Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation
We construct differential operators that transform arbitrary holomorphic functions into regular solutions of elliptic-type equations of the second and higher orders. The Riquier problem is solved for the elliptic-type equation of the fourth order.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1449 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507201858174976 |
|---|---|
| author | Aleksandrovich, I. N. Sidorov, M. V. Александрович, І. М. Сидоров, М. В.-С. |
| author_facet | Aleksandrovich, I. N. Sidorov, M. V. Александрович, І. М. Сидоров, М. В.-С. |
| author_sort | Aleksandrovich, I. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T08:55:13Z |
| description | We construct differential operators that transform arbitrary holomorphic functions into regular solutions of elliptic-type
equations of the second and higher orders. The Riquier problem is solved for the elliptic-type equation of the fourth order. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.9
I. М. Александрович, М. В.-С. Сидоров (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ, ЩО ВИЗНАЧАЮТЬ РОЗВ’ЯЗОК
IТЕРОВАНОГО РIВНЯННЯ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ
We construct differential operators that transform arbitrary holomorphic functions into regular solutions of elliptic-type
equations of the second and higher orders. The Riquier problem is solved for the elliptic-type equation of the fourth order.
Побудовано диференцiальнi оператори, якi переводять довiльнi голоморфнi функцiї в регулярнi розв’язки рiвняння
елiптичного типу другого та вищих порядкiв. Розв’язано задачу Рiк’є для рiвняння елiптичного типу четвертого
порядку.
1. Вступ. При вивченнi задач, пов’язаних з явищами вiбрацiї та iншими задачами механi-
ки i математичної фiзики, широко використовуються диференцiальнi рiвняння з частинними
похiдними, що мiстять оператори вигляду
Dm =
\partial m
\partial x1\partial x2 . . . \partial xm
та їхнi iтерацiї.
Одним iз методiв розв’язування таких рiвнянь є створення диференцiальних операторiв, що
визначають розв’язок рiвнянь i систем елiптичного типу [1 – 3].
У роботi побудовано диференцiальнi оператори, якi переводять довiльнi голоморфнi в одно-
зв’язнiй областi D площини z = x+ iy функцiї у регулярний розв’язок рiвняння
Jm
p W =
\biggl(
\partial 2
\partial z\partial \=z
+
p
2(z - \=z)
\biggl(
\partial
\partial \=z
- \partial
\partial z
\biggr) \biggr) m
W (z, \=z) = 0, m \in \BbbN ,
p
2
\in \BbbZ ,
\partial
\partial z
=
1
2
\biggl(
\partial
\partial x
- i
\partial
\partial y
\biggr)
,
\partial
\partial \=z
=
1
2
\biggl(
\partial
\partial x
+ i
\partial
\partial y
\biggr)
.
(1)
Як приклад застосування побудованих операторiв розв’язано задачу Рiк’є.
Насамперед розглянемо диференцiальне рiвняння
Wz\=z +
(n - m)\varphi \prime (z)
\varphi (z) - \psi (z)
W\=z +
n(m+ 1)\varphi \prime (z)\psi \prime (z)\Bigl(
\varphi (z) - \psi (z)
\Bigr) 2 W = 0, (2)
де \varphi (z), \psi (z) — голоморфнi функцiї, що справджують умову\Bigl(
\varphi (z) - \psi (z)
\Bigr)
\varphi \prime (z)\psi \prime (z) \not = 0, m, n \in \BbbN \cup \{ 0\} .
Клас голоморфних в областi D функцiй позначатимемо H(D).
Диференцiальнi оператори Lg(z) i Nf(z), кожен з яких визначає розв’язок рiвняння (2),
вводимо наступною теоремою, доведеною у роботi [1].
c\bigcirc I. М. АЛЕКСАНДРОВИЧ, М. В.-С. СИДОРОВ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3 433
434 I. М. АЛЕКСАНДРОВИЧ, М. В.-С. СИДОРОВ
Теорема. Нехай g(z) i f(z) — довiльнi голоморфнi функцiї в однозв’язнiй областi D. Тодi
функцiя W (z, \=z), визначена рiвнiстю
W (z, \=z) = Lg(z) +Nf(z) =
=
n\sum
k=0
( - 1)n - kn!(m+ 1)n - k
k!(n - k)!
(\varphi \prime (z))n - k\Bigl(
\varphi (z) - \psi (z)
\Bigr) n - k
g(k)(z)+
+
m\sum
k=0
( - 1)m - km!(n+ 1)m - k
k!(m - k)!
\Bigl(
\psi \prime (z)
\Bigr) n - k
\Bigl(
\varphi (z) - \psi (z)
\Bigr) n - k
f (k)(z), (3)
є розв’язком рiвняння (2). Тут (m+1)n - k = (m+1)(m+2) . . . (m+n - k) — символ Похгаммера.
Застосуємо твердження теореми до розв’язування задачi.
Задача Дiрiхле. Нехай D — верхня пiвплощина y > 0. Знайти регулярний в D розв’язок
рiвняння
Wz\=z +
2
(z - \=z)2
W = 0, (4)
що справджує умову
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
(z - \=z)W (z, \=z) = \alpha (x), - \infty < x <\infty . (5)
Тут \alpha (x) = \alpha 1(x) + i\alpha 2(x) — задана неперервна обмежена функцiя вiд x.
У вiдповiдностi з (3) розв’язок задачi шукаємо у виглядi
W = - 2
z - \=z
g(z) + g\prime (z) +
2
z - \=z
f(z) + f \prime (z). (6)
Задовольняючи умову (5) i вважаючи, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
(z - \=z)
\Bigl(
g\prime (z) + f \prime (z)
\Bigr)
= 0, (7)
одержуємо \Bigl(
- 2g(z) + 2f(z)
\Bigr)
y=0
= \alpha (x)
або
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl[
- 2g(z) + 2f(z)
\bigr]
y=0
= \alpha 1(x), (8)
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl[
i
\bigl(
2g(z) + 2f(z)
\bigr) \bigr]
y=0
= \alpha 2(x). (9)
Вважатимемо, що функцiя \alpha (x) на всiй осi правильно неперервна i в околi нескiнченно
вiддаленої точки задовольняє умову H(\upsilon ), тобто\bigm| \bigm| \alpha (x1) - \alpha (x2)
\bigm| \bigm| \leq A
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1x2 - 1
x1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \upsilon , A, \upsilon - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ, ЩО ВИЗНАЧАЮТЬ РОЗВ’ЯЗОК . . . 435
при достатньо великих | x1| i | x2| . Тодi розв’язок задачi Дiрiхле у пiвплощинi y > 0 при
крайовiй умовi (8), (9) можна записати у виглядi [4]
- g(z) + f(z) =
1
2\pi i
\infty \int
- \infty
\alpha 1(t)
t - z
dt+
i
2
C1,
g(z) + f(z) =
1
2\pi i
\infty \int
- \infty
- i\alpha 2(t)
t - z
dt+
1
2
C2
(C1, C2 — дiйснi сталi). Звiдси
g(z) = - 1
4\pi i
\infty \int
- \infty
\alpha (t)
t - z
dt - i
4
C, (10)
f(z) = - 1
4\pi i
\infty \int
- \infty
\alpha (t)
t - \=z
dt - i
4
C, (11)
C = C1 + iC2.
Оскiльки iнтеграли у формулах (10), (11) можна вiдповiдно диференцiювати по z i \=z, то
g\prime (z) = - 1
4\pi i
\infty \int
- \infty
\alpha (t)
(t - z)2
dt, (12)
f \prime (z) = - 1
4\pi i
\infty \int
- \infty
\alpha (t)
(t - \=z)2
dt. (13)
При цьому виконується умова (7).
Пiдставляючи (10) – (12) у (6), одержуємо розв’язок задачi Дiрiхле для рiвняння (4):
W (z, \=z) = - (z - \=z)2
4\pi i
\infty \int
\infty
\alpha (t)
dt\bigl(
| t - z| 2
\bigr) 2 .
2. Побудова диференцiального оператора, що визначає розв’язок рiвняння (1). Вико-
навши замiну W = (z - \=z) -
p
2 V, рiвняння (1) зведемо до вигляду
Jm
n V =
\biggl(
\partial 2
\partial z\partial \=z
+
n(n+ 1)
(z - \=z)2
\biggr) m
V = 0, n =
p
2
- 1, n \in \BbbN , m \in \BbbN . (1\prime )
Нехай D — однозв’язна область у верхнiй пiвплощинi. Розглянемо рiвняння (1\prime ) при m = 1:
JnV =
\partial 2V
\partial z\partial \=z
+
n(n+ 1)
(z - \=z)2
V = 0. (14)
Розв’язок цього рiвняння в областi D за формулою (3) має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
436 I. М. АЛЕКСАНДРОВИЧ, М. В.-С. СИДОРОВ
V (z, \=z) =
n\sum
k=0
( - 1)n - k(2n - k)!
k!(n - k)!
1
(z - \=z)n - k
g(k)(z)+
+
n\sum
k=0
(2n - k)!
k!(n - k)!
1
(z - \=z)n - k
f (k)(z), (15)
де \{ g(z), f(z)\} \in H(D).
Формулу (15) можна записати у виглядi
V (z, \=z) = Kng(z) +Knf(z), (15\prime )
де
Kn =
n\sum
k=0
( - 1)n - k(2n - k)!
k!(n - k)!(z - \=z)n - k
\partial k
\partial zk
.
Доведемо, що розв’язком рiвняння (1\prime ) буде
V (z, \=z) =
m - 1\sum
i=0
(z + \=z)iVi(z, \=z), m \geq 2,
де Vi = Kngi +Knfi, gi, fi \in H(D).
Лема. Якщо Vi(z, \=z), i = 0,m - 1, є 2(i+ 1) разiв неперервно диференцiйовними розв’яз-
ками рiвняння JnV = 0, то функцiя, визначена рiвнiстю
V (z, \=z) =
m - 1\sum
i=0
Vi(z, \=z)(z + \=z)i, m \geq 2, (16)
задовольняє рiвняння Jm
n V = 0, тобто рiвняння (1\prime ).
Доведення проведемо методом математичної iндукцiї. Перевiримо справедливiсть тверджен-
ня при m = 2. Маємо
J2
n(V ) =
\biggl(
\partial 2
\partial z\partial \=z
+
n(n+ 1)
(z - \=z)2
\biggr) 2
V = 0. (1\prime \prime )
Безпосередньою перевiркою переконаємося, що функцiя
V (z, \=z) = V0(z, \=z) + V1(z, \=z)(z + \=z),
де Vi(z, \=z), i = 0, 1, задовольняють рiвняння Jnv = 0, є розв’язком рiвняння (1\prime \prime ).
Враховуючи, що
Jn =
\partial 2
\partial z\partial \=z
+
n(n+ 1)
(z - \=z)2
, JnV0 = 0, JnV1 = 0,
Jn ((z + \=z)V1) =
\partial V1
\partial \=z
+
\partial V1
\partial z
,
отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ, ЩО ВИЗНАЧАЮТЬ РОЗВ’ЯЗОК . . . 437
J2
nV = Jn
\bigl(
JnV0 + Jn(z + \=z)V1
\bigr)
= Jn
\biggl(
\partial V1
\partial \=z
+
\partial V1
\partial z
\biggr)
=
\partial
\partial \=z
JnV1 +
\partial
\partial z
JnV1 = 0.
Нехай функцiя
V (z, \=z) =
m - 2\sum
i=0
Vi(z, \=z)(z + \=z)i,
де Vi(z, \=z) — розв’язок рiвняння Jnv = 0, задовольняє рiвняння Jm - 1
n V = 0.
На основi цього припущення доведемо справедливiсть леми для наступного натурально-
го числа m. Для цього безпосередньою перевiркою переконаємося, що функцiя, визначена
рiвнiстю (16), задовольняє рiвняння (1\prime ).
Отже,
Jm
n (V ) = Jn(J
m - 1
n V ) =
= Jn
\Biggl(
Jm - 1
n
\Biggl(
m - 2\sum
i=0
Vi(z, \=z)(z + \=z)i + Vm - 1(z, \=z)(z + \=z)m - 1
\Biggr) \Biggr)
=
= Jm
n
\bigl(
(z + \=z)m - 1Vm - 1(z, \=z)
\bigr)
,
оскiльки
Jm - 1
n
\Biggl(
m - 2\sum
i=0
(z + \=z)iVi(z, \=z)
\Biggr)
= 0
за припущенням.
Залишилося довести, що
Jm
n
\bigl(
(z + \=z)m - 1Vm - 1(z, \=z)
\bigr)
= 0. (17)
Позначимо
Vm - 1 = \~v.
Тодi
Jm
n
\bigl(
(z + \=z)m - 1\~v
\bigr)
= Jm - 1
n
\bigl(
Jn((z + \=z)m - 1\~v)
\bigr)
.
Розглянемо
Jn
\bigl(
(z + \=z)m - 1\~v
\bigr)
=
\biggl(
\partial 2
\partial z\partial \=z
+
n(n+ 1)
(z - \=z)2
\biggr) \bigl(
(z + \=z)m - 1\~v
\bigr)
=
=
\partial
\partial \=z
\biggl(
(m - 1)(z + \=z)m - 2\~v + (z + \=z)m - 1\partial \~v
\partial z
\biggr)
+
n(n+ 1)
(z - \=z)2
(z + \=z)m - 1\~v =
= (m - 1)(m - 2)(z + \=z)m - 3\~v + (m - 1)(z + \=z)m - 2\partial \~v
\partial \=z
+ (m - 1)(z + \=z)m - 2\partial \~v
\partial z
+
+(z + \=z)m - 1 \partial
2\~v
\partial z\partial \=z
+
n(n+ 1)
(z - \=z)2
(z + \=z)m - 1\~v =
= (z + \=z)m - 1Jn\~v + (m - 1)(z + \=z)m - 2
\biggl(
\partial \~v
\partial z
+
\partial \~v
\partial \=z
\biggr)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
438 I. М. АЛЕКСАНДРОВИЧ, М. В.-С. СИДОРОВ
+(m - 1)(m - 2)(z + \=z)m - 3\~v. (18)
Рiвнiсть (17) доводиться знову ж таки методом математичної iндукцiї.
При m = 1 рiвнiсть JnV0 = 0 є справедливою за умовою леми. Припускаємо справедливiсть
(17) при r < m, тобто
Jr
n
\Bigl(
(z + \=z)r - 1 \~v
\Bigr)
= 0.
Звiдси знаходимо
Jm
n
\bigl(
(z + \=z)r - 1\~v
\bigr)
= 0 при r < m. (19)
Дiйсно,
Jm
n
\bigl(
(z + \=z)r - 1\~v
\bigr)
= Jm - r
n
\bigl(
Jr
n
\bigl(
(z + \=z)r - 1\~v
\bigr) \bigr)
= 0.
Використовуючи рiвностi (18) i (19), переконуємось у справедливостi рiвностi (17) для m:
Jm
n
\bigl(
(z + \=z)m - 1\~v
\bigr)
=
= (m - 1)Jm - 1
n
\biggl(
(z + \=z)m - 2
\biggl(
\partial \~v
\partial z
+
\partial \~v
\partial \=z
\biggr) \biggr)
+
+(m - 1)(m - 2)Jm - 1
n
\bigl(
(z + \=z)m - 3\~v
\bigr)
= 0.
Насправдi,
\partial \~v
\partial z
i
\partial \~v
\partial \=z
задовольняють рiвняння Jnv = 0, а отже, Jn
\biggl(
\partial \~v
\partial z
+
\partial \~v
\partial \=z
\biggr)
= 0. За
формулою (19) маємо
Jm - 1
n
\biggl(
(z + \=z)m - 2
\biggl(
\partial \~v
\partial z
+
\partial \~v
\partial \=z
\biggr) \biggr)
= 0.
Лему доведено.
Отриманi результати сформулюємо у виглядi такої теореми.
Теорема. Для будь-якого розв’язку рiвняння (1\prime )
Jm
n V = 0, m \geq 2,
знайдуться голоморфнi в D функцiї gi(z), fi(z) такi, що
V (z, \=z) =
m - 1\sum
i=0
(z + \=z)i
\bigl(
Kngi +Knfi
\bigr)
, (20)
i навпаки, якщо gi(z), fi(z) голоморфнi в D, то (20) є розв’язком рiвняння (1\prime ) в областi D.
3. Модельний приклад. Застосуємо побудованi диференцiальнi оператори до розв’язуван-
ня задач математичної фiзики.
Задача Рiк’є. Нехай D — верхня пiвплощина y > 0. Знайти регулярний у D розв’язок
рiвняння
J2V =
\biggl(
\partial 2
\partial z\partial \=z
+
2
(z - \=z)2
\biggr) 2
V = 0, (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОПЕРАТОРИ, ЩО ВИЗНАЧАЮТЬ РОЗВ’ЯЗОК . . . 439
що справджує крайовi умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
(z - \=z)V (z, \=z) = \alpha (x), - \infty < x <\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
(z - \=z)JV (z, \=z) = \beta (x), - \infty < x <\infty .
(22)
Тут \alpha (x), \beta (x) — заданi функцiї достатньої гладкостi.
У вiдповiдностi з лемою розв’язок задачi (21), (22) шукаємо у виглядi
V (z, \=z) = V0(z, \=z) + (z + \=z)V1(z, \=z).
Задовольняючи крайовi умови (22), маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
\bigl(
(z - \=z)(V0 + (z + \=z)V1)
\bigr)
= \alpha (x),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
\biggl[
(z - \=z)
\biggl(
\partial 2
\partial z\partial \=z
+
2
(z - \=z)2
\biggr) \bigl(
V0 + (z + \=z)V1
\bigr) \biggr]
= \beta (x),
або
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
\bigl(
(z - \=z)(V0 + (z + \=z)V1)
\bigr)
= \alpha (x),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
\biggl(
(z - \=z)
\biggl(
\partial V1
\partial z
+
\partial V1
\partial \=z
\biggr) \biggr)
= \beta (x).
(22\prime )
Оскiльки V0 i V1 задовольняють рiвняння JV = 0, то для знаходження функцiй V0(z, \=z) i
V1(z, \=z) маємо такi задачi Дiрiхле:
\partial 2V0
\partial z\partial \=z
+
2
(z - \=z)2
V0 = 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
(z - \=z)V0(z, \=z) = \gamma (x),
(23)
\partial 2V1
\partial z\partial \=z
+
2
(z - \=z)2
V1 = 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\=z\rightarrow z
(z - \=z)V1(z, \=z) = \delta (x).
(24)
Тут функцiї \gamma (x), \delta (x) визначаються iз системи рiвнянь
\gamma (x) + 2x\delta (x) = \alpha (x),
\gamma \prime (x) + 2\delta (x) + 2x\beta (x) = \alpha \prime (x),
розв’язуючи яку, одержуємо
\gamma (x) = \alpha (x) - 2x
x\int
x0
\beta (t)dt,
\delta (x) =
x\int
x0
\beta (t)dt, x0, x \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
440 I. М. АЛЕКСАНДРОВИЧ, М. В.-С. СИДОРОВ
Розв’язком кожної задачi Дiрiхле (23) i (24), згiдно з розв’язаною задачею (4), (5), буде
V0(z, \=z) = - (z - \=z)2
4\pi i
\infty \int
- \infty
\gamma (t)
| t - z| 4
dt,
V1(z, \=z) = - (z - \=z)2
4\pi i
\infty \int
- \infty
\delta (t)
| t - z| 4
dt.
Остаточно розв’язком задачi (21), (22) є
V (z, \=z) = - (z - \=z)2
4\pi i
\infty \int
- \infty
\gamma (t) + (z + \=z)\delta (t)
| t - z| 4
dt.
Висновок. Задача Рiк’є для рiвняння Jm
n (V ) = 0 розв’язна тодi i тiльки тодi, коли задачi
Дiрiхле для рiвняння Jn(V ) = 0 теж є розв’язними.
Лiтература
1. Александрович И. Н. Дифференциальные операторы, определяющие решения одного класса уравнений эллип-
тического типа // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 6. – С. 825 – 828.
2. Александрович I. М. Диференцiальнi оператори, що визначають розв’язок рiвнянь елiптичного типу // Укр.
мат. журн. – 1995. – 47, № 12. – С. 1587 – 1592.
3. Положий Г. Н. Теория и применение p-аналитических и (p, q)-аналитических функций. – Киев: Наук. думка,
1973. – 424 с.
4. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. –
736 с.
Одержано 29.05.18,
пiсля доопрацювання — 03.01.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1449 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:33Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a8/c5cc8a1b9aebc0cc468bfa09112fe2a8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14492019-12-05T08:55:13Z Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation Диференціальні оператори, що визначають розв’язок ітерованого рівняння еліптичного типу Aleksandrovich, I. N. Sidorov, M. V. Александрович, І. М. Сидоров, М. В.-С. We construct differential operators that transform arbitrary holomorphic functions into regular solutions of elliptic-type equations of the second and higher orders. The Riquier problem is solved for the elliptic-type equation of the fourth order. Побудовано диференцiальнi оператори, якi переводять довiльнi голоморфнi функцiї в регулярнi розв’язки рiвняння елiптичного типу другого та вищих порядкiв. Розв’язано задачу Рiк’є для рiвняння елiптичного типу четвертого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1449 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 3 (2019); 433-440 Український математичний журнал; Том 71 № 3 (2019); 433-440 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1449/433 Copyright (c) 2019 Aleksandrovich I. N.; Sidorov M. V. |
| spellingShingle | Aleksandrovich, I. N. Sidorov, M. V. Александрович, І. М. Сидоров, М. В.-С. Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation |
| title | Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation |
| title_alt | Диференціальні оператори, що визначають розв’язок
ітерованого рівняння еліптичного типу |
| title_full | Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation |
| title_fullStr | Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation |
| title_full_unstemmed | Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation |
| title_short | Differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation |
| title_sort | differential operators specifying the solution of an elliptictype iterated equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1449 |
| work_keys_str_mv | AT aleksandrovichin differentialoperatorsspecifyingthesolutionofanelliptictypeiteratedequation AT sidorovmv differentialoperatorsspecifyingthesolutionofanelliptictypeiteratedequation AT aleksandrovičím differentialoperatorsspecifyingthesolutionofanelliptictypeiteratedequation AT sidorovmvs differentialoperatorsspecifyingthesolutionofanelliptictypeiteratedequation AT aleksandrovichin diferencíalʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâelíptičnogotipu AT sidorovmv diferencíalʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâelíptičnogotipu AT aleksandrovičím diferencíalʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâelíptičnogotipu AT sidorovmvs diferencíalʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâelíptičnogotipu |