Consistent criteria for hypotheses testing
We investigate statistical structures that admit consistent criteria for hypotheses testing and establish necessary and sufficient conditions for the existence of consistent criteria for hypotheses testing.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2019
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1453 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507209227567104 |
|---|---|
| author | Zerakidze, Z. S. Purtukhiya, O. G. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. |
| author_facet | Zerakidze, Z. S. Purtukhiya, O. G. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. |
| author_sort | Zerakidze, Z. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:12:29Z |
| description | We investigate statistical structures that admit consistent criteria for hypotheses testing and establish necessary and sufficient
conditions for the existence of consistent criteria for hypotheses testing. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:05:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
З. С. Зеракидзе (Гор. гос. ун-т, Грузия),
О. Г. Пуртухия (Тбил. гос. ун-т им. Ив. Джавахишвили, Грузия)
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ
We investigate statistical structures that admit consistent criteria for hypotheses testing and establish necessary and sufficient
conditions for the existence of consistent criteria for hypotheses testing.
Дослiджуються статистичнi структури, що допускають слушнi критерiї для перевiрки гiпотез. Отримано необхiднi
i достатнi умови iснування слушних критерiїв для перевiрки гiпотез.
1. Введение. На основе выборки можно сформулировать несколько (конечное или бесконечное
число) взаимоисключающих гипотез о теоретическом распределении, одну из которых следует
предпочесть остальным. Задача выбора одной из нескольких гипотез решается построени-
ем статистического критерия. Выводы о распределении, как правило, содержат определенные
ошибки. Слабо разделимые и сильно разделимые статистические структуры были введены и
исследованы А. В. Скороходом [1], а разделимые статистические структуры определил и изу-
чил А. А. Харазишвили [3]. В теории математической статистики часто возникает вопрос о
возможности перехода от ортогональной или слабо разделимой статистической структуры к
сильно разделимой статистической структуре. В теории (ZFC) А. В. Скороход доказал, что
если гипотеза континуума правильна, то любая континуальная слабо разделимая статистиче-
ская структура сильно разделима. В теории (ZF) З. С. Зеракидзе доказал, что любая счетная
ортогональная статистическая структура сильно разделима и борелевская слабо разделимая
статистическая структура \{ E,S, \mu i, i \in I\} с \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d} I \leq 2\chi 0 = c сильно разделима в теории
(ZFC)&(MA) (см. [4, 5]).
З. С. Зеракидзе определил и изучил состоятельные критерии для проверки гипотез. Ис-
пользуя эти критерии, мы принимаем безошибочные выводы для бесконечного числа гипотез
с вероятностью 1, т. е. согласно состоятельным критериям для проверки гипотез вероятности
ошибки любого рода равны нулю.
2. Состоятельные критерии для проверки гипотез. Пусть (E,S) — некоторое измеримое
пространство и на нем задано семейство вероятностных мер \{ \mu i, i \in I\} .
Следующие определения взяты из работ [1 – 9].
Определение 2.1. Статистической структурой называется совокупность объектов \{ E,
S, \mu i, i \in I\} .
Определение 2.2. Статистическая структура \{ E,S, \mu i, i \in I\} называется ортогональ-
ной (сингулярной) (O), если вероятностные меры \{ \mu i, i \in I\} попарно сингулярны.
Определение 2.3. Статистическая структура \{ E,S, \mu i, i \in I\} называется разделимой
(S), если существует семейство S -измеримых множеств \{ Xi, i \in I\} таких, что выполняются
соотношения:
1) \forall i, j \in I : \mu i(Xj) =
\Biggl\{
1, если i = j,
0, если i \not = j;
2) \forall i, j \in I : \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(Xi \cap Xj) < c, если i \not = j, где c обозначает мощность континуума.
c\bigcirc З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ, 2019
486 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 487
Определение 2.4. Статистическая структура \{ E,S, \mu i, i \in I\} называется слабо разде-
лимой (WS), если существует семейство S -измеримых множеств \{ Xi, i \in I\} таких, что для
всех i, j \in I выполняются соотношения
\mu i(Xj) =
\left\{ 1, если i = j,
0, если i \not = j.
Определение 2.5. Статистическая структура \{ E,S, \mu i, i \in I\} называется сильно разде-
лимой (SS), если существует семейство непересекающихся S -измеримых множеств \{ Xi, i \in
\in I\} таких, что выполняются соотношения
\mu i(Xi) = 1 \forall i \in I.
Пример 2.1. Пусть E = [0, 1] \times [0, 1], S — борелевская \sigma -алгебра подмножеств E. Рас-
смотрим S -измеримые множества
Xi =
\bigl\{
0 \leq x \leq 1, y = i, если i \in [0, 1]
\bigr\}
и предположим, что li — линейные меры Лебега на Xi, i \in [0, 1]. Тогда статистическая струк-
тура
\bigl\{
[0, 1]\times [0, 1], S, li, i \in [0, 1]
\bigr\}
сильно разделима.
Пример 2.2. Пусть E = [0, 1] \times [0, 1], S — борелевская \sigma -алгебра подмножеств E. Рас-
смотрим S -измеримые множества
Xi =
\left\{ 0 \leq x \leq 1, y = i, если i \in [0, 1],
x = i - 2, 0 \leq y \leq 1, если i \in [2, 3].
Предположим, что li — линейные меры Лебега на Xi. Тогда статистическая структура
\bigl\{
[0, 1]\times
\times [0, 1], S, li, i \in [0, 1] \cup [2, 3]
\bigr\}
разделима, но не сильно разделима.
Пример 2.3. Пусть E = [0, 1]\times [0, 1]\times [0, 1], S — борелевская \sigma -алгебра подмножеств E.
Рассмотрим S -измеримые множества
Xi =
\left\{
0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, z = i, если i \in [0, 1],
x = i - 2, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1, если i \in [2, 3],
0 \leq x \leq 1, y = i - 4, 0 \leq z \leq 1, если i \in [4, 5],
и предположим, что li — плоские меры Лебега на Xi. Тогда статистическая структура
\bigl\{
[0, 1]\times
\times [0, 1]\times [0, 1], S, li, i \in [0, 1] \cup [2, 3] \cup [4, 5]
\bigr\}
слабо разделима, но не разделима.
Пример 2.4. Пусть E = [0, 1] \times [0, 1], S — борелевская \sigma -алгебра подмножеств E. Рас-
смотрим S -измеримые множества
Xi =
\left\{ 0 \leq x \leq 1, y = i, если i \in (0, 1],
0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, если i = 0,
и предположим, что li, i \in (0, 1], являются линейными мерами Лебега на Xi, i \in (0, 1], а
l0 является плоской мерой Лебега на [0, 1] \times [0, 1]. Тогда статистическая структура
\bigl\{
[0, 1] \times
\times [0, 1], S, li, i \in [0, 1]
\bigr\}
ортогональна, но не слабо разделима.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
488 З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ
Лемма 2.1. Если статистическая структура \{ E,S, \mu i, i \in I\} слабо разделима, то она
ортогональна.
Доказательство. Если статистическая структура \{ E,S, \mu i, i \in I\} слабо разделима, то
существует семейство S -измеримых множеств \{ Xi, i \in I\} таких, что
\mu i(Xj) =
\left\{ 1, если i = j,
0, если i \not = j.
Поскольку \mu i(Xi) = 1 и \mu j(Xi) = 0 для i \not = j, то \mu i(E \setminus Xi) = 0. Следовательно, меры \mu i и
\mu j , i \not = j, ортогональны.
Замечание 2.1. Из сильной разделимости следует разделимость, из разделимости — слабая
разделимость, а из слабой разделимости — ортогональность, но не наоборот, т. е. (SS) =\Rightarrow
=\Rightarrow (S) =\Rightarrow (WS) =\Rightarrow (O).
Понятие и соответствующее построение состоятельных критериев для проверки гипотез
были введены и изучены З. С. Зеракидзе (см. [6]).
Определение 2.6. Гипотезой называется любое предположение о распределении популя-
ции.
Пусть H — множество гипотез, а B(H) — \sigma -алгебра подмножеств H, которая содержит
все конечные подмножества H.
Определение 2.7. Будем говорить, что статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\}
допускает состоятельный критерий (CC) для проверки гипотезы, если существует хотя бы
одно измеримое отображение
\delta : (E,S) - \rightarrow
\bigl(
H,B(H)
\bigr)
такое, что
\mu h
\bigl(
\{ x : \delta (x) = h\}
\bigr)
= 1 \forall h \in H.
Определение 2.8. Будем говорить, что статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\}
допускает состоятельный критерий для проверки гипотезы для любой параметрической функ-
ции, если для любой действительной ограниченной измеримой функции
g : (H,B(H)) - \rightarrow (R,B(R))
существует хотя бы одна измеримая функция
f : (E,S) - \rightarrow (R,B(R))
такая, что
\mu h(\{ x : f(x) = g(h)\} ) = 1 \forall h \in H.
Лемма 2.2. Если статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} допускает состоятель-
ный критерий для проверки гипотезы для любой параметрической функции, то статистиче-
ская структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} слабо разделима.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 489
Доказательство. Поскольку статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} допускает состоя-
тельный критерий для проверки гипотезы для любой параметрической функции, обозначим
через f(x) один из соответствующих состоятельных критериев для индикатора Ih\prime (h). Следо-
вательно, для множеств
\bigl\{
x : fh(x) = Ih\prime (h)
\bigr\}
= Xh имеем
\mu h\prime (Xh) =
\left\{ 1, если h
\prime
= h,
0, если h
\prime \not = h.
Поэтому статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} слабо разделима.
Замечание 2.2. Очевидно, что если статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} допуска-
ет состоятельный критерий для проверки гипотезы для любой параметрической функции, то
статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} слабо разделима, но не наоборот.
Определение 2.9. Вероятность
\alpha h(\delta ) = \mu h
\bigl(
\{ x : \delta (x) \not = h\}
\bigr)
называется вероятностью ошибки h-го рода для заданного критерия \delta .
Следующие теоремы были также доказаны в работе [6].
Теорема 2.1. Статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} допускает состоятельный
критерий \delta для проверки гипотезы тогда и только тогда, когда вероятность ошибки любого
рода для критерия \delta равна нулю.
Теорема 2.2. Если статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} допускает состоятель-
ный критерий \delta для проверки гипотезы, то эта статистическая структура сильно разделима,
но не наоборот, т. е. (CC) =\Rightarrow (SS) =\Rightarrow (S) =\Rightarrow (WS) =\Rightarrow (O).
В настоящей статье мы приводим конструкцию сильно разделимой статистической струк-
туры, не имеющую какого-либо состоятельного критерия для проверки гипотезы.
Как обычно, символ \omega 1 обозначает первое несчетное ординальное число [2]. Множество
всех порядковых чисел \alpha , для которых выполняется неравенство \alpha \leq \omega 1, обозначается [0, \omega 1].
Множество [0, \omega 1] наделено стандартной порядковой топологией, где базисом служат подмно-
жества вида \{ x < \alpha \} , \{ \alpha < x < \beta \} и \{ x > \alpha \} , где \alpha , \beta \leq \omega 1. Известно, что полученное
топологическое пространство [0, \omega 1] компактно и пространство [0, \omega 1) с индуцированной то-
пологией локально компактно. В этом пространстве счетный базис не существует.
Определение 2.10. Замкнутое подмножество Z топологического пространства [0, \omega 1)
называется неограниченным, если оно конфинально в [0, \omega 1), т. е. для любого \xi < \omega 1 суще-
ствует \zeta \in Z такое, что \xi \leq \zeta . Ясно, что множество \{ x | x \leq \alpha \} счетно для каждого
\alpha < \omega 1.
Например, множества [0, \omega 1), . . . , [n, \omega 1), . . . , [\omega 0, \omega 1), . . . , [\omega 0 + n, \omega 1), . . . являются приме-
рами неограниченных несчетных замкнутых множеств в топологическом пространстве [0, \omega 1).
Ясно, что множество \{ x | x \leq \alpha \} счетно для каждого \alpha < \omega 1.
Лемма 2.3. Пусть \{ Yk\} k\in N — произвольное семейство неограниченных замкнутых под-
множеств [0, \omega 1). Тогда пересечение \cap \infty k=1Yk также является неограниченным замкнутым
подмножеством [0, \omega 1).
Доказательство. Положим Y = \cap \infty k=1Yk. Очевидно, что Y замкнуто в [0, \omega 1). Следова-
тельно, нужно только доказать, что Y неограничен в [0, \omega 1).
Пусть \{ Zk\} k\in N — последовательность множеств, удовлетворяющих следующим условиям:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
490 З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ
1) каждое множество из \{ Zk\} k\in N совпадает с одним из множеств последовательности
\{ Yk\} k\in N ;
2) каждое множество из \{ Yk\} k\in N встречается в последовательности \{ Zk\} k\in N бесконечное
число раз.
Далее, пусть \xi < \omega 1. Методом математической индукции определим последовательность
ординальных чисел \{ \zeta k\} k\in N . Предположим, что для каждого k \in N мы уже определили
частичную последовательность \{ \zeta i\} i<k. Тогда в качестве элемента \zeta k берем наименьшее ор-
динальное число, принадлежащее множеству Zk и строго мажорирующее числа \xi и \{ \zeta i\} i<k.
Таким образом, мы построили последовательность ординальных чисел \{ \zeta k\} k\in N таких, что
\xi \leq \zeta 1 \leq \zeta 2 \leq . . . \leq \zeta k \leq . . . .
Эта последовательность ограничена сверху, поэтому существует предел \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty \zeta k = \zeta . Отсюда
следует, что \zeta \in Y и \xi \leq \zeta , поэтому Y неограничен.
Пусть B
\bigl(
[0, \omega 1)
\bigr)
— борелевская \sigma -алгебра подмножеств топологического пространства
[0, \omega 1). Согласно лемме 2.3 для всех множеств Z \in B
\bigl(
[0, \omega 1)
\bigr)
имеем два альтернативных
условия:
I. Множество Z \in B
\bigl(
[0, \omega 1)
\bigr)
содержит некоторое замкнутое бесконечное (неограниченное)
подмножество интервала [0, \omega 1).
II. Множество [0, \omega 1)\setminus Z \in B
\bigl(
[0, \omega 1)
\bigr)
содержит некоторое замкнутое бесконечное (неогра-
ниченное) подмножество интервала [0, \omega 1).
Определим вероятностную меру на B
\bigl(
[0, \omega 1)
\bigr)
следующим образом:
\mu (Z) =
\left\{ 1, если выполняется условие \mathrm{I},
0, если выполняется условие \mathrm{I}\mathrm{I}.
Ясно, что \mu — вероятностная мера на пространстве [0, \omega 1), принимающая нулевые значения
на одноэлементных подмножествах. Мера \mu обычно называется мерой Дьедоне. Положим
E = [0, \omega 1)\times [0, \omega 1) и S = B
\bigl(
[0, \omega 1)
\bigr)
\times B([0, \omega 1)) =
\bigl\{
A\times C | A,C \in B([0, \omega 1))
\bigr\}
.
Заметим, что E — локально компактное топологическое пространство относительно топо-
логии произведения. S является \sigma -алгеброй, целиком содержащейся в борелевской \sigma -алгебре
этого пространства. Действительно, множество
\bigl\{
(\xi , \varsigma ) : \xi \leq \zeta < \omega 1
\bigr\}
замкнуто в простран-
стве X. Но это множество не измеримо относительно продакт-меры \mu \times \mu , в чем легко можно
убедиться, воспользовавшись теоремой Фубини.
Рассмотрим теперь измеримое пространство (E,S) и используем в качестве множества
гипотез множество H, заданное следующим образом:
H =
\bigl(
\{ 0\} \times [0, \omega 1)
\bigr)
\cup
\bigl(
[0, \omega 1)\times \{ 0\}
\bigr)
.
Ясно, что на множестве H мы имеем \sigma -алгебру B(H), индуцированную \sigma -алгеброй S.
Рассмотрим произвольную гипотезу h \in H. Возможны два случая. Если h = (0, \xi ), \xi < \omega 1 , то
пусть вероятностная мера \mu h определена так:
\mu h(Z) = \mu
\bigl(
Pr1(Z \cap ([0, \omega 1)\times \{ \xi \} ))
\bigr)
,
где Z — любое подмножество пространства E, принадлежащее \sigma -алгебре S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 491
Если же h = (\xi , 0), 0 < \xi < \omega 1 , то пусть вероятностная мера \mu h определена таким образом:
\mu h(Z) = \mu
\bigl(
Pr2(Z \cap (\{ \xi \} \times [0, \omega 1)))
\bigr)
, Z \in S.
Итак, мы построили статистическую структуру \{ E,S, \mu h, h \in H\} .
Лемма 2.4. Статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} сильно разделима.
Доказательство. Пусть h имеет вид h = (0, \xi ), \xi < \omega 1 . Тогда ясно, что носителем меры
\mu h является отрезок I\xi = [0, \omega 1)\times \{ \xi \} .
Если же h имеет вид h = (\xi , 0), 0 < \xi < \omega 1, то носителем меры \mu h является отрезок
\{ \xi \} \times [0, \omega 1).
Таким образом, носителями мер из семейства \{ \mu h, h \in H\} являются горизонтальные и
вертикальные отрезки, лежащие в квадрате E. Для любых таких отрезков их пересечение либо
пусто, либо сводится к одной точке. Следовательно, статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\}
разделима.
Принимая во внимание тот факт, что существует еффективно определенное взаимно одно-
значное соответствие
g : [0, \omega 1)\times [0, \omega 1)\rightarrow [0, \omega 1),
мы можем эффективно перенумеровать все указанные отрезки в дизъюнктивную трансфинит-
ную последовательность (Z\xi )\xi <\omega 1 , а затем с помощью соотношений
X0 = Z0, X\xi = Z\xi \setminus \cup \zeta <\xi Z\zeta , 0 < \xi < \omega 1,
стандартным способом перейти к дизъюнктивному семейству (X\xi )\xi <\omega 1 , для которого \mu h(Xh) =
= 1 \forall h \in H. Таким образом, статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} сильно разделима.
Теорема 2.3. Построенная сильно разделимая статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in
\in H\} не допускает состоятельные критерии для проверки гипотез.
Доказательство. Предположим противное, т. е. существует состоятельный критерий
\delta : (E,S) - \rightarrow (H,B(H)).
Введем обозначения
H1 = \{ 0\} \times [0, \omega 1), H2 = [0, \omega 1)\times \{ 0\} .
Очевидно, что H1 и H2 являются B(H)-измеримыми подмножествами H такими, что H1\cap
\cap H2 = \varnothing , H1\cup H2 = H. Последнее соотношение означает, что прообразы Y1 = \delta - 1(H1) и Y2 =
= \delta - 1(H2) являются попарно непересекающимися S -измеримыми подмножествами основного
квадрата E. Принимая во внимание тот факт, что по теореме Фубини равенства
\mu h
\bigl(
x : \delta (x) = h
\bigr)
= 1
справедливы для каждого h \in H, получаем следующие соотношения:
(\mu \times \mu )(Y1) = 1, (\mu \times \mu )(Y2) = 1, (\mu \times \mu )(E) = 2.
Последнее соотношение противоречит равенству (\mu \times \mu )(E) = 1.
Это противоречие показывает, что статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} не допускает
состоятельные критерии для проверки гипотез.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
492 З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ
Теорема 2.4. Пусть H = \{ h1, h2, . . . , hn, . . .\} — счетное множество гипотез. Если ста-
тистическая структура \{ E,S, \mu hi , i \in N\} , N = \{ 1, 2, . . . , n, . . .\} , или сильно разделима, или
разделима, или слабо разделима, или ортогональна, то статистическая структура \{ E,S, \mu hi ,
i \in N\} допускает состоятельный критерий для проверки гипотезы.
Доказательство. Поскольку из сильной разделимости следует разделимость, из раздели-
мости — слабая разделимость, а из слабой разделимости — ортогональность ((SS) =\Rightarrow (S) =\Rightarrow
=\Rightarrow (WS) =\Rightarrow (O)), докажем теорему только для ортогональной статистической структуры.
Ортогональность статистической структуры \{ E,S, \mu hi , i \in N\} означает существование
семейства \{ Xik\} S -измеримых множеств таких, что \mu hk(Xik) = 0 и \mu hi(E \setminus Xik) = 0 для
любого i \not = k. Поэтому, если рассматривать множества Xi = \cup k \not =i(E\setminus Xik), получаем \mu hi(Xi) =
= 0. Следовательно, \mu hi(E \setminus Xi) = 1. С другой стороны, для k \not = i имеем \mu hk(E \setminus Xi) =
= 0. Это означает, что статистическая структура \{ E,S, \mu hi , i \in N\} слабо разделима. Поэтому
существует такое семейство \{ Xi, i \in N\} S -измеримых множеств, что
\mu hi(Xj) =
\left\{ 1, если i = j,
0, если i \not = j.
Рассмотрим множества
Xi = Xi \setminus
\bigl(
Xi \cap (\cup k \not =iXk)
\bigr)
, i \in N.
Очевидно, что \{ Xi, i \in N\} является непересекающимся семейством S -измеримых мно-
жеств и \mu hi(Xi) = 1 \forall i \in N. Следовательно, статистическая структура \{ E,S, \mu hi , i \in N\}
сильно разделима. Определим отображение \delta : (E,S) - \rightarrow (H,B(H)) так, чтобы \delta (Xi) = hi,
i \in N. Мы имеем \{ x : \delta (x) = hi\} = Xi и \mu hi(Xi) = 1 \forall i \in N.
Таким образом, мы доказали, что
(O) =\Rightarrow (WS) =\Rightarrow (S) =\Rightarrow (SS) =\Rightarrow (CC).
Пример 2.5. Пусть выборочное пространство E = R \times R, где R = ( - \infty ,+\infty ) и
B(R\times R) — борелевская \sigma -алгебра подмножеств E. Рассмотрим множества типа
Xh = \{ - \infty < x < +\infty , y = h, h \in Q\} ,
где Q — множество рациональных чисел, и пусть \mu h, h \in Q, — линейные гауссовские меры
\mu h =
1\surd
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - h)2
2
\biggr\}
на соответствующих множествах Xh, h \in Q. Возьмем в качестве множества гипотез множество
рациональных чисел Q.
Ясно, что борелевская статистическая структура \{ R \times R,B(R \times R), \mu h, h \in Q\} — сильно
разделимая статистическая структура.
Определим отображение
\delta : (R\times R,B(R\times R)) - \rightarrow (R,B(R))
по формуле
\delta (Xh) = h, h \in Q.
Ясно, что \delta — измеримое отображение и \mu h
\bigl(
\{ x : \delta (x) = h\}
\bigr)
= 1 \forall h \in Q.
Таким образом, статистическая структура \{ R\times R,B(R\times R), \mu h, h \in Q\} допускает состоя-
тельный критерий для проверки гипотезы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 493
3. Состоятельные критерии для проверки гипотез в гильбертовом пространстве мер.
Пусть \{ \mu h, h \in H\} — вероятностные меры, определенные на измеримом пространстве (E,S).
Для каждого h \in H обозначим через \mu h пополнение меры \mu h, а через \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) \sigma -алгебру всех
\mu h-измеримых подмножеств E. Пусть
S1 = \cap
h\in H
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h).
Определение 3.1. Статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} называется сильно
разделимой, если существует семейство S1-измеримых множеств \{ Zh, h \in H\} таких, что
выполняются соотношения:
1) \mu h(Zh) = 1 \forall h \in H;
2) Zh1 \cap Zh2 = \varnothing \forall h1 \not = h2, h1, h2 \in H;
3) \cup h\in HZh = E.
Определение 3.2. Скажем, что ортогональная статистическая структура \{ E,S1, \mu h,
h \in H\} допускает состоятельный критерий для проверки гипотезы, если существует хотя
бы одно измеримое отображение
\delta : (E,S1) - \rightarrow (H,B(H))
такое, что
\mu h
\bigl(
\{ x : \delta (x) = h\}
\bigr)
= 1 \forall h \in H.
Пусть M\sigma — действительное линейное пространство всех конечных знакопеременных мер
на S.
Определение 3.3. Линейное подмножество MH \subset M\sigma называется гильбертовым про-
странством мер, если:
1) на MH можно ввести скалярное произведение (\mu , \nu ), \mu , \nu \in MH , относительно кото-
рого MH — гильбертово пространство, и для всех взаимно сингулярных мер \mu и \nu , \mu , \nu \in MH ,
скалярное произведение (\mu , \nu ) = 0;
2) если \nu \in MH и | f(x)| \leq 1, то
\nu f (A) =
\int
A
f(x)\nu (dx) \in MH ,
где f(x) — S -измеримая действительная функция и (\nu f , \nu f ) \leq (\nu , \nu );
3) если \nu n \in MH , \nu n \geq 0, \nu n(E) < \infty , n = 1, 2, . . . и \nu n \downarrow 0, то \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty (\nu n, \mu ) = 0 для
любого \mu \in MH .
Замечание 3.1. Понятие и соответствующее построение гильбертова пространства мер бы-
ло введено и исследовано З. С. Зеракидзе в [5]. Там же была доказана следующая теорема.
Теорема 3.1. Если MH — гильбертово пространство мер, то существует семейство
попарно ортогональных вероятностных мер \{ \mu h, h \in H\} на MH такое, что MH — прямая
сумма гильбертовых пространств H2(\mu h), т. е.
MH = \oplus
h\in H
H2(\mu h),
где H2(\mu h) — множество мер вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
494 З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ
\nu (B) =
\int
B
f(x)\mu h(dx),
\int
E
| f(x)| 2\mu h(dx) < +\infty ,
и скалярное произведение двух мер \mu h1 и \mu h2 (из этого множества), соответствующих функ-
циям f1 и f2, таково:
(\mu h1 , \mu h2) =
\int
E
f1(x)f2(x)\mu h(dx).
Обозначим через F = F (MH) множество действительных функций f таких, что\int
f(x)\mu h(dx) определен для любого \mu h \in MH . Пусть MH = \oplus h\in HH2(\mu h) — гильбертово
пространство мер, E — полное сепарабельное метрическое пространство, S1 = \cap h\in H \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h)
— борелевская \sigma -алгебра в E и \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c. Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 3.2. Для того чтобы ортогональная статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in
\in H\} допускала состоятельный критерий для проверки гипотезы в теории (ZFC) \& (MA),
необходимо и достаточно, чтобы соответствие f \leftarrow \rightarrow \psi f , f \in F (MH), заданное формулой\int
E
f(x)\mu h(dx) = (\psi f , \mu h) \forall \mu h \in MH ,
было взаимно однозначным.
Доказательство. Необходимость. Существование состоятельного критерия для проверки
гипотез \delta : E - \rightarrow H означает, что \mu h
\bigl(
\{ x : \delta (x) = h\}
\bigr)
= 1 \forall h \in H. Обозначая Xh = \{ x :
\delta (x) = h\} для h \in H, получаем:
1) \mu h(Xh) = \mu h
\bigl(
\{ x : \delta (x) = h\}
\bigr)
= 1 \forall h \in H;
2) Xh1 \cap Xh2 = \varnothing для всех разных гипотез h1 и h2 из H, так как
\bigl(
Xh1 = \{ x : \delta (x) =
= h1\}
\bigr)
\cap
\bigl(
Xh2 = \{ x : \delta (x) = h2\}
\bigr)
= \varnothing ;
3) \cup h\in HXh = \{ x : \delta (x) \in H\} = E.
Поэтому статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} сильно разделима, следовательно, суще-
ствует семейство S1-измеримых множеств Xh, h \in H, такое, что
\mu h(Xh\prime ) =
\left\{ 1, если h = h
\prime
,
0, если h \not = h
\prime
.
Функцию IXh
(x) \in F поставим в соответствие мере \mu h \in H2(\mu h). Тогда\int
IXh
(x)\mu h(dx) =
\int
IXh
(x)IXh
(x)\mu h(dx) = (\mu h, \mu h).
Функцию f\psi 1(x) = f1(x)IXh
(x) поставим в соответствие мере \psi 1 \in H2(\mu h). Тогда для любого
\psi 2 \in H2(\mu h) \int
f\psi 1(x)f\psi 2(x)\mu h(dx) =
\int
f1(x)f2(x)IXh
(x)IXh
(x)\mu h(dx) =
=
\int
f1(x)f2(x)\mu h(dx) = (\psi 1, \psi 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 495
Далее, функцию f(x) =
\sum
h\in Hf
gh(x)IXh
(x) \in F поставим в соответствие мере \nu \in MH ,
где \nu =
\sum
h\in Hf
\int
gh(x)\mu h(dx). Тогда для каждой \nu 1 \in MH такой, что
\nu 1 =
\sum
h\in Hf
\int
g1h(x)\mu h(dx),
имеем \int
f(x)\nu 1(dx) =
\int \sum
h\in Hf\cap Hf1
gh(x)g
1
h(x)\mu h(dx) =
=
\sum
h\in Hf\cap Hf1
\int
gh(x)g
1
h(x)\mu h(dx) = (\nu 1, \nu ).
Отсюда следует, что указанное выше соответствие каждой мере \nu \in MH сопоставляет неко-
торую функцию f \in F (MH). Если в F (MH) отождествлять функции, совпадающие по мере
\mu h, h \in H, то соответствие между F (MH) и MH будет взаимно однозначным.
Достаточность. Если f \in F (MH) соответствует мере \mu h \in MH , для которой\int
f(x)\mu h(dx) = (\mu h, \mu h),
то для каждой \mu h, \mu h\prime \in MH\int
fh(x)\mu h\prime (dx) = (\mu h, \mu h\prime ) =
\int
f1(x)f2(x)\mu h(dx) =
\int
fh(x)f2(x)\mu h(dx).
Таким образом, fh(x) = f1(x) почти всюду относительно меры \mu h и fh(x) > 0,\int
f2h(x)\mu h(dx) < +\infty .
Если \mu \ast h =
\int
fh\mu h(dx), то
\int
fh(x)\mu h\prime (dx) = (\mu h, \mu h\prime ) = 0 \forall h \not = h
\prime
. С другой стороны,
\mu h(E \setminus Xh) = 0, где Xh = \{ x : fh(x) > 0\} . Отсюда следует, что
\mu h(Xh\prime ) =
\left\{ 1, если h = h
\prime
,
0, если h \not = h
\prime
,
поэтому статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} слабо разделима. Представим семейство
\{ \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, в виде инъюктивной последовательности \{ \mu h, h < \omega 1\} , где через
\omega 1 обозначено первое ординальное число мощности множества H.
Поскольку статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} слабо разделима, существует се-
мейство S1-измеримых множеств \{ Xh, h \in H\} такое, что для всех h \in [0, \omega 1) имеем
\mu h(Xh\prime ) =
\left\{ 1, если h = h
\prime
,
0, если h \not = h
\prime
.
Определим \omega 1 — последовательность Zh частей пространства E — так, чтобы выполнялись
следующие соотношения:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
496 З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ
1) Zh — борелевское подмножество в E для всех h < \omega 1;
2) Zh \subset Xh для всех h < \omega 1;
3) Zh \cap Zh\prime = \varnothing для всех h < \omega 1, h
\prime
< \omega 1, h \not = h
\prime
;
4) \mu h(Zh) = 1 для всех h < \omega 1.
Пусть Zh0 = Xh0 . Предположим далее, что частичная последовательность \{ Zh\prime \} h\prime <h уже
определена для h < \omega 1. Ясно, что \mu \ast (\cup h\prime <hZh\prime ) = 0 (см. [4]). Таким образом, существует бо-
релевское подмножество Yh пространства E такое, что справедливы следующие соотношения:
\cup
h\prime <h
Zh\prime \subset Yh, \mu \ast (Yh) = 0.
Предполагая, что Zh = Xh \setminus Yh, строим \omega 1 — последовательность \{ Zh\} h<\omega 1 дизъюнк-
тивных измеримых подмножеств пространства E. Поэтому \mu h(Zh) = 1 для всех h < \omega 1 и
статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, сильно разделима, так как суще-
ствует семейство элементов \sigma -алгебры S1 = \cap h\in H \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) такое, что:
1) \mu h(Zh) = 1 \forall h \in H;
2) Zh \cap Zh\prime = \varnothing для всех разных h и h
\prime
из H;
3) \cup h\in HZh = E.
Для x \in E положим \delta (x) = h, где h — единственная гипотеза из множества H, для которого
x \in Zh. Существование такой единственной гипотезы H можно доказать, используя условия
2, 3.
Пусть теперь Y \in B(H). Тогда \{ x : \delta (x) \in Y \} = \cup h\in Y Zh. Мы должны показать, что \{ x :
\delta (x) \in Y \} \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0) для каждого h0 \in H.
Если h0 \in Y, то
\bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
= \cup h\in Y Zh = (Zh0) \cup (\cup h\in Y \setminus \{ h0\} Zh).
С одной стороны, из условий 1 – 3 следует, что
Zh0 \in S1 = \cap
h\in H
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) \subseteq \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0).
С другой стороны, из условия
\cup
h\in Y \setminus \{ h0\}
Zh \subseteq (E \setminus Zh0)
следует, что
\mu h0
\biggl(
\cup
h\in Y \setminus \{ h0\}
Zh
\biggr)
= 0.
Из последнего равенства вытекает, что \cup h\in Y \setminus \{ h0\} Zh \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0).
Поскольку \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0) — \sigma -алгебра, имеем\bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
= (Zh0) \cup
\Bigl(
\cup
h\in Y \setminus \{ h0\}
Zh
\Bigr)
\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0).
Если h0 /\in Y, то \bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
= \cup
h\in Y
Zh \subseteq (E \setminus Zh0),
и мы заключаем, что \mu h0
\bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
= 0. Последнее соотношение означает, что\bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0).
Таким образом, мы доказали справедливость соотношения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 497\bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0)
для любого h0 \in H. Следовательно,\bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
\in \cap
h\in H
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) = S1.
Поскольку B(H) содержит все конечные подмножества H, заключаем, что
\mu h(x : \delta (x) = h) = \mu h(Zh) = 1.
Пример 3.1. Пусть E = R \times R, B(R \times R) — \sigma -алгебра борелевских множеств на R \times R.
Пусть H = R — множество гипотез, B(R) — \sigma -алгебра борелевских множеств на R.
Рассмотрим множества следующего типа: Xh = \{ - \infty < x < +\infty , y = h, h \in R\} , и пусть
\mu h, h \in R, — линейные гауссовские меры
\mu h =
1\surd
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- (x - h)2
2
\biggr\}
на соответствующих множествах Xh, h \in R.
Статистическая структура \{ R\times R,B(R\times R), \mu h, h \in R\} — сильно разделимая континуальная
статистическая структура. Для каждого h \in R через \mu h обозначим пополнение меры \mu h, а через
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) — \sigma -алгебру всех \mu h-измеримых подмножеств R\times R.
Пусть
S1 = \cap
h\in R
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h)
— борелевская \sigma -алгебра. Тогда ясно, что статистическая структура \{ R \times R,S1, \mu h, h \in R\} —
сильно разделимая континуальная статистическая структура, так как существует семейство
элементов \sigma -алгебры S1 такое, что:
1) \cup h\in R(Zh) = R\times R;
2) Zh \cap Zh\prime = \varnothing для всех разных h и h
\prime
из R;
3) \mu h(Zh) = 1 \forall h \in R.
Для x \in R\times R положим \delta (x) = h, где h — единственная гипотеза из множества R, для которого
x \in Zh. Покажем, что так определенное отображение \delta : S1 \rightarrow B(R) измеримо и \mu h
\bigl(
\{ x :
\delta (x) = h\}
\bigr)
= 1 \forall h \in R, т. е. статистическая структура \{ R \times R,S1, \mu h, h \in R\} допускает
состоятельный критерий для проверки гипотезы.
Пусть теперь Y \in B(R). Тогда \{ x : \delta (x) \in Y \} = \cup h\in RZh. Мы должны показать, что \{ x :
\delta (x) \in Y \} \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0), h0 \in R. Если h0 \in Y, то \{ x : \delta (x) \in Y \} = \cup h\in RZh = Zh0 \cup
\cup (\cup h\in Y \setminus \{ h0\} Zh). Ясно, что Zh0 \in S1 \subseteq \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0), \cup h\in Y \setminus \{ h0\} Zh \subseteq (R\times R\setminus Zh0). Из последнего
выражения вытекает, что \mu h0(\cup h\in Y \setminus \{ h0\} Zh) = 0.
Таким образом, \cup h\in Y \setminus \{ h0\} Zh \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0) и, следовательно,\bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0).
Если h0 /\in Y, то \bigl\{
x : \delta (x) \in Y
\bigr\}
= \cup
h\in Y
Zh \subseteq (E \setminus Zh0)
и
\mu h0
\bigl(
\{ x : \delta (x) \in Y \}
\bigr)
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
498 З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ
Поэтому \{ x : \delta (x) \in Y \} \in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h0) \forall h0 \in R. Следовательно,
\{ x : \delta (x) \in Y \} \in \cap
h\in R
\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) = S1.
Таким образом, \delta : (R\times R,S1)\rightarrow (R,B(R)) — измеримое отображение и
\mu h
\bigl(
\{ x : \delta (x) = h\}
\bigr)
= 1 \forall h \in R,
т. е. статистическая структура \{ R \times R,S1, \mu h, h \in R\} допускает состоятельный критерий для
проверки гипотезы.
Пример 3.2. Пусть t = (t1, . . . , tn) \in T, T — некоторое ограниченное подмножество n-
мерного евклидова пространства Rn; \xi h(t), h \in R, — действительные однородные гауссовские
поля на T ; M\xi h(t) = 0; M\xi h(t) \xi h(s) = Rh(t - s); \mu h, h \in R, — меры, соответствующие полям
\xi h(t), h \in R, т. е. задана гауссовская однородная статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in R\} .
Предполагается, что случайные поля \xi h(t), h \in R, имеют спектральные плотности fh(\lambda ),
\lambda = (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda n) \in Rn, h \in R, так что для функции R(t, s) = Rh\prime \prime (t - s) - Rh\prime (t - s),
h
\prime
, h
\prime \prime \in R, справедливо равенство
R(t, s) =
\int
Rn
ei(\lambda ,t - s)
\bigl[
fh\prime \prime (\lambda ) - fh\prime (\lambda )
\bigr]
d\lambda ,
где (\lambda , \tau ) = \lambda 1\tau 1 + \lambda 2\tau 2 + . . .+ \lambda n\tau n, а d\lambda = d\lambda 1d\lambda 2 . . . d\lambda n.
Приведем условия ортогональности мер \mu h\prime и \mu h\prime \prime , h
\prime \not = h
\prime \prime
, h
\prime
, h
\prime \prime \in R. Пусть u > 0,
U = \{ t : - u \leq t1 \leq u, . . . , - u \leq tn \leq u\} \subset T. Предположим, что выполняется неравенство
fh\prime (\lambda )g(\lambda ) \leq C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} <\infty ,
где
g(\lambda ) =
n\sum
j=1
(1 + \lambda 2)ej ,
а ej — неотрицательные целые числа. Кроме того, будем предполагать, что fh\prime \prime (\lambda ) \geq fh\prime (\lambda ).
Определим функцию F (\lambda ) равенством F (\lambda ) = fh\prime \prime (\lambda ) - fh\prime (\lambda ). Известно (см. [10]), что если\int
Rn
\int
Rn
n\prod
j=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(\lambda j - \mu j)
(\lambda j - \mu j)2
g(\lambda )g(\mu )F (\lambda )F (\mu )d\lambda d\mu =\infty ,
то меры \mu h\prime и \mu h\prime \prime ортогональны.
Мы будем предполагать, что последнее условие выполняется для любых h
\prime
и h
\prime \prime
, h
\prime \not = h
\prime \prime
,
h
\prime
, h
\prime \prime \in R, т. е. меры \{ \mu h, h \in R\} попарно ортогональны.
Таким образом, \{ E,S, \mu h, h \in R\} — ортогональная однородная гауссовская статистическая
структура. Пусть gh(x) — действительные S -измеримые функции, MY — множество мер \nu
вида
\nu (B) =
\sum
h\in A1
\int
B
gh(x)\mu h(dx) \forall B \in S,
где A1 \subset R — некоторое счетное подмножество из R и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 499
\sum
h\in A1
\int
E
| gh(x)| 2\mu h(dx) <\infty .
Положим
(\nu 1, \nu 2) =
\sum
h\in A1\cap A2
\int
E
g1h(x)g
2
h(x)\mu h(dx) <\infty ,
где
\nu i(B) =
\sum
h\in Ai
\int
B
gih(x)\mu h(dx), i = 1, 2.
Легко показать (см. [5]), что MH — гильбертово пространство мер и MH = \oplus h\in RH2(\mu h),
где H2(\mu h) — множество мер вида\int
B
f(x)\mu h(dx) \forall B \in S с
\int
E
| f(x)| 2\mu h(dx) <\infty .
Для каждого h \in R обозначим через \mu h пополнение меры \mu h, а через \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) \sigma -
алгебру всех \mu h-измеримых подмножеств E. Обозначим через F = F (MH) множество дей-
ствительных функций f таких, что
\int
f(x)\mu h(dx) определен для любого \mu h \in MH . Пусть
MH = \oplus h\in RH2(\mu h) — гильбертово пространство мер, E — полное сепарабельное метрическое
пространство, S1 = \cap h\in R \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) — борелевская \sigma -алгебра в E и \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c.
Тогда для ортогональной однородной гауссовской статистической структуры \{ E,S1, \mu h, h \in
\in R\} справедлива теорема 3.2.
Замечание 3.2. Если при доказательстве достаточности в теореме 3.2 отказаться от усло-
вия, что S1 — борелевская \sigma -алгебра в E, то ортогональная статистическая структура \{ E,S1,
\mu h, h \in R\} будет только слабо разделимой (см. [5]). Если S1 является борелевской, то ортого-
нальная статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, будет сильно разделимой
и, кроме того, эта статистическая структура допускает состоятельные критерии для проверки
гипотез (см. пример 3.1).
Замечание 3.3. Если дана какая-либо сильно разделимая (в смысле определения 3.1) ста-
тистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, то \{ E,S1, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, —
сильно разделимая статистическая структура, допускающая состоятельные критерии для про-
верки гипотез (см. пример 3.1).
Легко доказывается следующая теорема.
Теорема 3.3. Пусть MH = \oplus \infty
i=1H2(\mu hi) — гильбертово пространство мер. Тогда для
того чтобы ортогональная статистическая структура \{ E,S, \mu hi , i \in N\} допускала состо-
ятельные критерии для проверки гипотез в теории (ZF ), необходимо и достаточно, чтобы
соответствие f \leftarrow \rightarrow \psi f , f \in F (MH), заданное равенством\int
f(x)\mu h(dx) = (\psi f , \mu h) \forall \mu h \in MH ,
было взаимно однозначным.
Замечание 3.4. Аналогично методам, использованным при доказательстве теоремы 3.2,
доказывается следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
500 З. С. ЗЕРАКИДЗЕ, О. Г. ПУРТУХИЯ
Теорема 3.4. Пусть E — полное метрическое пространство, топологический вес которо-
го неизмерим в широком смысле (см. [3]), и MH = \oplus h\in HH2(\mu h) — гильбертово пространство
мер. Тогда для того чтобы ортогональная статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\}
(где S1 = \cap h\in H \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h) — борелевская \sigma -алгебра в E и \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c) допускала состоятель-
ные критерии для проверки гипотез в теории (ZFC) \& (MA), необходимо и достаточно,
чтобы соответствие f \leftarrow \rightarrow \psi f , f \in F (MH), заданное равенством\int
f(x)\mu h(dx) = (\psi f , \mu h) \forall \mu h \in MH ,
было взаимно однозначным.
Замечание 3.5. Необходимость в теореме 3.4 доказывается так же, как и в теореме 3.2. При
доказательстве достаточности в теореме 3.4 мы используем следующие леммы.
Лемма 3.1 [4]. Пусть (E, \rho ) — полное сепарабельное метрическое пространство. Пусть
\{ E,S, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, — борелевская слабо разделимая статистическая структура.
В теории (ZFC) \& (MA) статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} сильно разделима.
Лемма 3.2 [3]. Пусть (E, \rho ) — полное метрическое пространство, топологический вес
которого неизмерим в широком смысле. Пусть \mu — вероятностная мера, заданная на боре-
левской \sigma -алгебре подмножеств пространства E. Тогда мера \mu сосредоточена на счетном
объединении компактных подмножеств пространства E
\bigl(
т. е. у меры \mu найдется сепара-
бельный носитель F в пространстве (E, \rho )
\bigr)
.
Предложение 3.1 [7]. Пусть (E, \rho ) — полное метрическое пространство, топологиче-
ский вес которого неизмерим в широком смысле. Пусть \{ E,S, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, —
борелевская слабо разделимая статистическая структура. Тогда в теории (ZFC) \& (MA)
статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} сильно разделима.
4. Выводы. I. (CC) =\Rightarrow (SS) =\Rightarrow (S) =\Rightarrow (WS) =\Rightarrow (O) (см. теорему 2.2).
II. (SS) =\Rightarrow (CC) (см. теорему 3.2).
III. Статистическая структура
\bigl\{
[0, 1]\times [0, 1], S, lh, h \in [0, 1] \cup [2, 3]
\bigr\}
разделима (S), но не
допускает состоятельные критерии (CC) для проверки гипотез (S) \nRightarrow (CC) (см. пример 2.2).
Действительно, пусть множество гипотез H = [0, 1] \cup [2, 3]. Предположим, что существует
состоятельный критерий для проверки гипотезы \delta :
\bigl\{
[0, 1]\times [0, 1], S, lh, h \in [0, 1] \cup [2, 3]
\bigr\}
\rightarrow
\rightarrow (H,B(H)). Рассмотрим измеримое множество A1 =
\bigl\{
x : \delta (x) \in [0, 1]
\bigr\}
. Линейная мера
Лебега множества A1 \cap
\bigl\{
[0, 1] \times \{ y\}
\bigr\}
равна единице для любого y \in [0, 1]. Следовательно,
по теореме Фубини плоская мера Лебега множества A1 также равна единице. Ясно, что то
же самое справедливо для множества A2 =
\bigl\{
x : \delta (x) \in [2, 3]
\bigr\}
. Но множества A1 и A2 не
пересекаются и оба лежат в квадрате [0, 1] \times [0, 1], а это противоречит тому факту, что оба
имеют меру, равную мере квадрата.
IV. Для счетной ортогональной статистической структуры \{ E,S, \mu hi , i \in N\} имеем (O) =\Rightarrow
=\Rightarrow (WS) =\Rightarrow (S) =\Rightarrow (SS) =\Rightarrow (CC) (см. теорему 2.4 и пример 2.5).
V. Пусть E — полное сепарабельное метрическое пространство, MH = \oplus h\in HH2(\mu h) —
гильбертово пространство мер и S1 = \cap h\in H \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mu h), \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c. Тогда борелевская ортого-
нальная статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H \leq c, допускает состоятельный
критерий для проверки гипотезы, т. е. (O) =\Rightarrow (WS) =\Rightarrow (S) =\Rightarrow (CC) (см. теоремы 3.2, 3.4
и пример 3.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 501
VI. Если статистическая структура \{ E,S, \mu h, h \in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H = c, сильно разделима,
то сильно разделимая статистическая структура \{ E,S1, \mu h, h \in H\} (где S1 не обязательно
является борелевским) допускает состоятельный критерий для проверки гипотезы.
Действительно, в силу сильной разделимости статистической структуры \{ E,S, \mu h, h \in
\in H\} , \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}H = c, существует семейство S1-измеримых множеств Xh, h \in H, такое, что:
1) \cup h\in H(Xh) = E; 2) Xh\prime \cap Xh\prime \prime = \varnothing \forall h\prime \not = h
\prime \prime
, h
\prime
, h
\prime \prime \in H; 3) \mu h(Xh) = 1\forall h \in H. Для
x \in Xh положим \delta (x) = h. Тогда отображение \delta : (E,S1) \rightarrow (H,B(H)) измеримо (что дока-
зывается аналогично доказательству теоремы 3.2) и \mu h(\{ x : \delta (x) = h\} ) = 1\forall h \in H.
Литература
1. Ибрамхалилов И. Ш., Скороход А. В. Состоятельные оценки параметров случайных процессов. – Киев: Наук.
думка, 1980.
2. Jech T. Set theory. – Berlin: Springer-Verlag, 2003.
3. Харазишвили А. Б. Топологические аспекты теории меры. – Киев: Наук. думка, 1984.
4. Зеракидзе З. С. О слабо разделимых и разделимых семействах вероятностных мер // Сообщ. АН ГССР. –
1984. – 113, № 2. – С. 273 – 275.
5. Зеракидзе З. С. Гильбертовое пространство мер // Укр. мат. журн. – 1986. – 38, № 2. – С. 147 – 153.
6. Zerakidze Z., Mumladze M. Statistical structures and consistent criteria for checking hypotheses. – Saarbrucken,
Deutschland: Lambert Acad. Publ., 2015.
7. Pantsulaia G. On orthogonal families of probability measures // Trans. GP. – 1989. – 1, № 8. – P. 106 – 112.
8. Pantsulaia G. On separation properties for families of probability measures // Georg. Math. J. – 2003. – 10, № 2. –
P. 335 – 341.
9. Zerakidze Z., Purtukhia O. The weakly consistent, strongly consistent and consistent estimates of the parameters //
Rep. Enlarged Sess. Semin. I. Vekua Inst. Appl. Math. – 2017. – 31. – P. 151 – 154.
10. Краснитский С. Н. Об условиях эквивалентности и ортогональности мер, соответствующих однородным
гауссовским полям // Теория вероятностей и ее применения. – 1973. – 18, № 3. – С. 615 – 621.
Получено 30.10.18,
после доработки — 20.02.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2019, т. 71, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1453 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:05:40Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/00/1d9d674fdd4b3330a8a13bc35cfa3600.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-14532019-12-05T10:12:29Z Consistent criteria for hypotheses testing Состоятельные критерии для проверки гипотез Zerakidze, Z. S. Purtukhiya, O. G. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. We investigate statistical structures that admit consistent criteria for hypotheses testing and establish necessary and sufficient conditions for the existence of consistent criteria for hypotheses testing. УДК 519.21Дослiджуються статистичнi структури, що допускають слушнi критерiї для перевiрки гiпотез. Отримано необхiднi i достатнi умови iснування слушних критерiїв для перевiрки гiпотез. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2019-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1453 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 71 No. 4 (2019); 486-501 Український математичний журнал; Том 71 № 4 (2019); 486-501 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1453/437 Copyright (c) 2019 Zerakidze Z. S.; Purtukhiya O. G. |
| spellingShingle | Zerakidze, Z. S. Purtukhiya, O. G. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. Зеракидзе, З. С. Пуртухия, О. Г. Consistent criteria for hypotheses testing |
| title | Consistent criteria for hypotheses testing |
| title_alt | Состоятельные критерии для проверки гипотез |
| title_full | Consistent criteria for hypotheses testing |
| title_fullStr | Consistent criteria for hypotheses testing |
| title_full_unstemmed | Consistent criteria for hypotheses testing |
| title_short | Consistent criteria for hypotheses testing |
| title_sort | consistent criteria for hypotheses testing |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1453 |
| work_keys_str_mv | AT zerakidzezs consistentcriteriaforhypothesestesting AT purtukhiyaog consistentcriteriaforhypothesestesting AT zerakidzezs consistentcriteriaforhypothesestesting AT purtuhiâog consistentcriteriaforhypothesestesting AT zerakidzezs consistentcriteriaforhypothesestesting AT purtuhiâog consistentcriteriaforhypothesestesting AT zerakidzezs sostoâtelʹnyekriteriidlâproverkigipotez AT purtukhiyaog sostoâtelʹnyekriteriidlâproverkigipotez AT zerakidzezs sostoâtelʹnyekriteriidlâproverkigipotez AT purtuhiâog sostoâtelʹnyekriteriidlâproverkigipotez AT zerakidzezs sostoâtelʹnyekriteriidlâproverkigipotez AT purtuhiâog sostoâtelʹnyekriteriidlâproverkigipotez |