On one homogeneity test based on the kernel-type estimators of the distribution density
We construct a homogeneity test based on the kernel-type estimators of the distribution density and investigate its consistency.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1450 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507205369856000 |
|---|---|
| author | Babilua, P. Nadaraya, E. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. |
| author_facet | Babilua, P. Nadaraya, E. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. |
| author_sort | Babilua, P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:12:29Z |
| description | We construct a homogeneity test based on the kernel-type estimators of the distribution density and investigate its
consistency. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
П. К. Бабилуа, Э. А. Надарая (Тбил. гос. ун-т им. Ив. Джавахишвили, Грузия)
ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ОДНОРОДНОСТИ, ОСНОВАННОМ
НА ЯДЕРНЫХ ОЦЕНКАХ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
We construct a homogeneity test based on the kernel-type estimators of the distribution density and investigate its
consistency.
Побудовано критерiй однорiдностi, що ґрунтується на оцiнках щiльностi розподiлу типу ядра, i дослiджено його
обґрунтованiсть.
1. Пусть X(i) = (X
(i)
1 , . . . , X
(i)
ni ), i = 1, . . . , p, — независимые выборки объемов n1, n2, . . . , np
из p (p \geq 2) генеральных совокупностей с плотностями распределения f1(x), . . . , fp(x). Тре-
буется, основываясь на выборках X(i), i = 1, . . . , p, проверить гипотезу однородности
H0 : f1(x) = . . . = fp(x). (1)
В (1) общую плотность распределения будем обозначать через f0(x), т. е. H0 : f0(x) =
= f1(x) = . . . = fp(x). Гипотеза однородности утверждает лишь, что плотности распреде-
ления fi(x), i = 1, . . . , p, совпадают. Однако она не фиксирует вид этой общей плотности
распределения f0(x).
Мы рассматриваем критерий проверки гипотезы H0, основанный на статистике
T (n1, n2, . . . , np) =
p\sum
i=1
Ni
\int \left[ \widehat fi(x) - 1
N
p\sum
j=1
Nj
\widehat fj(x)
\right] 2
r(x) dx, (2)
где \widehat fi(x) — ядерная оценка Розенблатта – Парзена плотности распределения fi(x):
\widehat fi(x) = ai
ni
ni\sum
j=1
K
\Bigl(
ai(x - X
(i)
j )
\Bigr)
, Ni =
ni
ai
, N = N1 + . . .+Np.
Частный случай p = 2 рассмoтрен в работах [1, 2]. В этом случае статистика T принимает
наиболее наглядный вид
T (n1, n2) =
N1N2
N1 +N2
\int \Bigl( \widehat f1(x) - \widehat f2(x)\Bigr) 2 r(x) dx.
В настоящей работе найдено предельное распределение (теорема 1) статистики Tn1n2 при
справедливости гипотезы H0 и построен критерий проверки этой гипотезы. Доказано (тео-
рема 2) важное свойство построенного критерия — состоятельность, причем доказательство
существенно основано на идее доказательства теоремы 1. Следует отметить, что по схеме до-
казательства теоремы 1 имеется пересечение с теоремой 1 работы [3]. На основе этой теоремы
c\bigcirc П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4 443
444 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ
в работе [3] проверяются гипотезы однородности и согласия против последовательности неко-
торых „близких” к H0 альтернатив [4, 5] и исследуются асимптотики мощностей построенных
критериев.
2. В данном пункте найдено предельное распределение статистики (2) при гипотезе H0 в
случае, когда ni неограниченно возрастает, так что ni = nki, где n \rightarrow \infty , а ki — постоянные.
Пусть a1 = a2 = . . . = ap = an, причем an \rightarrow \infty при n \rightarrow \infty .
Для получения предельного закона распределения функционала Tn = T (n1, . . . , np) введем
предположения относительно функций K(x), f0(x) и r(x):
(i) K(x) \geq 0, равна нулю вне конечного интервала ( - A,A) и вместе со своей произ-
водной непрерывна на этом интервале; или же абсолютно непрерывна на ( - \infty ,\infty ), x2K(x)
интегрируема и K(1)(x) \in L1( - \infty ,\infty ), причем в обоих случаях
\int
K(x) dx = 1;
(ii) плотность распределения f0(x) ограничена и имеет ограниченную производную;
(iii) весовая функция r(x) кусочно-непрерывна, ограничена и интегрируема.
Введем обозначения
f\ast
n(x) =
1
k
p\sum
j=1
kj \widehat fj(x),
\mu \ast
n =
\int
f\ast
n(x)r(x) dx, k = k1 + . . .+ kp,
\Delta 2
n =
1
k
p\sum
j=1
kj\Delta
2
jn, \Delta 2
jn =
\int \widehat f2
j (x)r
2(x) dx.
(3)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполняются условия (i) – (iii). Если n - 1a2n \rightarrow 0, то случайная величина
a
1/2
n (Tn - \mu n)\sigma
- 1
n при гипотезе H0 асимптотически нормальна с математическим ожиданием
0 и дисперсией 1, где
\mu n = (p - 1)R(K)\mu \ast
n, \sigma 2
n = 2(p - 1)R(K0)\Delta
2
n,
K0 = K \ast \~K, \~K(x) = K( - x), R(g) =
\int
g2(x) dx, p \geq 2.
Доказательство. Представим Tn в виде
Tn =
n
an
p\sum
i=1
ki
\int \left[ \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kj
\Bigl( \widehat fj(x) - \mathrm{E} \widehat fj(x)\Bigr)
\right] 2
r(x) dx,
k = k1 + . . .+ kp.
Здесь и далее в этом пункте \mathrm{E}( \cdot ) — математическое ожидание относительно гипотезы H0.
Выполняя простые преобразования, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ОДНОРОДНОСТИ, ОСНОВАННОМ НА ЯДЕРНЫХ ОЦЕНКАХ . . . 445
Tn =
\int \left[ p\sum
i=1
\biggl( \sqrt{}
ni
an
\Bigl( \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x)\Bigr) \biggr) 2
-
-
\left( p\sum
j=1
\alpha j
\sqrt{}
ni
an
\Bigl( \widehat fj(x) - \mathrm{E} \widehat fj(x)\Bigr)
\right) 2\right] r(x) dx,
где
\alpha 2
j =
kj
k1 + . . .+ kp
.
Пусть
Z(x) = (Z1(x), . . . , Zp(x))
— вектор с компонентами
Zi(x) =
\sqrt{}
ni
an
\Bigl( \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x)\Bigr) , i = 1, . . . , p.
Тогда
Tn =
\int \left[ | Z(x)| 2 -
\left( p\sum
j=1
\alpha jZj(x)
\right) 2\right] r(x) dx,
где | a| — длина вектора a = (a1, . . . , ap).
Как известно, существует ортогональная матрица \bfC = \| cij\| , i, j = 1, . . . , p, зависящая
только от k1, k2, . . . , kp, для которой
cpi = \alpha i =
\sqrt{}
ki
k1 + . . .+ kp
, i = 1, . . . , p.
Поскольку при ортогональном преобразовании длина вектора не меняется, то
Tn =
\int \left[ | CZ| 2 -
\left( p\sum
j=1
\alpha jZj(x)
\right) 2\right] r(x) dx =
=
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
cijZj(x)
\right) 2
r(x) dx. (4)
Пусть F0(x) — функция распределения случайной величины X
(i)
1 (при гипотезе H0) и\widehat Fni(x) — эмпирическая функция распределения выборки X(i) = (X
(i)
1 , . . . , X
(i)
ni ).
Используя теорему 3 работы [6] (см. также [5, 7]), можем записать
\widehat Fni(x) - Fi(x) = n
- 1/2
i W 0
i (F0(x)) + \varepsilon (1)ni
(x), (5)
причем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
446 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x<\infty
| \varepsilon (1)ni
(x)| = Op
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}ni
ni
\biggr)
= Op
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n
n
\biggr)
, i = 1, p,
W 0
i (t), t \in [0, 1], i = 1, . . . , p, — независимые броуновские мосты, зависящие соответственно
только от X(i).
Используя (5) и условие (i), можно установить [5, 7, 8], что
Zi(x) =
\sqrt{}
ni
an
\Bigl( \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x)\Bigr) = \xi i(x) + \varepsilon (2)ni
(x), (6)
где
\xi i(x) = a1/2n
\int
K(an(x - u)) dW 0
i (Fi(u)), i = 1, p,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x<\infty
| \varepsilon (2)ni
(x)| = Op
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n\sqrt{}
na - 1
n
\Biggr)
, i = 1, p.
Тогда в силу (6) имеем
p\sum
j=1
cijZj(x) =
p\sum
j=1
cij\xi j(x) + \varepsilon (3)ni
(x), (7)
причем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x<\infty
| \varepsilon (3)ni
(x)| = Op
\Biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n\sqrt{}
na - 1
n
\Biggr)
, i = 1, p.
Процессы \xi j(x) можно представить так:
\xi j(x) = a1/2n
\int \biggl[
K(an(x - t)) -
\int
K(an(x - u)) dF0(u)
\biggr]
dWj(F0(t)),
где Wj(t), j = 1, . . . , p, — независимые стандартные винеровские процессы на [0, 1].
Легко можно показать, что
\mathrm{E}\xi 2j (x) = an
\Biggl[ \int
K2(an(x - u))f0(u) du -
\biggl( \int
K(an(x - u))f0(u) du
\biggr) 2
\Biggr]
\leq
\leq an
\int
K2(an(x - u))f0(u) du \leq c1
\int
K2(u) du,
c1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x<\infty
f0(x).
Следовательно,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x<\infty
\mathrm{E}\xi 2j (x) \leq c2, i = 1, p. (8)
(Напомним следующую терминологию: случайную величину Xn, зависящую от n, назы-
вают равномерно ограниченной, если \mathrm{P}(| Xn| > M) - \rightarrow 0 при M - \rightarrow \infty равномерно по n.)
Следующая элементарная лемма является следствием известных свойств сходимости по
вероятности.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ОДНОРОДНОСТИ, ОСНОВАННОМ НА ЯДЕРНЫХ ОЦЕНКАХ . . . 447
Лемма 1. Если случайная величина Yn сходится по вероятности к нулю, а случайная
величина Xn равномерно ограничена, то Xn \cdot Yn
P - \rightarrow 0 при n - \rightarrow \infty .
Обозначим
T (1)
n =
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
cij\xi j(x)
\right) 2
r(x) dx.
Тогда из (4) и (7) имеем
| Tn - T (1)
n | \leq 2
p - 1\sum
i=1
\left[ \int p\sum
j=1
| cij | | \xi j(x)|
p\sum
r=1
| cir| | \varepsilon (3)nr
(x)| r(x) dx
\right] +
+
p - 1\sum
i=1
\int \left( p\sum
j=1
| cij | | \varepsilon (3)j (x)|
\right) 2
r(x) dx = A(1)
n +A(2)
n .
Но
\surd
anA
(1)
n \leq c3
\surd
an \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x<\infty
| \varepsilon (3)ni
(x)| An = Op
\biggl(
an\mathrm{l}\mathrm{n}n\surd
n
\biggr)
An,
где
An =
p - 1\sum
i=1
\left[ \int p\sum
j=1
| cij | | \xi j(x)| r(x) dx
\right] .
Принимая во внимание (8), интегрируемость r(x) и неравенство Чебышева, получаем, что
случайная величина An равномерно ограничена и, следовательно, в силу леммы 1
Op
\biggl(
an\mathrm{l}\mathrm{n}n\surd
n
\biggr)
\cdot An
P - \rightarrow 0 при n - \rightarrow \infty ,
так как по условию n - 1a2n - \rightarrow 0.
Далее, используя интегрируемость r(x) и
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x<\infty
| \varepsilon (3)ni
(x)| = Op
\biggl( \surd
an\mathrm{l}\mathrm{n}n\surd
n
\biggr)
,
получаем
\surd
anA
(2)
n = Op
\Biggl(
a
3/2
n \mathrm{l}\mathrm{n} 2n
n
\Biggr)
.
Следовательно,
\surd
an
\Bigl(
Tn - T (1)
n
\Bigr)
= op(1). (9)
Перейдем к изучению предельного распределения функционала T
(1)
n .
Ясно, что процессы \xi i(t), i = 1, . . . , p, независимые и гауссовские, так что новые про-
цессы
\sum p
j=1
cij\xi j(t), i = 1, . . . , p, также независимые и гауссовские в силу ортогональности
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
448 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ
матрицы \| cij\| . Поэтому для нахождения предельного распределения T
(1)
n осталось установить
предельное распределение функционала
U (i)
n =
\int \left( p\sum
j=1
cij\xi j(t)
\right) 2
r(t) dt
при каждом фиксированном i, i = 1, . . . , p - 1.
Ковариационная функция R
(i)
n (t1, t2) гауссовского процесса
\sum p
j=1
cij\xi j(t) имеет вид
R(i)
n (t1, t2) =
p\sum
j=1
c2ij\mathrm{E}\xi j(t1)\xi j(t2).
Однако
\mathrm{E}\xi j(t1)\xi j(t2) = an
\int
K(an(t1 - u))K(an(t2 - u))f0(u) du+O(a - 1
n ) =
= f0(t1)K0(an(t2 - t1)) +O(a - 1
n ), (10)
причeм оценка O( \cdot ) равномерна по t1, t2 и K0 = K \ast \widetilde K, \widetilde K = K( - x).
Из (10) следует, что
R(i)
n (t1, t2) = f0(t1)K0 (an(t2 - t1)) +O(a - 1
n ). (11)
Семиинвариант \chi (i)
n
(s) порядка s случайной величины U
(i)
n задается формулой [9]
\chi (i)
n
(s) = (s - 1)! \cdot 2s - 1
\int
. . .
\int
R(i)
n (x1, x2)R
(i)
n (x2, x3) . . . R
(i)
n (xs, x1)\times
\times r(x1)r(x2) . . . r(xs) dx1 dx2 . . . dxs. (12)
Из (11) и (12) нетрудно устанавливается, что
\mathrm{E}U (i)
n = \chi (i)
n
(1) = R(K)
\int
f0(x)r(x) dx+O(a - 1
n ),
\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}U (i)
n = \chi (i)
n
(2) = 2R(K0)a
- 1
n
\int
f2
0 (x)r
2(x) dx+ o(a - 1
n ),
(13)
и s-й семиинвариант \chi (i)
n
(s) с точностью до членов высшего порядка малости равен [9]
(s - 1)! 2s - 1(a - 1
n )s - 1[K \ast \widetilde K](s)(0)
\int
f s
0 (x)r
s(x) dx, (14)
где (s) обозначает s-кратную свeртку K0(x) с самим собой.
Из соотношений (13), (14) следует [5, 9], что
a1/2n
\biggl(
U (i)
n - R(K)
\int
f0(x)r(x) dx
\biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ОДНОРОДНОСТИ, ОСНОВАННОМ НА ЯДЕРНЫХ ОЦЕНКАХ . . . 449
распределена асимптотически нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией
2R(K0)
\int
f2
0 (u)r
2(u) du и, следовательно,
\surd
an (T
(1)
n - \mu ) асимптотически нормальна с ма-
тематическим ожиданием 0 и дисперсией \sigma 2, где
\mu = (p - 1)
\int
f0(x)r(x) dx \cdot R(K),
\sigma 2 = 2(p - 1)
\int
f2
0 (x)r
2(x) dx \cdot R(K0), K0 = K \ast \widetilde K, \widetilde K(x) = K( - x),
R(g) =
\int
g2(x) dx.
Далее, принимая во внимание (9) и представление
\surd
an(Tn - \mu ) =
\surd
an(T
(1)
n - \mu ) + op(1),
заключаем, что a
1/2
n (Tn - \mu ) распределена в пределе нормально с математическим ожиданием
0 и дисперсией \sigma 2.
Очевидно,
a1/2(Tn - \mu n)\sigma
- 1
n = a1/2n (Tn - \mu )\sigma - 1(\sigma \sigma - 1
n ) + a1/2n (\mu - \mu n)\sigma
- 1
n .
Поэтому для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что
a1/2n
\biggl(
\mu \ast
n -
\int
f0(x)r(x) dx
\biggr)
= op(1), (15)
\Delta 2
n -
\int
f2
0 (x)r
2(x) dx = op(1), (16)
где \mu \ast
n и \Delta 2
n определены в (3). Но (16) непосредственно следует из теоремы 2.1 [10] (см. также
[5, 11]).
Докажем (15). Имеем
a1/2n \mathrm{E}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int f\ast
n(x)r(x) dx -
\int
f0(x)r(x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq a1/2n \mathrm{E}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int (f\ast
n(x) - \mathrm{E}f\ast
n(x)) r(x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+a1/2n
\int
| \mathrm{E}f\ast
n(x) - f0(x)| r(x) dx = A1n +A2n.
Применяя формулу Тейлора, находим
\mathrm{E}f\ast
n(x) =
1
k
p\sum
j=1
kjf0(x) +O(a - 1
n ) = f0(x) +O(a - 1
n ).
Отсюда в силу интегрируемости r(x) получаем
A2n \leq c4a
- 1/2
n .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
450 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ
Далее, имеем
A1n \leq a1/2n \mathrm{E}1/2
\biggl( \int
(f\ast
n(x) - \mathrm{E}f\ast
n(x)) r(x) dx
\biggr) 2
\leq
\leq c5a
1/2
n
\biggl\{
an
n
\int
f0(u) du
\int
K2(t)r
\biggl(
u+
t
an
\biggr)
dt
\biggr\} 1/2
\leq c6
an\surd
n
.
Следовательно,
A1n +A2n \leq c7
\biggl(
a - 1/2
n +
an\surd
n
\biggr)
- \rightarrow 0.
Теорема 1 доказана.
Теорема 1 позволяет построить асимптотический критерий уровня \alpha проверки гипотезы
H0, согласно которой f1(x) = f2(x) = . . . = fp(x). Критическая область для проверки этой
гипотезы устанавливается неравенством
Tn \geq dn(\alpha ), (17)
где
dn(\alpha ) = \mu n + a - 1/2
n \sigma n\lambda \alpha ,
\lambda \alpha — квантиль уровня 1 - \alpha (0 < \alpha < 1) стандартного нормального распределения.
3. Теперь исследуем асимптотическое поведение критерия (17), т. е. поведение функции
мощности при n \rightarrow \infty .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть для K(x), fi(x), i = 1, . . . , p, и r(x) выполняются условия (i), (ii) и (iii)
соответственно. Если n - 1a2n \rightarrow 0, то
\BbbP H1(Tn \geq dn(\alpha )) - \rightarrow 1 при n \rightarrow \infty ,
т. е. критерий, определенный в (17), состоятелен против любой альтернативы H1 : fi(x) \not =
\not = fj(x) при некоторых i \not = j, i, j = 1, . . . , p, на множестве положительной меры Лебега.
Доказательство. Представим Tn в виде суммы [3]
Tn = T (2)
n +A1n +A2n, (18)
где
T (2)
n =
n
an
p\sum
i=1
ki
\int \left[ \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kj( \widehat fj(x) - \mathrm{E} \widehat fj(x))
\right] 2
r(x) dx,
A1n = 2
n
an
p\sum
i=1
ki
\int
[ \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x)]
\left[ \mathrm{E} \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kj\mathrm{E} \widehat fj(x)
\right] r(x) dx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ОДНОРОДНОСТИ, ОСНОВАННОМ НА ЯДЕРНЫХ ОЦЕНКАХ . . . 451
A2n =
n
an
p\sum
i=1
ki
\int \left[ \mathrm{E} \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kj\mathrm{E} \widehat fj(x)
\right] 2
r(x) dx.
Здесь и далее \mathrm{E}( \cdot ) — математическое ожидание относительно гипотезы H1.
Далее, в силу формулы Тейлора можно показать, что
\mathrm{E} \widehat fi(x) = fi(x) +O(a - 1
n )
равномерно по x \in ( - \infty ,\infty ). Поэтому
A2n =
n
an
\Delta +O
\biggl(
n
a2n
\biggr)
, (19)
где
\Delta =
p\sum
i=1
ki
\int \left[ fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kjfj(x)
\right] 2
r(x) dx.
Далее,
\mathrm{E}| A1n| \leq (\mathrm{E}A2
1n)
1/2 \leq
\leq 2p1/2
n
an
\Biggl\{
p\sum
i=1
k2i\mathrm{E}
\biggl[ \int \Bigl( \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x)\Bigr) Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2\Biggr\} 1/2
,
где
Ai(x) = \mathrm{E} \widehat fi(x) - 1
k
p\sum
j=1
kj\mathrm{E} \widehat fj(x).
Нетрудно видеть, что
\mathrm{E}
\biggl[ \int \Bigl( \widehat fi(x) - \mathrm{E} \widehat fi(x)\Bigr) Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2
=
=
a2n
kin
\mathrm{E}
\biggl[ \int
K
\Bigl(
an(x - X
(i)
1 )
\Bigr)
Ai(x)r(x) dx - \mathrm{E}
\int
K
\Bigl(
an(x - X
(i)
1 )
\Bigr)
Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2
\leq
\leq a2n
kin
\mathrm{E}
\biggl[ \int
K
\Bigl(
an(x - X
(i)
1 )
\Bigr)
Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2
.
Поэтому
\mathrm{E}| A1n| \leq c8
\surd
n\times
\times
\Biggl\{
p\sum
i=1
ki
\int
fi(u) du
\biggl[ \int
K(an(x - u))Ai(x)r(x) dx
\biggr] 2\Biggr\} 1/2
. (20)
Поскольку \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
| Ai(x)| \leq c9 и r(x) ограничена, из (20) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
452 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ
\mathrm{E}| A1n| \leq c10
\sqrt{}
n
an
.
Значит,
A1n = Op
\biggl( \sqrt{}
n
an
\biggr)
. (21)
Таким образом, из (18) – (20) следует, что
Tn = T (2)
n +
n
an
\Delta +O
\biggl(
n
a2n
\biggr)
+Op
\biggl( \sqrt{}
n
an
\biggr)
. (22)
Далее, рассуждая так же, как и при выводе (4), (6) и (9), получаем
T (2)
n = T (3) + op
\biggl(
1
\surd
an
\biggr)
+Op
\left( \sqrt{} an \mathrm{l}\mathrm{n}
2 n
n
\right) ,
T (3)
n =
p - 1\sum
i=1
\int \left[ p\sum
j=1
cij\xi j(x)
\right] 2
r(x) dx,
(23)
\xi j(x) = a1/2n
\int \biggl[
K(an(x - t)) -
\int
K(an(x - u)) dFj(u)
\biggr]
dWj(Fj(t)), (24)
где Fj(x) — функция распределения с плотностью fi(x) при альтернативе H1 и Wj(t), j =
= 1, . . . , p, — независимые стандартные винеровские процессы на [0, 1].
Итак, из (18), (19), (21) – (23) следует, что
\BbbP H1\{ Tn \geq dn(\alpha )\} = \BbbP H1
\biggl\{
T (3)
n \geq - n
an
\Delta +Rn
\biggr\}
, (25)
где
Rn = op(a
- 1/2
n ) +O(na - 2
n ) +Op
\biggl(
n
\surd
an
\biggr)
+Op
\biggl(
an \mathrm{l}\mathrm{n}
2 n
n
\biggr)
+ \mu n + \lambda \alpha \sigma na
- 1/2
n . (26)
Вероятность выполнения неравенства T
(3)
n \geq - n
an
\Delta +Rn не меньше, чем вероятность выпол-
нения неравенства V
(i)
n \geq - n
an
\Delta +Rn при любом фиксированном i, i = 1, . . . , p - 1, например
i = 1, где V
(i)
n — слагаемые суммы T
(3)
n , т. е.
\BbbP
\biggl\{
T (3)
n \geq - n
an
\Delta +Rn
\biggr\}
\geq \BbbP
\biggl\{
V (1)
n \geq - n
an
\Delta +Rn
\biggr\}
. (27)
Здесь
V (1)
n =
\int \left( p\sum
j=1
c1j\xi j(t)
\right) 2
r(t) dt.
Теперь установим предельное распределение функционала V
(1)
n . Ковариационная функция
R
(1)
n (t1, t2) гауссовского процесса
\sum p
j=1
c1j\xi j(t) (см. (10)) имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ОДНОРОДНОСТИ, ОСНОВАННОМ НА ЯДЕРНЫХ ОЦЕНКАХ . . . 453
R
(1)
n (t1, t2) = \varphi (t1)K0(an(t2 - t1)) +O
\biggl(
1
an
\biggr)
, (28)
где
\varphi (t) =
p\sum
j=1
c21jfj(t),
оценка O( \cdot ) равномерна по t1, t2 и K0 = K \ast \widetilde K(x), \widetilde K(x) = K( - x).
Семиинвариант \chi
(1)
n (s) порядка s случайной величины V
(1)
n задается формулой [9]
\chi (1)
n (s) = (s - 1)! \cdot 2s - 1
\int
. . .
\int
R
(1)
n (t1, t2)R
(1)
n (t2, t3) . . . R
(1)
n (ts, t1)\times
\times r(t1)r(t2) . . . r(ts) dt1 dt2 . . . dts. (29)
Из (28) и (29) можно установить, что
\mathrm{E}V (1)
n = a0 +O
\bigl(
a - 1
n
\bigr)
, \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}V (1)
n = a - 1
n b20 + o
\bigl(
a - 1
n
\bigr)
, (30)
и k-й семиинвариант \chi n(s) с точностью до членов высшего порядка малости равен [9]
(s - 1)!2s - 1(a - 1
n )s - 1[K \ast \widetilde K](s)(0)
\int
\varphi s(x)rs(x) dx,
где
a0 =
\int
\varphi (x)r(x) dx \cdot R(K),
b20 =
\int
K2
0 (x) dx
\int
\varphi 2(x)r2(x) dx.
Из соотношений (29), (30) следует, что [9]
Zn = a1/2n (V (1)
n - a0)b
- 1
0
распределена асимптотически нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
Далее, принимая во внимание (25) и (27), получаем неравенство
\BbbP H1\{ Tn \geq dn(\alpha )\} \geq \BbbP H1
\biggl\{
Zn \geq - n
b0
\surd
an
[\Delta +R\ast
n]
\biggr\}
,
где
R\ast
n =
an
n
(Rn - a0) = op
\biggl( \surd
an
n
\biggr)
+O
\biggl(
1
an
\biggr)
+O
\biggl( \surd
an\surd
n
\biggr)
+Op
\biggl(
a2n \mathrm{l}\mathrm{n}
2 n
n2
\biggr)
+
+
an
n
(\mu n - a0) + \lambda \alpha \sigma n
\surd
an
n
.
По аналогии с доказательством (15) и (16)
an
n
(\mu n - a0) \rightarrow 0 и
\sigma 2
n \rightarrow 2(p - 1)R(K0)(k)
- 1
p\sum
j=1
kj
\int
f2
j (x)r
2(x) dx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
454 П. К. БАБИЛУА, Э. А. НАДАРАЯ
k = k1 + . . .+ kp.
По вероятности при гипотезе H1 и по условию n - 1a2n \rightarrow 0 находим, что R\ast
n = op(1).
Наконец, поскольку Zn распределена при гипотезе H1 асимптотически нормально, na - 1/2
n \rightarrow
\rightarrow \infty и \Delta > 0, то мощность \BbbP H1\{ Tn \geq dn(\alpha )\} \rightarrow 1 и, следовательно, критерий (17) состояте-
лен.
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Anderson N. H., Hall P., Titterington D. M. Two-sample test statistics for measuring discrepancies between two
multivariate probability density functions using kernel-based density estimates // J. Multivariate Anal. – 1994. – 50,
№ 1. – P. 41 – 54.
2. Nadaraya E. A. Limit distribution of the quadratic deviation of two nonparametric estimators of the density of a
distribution // Soobshch. Akad. Nauk Gruz.SSR. – 1975. – 78. – P. 25 – 28 (in Russian).
3. Бабилуа П. К., Надарая Э. А., Сохадзе Г. A. Проверка гипотез о равенстве плотностей распределения // Укр.
мат. журн. – 2016. – 68, № 5. – P. 586 – 600.
4. Rosenblatt M. A quadratic measure of deviation of two-dimensional density estimates and test independence // Ann.
Statist. – 1975. – 3. – P. 1 – 14.
5. Nadaraya E. A. Nonparametric estimation of probability densities and regression curves // Math. and Appl. (Soviet
Ser.). – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. Group, 1989. – 20.
6. Komlós J., Major P., Tusnády G. An approximation of partial sums of independent \mathrm{R}\mathrm{V}’s and the sample DF. I // Z.
Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. –1975. – 32. – S. 111 – 131.
7. Hall P. Limit theorems for stochastic measures of the accuracy of density estimators // Stochast. Process. and Appl. –
1982. – 13, № 1. – P. 11 – 25.
8. Prakasa Rao B. L. S. Nonparametric functional estimation. – London: Acad. Press, 1983.
9. Bickel P. J., Rosenblatt M. On some global measures of the deviations of density function estimates // Ann. Statist. –
1973. – 1. – P. 1071 – 1095.
10. Bhattacharyya G. K., Roussas G. G. Estimation of a certain functional of a probability density function // Skand.
Aktuarietidskr. – 1969. – 1969. – P. 201 – 206.
11. Mason D. M., Nadaraya E. A., Sokhadze G. A. Integral functionals of the density // Nonparametrics and Robustness
in Modern Statistical Inference and Time Series Analysis: a Festschrift in honor of Professor Jana Jurečková. –
Beachwood, OH: Inst. Math. Statist., 2010. – P. 153 – 168.
Получено 27.07.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1450 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:37Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/91e5695f6dcb116930dc9286e9d6a4b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14502019-12-05T10:12:29Z On one homogeneity test based on the kernel-type estimators of the distribution density Об одном критерии однородности, основанном на ядерных оценках плотности распределения Babilua, P. Nadaraya, E. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. We construct a homogeneity test based on the kernel-type estimators of the distribution density and investigate its consistency. УДК 519.21 Побудовано критерiй однорiдностi, що ґрунтується на оцiнках щiльностi розподiлу типу ядра, i дослiджено його обґрунтованiсть. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1450 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 4 (2019); 443-454 Український математичний журнал; Том 71 № 4 (2019); 443-454 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1450/434 Copyright (c) 2019 Babilua P.; Nadaraya E. |
| spellingShingle | Babilua, P. Nadaraya, E. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. Бабилуа, П. К. Надарая, Э. А. On one homogeneity test based on the kernel-type estimators of the distribution density |
| title | On one homogeneity test based on the kernel-type estimators
of the distribution density |
| title_alt | Об одном критерии однородности, основанном на ядерных
оценках плотности распределения |
| title_full | On one homogeneity test based on the kernel-type estimators
of the distribution density |
| title_fullStr | On one homogeneity test based on the kernel-type estimators
of the distribution density |
| title_full_unstemmed | On one homogeneity test based on the kernel-type estimators
of the distribution density |
| title_short | On one homogeneity test based on the kernel-type estimators
of the distribution density |
| title_sort | on one homogeneity test based on the kernel-type estimators
of the distribution density |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1450 |
| work_keys_str_mv | AT babiluap ononehomogeneitytestbasedonthekerneltypeestimatorsofthedistributiondensity AT nadarayae ononehomogeneitytestbasedonthekerneltypeestimatorsofthedistributiondensity AT babiluapk ononehomogeneitytestbasedonthekerneltypeestimatorsofthedistributiondensity AT nadaraâéa ononehomogeneitytestbasedonthekerneltypeestimatorsofthedistributiondensity AT babiluapk ononehomogeneitytestbasedonthekerneltypeestimatorsofthedistributiondensity AT nadaraâéa ononehomogeneitytestbasedonthekerneltypeestimatorsofthedistributiondensity AT babiluap obodnomkriteriiodnorodnostiosnovannomnaâdernyhocenkahplotnostiraspredeleniâ AT nadarayae obodnomkriteriiodnorodnostiosnovannomnaâdernyhocenkahplotnostiraspredeleniâ AT babiluapk obodnomkriteriiodnorodnostiosnovannomnaâdernyhocenkahplotnostiraspredeleniâ AT nadaraâéa obodnomkriteriiodnorodnostiosnovannomnaâdernyhocenkahplotnostiraspredeleniâ AT babiluapk obodnomkriteriiodnorodnostiosnovannomnaâdernyhocenkahplotnostiraspredeleniâ AT nadaraâéa obodnomkriteriiodnorodnostiosnovannomnaâdernyhocenkahplotnostiraspredeleniâ |