно розмiщенi. Дiйс-
но, за формулою (1) знайдемо всi кутовi характеристики:
\varphi (b, a, c) = 1, \varphi (b, a, d) = - 1, \varphi (c, a, d) = 1,
\varphi (a, b, c) = - 1, \varphi (a, b, d) = 1, \varphi (c, b, d) = 1, \varphi (a, c, b) = 1, \varphi (a, c, d) = 1,
\varphi (b, c, d) = - 1, \varphi (a, d, b) = 1, \varphi (a, d, c) = - 1, \varphi (b, d, c) = 1.
В усiх випадках виконується рiвнiсть (2), отже, за означеннями 3 i 4 точки a, b, c, d прямо-
лiнiйно розмiщенi. Однак серед них немає крайнiх точок, оскiльки кожна з цих точок лежить
мiж деякими двома iншими з них.
Тепер розглянемо узагальнення поняття прямолiнiйного розмiщення точок простору \Pi . Це
узагальнення було введено автором у роботах [6, с. 11, 12; 7, с. 42].
Означення 8. Будемо казати, що точки x1, x2, x3, x4 простору \Pi плоско розмiщенi,
якщо хоча б для однiєї з цих точок (наприклад, для точки x1) виконується рiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 \varphi 213 \varphi 214
\varphi 213 1 \varphi 314
\varphi 214 \varphi 314 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 1 + 2\varphi 213\varphi 214\varphi 314 - \varphi 2
213 - \varphi 2
214 - \varphi 2
314 = 0. (5)
Аналiтично у геометрiї Евклiда рiвнiсть (5) означає рiвнiсть нулю об’єму тетраедра, вер-
шини якого знаходяться у точках x1, x2, x3, x4 [9, с. 61].
Для точок довiльної множини простору \Pi природно дати означення їхнього „плоского
розмiщення”.
Означення 9. Будемо казати, що множина точок простору \Pi плоско розмiщена, якщо
будь-якi чотири її точки плоско розмiщенi (див. [6, с. 12; 7, с. 43]).
У просторi \Pi спiввiдношення мiж прямолiнiйним i плоским розмiщеннями точок бiльш
складнiшi, нiж у геометрiї Евклiда, де цi спiввiдношення встановлено постулатами. Однак у
метричному просторi ми маємо змогу використовувати властивостi множини дiйсних чисел.
Встановимо таке спiввiдношення аналiтично.
Лема 5. Для того щоб прямолiнiйно розмiщенi у просторi \Pi точки x1, x2, x3, x4 були
плоско розмiщенi у цьому просторi, необхiдно i достатньо, щоб хоча б для однiєї з цих точок
(наприклад, для точки x1) виконувалась рiвнiсть (4).
Доведення леми 5 наведено у пiдпунктi 4.7.
Об’єднуючи леми 3, 5 i наслiдок 2, отримуємо твердження, яке встановлює спiввiдношення
мiж прямолiнiйним i плоским розмiщеннями точок простору \Pi .
Теорема 3. Для того щоб прямолiнiйно розмiщена множина точок простору \Pi була плос-
ко розмiщена у цьому просторi, необхiдно i достатньо, щоб вона була прямолiнiйно впорядко-
ваною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
388 В. I. КУЗЬМИЧ
Доведення теореми 3 наведено у пiдпунктi 4.8.
З метою конструктивної побудови плоско розмiщених множин точок простору \Pi на основi
трьох прямолiнiйно розмiщених точок розглянемо поняття сумiжностi двох кутiв. Це поняття
було введено у роботах [6, с. 11; 10, с. 65].
У геометрiї Евклiда два сумiжних кути доповнюють один одного до розгорнутого кута. У
просторi \Pi це не завжди правильно.
Приклад 3. Розглянемо у просторi C[0;1] точки y1 = 0, y2 = 1, y3 = x, y4 = - x. За
метрикою простору C[0;1] вiдстанi мiж цими точками є такими: \rho 12 = 1, \rho 13 = 1, \rho 14 = 1,
\rho 23 = 1, \rho 24 = 2, \rho 34 = 2.
З отриманих значень випливає, що точки y1, y3, y4 розмiщенi прямолiнiйно, до того ж
точка y1 лежить мiж двома iншими. Крiм того, точки y1, y2, y4 теж розмiщенi прямолiнiйно,
до того ж точка y1, як i у попередньому випадку, лежить мiж двома iншими.
Таким чином, кути \angle (y3, y1, y4) i \angle (y2, y1, y3) доповнюють один одного до розгорнутого
кута \angle (y2, y1, y4).
Знайдемо кутовi характеристики цих кутiв: \varphi (y3, y1, y4) = - 1, \varphi (y2, y1, y3) = 0,5. Отже,
ненульовий кут доповнює до розгорнутого кут, який теж є розгорнутим.
Приклад 3 вказує на те, що за означення сумiжних кутiв у просторi \Pi слiд вибрати їхнi
кутовi характеристики.
У роботах [7, с. 43; 10, с. 65] встановлено, що рiвнiсть \varphi 124 = - \varphi 324 є необхiдною i
достатньою умовою плоского розмiщення таких точок x1, x2, x3, x4 простору \Pi , що точка x2
лежить мiж точками x1 i x3. Ця рiвнiсть виконується також i для сумiжних кутiв у геометрiї
Евклiда, тому її слiд вибрати для означення сумiжностi двох кутiв у просторi \Pi .
Означення 10. Нехай точки x1, x2, x3 простору \Pi прямолiнiйно розмiщенi, до того ж
кут \angle (x1, x2, x3) є розгорнутим. Якщо точка x4 цього простору така, що виконується рiв-
нiсть
\varphi 124 = - \varphi 324, (6)
то кути \angle (x1, x2, x4) i \angle (x3, x2, x4) будемо називати сумiжними.
Слiд зазначити, що означення 10 охоплює також випадок, коли один iз кутiв є прямим. У
цьому випадку, за означенням 10, сумiжний йому кут теж буде прямим, оскiльки при значеннях
\varphi 124 = \varphi 324 = 0 рiвнiсть (6) виконується.
Плоско розмiщенi множини точок простору \Pi можна будувати i на основi трьох точок
цього простору, що утворюють прямий кут. Дiйсно, якщо кут \angle (x2, x1, x3) є прямим, тобто
виконується рiвнiсть \varphi 213 = 0, то точку x4, яка буде плоско розмiщеною з точками x1, x2, x3,
можна знайти з рiвностi (5). Пiдставивши у цю рiвнiсть значення \varphi 213 = 0, отримаємо рiвнiсть
\varphi 2
214 + \varphi 2
314 = 1. (7)
Рiвнiсть (7) можна вважати аналогом тригонометричної одиницi у геометрiї Евклiда, вона
може бути використана для побудови плоско розмiщених множин.
4. Доведення результатiв. 4.1. Доведення теореми 1. Обчислимо вираз\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 \varphi 213 - \varphi 123
\varphi 213 1 \varphi 132
- \varphi 123 \varphi 132 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 1 - 2\varphi 213\varphi 123\varphi 132 - \varphi 2
213 - \varphi 2
123 - \varphi 2
132 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 389
= 1 - 2
\rho 212 + \rho 213 - \rho 223
2\rho 12\rho 13
\rho 212 + \rho 223 - \rho 213
2\rho 12\rho 23
\rho 213 + \rho 223 - \rho 212
2\rho 13\rho 23
-
-
\biggl(
\rho 212 + \rho 213 - \rho 223
2\rho 12\rho 13
\biggr) 2
-
\biggl(
\rho 212 + \rho 223 - \rho 213
2\rho 12\rho 23
\biggr) 2
-
\biggl(
\rho 213 + \rho 223 - \rho 212
2\rho 13\rho 23
\biggr) 2
=
= 1 - (\rho 212 + \rho 213 - \rho 223)(\rho
2
12 + \rho 223 - \rho 213)(\rho
2
13 + \rho 223 - \rho 212)
4\rho 212\rho
2
13\rho
2
23
-
- \rho 223(\rho
2
12 + \rho 213 - \rho 223)
2 + \rho 213(\rho
2
12 + \rho 223 - \rho 213)
2 + \rho 212(\rho
2
13 + \rho 223 - \rho 212)
2
4\rho 212\rho
2
13\rho
2
23
=
= 1 - 1
4\rho 212\rho
2
13\rho
2
23
\Bigl(
(\rho 212 + \rho 213 - \rho 223)(\rho
2
12 + \rho 223 - \rho 213)(\rho
2
13 + \rho 223 - \rho 212)+
+\rho 223(\rho
2
12 + \rho 213 - \rho 223)
2 + \rho 213(\rho
2
12 + \rho 223 - \rho 213)
2 + \rho 212(\rho
2
13 + \rho 223 - \rho 212)
2
\Bigr)
.
Обчислимо вираз у дужках:
(\rho 212 + \rho 213 - \rho 223)(\rho
2
12 + \rho 223 - \rho 213)(\rho
2
13 + \rho 223 - \rho 212)+
+\rho 223(\rho
2
12 + \rho 213 - \rho 223)
2 + \rho 213(\rho
2
12 + \rho 223 - \rho 213)
2 + \rho 212(\rho
2
13 + \rho 223 - \rho 212)
2 =
= (\rho 212 + \rho 213 - \rho 223)(\rho
2
12\rho
2
13 + \rho 212\rho
2
23 - \rho 412 + \rho 213\rho
2
23 + \rho 423 - \rho 212\rho
2
23 -
- \rho 413 - \rho 213\rho
2
23 + \rho 212\rho
2
13) + \rho 412\rho
2
23 + \rho 413\rho
2
23 + \rho 623 + 2\rho 212\rho
2
13\rho
2
23 - 2\rho 212\rho
4
23 - 2\rho 213\rho
4
23+
+\rho 412\rho
2
13 + \rho 213\rho
4
23 + \rho 613 + 2\rho 212\rho
2
13\rho
2
23 - 2\rho 212\rho
4
13 - 2\rho 413\rho
2
23+
+\rho 212\rho
4
13 + \rho 212\rho
4
23 + \rho 612 + 2\rho 212\rho
2
13\rho
2
23 - 2\rho 412\rho
2
13 - 2\rho 412\rho
2
23 =
= (\rho 212 + \rho 213 - \rho 223)(2\rho
2
12\rho
2
13 - \rho 412 - \rho 413 + \rho 423) -
- \rho 412\rho
2
13 - \rho 412\rho
2
23 + \rho 612 - \rho 212\rho
4
13 - \rho 413\rho
2
23 + \rho 613 - \rho 212\rho
4
23 - \rho 213\rho
4
23 + \rho 623 + 6\rho 212\rho
2
13\rho
2
23 =
= 2\rho 412\rho
2
13 - \rho 612 - \rho 212\rho
4
13 + \rho 212\rho
4
23 + 2\rho 212\rho
4
13 - \rho 412\rho
2
13 - \rho 613 + \rho 213\rho
4
23 -
- 2\rho 212\rho
2
13\rho
2
23 + \rho 412\rho
2
23 + \rho 413\rho
2
23 - \rho 623 - \rho 412\rho
2
13 - \rho 412\rho
2
23+
+\rho 612 - \rho 212\rho
4
13 - \rho 413\rho
2
23 + \rho 613 - \rho 212\rho
4
23 - \rho 213\rho
4
23 + \rho 623 + 6\rho 212\rho
2
13\rho
2
23 =
= 4\rho 212\rho
2
13\rho
2
23.
Остаточно отримуємо рiвнiсть 1 - 2\varphi 213\varphi 123\varphi 132 - \varphi 2
213 - \varphi 2
123 - \varphi 2
132 = 0. Отже, рiвнiсть (3)
доведено.
Теорему 1 доведено.
Доведення рiвностi (3) є досить простим для звичайного трикутника в геометрiї Евклiда.
Дiйсно, якщо ввести позначення \varphi 213 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle A, \varphi 123 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle B, \varphi 132 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle C, де \angle A, \angle B,
\angle C — внутрiшнi кути трикутника \vartriangle ABC, то внаслiдок рiвностi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl(
\pi - (\angle A +
+ \angle B)
\bigr)
= - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\angle A+ \angle B) лiва частина рiвностi (3) набере вигляду
1 + 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle B \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\angle A+ \angle B) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\angle A+ \angle B) =
= 1 + 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle B(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle B - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle B) -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
390 В. I. КУЗЬМИЧ
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle B - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle B)2 =
= 1 + 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle B \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle B -
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B + 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\angle B \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\angle B - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\angle A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\angle B =
= 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\angle A \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\angle B =
= 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B) =
= 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - 1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle A \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\angle B = 0.
Отже, виконання рiвностi (3) є необхiдною умовою для iснування у метричному просторi
трикутника iз заданими кутовими характеристиками.
З рiвностi (3) можна отримати спiввiдношення мiж кутовими характеристиками для випадку,
коли одна з них дорiвнює нулевi, тобто для випадку, коли один iз трьох кутiв є прямим.
Наслiдок 1. Якщо для довiльних точок x1, x2, x3 простору \Pi кут \angle (x1, x2, x3) є прямим,
то виконується рiвнiсть
\varphi 2
213 + \varphi 2
132 = 1. (8)
Доведення. Якщо кут \angle (x1, x2, x3) є прямим, то виконується рiвнiсть \varphi 123 = 0. Пiдста-
вивши це значення у рiвнiсть (3), матимемо \varphi 2
213 + \varphi 2
132 - 1 = 0, або \varphi 2
213 + \varphi 2
132 = 1.
Рiвнiсть (8), як i рiвнiсть (7), можна вважати аналогом тригонометричної одиницi у геометрiї
Евклiда.
4.2. Доведення теореми 2. Припустимо, що один iз кутiв трикутника, наприклад кут
\angle (x1, x2, x3), є розгорнутим, тобто виконується рiвнiсть \varphi 123 = - 1. Тодi, пiдставивши це
значення у рiвнiсть (1), будемо мати
\varphi 2
213 + ( - 1)2 + \varphi 2
132 + 2\varphi 213( - 1)\varphi 132 - 1 = 0, \varphi 2
213 + \varphi 2
132 - 2\varphi 213\varphi 132 = 0,
(\varphi 213 - \varphi 132)
2 = 0. \varphi 213 = \varphi 132.
Отриману рiвнiсть можна уточнити. Iз рiвностi \varphi 123 =
\rho 212 + \rho 223 - \rho 213
2\rho 12\rho 23
= - 1 одержимо
\rho 212 + \rho 223 - \rho 213 = - 2\rho 12\rho 23, \rho 212 + 2\rho 12\rho 23 + \rho 223 = \rho 213,
(\rho 12 + \rho 23)
2 = \rho 213, \rho 12 + \rho 23 = \rho 13.
Використавши останню рiвнiсть, знайдемо кутову характеристику
\varphi 213 =
\rho 212 + \rho 213 - \rho 223
2\rho 12\rho 13
=
\rho 212 + (\rho 12 + \rho 23)
2 - \rho 223
2\rho 12(\rho 12 + \rho 23)
=
\rho 212 + \rho 212 + 2\rho 12\rho 23 + \rho 223 - \rho 223
2\rho 12(\rho 12 + \rho 23)
=
=
2\rho 212 + 2\rho 12\rho 23
2\rho 12(\rho 12 + \rho 23)
=
2\rho 12(\rho 12 + \rho 23)
2\rho 12(\rho 12 + \rho 23)
= 1.
Отже, \varphi 132 = \varphi 213 = 1.
Припустимо тепер, що один iз кутiв трикутника, наприклад кут \angle (x1, x2, x3), є нульовим,
тобто виконується рiвнiсть \varphi 123 = 1. Тодi, пiдставивши це значення у рiвнiсть (3), матимемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 391
\varphi 2
213 + 12 + \varphi 2
132 + 2\varphi 213\varphi 132 - 1 = 0, \varphi 2
213 + \varphi 2
132 + 2\varphi 213\varphi 132 = 0,
(\varphi 213 + \varphi 132)
2 = 0, \varphi 213 = - \varphi 132.
Аналогiчно попередньому, цю рiвнiсть можна уточнити. Iз рiвностi \varphi 123 =
\rho 212 + \rho 223 - \rho 213
2\rho 12\rho 23
= 1,
будемо мати
\rho 212 + \rho 223 - \rho 213 = 2\rho 12\rho 23, \rho 212 - 2\rho 12\rho 23 + \rho 223 = \rho 213, (\rho 12 - \rho 23)
2 = \rho 213.
Звiдси отримуємо сукупнiсть рiвностей\Biggl[
\rho 12 - \rho 23 = \rho 13,
\rho 12 - \rho 23 = - \rho 13;
\Biggl[
\rho 12 = \rho 13 + \rho 23,
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13.
Використовуючи першу з отриманих рiвностей, знаходимо кутову характеристику
\varphi 213 =
\rho 212 + \rho 213 - \rho 223
2\rho 12\rho 13
=
(\rho 13 + \rho 23)
2 + \rho 213 - \rho 223
2(\rho 13 + \rho 23)\rho 13
=
\rho 213 + 2\rho 13\rho 23 + \rho 223 + \rho 213 - \rho 223
2(\rho 13 + \rho 23)\rho 13
=
=
2\rho 213 + 2\rho 13\rho 23
2(\rho 13 + \rho 23)\rho 13
=
2\rho 13(\rho 13 + \rho 23)
2(\rho 13 + \rho 23)\rho 13
= 1.
Значення кутової характеристики \varphi 132 знаходимо з отриманої ранiше рiвностi
\varphi 132 = - \varphi 213 = - 1.
Використовуючи другу з отриманих вище рiвностей, отримуємо кутову характеристику
\varphi 213 =
\rho 212 + \rho 213 - \rho 223
2\rho 12\rho 13
=
\rho 212 + \rho 213 - (\rho 12 + \rho 13)
2
2\rho 12\rho 13
=
=
\rho 212 + \rho 213 - \rho 212 - 2\rho 12\rho 13 - \rho 213
2\rho 12\rho 13
=
- 2\rho 12\rho 13
2\rho 12\rho 13
= - 1.
Тепер знаходимо кутову характеристику \varphi 132 з рiвностi \varphi 132 = - \varphi 213 = 1.
Одержанi вище значення дозволяють зробити висновок, що з трьох прямолiнiйно розмiще-
них точок лише одна знаходиться мiж двома iншими (є внутрiшньою для них), а кожна з цих
двох точок лежить поза двома iншими (є крайньою для них).
Теорему 2 доведено.
4.3. Доведення леми 1. Нехай точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно розмiщенi у просторi \Pi .
Тодi точки x1, x2, x3 теж розмiщенi прямолiнiйно. З теореми 2 випливає, що серед них лише
одна розмiщена мiж двома iншими. Нехай, наприклад, точка x2 лежить мiж точками x1 i x3.
Тодi справджується рiвнiсть \rho 13 = \rho 12 + \rho 23. Якщо тепер точка x4 також лежить мiж цими
точками, то твердження леми 1 є правильним.
Припустимо, що точка x4 лежить поза точками x1 i x3. Оскiльки цi три точки теж прямо-
лiнiйно розмiщенi, то має мiсце сукупнiсть рiвностей\Biggl[
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14.
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
392 В. I. КУЗЬМИЧ
Нехай виконується перша з рiвностей (9), тобто точка x3 знаходиться мiж точками x1 i x4.
Тодi отримуємо систему рiвностей \left\{ \rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34.
Звiдси послiдовно знаходимо
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34 = (\rho 12 + \rho 23) + \rho 34 = \rho 12 + (\rho 23 + \rho 34) \geq \rho 12 + \rho 24.
Ця нерiвнiсть, внаслiдок нерiвностi трикутника, може виконуватись лише при умовi виконання
рiвностi \rho 14 = \rho 12 + \rho 24, а це означає, що точка x2, як i точка x3, знаходиться мiж точками x1
i x4.
Нехай тепер виконується друга iз рiвностей (9), тобто точка x1 знаходиться мiж точками
x3 i x4. Тодi отримуємо систему рiвностей\left\{ \rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14.
Звiдси послiдовно знаходимо
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14 = (\rho 12 + \rho 23) + \rho 14 = \rho 23 + (\rho 12 + \rho 14) \geq \rho 23 + \rho 24.
Ця нерiвнiсть, внаслiдок нерiвностi трикутника, може виконуватись лише при умовi виконання
рiвностi \rho 34 = \rho 23 + \rho 24, а це означає, що точка x2, як i точка x1, знаходиться мiж точками x3
i x4.
Оскiльки розглянуто всi можливi випадки розмiщення точок, то твердження леми є пра-
вильним.
4.4. Доведення леми 2. Оскiльки за умовою леми точка x2 лежить мiж точками x1 i x3, то
справджується рiвнiсть \rho 13 = \rho 12 + \rho 23, а з умови, що точка x1 лежить поза точками x2 i x4,
випливає сукупнiсть рiвностей \Biggl[
\rho 12 = \rho 14 + \rho 24,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24.
(10)
Перша з рiвностей (10) означає, що точка x4 лежить мiж точками x1 i x2, тому у цьому
випадку твердження леми є правильним.
Розглянемо другу з рiвностей (10) i припустимо, що точка x4 також лежить мiж точками x1
i x3, тобто виконується рiвнiсть \rho 13 = \rho 14 + \rho 34. Таким чином, матимемо систему рiвностей\left\{
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 13 = \rho 14 + \rho 34,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24.
З цiєї системи послiдовно знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 393
\rho 23 = \rho 13 - \rho 12 = (\rho 14 + \rho 34) - \rho 12 = (\rho 14 - \rho 12) + \rho 34 = \rho 24 + \rho 34.
Отримана рiвнiсть означає, що точка x4 лежить мiж точками x2 i x3. Отже, i у цьому випадку
твердження леми є правильним.
4.5. Доведення леми 3. Якщо точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно розмiщенi у просторi \Pi ,
а точки x2 i x4 лежать мiж точками x1 i x3, то справджуються рiвностi \rho 13 = \rho 12 + \rho 23 i
\rho 13 = \rho 14+ \rho 34. Якщо ж, крiм того, точка x1 лежить поза точками x2 i x4, то за лемою 2 точка
x4 лежить або мiж точками x1 i x2, або мiж точками x2 i x3. Аналогiчно, точка x2 лежить
або мiж точками x1 i x4, або мiж точками x3 i x4. У кожному з цих випадкiв справджуються
рiвностi \varphi 213 = 1, \varphi 214 = 1, \varphi 314 = 1, а отже, рiвнiсть (4) виконується.
Нехай тепер для точок x1, x2, x3, x4 простору \Pi виконується рiвнiсть (4). Оскiльки
модуль кутової характеристики не перевищує одиницi, то рiвнiсть (4) може виконуватись лише
при значеннях \varphi 213 = \pm 1, \varphi 214 = \pm 1, \varphi 314 = \pm 1, тобто лише у таких випадках:
1) \varphi 213 = 1, \varphi 214 = 1, \varphi 314 = 1;
2) \varphi 213 = 1, \varphi 214 = - 1, \varphi 314 = - 1;
3) \varphi 213 = - 1, \varphi 214 = 1, \varphi 314 = - 1;
4) \varphi 213 = - 1, \varphi 214 = - 1, \varphi 314 = 1.
Iз означення 4 випливає, що для доведення леми достатньо показати прямолiнiйне розмi-
щення точок x2, x3, x4, а за означенням 3 для цього достатньо встановити рiвнiсть \varphi 2
234 = 1.
Розглянемо послiдовно всi чотири випадки.
1. Нехай одночасно виконуються рiвностi \varphi 213 = 1, \varphi 214 = 1, \varphi 314 = 1. Це рiвносильно
системi сукупностей таких рiвностей:\left\{
\Biggl[
\rho 12 = \rho 13 + \rho 23,
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23,\Biggl[
\rho 12 = \rho 14 + \rho 24,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24,\Biggl[
\rho 13 = \rho 14 + \rho 34,
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34;
\left\{
\Biggl[
\rho 23 = \rho 12 - \rho 13,
\rho 23 = - (\rho 12 - \rho 13),\Biggl[
\rho 24 = \rho 12 - \rho 14,
\rho 24 = - (\rho 12 - \rho 14),\Biggl[
\rho 34 = \rho 13 - \rho 14,
\rho 34 = - (\rho 13 - \rho 14);
\left\{
\rho 223 = (\rho 12 - \rho 13)
2,
\rho 224 = (\rho 12 - \rho 14)
2,
\rho 234 = (\rho 13 - \rho 14)
2.
Тепер обчислимо для рiзних випадкiв цiєї системи кутову характеристику
\varphi 234 =
\rho 223 + \rho 234 - \rho 224
2\rho 23\rho 34
.
Достатньо показати, що для всiх цих випадкiв буде виконуватись рiвнiсть
\rho 223 + \rho 234 - \rho 224 = \pm 2\rho 23\rho 34, (11)
а отже i рiвнiсть \varphi 2
234 = 1.
Пiдставивши знайденi значення у лiву частину рiвностi (11), отримаємо
\rho 223 + \rho 234 - \rho 224 = (\rho 12 - \rho 13)
2 + (\rho 13 - \rho 14)
2 - (\rho 12 - \rho 14)
2 =
= \rho 212 - 2\rho 12\rho 13 + \rho 213 + \rho 213 - 2\rho 13\rho 14 + \rho 214 - \rho 212 + 2\rho 12\rho 14 - \rho 214 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
394 В. I. КУЗЬМИЧ
= 2\rho 213 - 2\rho 12\rho 13 - 2\rho 13\rho 14 + 2\rho 12\rho 14 = 2(\rho 13(\rho 13 - \rho 12) - \rho 14(\rho 13 - \rho 12)) =
= 2(\rho 13 - \rho 12)(\rho 13 - \rho 14) = \pm 2\rho 23\rho 34.
Отже, у цьому випадку точки x2, x3, x4 розмiщенi прямолiнiйно, що у свою чергу означає
прямолiнiйне розмiщення всiх точок x1, x2, x3, x4.
Покажемо, що точки x1, x2, x3, x4 є прямолiнiйно впорядкованими. Для цього розглянемо
окремо кожен iз можливих випадкiв їхнього розмiщення, що випливають iз вказаної вище
системи сукупностей.
Випадок a): \left\{
\rho 12 = \rho 13 + \rho 23,
\rho 12 = \rho 14 + \rho 24,\left[ \rho 13 = \rho 14 + \rho 34,
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34.
У цьому випадку точки x3, x4 лежать мiж точками x1, x2, а внаслiдок рiвностi \varphi 314 = 1
точка x1 лежить поза точками x3, x4, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно
впорядкованi. При цьому точка x1 є крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
Випадок b): \left\{
\left[ \rho 12 = \rho 13 + \rho 23,
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24,
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34.
У цьому випадку точки x2, x3 лежать мiж точками x1, x4, а внаслiдок рiвностi \varphi 213 = 1
точка x1 лежить поза точками x2, x3, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно
впорядкованi. При цьому точка x1 є крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
Випадок c): \left\{
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23,\left[ \rho 12 = \rho 14 + \rho 24,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24,
\rho 13 = \rho 14 + \rho 34.
У цьому випадку точки x2, x4 лежать мiж точками x1, x3, а внаслiдок рiвностi \varphi 214 = 1
точка x1 лежить поза точками x2, x4, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно
впорядкованi. При цьому точка x1 є крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
2. Нехай одночасно виконуються рiвностi \varphi 213 = 1, \varphi 214 = - 1, \varphi 314 = - 1. Це рiвносильно
системi\left\{
\left[ \rho 12 = \rho 13 + \rho 23,
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14;
\left\{
\left[ \rho 23 = \rho 12 - \rho 13,
\rho 23 = - (\rho 12 - \rho 13),
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14;
\left\{
\rho 223 = (\rho 12 - \rho 13)
2,
\rho 224 = (\rho 12 + \rho 14)
2,
\rho 234 = (\rho 13 + \rho 14)
2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 395
Пiдставивши знайденi значення у лiву частину рiвностi (11), отримаємо
\rho 223 + \rho 234 - \rho 224 = (\rho 12 - \rho 13)
2 + (\rho 13 + \rho 14)
2 - (\rho 12 + \rho 14)
2 =
= \rho 212 - 2\rho 12\rho 13 + \rho 213 + \rho 213 + 2\rho 13\rho 14 + \rho 214 - \rho 212 - 2\rho 12\rho 14 - \rho 214 =
= 2\rho 213 - 2\rho 12\rho 13 + 2\rho 13\rho 14 - 2\rho 12\rho 14 = 2
\bigl(
\rho 13(\rho 13 - \rho 12) + \rho 14(\rho 13 - \rho 12)
\bigr)
=
= 2(\rho 13 - \rho 12)(\rho 13 + \rho 14) = \pm 2\rho 23\rho 34.
Отже, у цьому випадку точки x2, x3, x4 розмiщенi прямолiнiйно, що у свою чергу означає
прямолiнiйне розмiщення всiх точок x1, x2, x3, x4.
Покажемо, що точки x1, x2, x3, x4 є прямолiнiйно впорядкованими. Для цього розглянемо
можливi випадки їхнього розмiщення.
Випадок a): \left\{
\rho 12 = \rho 13 + \rho 23,
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14.
У цьому випадку точки x1, x3 лежать мiж точками x2, x4. З першої рiвностi системи
випливає, що точка x3 лежить мiж точками x1, x2. За теоремою 2 точка x2 лежить поза
точками x1, x3, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно впорядкованi. При цьому
точка x2 є крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
Випадок b): \left\{
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14.
У цьому випадку точки x1, x2 лежать мiж точками x3, x4. З першої рiвностi системи
випливає, що точка x2 лежить мiж точками x1, x3. За теоремою 2 точка x3 лежить поза
точками x1, x2, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно впорядкованi. При цьому
точка x3 є крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
3. Нехай одночасно виконуються рiвностi \varphi 213 = - 1, \varphi 214 = 1, \varphi 314 = - 1. Це рiвносильно
системi\left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,\left[ \rho 12 = \rho 14 + \rho 24,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14;
\left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,\left[ \rho 24 = \rho 12 - \rho 14,
\rho 24 = - (\rho 12 - \rho 14),
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14;
\left\{
\rho 223 = (\rho 12 + \rho 13)
2,
\rho 224 = (\rho 12 - \rho 14)
2,
\rho 234 = (\rho 13 + \rho 14)
2.
Пiдставивши знайденi значення у лiву частину рiвностi (11), отримаємо
\rho 223 + \rho 234 - \rho 224 = (\rho 12 + \rho 13)
2 + (\rho 13 + \rho 14)
2 - (\rho 12 - \rho 14)
2 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
396 В. I. КУЗЬМИЧ
= \rho 212 + 2\rho 12\rho 13 + \rho 213 + \rho 213 + 2\rho 13\rho 14 + \rho 214 - \rho 212 + 2\rho 12\rho 14 - \rho 214 =
= 2\rho 213 + 2\rho 12\rho 13 + 2\rho 13\rho 14 + 2\rho 12\rho 14 = 2(\rho 13(\rho 13 + \rho 12) + \rho 14(\rho 13 + \rho 12)) =
= 2(\rho 13 + \rho 12)(\rho 13 + \rho 14) = 2\rho 23\rho 34.
У цьому випадку точки x2, x3, x4 теж розмiщенi прямолiнiйно, що у свою чергу означає
прямолiнiйне розмiщення всiх точок x1, x2, x3, x4.
Покажемо, що точки x1, x2, x3, x4 є прямолiнiйно впорядкованими. Для цього розглянемо
можливi випадки їхнього розмiщення.
Випадок a): \left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,
\rho 12 = \rho 14 + \rho 24,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14.
У цьому випадку точки x1, x4 лежать мiж точками x2, x3. З другої рiвностi системи випли-
ває, що точка x4 лежить мiж точками x1, x2. За теоремою 2 точка x2 лежить поза точками x1,
x4, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно впорядкованi. При цьому точка x2 є
крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
Випадок b): \left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24,
\rho 34 = \rho 13 + \rho 14.
У цьому випадку точки x1, x2 лежать мiж точками x3, x4. З першої рiвностi системи
випливає, що точка x1 лежить мiж точками x2, x3. За теоремою 2 точка x3 лежить поза
точками x1, x2, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно впорядкованi. При цьому
точка x3 є крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
4. Нехай одночасно виконуються рiвностi \varphi 213 = - 1, \varphi 214 = - 1, \varphi 314 = 1. Це рiвносильно
системi\left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,\left[ \rho 13 = \rho 14 + \rho 34,
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34;
\left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,\left[ \rho 34 = \rho 13 - \rho 14,
\rho 34 = - (\rho 13 - \rho 14);
\left\{
\rho 223 = (\rho 12 + \rho 13)
2,
\rho 224 = (\rho 12 + \rho 14)
2,
\rho 234 = (\rho 13 - \rho 14)
2.
Пiдставивши знайденi значення у лiву частину рiвностi (11), отримаємо
\rho 223 + \rho 234 - \rho 224 = (\rho 12 + \rho 13)
2 + (\rho 13 - \rho 14)
2 - (\rho 12 + \rho 14)
2 =
= \rho 212 + 2\rho 12\rho 13 + \rho 213 + \rho 213 - 2\rho 13\rho 14 + \rho 214 - \rho 212 - 2\rho 12\rho 14 - \rho 214 =
= 2\rho 213 + 2\rho 12\rho 13 - 2\rho 13\rho 14 - 2\rho 12\rho 14 = 2
\bigl(
\rho 13(\rho 13 + \rho 12) - \rho 14(\rho 13 + \rho 12)
\bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 397
= 2(\rho 13 + \rho 12)(\rho 13 - \rho 14) = \pm 2\rho 23\rho 34.
У цьому випадку точки x2, x3, x4 теж розмiщенi прямолiнiйно, що у свою чергу означає
прямолiнiйне розмiщення всiх точок x1, x2, x3, x4.
Покажемо, що точки x1, x2, x3, x4 є прямолiнiйно впорядкованими. Для цього розглянемо
можливi випадки їхнього розмiщення.
Випадок a): \left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,
\rho 13 = \rho 14 + \rho 34.
У цьому випадку точки x1, x4 лежать мiж точками x2, x3. З другої рiвностi системи випли-
ває, що точка x1 лежить мiж точками x2, x4. За теоремою 2 точка x2 лежить поза точками x1,
x4, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно впорядкованi. При цьому точка x2 є
крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
Випадок b): \left\{
\rho 23 = \rho 12 + \rho 13,
\rho 24 = \rho 12 + \rho 14,
\rho 14 = \rho 13 + \rho 34.
У цьому випадку точки x1, x3 лежать мiж точками x2, x4. З першої рiвностi системи ви-
пливає, що точка x1 лежить мiж точками x2, x3. За теоремою 2 точка x2 лежить поза точками
x1, x3, i за означенням 6 точки x1, x2, x3, x4 прямолiнiйно впорядкованi. При цьому точка x2
є крайньою для точок x1, x2, x3, x4.
Отже, в усiх чотирьох можливих випадках точки x2, x3, x4 розмiщенi прямолiнiйно, що у
свою чергу означає прямолiнiйне розмiщення всiх точок x1, x2, x3, x4 простору \Pi . Крiм того,
в усiх чотирьох випадках точки x1, x2, x3, x4 є прямолiнiйно впорядкованими.
Лему 3 доведено.
4.6. Доведення леми 4. Нехай точка x1 є крайньою для точок x1, x2, x3, x4. У цьому
випадку виконуються рiвностi \varphi 213 = \varphi 214 = \varphi 314 = 1.
Рiвнiсть \varphi 214 = 1 еквiвалентна сукупностi рiвностей (10). Оскiльки за умовою леми точки
x2 i x4 лежать мiж точками x1 i x3, то це еквiвалентно системi рiвностей\left\{ \rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 13 = \rho 14 + \rho 34.
Остаточно отримуємо систему рiвностей\left\{
\rho 13 = \rho 12 + \rho 23,
\rho 13 = \rho 14 + \rho 34,\left[ \rho 12 = \rho 14 + \rho 24,
\rho 14 = \rho 12 + \rho 24.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
398 В. I. КУЗЬМИЧ
Використовуючи першу рiвнiсть iз сукупностi, послiдовно знаходимо
\rho 23 = \rho 13 - \rho 12 = (\rho 14 + \rho 34) - \rho 12 = (\rho 12 + \rho 24) + \rho 34 - \rho 12 = \rho 24 + \rho 34.
Використовуючи другу рiвнiсть iз сукупностi, послiдовно одержуємо
\rho 34 = \rho 13 - \rho 14 = (\rho 12 + \rho 23) - \rho 14 = (\rho 14 + \rho 24) + \rho 23 - \rho 14 = \rho 23 + \rho 24.
Остаточно отримуємо сукупнiсть рiвностей\Biggl[
\rho 23 = \rho 24 + \rho 34,
\rho 34 = \rho 23 + \rho 24,
яка рiвносильна рiвностям
(\rho 23 - \rho 34)
2 = \rho 224, \rho 223 - 2\rho 23\rho 34 + \rho 234 = \rho 224, \rho 223 + \rho 234 - \rho 224 = 2\rho 23\rho 34.
Подiливши обидвi частини рiвностi на вираз 2\rho 23\rho 34, отримаємо
\varphi 234 =
\rho 223 + \rho 234 - \rho 224
2\rho 23\rho 34
= 1.
Ця рiвнiсть вказує на те, що точка x3 лежить поза точками x2 i x4, тобто є крайньою для
точок x1, x2, x3, x4.
Лему 4 доведено.
4.7. Доведення леми 5. Припустимо, що точки x1, x2, x3, x4 у просторi \Pi є прямолiнiйно
i плоско розмiщеними. З їхнього плоского розмiщення випливає виконання рiвностi (5). За
означенням 4 будь-якi три з точок x1, x2, x3, x4 будуть прямолiнiйно розмiщенi. Отже, будуть
виконуватись рiвностi \varphi 2
213 = \varphi 2
214 = \varphi 2
314 = 1. Пiдставляючи цi значення у рiвнiсть (5),
знаходимо \varphi 213\varphi 214\varphi 314 = 1. Тому рiвнiсть (4) є необхiдною умовою плоского розмiщення
прямолiнiйно розмiщених точок x1, x2, x3, x4 у просторi \Pi .
Нехай тепер для точок x1, x2, x3, x4 виконується рiвнiсть (4). Тодi з леми 3 випливає
прямолiнiйне розмiщення цих точок i справедливiсть рiвностей \varphi 2
213 = \varphi 2
214 = \varphi 2
314 = 1.
Пiдставляючи цi значення i значення \varphi 213\varphi 214\varphi 314 = 1 з рiвностi (4) у лiву частину рiвностi (5),
отримуємо тотожнiсть. Таким чином, за означенням 8 точки x1, x2, x3, x4 будуть плоско
розмiщеними.
4.8. Доведення теореми 3. Нехай прямолiнiйно розмiщена множина точок простору \Pi є
також i плоско розмiщеною. Покажемо, що ця множина є прямолiнiйно впорядкованою. Для
цього виберемо її довiльнi чотири точки x1, x2, x3, x4. З прямолiнiйного та плоского розмiще-
ння цих точок, за лемою 5, випливає, що для однiєї з них (наприклад, для точки x1) виконується
рiвнiсть (4). За лемою 3 цi точки будуть прямолiнiйно впорядкованими. З довiльностi вибору
точок, за означенням 7, випливає прямолiнiйна впорядкованiсть усiєї множини точок.
Нехай тепер множина точок простору \Pi є прямолiнiйно впорядкованою. За означенням 7
будь-якi чотири точки x1, x2, x3, x4 множини є прямолiнiйно впорядкованими, тому за лемою 3
для однiєї з них (наприклад, для точки x1) виконується рiвнiсть (4). Таким чином, за лемою 5
точки x1, x2, x3, x4 є плоско розмiщеними. Iз довiльностi вибору точок множини та означення 7
випливає, що множина точок є плоско розмiщеною.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ГЕОМЕТРИЧНI ВЛАСТИВОСТI МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ 399
Лiтература
1. Savchenko A., Zarichnyi M. Metrization of free groups on ultrametric spaces // Topology and Appl. – 2010. – 157,
№ 4. – P. 724 – 729.
2. Savchenko A., Zarichnyi M. Probability measure monad on the category of fuzzy ultrametric spaces // Azerb. J.
Math. – 2011. – 1, № 1. – P. 114 – 121.
3. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – 388 с.
4. Каган В. Ф. Основания геометрии: В 2 ч. – М.; Л.: Гостехиздат, 1956. – Ч. 2. – 344 с.
5. Кузьмич В. I. Поняття кута при вивченнi властивостей метричного простору // Вiсн. Черкас. ун-ту. Пед. науки. –
2016. – № 13. – С. 26 – 32.
6. Кузьмич В. I. Кутова характеристика у метричному просторi // Algebr. and Geom. Methods of Analysis: Int. Sci.
Conf.: Abstracts. – 2017. – P. 11 – 12.
7. Кузьмич В. I. Побудова плоских образiв у довiльному метричному просторi // Вiсн. Черкас. ун-ту. Пед. науки. –
2017. – № 11. – С. 40 – 46.
8. Каган В. Ф. Очерки по геометрии. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. – 571 с.
9. Кузьмич В. I., Кузьмич Ю. В. Аналоги формули Юнгiуса об’єму тетраедра // Вiсн. Черкас. ун-ту. Пед. науки. –
2012. – 249, № 36. – С. 55 – 64.
10. Кузьмич В. I. Плоско розмiщенi множини точок у метричному просторi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. –
2017. – Вип. 83. – С. 58 – 71.
Одержано 16.05.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1446 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:32Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8c/569e4605d5eafa0e847c216a929db88c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14462019-12-05T08:55:13Z Geometric properties of metric spaces Геометричні властивості метричних просторів Kuzmich, V. I. Кузьмич, В. І. We study some problems of geometrization of arbitrary metric spaces. In particular, we studied the concept of straight and flat placement of points in this space. In a certain way, we continue the investigations of Kagan devoted to the detailed analysis of the notion of straightforwardness based on four groups of postulates. The results of our work are based on the notion of angular characteristics of three points of the space proposed by Alexandrov. We establish the conditions under which the set of points of an arbitrary metric space satisfies all five postulates of the first group of Kagan’s placement postulates. The relationship between rectilinear and flat placements of points of the metric space is investigated. Examples of placements of this kind based on linear functions in some classical spaces are presented. The results of the paper are obtained without using the property of completeness of the space and can be used for the discrete computation and structuring of specific metric spaces. Статтю присвячено окремим питанням геометризацiї довiльного метричного простору. Зокрема, вивчаються поняття прямолiнiйного та плоского розмiщення точок цього простору. У статтi продовжено дослiдження В. Ф. Кагана, який детально вивчив поняття прямолiнiйностi на основi чотирьох груп постулатiв. Отриманi у статтi результати спираються на поняття кутової характеристики трьох точок простору, як це свого часу пропонував О. Д. Александров. Встановлено умови для того, щоб множина точок довiльного метричного простору задовольняла всi п’ять постулатiв першої групи постулатiв розмiщення В. Ф. Кагана. Вивчено взаємовiдношення мiж прямолiнiйним та плоским розмiщеннями точок метричного простору. Наведено приклади такого розмiщення на основi лiнiйних функцiй у окремих класичних просторах. Результати отримано без використання повноти простору, i їх можна застосувати для дискретних обчислень та структуризацiї конкретних метричних просторiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1446 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 3 (2019); 382-399 Український математичний журнал; Том 71 № 3 (2019); 382-399 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1446/430 Copyright (c) 2019 Kuzmich V. I. |
| spellingShingle | Kuzmich, V. I. Кузьмич, В. І. Geometric properties of metric spaces |
| title | Geometric properties of metric spaces |
| title_alt | Геометричні властивості метричних просторів
|
| title_full | Geometric properties of metric spaces |
| title_fullStr | Geometric properties of metric spaces |
| title_full_unstemmed | Geometric properties of metric spaces |
| title_short | Geometric properties of metric spaces |
| title_sort | geometric properties of metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1446 |
| work_keys_str_mv | AT kuzmichvi geometricpropertiesofmetricspaces AT kuzʹmičví geometricpropertiesofmetricspaces AT kuzmichvi geometričnívlastivostímetričnihprostorív AT kuzʹmičví geometričnívlastivostímetričnihprostorív |