Conditions of solvability and representation of the solutions of equations with operator matrices
We propose new methods for the construction of generalized inverse operator matrices for the operator matrices in Banach spaces. The solvability criteria and the formulas for representations of the general solutions of operator equations with operator matrices are obtained. As an application, we con...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1452 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507208109785088 |
|---|---|
| author | Zhuravlev, V. F. Zabrodskiy, P. N. Fomin, N. P. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. |
| author_facet | Zhuravlev, V. F. Zabrodskiy, P. N. Fomin, N. P. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. |
| author_sort | Zhuravlev, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:12:29Z |
| description | We propose new methods for the construction of generalized inverse operator matrices for the operator matrices in Banach
spaces. The solvability criteria and the formulas for representations of the general solutions of operator equations with
operator matrices are obtained. As an application, we consider the relationship between the obtained formulas and the
well-known Frobenius formula for the construction of the matrix inverse to a nondegenerate block matrix. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
В. Ф. Журавлев, Н. П. Фомин, П. Н. Забродский (Житомир. нац. агроэкол. ун-т)
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРНЫМИ МАТРИЦАМИ
We propose new methods for the construction of generalized inverse operator matrices for the operator matrices in Banach
spaces. The solvability criteria and the formulas for representations of the general solutions of operator equations with
operator matrices are obtained. As an application, we consider the relationship between the obtained formulas and the
well-known Frobenius formula for the construction of the matrix inverse to a nondegenerate block matrix.
Запропоновано способи побудови узагальнено-обернених операторних матриць до операторних матриць у банахо-
вих просторах. Отримано критерiї розв’язностi та формули для загальних розв’язкiв операторних рiвнянь з опера-
торними матрицями. Як застосування розглянуто зв’язок отриманих формул iз вiдомою формулою Фробенiуса для
побудови оберненої матрицi до невиродженої блокової матрицi.
Введение. В настоящее время хорошо разработаны и успешно применяются способы обобщен-
ного обращения операторов в конечномерных и бесконечномерных пространствах, построения
проекторов и ортопроекторов, которые стали неотъемлемым аппаратом при исследовании кра-
евых задач для различных типов функционально-дифференциальных и операторных уравнений
в евклидовых и банаховых пространствах [1 – 5].
Исследование линейных, слабовозмущенных и слабонелинейных краевых задач для не вез-
де разрешимых операторных уравнений приводит к необходимости решения уравнений с опе-
раторными матрицами [6, 7]. Поэтому актуальными являются задачи построения обобщенно-
обратных операторов к операторным матрицам, установления условий разрешимости, а также
представления общих решений таких уравнений.
Решение этих задач будет интересно и для обобщенного обращения блочных матриц, по-
скольку их применение при моделировании теоретических и практических задач в математике,
технике, экономике и т. п. приводит к необходимости разработки новых аналитических спосо-
бов исследования и решения матричных алгебраических уравнений.
Постановка задачи. Пусть \bfB 1, \bfB 2, \bfB 3 — банаховы пространства.
Рассмотрим операторные уравнения
L0x =
\biggl[
u
v
\biggr]
и M0
\biggl[
y
z
\biggr]
= g, (1)
где L0 и M0 — операторные матрицы. Линейный оператор L0 =
\biggl[
L1
L2
\biggr]
действует из банахова
пространства \bfB 1 в прямое произведение банаховых пространств \bfB 2\times \bfB 3, а линейный оператор
M0 =
\bigl[
M1 M2
\bigr]
— из прямого произведения банаховых пространств \bfB 1 \times \bfB 2 в банахово
пространство \bfB 3.
Ставится задача об условиях существования и построении обобщенно-обратных оператор-
ных матриц к операторным матрицам L0 и M0, а также об установлении условий разрешимости
и представлении общих решений уравнений (1).
Основной результат. 1. Рассмотрим уравнение с операторной матрицей вида
c\bigcirc В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ, 2019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4 471
472 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ
L0x =
\biggl[
L1
L2
\biggr]
x =
\biggl[
u
v
\biggr]
, (2)
где L1 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 2 — линейный ограниченный обобщенно обратимый, а L2 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 3 —
линейный ограниченный операторы, u \in \bfB 2, v \in \bfB 3.
Класс линейных ограниченных обобщенно обратимых операторов, действующих из бана-
хова пространства \bfX в банахово пространство \bfY , будем обозначать через \bfG \bfI (\bfX ,\bfY ).
Вследствие обобщенной обратимости оператора L1 существуют [8, 9] ограниченные про-
екторы \scrP N(L1) : \bfB 1 \rightarrow N(L1) на нуль-пространство N(L1) оператора L1 и \scrP YL1
: \bfB 2 \rightarrow YL1
на подпространство YL1 = \bfB 2 \ominus R(L1).
Обозначим через \widetilde L2 = L2\scrP N(L1) : \bfB 1 \rightarrow \bfB 3 линейный ограниченный оператор. Пусть
оператор \widetilde L2 обобщенно обратим. Тогда существуют: \scrP
N(\widetilde L2)
: \bfB 1 \rightarrow N(\widetilde L2) — ограниченный
проектор на нуль-пространство оператора \widetilde L2, \scrP Y\widetilde L2
: \bfB 3 \rightarrow Y\widetilde L2
— ограниченный проектор
на подпространство Y\widetilde L2
= IB3 \ominus R(\widetilde L2) оператора \widetilde L2 и ограниченный обобщенно-обратный
оператор \widetilde L -
2 к оператору \widetilde L2.
Теорема 1. Пусть L1 \in \bfG \bfI (\bfB 1,\bfB 2) и \widetilde L2 \in \bfG \bfI (\bfB 1,\bfB 3). Тогда операторное уравнение
(2) разрешимо для тех и только тех
\biggl[
u
v
\biggr]
, для которых выполняется условие
\scrP YL0
\biggl[
u
v
\biggr]
= 0, (3)
и при этом имеет семейство решений вида
x = \scrP N(L0)\^x+ L -
0
\biggl[
u
v
\biggr]
, (4)
где
\scrP YL0
=
\left[ \scrP YL1
0
- \scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP Y\widetilde L2
\right]
— ограниченный проектор на подпространство YL0 = IB2\times B3\ominus R(L0), \scrP N(L0) = \scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
— ограниченный проектор на нуль-пространство оператора L0, \^x — произвольный элемент
банахова пространства \bfB 1,
L -
0 =
\Bigl[
L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr]
(5)
— ограниченная обобщенно-обратная операторная матрица к операторной матрице
L0 =
\biggl[
L1
L2
\biggr]
.
Доказательство. Поскольку первое уравнение L1x = u из (2) нормально разрешимо, то
оно имеет решение тогда и только тогда, когда [2, 3, 9]
\scrP YL1
u = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ . . . 473
и при этом имеет семейство решений
x = \scrP N(L1)\^x+ L -
1 u, (6)
где \^x \in \bfB — произвольный элемент банахова пространства \bfB 1.
Подставив найденное x из (6) во второе уравнение L2x = v, получим
\widetilde L2\^x = v - L2L
-
1 u. (7)
Вследствие обобщенной обратимости, а следовательно, и нормальной разрешимости опе-
ратора \widetilde L2 уравнение (7) разрешимо относительно \^x тогда и только тогда, когда
\scrP Y\widetilde L2
\bigl[
v - L2L
-
1 u
\bigr]
= 0,
и при этом имеет семейство решений
\^x = \scrP
N(\widetilde L2)
\~x+ \widetilde L -
2
\bigl[
v - L2L
-
1 u
\bigr]
, (8)
где \~x \in \bfB 1 — произвольный элемент банахова пространства \bfB 1, \widetilde L -
2 — ограниченный обобщенно-
обратный оператор к оператору \widetilde L2.
Подставив (8) в (6), получим
x = \scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
\~x - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 u+ L -
1 u+ \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 v =
= \scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
\~x+
\Bigl[
L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr] \biggl[ u
v
\biggr]
.
Докажем, что оператор
\Bigl[
L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr]
является обобщенно-обратным
к оператору L0.
Для проверки условий [1, 3, 9]
L -
0 L0L
-
0 = L -
0 , L0L
-
0 L0 = L0, (9)
определяющих обобщенно-обратный оператор, найдем
L0L
-
0 =
\left[ L1
L2
\right] \Bigl[
L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr]
=
=
\left[ L1L
-
1 - L1\scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 L1\scrP N(L1)
\widetilde L -
2
L2L
-
1 - L2\scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 L2\scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\right] =
=
\left[ IB1 - \scrP YL1
0
(IB2 - \widetilde L2
\widetilde L -
2 )L2L
-
1 IB2 - \scrP Y\widetilde L2
\right] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
474 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ
=
\left[ IB1 - \scrP YL1
0
\scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 IB2 - \scrP Y\widetilde L2
\right] , (10)
так как L1\scrP N(L1) = 0, IB1 - \widetilde L2
\widetilde L -
2 = \scrP Y\widetilde L2
.
Поскольку одно из условий (9) следует из другого [9], проверим, например, второе из
соотношений (9):
L0L
-
0 L0 =
\left[ IB1 - \scrP YL1
0
\scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 IB2 - \scrP Y\widetilde L2
\right]
\left[ L1
L2
\right] =
=
\left[ L1 - \scrP YL1
L1
\scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 L1 + L2 - \scrP Y\widetilde L2
L2
\right] =
\left[ L1
\scrP Y\widetilde L2
L2(L
-
1 L1 - IB1) + L2
\right] =
=
\left[ L1
\scrP Y\widetilde L2
L2\scrP N(L1) + L2
\right] = L0,
так как \scrP YL1
L1 = 0, L2\scrP N(L1) =
\widetilde L2, а \scrP Y\widetilde L2
\widetilde L2 = 0.
Аналогично проверяется и первое из соотношений (9). Таким образом, операторная матрица
L -
0 =
\Bigl[
L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr]
является обобщенно-обратной к операторной матрице
L0 =
\biggl[
L1
L2
\biggr]
.
Используя соотношения [1, 3]
L -
0 L0 = IB1 - \scrP N(L0), L0L
-
0 = IB2\times B3 - \scrP YL0
,
которые связывают обобщенно-обратный оператор и проекторы, находим \scrP N(L0) и \scrP YL0
:
L -
0 L0 =
\Bigl[
L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr] \left[ L1
L2
\right] =
= L -
1 L1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 L1 + \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2 =
= IB1 - \scrP N(L1) - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2
\bigl[
IB1 - \scrP N(L1)
\bigr]
+ \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2 =
= IB1 - \scrP N(L1) - \scrP N(L1)
\bigl[
IB1 - \scrP
N(\widetilde L1)
\bigr]
= IB1 - \scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
. (11)
Из (11) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ . . . 475
\scrP N(L0) = \scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
.
Покажем, что оператор \scrP N(L0) является проектором на нуль-пространство N(L0) оператора
L0, т. е.
\scrP 2
N(L0)
= \scrP N(L0), L0\scrP N(L0) = 0.
Проверим первое соотношение. Действительно, поскольку \scrP
N(\widetilde L2)
= IB1 - \widetilde L -
2
\widetilde L2, то
\scrP 2
N(L0)
= \scrP N(L1)[IB1 - \widetilde L -
2
\widetilde L2]\scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
=
= \scrP 2
N(L1)
\scrP
N(\widetilde L2)
- \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2\scrP 2
N(L1)
\scrP
N(\widetilde L2)
= \scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
= \scrP N(L0),
так как L2\scrP N(L1) =
\widetilde L2, а \widetilde L2\scrP N(\widetilde L2)
= 0.
Проверим второе соотношение:
L0\scrP N(L0) =
\biggl[
L1
L2
\biggr]
\scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
=
\Biggl[
L1\scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
L2\scrP N(L1)\scrP N(\widetilde L2)
\Biggr]
=
\biggl[
0
0
\biggr]
,
так как L1\scrP N(L1) = 0, L2\scrP N(L1) =
\widetilde L2, \widetilde L2\scrP N(\widetilde L2)
= 0.
Из (10) имеем
L0L
-
0 =
\left[ IB1 - \scrP YL1
0
\scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 IB2 - \scrP Y\widetilde L2
\right] = IB2\times B3 - \scrP YL0
, (12)
откуда
\scrP YL0
=
\left[ \scrP YL1
0
- \scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP Y\widetilde L2
\right] .
Далее покажем, что \scrP YL0
является проектором на подпространство YL0 = IB2\times B3 \ominus R(L0),
т. е. удовлетворяет условиям
\scrP 2
YL0
= \scrP YL0
, L -
0 \scrP YL0
= 0.
Проверим первое условие:
\scrP 2
YL0
=
\left[ \scrP YL1
0
- \scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP Y\widetilde L2
\right]
2
=
=
\left[ \scrP 2
YL1
0
- \scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP YL1
- \scrP 2
Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP 2
Y\widetilde L2
\right] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
476 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ
=
\left[ \scrP YL1
0
- \scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP Y\widetilde L2
\right] = \scrP YL0
,
так как L -
1 \scrP YL1
= 0.
Далее проверим второе условие:
L -
0 \scrP YL0
=
\Bigl[
L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr] \left[ \scrP YL1
0
- \scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP Y\widetilde L2
\right] =
=
\Bigl[
L -
1 \scrP YL1
- \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 \scrP YL1
- \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 \scrP Y\widetilde L2
L2L
-
1 \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 \scrP Y\widetilde L2
\Bigr]
= [0 0] ,
так как L -
1 \scrP YL1
= 0 и \widetilde L -
2 \scrP Y\widetilde L2
= 0.
Из (12) следует, что (5) является решением операторного уравнения (2) при выполнении
условий (11).
Замечание 1. Известно [1, 3, 9], что обобщенно-обратный оператор не определяется од-
нозначно. Поэтому если в системе операторных уравнений (2) провести процедуру, в которой
сначала найти решение второго уравнения, а затем подставить его в первое, то обобщенно-
обратный оператор будет иметь вид
L -
0 =
\Bigl[
\scrP N(L2)
\widetilde L -
1 L -
2 - \scrP N(L2)
\widetilde L -
1 L1L
-
2
\Bigr]
, (13)
а проекторы
\scrP N(L0) = \scrP N(L2)\scrP N(\widetilde L1)
,
\scrP YL0
=
\left[ \scrP Y\widetilde L1
\scrP Y\widetilde L1
L1L
-
2
0 \scrP YL2
\right] ,
(14)
где \widetilde L1 = L1\scrP N(L2) и L2 — линейные ограниченные обобщенно обратимые операторы.
Если один из операторов L1 или L2 обратим, то теорема 1 значительно упрощается. Пусть,
например, обратим оператор L2.
Теорема 2. Пусть L1 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 2 — ограниченный, а L2 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 3 — обратимый опера-
торы. Тогда операторное уравнение (2) разрешимо для тех и только тех \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} [u, v], которые
удовлетворяют условию
\scrP YL0
\biggl[
u
v
\biggr]
= u - L1L
- 1
2 v = 0,
при выполнении которого оно имеет единственное решение
x = L -
0
\biggl[
u
v
\biggr]
=
\bigl[
0 L - 1
2
\bigr] \biggl[ u
v
\biggr]
= L - 1
2 v,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ . . . 477
где \scrP YL0
=
\biggl[
IB2 L1L
- 1
2
0 0
\biggr]
— ограниченный проектор на подпространство YL0 =
= IB2\times B3 \ominus R(L0), \scrP N(L0) = 0,
L -
0 =
\bigl[
0 L - 1
2
\bigr]
— ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору L0.
Доказательство. Действительно, поскольку оператор L2 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 3 обратим, то \scrP N(L2) =
= 0, \scrP YL2
= 0. Тогда \widetilde L1 = L1\scrP N(L2) = 0, \scrP
N(\widetilde L1)
= IB1 , \scrP Y\widetilde L1
= IB2 и из формул (13), (14)
следует утверждение теоремы 2.
Замечание 2. Из теоремы 2 следует, что в случае, когда оператор L2 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 3 обратим,
оператор L0 будет n-нормальным, так как \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L0 = 0. Тогда оператор L -
0 =
\bigl[
0 L - 1
2
\bigr]
будет
левым обратным оператором (L0)
- 1
l к оператору L0 [10].
2. Далее рассмотрим условия разрешимости и представление общего решения операторного
уравнения с операторной матрицей вида
M0
\biggl[
y
z
\biggr]
=
\bigl[
M1 M2
\bigr] \biggl[ y
z
\biggr]
= g, (15)
где M1 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 3 — линейный ограниченный обобщенно обратимый, а M2 : \bfB 2 \rightarrow \bfB 3 —
линейный ограниченный операторы, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} [y, z] \in \bfB 1 \times \bfB 2, g \in \bfB 3.
Вследствие обобщенной обратимости оператора M1 существуют ограниченные проекторы
\scrP N(M1) на нуль-пространство N(M1) оператора M1 и \scrP YM1
на подпространство IB3 - R(M1),
а также ограниченный обобщенно-обратный оператор M -
1 к оператору M1.
Обозначим через \widehat M2 = \scrP YM1
M2 линейный ограниченный оператор. Пусть оператор \widehat M2
обобщенно обратим. Тогда существуют ограниченные проекторы \scrP
N(\widehat M2)
: \bfB 2 \rightarrow N(\widehat M2),
\scrP Y\widehat M2
: \bfB 3 \rightarrow IB3 \ominus R(\widehat M2) и ограниченный обобщенно-обратный оператор \widehat M -
2 к операто-
ру \widehat M2.
Ставится задача о построении обобщенно-обратного оператора M -
0 к оператору M0, проек-
торов \scrP N(M0) и \scrP YM0
, нахождении условий разрешимости, а также формульном представлении
общего решения уравнения (15).
Запишем (15) в виде
M1y +M2z = g, (16)
или
M1y = g - M2z. (17)
Уравнение (17) разрешимо относительно y тогда и только тогда [2, 3, 9], когда
\scrP YM1
\bigl[
g - M2z
\bigr]
= 0, (18)
и при этом имеет семейство решений
y = \scrP N(M1)\^y +M -
1
\bigl[
g - M2z
\bigr]
, (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
478 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ
где \^y — произвольный элемент пространства \bfB 1, M -
1 — обобщенно-обратный оператор к
оператору M1.
Из равенства (18) имеем
\scrP YM1
M2z = \scrP YM1
g. (20)
Тогда из (20) получим операторное уравнение относительно элемента z :
\widehat M2z = \scrP YM1
g. (21)
Поскольку оператор \widehat M2 обобщенно обратим, то уравнение (21) разрешимо тогда и только
тогда, когда выполняется условие
\scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
g = 0,
и при этом имеет решение
z = \scrP
N(\widehat M2)
\^z + \widehat M -
2 \scrP YM1
g, (22)
где \^z — произвольный элемент банахова пространства \bfB 2, \widehat M -
2 — обобщенно-обратный опера-
тор к оператору \widehat M2.
Подставив (22) в (19), получим
y = \scrP N(M1)\^y +M -
1
\Bigl[
g - M2
\Bigl\{
\scrP
N(\widehat M2)
\^z + \widehat M -
2 \scrP YM1
g
\Bigr\} \Bigr]
=
= \scrP N(M1)\^y - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
\^z +M -
1 g - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
g.
Таким образом, уравнение (15) имеет семейство решений
\biggl[
y
z
\biggr]
=
\left[ \scrP N(M1) - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\right] \biggl[
\^y
\^z
\biggr]
+
\left[ M -
1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right] g.
Теорема 3. Пусть M1 \in \bfG \bfI (\bfB 1,\bfB 3) и \widehat M2 \in \bfG \bfI (\bfB 2,\bfB 3). Тогда операторное уравнение
(15) разрешимо для тех и только тех g, которые удовлетворяют условию
\scrP YM0
g = 0, (23)
при выполнении которого оно имеет семейство решений\biggl[
y
z
\biggr]
= \scrP N(M0)
\biggl[
\^y
\^z
\biggr]
+M -
0 g, (24)
где \scrP YM0
= \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
— проектор на подпространство YM0 = \bfB 3 \ominus R(M0),
\scrP N(M0) =
\Biggl[
\scrP N(M1) - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\Biggr]
— проектор на нуль-пространство N(M0) оператора M0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ . . . 479
M -
0 =
\left[ M -
1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right]
— обобщенно-обратная операторная матрица к операторной матрице M0 =
\bigl[
M1 M2
\bigr]
,
\^y \in \bfB 1, \^z \in \bfB 2 — произвольные элементы соответствующих пространств.
Доказательство. Сначала докажем, что оператор
M -
0 =
\left[ M -
1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right] (25)
является обобщенно-обратным оператором к оператору M0 =
\bigl[
M1 M2
\bigr]
.
Для этого необходимо и достаточно проверить, что оператор M -
0 удовлетворяет услови-
ям [9]
M -
0 M0M
-
0 = M -
0 , M0M
-
0 M0 = M0, (26)
каждое из которых является следствием другого.
Проверим, например, первое условие. Сначала определим
M -
0 M0 =
\left[ M -
1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right] \bigl[
M1 M2
\bigr]
=
=
\left[ M -
1 M1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
M1 M -
1 M2 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
M1
\widehat M -
2 \scrP YM1
M2
\right] =
=
\left[ M -
1 M1 M -
1 M2[I - \widehat M -
2
\widehat M2]
0 \widehat M -
2
\widehat M2
\right] =
=
\left[ IB1 - \scrP N(M1) M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 IB2 - \scrP
N(\widehat M2)
\right] = IB1\times B2 - \scrP N(M0).
Тогда
M -
0 M0M
-
0 = [IB1\times B2 - \scrP N(M0)]M
-
0 = M -
0 - \scrP N(M0)M
-
0 =
= M -
0 -
\left[ \scrP N(M1) M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\right]
\left[ M -
1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
480 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ
= M -
0 -
\left[ \scrP N(M1)(M
-
1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
) +M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
\widehat M -
2 \scrP YM1
\scrP
N(\widehat M2)
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right] = M -
0 ,
так как \scrP N(M1)M
-
1 = 0, \scrP
N(\widehat M2)
\widehat M -
2 = 0.
Аналогично проверяется второе из условий (26).
Далее покажем, что оператор
\Biggl[
\scrP N(M1) - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\Biggr]
является проектором \scrP N(M0)
на нуль-пространство N(M0) оператора M0, т. е.
\scrP 2
N(M0)
= \scrP N(M0), M0\scrP N(M0) = 0.
Проверим первое условие:\left[ \scrP N(M1) - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\right]
2
=
\left[ \scrP
2
N(M1)
- \scrP N(M1)M
-
1 M2\scrP N(\widehat M2)
- M -
1 M2\scrP 2
N(\widehat M2)
0 \scrP 2
N(\widehat M2)
\right] =
=
\left[ \scrP N(M1) - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\right] ,
так как \scrP N(M1)M
-
1 = 0, а \scrP 2
N(\widehat M2)
= \scrP
N(\widehat M2)
.
Проверим второе условие:
M0\scrP N(M0) =
\bigl[
M1 M2
\bigr] \left[ \scrP N(M1) - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\right] =
=
\Bigl[
M1\scrP N(M1) - M1M
-
1 M2\scrP N(\widehat M2)
+M2\scrP N(\widehat M2)
\Bigr]
=
=
\Bigl[
M1\scrP N(M1) - [I - \scrP YM1
]M2\scrP N(\widehat M2)
+M2\scrP N(\widehat M2)
\Bigr]
=
\Bigl[
0 \widehat M2\scrP N(\widehat M2)
\Bigr]
=
\bigl[
0 0
\bigr]
,
так как M1\scrP N(M1) = 0 и \widehat M2\scrP N(\widehat M2)
= 0.
Таким образом, \scrP N(M0) =
\left[ \scrP N(M1) - M -
1 M2\scrP N(\widehat M2)
0 \scrP
N(\widehat M2)
\right] — проектор на нуль-пространство
оператора M0.
Далее покажем, что оператор
\scrP YM0
= \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
является проектором на подпространство YM0 = \bfB 3 \ominus R(M0).
Для доказательства воспользуемся соотношением, которое связывает обобщенно-обратный
оператор и проектор [3]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ . . . 481
M0M
-
0 = IB3 - \scrP YM0
. (27)
Определим
M0M
-
0 =
\bigl[
M1 M2
\bigr] \left[ M -
1 - M -
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right] =
= M1M
-
1 - M1M
-
1 M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
+M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
=
= [IB3 - \scrP YM1
][IB3 - M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
] +M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
=
= IB3 - \scrP YM1
+ \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
= IB3 - [IB3 - \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 ]\scrP YM1
=
= I - \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
= IB3 - \scrP YM0
,
так как \scrP YM1
M2 = \widehat M2, I - \widehat M2
\widehat M -
2 = \scrP Y\widehat M2
. Тогда \scrP YM0
= \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
.
Проверим, что \scrP YM0
действительно является проектором на подпространство YM0 ,
т. е. удовлетворяет условиям
\scrP 2
YM0
= \scrP YM0
, \scrP YM0
M0 = 0.
Проверим первое условие:
\scrP 2
YM0
= [\scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
]2 = [IB3 - \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 ]\scrP YM1
[IB3 - \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 ]\scrP YM1
=
= \scrP 2
YM1
- \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP 2
YM1
- \scrP 2
YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
+ \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP 2
YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
=
= \scrP YM1
- \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
- \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
+ \scrP YM1
M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
= \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
,
так как \scrP YM1
M2 = \widehat M2, \widehat M -
2
\widehat M2
\widehat M -
2 = \widehat M -
2 , IB3 - \widehat M2
\widehat M -
2 = \scrP Y\widehat M2
.
Проверим второе условие:
\scrP YM0
M0 = \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
\bigl[
M1 M2
\bigr]
=
\Bigl[
\scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
M1 \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
M2
\Bigr]
=
\bigl[
0 0
\bigr]
,
так как \scrP YM1
M1 = 0, \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
M2 = \scrP Y\widehat M2
\widehat M2 = 0.
Из (27) следует, что при выполнении условия (23) уравнение (15) имеет решение (24).
Замечание 3. Вследствие неоднозначного представления обобщенно-обратных операто-
ров для оператора M0 =
\bigl[
M1 M2
\bigr]
обобщенно-обратным будет также оператор
M -
0 =
\Biggl[ \widehat M -
1 \scrP YM2
M -
2 - M -
2 M1
\widehat M -
1 \scrP YM2
\Biggr]
,
где \widehat M1 = \scrP YM2
M1 и M2 — линейные ограниченные обобщенно обратимые операторы.
При этом проекторы будут иметь вид
\scrP YM0
= \scrP Y\widehat M1
\scrP YM2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
482 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ
\scrP N(M0) =
\left[ \scrP
N(\widehat M1)
0
- M -
2 M1\scrP N(\widehat M1)
\scrP N(M2)
\right] ,
где \widehat M1 = \scrP YM2
M1, M2 — линейные ограниченные обобщенно обратимые операторы.
Теорема 3 значительно упрощается, если один из операторов M1 или M2 имеет обратный.
Пусть это будет оператор M1.
Теорема 4. Пусть оператор M1 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 2 обратим, а оператор M2 : \bfB 2 \rightarrow \bfB 3 ограни-
чен. Тогда операторное уравнение (15) разрешимо для любых g и имеет семейство решений\biggl[
y
z
\biggr]
= \scrP N(M0)
\biggl[
\^y
\^z
\biggr]
+M -
0 g,
где \scrP N(M0) =
\biggl[
0 - M - 1
1 M2
0 IB2
\biggr]
— ограниченный проектор на подпространство N(M0),
M -
0 =
\biggl[
M - 1
1
0
\biggr]
— ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору M0.
Доказательство. Действительно, поскольку оператор M1 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 2 обратим, то
\scrP N(M1) = 0, \scrP YM1
= 0. Тогда условие разрешимости (23) всегда выполняется (\scrP YM0
= 0)
и уравнение (16) будет везде разрешимым. Оператор \widehat M2 = \scrP YM1
M2 нулевой и, следовательно,
\scrP
N(\widehat M2)
= IB1 \scrP Y\widehat M2
= IB3 . Тогда из теоремы 3 следует утверждение теоремы 4.
Замечание 4. Очевидно, что в случае, когда оператор M2 обратим, обобщенно-обратный
оператор к оператору M0 имеет вид
M -
0 =
\biggl[
0
M - 1
2
\biggr]
. (28)
Замечание 5. Из теоремы 4 следует, что в случае, когда M1 : \bfB 1 \rightarrow \bfB 3 обратим, оператор
M0 будет d-нормальным, поскольку \scrP YM0
= \scrP Y\widehat M2
\scrP YM1
= 0. Тогда оператор M -
0 будет правым
обратным оператором (M0)
- 1
r к оператору M0 [10].
Обращение блочных невырожденных матриц. Предложенные формулы для обобщен-
ного обращения операторных матриц могут быть применены для обобщенного обращения
блочных матриц, а также для вычисления обратных матриц к блочным невырожденным мат-
рицам.
Пусть A — (n \times n)-мерная невырожденная матрица. Разобьем матрицу A, например, на
столбцевые блоки M1 размерности (n\times k), k < n, M2 размерности (n\times (n - k)):
A =
\bigl[
M1 M2
\bigr]
.
В силу невырожденности матрицы A ее столбцы линейно независимы, поэтому матрицы-
блоки M1 и M2 имеют полный ранг: \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}M1 = k, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}M2 = n - k и, как следствие,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ . . . 483
\scrP N(M1) = 0 и \scrP N(M2) = 0. В этом случае для матриц M1 и \widehat M2 существуют обобщенно-
обратные матрицы M -
1 и \widehat M -
2 , которые будут левыми обратными матрицами (M1)
- 1
l и (\widehat M2)
- 1
l
соответственно [10].
Тогда, применяя формулу (25), получаем
A - 1 =
\left[ (M1)
- 1
l - (M1)
- 1
l M2
\widehat M -
2 \scrP YM1
\widehat M -
2 \scrP YM1
\right] .
Аналогично, если невырожденная матрица A разбита на строчечные блоки L1 и L2 соот-
ветствующих размеров:
A =
\biggl[
L1
L2
\biggr]
,
то в силу невырожденности матрицы A ее строки линейно независимы, поэтому \scrP YL1
= 0
и \scrP YL2
= 0. В этом случае для матриц L1 и \widetilde L2 существуют обобщенно-обратные матрицы,
которые будут правыми обратными матрицами (L1)
- 1
r и (\widetilde L2)
- 1
r [10].
Тогда, применяя формулу (5), имеем
A - 1 =
\Bigl[
(L1)
- 1
r - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2(L1)
- 1
r \scrP N(L1)
\widetilde L -
2
\Bigr]
.
Связь с формулами Фробениуса. В качестве примера применения полученных формул для
обобщенного обращения операторных матриц рассмотрим обращение невырожденной блочной
матрицы G, которая разбита на блоки
G =
\biggl[
A B
C D
\biggr]
,
где A — (k \times k)-мерная невырожденная матрица, D — ((n - k) \times (n - k))-мерная матрица, а
B и C — прямоугольные матрицы соответствующих размеров.
Разобьем матрицу A на строчечные блоки
L1 =
\bigl[
A B
\bigr]
,
L2 =
\bigl[
C D
\bigr]
.
Тогда
G =
\biggl[
L1
L2
\biggr]
.
Обратную матрицу будем искать в виде блочной матрицы
G - 1 =
\bigl[
Z1 Z2
\bigr]
.
Поскольку \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A \not = 0, то согласно теореме 4 обобщенно-обратная матрица к матрице L1
имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
484 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН, П. Н. ЗАБРОДСКИЙ
L -
1 =
\biggl[
A - 1
0
\biggr]
,
а
\scrP N(L1) =
\biggl[
0 - A - 1B
0 Ik
\biggr]
— проектор на подпространство N(L1). Тогда определим матрицу
\widetilde L2 = L2\scrP N(L1) =
\bigl[
C D
\bigr] \biggl[ 0 - A - 1B
0 Ik
\biggr]
=
=
\bigl[
0 D - CA - 1B
\bigr]
=
\bigl[
0 H
\bigr]
,
где H = D - CA - 1B — дополнение по Шуру [11] матрицы A.
В [11] показано, что при условии \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A \not = 0 и \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H \not = 0, иначе матрица G была бы
вырожденной. Применяя формулу (28), получаем \widetilde L -
2 =
\biggl[
0
H - 1
\biggr]
. Тогда согласно теореме 1
имеем
Z2 = \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 =
=
\biggl[
0 - A - 1B
0 Ik
\biggr] \biggl[
0
H - 1
\biggr]
=
\biggl[
- A - 1BH - 1
H - 1
\biggr]
.
Для вычисления блока Z1 находим
\scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 = Z2L2L
-
1 =
=
\biggl[
- A - 1BH - 1
H - 1
\biggr] \bigl[
C D
\bigr] \biggl[ A - 1
0
\biggr]
=
\biggl[
- A - 1BH - 1CA - 1
H - 1CA - 1
\biggr]
.
Тогда
Z1 = L -
1 - \scrP N(L1)
\widetilde L -
2 L2L
-
1 =
=
\left[ A - 1
0
\right] -
\biggl[
- A - 1BH - 1CA - 1
H - 1CA - 1
\biggr]
=
\biggl[
A - 1 +A - 1BH - 1CA - 1
- H - 1CA - 1
\biggr]
.
Таким образом, получена формула для построения обратной матрицы к блочной невырож-
денной матрице, которая совпадает с формулой Фробениуса [11, c. 60]
G - 1 =
\bigl[
Z1 Z2
\bigr]
=
\biggl[
A - 1 +A - 1BH - 1CA - 1 - A - 1BH - 1
- H - 1CA - 1 H - 1
\biggr]
.
Замечание 6. Применяя теоремы 1 – 4, можно получить формулы для обобщенного
обращения вырожденных матриц произвольной размерности, которые разбиты произвольным
образом на четыре блока.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ . . . 485
Литература
1. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Нормально разрешимые краевые задачи. – Киев: Наук. думка,
2019. – 628 с.
2. Boichuk A. A., Zhuravlev V. F., Pokutnyi A. A. Normally solvable operator equations in a Banach space // Ukr.
Math. J. – 2013. – 65, № 2. – P. 179 – 192.
3. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – 2nd ed. –
Berlin: De Gruyter, 2016. – 296 p.
4. Samoilenko A. M., Boichuk A. A., Zhuravlev V. F. Linear boundary value problems for normally solvable operator
equations in a Banach space // Different. Equat. – 2014. – 50, № 3. – P. 1 – 11.
5. Boichuk A. A., Pokutnyi A. A. Application of the ergodic theory to the investigation of boundary-value problems with
periodic operator coefficients // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 3. – P. 329 – 339.
6. Kozlova N. O., Feruk V. A. Noetherian boundary-value problems for integral equations // J. Math. Sci. – 2017. – 222,
№ 3. – P. 266 – 275.
7. Журавлев В. Ф., Фомин Н. П. Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с
вырожденным ядром в банаховых пространствах // Нелiнiйнi коливання. – 2017. – 20, № 4. – С. 488 – 501.
8. Попов М. М. Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха // Математика
сьогоднi’07. – 2007. – Вип. 13. – C. 78 – 116.
9. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. –
Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
10. Zhuravlev V. F. Solvability criterion and representation of solutions of n-normal and d-normal linear operator
equations in a Banach space // Ukr. Math. J. – 2010. – 62, № 2. – P. 186 – 202.
11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
Получено 14.11.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1452 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:39Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/31/ae2faeb000500f52cbf8e3fcb0f5eb31.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14522019-12-05T10:12:29Z Conditions of solvability and representation of the solutions of equations with operator matrices Условия разрешимости и представление решений уравнений с операторными матрицами Zhuravlev, V. F. Zabrodskiy, P. N. Fomin, N. P. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. We propose new methods for the construction of generalized inverse operator matrices for the operator matrices in Banach spaces. The solvability criteria and the formulas for representations of the general solutions of operator equations with operator matrices are obtained. As an application, we consider the relationship between the obtained formulas and the well-known Frobenius formula for the construction of the matrix inverse to a nondegenerate block matrix. УДК 517.983Запропоновано способи побудови узагальнено-обернених операторних матриць до операторних матриць у банахо- вих просторах. Отримано критерiї розв’язностi та формули для загальних розв’язкiв операторних рiвнянь з операторними матрицями. Як застосування розглянуто зв’язок отриманих формул iз вiдомою формулою Фробенiуса для побудови оберненої матрицi до невиродженої блокової матрицi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1452 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 4 (2019); 471-485 Український математичний журнал; Том 71 № 4 (2019); 471-485 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1452/436 Copyright (c) 2019 Zhuravlev V. F.; Zabrodskiy P. N.; Fomin N. P. |
| spellingShingle | Zhuravlev, V. F. Zabrodskiy, P. N. Fomin, N. P. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. Журавлев, В. Ф. Забродский, П. Н. Фомин, Н. П. Conditions of solvability and representation of the solutions of equations with operator matrices |
| title | Conditions of solvability and representation
of the solutions of equations with operator matrices |
| title_alt | Условия разрешимости и представление решений уравнений с операторными матрицами |
| title_full | Conditions of solvability and representation
of the solutions of equations with operator matrices |
| title_fullStr | Conditions of solvability and representation
of the solutions of equations with operator matrices |
| title_full_unstemmed | Conditions of solvability and representation
of the solutions of equations with operator matrices |
| title_short | Conditions of solvability and representation
of the solutions of equations with operator matrices |
| title_sort | conditions of solvability and representation
of the solutions of equations with operator matrices |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1452 |
| work_keys_str_mv | AT zhuravlevvf conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT zabrodskiypn conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT fominnp conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT žuravlevvf conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT zabrodskijpn conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT fominnp conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT žuravlevvf conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT zabrodskijpn conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT fominnp conditionsofsolvabilityandrepresentationofthesolutionsofequationswithoperatormatrices AT zhuravlevvf usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT zabrodskiypn usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT fominnp usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT žuravlevvf usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT zabrodskijpn usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT fominnp usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT žuravlevvf usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT zabrodskijpn usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami AT fominnp usloviârazrešimostiipredstavlenierešenijuravnenijsoperatornymimatricami |